Wintersemester 2013/14 Teil 4 - mathe.stevenkoehler.demathe.stevenkoehler.de/wp-content/files/ws2013_14/... · Im allgemeinen Sinn versteht man in der linearen Algebra unter einem

Vorkurs: Mathematik für Informatiker

Wintersemester 2013/14Teil 4

2 © 2013 Steven Köhler

Steven Kö[email protected]

Jennifer [email protected]

Marcel [email protected]

Inhaltsverzeichnis

5

Teil 1 Teil 2 Teil 3 Teil 4 Vektoren Geraden Ebenen Wiederholungen

© 2013 Steven Köhler

Kapitel XVI

Vektoren

© 2013 Steven Köhler 6

Kapitel XVI: Vektoren

Definition I


Im allgemeinen Sinn versteht man in der linearen Algebra untereinem Vektor ein Element eines Vektorraums, d.h. ein Objekt, daszu anderen Vektoren addiert und mit Zahlen, die Skalare genanntwerden, multipliziert werden kann. (Quelle: Wikipedia)


Definition II


In der analytischen Geometrie kann man einen Vektor als einObjekt au®assen, das eine Parallelverschiebung in der Ebene oderim Raum beschreibt.

Ein Vektor kann als Pfeil aufgefasst werden, der einen Ur-bildpunkt mit seinem Bildpunkt verbindet.


Definition III


 

 

 

 

 

Jedem Punkt (x; y) 2 R2 bzw. (x; y; z) 2 R3 kann ein Vektorzugeordnet werden.

Analoges gilt auch fÄur alle Punkte (x1; x2; : : : ; xn) 2 Rn.


Schreibweise I


Ein Vektor kann wie folgt dargestellt werden:

v =

0@xyz

1A :

Anstatt die einzelnen EintrÄage mit x, y oder z zu bezeichnen, istauch die folgende Notation sehr gebrÄauchlich:

v =

0@v1

v2

v3

1A :


Schreibweise II


Bisher haben wir Vektoren immer als Spaltenvektoren betrachtet:

v =

0@v1

v2

v3

1A :

Alternativ kann man Vektoren aber auch als Zeilenvektoren be-trachten:

v =¡v1 v2 v3

¢:

Zur besseren ÄUbersicht dÄurfen zwischen den einzelnen EintrÄagenauch Trennzeichen { beispielsweise Kommas oder Semikolons {gesetzt werden:

v =¡v1; v2; v3

¢:


Nullvektor


Als Nullvektor wird der folgende spezielle Vektor bezeichnet,dessen EintrÄage alle Null sind:

v =

[email protected]

1CA :

Oft wird der Nullvektor mit 0 oder o bezeichnet.


Transponieren von Vektoren


Vektoren kÄonnen transponiert werden. Das bedeutet nichts an-deres als einen Zeilenvektor als einen Spaltenvektor aufzuschreiben{ und andersherum:

v =

0@v1

v2

v3

1A wird zu vT = (v1; v2; v3);

u = (u1; u2; u3) wird zu uT =

0@u1

u2

u3

1A :


Länge eines Vektors


Die LÄange eines Vektors lÄasst sich leicht mithilfe des Skalarpro-dukts oder geometrisch Äuber den Satz des Pythagoras bestimmen.Es gilt ¯̄

v¯̄=

qv21 + v2

2 + v23:

Allgemein gilt ¯̄v¯̄=

qv21 + : : : + v2

n:


Normieren von Vektoren


Unter einem normierten Vektor v0 zu einem Vektor v versteht maneinen Vektor der LÄange 1, der dieselbe Richtung wie v besitzt.Man erhÄalt den normierten Vektor v0 zu einem beliebigen Vektorv, indem man v mit dem Reziproken seiner LÄange multipliziert.

v0 =1

jvj ¢ v


Addition von Vektoren


Die Addition von Vektoren erfolgt komponentenweise:

a + b =

0@ a1

a2

a3

1A +

0@ b1

b2

b3

1A =

0@ a1 + b1

a2 + b2

a3 + b3

1A :

Gra¯sch kann man die Vektoraddition als HintereinanderhÄangender Vektoren betrachten.

a

ab

b

a+b


Subtraktion von Vektoren


Die Subtraktion von Vektoren erfolgt ebenfalls komponentenweise:

a¡ b =

0@ a1

a2

a3

1A¡

0@ b1

b2

b3

1A =

0@ a1 ¡ b1

a2 ¡ b2

a3 ¡ b3

1A :

Man kann die Subtraktion auch als Addition des Vektors ¡b zumVektor a betrachten.Betrachtet man a und b als Ortsvektoren der Punkte A und B, sostellt der Vektor a¡ b den Vektor dar, der den Punkt B auf denPunkt A abbildet. Gra¯sch sieht dies wie folgt aus:

ab

a-b


Skalare Multiplikation


Ein Vektor kann mit einem konstanten Faktor ¸ 2 R multipliziertwerden. Den Wert ¸ nennt man Skalar.

¸a = ¸ ¢

0@ a1

a2

a3

1A =

0@ ¸ ¢ a1

¸ ¢ a2

¸ ¢ a3

1AMan kann die skalare Multiplikation als Strecken oder Stauchendes Vektors interpretieren.

a

2a½ a

-a


Aufgaben


Aufgabe XVI-1

a) Berechne die Summe und die Di®erenzen der beiden Vektorena = (5; 0; 23) und b = (4; 2;¡7).

b) Berechne die Summe und die Di®erenzen der beiden Vektorena = (47;¡8; 0) und b = (3; 42).

Aufgabe XVI-2

Gegeben seien die Vektoren v1 = (1; 2; 3), v2 = (7; 5;¡3) undv3 = (0; 2; 1). Berechne die LÄange des Vektors v = v1 ¡ v2 + 3v3.


Aufgaben


Aufgabe XVI-3

Kannst du entscheiden, ob die Vektoren v1 = (4;¡2; 5) undv2 = (¡2; 4; 0) orthogonal sind?


Skalarprodukt I


Das Skalarprodukt (auch inneres Produkt oder Punktprodukt) isteine weitere Art der Vektormultiplikation. Dabei werden die Vek-toren komponentenweise multipliziert und diese Produkte aufsum-miert:

a ¢ b =

0@ a1

a2

a3

1A ¢

0@ b1b2

b3

1A = a1b1 + a2b2 + a3b3:

Man nennt dies auch die Koordinatenform des Skalarprodukts.


Skalarprodukt II


Anhand des Skalarprodukts zweier Vektoren a und b kann manRÄuckschlÄusse auf den Winkel zwischen diesen beiden Vektorenziehen.

Es gilta ¢ b = 0 () a?b:

In Worten: Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist genau dann 0,wenn die beiden Vektoren senkrecht zueinander (orthogonal) sind.


Skalarprodukt III


Eine andere Art, das Skalarprodukt zu de¯nieren, ist die folgende:

a ¢ b = jaj ¢ jbj ¢ cos®:

² jaj und jbj sind die LÄangen der Vektoren a und b;

² ® ist der zwischen den beiden Vektoren eingeschlosseneWinkel.


Skalarprodukt IV


Aus der Formela ¢ b = jaj ¢ jbj ¢ cos®

kann man RÄuckschlÄusse auf den Winkel zwischen den beiden Vek-toren a und b ziehen:

cos® =a ¢ bjaj ¢ jbj :

Hieraus folgt

® = arccos

μa ¢ bjaj ¢ jbj

¶:


Skalarprodukt V


Abschlie¼end sehen wir uns an, wie die bereits erwÄahnte Koordi-natenform des Skalarprodukts hergeleitet werden kann.

Gegeben seien die beiden Vektoren u = (u1; u2; u3) undv = (v1; v2; v3). ' sei der zwischen u und v eingeschlosseneWinkel.

Nach dem Kosinussatz gilt

jv ¡ uj2 = jvj2 + juj2 ¡ 2jujjvj cos':

Umformen ergibt

jujjvj cos' =1

2

³jvj2 + juj2 ¡ jv ¡ uj2

´:


Skalarprodukt VI


Einsetzen der De¯nition des Skalarprodukts ergibt

u ¢ v =1

2

³jvj2 + juj2 ¡ jv ¡ uj2

´:

Mit der bekannten Formel fÄur den Betrag eines Vektors erhaltenwir:

u ¢ v =1

2

³u2

1 + u22 + u2

3 + v21 + v2

2 + v23

¡ (v1 ¡ u1)2 ¡ (v2 ¡ u2)

2 ¡ (v3 ¡ u3)2´

=1

2

³2u1v1 + 2u2v2 + 2u3v3

´= u1v1 + u2v2 + u3v3:


Kreuzprodukt


Das Kreuzprodukt (auch Äau¼eres Produkt, vektorielles Produktoder Vektorprodukt) ist ebenfalls eine Art, zwei Vektoren a und bzu multiplizieren. Das Resultat ist ein neuer Vektor c, der sowohlsenkrecht zu a (d.h. a?c) als auch senkrecht zu b (d.h. b?c) steht:

c = a£ b =

0@ a1

a2

a3

1A£

0@ b1

b2b3

1A =

0@a2b3 ¡ a3b2a3b1 ¡ a1b3a1b2 ¡ a2b1

1A :

Wichtig: Das Kreuzprodukt ist nur im R3 de¯niert!


Aufgaben


Aufgabe XVI-4

Gegeben sind die folgenden Vektoren a, b und c:

a =

0@ 31¡1

1A ; b =

0@¡152

1A und c =

0@¡6¡22

1Aa) Bestimme a ¢ b, a ¢ c sowie b ¢ c. Welche der Vektoren a, b und

c sind senkrecht zueinander?

b) Bestimme einen Vektor, der sowohl senkrecht zu a als auchsenkrecht zu b ist. Gib diesen als normierten Vektor an.

Kapitel XVII

Geraden


Kapitel XVII: Geraden

Definition I


Eine Gerade oder gerade Linie ist ein Element der Geometrie.Anschaulich kann man sich darunter eine unendlich lange, dÄunneLinie vorstellen.

Eine durch 2 Punkte begrenzte Gerade nennt man Strecke.


Definition II


Beispiel einer Geraden, die durch die Punkte A = (0; 3) und B =(6; 0) verlÄauft:

Durch die Punkte A und B wird zudem die Strecke AB begrenzt.


Darstellungsformen


Eine Gerade kann auf mehrere Arten dargestellt werden:

² die Koordinatenform;

² die Parameterform;

² die Normalenform.


Koordinatenform I


De¯nition

Jede Gerade in der x1; x2-Ebene lÄasst sich durch eine Koor-dinatengleichung

ax1 + bx2 + c = 0

beschreiben, bei der mindestens einer der beiden Koe±zienten aund b ungleich Null ist.


Koordinatenform II


Aufgabe

PrÄufe, ob der Punkt A = (5; 3) auf der Geraden liegt, diedurch die Gleichung

¡x1 + 3x2 ¡ 4 = 0

beschrieben wird.


Koordinatenform III


LÄosung

Der Punkt A hat die Koordinaten (5; 3). Setzt man nunfÄur x1 = 5 und fÄur x2 = 3 ein, so ergibt sich

¡5 + 3 ¢ 3¡ 4 = 0:

Folglich liegt der Punkt A auf der Geraden.

Dieses Verfahren nennt man Punktprobe, da man fÄur einenPunkt testet, ob er auf der Geraden liegt.


Koordinatenform IV


Frage

Wie ¯ndet man die Koordinatenform, wenn lediglich zweiPunkte der Geraden bekannt sind?


Koordinatenform V


Antwort

Man kann es berechnen. Dies geht beispielsweise

² durch Aufstellen der Geradengleichung;

² mit dem Gau¼-(Jordan-)Verfahren;

² Äuber die Parameter- oder Normalenform.

Im Folgenden beschÄaftigen wir uns zunÄachst damit, die Geraden-gleichung aufzustellen.


Geradengleichung I


Jede Gerade kann in der folgenden Form dargestellt werden:

x2 = ax1 + b:

Die Bezeichnungen sind dabei wie folgt:

² x1 und x2 sind die Koordinaten;

² a ist der Anstieg der Geraden;

² b ist die Verschiebung in x2-Richtung.


Geradengleichung II


Wir fÄuhren das Verfahren exemplarisch an dem zuvor verwendetenBeispiel einer Geraden vor.


Geradengleichung III


Den Anstieg der Geraden berechnen wir leicht mit einem Stei-gungsdreieck. Es gilt

a =¢x2

¢x1=

b2 ¡ a2

b1 ¡ a1:

In unserem Beispiel ist dies

a =0¡ 3

6¡ 0= ¡1

2:

Wir kÄonnen die gesuchte Geradengleichung also bereits wie folgtdarstellen:

x2 = ¡1

2x1 + b:


Geradengleichung IV


Es verbleibt nur noch die einfache Aufgabe, b zu bestimmen.

Dazu stellen wir die Gleichung nach b um und setzen einender Punkte A oder B in die Gleichung ein { sie mÄussen ja beidein jedem Fall auf der Geraden liegen.

b =1

2x1 + x2:

Setzt man A ein, ergibt sich

b =1

2¢ 0 + 3 = 3:


Geradengleichung V


Die gesuchte Geradengleichung lautet also

x2 = ¡1

2x1 + 3:

Umstellen ergibt die gesuchte Koordinatenform:

1

2¢ x1 + x2 ¡ 3 = 0:

Alternativ kann diese auch so dargestellt werden:

x1 + 2x2 ¡ 6 = 0:


Aufgaben


Aufgabe XVII-1

Bestimme die Koordinatenform der Geraden, die durch diePunkte P1 = (2; 3) und P2 = (4; 4) verlÄauft.

Aufgabe XVII-2

Bestimme die Koordinatenform der Geraden, die durch diePunkte P1 = (2; 1), P2 = (6; 3) und P3 = (4; 5

2) verlÄauft.


Parameterform I


Eine andere, sehr komfortable MÄoglichkeit, eine Geradedarzustellen, ist die sogenannte Parameterform. Die Gerade wirddabei in der folgenden Form dargestellt:

x = p + t ¢ u (t 2 R):


² p ist der StÄutzvektor ;

² u ist ein Richtungsvektor ;

² t 2 R ist ein beliebiges Skalar.

Diese Darstellung einer Geraden wird auch vektorielle Punkt-Richtungsform genannt.


Parameterform II


Bildlich veranschaulicht bedeutet dies, dass die Gerade durcheinen Punkt auf der Geraden (der StÄutzvektor p) sowie die Rich-tung der Geraden (der Richtungsvektor u) beschrieben wird:


Parameterform III


Wir fÄuhren auch dieses Verfahren exemplarisch an dem bereitsbekannten Beispiel einer Geraden vor.


Parameterform IV


Als StÄutzvektor kÄonnen wir beispielweise den Vektor¡!0A verwen-

den, als Richtungsvektor den Vektor¡¡!AB. Es ergibt sich

x =

μx1

x2

¶=

μ03

¶+ t

μ6¡ 00¡ 3

¶=

μ03

¶+ t

μ6¡3

¶(t 2 R):

Die gesuchte Gerade in Parameterform lautet also

x =

μx1

x2

¶=

μ03

¶+ t

μ6¡3

¶(t 2 R):

Durch entsprechende Werte fÄur die Variable t kann jeder Punktder Geraden dargestellt werden.


Normalenform I


Die letzte hier behandelte Art, eine Gerade darzustellen, ist dieNormalenform. Dabei wird die Gerade unter Zuhilfenahme einerNormale dargestellt { also mit einem zur Gerade senkrechten Vek-tor. Es gilt

n ¢ (x¡ p) = 0:


² n ist die Normale;

² p ist ein fester Punkt auf der Gerade;

² x ist der zu prÄufende Punkt.

Wichtig: Die Normalenform einer Geraden existiert nur im R2.


Normalenform II


Eine alternative Schreibweise erhÄalt man, wenn man in

n ¢ (x¡ p) = 0

n und p ausmultipliziert. Es folgt

n ¢ x + c = 0:


² n ist die Normale;

² x ist der zu prÄufende Punkt;

² c ist ein konstanter Wert, der fÄur alle Punkte der Geradengilt.


Normalenform III


Wir fÄuhren auch dies wieder an unserem bisher verwendetenBeispiel vor { unter BerÄucksichtigung der Ergebnisse der Darstel-lung in Parameterform.


Normalenform IV


FÄur einen zweidimensionalen Vektor v =

μv1

v2

¶ist stets jedes

Vielfache des Vektors

μ¡v2

v1

¶ein Normalenvektor von v, denn

es gilt μv1

v2

¶¢μ¡v2

v1

¶= ¡v1v2 + v1v2 = 0:


Normalenform V


Nach Bestimmung einer Normalen zum Richtungsvektor

μ6¡3

¶ergibt sich die folgende Normalenform:μ

36

¶¢ x + c = 0:

Einsetzen eines Punktes der Geraden und Ausrechnen von c ergibt

c = ¡μ

36

¶¢μ

03

¶= ¡(3 ¢ 0 + 6 ¢ 3) = ¡18:


Normalenform VI


Der berechnete Wert c ist fÄur jeden Punkt der Geraden identisch.

FÄur die Normalenform der Geraden ergibt sichμ36

¶¢ x¡ 18 = 0:


Aufgaben


Aufgabe XVII-3

Bestimme die Parameter- und Normalenform der Geraden,die durch die Punkte P1 = (2; 3) und P2 = (4; 4) verlÄauft.


Ergänzungen zur Parameterform I


Die besprochene Parameterform ging bisher stets von einem t 2 Raus:

x = p + t ¢ u (t 2 R):

Es ist jedoch ohne Weiteres mÄoglich, t einzuschrÄanken.

Beispielsweise kann t auf ein uneigentliches IntervalleingeschrÄankt werden (beispielsweise t > 1 oder t · ¡2).In diesem Fall stellt die Parameterform eine Halbgerade dar.

t kann au¼erdem auf ein endliches Intervall eingeschrÄanktwerden (beispielsweise 0 · t · 1). Dann wird durch dieParameterform eine Strecke dargestellt.


Ergänzungen zur Parameterform II


Beispiel

Gesucht ist die Parameterdarstellung der Strecke PQ fÄur0 · t · 1. Es gilt:μ

x1

x2

¶=

μp1

p2

¶+ t

μq1 ¡ p1

q2 ¡ p2

¶=

μp1

p2

¶+ t

μq1

q2

¶¡ t

μp1

p2

¶= t

μq1

q2

¶+ (1¡ t)

μp1

p2

¶(0 · t · 1)


Ergänzungen zur Parameterform III


Die gesuchte Parameterform lautet alsoμx1

x2

¶= t

μq1

q2

¶+ (1¡ t)

μp1

p2

¶(0 · t · 1):

Durch Vertauschen von P und Q ergibt sich analogμx1

x2

¶= t

μp1

p2

¶+ (1¡ t)

μq1

q2

¶(0 · t · 1):


Umrechnung zwischen den Darstellungen


Die Umrechnung zwischen den einzelnen Darstellungen einerGeraden funktioniert analog zu den in Kapitel XVIII ausfÄuhrlichbesprochenen Umformungen zwischen den Darstellungen einerEbene.

Hier werden sie aus diesem Grund nicht weiter besprochen.

Kapitel XVIII

Ebenen


Kapitel XVIII: Ebenen

Definition


Die Ebene ist ein Grundbegri® der Geometrie. Allgemein handeltes sich um ein unbegrenzt ausgedehntes, °aches, zweidimension-ales Objekt.

² Hierbei bedeutet unbegrenzt ausgedehnt und °ach, dass zuje zwei Punkten auch eine durch diese Punkte verlaufendeGerade vollstÄandig in der Ebene liegt.

² Zweidimensional bedeutet, dass { abgesehen von enthalte-nen Geraden { kein echter Teilraum ebenfalls diese Eigen-schaft hat.


Darstellungsformen


Analog zur Geraden kann auch eine Ebene auf mehrere Artendargestellt werden:

² die Koordinatenform;

² die Parameterform;

² die Normalenform.

Diese sind im Wesentlichen analog zu den bereits bekanntenDarstellungsformen von Geraden.


Koordinatenform I


De¯nition

Jede Ebene im R3 lÄasst sich durch eine Koordinatengleichung

ax1 + bx2 + cx3 + d = 0

beschreiben, bei der mindestens einer der drei Koe±zienten a, bund c ungleich Null ist.


Koordinatenform II


Durch Einsetzen der Koordinaten eines Punktes P in die Koordi-natenform kann wieder ÄuberprÄuft werden, ob der Punkt P in derEbene liegt oder nicht (Punktprobe).

Beispiel

Der Punkt P = (1; 2; 3) liegt nicht in der Ebene, die durch

3x1 ¡ x2 + x3 ¡ 7 = 0

gegeben ist, denn: Setzt man P in diese Gleichung ein, ergibt sich

3 ¢ 1¡ 2 + 3¡ 7 = ¡3 6= 0:


Koordinatenform III


Die Koordinatenform einer Ebene kann { analog zur Koordinaten-form von Geraden { wie folgt bestimmt werden:

² mit dem Gau¼-(Jordan-)Verfahren;

² Äuber die Parameter- oder Normalenform.


Parameterform I


Eine andere, sehr komfortable MÄoglichkeit, eine Ebenedarzustellen, ist die Parameterform. Die Ebene wird dabei inder folgenden Form dargestellt:

x = p + s ¢ u + t ¢ v (s; t 2 R):


² p ist der StÄutzvektor ;

² u und v sind zwei Spannvektoren;

² s; t 2 R sind beliebige Skalare.

Diese Darstellung einer Ebene wird auch Vektorielle Punkt-Richtungsform genannt.


Parameterform II


Bildlich veranschaulicht bedeutet dies, dass die Ebene durch einenPunkt in der Ebene (der StÄutzvektor p) sowie 2 Vektoren (dieSpannvektoren u und v) beschrieben wird.

Die Abbildung wurde dem Gramlich entnommen.


Parameterform III


Wir fÄuhren an einem Beispiel exemplarisch vor, wie die Parame-terform erstellt werden kann.

Aufgabe

Gesucht ist die Parameterform der Ebene, die die folgendenPunkte enthÄalt:

A = (1; 1; 3); B = (2; 4; 0) und C = (5; 0;¡1):


Parameterform IV


Eine mÄogliche Darstellung mittels StÄutz- und Spannvektoren fÄurbeliebige Punkte A, B und C kann man wie folgt erhalten:

v =¡!0A + s ¢ ¡¡!AB + t ¢ ¡!AC

=

0@a1

a2

a3

1A + s

0@b1 ¡ a1

b2 ¡ a2

b3 ¡ a3

1A + t

0@c1 ¡ a1

c2 ¡ a2

c3 ¡ a3

1A (s; t 2 R):


Parameterform V


FÄur unser Beispiel ergibt sich

v =

0@113

1A + s

0@2¡ 14¡ 10¡ 3

1A + t

0@ 5¡ 10¡ 1¡1¡ 3

1A=

0@113

1A + s

0@ 13¡3

1A + t

0@ 4¡1¡4

1A (s; t 2 R):

Eine mÄogliche Parameterform fÄur die gesuchte Ebene lautet also

v =

0@113

1A + s

0@ 13¡3

1A + t

0@ 4¡1¡4

1A (s; t 2 R):


Normalenform I


Die letzte hier behandelte Art, eine Ebene darzustellen, ist dieNormalenform. Dabei wird die Ebene unter Zuhilfenahme einerNormalen { eines zur Ebene senkrechten Vektors { dargestellt. Esgilt (analog zu Geraden):³

x¡ p´¢ n = 0 oder n ¢ x + d = 0:


² n ist eine Normale der Ebene;

² x ist ein (vermeintlicher) Punkt in der Ebene;

² p ist ein beliebiger Punkt der Ebene;

² d ist ein konstanter Wert, der fÄur alle Punkte der Ebene gilt.

Wichtig: Die Normalenform einer Ebene existiert nur im R3.


Normalenform II


Bildlich kann man sich die Normalenform einer Ebene wie folgtvorstellen.

Die Abbildung wurde dem Gramlich entnommen.


Normalenform III


Besitzt man die Parameterform der Ebene, lÄasst sich eine Normalesehr einfach berechnen. Sie ist nichts anderes als das Kreuzpro-dukt der beiden Spannvektoren.


Aufgaben


Aufgabe XVIII-1

Bestimme die Parameter- und Normalenform der Ebene, diedurch die Punkte A = (3; 4; 5), B = (0;¡1; 2) und C = (1; 0; 2)beschrieben wird.


Umrechnung zwischen den Darstellungen I


Parameterform ! Koordinatenform

Die Umrechnung der Parameterform in die Koordinaten-form ist relativ einfach. Man betrachtet die Parameterform inder folgenden Weise:

x =

0@x1

x2

x3

1A =

0@p1

p2

p3

1A + s

0@u1

u2

u3

1A + t

0@v1

v2

v3

1A=

0@p1 + su1 + tv1

p2 + su2 + tv2

p3 + su3 + tv3

1A (s; t 2 R):


Umrechnung zwischen den Darstellungen II


Hieraus bekommt man sofort das folgende Gleichungssystem:

x1 = p1 + su1 + tv1

x2 = p2 + su2 + tv2

x3 = p3 + su3 + tv3

Stellt man zwei der Gleichungen nach den Parametern s und t umund setzt diese in die verbleibende Gleichung ein, erhÄalt man dieKoordinatenform.


Umrechnung zwischen den Darstellungen III


Aufgabe

Stelle die in Parameterform gegebene Ebene in Koordinatenformdar.

x =

0@123

1A + s

0@ 01¡1

1A + t

0@121

1A (s; t 2 R)

Hieraus ergeben sich die folgenden Gleichungen:

x1 = 1 + t

x2 = 2 + s + 2t

x3 = 3¡ s + t


Umrechnung zwischen den Darstellungen IV


Umstellen der ersten Gleichung nach t ergibt

t = x1 ¡ 1:

Umstellen der zweiten Gleichung nach s und Einsetzen von t ergibt

s = x2 ¡ 2¡ 2t

= x2 ¡ 2¡ 2(x1 ¡ 1)

= x2 ¡ 2x1:


Umrechnung zwischen den Darstellungen V


Einsetzen von s und t in die dritte Gleichung ergibt

x3 = 3¡ (x2 ¡ 2x1) + (x1 ¡ 1)

= 2¡ x2 + 3x1:

Die gesuchte Koordinatenform lautet also

¡3x1 + x2 + x3 ¡ 2 = 0:


Umrechnung zwischen den Darstellungen VI


Koordinatenform ! Parameterform

Die Umrechnung der Koordinatenform in die Parameter-form kann folgenderma¼en erledigt werden:

Durch Einsetzen von beliebigen Werten x1, x2 und Berech-nen des Wertes x3 kann man leicht 3 Punkte der Ebenebestimmen, aus denen man dann einfach die Parameterform derEbene bestimmen kann.


Umrechnung zwischen den Darstellungen VII


Normalenform ! Koordinatenform

Zur Umrechnung der Normalenform in die Koordinatenformkann man einen einfachen Trick verwenden.

Die Werte des Normalenvektors sind die Koe±zienten vonx1, x2 und x3. Aus 0@n1

n2

n3

1A ¢

0@x1

x2

x3

1A + d = 0

wird alson1x1 + n2x2 + n3x3 + d = 0:


Umrechnung zwischen den Darstellungen VIII


Koordinatenform ! Normalenform

Diese Umrechnung funktioniert analog zur Umrechnung derNormalenform in die Koordinatenform.

Die Koe±zienten von x1, x2 und x3 sind die EintrÄage desNormalenvektors. Aus

n1x1 + n2x2 + n3x3 + d = 0

wird also 0@n1

n2

n3

1A ¢

0@x1

x2

x3

1A + d = 0:


Umrechnung zwischen den Darstellungen IX


Parameterform ! Normalenform

Diese Umrechnung erfordert etwas mehr Rechenaufwand,ist aber nicht sonderlich schwer.

ZunÄachst wird aus der Parameterform die Koordinatenformerstellt. Aus dieser kann man die Normalenform dann unmittel-bar ablesen.

Alternativ kann der Normalenvektor auch als Kreuzproduktder beiden Spannvektoren berechnet werden. Als ¯xer Punkt derEbene kann der StÄutzvektor verwendet werden.


Umrechnung zwischen den Darstellungen X


Normalenform ! Parameterform

Diese Umrechnung erfolgt analog zur Umrechnung der Pa-rameterform in die Normalenform.

ZunÄachst wird aus der Normalenform die Koordinatenformerstellt. Aus dieser kann man dann die Parameterform erstellen.


Aufgaben


Aufgabe XVIII-2

Stelle die folgende Ebene in Parameter- und Normalenformdar:

2x1 + x2 ¡ x3 + 4 = 0:

Aufgabe XVIII-3

Gib die folgende Ebene in Parameterdarstellung an:0@ 1¡20

1A ¢

0@0@x1

x2

x3

1A¡

0@ 2¡13

1A1A = 0:

Kapitel XIX

Wiederholungen


Kapitel XIX: Wiederholungen

Aufgaben


Aufgabe XIX-1

Vereinfache die folgenden Terme soweit wie mÄoglich.

a) loga

2bb) log

a

b2¡log b¡1+log

a2

b¡1c) log

3p

a2¡log a+2 log1

7a

Aufgabe XIX-2

Vereinfache die folgenden Terme soweit wie mÄoglich.

a) a¡3a3a¡1 b)(x4z3)

2

x6z2c)

7a4b¡6

49a8b¡3


Aufgaben


Aufgabe XIX-3

Bestimme x!

a)

Ãμ1

2

¶0;5!x

=1

8b)

³9

12

´x

=1

9c)

¡0; 40;25

¢x= 0; 4

Aufgabe XIX-4

Beschreibe in deinen Worten, was die folgende Aussage be-deutet: "Die trigonometrischen Funktionen sind periodisch". GibfÄur die folgenden Funktionen die PeriodenlÄange an:

sinx cos (2x) sin

μ1

3x

¶


Aufgaben


Aufgabe XIX-5

Bestimme die LÄosungen der folgenden Gleichungen.

a) 2x2+3

2x¡2 = 0 b) x2+3x¡1 = x¡3 c) x3+2x2¡x¡2 = 0

Aufgabe XIX-6

Gegeben sind die folgenden beiden Vektoren

a =

0@123

1A und b =

0@20x

1A :

Bestimme x derart, sodass a?b gilt!

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Wintersemester 2013/14 Teil 4 - mathe.stevenkoehler.demathe.stevenkoehler.de/wp-content/files/ws2013_14/... · Im allgemeinen Sinn versteht man in der linearen Algebra unter einem