XII Infinit ¥. David Hilbert (1862 - 1943) Aus dem Paradies, das Cantor für uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können.... seine Theorie der transfiniten

XII

Infinit

David Hilbert (1862 - 1943)

Aus dem Paradies, das Cantor für uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können.

... seine Theorie der transfiniten Zahlen; diese erscheint mir als die bewundernswerteste Blüte mathematischen Geistes und überhaupt eine der höchsten Leistungen rein verstandesmäßiger menschlicher Tätigkeit.

Fast alle heute lebenden Mathematiker akzeptieren Cantors transfinite Mengenlehre als Grundlage der Mathematik.

David Hilbert (1862 - 1943): Über das Unendliche

Zu Cantors transfiniten Zahlen gelangen wir also einfach durch ein Hinüberzählen über das gewöhnliche abzählbare Unendlich, d. h. durch eine ganz naturgemäße und eindeutig bestimmte, konsequente Fortsetzung des gewöhnlichen Zählens im Endlichen.

... als ob es schon irgend jemandem einmal gelungen wäre, unendlich viele Schlüsse auszuführen.

n n + 1Zuletzt wollen wir wieder unseres eigentlichen Themas gedenken und über das Unendliche das Fazit aus allen unseren Überlegungen ziehen: Das Gesamtergebnis ist dann:

eine bemerkenswerte Harmonie zwischen Sein und Denken.

das Unendliche findet sich nirgends realisiert; es ist weder in der Natur vorhanden, noch als Grundlage in unserem verstandesmäßigen Denken zulässig -

Carl Friedrich Gauß (1777 - 1855)

"... so protestiere ich zuvörderst gegen den Gebrauch einer unendlichen Größe als einer Vollendeten, welcher in der Mathematik niemals erlaubt ist. Das Unendliche ist nur eine Facon de parler, indem man eigentlich von Grenzen spricht, denen gewisse Verhältnisse so nahe kommen als man will, während anderen ohne Einschränkung zu wachsen verstattet ist."

Karl Weierstraß (1815 - 1897)

Lehrer Cantors,

setzte die Veröffentlichung von Cantors Ideen durch,

sagte aber noch 1878, in einer Vorlesung: b > a, wenn es eine Zahl c gibt, die wohl von b, nicht aber auch von a Bestandteil ist. Es ist danach unmöglich zwei unendlich große Zahlen a und b zu unterscheiden.

Leopold Kronecker (1823 - 1891)

Lehrer Cantors, bezeichnete ihn später als "Verderber der Jugend!"

Henri Poincaré (1854 - 1912)"Es gibt kein aktual Unendliches, das haben die Cantorianer vergessen und haben sich in Widersprüche verwickelt." "Zukünftige Generationen werden die Mengenlehre als eine Krankheit betrachten, von der man sich erholt hat."

Luitzen E. J. Brouwer (1881 - 1966)

“De tweede getalklasse van Cantor bestaat niet.“ (Dissertation, 1907)

Eine durch keinen widerlegenden Widerspruch zu hemmende unrichtige Theorie ist darum nicht weniger unrichtig, so wie ein durch kein Gericht zu hemmendes Verbrechen darum nicht weniger verbrecherisch ist.

Hermann Weyl (1885 - 1955)

Nachfolger Hilberts in Göttingen

Die Logik wurde an endlichen Mengen ausgebildet. Ohne jede Rechtfertigung wird sie nun auf unendliche Mengen angewandt. Das ist der Sündenfall der Mengenlehre.

No one can describe an infinite set other than by indicating properties characteristic of the elements of the set…. The notion that a set is a “gathering” brought together by infinitely many individual arbitrary acts of selection, assembled and then surveyed as a whole by consciousness, is nonsensical; “inexhaustibility” is essential to the infinite.

Ludwig Wittgenstein (1889 - 1951)

It isn't just impossible "for us men" to run through the natural numbers one by one; it's impossible, it means nothing.You can’t talk about all numbers, because there's no such thing as all numbers.

Set theory is wrong because it apparently presupposes a symbolism which doesn't exist instead of one that does exist (is alone possible). It builds on a fictitious symbolism, therefore on nonsense.

Felix Kaufmann(1895 – 1949)

Legen wir uns nunmehr rückblickend die Frage vor, wieso die von uns als ungereimt nachgewiesene Bildung einer Stufenfolge transfiniter Mächtigkeiten dennoch einen so hohen Grad von Scheinbarkeit besitzt …

Geht man nun – im Gegensatz zu unserer vorstehend begründeten Auffassung – von der Annahme aus, daß in den Cantorschen Thesen über das Transfinite, speziell über das unabzählbar Unendliche, mathematische Erkenntnis enthalten sei …

Die endlichen Weltmodelle der gegenwärtigen Naturwissenschaft zeigen deutlich, wie diese Herrschaft eines Gedankens einer aktualen Unendlichkeit mit der klassischen (neuzeitlichen) Physik zu Ende gegangen ist.

Befremdlich wirkt dem gegenüber die Einbeziehung des Aktual-Unendlichen in die Mathematik, die explizit erst gegen Ende des vorigen Jahrhunderts mit G. Cantor begann.

Im geistigen Gesamtbilde unseres Jahrhunderts wirkt das aktual Unendliche geradezu anachronistisch.

Paul Lorenzen (1915 - 1994)

... entsteht die christliche Auffassung Gottes als aktualer Unendlichkeit. In der Renaissance, besonders bei Bruno, überträgt sich die aktuale Unendlichkeit von Gott auf die Welt.

Abraham Robinson (1918 - 1974), Schüler Fraenkels, Begründer der Non-Standard-Analysis: "Infinite totalities do not exist in any sense of the word (i.e., either really or ideally). More precisely, any mention, or purported mention, of infinite totalities is, literally, meaningless."

Walter Felscher (1931 -2000), Autor eines mehrbändigen Lehrbuches zur ML: "Was hingegen die Anwendungen der transfiniten Zahlen in anderen mathematischen Disziplinen anlangt, so haben sich die Hoffnungen, welche man zunächst darauf setzte, nur in wenigen, speziellen Fällen erfüllt..."

Solomon Feferman (1928)

Das aktual Unendliche wird für die Mathematik der wirklichen Welt nicht gebraucht.

At least to that extent the question "Is Cantor necessary?" is answered with a resounding "no".

Edward Nelson (1932)

Eine Konstruktion existiert nicht, bevor sie gemacht wurde; wenn etwas Neues gemacht wird, dann ist es etwas Neues - und nicht eine Auswahl aus einer vorher schon existierenden Kollektion.

Wenn ich die Aufgabe stelle

37460225182244100253734521345623457115604427833+ 52328763514530238412154321543225430143254061105

und Sie der erste sind, der sie l�öst, dann haben Sieeine Zahl erschaffen, die vorher nicht existierte.

Edward Nelson (1932)

Eine Konstruktion existiert nicht, bevor sie gemacht wurde; wenn etwas Neues gemacht wird, dann ist es etwas Neues - und nicht eine Auswahl aus einer vorher schon existierenden Kollektion.

Wenn ich die Aufgabe stelle

37460225182244100253734521345623457115604427833+ 52328763514530238412154321543225430143254061105

89788988696774338665888842888848887258858488938

Pech gehabt. Diese existierte schon.

Nik Weaver(1969)

Philosophisch erfordert ZFC den vagen Glauben an ein mystisches Universum von Mengen, das unphysikalisch und zeitlos existieren müsste (und doch dürften irgendwie "nicht alle Mengen auf einmal da sein", um die klassischen Paradoxien zu vermeiden).

Your "Paradise“ is a Paradise of Fools, and besides feels more like Hell.

Doron Zeilberger ( 1950):Herren Geheimrat Hilbert und Prof. Dr. Cantor

every statement that starts" for every integer n " is completely meaningless.

Georg Cantor1845 - 1918

Es gibt überendliche Zahlen von unterschiedlicher Größe.

Ich wundere mich nicht, daß noch kein ernstlicher Versuch gemacht worden ist, mich zu widerlegen; denn meine Lehre steht felsenfest, jeder gegen sie gerichtete Pfeil wird auf den Schützen selbst zurückschnellen: Woher ich dies weiß? Weil ich sie nach allen Beziehungen seit vielen Jahren erprobt, alle Einwände, die je gegen die unendlichen Zahlen gemacht worden sind, geprüft habe.


Es gibt inkonsistente Mengen: Die Menge aller Mengen müsste ihre Potenzmenge enthalten und damit mächtiger sein als sie ist.

Bertrand Russell(l872 - 1970)

Es gibt überendliche Zahlen von unterschiedlicher Größe.

Die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten (Barbier).

Jules Richard(1862 -1956)

Die Menge aller Zahlen, die mit einer endlichen Anzahl von Zeichen definiert werden können,

enthält

die kleinste Zahl, die nicht mit einer endlichen Anzahl von Zeichen definiert werden kann.

= 90 Zeichen

Paradoxon nach Richard, Berry, König

Julius König(1849-1913)

Das Paradoxon von Banach-Tarski

Mit Auswahlaxiom (AC) und Wohlordnungssatz ist beweisbar:

Stefan Banach(1892 - 1945)

Alfred Tarski(1902 - 1983)

Jede Theorie wie die Mengenlehre besitzt ein abzählbares Modell, sofern sie überhaupt ein Modell besitzt, d.h. konsistent ist.

Skolem is arguing that all the evidence that has been given for the existence of uncountable sets is inconclusive.

Leopold Löwenheim(1878 - 1957)

Thoralf Albert Skolem(1887 - 1963)

Löwenheim-Skolem-Paradoxon

0100011011000…

Jede Zahl, die wir individuell bezeichnen, also identifizieren und in der Mathematik verwenden können, gehört zu einer abzählbaren Menge.

Es gibt nur abzählbar viele Namen.

Die konstruierbaren Zahlen wie e, oder L sind abzählbar.

Eine jede Definition ist aber ihrem Wesen nach eine endliche, d.h. sie erklärt den zu bestimmenden Begriff durch eine endliche Anzahl bereits bekannter Begriffe.

"Unendliche Definitionen" (die nicht in endlicher Zeit verlaufen) sind Undinge.

Wäre der Satz, daß alle "endlich definierbaren" reellen Zahlen einen Inbegriff von der Mächtigkeit 0 ausmachen, richtig, so hieße dies, das ganze Zahlenkontinuum sei abzählbar, was doch sicherlich falsch ist.

Georg Cantor(1845 - 1918)

Die konstruierbaren Zahlen wie e, oder L sind abzählbar.

Die möglichen Kombinationen endlichvieler Buchstaben bilden eine abzählbare Menge, und da jede bestimmte reelle Zahl sich durch endlichviele Worte definieren lassen muß, kann es nur abzählbar viele reelle Zahlen geben - im Widerspruch mit Cantors klassischem Theorem und dessen Beweis.

Hermann Weyl (1885 - 1955)

Paul Bernays(1888 - 1977)

It is this absolute platonism which has been shown untenable by the antinomies.

If we pursue the thought that each real number is defined by an arithmetical law, the idea of the totality of real numbers is no longer indispensable.

Kurt Schütte(1909 - 1998)

Definiert man die reellen Zahlen in einem streng formalen System, in dem nur endliche Herleitungen und festgelegte Grundzeichen zugelassen werden, so lassen sich diese reellen Zahlen gewiß abzählen, weil ja die Formeln und die Herleitungen auf Grund ihrer konstruktiven Erklärungen abzählbar sind.

Jede wohlgeordnete Menge besitzt eine Normaldarstellung mit indizierten Elementen.

Es gibt nur abzählbar viele Indizes.

Es gibt überabzählbare Mengen.

Jede Menge kann wohlgeordnet werden.

Diese Folge enthält als Exponenten alle natürlichen Zahlenin endlichen Anfangsabschnitten.

0,1 = 10-1

0,11 = 10-1 + 10-2

0,111 = 10-1 + 10-2 + 10-3

…

{ 1 } { 1, 2 } { 1, 2, 3 } { 1, 2, 3, 4 }{ 1, 2, 3, 4, 5 } …

{ 1 } { 1, 2 } { 1, 2, 3 } { 1, 2, 3, 4 }{ 1, 2, 3, 4, 5 } …

Wenn Zahlen existieren, so sind sie in der letzten Spalte enthalten.

Sind Zahlen in der letzten Spalte enthalten, so sind sie auch im ganzen Dreieck enthalten.

Zwei Zeilen enthalten niemals mehr als eine der beiden enthält.

Die Menge der geraden Zahlen ist abzählbar unendlich: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ...2 4 6 8 10 12 14 16 18 ...

|{2, 4, 6, …, g}| < |{2, 4, 6, …}|< g

{2}

{2, 4}

{2, 4, 6}

{2, 4, 6, 8}

{2, 4, 6, 8, 10}

{2, 4, 6, 8, 10, 12}

...

Mengen gerader Zahlen

|{2, 4, 6, …, g}| < |{2, 4, 6, …}|< g

Jede Menge positiver gerader Zahlen enthält Zahlen, die größer als die Kardinalzahl der Menge sind.

Das gilt für alle Mengen endlicher Zahlen

und es gibt nur solche in .

n r(n)00000___________________0000001 0,000...0000002 0,1000...0000003 0,11000...0000004 0,111000...0000005 0,1111000...... ... ...

Cantors 2. Diagonalverfahren ist ein Unmöglichkeitsbeweis

n r(n)00000___________________0000001 0,000...0000002 0,1000...0000003 0,11000...0000004 0,111000...0000005 0,1111000...... ... ...


n r(n)00000___________________0000001 0,100...0000002 0,1100...0000003 0,11100...0000004 0,111100...0000005 0,1111100...... ... ...


1/9 = 0,111…

Nicht in der Liste?

Alle Stellen mit natürlichen Indizes sind darin!

Eine Liste mit allen abbrechenden Dezimalzahlen aus dem Einheitsintervall ist möglich: Alle endlichen Ziffernfolgen nach dem Komma.

- + (-) + (- + -) + (- + - + - + -) + ...1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 1 1 1 1 1

Klammern, 2Stammbrüche

Bis zur n-ten Klammer werden 2n Stammbrüche benötigt.

-, -, -, -, -, -, -, -, ...2 3 4 3 5 6 5 4 1 1 1 2 1 1 2 3

Wohlordnung der rationalen Zahlen {q I 0 < q < 1}

Enthält die Folge der rationalen Zahlen

die kleinste Zahl > 0 ?

die größte Zahl < 1 ?

die kleinste Zahl > 1/2 ?

Aktual unendlich viele Transpositionen Umordnung der Größe nach wäre möglich.

The Life and Opinions of Tristram Shandy, Gentleman

Laurence Sterne(1713-1768)

Bekannt ist so die Geschichte von Tristram Shandy, der daran geht, seine Lebensgeschichte zu schreiben, und zwar so pedantisch, daß er zur Schilderung der ersten Tage seines Lebens je ein volles Jahr benötigt. Er wird natürlich mit seiner Biographie niemals fertig, wenn er so fortfährt. Würde er indes unendlich lang leben (etwa „abzählbar unendlichviele“ Jahre), so würde seine Biographie „fertig“, es würde dann nämlich jeder noch so späte Tag seines Lebens schließlich eine Schilderung bekommen.

Adolf Abraham Fraenkel(1891 – 1965)

Bekannt ist so die Geschichte von Tristram Shandy, der daran geht, seine Lebensgeschichte zu schreiben, und zwar so pedantisch, daß er zur Schilderung der ersten Tage seines Lebens je ein volles Jahr benötigt. Er wird natürlich mit seiner Biographie niemals fertig, wenn er so fortfährt. Würde er indes unendlich lang leben (etwa „abzählbar unendlichviele“ Jahre), so würde seine Biographie „fertig“.

1 2

345

1 2 3 4 5 6 7

8

2 1

2 1

4 3 2 1

4 3 2 1

6 5 4 3 2 1

6 5 4 3 2 1

8 7 6 5 4 3 2 1

8 7 6 5 4 3 2 1

. . . . . . . . . . . .

0 (Mengenlehre)

(Mathematik)

1 2 3 4 5 6 7

8

(Mengenlehre)

(Mathematik)

0,737342483465448512090030345234985349853493857123554…

0,737342483465448512090030345234985349854493857123554…

0,737342483465448512090030345234985349853493857123554…

0,737342483465448512090030345234985349854493857123554…

Zwischen zwei irrationalen Zahlen liegt stets eine rationale.

II II

0,737342483465448512090030345234985349853493857123554…

0,737342483465448512090030345234985349854000000000000…

0,737342483465448512090030345234985349854493857123554…

Dezimaldarstellungen von Zahlen

742,25

7 4 2 , 2 5

102 101 100 , 10-1 10-2

Binärdarstellungen von Zahlen

22 21 20 , 2-1 2-2

1 0 1 = 4 + 0 + 1 = 5

1 1 0 , 1 = 4 + 2 + 0 + 1/2 = 6,5

0 , 1 1 = 1/2 + 1/4 = 0,75

0,111111 ... = 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... = 1

0,010101... = 1/4 + 1/16 + 1/64 + ... = 1/3

0,

0

1

0 1 0 1

0 1 0 1 0 1 0 1

Der binäre Baum

0,

0

1

0 1 0 1

0 1 0 1 0 1 0 1

Der binäre Baum

0,

0

1

0 1 0 1

0 1 0 1 0 1 0 1

Der binäre Baum

1 2

3 4 5 6

15

7 118 12

16

13 149 10

Die Elementarzelle:

Die Elementarzelle:

2 - 1 - 1 = 0

Die Pfadkonstruktion des binären Baums

0,

0

0

0


0,

0

1

0 1

0 1


0,

0

1

0 1 1

0 0 1


0,

0

1

0 1 0 1

0 0 0 1


0,

0

1

0 1 0 1

0 0 1 0 1


0,

0

1

0 1 0 1

0 0 1 0 1


0,

0

1

0 1 0 1

0 0 1 0 1


0,

0

1

0 1 0 1

0 0 1 0 1 1


0,

0

1

0 1 0 1

0 0 1 0 1 0 1


0,

0

1

0 1 0 1

0 1 0 1 0 1 0 1


0,

0

1

0 1 0 1

0 1 0 1 0 1 0 1


0,

0

1

0 1 0 1

0 1 0 1 0 1 0 1


0,

0

1

0 1 0 1

0 1 0 1 0 1 0 1


0,

0

1

0 1 0 1

0 1 0 1 0 1 0 1


0,

0

1

0 1 0 1

0 1 0 1 0 1 0 1


0,

0

1

0 1 0 1

0 1 0 1 0 1 0 1

Jeder einzelne konstruierte Pfad bedeckt unendlich viele Knoten.

Nach jedem Konstruktionsschritt ist das Verhältnis

Anzahl der Pfade

Anzahl der Knoten= 0


Wie viele natürliche Zahlen gibt es?

12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890

< 1080 Protonen im Weltall

10100000

Wo existieren mit 1080 Zeichen nicht darstellbare Zahlen?

• Gott

• Natur

• Mathematik

Verwirklichung des aktual Unendlichen


???

Es gibt keine verschiedenen Unendlichkeiten.

Es gibt keine vollendete Unendlichkeit.

Das Unendliche ist Richtung, nicht Betrag.

= + 1 = 2 = 2

< 2?, , ...

Ende

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XII Infinit ¥. David Hilbert (1862 - 1943) Aus dem Paradies, das Cantor für uns geschaffen, soll uns niemand vertreiben können.... seine Theorie der transfiniten