Zahlentheoretische Absch tzungen. Von

J. G. van der Corput in Utrecht.

Einle i tung.

In dieser Arbeit wird eine neue zahlentheoretische Absch~tzungs- methode entwickelt. Sie stiitzt sich auf die aus der Eulerschen Summen- formel abgeleitete Ungleichung

p _fe~=i.F(U)du] 9 ,

(z

wo a ~ fl, F ( u ) im Intervalle a ~ u ~ fl definiert, reell und differentiier- 1 vorausgesetzt ist. Unter diesen bar1), F ' (u) monoton ~) und !F' (u)] <

Voraussetzungen kann also die in (1) vorkommende Summe approximativ dutch das entsprechende Integral ersetzt werden.

Als erste Anwendung wird eine Funktionalungleichung abgeleitet Ytir die Funktion

(2) g(a, b)= I/==_ b e , p-b

a a

wo a > 0, b reell und ~ < fl ist. Diese Ungleichung, welche bei hin- reichend groSem f l - a fiir sehr gro~es oder sehr kleines a ein sehr scharfes Resultat gibt, lautet

- (1 b) I 17 .$ 1 _ 1 (3) ig(a,b)-- g a' -- ]'~-4 ( f l -a )Min(a ' 'a -~) -~6(a ' -~a ")"

i

wenn ~ die konjugiert kompIexe ~-5.mktion yon g bezeichnet. Mittels dieser Ungleichung ergibt sich eine neue Berechnung der Gam6schen Snmmen

..~)'e . ~ (qganz, > 0).

~) In den Endpunkten eventueU nur einseitig. ~) D. h. falls ~ u ~ . ~ f l ist, ist i~t . (~) stets ~ oder stets ~ F ' ( ~ ) .

54 J . G . van der Corput.

t w - ,

Ferner wird aus (1) eine obere Sehranke abgeleitet Ii ir i2J ' eOzi f tn)

unter folgender Voraussetzung: ~ < ~<

Es sei ~ -- .~1 und/7 -- ~ 1 ganz, cx </7, f(u) im Intervall ~ =< u _</7 reell, differentiierbar~), f ' (u ) bestiindig wachsend oder bestiindig abnehmend. Es sei fiir e~ =< u 1 <2 u~ ~<_ t3

A. { (4) f ' (u~)-f ' (ul ) stets ~ e , bzw. stets _ ~ - - e ,

wo ~o eine von u~ und u., unabhiingige positive Konstante ~ 1 bezeichnet s).

Aus dieser Voraussetzung wird abgeleitet

(5) i I < 4 If'(~) "-f'(,~) ;-.1

und aus der ferneren Voraussetzung 0 < f'(e~) < f'(/7)

(6) t Z e e " i f ( n ) i < 1 9 f'(,8) ~ 1 t < ~ < ~ ~ -if" ~/; f'(~)"

Es sei bier ein fiir allemal 'bemerkt, dab wir keinen grol~en Wert darauf legen die in unseren Ungleiehungen vorkommenden numerisehen leaktx)ren zu verkleinern, da~l es uns vielmehr in erster Linie auf die GrSilenordnung in 0 ankommt, da die Absehiitzungen namentlieh in den F/illen yon Bedeutung sind, w o e klein ist. Naeh (4) wiirde die triviale AbseNitzung in (5) bzw. (6)

(7) / 7 - -~ sein, was < t f ' ( f l ) - f ' ( , ) bzw. <f'( f l ) ist.

Es ist klar, dag man unter gewissen Bedingungen aus (5) und (6) eine obere Schranke ableiten kann fiir

1 i , (8) ! ~_~-'~o (r(n)) I

wenn yJ (v) in eine Fouriersche Reihe

(9) %u(v)-----Za~ e 2n*'~'~ mit a o = 0

entwiekelbar ist, indem man in (8) ~ (f (n)) in eine Fouriersehe Reihe ent- wickelt und dann (5) bzw. (6) mit I m i f (u) start f (u) anwendet auf jedes Glied dieser Entwicklung, worin i~nie __< 1 ist.

ftt( = a) (4) ist z. B. erfiitlt, wenn u) vorhanden und bestgndig > e , bzw. be- ~ n d i g ~ - - e ist; denn dann ist

' , ' = - , ~ _ ) f ( ) ~ - u ~ ) , =_-~, f ( t i~) - - f (ut) (% " ~ >~o(u., bzw. < (u.,--ul) (*h<~<ue) .

Zahlentheoretisehe Absch~tzungen, 55 oo

Dies ist sehr einfaeh, we Zt .l ! konvergiert; unter Voraus-

setzung A finden wit z.B. -~

(10) I ~ ( f ( n ) _ [ f ( n ) ] _ � 8 9 ~ /~-a]<12

und wenn au~erdem 0 < [ ' ( a ) < f ' ( f l ) ist,

i lf'(fl) - f'('~) !+ 1

(14)

Aus den Voraussetzungen A und B folgt niimlich

1 1 ! f ' ( f l ) - f ' ( ~ ) i die triviale Absehiitzung wiirde =2 (fl -- ~)' naeh (7) also g . e

1 f'(fl) sein. bzw. ~ . e

Wir finden eine Verallgemeinerung der Nbschi~tzungen (12) und (13), indem wir eine reelle Funktion yJ (v) betrachten, welche folgender Voraus- setzung geniigt:

ft Es habe die reelle Funktion v2(v ) die Periode 1; es sei ~ (v ) absolut ~ 1, im Intervall 0 < v < 1 monoton und es sei

:B. t f v,(v)dv-= O. 0

21 ~ a f 7 f'(fl) 1 1 . (11) ] Z ( f ( n ) - - [ f ( n ) ] - - P~ , < ~ " ~,/~ ~, 8"f ' ( ,z) '

,~<n<fl wie man sofort iibersieht, sind die linken Seiten yon (10) und (11) hSchstens

1 t f ' ( f l ) - f ' ( ~ ) l 1 ~- ( f i - - a ) , so dab nach (7) die ~riviale Absch~tzung-~-

bzw. 1 . f'(fl) ist. 6

Unter gewissen zusi~tzlichen Einsehr~inkungen leiten wit aus Voraus- setzung A eine obere Schranke von (8) ab, wobei in (9) nicht die Kon-

�9 i a~ I vorausgesetzt wird vergenz v o n ~ l a~ i l / i ra !, sondern nur von Z ~/Im I - - 0 0 - - ~

(das Glied mit m = 0 kommt wegen a o = 0 nicht in Betracht), z.B.

und unter der weiteren Voraussetzung 0 < f ' (a) < f ' ( f l )

(13) i ~ , ( f ( n ) _ [ f ( n ) ] 1) < 9 f ' ( ~ )q_ 1 . " '

56 J.G. van der Corput.

und wenn auf~erdem 0 < f ' (e~) < f'(/3) ist,

(15) < 53 9 1 I_

' 2

in den trivialen Abseh~tzungen wiirde man rechts / 3 - a, nach (7) also

' f ' ( ~ ) - f ' ( e ) ' und f ' (fl) finden. Wenn man den Weft der gleiehgiiltigen

numerischen Faktoren aul~er Betraeht liil~t, Iolgen (12) und (13) unmittelbar aus den letzten zwei Ungleiehungen, falls darin z. B. ~p(v)= 2 ( v - - [v] --�89 gesetzt wird.

Die vier letzten Abschgtzungen sind bekannt, aber (1), (3), (5), (6), (10) und (11) nieht; (12) und (13) sind ~iquivalent mit dem Hauptsatz meiner DissertationS), der dort sowoht mittels der Voronoisehea als mittels der Pfeifferschen Methode bewiesen ist; (14) und (15) shad ~qui- valent mit dem Endergebnis meiner Arbeit fiber die Piltzsche Abseh~itzungs- methode'~). Die gegenw~rtige Methode gibt nieht nor alle bis jetzt mit jenen drei andern Methoden gefundenen Abseh~itzungen, sondern sie ist allgemeiner und bisweilen seh~irfer. Z.B. geben die Voronoi'sehe und die Pfeiffersehe Methode in ihrer jetzigen Form keine Absch~itzung fiir die in (5), (6), (10) und (11) erw~hnten Summen, und die Piltzsehe Methode hat zwar diese Summen abgeseh~tzt, abet (abgesehen von den numeri- schen Faktoren) nur als Spezialfall yon (14) und (15), also weniger seharf als die in dieser Note entwiekelte Methode. Im Gegensatz zu jenen drei anderen ist unsere neue Methode nieht nur anwendbar, um die Anzahl der Gitterpunkte 6) mit Gewieht 1 in gewissen ebenen Bereiehen approximativ zu berectmen, sondern man kann mittels derselben auch die Anzahl der Gitterpunkte bei komplexen Gewichten absch~tzen, d .h . falls jeder Gitter- punkt mit Koordinaten u, v in Ansehlag gebracht wird mit dem ,Gewieht" ee.~r wo 2 und /z beliebige feste reelle Zahten sind. Bis jetzt war

~) J. G. van der Corput, Over roosterpunten in bet platte vlak (De beteekenis van de methocL,~ van Vorono~ en l~%iffer), 128 S. (Noordhoff, Groningen), 1919. Der Beweis des in dieser Dissortation abgeleiteten Hauptsatzes mittels der Vorono/sehen Methode ist aueh verSffentlieht' in meiner Abhandlung: ~)-ber Gitterl~unkte in der Ebene [Mathematisehe Annalen 81 (1920), S. 1--20]..Einen vereinfachten Beweis, sowohl mittels der Pfeiffersehen als auch mittels tier Vorono/schen Methode finder der Leser in der Arbeit:

E. Landau und J. G. van der Corput, ~oer Gitter2unkte ira ebenen Bereivhe~ [Naehrichten yon der Gesellsehaft der WissensehaYten zu G5ttingen, mathematiseh- physikalische Kla~e, 1920, S. 135-- 171].

5) j. G. van der Corput, Z a ~ h e o r e t i s c h e AbscI~zunge~ mit der t~iltzsche~ ~ethode [Mathematische Zeitschrift 10 (1921), S. 105--120].

~) Gitterpunkte siad Punkte mit ganzzahligen Koordinatem

Za,Mentheoretisehe Absctg4tzungen. 57

es nut in speziellen F~llen gelungen, Gitterpu~'~anzahlem bei komplexen Ge- wiehten abzuseh~tzen; und zwar dutch Herrn Landau 7) mit einer komplex- analytisehen Methode bei denjenigen n-dimensionalen Bereichen, fiir welche u.a. die dem Problem zugehSrige Diriehletsehe Reihe einer Funktional- gleiehung yore Typus der Riemannschen bei der Zetafunktion geniigt. Die gegenw~irtige Methode setzt uns in den Stand, die Anzahl der Gitterpunkte mit komplexen Gewichten abzuseh~tzen (und z~ar mit derselben GrSSen. ordnung des Fehlers) in fast alien den ebenen Bereichen, bei denen jetzt sehon die Anzahl der Gitterpunkte mit Gewicht I approximativ bekannt ist; denn Satz 6 dieser Abhandiung ist die Verallgemeinerung des Hauptsatzes meiner Dissertation fiir komplexe Gewiehte start Gewieht 1, und auf dieselbe Art, wie ich in meiner Dissertation aus diesem Haupt- satze fast alle bis jetzt bekannten Abseh~tzungen flit Gittervankte mit Gewieht 1 in ebenen Bereiehen abgeleitet babe, kann man mit Satz 6 die entsprechenden Ergebnisse fiir Gitterpunkte mit komplexen Gewichten finden. Da dies keine Schwierigkeiten bietet, betraehte ieh nut ein ein- ziges Beispiel: Es seien 2, ,u, f, h, p und q reelle Zahlen mi~ den Eigen- schaften 2 und # nicht ganz, f > 0 , h > ' 0 , h > f q - - h p > - - f . Ele- mentar ergibt sich dann, dab die das Produkt

mZl=l e2~i)'m ~-?e ~gil't~ '

darstellende Dirichletsche Reihe konvergiert fiir ~ ( s ) >

mit Satz 6 wird die Konvergenz schon bewiesen, fails

1 - ; - p + q abet f + h '

> Max (! + p + 2 q f + 2 h '

1 +2_v+q) 2f+~

ist. Von diesem Satze war bis jetzt nut der SpeziMfall f - - 1 = h - 1 p ~ q = 0 von Herrn LandauS), der SpezialfaI1 2 und ~ rational von

mir 9) bekannt.

SchIieBlich mSchte ieh noch bemerken, dab die iiberaus lehrreichen Besprechungen yon Gitterpun~problemen mit Herrn Professor E. Landau, zu denen ich w~hrend meines Aufenthalts in G6ttingen ,Gelegenheit hatte, mir bei der Abfassung dieser Abhandlung eine wesentliche Anregung warem

~) Vgl. insbesondere E. Landau, ~]ber die Ar~ahl der Cr~er2unkte in gewissen Bereichen (Zwdte Abhandlung) [Nachrichten yon der Gesellschaft tier Wissenschaften zu GStfirLgen, mathematisch-physikalische Klasse, 1915, S. 209--243].

s) Vgl. w 5 der in Anm. ~) genannten Abhandlung.

o) Dissertation (Vgl. Fu~note 4) ,S. 12 und 114--116 (w 131).j

58 J.G. van der Corput.

Hauptteil.

Satz 1. FalLs a < fl, F ( u ) im Intervalt a ~ u ~ fl 1 i~t, ist ~ ] ] ~ n t i i ~ a ~ ) , ~' ( ~) ,no~oto~ ~ d l ~' ( ~) I <=

(16) _ f 9

I , e~:~(n> ee=~(U)du I " ~ 4 ' a fl a

reell und

wo der Strich bedeutet, daft ein Olied mit n = e~ bzw. n = fi gegebenen Falls nach Bd ieben mitgez~ihlt wird oder nicht.

Beweis. Wenn fiir m ganz, :> 0

gesetzt wird, ist

1 ~-~ sin2h:~u

h = l

( 1 7 )

f 1 a h = l

h = l u

f 2 isin 2h~zu. e ~'=i P~) F ' (u ) d u

F ' (u) - h

1 F ' ( u ) Wegen tN'(u) t <:= g und der Monotonie yon N'(u) + h ist naeh dem zweiten

Mittelwertsatz der Ausdruek (17) absolut genommen hSchstens

( i s )

I 1 ~'1 = ~, - - ~ , (h- -~)

2 h=l

Nach der Eu!erschen Summenformel ist nun

(19 )

l ' ~ 2 ~ i F ( n ) = fe~iF(")du § ~(-- fi)e ~ ( ~ a

I-I_ierin ist g ( u ) = ~(u) ~ ( u ) = u - - [u] = - - ~ , w e n n u n icht ganz ist;

falls ~ ganz is~, ist Z(u)~'----0, und ~ (u ) bzw. ~ ( u ) hat den Weft ~ ~ oder _ ! je nachdem das eventuelIe Glied mit n - - f l bzw. n = g mitgez~Mg 2~

Zahlentheoretische Abset~tzungen. 59

wird oder nicht. Da bekanntlieh ~~ Z ( u ) u n d Z~(u) und falls u nicht ganz ist, der Beziehung

L i m z , ~ ( u ) = z ( u )

geniigen, ergib$ sich aus (17) und (18), dab das letzte (]lied in (19) 5 1 absolut s 4~/21og2~ < u ist, so dab (16) aus (19) foIgt wegen i~'(--fl)l = < ~2

1 und ]~(r s ~--

besehr~akt sind,

Anwendung. ableiten und dabei vorl~ufig a ~ 1 voraussetzen.

Es sei zu diesem Zweck zun~ehst h ganz und es werde

h - - 2 a b - - � 8 9 h - - 2 a b + "~ 1 ,, = , = - - ., " , (au + 2b)"

Wir werden jetzt aus diesem Satz die Ungleiehung (3)

- - h u

gesetzt.

also naeh (16)

Fiir u~ __< u ~ u~ ist dann

U2

~ f ' 9 m <_n <_u~ m

' h I = ]/v gesetzt wird, Hierin ist, wenn i a u @ 2 b - -

1

u,z . h ~ _ 4 a b h 4 a ~

1 e e ~ i r (21) e ~f~'~u) d u ---- a ~tv" ul 0

Es ist 1

4a'~ ;~ i

(22) f e ~i~dv--== e-i- 0

Naeh dem zweiCen Mittelwertsatz

1

4 a ~

ist hierin das Setflut~glied

Yg < 2a, so dal~ aus (20), (21) und (22) folgt

- - - e < 4 - 2 = . a

absolut

lo) Vgl. z. B. E. Landau, D/e B ~ u n g de, r Pfeiffersel~r~ Methode ffir die ana- lytische Z a h l ~ n t ~ e [Sitzungsberiehte der Akaxlemie tier W i s s e n s ~ n in Wien, mathema~iseh-n~turwissensehaftliche Kla,sse 71, Abt. IIa (1912), S. 2195--2332], S. 2209 (Hilfssatz 4) und S. 2207 (Hilfssatz 1). In diesen Hflfs~tzen izt

ge~t~. ~ (u) = 1 -- Z~ (u)

60 J.G. van der Corput.

vorausgesetzt und darm im Obigen eine der Zahlen u~ F a l l s 0 ~ 7 < h-- 2 ab + r h-- 2ab--./ und % abgei~ndert wird, ngmlich u 1 zu oder % zu a ~ a ~ ,

bleibt (20) gelten, aber s tat t (21) bekommen wit

1

u~ .h~_4abh 4 a a

~ x Z a a 2

Nun ist fiir 0 ~ v, < v., V2

(25) v l

ist, ist (25) naeh dem ersten Mittel- kleiner als 3; denn wenn % ~ a. 1 wertsatz ~ 21/% < ~, wenn ~ ~ % ist, ist (25) naeh dem zweiten Mittel-

1 2v <a 1 wertsatz ~ /~---~-- _g trod wenn v~ < ~ < % ist, zerfgllt (25) in zwei

a ist. Start (23) linden wir also jetzt, mit Riiek- Teile, deren jeder ~ sight a ~ (20) ~ d (24),

(26) ]t Z eazi(an-r2b)'a! ~ -4 -~ 9 3

Weiterhin ist jetzt das Intervall ~--b _< u ~ f l - b die Summe der a b - - a

~[ntervalte h--2ab---~ ~ u ~ h--2abq-k a ~ " ~ ~ a~ , wo h die Reihe der ganzen Zahlen

~_ a (er -~- b ) und ~_~ a (fl + b) durchlgtfft, even~ueI1 vermehrt oder verminclert h--2ab---~- h- -2ab--y oder um ein oder zwei Intervalle der Gestalt a~ - _~ U ~ a2

h- -2ab+r ~ u ~ h - - 2 a b - k ~ 1 a ' = = a~ - , wo O ~ , < - ~ ' i s t .

bzw. zul*etzt genannten Teilintervalle (23) bzw. finder man

a-b fl--b a (a +b) < h < a (fl-k b)

Falls auf die zuerst

(26) angewendet wird,

17 + 3 < -~ ( f l - - a )a -~- 9 a

17 (1 1 ) ~_~-T (fl - - a )a -{ - 6 -l-

wegen a ~ 1, mad hieraus ergibt sieh, nach Multiplikation der beiden

Z~hlentheoretische Absch~is 61

_ 2 ~ z i b ~ _ _ _ Seiten mit ~/ae s , mit Riicksieht auf die Definition (2) der Funk- tion g(a, b)

(27) I g (a 'b ) -~ I a' b !<u

Hiermit ist aber (3) bewiesen, falls a ~ 1, also auch Lulls a > 1 ist, da

in obenstehender Ungleichung a dutch 1 b dutch - - b und i dutch - - i a ~

ersetzt werden kann und die linke Seite dadurch nicht ge~indert wird. q 2ztin___~ ~

Um nunmehr mit (3) die Gau~sche Summe S ~ - Z e q (q ganz > 0) n : l

f 1 zu berechnen, setzen wit a ----- -2, b := 0, - = und fi ~ s)/-2 q, wo

s e i n e beliebige positive gauze Zahl ist. Dann ist

g , 0 - ~ V - ~ e ~q = s e 8 S l s = l

und

o ) = - n = l

- ~ - 8 e

y -

s Q V 2 ,

~ ' e 4 )

wo Q den Wert l + i , 1, 0 oder 3 (mod 4) ist. Aus (3) folgt also

s - (/q S - Q1/21< u 17

i hat, je nachdem q ~ 0 , 1, 2 oder

sV2q + 6 + ,

und da diese Ungleichung flit jedes positive ganze s gelten mug,

(28) I ~/r~- 1 7 . / ~ - - _~//2 \~ 17 <

Elementar beweist man S ~- • Q )/-q; es ist also S = 0, wenn q ~ 2 (rood 4) ist. Falls q=,_=2 (mod4) und q ~ 1 9 ist, ist nicht S = - - Q 1 / q ; denn claim wiirde die linke Seite von (28)

seim Um zu zeigen, da~ stets S - ~ Q Vq ist, braucht man diese Beziehang also nuz aoch zu priifen in den FMten, wo q -I =_ 2 (rood 4) and q ~ 17 ist.

Wenn man obige Betrachtungen nicht erst auf g(a,b), sondern unmittetbar auf die Gaufische Summe S anwendet, and etwas wenigex verschwenderisch mit den numerischen Faktorea umgeht, findet man (28)

62 J.G. van tier Corput.

mit einer kleineren Konstante rech~s, z .B. 5 start ~7 und dann braucht man die Beziehung S = Q ~/q nur noch zu priifen fiir q = 1 , 3, 4 und 5.

Itilfssatz 1. Unter Voraussetzung A, wo jedoch a--~. nichtganz zu sein brauchen, ist, /alls f ' (u ) stets ~ 0 oder stets ~ 0 ist~

P i f 11

a

Beweis. Ist die Wegl~nge fi -- a ~ V~ V e ' so ist die Behauptung

~/-2 11 ist. trivial, da das Integral dann absolut ~ V~ V~ < 8V~

Anderenfalls sehneiden wir von dem Ende, wo I f ' (u ) l am kleinsten

ist, eiZ Stiick der L~nge V~ ~/~ ab; dessen Beitrag zum Integral ist ab-

Auf der verbleibenden Strecke ist f ' (u) best~indig zu- solut =< oder abnehmend, yon festem Vorzeichen und nach (4) absolut

~/2 ~/-~ Nach dem zweiten Mittelwertsatz ist also, wegen

ee=if(u)du-- 2~i f'(u) '

f ~/2 2~/2 2~/-~ 11 I e~if(~)dul, =<V-~V ~ ~-, - - -

Itilfssatz 2. nicht ganz zu sein brauchen, ist

P !~ e~if(u)du t < ~

Unter Vorawssetzung A, wo ~edoch a - ~ und f l - �89

11 4V "

Beweis. Da f ' (u) besthndig za- oder abnimmt, zerf~llt der Weg in zwei Teilstrecken, auf deren jeder f ' (u) stets ~ 0 oder stets ~ 0 ist, und ttilfssatz 1 ist auf jede derselben anzawenden.

(29)

Unter Foraussetzung A ist

t~ . , e ~ ' f ( ' , ] <~4 L f ' ( ~ ) - f ' ( ~ ) l + l

Zahlentheoretische Abschgtzungen. 63

und wenn aufierdem 0 . 4 f ' (a) < f ' (fl) ist,

19 (ao) I < y . - - ~<~<t~

f '(~) ~_ 1 V~ f'(~)"

Beweis. 1 < f , = = = entweder h - - ~ = ( u ) < h oder h ' < f ' ( u ) < ~ h + { . Es sei h ganz, e ~ 7 < 8 <: fl und im Intervall 7 ~ u ~ 8

Nach Satz 1 und Hilfssatz 1 ist

?

Es sei k ganz, ~ = < e < r und im Intervall

l < f ' �89 k - - 5 = (u) ~ k + Nach Satz 1 und Hilfssatz 2 ist $

! .~ e~(f(u)_ 9 11

11 9

s ~ + u �9

e ~_< u ~ C stets

9

Da Summe (29)zerlegbar ist, entweder in hSchstens I f ' ( f l ) - - f ' ( a ) f Summen (32) und zwei Summen (31), oder in hSchstens 1 f ' (f l ) -- f ' ( e ) l + �89 Summen (32) und eine Summe (31) oder in hSchstens ] f ' ( f l ) - - f ' ( a ) t + 1 Summen (32), ist also

~-~-~ + ~)" (1 f '(fl)- (a)l + I ) + z : . < n < ~

1 Nun ist die erste Behauptung unseres Satzes trivial im Falle 1/~ >= u

da die linke Seite nach (7) hSchstens f l - a < 4 f ' ( f l ) - f ' ( a ) ! + l ist; wenn 0

1 ist, iolgt die erste Behauptung unmittelbar aus der. letzten Un-

gleichung; denn dan n ist

!Ze~.~if(n)i.~ ( 11 ~ + -~).(if'(~)- f'(,~)l + 1) < 4 If'(Z)-f'(,~)J+ 1 a<n<l~ C

wegen 11 1( i

41-7+ <72 Da die zweite Behauptung trivial ist, wenn t /~ ~ ~ ist,

weiter 1/e "< ~ , also 11 9 1 (~_.~ 1 3

setzen wir

64 J . G . v a n der Corput .

voraus. Wenn dann f'(fl)>~ �89 ist, ist nach (33)

' 9 1 19 f ' (~ ) . <,t<n<t~IZe~=~f(mi<:: ~--~3 �9 3 f ' ( f l ) + u "~91/-~" 2 f ' ( f i ) = 2 ~ '

ist, folgt aus Satz 1 und dem zweiten falls dagegen 0 < f'(cr < f ' (fl) < Mittelwertsatz wegen der Monotonie yon f ' (u)

,8 ~ Z i 9 1 I f de ~zeif(u) ] 9 1 1 . 21 /~

e~r(")t < -~ + ~ I < -i + 2~" f'(~--i 1 f'(u) = a<n<~ a

(Sl r , ( r ~ ) ~_ 1 ~9 r ' ( s )+ < ~ 2f ' (a) ' 2f'(a-----) < 2-" ~'---~- f ' ( . )

Satz 3. Wenn ~ < 2 < x

(34) [ I

.~Z<;~.=i(~.,t+s,f(.)) y,( f( n ) )

unter der /erneren Voraussetzung

1 < /~<1 ist, A und (9) 2 ~ ~-~-g

ist

erliUlt

< 5 t f ' ( 8 ) - f ' ( ~ ) l ~Via ,ylm~: = _ r _ : '

)~ § l~f'(a)l < f'(a) < f'(fi) ist

(3s)

r !

l t

I 47 f ' ( ~ ) 2 a.,IV,ml "~' e*"i(~"+sf("))Y'(f(n)) <=-4" V o ' ~<~<~ -~

~ . /7_:2.g, l.T-m-~ ! I- f ' ( :<) - t~-+t<f ( :~ , ,_ :~ ' ,, m

Beweis. Nach (9) ist

!Z I=Z, -Z "<•<B ira+., ! < L a '<,<fl

(3a) =~

( !m+,,l>• und hierin nach (7) ~o

(37) #

i f ( t 0 - f'(:r I

[f '(/~)- f'(:r ! ~l%['Vlm§ e

Zahlentheoretische Absch~tzungen. 65

i u f die Summe ~ rechts in (36) wird der erste Teil des vorigen a < n < , a

Satzes mit 2 u ~- (m Jr- be) f(u) statt f (u) angewendet; e ist dann dutch i / + ~ i ~ und lf'(/3)--f'Oz)l dutch ,m+,ai . l f ' ( f l ) -- f ' (a) ' zu er- setzen. Hieraus folgt, mit Riicksicht auf (37), dag die ]inke Seite van (34) hSchstens

4 ~f'(fl)_f'(,~)lfff , ~ ,lain , l/'m.-~--~i, l ~__~_, ~]-~4 -rKl__i, im+,u:_ a~

' f ' @ (~)-f'(c~)i ~ a,,, V m@,u V 9 1

< 5 77 7a" , ~/.m i , a, 173 . . . . . . . " - _~ ~ ~o _ %frm t

ist, letzteres wegen der fiir m @ 0 giil~igen Abschiitzungen

4Vim+/~ ~4VyV~m~ <5 m! und

4 < 4 r 17 1

) / , m q - # ~ Yt'"'~

Hiermit ist die erste Behauptung bewiesen. Um die zweite zu be- weisen, wenden wit den zweiten Teil des vorigen Satzes an mit

(2u ~ (m -t-/z)f(u)) start f (u) ; wir benutzen dabei das Zeiehen oder - - , ie nachdem m positiv oder aegativ is~. Dann wird f'(fl) er- setzt durch t2--t-(m+#)f'(fi) ~ 1 2 1 + t m ~ / ~ i f ' ( f l ), und f ' ( e )durch

47 19 ,'~ < and 19 1/2 < ~ finden, dad3 sicht auf (36) und (37) wegen ~ u

die linke Seite yon (35) hSchstens den Wert hat

Z 19 i;'~ Z ;a ' 19 /~'(fl) l a , V m m # l @ ~ " ~'e m+~l

" i~+,,.~ ~+~< f <

.)_.,--, <,:~ r'(~) Z ~<~.,tv m+..i I , , , + . i < _l t,, ,+,, > - <-~--~o

OD ~ - - -

47 f' @) Z I ,~,. i V % i + -~ ~/o _=

o a

1 zia,, ,{

Nathematische Annalen. 84.

66 J .G. van dor Corput.

Beme~kmag. Man finde~ (10) and (11), wenn

tungen des vomtehenden Satzes 2 -~ ]~ -~ 0 und a~

und die Ungleiehungen

~=~ m--~t-m < 1 -~

und

~r ~ ~ +

man in den Behaup- 1 (m ~ 0) setzt,

2 z ~ m ~

< 1 + 0,4 + 0,2 + 1,2 = 2,8

1 1 1 d u I :z ~ ~ , ~ < 1 + ~ + ~ + ~-=l+g+ + <-E

4. Wenn -- �89 _< 2 _ ~ -- ~ < ~ ~_ ~ ~ ist, (9) /ast i~erall ~)

anwendet.

Satz

gilt und l a. _ . r

- ~ konvergiert, ist unter Voraussetzung A liar ]edes t > 0

1 + ~ - - t

- < u < f l o

l~t>t

(80) h&hstens gleich

5 ] f ' ( f l ) - - f ' ( ~ 1 6 2 5 t [ f ' (~ ) - - f ' (~ ) [

t,,l=<t 17 1 ~ lam[ .

+ ~-" ~/~ _ ~ ~/.~-~t '

47 4

(

wennauflerdem ]2 + / ~ f ' (a ) l < f ' ( a ) < f ' ( f l ) ist, h & I ~ e n s glewh

ist der A usdruck (39)

(41)

4 - 2 " - ~ e _ ~ f ' ( a ) - i ; , + ~ f ' ( a ) [ _ tm[" Beweis. Es ist

1 + - - - t

f -

+1 - - t

mit b,~ ~- a,~t f e ~m=~u d y , 0

2 t la, l una tb. l s ~ < - ~ . i,~[,

start a~ folgt.

also lb.l=<l .t

so dab der Satz aus dem vorangehenden mit b~

n) .Fast fiberall" soil hei~n: fiberaI1 mit Ausnahme h~chstens abz~blbar nn- eudlich vieler P u n k ~ Das Integral in (39) ist im Riemannschen, nStigenfalls ha Lebesguesehen Sinne genommen.

Zahlentheoretische Absch~tztmgen. 67

Bemerkung. Falls in diesem Satze 2 : / ~ = 0 gesetzt wird, und es eine positive ZaM ~, gibt mit der Eigenschaft

jedes Zahlenpaar v, und v~ > v, , dann i s t [ Z ~ , ( f ( n ) ) + hSchstens mr + < . < ~

gleich dem Ausdruek (40), vermehrt u m ? [ f ' ( ~ ) - f ' ( a ) t bzw. hSchstens 2t~

vermehr t um r f'(fl)" denn 2re ' gleich dem Ausdruck (41) (mit i-----#=0),

nach (7) ist dann 1 1

t t

t ~ ~ ( y ~ ( f ( n ) - ~ y ) - - y ~ ( f ( n ) ) ) d y ~ _ ~ t ( f l - - a ) f y y d y "<n<f io o

< Z . !f'Cfl)-f'(a) 1

und = z t e

0 0

,2: (f(+>)- +, ) ) , , =< f , ! , i , , . < a < f l i i

t t

< 2 . t f ' ( ~ ) - f ' ( a ) t = 2 t e "

Hieraus folgt als Spezialfall (12) bzw. (13), wen. man

1 V(v)=v-- [d--~, + ( ~ o ) , y = 1, a~ ---- 2=m

t ~_--.I 1 bzw. _.1 ,

<2Vi, ~ t <a m v'm ~/t

setzt, und

sowie (38) benutzt.

Satz 5. Wenn - ~ - < ~ - 2 , ~ ~ ~ 2 = ~ # ~ ~ ~ iat, 8owie A und B g~en, ist der Ausdruck (39) ]i~r ~edes t > 0 kleiner ale,

14~/t t f ' ( f l ) - f ' ( a ) t § 15 v~

und wenn auflerdem i~ -+- # f ' (a)] < f ' (a) < f '(fl) ist, ist der Ausdrucb (39) ]deiner a~

32 -x/~f'(~) ]-35 l i l , 3 1 ~/~ i ~ -~ -1- 2 " f ' ( a ) - ~ z + ,u f ' ( a ) j "

5*

68 J.G. van der Corput.

Beweis. Bekanntlich ist unter der Voraussetzung B die Funktion ~ (v) fast iiberall l~) in eine Fouriersche Reihe (9) entwickelbar mit

1

am-~- e-2r~'ivv/(v)dv und ,a.]___~2itn • .~'m, 0

Aus (40) mit Riicksicht auf (42) und (38) folgt also, da~l der Ausdruck (39) hSchstens

5 . ! f ' ( f l ) - f ' ca) ' ~"2 2 ~ 1 5 t! f ' ( f l )- f ' (a)[ ~/2 9 Z - 1

17 1 V~.2 Z 1 14~/tIf '(fl)-f '(~) +15 § _ . _ < v'~ ~ ~ ~,,~ ~,,!~

l l i = l

ist, und wenn !X--F/~f'(a); < f ' ( , ) < f ' ( f i ) ist, finden wir aus (41)auf dieselbe Art, dal~ der Ausdruek (39) hSchstens den Wert hat

_ m > t m~m ~'~ ~ = l m ~ m

Z 1 + f'(,~)_ ;,+~/"(a) " ~ ~=~

< 32. ~/tf'(P) ~-I _]__ 3 i +35. ,0 v. ( , ~ ) - ;-+~ f '(~)

Erste Anwendung. I (43) [ ~ , ~o(f(n))[ < 31. tf'(fl)-f'(a)(~_:>

und wenn aufierdem 0 < f' ( r ) < f ' ( fl ) ist, ist

(44) i ~ , v/(f(n))] < 53. f'(fl----)) ~--L9. 1 g/D-' ' 2 f , ( . ) " . < n < f l

Unter den Voraussetzungen A und B ist 45

Beweis. Es bezeichne t eine Zahi > 1. Falls das betrachtete ~(v)

nicht abnimmt, wenden wit den vorigen Satz an 1) auf dieses W(v) mit 1 1

-= tt = 0 und T als obere Grenze des Integrals 2) auf ~0(v) - -~ start 1

v/(v), wenri ~o(v) die Periode 1, im Intervall 0 s v ~ -~ den Wert 1 und 1 im IntervalI y < v < 1 den Wert 0 hat. Falls aber das betrachtete v/(v)

nicht zunimmt, nehmen wit 1 start 1 t y als obere Grenze des Integrals 1

und wenden Satz 5 an, indem wir dabei ~(v) nicht dutch ~0(v) t ' 1 sondern (lurch ~ ( - - v ) - - y ersetzen. Wit werden beim Beweise weiter

voraussetzen, da3 y3(v) im Intervall 0 < v ~ 1 nicht abnimmt.

Z~hlentheorotisehe Abseh~tzungen. 69

1 Um fiir 0 ~_~ y ~ T die Ungleiehung

(45) yJ(v) s ~(v- t - y)-~- 2 ~o (v + y)

zu beweisen, geniigt es, das Intervalt 0 g v @ y < 1 zu betrachten. Wenn 1 - -

0 ~ v + y ~ T ist, gilt die Ungleichung wegen yJ (v) ~ -- 1, y~ (v + y) ~ 1 l -

und 9 ~ ( v @ y ) = l ; w e n n T < v ~ y < l , also O < v ~ v @ y < l ist,

giIt (45) wegen ~,(v)~y3(v+y) und cf(v+y)----O. Aus (45) ergibt sich, mit Riicksicht auf (7),

1 1

7 ?

1 1

(~6){ 7 7

y f [ , 2 : f ' ( f l ) - f ' ( a )

-1- t~

Die erste Behauptung des vorigen Satzes mit 2 : # = 0, yJ ( v ) = dem

1 angewendet auf (46), gibt gegenwSrtigen V (v) bzw. v 2 (v) ----- 99 (v) t '

(47) ._:~-~ V (f(n)) < 3 14~/tif'(fl)-f'(a)l+lS+2"~f'(~)-f'(a)]

Falls 9 > 1 ist, ist (43) trivial wegen (7) und ~'g~21"< al und wenn = 21"z

1 o < ~ ist, darf in (47) gesetzt werden

t 1 a l so 42, ]//t 6-- 2 ~/~-12 - - ~/0-4 . . . . 4 < 3 1 , 3- - -5 ,

und dann ist

yJ(f(n)) < 31. f'(~)-f'(a)t 45 ~ ~/~ + ~"

Diese Ungleiehung gilt flit jede Funktion yJ(v), welehe der Be- dingung B geniigt, also aueh fiir die Funktion --v2 (v), womit (43) voll- st~ialdig bewiesen ist.

Die zweite Behaup~ung von Satz 5 mit 2 = # = 0, ~v (v) = ~v (v)

b~. v(~)=v( , ) - -~ , ang~.det a~.(t6), ~bt

70 J.G. van der CorpuV.

(t8) : 2 f-(u)) -{- to

~/-~t 7 + ~r'(~) 1 ]Balls 0 ~ ~ fist, ist (44) t~iviaI wegen ~4-~ < 53,

1 ist, folgt (44) aus (48) mit t = ~,~.~ wego~

9o r ~/~ + ~ - ~ ~/-~s ~ < ~ .

~ ~ 2 1 Zweite A n w e n d u n g . Wenn den Voraussetzungen A und B

1 trod wenn 0 < ~-~

~ tt < ~ ist, ist unter

and das letzte Glied hat naoh (51), mit Riicksicht auf (7), absoluten Weft

(~o) !Z,~=,(~.+,,,,<.>,.~(r(,))E<os. ,r'~,~)-r'~o)i ,.%, .<,,<,~ f /~ + v';

und wenn auperdem ] 2~ § ,~f'( '~)I < f'('~) < f ' (P) ist,

1 . ~ e2=,(~,~+~,f(,o)y,(f(n))t <159.f '(fl) + 35 i~! 14 (50) ,<~<~ ' ~ / j "-~o + f'(.)-tx+~,f'(=)l

Beweis. Otme Beschr~inkung der Allgemeinheit kSnnen wit !p(v) im Intervall 0 < v < 1 nicht-abnehmend voraussetzen, da ,# (v) durch -- ~, (v) ersetzt werden kanm Es bezeichne t eine Zahl > 1, ~ (v) eine Funktion

1 mit der t)eriode 1, welche im Intervall 0 ~ v ~ ~ den Weft 1, im Intervall 1 1 y < v < 1 den Weft 0 hat. Um zu beweisen, dab fiir 0 ~ y ~ -f

(51) ! , p ( v - } - y ) - - V ( v ) I ~ ( v q - y ) - - ~ ( v ) - l : - . 4q~(v+y) 1

is~, geniigt es, die Strecke 0 ~ v-{- y < 1 zu betrachten. Wenn 0 ~ v @ y ~ -/ 1

ist, gi l t(51) wegen ] ~ ] ~ 1 und ~ ( v - ~ y ) - ~ l , und wenn u

also 0 < v ~ v - l - y < l ist, gilt (51) wegen ~ p ( v ) ~ ' q ~ ( v + y ) und ~ (v -}- y) = 0. Es ist

1

e~='<~:+"")) ~p (f(n)) = t ~, e2='('..~-.r(') f ~p(f(n) + y)dy

(52) 7

a<~<.e o h~ehs~ns den

Zahlentheoretische A h s e ~ u n g e n . 71 1 1

Iz/ z~ , [ . ~ , ( f ( n ) ~ - y ) - - v ( f ( n ) ) [ d y < = t y ~ ( f ( n ) ~ - y ) d y

t ~,<n<~ . < n < f l g t~ "

Aus (52) mad (53) folgt, wema auI die versehiedenen Glieder haw. Sara 5, Sara 5 mit 2 = / z = 0, die vorige hnwendtmg mad sehlieBlieh Sara 5 mit

1 2 = / ~ = 0 und q~ (v) -- T start W (v) angewendet wird, dab die linke Seite

yon (49) kleiner ist als

2.14 ~/~-[ f ' ( ~ ) - f ' ( , z ) I + 15

~=>~ b~w.

setzen, also

+. 4 I4vql f ' ( ~ ) - f ' ( a ) ~ + 15 q_ 4. I f'(fl) - f ' ( a ) i ~/~ to

_ , f ' ( ~ ) - f ' ( . ) t a l + s 4 r 1 6 2 4 +~ ,

und dag die lir&e Seite yon (50) kleiner ist~ als

(32 ~/t'f'(/~)-+-35 14I a 1 ,)+(32.v/~fi(/~) ~_a 1 ) " ~ - - ~ 2 " f ' ( a ) - ! z § v--~ ~ f'(")"

4- (53 f'(/~) t 9 1 ~/t-f'(~) a ,1 f'(~)

f'(fl) (53 .@ 192 .i,/~- ~/~- _~_ ~ ) .~__ 35. ~ _ ~ 14 < ~ f ' ( , z ) - [ :~+. f ' ( . ) !

Hieraus folgen abet unsere beiden Behauptungen; dean diese sind trivial, falls

:> 1 ist, und sonst kann man t = 1 bzw. t ~ ~ 1

bzw. 5a + 192v7 4-L-= 5 a + s < 1 9.

Dritte Aalwendung. Es seien die Voraussetzun#en A und B er/~ll~. Wenn -- ~ < 2 < ~ ~ < # < �89 ist und 2 und tz nicht beide vers~hwin- ~ 2 ~ 2 ~ ---

d e n , gibt es eine nut yon 2, t~ abIuingige lfonstante c~ mit der Eigenseha/t

72 J . G . van der Corput.

Wenn -- ~ ~__ = ~, 1~ =~: O, 0 < f ' ( a ) < f ' ( fi ) ist, gibt es eine n u t yon ix abhSngige Kons lan te c~. mi t der Eigenscha]t

t ~r t ' f ' (#) 1 . < . < ~ ' r ' ( < < )

Beweis. Beim Beweis bezeichnen c z, c~ und c 7 geeignet gew~lte Konstanten, welche nur von 2 und it; c,, c 6 und c s geeignete Konstanten, welche nut von u abh~ngen.

Es ist

(f'(#)-f'(c~) , 1 ) (55) i 5 7 , e "> '~`~"~ ' r ( " ) )~ < c~ . - - �9

Dean falls # = 0 ist, ist 2 @ 0, also die linke Seite kleiner als eine nur von 2 abh~ingige Konstante; falls dagegen /~ :7:0 ist, daft (29) angewen- det werden mit 2u + #~ f (u) start f (u), und dann wird e durch i/~ I e, ] f ' ( f l ) - - f ' ( e z ) ' , durch i # ] - i f ' ( f l ) - - f ' ( a ) i ersetzt, so dat~ die linke Seite yon (55) in diesem Falle kleiner ist als

c~ f ' ( # ) - f ' ( " ) ~ 1 < % _ _ .

Wenn dagegen ,u@O, O < f ' ( a ) < f ' ( f l ) i s t , daft ( 3 0 ) m i t l # ! f ( u ) start f ( u ) angewendet werden, und man finder dann auf dieselbe Art

' "

Nun ist l

1

h, ( v ~ ( f ( n ) ) - f m h ( v ) d v ) ! ~ < n < f i h=l o '

< Z (2~)h I 2=i(Zn+,uf(n)) I = h, i . ~ ~ ' e ( w h ( f ( n ) ) - - f v h ( v ) d v ) i ' h=l " a < n < # o

vorbehaltlich des sogleich zu erledigenden Beweises fiir die Konvergenz der letzten Reihe. Die Funktion

1

V O ( v ) - - f ~ h ( v ) d v 0

erfiiltt Voralassetzung B, wenn h ungerade ist, and sie ist die Summe von zwei Funktionen, we]ehe der Voraussetzang B geniigen, wenn h gerade ist. Naeh (49) ist daher

Z~hlentheoretische Absch~tzungen. 73

1

~ . < n < f i o

also die rechte Seite von (57) kleiner als

( I f ' (~ ) - f ' ( " ) I ~e-

( ( (58) c~ .tf'(fi)-f'(=)i 1 ~ ~-~(2=) h = .tf'(~')-f'(=)t

Nach (50) mlt 2 = 0 ist ferner, 0 <: fP(e) < f ' ( f l ) und ,u ~= O, I , u "~ vorausgesetzt,

= 1 ! ~---' h! h = 1

! I

Wegen

1

(fi(fl) 1 ) ~ (2z) h /fP(fl) ,1 )

1

0

folgt die erste Behauptung aus (55), (57) und (58), (57) mit ; , = 0 . . d (59).

die zweite aus (56),

Hiffssatz 3. Es sei ~ reell, nicht ganz; /i~llt 1~) und es werde /~r ~ ~ u ~ fi

es sei Voraussetzung A er-

gesetzt.

g ( u ) = 2 i s i n ~ z u ) @ - ~ f (u) cotg :~ 2

Dann ist

1 ~ ~='~"r(n)-g(~)+g(.) I < Ir'(~)-f'(~), a < n < f l

Beweis. Beim Beweise bezeichnen O1, O~, 03, 04 und 05 geeignet gew~ihlte Zahlen ~ -- 1 uad <: 1. Fiir jede ganze Zahl n > a und < fl ist

x~) Ungleichung (4) braueht bier nicht efffilIt zu sein.

74 J . G . van der Corput.

also

, (. + _ , ( . _ 1) - r( .)

-~- 4 i s i n z t X 2 7 ie =ix eotgn2 @ e -- ie eotg ~t

+ 05 f'(n+�89162 -= O~ f'(n+�89189 sin~ u2

und wegen der Monotonie yon i f ( u ) folgt hieraus die Behauptung dutch Summation iiber alle ganzen Zahlen n > a und < ft.

Satz 6. Es sei Voraussetzung A er/iillt; es sei -- �89 <_ 2 < ~ ? - �89 ganz, und es werde /iir a <___ u ~ fl im Falle 2 =~ 0

e~:i '" ( f ( u ) - ~, + r cotg =2) g ( u ) = 2 i s i n = ~ �9 -~f ' (u) gesetzt. E s sei welter im Intervall a <= u <__fl stets f(u)>=~,; es be- zeichne G den Bereich a ~ u ~ fl, 7 ~ v <_ f ( u ), und es werde gesetzt

1</~<=1

q

erstrec~ r die Koordinatenpaare u und v der Gitterpunkte yon G. Endlich sei

e8 Dann gibt Eigens~halt

Z ( a ) = A ( G ) - - f f d u d v

= A (G) - - g ( 8 ) + g(,~)

eine

---- A ( G )

=A(a) n u t yon 2

]alls 2 = tz = O,

/alls 2 # 0 , / 2 = 0 ,

2s~=z ( f l - a) /a~/s 2 = 0, ~ + 0,

/aZls ~ + 0, ~ + 0.

und tx abhdngige Konstante c 9 mit der

{ / ~ �9 ,

und wenn auf, erdem 2 = 0, 0 < f ' (a) < f ' (fl) ist, gibt es eine nu t yon tt abhSngige Konstante clo mit der Eigenscha/t

{f'(8) 1 ) .

1 Beweis. Ohne Besehr~nkung der Allgemeinheit~ kSnnen wir r = setzen; denn wenn (7 nm eine ganze Streeke w parallel zu der posifiven v-Achse versehoben wird, wird T ( G ) um e~=~s = multipliziert, iindert I T (G) i sieh also nicht. Wit zerlegen den Beweis in vier verschiedene Teile"

Zahlentheoretische Absch/itzungen. 75

1. Es sei 2 = # = 0 . ' Dann i s t

= =

Naeh (12) bzw. (13) ist das letzte Glied absolut kleiner als

5.if'(.a)-f'(a)l_{_ 6 bzw. 9f'--~(#)q- 1

Ferner ist nach der Eulerschen SummenformeI

s start f(u) anwendbar, so dal~ Hilfssatz Hilt f (u) --

tT(G)I < I f'(fl) - f '(=) ! 2 sin ~ =). q- 93"f ' ( f l ) --f ' (a)[ ist. f/~e~

P

= j Z (u) (f' (u) -- f' (a))du, a

1 gesetzt ist, und der absolute Betrag des letzten wo z ( = ) = ~ - [u] - f ' f' Integrals ist wegen der Monotonie von ( u ) - (a) mad wegen

,j. 1 z(u)du,<=~ naoh dem z~eSten Mitt~lwertsatz h~ohste,, ~ i f ' ( ~ ) - - f ' ( ~ ) I - Es i~t also in diesem Falle

T(O)]<6(If'(~)-f'(c~)i~--~o)~_e~ bzw. <10/f'(--~),f/~ b f,~=li). 2. Es sei 2~=0, # ~ - 0 . Dann ist

. < n < f l ~<n<fl

. < n < f l

das letzte Glied ist (49) mit F = 0, auf das vorletzte der vorige

135

3. Es sei 2 = 0, /z =~ 0. Dann folgt die Behauptung aus

[f(=)]

~ ' - ~ i n ~ ( / ~ - ~ ) + ~ i ~ , ~ o < . < ~

da auf das Schluflglied die Ergebnisse der dritten Anwendung des vorigen Satze~ = i t ~ z ( v ) = ~ ( v - [ v ] - }) ~tatt w(v) anzuwend~, ist.

76 J . G . van der Corput.

.

start 2 s in ~

dessen absoluter Betrag ~_ 2, sin ~). sin ~# i

Es sei ), :4= 0, ,u + 0. Diesetbe Beweisanordnung wie in 3,

( f l - - a ) bekommen wit jetzt das Glied

ie ~ " Z e 2 = i Z n ,

1 ist.

aber

Anwendung. YEs sei 2, u , p und q reell, 2 und ,u nicht ganz, f > O, h > O, h > f q - - h p > ~ f. D a n n konvergiert die do, e, Produk t

.=- ~ = 1

darstel le~le D i r i&le~che Reihe /~r ~ ( s ) > Max ( ~ + ~-~ + q + e + q 2 f + h ' f + 2 h /"

Beweis. Ohne Beschr~inkung der Allgemeinheir k5nnen wit -- �89 ~ 2 _~ ~, = ~ = ~ (also 2 + O, u @ 0), p > 0 und q _>_ 0 voraussetzen; denn

der Satz ~indert sich nicht, wenn man 2 und ,u um eine ganze Zahl ver- mehrt und s, lo, q bzw. dutch s + s o, p + fSo, q + hs o ersetzt, wo s o eine beliebige reelle Zahl bezeichnet. Bekanntlieh geniigt es zu beweisen

O O

wo die Summe ~ ausgedehnt wird fiber die Koordinatenpaare u und v a

der Gitterpunkte des in Figur 1 gezeichneten Bereiches

1 1 ~ v, u f v h < x , =

14-2I~+q l + 2 p + q

und wo y den Wert x ,f+h , x 2f+~ ocler

h a l je naehdem 1 ~- 2 p + q 2 f + h ~ , ~ oder

Fiir hinreiehend grol3es x wird G dureh die Gero.,den u = ix ?-~-/ f -__-31

und v = [ x f +~J - - ~ zerlegt in die vier t o ~,t t t G I g

G , G , G ,

l+p+~q l+p+2q

logx ~ - x f+2h logx x f+~h

l + p + 2 q ist.

f + 2 h

in. Figur 1 gezeichneten Teilbereiche

Wegen 2 + 0 , , u ~ 0 , p ~ 0 , q ~ 0 und

(61) 1 - ~ o + 2 q p + q f + h + f q - - h p f+~2h - - f + h ~ ( f + 2 h ) ( f + h ) > 0

x.~) In diesem Beweis bezieht sich das Zeichen O auf x; die Abseh~iC~ungen sind zwar gleichm~Big in den Zahlen, welche beim Beweis eingeffihrt werden (y, v, t, ~, n) , jedoch nicht in /., /~, 2 , q, f u n d h.

Zuhlenthearetisehe Abschgt~ungen. 77

Lxf +aj-I ~ - 1

= o ( y ) .

G" enthglt eine beschrgnkte Anzah] yon Gitterpunkten und zwar mit

Koordinaten 0 x ~;-/ , so da6 naeh (61) aueh

(6a) Z=o(y)

ist. Es geniigt jetzt die erste der zwei Absch~tzungen

(64) Z=o(v), ._S= o(v) G'" C~ v

zu beweisen; denn die zweite ergibt sich aus der ersten dutch Vertausehung von u und v, 2 und u, ~ imd q, f u n d h, und (60) folgt dann aus (62), (6a) (64).

Fig. 1.

E

B

r

z~ z z # c

Fig. 2.

Es sei also G " der in Figur 2 gezeichnete Bereich BCDE, so da6 die

, - -~ 1 hat. Wirbe- Abszisse von C den Wert L xr+~_ - -12, die yon B den Wert

trachten auf BC die Punkte P , (1 ~ z < t) mit Abszisse I 2-* x?+~J wo t die durch die Ungleichungen

1 1 1

( 6 5 ) X f-t-2h s 2--t3g i+h <2~ 2 Z f-~"h

eindeutig bestimmte ganze Zahl bezeictmet; fiir hinreichend gro/]es x ist t :> 0 and die Lage der 1)tmkte P~ wie in Figar 2 angegeben. Es sei Q~ (1 g ~ _< t) mit Koordinaten u, , v~ der Schni~tpunkt der Kurve DE mit der Geraden, welche dutch P , paxalIel zur v-Achse gezogen ist, und es mSgen %, v o die Koordinaten yon D, sowie u~, vB die Koordinaten yon B bezeichnen. Wegen

78 J.O. van dot Corput.

und

( 6 6 )

1 hp-- f q > _ 1 ut ~ 2 x f +Za

h

q h ia - - fq+h 1 1 + p + 2 q -h -{- h " f +----2-h ---- f + 2 h

BPtQt B U=l v=vB+ �89 u----1

I [ q_ ~a--fq§ k [ l + p + 2 q ~ =O ,x ut )=Ot, xTW)=O(y).

fq

Jedes der t anderen Teilgebiete yon B C D E (vgl. Figur 2)wird durch die Gerade v ~ [v~-i ] -- �89 zerlegt in ein eventuell verschwindendes Rechteck ~ und ein Gebiet G, (R1 verschwindet stets). Im Fs 2 ~ z ~ t ist

1

rails U, = 2-~x r+~j' und U f V ~ = x (1 _< z ~ t) gesetzt wird, lJilden

die Zahlen U~+~V, q+~ (1 <_ �9 _< t) eine geometrische Reihe, deren Summe

tUt v+-i-vq+~,t oder O(UI~+�89 q+-i- +~trTv+~Vtq+�89 ist, je nachdem die Glieder der geometrischen Reihe untereinander gleich sind oder nicht; im ersten

Fall ist 1 + 2p + q 1 +p + 2 q und es hat die Snmme der Reihe wegen 2 f + h ~ f + 2 h '

[ 1+2~+q \ t ~ O(logx) den Weft 0 (x ~r+a logx) = O ( y ) und im zwei~en Falle ist die Summe

2+3pJr3q l§

O ( x 3 t--t?-~ + x ~ -4~ ) = O ( y ) ,

da 2 + 3 p + S q zwisehen t + 2 p + q und l + p + 2 q liegt. Es 3 ( f+h ) 2 f § f + 2 h

t t

(68) ~ ' - ~ + ~ v q+�89 o ~-TU~+~Ee+~-- �9 =1 z=l

Um ~i beweisen, dab die Behauptung wahr ist, geniigt es jetzr zu beweisen

" ~'+~- q+�89 (1 ~< ~ < t); ( 6 9 ) j _ G,

denn (64) folgt dann aus (66), (67), (69) und (68). Um (69) ab- zuleiton, brauchen wit Satz 6. Die SHecken u - �89 ~-ganz zerlegen den in Figur 3 gezeichneC~n Bereieh G~ in die Teilgebiete Ha, H ~ , . . . , H , . Auf den Bereich H I ~ - H e ~ - . . . - ~ - H ~ ( 1 ~ <~n) ist Satz 6 mit

ist also stets

Zah] ~a~Jaeore~ische Absch~tzungen. 79

• v = f ( u ) = z ~ u ~ anwendbar.

der ersf~n Behauptung yon Satz 6

f v~ ersetzt werden. die grSflere Zahl ~ . u--/

v~_~ Min ( f ( f + h ) 1) ~ - - 1

gesetzt wird, ist ferner

f " ( u ) = f ( f + h ) , v--- > ~,

und es ist nach (65) 1 2

V t - 1 > X f +2a, ~ - - 1 " ~ X f + s h ,

Wegen f ' (u) ---- -- f - s daft hierbei in h u

t ier Ausdruok I f ' ( ,8)- f'('~)t aa roh

\

r

Vt_~ : J Fig. 3.

so dal~

1 ist.

v~-I 1 <~. vt-1 �9 ~ = 2--ui~- ~, also auch Q bei hinreichend grol~em x kleiner als

Nach der ersten Behauptung yon Satz 6 wird also

~ ( B I + H ~ + . . . + R , ) = O ~ =O(u;v ; ) .

Hieraus folgt, falls w~ die Abszisse der Gitterpunkte in H~ bezeichnet,

Z e2~i(xu+pv) ~ qr

= Z ~ , ~ A (H,)= ~w', (A (Hi+ B.~ + ... + B,) -- A (H1 + H~ +... + R,-1))

"f ~a = ~,~,4 (B1 + . . . + R,,) + ~ (w~ - ,,~§ A (~1 + . . . + H.)

"t,= l

n--1 1 1 1 ~

y~---1

1 1 ~.iul 1 = w i o ( ~ v ; ) = o ( ~ ~).

Mittels der m G~ liegenden Streeken v - �89 = ga~_z leitet man hieraus aaf iihnliche Art (naoh Vertauschtmg von u und v) (69) ab, womit die An- wendtmg v~llst~ndig bewiesen ist.

(Eingegaugen am 17. 12. 1920.)