Wieviel Mathematik braucht ein Hai?—

Oberflächenformen bei schleichenden Filmströmungen

A. Rund 1,2

12. Mai 2006

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���+x

JJ

JJJ]z

1Lehrstuhl für Technische Mechanik und Strömungsmechanik2Lehrstuhl für Ingenieurmathematik

Evolution und Optimierung

Evolution: biologische Form → optimale Anpassung an Lebensraum

Beispiel: Meereswelt

• Seit 420 Millionen Jahren entwickeln sich Meeresbewohner

• Nur die stärksten und schnellsten überleben

⇒ heutige Arten: Optimierte Körperformen, Bewegungsarten

; Bionik: Diese Formen lassen sich technisch nutzen

2

Bionische Ansätze

Grundprinzip der modernen Bionik:

Energieeinsparung primär durch Widerstandsminimierung

Denn: Geringerer Widerstand ⇒ schnellere Bewegung möglich,weniger Energieverbrauch.

Beispiele:

Delfin → Schiffsrumpf

Pinguin → Flugzeugrumpf

Lotus-Blüte → Windschutzscheibe, Fenster

Haihaut → Flugzeug, Schwimmanzüge

3

Haie - die ökonomischen Flieger der Meere

4

Modelle und Experimente

5

Technische Anwendung

6

Optimierung der Oberflächenform bei Filmströmungen

Freie Oberfläche ; Freies Randwertproblem (!)

7

Wieviel Mathematik braucht der Hai?

8

Wieviel Mathematik braucht der Hai?

→ Hai braucht keine Mathematik

8

Wieviel Mathematik braucht der Hai?

→ Hai braucht keine Mathematik

Fazit:

Mathematik

oder

420 Mio Jahre trial and error

8

Outline

1. Motivation und Einführung√

2. Problemstellung

(a) Aufstellen des Modells

(b) Analytische Vorarbeiten

(c) Diskretisierung

3. Untersuchte Bodenkonturen

4. Ergebnisse

9

Das Strömungsproblem

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���+x

JJ

JJJ]z

Bodenplatte:

Strömungen werden gegeben durch ihr Geschwindigkeitsfeld ~v(x, y, z).

Annahme einer „ebenen Strömung“: ~v(x, z) = u(x, z)~ex + w(x, z)~ez

10

Die Navier-Stokes-Gleichungen

Fluide: Flüssigkeiten und Gase

Bewegungsgleichungen für Newtonsche Fluide (Luft, Wasser, Öle, Gase)

%

[

∂~v

∂t+ (~v · ∇)~v

]

= −∇p+ η∆~v + %~g ,

∇ · ~v = 0 .

mit η: Viskosität des Fluids (Maßfür Zähigkeit)%: Dichte des Fluidsp: Druck (Skalarfeld)

; Nur sehr wenige exakte Lösungen bekannt

; Numerisch nicht einfach zu behandeln

11

Eine Ersatzproblem: Die Stokes-Gleichungen

%[

∂~v∂t

+ (~v · ∇)~v]

= −∇p+ η∆~v + %~g

Trägheit vs. Reibung

Annahmen:

• Schleichende Strömung: Vernachlässigung der Trägheit: (~v ·∇)~v = 0

• Stationär: ∂~v∂t

= 0

→ Stokes-Gleichungen: ~0 = −∇p+ η∆~v + %~g linear!

12

Stokes-Gleichungen → Bi-Laplace-Gleichung

Stokes-Gleichungen

↓

Strömungsmechanik:Entdimensionierung

+ Einführung einer Stromfunktion ψ

↓

∆∆ψ = 0

„Bi-Laplace-Gleichung“, skalar, 4. Ordnung

; Nachzulesen in DA oder [1]

13

Problemformulierung

∆∆ψ = 0

Randbedingungen:

• Haftbedingung

• kinematische Randbedingung

• dynamische Randbedingung

• Periodiziätsbedingung

G�

��

��+x

JJ

JJJ]z

@@

@I

Boden b

?

freie Oberfläche

Oberfläche des Films unbekannt ; Freies Randwertproblem

14

Ausgangspunkt: Der ebene Boden

��

��

��z

@@

@@

@@

@@

@R xβ

@R@@R

@@R

u(z)

?g̃

Abbildung 1: Filmströmung an einer geneigten ebenen Wand

; Parabolisches Geschwindigkeitsprofil

Exakte Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen!

15

Gewellte Bodenkonturen:

Es gibt auch überhängende Bodenkonturen:

6z

-x

→ Formulierung der Bodenkontur als ebene, differenzierbare Kurve:

b : [−t0, t0] → �

2, t→ (b1(t), b2(t))

2π-periodisch:b2(t+ 2t0) = b2(t) ,

b1(t+ 2t0) = b1(t) + 2π .(1)

Einschränkung: Kontur achsensymmetrisch zur z-Achse

; b2(t) sei gerade Funktion, b1(t) ungerade.16

Komplexe Formulierung

Einführung einer komplexen Koordinate: ξ := 12

(

z + ix)

Bodenkurve:β : � → � , t→ 1

2(b2(t) + ib1(t)) . (2)

Freie Oberfläche wird als eben angenommen:

ϕ(t) =1

2(h+ ib1(t)) . (3)

h

6

?

17

Lösungsformel für ∆∆ψ = 0

Nebenbedingungen: ψ(x, z) 2π-periodisch in x-Richtung, reellwertig.

↓

Potentialtheorie:Superposition,

holomorphe FunktionenPeriodizität

Lösungsformel

ψ = hz2 − z3

3+ 2<(R(ξ) + zQ(ξ))

mit Q(ξ),R(ξ) holomorph, in x-Richtung 2π-periodisch

noch zu erfüllen: Haftbedingung, Holomorphiebedingungen

18

Methode

Gesucht: Q,R (holomorph)

1. Bestimmung von Q,R auf dem Rand von G:

→ Randbedingungen

2. Sicherung der Holomorphie durch zusätzliche Bedingungen

3. Rekonstruktion von Q,R im Inneren von G:

Cauchysche IntegralformelQ(ξ) = 1

2πi

∫

γ

Q(ζ)ζ−ξ

dζ

19

zu 1.: Einführung von Randfunktionen

unterer Rand:

Q(ξ = β(t)) =: Qβ(t) = Q1(t) + iQ2(t)

R(ξ = β(t)) =: Rβ(t) = R1(t) + iR2(t)

oberer Rand:

Ebene Oberfläche + RBs liefern Qϕ = const, Rϕ = const

⇒ Zu bestimmen sind 4 reelle Funktionen Q1, Q2, R1, R2

; aus Haftbedingung, Holomorphiebedingungen (Herleitung siehe DA, [1])

20

Einige technische Transformationen

Gesucht: Q1, Q2, R1, R2 Vorhanden: Viele Gleichungen

↓

Elimination von GleichungenPartielle IntegrationFourierentwicklung

↓

Gesucht: Q′

1, Q′

2 Vorhanden: Weniger Gleichungen

; Nachzulesen in DA oder [1]

21

Ergebnis: Unendlichdimensionales System

Q′

1(t) :=∞∑

k=1

Aksin(

kt πt0

)

Q′

2(t) :=∞∑

k=1

Bkcos(

kt πt0

)

0 =t0∫

−t0

e−nb2 [cos(nb1)Q′

2 − sin(nb1)Q′

1] dt n = 1, . . . ,∞

0 =t0∫

−t0

e−nb2[

1n

(

h− b2 − 1n

)

cos(nb1)b′

1 + . . .]

dt

22

Reihenabbruch: Eindeutig bestimmtes LGS

Q′

1(t) :=N∑

k=1

Aksin(

kt πt0

)

Q′

2(t) :=N∑

k=1

Bkcos(

kt πt0

)

0 =t0∫

−t0

e−nb2 [cos(nb1)Q′

2 − sin(nb1)Q′

1] dt n = 1, . . . ,N

0 =t0∫

−t0

e−nb2[

1n

(

h− b2 − 1n

)

cos(nb1)b′

1 + . . .]

dt

⇓ Numerische Integration

lineare algebraische Gleichungen für Ak,Bk

23

Nachlaufende Berechnungen

Nach numerischem Lösen dieses LGS, lassen sich alle weiteren Grös-sen bestimmen, speziell:

• Stromfunktion ψ: Konstruktion der holomorphen Funktionen im Inne-ren

• Ebener Volumenstrom / Durchfluss ψs

; Stromlinienbilder zur Interpretation

24

3. Klassen von Bodenkonturen

Feste Bodenkontur ; Lösen eines LGS.

Folgende einparametrige Scharen von Konturen wurden untersucht:

• Harmonischer Boden

b2(t) = −a cos(t)

• Hügelkette

• Logarithmischer Boden

• Überhängende Kontur

b(t)

- x−π π

6

z6

?

2a

25

Ergebnisse

→ Wirbelbildung bei steigender Amplitude

26

Übereinstimmung mit Experiment

27

Hügelkette

Abgebrochene Fourierreihe. Möglichst flach in x = 0.

b2(t) := − a16

[

15cos(t) − 6cos(2t) + cos(3t)]

Hügelketten der Ordnungen 1, 3, 10 bei gleicher Welligkeit

28

Überhängende Kontur

b1(t) := π tt0

+ 14a2sin

(

2π tt0

)

b2(t) := −acos(

π tt0

)

t0 := π√

1 + a2

2+ a4

4

Welligkeiten 0.8, 1.5, 2.0, skaliert

29

Überhängende Kontur

b1(t) := π tt0

+ 14a2sin

(

2π tt0

)

b2(t) := −acos(

π tt0

)

t0 := π√

1 + a2

2+ a4

4

Welligkeiten 0.8, 1.5, 2.0, skaliert

29

Logarithmische Kontur: Idee

Idee: Der Ansatz der Bodenkontur soll die Gleichungen vereinfachen!

→ Gleichungen:π∫

−π

e−nb2(t) . . .dt

30

Logarithmische Kontur: Idee

Idee: Der Ansatz der Bodenkontur soll die Gleichungen vereinfachen!

→ Gleichungen:π∫

−π

e−nb2(t) . . .dt

; Ansatz: b2(t) := −ln(f(t))

30

Logarithmische Kontur: Ansatz

b2 := −ln(c0 + c1 · cos(t))

c0 := c0(a)

c1 := c1(a)

}

⇒ b2 = ba2(t)

→ 1-parametrische Kurvenschar

a = 1

a = 3

a = 11

31

Logarithmische Kontur: Konsequenzen

e−nb2 = (c0 + c1 cos t)n

→ analytische Fourier-Zerlegung!

32

Logarithmische Kontur: Konsequenzen

e−nb2 = (c0 + c1 cos t)n

→ analytische Fourier-Zerlegung!

Weitere Folgen: b2(t) hat analytische Fourier-Zerlegung

↓

Trigonometrische Integrale entstehen ;(((((((((((((((((hhhhhhhhhhhhhhhhhIntegrationsfehler

↓Analytische Formulierung des LGS!

→ Bonus Effekt: Ak = Bk ; Halbierung der Dimension des LGS

32

Homogene Gleichungen für logarithmischen Boden

∑Nk=1P

1nk

(

Ak −Bk) = 0 n = 1, . . . , N

Eigenschaften der Koeffizienten Matrix P 1:

• Koeffizienten sind unabhängig von Modenzahl N

• LU-Zerlegung analytisch angebbar

• LU-Zerlegung analytisch invertierbar

⇒ P 1 invertierbar ⇒ Ak = Bk

Gilt auch für „N = ∞“; analytisch lösbares unendlichdim. LGS

33

Inhomogene Gleichungen für logarithmischen Boden

∑Nk=1PnkAk = qn n = 1, . . . , N

Man entdeckt eine additive Aufspaltung:

P = P 1 + P 2

P1: Matrix aus homogenem System.

Eigenschaften:

• Koeffizienten unabhängig von Reihenabbruch N

• Erkenntnisse aus dem homogenen System nutzbar

• P1 ist ”dominierend” ; Vorkonditionierung

34

Beispielmatrizen

P1 =

1.0 0.5 0 0 0 0 01.0 1.5 1.0 0.2 0 0 00.7 1.9 2.5 1.9 0.7 0.1 00.5 1.7 3.5 4.3 3.5 1.7 0.50.3 1.4 3.7 6.5 7.8 6.5 3.70.2 1.0 3.4 7.6 12 14 120.1 0.7 2.8 7.7 15 23 26

P2 =

−0.3 0.08 −0.03 0.02 −0.008 0.005 −0.003−0.2 0.03 −0.01 0.003 −0.001 7 · 10−4 −3 · 10−4

−0.1 0.01 −0.003 0.001 −3 · 10−4 1 · 10−4 6 · 10−5

−0.05 0.005 −0.001 2 · 10−4 7 · 10−5 3 · 10−5 1 · 10−5

−0.03 0.002 3 · 10−4 7 · 10−5 2 · 10−5 6 · 10−6 2 · 10−6

−0.01 0.001 1 · 10−4 2 · 10−5 6 · 10−6 2 · 10−6 5 · 10−7

−0.007 4 · 10−4 5 · 10−5 8 · 10−6 2 · 10−6 4 · 10−7 1 · 10−7

35

Vorkonditionierung

Idee: LGS von links mit regulärer Matrix multiplizieren.

Matrix sollte der Inversen der Systemmatrix möglichst nahe kommen!

Hier: Inverse von P 1 verwenden ⇒ Sehr gute Vorkonditionierung:

N cond(

E + P−11 P2

)

cond(

P)

5 1.9 · 100 4.8 · 102

10 2.1 · 100 1.5 · 106

20 2.2 · 100 3.6 · 1013

30 2.2 · 100 1020

40 2.2 · 100 1023

50 2.2 · 100 1026

36

Auswirkungen auf die Numerik

Frühere Berechnungen:

Harmonischer Boden: Maximal N = 30, Digits = 150 benötigt.

→ Dauer: ein WE

Berechnungen mit logarithmischem Boden:

• Maximal N = 110.

• Hardware-Stellengenauigkeit reicht: Digits = 15

; Sehr schnelle Berechnungen (≈ 1 h)

• Bis N = 20 ist das LGS sogar analytisch lösbar

Digits = 5

37

Optimierung des Materialtransportes

Ziel: Optimierung des Materialtransportes

Benötigt: Zielgröße

Mittlere Transportgeschwindigkeit:

6

?

h

6

?

h

- x−xt xt

��

��

���+

Separatrix

ut := ψs

h

Rezirkulationsgebiet trägt nicht zum Materialtransport bei!

38

Optimierung des Materialtransportes

Ziel: Optimierung des Materialtransportes

Benötigt: Zielgröße

Mittlere Transportgeschwindigkeit:

6

?

h

6

?

h

- x−xt xt

��

��

���+

Separatrix

ut := ψs

h

Rezirkulationsgebiet trägt nicht zum Materialtransport bei!

; Bestimmung der Separatrix aus der Stromfunktion

38

Zielgröße:

Optimierung der mittleren Transportgeschwindigkeit ut = ψs

h

Vorgegeben: Ebener Volumenstrom ψs

→ Vergleich mit ebenem Boden: h0 := 3

√

32ψs

39

Zielgröße:

Optimierung der mittleren Transportgeschwindigkeit ut = ψs

h

Vorgegeben: Ebener Volumenstrom ψs

→ Vergleich mit ebenem Boden: h0 := 3

√

32ψs

Maß für Materialtransport: ∆h := h− h0

Anhebung der Filmhöhe im Vergleich zu ebenem Boden.

39

4. Ergebnisse: Hügelketten

e

sf

sf

sf

e

sf

Relative effect

↓

0.06%

e

sf

0.3%0 π/3 2π/3 π a 4π/3 5π/3

b1

b3

b10

−0.2

0

0.2

0.4

∆h

0.6

0.8

h0 = 20π

Peak arrays

e onset of primary vortexsf onset of higher vortex

40

4. Ergebnisse: Hügelketten

b10

e

sf

b3

e

sf

b1e

sf

sf

sf

0 π/3 2π/3 π

Peak arrays

a 4π/3 5π/3−0.2

0

0.2

0.4

∆h

0.6

0.8

h0 = 3π

e onset of primary vortexsf onset of higher vortex

41

4. Ergebnisse: Hügelketten

b10

e

sf

b3

e

sf

b1e

sf

sf

sf

0 π/3 2π/3 π

Peak arrays

a 4π/3 5π/3−0.2

0

0.2

0.4

∆h

0.6

0.8

h0 = 3π

e onset of primary vortexsf onset of higher vortex

Relative effect

↓

0.9%

41

Peak Array 10: Variation des Volumenstroms

-0.012

-0.01

-0.008

-0.006

-0.004

-0.002

0

0 5 10 15 20

∆hh0

a = 1.6π

h0-0.012

-0.010

-0.008

-0.006

-0.004

-0.002

0

0 5 10 15 20

a h0,opt ∆h/h0

1.6π 3.8π -0.010

1.7π 3.5π -0.0116

1.8π 3.4π -0.012

42

Peak Array 10: Variation des Volumenstroms

-0.012

-0.01

-0.008

-0.006

-0.004

-0.002

0

0 5 10 15 20

∆hh0

a = 1.6π

h0-0.012

-0.010

-0.008

-0.006

-0.004

-0.002

0

0 5 10 15 20

a h0,opt ∆h/h0

1.6π 3.8π -0.010

1.7π 3.5π -0.0116

1.8π 3.4π -0.012

↑Maximaler Effekt bei b10 und h0 = 3.8π: ≈ 1%

42

4. Ergebnisse: Logarithmischer Boden:a = 0.92, N = 50 a = 1.1, N = 50 a = 1.7, N = 100

a = 2.2, N = 100 a = 2.7, N = 100 a = 2.9, N = 110

43

4. Ergebnisse: Logarithmischer Boden:

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0 1 2 3 4 5 6

∆h

=h−h

0

Welligkeit a

∆h mit h0 = 20π const.

Logarithmischer BodenHarmonischer BodenPeaktrail Ordnung 3Peaktrail Ordnung 10

44

4. Ergebnisse: Logarithmischer Boden:

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0 1 2 3 4 5 6

∆h

=h−h

0

Welligkeit a

∆h mit h0 = 20π const.

Logarithmischer BodenHarmonischer BodenPeaktrail Ordnung 3Peaktrail Ordnung 10

→ Absenkung der Filmhöhe schon bei niedrigerer Welligkeit.

44

4. Ergebnisse: Logarithmischer Boden:

Woran erkennt man eine zu niedrige Modenzahl N?

45

4. Ergebnisse: Logarithmischer Boden:

Woran erkennt man eine zu niedrige Modenzahl N?

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

h−h

0

Welligkeit a

Log: ∆h mit h0 = 20π const.

N=50N=60N=70N=100N=110

45

Zusammenfassung

Methodik:

• Anwendung von Funktionentheorie auf ein 2-dim. Strömungsproblem

• Fourier-Entwicklung → lineares Gleichungssystem

• Auswahl repräsentativer Bodenkonturen

• Parameterstudien zu diesen Konturen

Ergebnisse der numerischen Berechnungen:

• Berechnete Strömung ist in sehr gutem Einklang mit Experiment

• Man findet einen verbesserten Materialtransports i.Ggs. zu dem ebe-nen Boden

46

Quellen

[DA]: Diplomarbeit

[1]: Scholle, Wierschem, Aksel. Creeping films with vortices over stron-gly undulated bottoms, Acta. Mech. 2004

[2]: Scholle, R., Aksel. Drag reduction and improvement of materialtransport in creeping films, Arch Appl Mech 2005

[3]: Wierschem, Scholle, Aksel. Vortices in film flow over strongly undu-lated bottom profiles at low Reynolds numbers, Physics of Fluids, 2003

47