x x x =x ±∆x Einheit - Technische Fakultät - Kiel · Nr. I [A] ∆∆∆I [A] U [V] ∆∆∆∆U [V] R [ ΩΩΩΩ] ∆∆∆∆R [ΩΩΩΩ] ∆∆∆R² [ΩΩΩ²] g=1/ ∆∆∆R²

Kai Dolgner, Technische Fakultät der Universität Kiel, cma 1

Physikalische Messungen sind immer fehlerbehaftet!

Der wahre Wert ist nicht ermittelbar.

Der wahre Wert x ist nicht identisch mit dem Mittelwert

Der Wert x liegt mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit (Konfidenzahl bzw. Vertrauensniveau in %) im durch die Messunsicherheit bestimmten Intervall(Vertrauensintervall, Konfidenzintervall):

Deshalb werden Ergebnisse immer in der folgenden Form angegeben:

xx ∆− xx ∆+x

[ ]Einheitxxx ∆±=


Fehlerarten

Systematische Fehler •sind häufig sehr schwer zu erkennen•verfälschen den Messwert immer in eine Richtung (entweder immer zu großer oder immer zu kleinerWert)•lassen sich nicht durch statistische Verfahren eliminieren

Zufällige Fehler•sind trotz Ausschalten aller systematischer Fehler vorhanden•führen zu einer Streuung der einzelnen Messwerte•lassen sich durch Anwendung statistischer Verfahren (wie der Fehlerrechung)ermitteln.


Der Mittelwert

Erwartungstreue Schätzfunktion

für den Mittelwert:

=

=n

iix

nx

1

1

Bei normalverteilten Meßwerten

gilt nach unendlich vielen Messungen:

∞

=

∞

=

=∆=−11

0)(i

ii

i xxx


Standardabweichung

Erwartungstreue Schätzfunktion für die Standardabweichung s:

=

−−

=n

ii xx

ns

1

)²(1

1

Die Standardabweichung ist ein Maß für das Streuen der einzelnen Messwerte um den Mittelwert. Sie wird üblicherweise mit einem s bezeichnet. Je kleiner dieStandardabweichung ist, desto weniger streuen die Messwerte.

Sie ist nicht die Vertrauensgrenze, wenn sie auch bei einem Vertrauensniveau von 95% und einer Stichprobengröße von 5-10 Stichproben die gleiche Größenordnunghat.


Die Gaußverteilung

Anhand der Gaußverteilung wird deutlich, daß die Standardabweichung ein Maß für die Peakbreite ist.


Mit der einer Erhöhung der Stichprobengrößen, wird die Verteilungsfunktion aber nicht schmaler, sondern der Erwartungswert für die Standardabweichung s nähert sich der wahren Standardabweichung σ an. Zudem nähert sich die gemessene Verteilungsfunktion der Gaußverteilung an, so daß der Mittelwert als Maximum der Gaußverteilung exakter bestimmbar ist. Die um die Stichprobengröße n korrigierte Standardabweichung wird deshalb auch u.a. Standardabweichung des Mittelwertes m bezeichnet (Anm.: Die Begriffe in der beurteilenden Statistik werden leider nicht einheitlich verwendet, deshalb sollten Sie sich immer die Definitionen des jeweiligen Autoren genau angucken.)

n

sm =


Der Vertrauensbereich

Nach wie vor interessiert eigentlich der Vertrauensbereich der Messung (die Meßunsicherheit ∆x). Theoretisch kann der zu bestimmende Wert von x aber jede beliebige Zahl sein, da die Normalverteilung sich asymptotisch der Abszisse nähert. Wir müssen also ein Vertrauensniveau festlegen, d.h. eine Wahrscheinlichkeit, mit der sich der wahre Wert x im Vertrauensintervall befindet. Statt eines Vertrauensniveaus in % (z.B. 95 %), wird auch die Konfidenzzahl (z.B. 0,95) oder auch die statistische Sicherheit (z.B. zweifach) verwendet. Der Zusammenhang ergibt sich aus den folgenden Integralen:

xx ∆±


Weiterhin muß berücksichtigt werden, daß die Stichprobenverteilung nur bei n ∞ in die Gaußverteilung übergeht. Bei n < 100 muß eine weitere Korrektur eingeführt werden. Gewünschtes Vertrauensniveau und Stichprobengröße fließen über einen tabellierten Korrekturfaktor τ in die Angabe des Vertrauensintervalls ein:

mxx ⋅±= τ

Vertrauensniveau 68,27 % 95 % 99,73 %

Statistische Sicherheit

1 2 3

3 1,32 4,3 19,2

5 1,15 2,8 6,6

10 1,06 2,3 4,1

20 1,03 2,1 3,4

30 1,02 2,05 3,3

100 1,00 2,0 3,1 1 2 3


Beispiel: Vermessung eines Bindfadens

Es soll ein Bindfaden vermessen werden, die wahre Länge ist unbekannt

0

1

2

3

4

5

6

8,9 9 9,1 9,2 9,3 9,4 9,5 9,6 9,7 9,8 9,9 10 10,1 10,2 10,3 10,4

Gemessene Länge in cm

Anz

ahl d

er M

essu

ngen


=

=n

iix

nx

1

1Mittelwert:

=

≈⋅==30

1

68,93,29030

1

30

1

ii cmcmxx

Standardabweichung: =

−−

=n

ii xx

ns

1

)²(1

1

cmcmcmxsi

i 34,0²414,329

1)²68,9(

29

1 30

1

=⋅=−= =


Standardabweichung des Mittelwertes:n

sm =

cmcm

m 062,030

34,0 ==

Für ein Vertrauensniveau von 95 % und n=30 ist τ=2,05:

cmcmmxx 1,07,912,068,9062,005,268,9 ±≈±=⋅±=⋅±= τ

Für ein Vertrauensniveau von 99,73 % und n=30 ist τ=3,3:

cmcmmxx 2,07,920,068,9062,03,368,9 ±≈±=⋅±=⋅±= τ


Fehlerfortpflanzung

Viele physikalische Größen können nicht direkt gemessen werden, deshalb muß man zunächst die Meßunsicherheit der gemessenen Größen kennen (selbst Statistik betreiben oder den Herstellerangaben vertrauen). Wenn Sie die Angaben der Hersteller verwenden, sollte man gerade bei mechanischen Anzeigen wie Skalen, mögliche Ablesefehler des Experimentators berücksichtigen). Der Fehler ist immer mindestens so hoch, wie die Anzeiggenauigkeit des Gerätes! Die Meßunsicherheit einer berechneten Größe erhalten Sie über die Gaußsche Fehlerfortpflanzung

∆⋅

∂∂=∆

ii

i

xx

xx 2

2


Beispiel:

24

22

2

22

22

21

1

;;2;

II

UU

IR

II

RU

U

RR

IxUxiRxI

UR

∆+∆=∆

∆⋅

∂∂+∆⋅

∂∂=∆

====

=


Gewogener Mittelwert

Wenn verschiedene Messwerte aus geänderten Versuchbedingungen zusammengefasst werden sollen, die unterschiedliche Messunsichheiten haben, empfiehlt sich die Ermittlung eines gewogenen Mittelwertes und einer gewogenen Meßunsicherheit

lfd. Nr.

I [A] ∆∆∆∆I [A] U [V] ∆∆∆∆U [V]

R [ΩΩΩΩ] ∆∆∆∆R [ΩΩΩΩ]

∆∆∆∆R²[ΩΩΩΩ²]

g=1/∆∆∆∆R²[ΩΩΩΩ−−−−²]

1 1,02 0,06 0,99 0,03 0,970,064 0,0041

242

2 1,98 0,06 2,04 0,03 1,030,035 0,0012

830

3 3,20 0,2 2,91 0,03 0,910,058 0,0033

301

4 4,00 0,2 3,90 0,1 0,980,055 0,0030

333

5 6,00 0,2 4,00 0,1 0,670,028 0,0008

1296


Einfacher Mittelwert

Einfacher Mittelwert der Mittelwerte: Ω== =

97,01

1

n

iiR

nR

Ω=−−

= =

049,0)²(1

1

1

n

ii RR

nsStandardabweichung:

Mit 95 % Vertrauensniveau folgt:

Ω±Ω=Ω⋅±Ω=∆±= 08,097,02

049,018,397,0RRR


Gewogener Mittelwert

Ω≈Ω=⋅

=

=

= 99,01706

1690

1

111

n

ii

n

i

g

gRR

Ω≈⋅

=∆

=

04,018,3

1

n

iign

R


Alles nur geklaut

Und zwar hauptsächlich hier:

http://sin04.informatik.uni-bremen.de/cvpmm/content/fehlerrechnung/show.pl?modul=2

Dr. Stefan Käding und Dr. Elgar [email protected]

und von


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