ws0910 10 Mechanik Viskosit t Schwingungen MF · EP WS 2009/10 Dünnweber/Faessler z v FR A ∆ ∆ =−η⋅⋅ Strömung viskoser Flüssigkeiten und Gase Innere Reibung (Kohäsionskräfte)

EP WS 2009/10 Dünnweber/Faessler

I. Mechanik

6. Hydro- und Aerodynamik

a) Kontinuitäts- und Bernoulli-Gleichung

b) Definition von Viskosität Hagen-Poiseuille - und Stokes - Gesetz

7. Schwingungen

Versuche:Druckabfall im Rohr mit viskoser laminarer StrömungVon laminarer zu turbulenter StrömungPendel mit zwei LängenSandpendel ohne/mit Dämpfung

10.Vorlesung EP WS2009/10


z

vAFR ∆

∆⋅⋅η−=

Strömung viskoser Flüssigkeiten und Gase

Innere Reibung (Kohäsionskräfte) behindert Bewegung der Teilchen in Fluiden. Betrachte zunächst „laminare“ Strömung (keine Wirbel):Flüssigkeitsschichten gleiten aneinander vorbei und üben Schubspannung F/Aauf benachbarte Schichten aus. Ist Adhäsion zur Wand größer als innere Kohäsion, so haftet die an die Wand angrenzende Schicht (v=0). Andernfalls bewegt sie sich reibend an der Wand (→äußere Reibung). Die innere Reibungskraft ist proportional zum

Geschwindigkeits- Gradienten ∆v/∆z:

Definition der Viskositätüber die Reibungskraft:

Materialkonstante η η η η ====„Viskosität“

b) Viskosität


Maßeinheit von ηηηη ergibt sich zu [Pa · s] (Pascalsekunde) =

2m

Ns

Zahlenwerte für ηηηη bei 20°C in Einheiten von [Pa · s]:

4,4·10-32·10-510-3~ 1ηηηηBlutLuftWasserÖlStoff

Flüssigkeiten mit ηηηη unabhängig von ∆∆∆∆v/∆∆∆∆z heißen Newtonsche Flüssigkeiten. Blut ist eine nicht-Newtonsche Flüssigkeit (oben ist der Mittelwert seiner Viskosität eingetragen).

Druckdifferenz ∆p= p1-p2 = FR/A ist nötig, um konstanten Volumenstrom I = ∆V/∆t z.B. durch ein Rohr zu erreichen. Für Newtonsche Flüssigkeiten und laminare Strömung gilt

p1 p2

mit Rs= Strömungswiderstand, der von Rohrgeometrieund Viskosität abhängt. Damit ergibt sich ein Druckgefälle beim Durchströmen eines Rohrsystems, siehe Bild u Versuch:

∆∆∆∆p = RsI


Bei gleichmäßiger Strömung ist der

Druckabfall im Rohr linear, vom

Maximalwert am Eingang bis Minimalwert

Am Ausgang der Rohrs : Versuch 1

Bei hohen Geschwindigkeiten v> vk geht die

laminare in turbulente Strömung über.

Kritische Geschwindigkeit:

vk≈ 1000 η/ρr

mit r = Rohrradius. Strömungswiderstand Rs

nimmt mit v zu, etwa prop. v2.

I = ∆∆∆∆V/∆∆∆∆t = pR

1

s

∆

Versuch 2


Der gesamte Volumenstrom I = V/t ist

•proportional zur Druckdifferenz ∆p = p1-p2

•umgekehrt proportional zur Viskosität η

•und umgekehrt proportional zur Rohrlänge L

•proportional zur vierten Potenz des Radius R

Strömung nach Hagen-Poiseuille

Strömt ein viskoses Fluid durch ein Rohr (z.B.Ader), so

bildet sich eine parabolische Geschwindigkeitsver-

teilung aus u(r) ~ (R-r)2 =0 an Wand, maximal in Mitte

Strömungswiderstand :RS = (p1-p2) /I = (8ηL/πR4)


Folgen der R4 - Abhängigkeit des Volumenstroms I im Alltag

Bei Verengung des Rohrs, z.B. Ader, entweder starke Stromreduzierung oder zur Kompensation starke Druckerhöhung notwendig ...


Blutkreislauf

•Blutkreislauf ist parallel angelegt, Lungen- und Körperkreislauf aber in Serie

•Gesamtquerschnittsfläche der Kapillaren ist ca. 1000-fach größer als in der Aorta, also die Geschwindigkeit entsprechen kleiner

•Druckabfall erfolgt in den Kapillaren mit kleinem Radius

Druck

Gesamt-Querschnitt

mittlere Geschwindig-keit

Arterien Kapillaren Venen


•Druckabfall erfolgt in den Kapillaren mit kleinem Radius •Um Hagen-Poiseuille zu entschärfen, hat Evolution (genial wie immer) Weg gefunden: Viskosität des Bluts in den Kapillaren wird reduziert durch Form und Ordnung der roten Blutkörperchen (Fahraeus-Lindquist Effekt)

Rote Blutkörperchen in einer

Glaskapillare von 10 µm Durchmesser

Ordnung der roten

Blutkörperchen reduziert

Strömungswiderstand

Arterien, Venen

Kapillaren

dz

dv~

= Druck


Bemerkung zum Blutkreislauf beim Menschen

Typische Drucke im Blutkreislauf:

Lungenkreislauf p = 10 bis 20 Torr

Körperkreislauf p = 70 bis 140 Torr

Gesamt-Blutvolumenstrom gepumpt: ca. 5 Liter/Minute

Durchmesser: Aorta ca. 2,5 cm. Gesamtquerschnitt der verzweigten Blut-

gefäße (Kapillaren) = 1000 mal Querschnitts der Aorta.

Aus Querschnittsvergrößerung und Kontinuitätsgleichung folgt:

Geschwindigkeit in den Kapillaren = 1/1000 Geschwindigkeit in der Aorta.

Geschwindigkeit in den Kapillaren ist 0,3 mm/sek.

Kleiner Radius in den Kapillaren ergibt sehr hohen Widerstand, d.h. der

Druckabfall erfolgt im Wesentlichen in den dünnen Blutgefäßen.

Beim gesunden Körper ist die Blutströmung im allgemeinen laminar (Aus-

nahme Herzklappen). Beim kranken Körper treten durch Ablagerungen an

den Blutgefäßen turbulente Strömungen auf, die hörbar werden. Blutverteilung im Körper kann sich über die Radiusänderung der Adern ändern.

Im Körperkreislauf variiert der Blutdruck zwischen der Systole (Kontraktion des

Herzens) mit ca. 140 Torr und der Diastole mit 80 Torr (Rückbewegung im

Herzen). Die Aorta ist elastisch und gleicht Druckschwankungen, die von der

Pumpe Herz erzeugt werden, aus.


Blutdruckmessung

•Druck in einer großen Arterie ist etwa gleich dem in der Aorta•Abdrücken des Blutflusses mit Manschette bis kein Puls mehr spürbar•Druckablassen bis Turbulenzgeräusche hörbar (systolischer Druck)•Ablassen bis Turbulenzgeräusche verschwinden, das Blut zirkuliert jetztlaminar (diastolischer Druck)


Kugelfallviskosimeter:

Stokes’sches Reibungsgesetz: FR = 6π η r v

Schwerkraft (-Auftrieb) FG beschleunigt ~ ρ r3

Konstante Sinkgeschwindigkeit, wenn

FR = - FG. ��

v prop. zum Quadrat des Radius

Medizin: Messung der Blutsenkung (Sinkgeschwindigkeit der imBlutplasma suspendierten roten Blutkörperchen), durch Agglomeration bei Infektionen reduziertalternative Meßmethoden: Kapillarviskosimeter

Rotationsviskosimeter

h

Viskositätsmessung


Neues Kapitel: 7.Schwingungen


SchwingungenSchwingung: räumlich und zeitlich wiederkehrender (=periodischer) VorgangZu besprechen:•ungedämpfte freie Schwingung•gedämpfte freie Schwingung•erzwungene gedämpfte Schwingung

FR = −Dx

M a = −Dx

Ungedämpfte freie SchwingungenBeispiel Federpendel(a) in Ruhe(b) gespannt: Auslenkung xRückstellkraft der Feder

(c) losgelassen

Bewegung erfolgt nach den bekannten Gesetzen:

(2. Newton Axiom F= Ma und Federkraft: F = -Dx)

7. Schwingungen

a)

b)

c)


Dies ist eine „Differentialgleichung“ !!! Beweis:

a =dv

dtv =

dx

dtergibt a =

d2x

dt 2

(In unserer Schreibweise mit endlichen Differenzen ∆ :

a =∆v

∆t v =∆x

∆tergibt a =

∆∆x

∆t

∆t

Damit erhält man

Md2x

dt 2 + Dx = 0

eine Differentialgleichung. Die Lösung muß eine Funktion x(t) sein, deren 2. Ableitung

entgegengesetzt proportional zur Funktion ist: d2x/dt2 ~ –x

;

;„a ist die zweite Ableitung von x

nach der Zeit t“

)

( * )


Lösungsansatz:

x t( )= A0 cos ω0 t + ϕ0( )„harmonische Schwingung“

x(t) ≡ momentane Auslenkung

A0 = maximale Auslenkung = maximale Amplitude

φ(t): = ω0t + φ0=Phase der Schwingung, wobei Anfangsphase φ0

beliebig.

0dt

d ω=ϕ= Kreisfrequenz

T

1

2f 0

0 =π

ω=→ ist Frequenz der Schwingung.

T ist die Periode der Schwingung

(Sinusfunktion wäre auch möglich.)(**)

dcos (x)/dx = -sin(x); dsin(x)/dx = cos(x) � d2 cos(x) /dx2 = -cos(x)


Setzt man (**) in (*) ein und verwendet, dass

d(sin(ω 0t)

dt= ω0 cos(ω0t)

undd(cos(ω 0t)

dt= −ω0 sin(ω0t)

ist, so erhält man:

-Mω02 cos(ω0t + ϕ0) + D cos(ω0t + ϕ0) = 0. Daraus folgt:

ω0 =D

M

Maximalamplitude A0 ist beliebig und hängt nur von der Anfangsbedingung

ab. Graphische Darstellung der Lösung:

Wenn die Kraft auf einen Körper proportional zur Auslenkung aus der Ruhelage ist, vollführt er eine harmonische Schwingung.

x(t) =A0 cos(ωt + φ0)

= A0 cos(φ(t))


Anderes Beispiel: SchwerependelIdealfall „mathematisches Pendel“: Punktmasse m, Faden masselos

(sonst: „physikalisches Pendel“)

F´ = -FFaden

Es ergibt sich für die Lösung der entsprechenden Differentialgleichung. Ebenfalls cosinus (oder sinus) –Funktion, für Winkel α(t) = A0 cos (ω• t):

ω = √ (g/l)

g = Erdbeschleunigung, l = Pendel-Länge

Versuch 3


Gedämpfte SchwingungZusätzlich zur Rückstellkraft (-D·x) wirkt eine Reibungskraft (-γ·v=- γ·dx/dt)

z.B. Stokesche Reibung bei Schwingung in Flüssigkeit oder Gas.

Kräftegleichung (Differentialgleichung)

0Dxdt

dx

dt

xdM

2

2

=+

γ+

Ansatz: x(t) = A0e-δt cos(ω t + φ0)

Diese Funktion erfüllt die Gleichung und ergibt δ=γ/(2M) und ω = 220

2

M

D δ−ω=δ−

Im Vergleich mit der ungedämpften Schwingung (s.o., )

ist die Schwingung langsamer und nimmt exponentiell ab.

M/D0 =ω=ω

Versuch Sandpendelmit Styroporplatte

„Einhüllende“ e-δt mit „Dämpfungs-

faktor“ δ

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