Physikalisches Anfängerpraktikum 4Zeeman-Effekt &

Optisches Pumpen

John Schneider & Jörg Herbel

Durchgeführt am 12.07.2012 & 05.07.2012

Universität Konstanz

SS 2012

SvenjaTextfeldschlüssige Argumentation, fachlich korrekt - sehr gutFehler in der Fehlerrechnung s. KommentarEs hätte kleine Abzüge gegeben bei L-G-Platte, Auswertung Zeeman und Fehlerrechnung (s. Kommentare). Ich würde euch aber gerne ein paar Zusatzpunkte geben, weil ihr außergewöhnlich gut vorbereitet wart. Da das im Formular nicht vorgesehen ist, gibt's deshalb einfach pauschal 50 Punkte. Aber schaut euch bitte trotzdem das mit der Fehlerrechnung nochmal an! :-)

Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis

1 Versuchsziele 3

2 Physikalische Grundlagen 32.1 Quantenzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Energietermaufspaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2.1 Die Feinstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.2 Die Hyperfeinstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3 Der Zeeman-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3.1 Der normale Zeeman-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3.2 Der anormale Zeeman-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.3 Zeeman-Effekt der Hyperfeinstruktur . . . . . . . . . . . . . . . 112.3.4 Der Paschen-Back-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4 Auswahlregeln bei Dipolübergängen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.5 Optisches Pumpen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.5.1 RF-Spektroskopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.6 Lummer-Gehrcke-Platte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Versuchsdurchführung „Zeeman-Effekt“ 163.1 Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2 Ablauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4 Auswertung „Zeeman-Effekt“ 184.1 Spezifische Elementarladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.2 Polarisationseffekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.3 Fehlerdiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5 Versuchsdurchführung „Optisches Pumpen“ 205.1 Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.2 Ablauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

6 Auswertung „Optisches Pumpen“ 216.1 Fehlerdiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

7 Anhang 25Messprotokolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

2 Physikalische Grundlagen

1 Versuchsziele

Beim Versuch „Zeeman-Effekt“ werden wir die Aufspaltung von Spektrallinien des neu-tralen Cadmium-Atoms in einem externen Magnetfeld betrachten. Daraus werden wirdie spezifische Elementarladung ermitteln.Der Versuch „Optisches Pumpen“ hat die Bestimmung des Kernspins der Rubidiumiso-tope 85Rb und 87Rb zum Ziel. Durch Lichtabsorption werden Elektronenübergänge inAtomen angeregt, es folgt die Überbesetzung eines bestimmten Energieniveaus, welchedurch ein magnetisches Wechselfeld wieder rückgängig gemacht werden kann. Bei diesemVorgang ändert sich das Absorptionsverhalten der Atome, woraus wir letztlich auf denKernspin schließen können.

2 Physikalische GrundlagenHinweis: In dieser Arbeit werden Vektoren fettgedruckt dargestellt. Weiterhin ist zu beachten, dass wegen der Verwendungvon Quantenzahlen für den Betrag eines belieben Vektors x immer |x| geschrieben wird (es ist also |x| 6= x).

2.1 Quantenzahlen

Dieser Abschnitt wurde zum Teil übernommen aus [7].Die hier dargestellten Quantenzahlen beschreiben das Wasserstoffatom und außerdemnäherungsweise Systeme mit nur einem Valenzelektron, das von den inneren Elektronen(falls vorhanden) nur wenig beeinflusst wird.

1. Die Hauptquantenzahl n 2 N gibt die Energie des Elektrons im elektrischen Felddes Atomkerns an. Unterschiedliche Hauptquantenzahlen entsprechen unterschied-lichen Schalen, n = 1 enstpricht der K -Schale, n = 2 der L-Schale usw. Je höhern, desto höher der mittlere Abstand des Elektrons vom Atomkern und desto höherdie potentielle Energie im Coulomb-Potential des Kerns.

2. Die Drehimpulsquantenzahl oder Nebenquantenzahl l 2 N0 beschreibt die mögli-chen Orbitale, auf denen sich das Elektron aufhalten kann. Es gilt |l| =

pl(l + 1)~

(Eigenwert des Drehimpulsoperators), wobei l der Bahndrehimpuls des Elektrons

3

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2 Physikalische Grundlagen 2.2 Energietermaufspaltung

ist. l = 0 enstpricht dem s-Orbital, l = 1 dem p-Orbital usw. Es gilt hierbei fürein festes n die Einschränkung l n � 1, zu jedem n gibt es folglich n weitereUnterzustände.

3. Die magnetische Quantenzahl m 2 Z beschreibt die räumliche Orientierung desBahndrehimpulses in z -Richtung. Sie hängt mit l über l

z

= m~ (z -Komponentevon l) zusammen. Es gilt hierbei die Einschränkung �l m l, zu jedem l sindfolglich 2l + 1 Werte für m möglich.

4. Die Spinquantenzahl s gibt den Betrag des Eigendrehimpulses (Spins) s des Elek-trons an. Es gilt s = 1/2 sowie |s| =

ps(s+ 1)~. Weiterhin kann die z -Komponente

s

z

von s in einem externen Magnetfeld in z -Richtung nur 2 diskrete Werte anneh-men, nämlich s

z

= m

s

~ mit ms

= ±1/2. ms

heißt magnetische Quantenzahl desSpins.

5. Die Gesamtdrehimpulsquantenzahl j = |l ± s| des Elektrons gibt den Betrag desGesamtdrehimpulses j deselben an: |j| =

pj(j + 1)~.

6. Atomkerne besitzen einen mechanischen Drehimpuls I (Kernspin), für dessen Be-trag gilt |I| =

pI(I + 1)~. I heißt Kernspinquantenzahl und ist halb- oder ganz-

zahlig.

Beziehen sich die Quantenzahlen auf Mehrelektronensysteme, werden für die Quanten-zahlen Groß- anstatt Kleinbuchstaben verwendet, L bezeichnet z.B. die Drehimpuls-quantenzahl für alle Elektronen eines Systems. Das beim optischen Pumpen verwendeteRubidium besitzt ein einzelnes Valenzelektron. Alle weiteren Elektronen befinden sichauf abgeschlossenen, tieferen Schalen, die besonders stabil sind (Edelgaskonfiguration).Daher ähnelt das Rubidiumatom in seinem Verhalten dem Wasserstoffatom.

2.2 Energietermaufspaltung

2.2.1 Die Feinstruktur

Bei Atomen mit nur einem Valenzelektron sind alle orbitalen Energiezustände bis aufdie des s-Orbitals sind in zwei Unterzustände aufgespalten. Die daraus resultierende Du-blettstruktur der Spektrallinien heißt Feinstruktur. Sie beruht auf der Wechselwirkungzwischen dem magnetischen Bahnmoment µ

l

und dem Eigenmoment µs

des Elektrons,

4

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2 Physikalische Grundlagen 2.2 Energietermaufspaltung

Spin-Bahn-Kopplung genannt.

Das magnetische Bahnmoment entsteht, weil sich das Elektron mit der Ladung �e auf ei-ner Kreisbahn um den Atomkern bewegt (in dieser Herleitung wird also vom BohrschenAtommodell ausgegangen). Folglich liegt ein Kreisstrom

I =

�eT

= �e!2⇡

vor, wobei T die Umlaufzeit des Elektrons und ! dessen Kreisfrequenz ist. Damit folgt:

µ

l

= IA = �12

e!r

2.

A = ⇡r

2 ist die Fläche, welche die Elektronenbahn einschließt, r der Bahnradius. Wegenl = m

e

!r

2eA

mit der Elektronenmasse me

dem Flächeneinheitsnormalenvektor eA

gilt:

µl

= � e2m

e

l = �gl

µBl

~ .

Die zweite Identität wurde geschrieben unter Verwendung des Bohrschen MagnetonsµB = e~/(2me) sowie dem Landéschen g-Faktor gl = 1 für den Bahndrehimpuls.

Das Eigenmoment des Elektrons entsteht durch dessen Spin s, welcher klassisch nichterklärt werden kann. Es gilt:

µs

= �gs

e

2m

e

s = �gs

µBs

~ .

g

s

heißt g-Faktor des Elektrons, empirisch ergibt sicht gs

= 2, 0023. Unter Einfluss desäußeren Magnetfeldes, das durch die Kreisbewegung des Elektrons erzeugt wird, ergibtsich eine Vorzugsrichtung für s in z -Richtung, der Spin orientiert sich also.

Die Feinstruktur kommt nun zustande, indem sich l und s zu einem Gesamtdrehim-puls j des Elektrons addieren, dieses erhält das magnetische Moment µ

j

= µl

+µs

. DieKopplung entsteht, weil sowohl die Bahn- als auch die Eigenrotationsbewegung des Elek-trons Magnetfelder erzeugen und diese miteinander wechselwirken. Wegen j = |l±s| sindzu jedem l außer für l = 0 zwei Werte für j und folglich auch 2 Werte für j möglich. Dar-aus resultiert die Dublettaufspaltung der Energieterme. Weiterhin ist die z-Komponentevon j gequantelt, sie genügt der Bedingung j

z

= m

j

~, mj

= j, j�1, ...,�j. Nachfolgende

5

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2 Physikalische Grundlagen 2.2 Energietermaufspaltung

Abb. verdeutlicht die Entstehung der Feinstruktur.

Abbildung 1: a) Entstehung der Feinstruktur durch Spin-Bahn-Kopplung, b) Präzession vonj mit festem j

z

um die z-Richtung, in die das durch die Bahnbewegung erzeug-te Magnetfeld zeigt, c) z-Richtungsquantelung von j für |j|=3/2 (p-Elektron,l = 1). Entnommen aus [2], S. 173.

Wegen gl

6= gs

gilt j , ±µj

. Für den neuen Landé-Faktor gilt:

g

j

= 1 +

j(j + 1) + s(s+ 1)� l(l � 1)2j(j + 1)

.

2.2.2 Die Hyperfeinstruktur

Durch eine noch feinere Aufspaltung der Energieterme entsteht die Hyperfeinstruktur.Analog zur Feinstruktur kommt es auch hier zur Kopplung verschiedener magnetischerMomente, nämlich zwischen µ

j

und µI

(magnetisches Kernmoment). Es ergibt sich einGesamtdrehimpuls F = j + I des Einelektronensystems bzw. F = J + I für Mehrelek-tronensysteme. Für den Betrag des Gesamtdrehimpulses gilt |F | =

pF (F + 1)~, die

Quantenzahl F kann dabei die Werte F = J + I, J + I � 1, ..., J � I annehmen. Abb. 2zeigt die Kopplung von J und I.

Abbildung 2: Kopplung von J und I zu F aus [4], S. 377

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2 Physikalische Grundlagen 2.3 Der Zeeman-Effekt

Eine Übersicht über die Termaufspaltung durch die Feinstruktur und die Hyperfein-struktur bietet nachfolgende Grafik.

n=2

2S1/2

2P1/2

F=1

F=1

F=2

F=2

F=0

F=1

F=2

F=3

2P3/2

Feinstruktur Hyperfeinstruktur

Abbildung 3: Feinstruktur- und Hyperfeinstrukturaufspaltung des Niveaus n=2 bei einemAtom mit nur einem Valenzelektron und I = 3/2 wie z.B. 87Rb. Erstellt mitPages.

2.3 Der Zeeman-Effekt

Die Aufspaltung von Spektrallinien, welche aus dem Anlegen eines externen Magnet-feldes resultiert, bezeichnet man als Zeeman-Effekt. Man unterscheidet zwischen demnormalen und dem anormalen Zeeman-Effekt.

2.3.1 Der normale Zeeman-Effekt

Beim normalen Zeeman-Effekt liegt kein Spinmagnetismus der Atomelektronen vor.Dies bedeutet, dass sich die Elektronenspins der einzelnen Elektronen insgesamt zu nulladdieren müssen, daher kann der Zeeman-Effekt nur in Mehrelektronensystemen auf-treten. Man kann ihn durch die klassische Elektronentheorie erklären, indem man denUmlauf der Elektronen um den Kern als lineare Oszillation betrachtet. Das Elektron

7

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SvenjaBeschriftungdas ist die Beobachtung, der Zeeman-Effekt selbst ist die Aufspaltung der Energieniveaus

2 Physikalische Grundlagen 2.3 Der Zeeman-Effekt

wird in drei Ersatz-Oszillatoren zerlegt, wobei das 1. Ersatz-Elektron linear parallel zurRichtung des äußeren Feldes B0 (z -Richtung) schwingt. Die Ersatz-Elektronen 2 und 3schwingen entgegengesetzt zirkular senkrecht zu B0. Abb. 4 zeigt dies.

Abbildung 4: Aufteilung des oszillierenden Elektrons in Ersatz-Elektronen aus [4], S. 216.

Ist das externe Feld abgeschaltet, schwingen alle drei Ersatz-Oszillatoren mit derKreisfrequenz !0. Wird B0 hochgefahren, erfährt der 1. Ersatz-Oszillator keine Ab-lenkung, auf die anderen Ersatz-Oszillatoren wirkt die Lorentzkraft. Die Oszillatorengenügen folgenden Bewegungsgleichungen:

m

e

ẍ+me!20x� eẏ|B0| = 0,

m

e

ÿ +m

e

!

20y + eẋ|B0| = 0,

m

e

z̈ +m

e

!

20z = 0.

Es folgt sofort z(t) = z0 exp(i!0t). Um die Gleichungen für x und y zu lösen, substituiertman u = x+ iy und v = x� iy. Unter der Voraussetzung e|B0|/2m ⌧ !0 erhält man:

u(t) = u0 exp

i✓!0 �

e|B0|2m

e

◆t

�,

v(t) = v0 exp

i✓!0 +

e|B0|2m

e

◆t

�.

Daraus kann man ablesen, dass sich für die Ersatz-Elektronen 2 und 3 die Kreisfrequen-zänderung �! = e|B0|/2me ergibt, woraus man

�⌫ =

�!

2⇡

=

1

4⇡

e

m

e

|B0| (1)

als Änderung der Frequenz ⌫ erhält. Man kann diese Gleichung auch im Rahmen desVektormodells ableiten. Die Zusatzenergie, welche die Elektronen im externen Feld er-

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2 Physikalische Grundlagen 2.3 Der Zeeman-Effekt

halten, ist gegeben durch

E

mj = �(¯µj)z · |B0| = mjgjµB|B0|,

wobei (¯µj

)

z

die z -Komponente von ¯µj

, der zeitlichen Mittelung von µj

, ist. Foglich istdie (2j + 1)-fache Entartung aufgehoben, die neuen Terme sind energetisch äquidistant.Der Abstand zweier benachbarter Komponenten mit �m

j

= 1 lautet

�E = g

j

µB|B0|.

Über die Beziehung EPh = h⌫ für die Photonenenergie ergibt sich damit die Frequenz-verschiebung �⌫ = �E/h und man erhält wieder Gl. (1), weil man aufgrund der Ver-nachlässigung des Elektronenspins g

j

= g

l

= 1 setzen kann.Die Polarisation der einzelnen Komponenten kann aus der Behandlung des Zeeman-Effekts durch die klassische Elektronentheorie abgeleitet werden. Das 1. Ersatzelektronstrahlt wie ein Hertzscher Dipol und emittiert Licht, welches linear in die Richtung vonB0 polarisiert ist, die sog. ⇡-Komponente. Die anderen Ersatzelektronen strahlen zirku-lar polarisiertes Licht ab (Beobachtungsrichtung in Richtung des Magnetfeldes), die sog.�

+- und ��-Komponenten (die Vorzeichen stehen für eine Erhöhung bzw. Verminderungder Frequenz). Zusammenfassend beschreibt der normale Zeeman-Effekt also die Auf-spaltung der Spektrallinien im äußeren Magnetfeld in jeweils 3 Unterlinien (normalesZeeman-Triplett) mit verschiedenen Polarisationen. Dies zeigt nachfolgende Abb.:

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SvenjaBeschriftungs.o.

2 Physikalische Grundlagen 2.3 Der Zeeman-Effekt

Abbildung 5: Zeeman-Effekt beim Übergang zwischen zwei Orbitalen des Cd-Atoms. Manbeobachtet hier den normalen Zeeman-Effekt, weil beim Cadmium reiner Bahn-magnetismus vorliegt. Entnommen aus [4], S. 219.

Je nach Beobachtungsrichtung erscheinen die unterschiedlichen Unterlinien verschie-den polarisiert, falls sie aus der jeweiligen Richtung überhaupt zu beobachten sind. Dieszeigt Abb. 6.

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2 Physikalische Grundlagen 2.3 Der Zeeman-Effekt

Abbildung 6: Dargestellt ist die Linie � = 643, 8 nm des Cd-Atoms mit den Pola-risationen der unterschiedlichen Zeeman-Komponenten je nach Beobach-tungsrichtung, welche auf B0 bezogen ist. Ist die Beobachtungsrichtung(anti-)parallel zu B0, verschwindet die ⇡-Komponente, weil der Hertzsche Di-pol, welcher die ⇡-Komponente erzeugt, in diese Richtung nichts abstrahlt. Be-obachtet man senkrecht zum Magnetfeld, erscheinen die �±-Komponenten linearpolarisiert. Entnommen aus [4], S. 215.

Um den Zeeman-Effekt in einem Emmisionsspektrum detektieren zu können, be-nötigt man hochauflösende Optiken, die Zeeman-Aufspaltung ist klein im Vergleichzur Größenordnung der (Hyper-)Feinstruktur. Eine Möglichkeit ist die hier verwendeteLummer-Gehrcke-Platte, welche in Abschnitt 2.6 erläutert wird.

2.3.2 Der anormale Zeeman-Effekt

Beim anormalen Zeeman-Effekt tritt zusätzlich zum Bahnmagnetismus auch Spinma-gnetismus auf (der anormale Effekt beschreibt also den Normalfall). In diesem Fall prä-zediert j um die Richtung des externen Feldes. Die daraus resultierende Energietermauf-spaltung ist komplizierter als beim normalen Effekt, die entstehenden Linien sind i.A.nicht mehr äquidistant.

2.3.3 Zeeman-Effekt der Hyperfeinstruktur

Die bisherige Betrachtung verlief ohne Berücksichtigung des Kernspins. Wird dieser mit-einberechnet, erhält man die Zeeman-Aufspaltung der Hyperfeinstruktur. Es handelt

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2 Physikalische Grundlagen 2.3 Der Zeeman-Effekt

sich um energetisch äquidistante Linien mit der magnetischen Wechselwirkungsenergie

EHFS = gFµB|B0|mF

und dem Linienabstand�EHFS = gFµB|B0|. (2)

Die Quantenzahl mF

= F, F � 1, ...,�F beschreibt die Quantelung der z -Komponentevon F durch F

z

= m

F

~. Für den Landé-Faktor gF

gilt:

g

F

= g

J

F (F + 1) + J(J + 1)� I(I + 1)2F (F + 1)

. (3)

Im Vektormodell kann der Zeeman-Effekt der Hyperfeinstruktur durch nachfolgendeGrafik veranschaulicht werden.

Abbildung 7: Zeeman-Effekt der Hyperfeinstruktur im Vektormodell. F präzediert mit festerz-Komponente um die Richtung von B0. Entnommen aus [4], S. 383.

In Abb. 8 ist die Zeeman-Aufspaltung der Hyperfeinstruktur im Fall von 87Rb abge-bildet, wobei m

F

hier mit M bezeichnet wird.

2.3.4 Der Paschen-Back-Effekt

Der Paschen-Back-Effekt tritt auf, wenn die Zeeman-Aufspaltung größer als die Fe-instrukturaufspaltung wird. Dazu muss das externe Feld entsprechend stark sein. Eskommt dann zu einer Auflösung der Spin-Bahn-Kopplung, welche der Feinstruktur zuGrunde liegt. Stattdessen koppeln l und s separat mit dem äußeren Feld. Es ergibt sichwie beim Zeeman-Effekt ein Aufspaltungstriplett der Spektrallinien.

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2 Physikalische Grundlagen 2.4 Auswahlregeln bei Dipolübergängen

2.4 Auswahlregeln bei Dipolübergängen

Die Auswahlregeln geben an, ob in Systemen wie Atomen Elektronenübergänge zwi-schen verschiedenen Energieniveaus durch Emission oder Absorption elektromagneti-scher Strahlung möglich sind. Bei Anregung durch externe Dipole gelten folgende Re-geln:

Elektrische Dipolübergänge Magnetische Dipolübergänge

�L = 0,±1, nicht L = 0 $ L = 0 �

�J = 0,±1 �

�S = 0 �

�F = 0,±1 �F = 0,±1

�m

F

= 0,±1 �mF

= 0,±1

Tabelle 1: Auswahlregeln bei Dipolübergängen

2.5 Optisches Pumpen

Beim optischen Pumpen werden Atome gezielt weg vom thermodynamischen Gleichge-wicht geführt. Dies geschieht in unserem Fall durch Einstrahlen von zirkular polarisier-tem Licht, wodurch Elektronenübergänge ermöglicht werden, die den Regeln aus demvorangehenden Abschnitt unterworfen sind. Die Rubidiumatome befinden sich dabei be-reits in einem konstanten externen Magnetfeld, es tritt also der Zeeman-Effekt auf.Aufgrund der Polarisation gilt für die Übergänge �m

F

= ±1 (+1 für �+-Licht, �1 für�

�-Licht). Nachfolgende Grafik zeigt den Vorgang für das 87Rb-Isotop unter Einfall von�

+-Licht.

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SvenjaDurchstreichen

2 Physikalische Grundlagen 2.5 Optisches Pumpen

Abbildung 8: Optisches Pumpen bei 87Rb, M = mF

. Entnommen aus [8], S. 2-12.

Wegen �mF

= +1 können keine Elektronen aus dem 2S1/2-Orbital mit mF = 2 in das2P1/2-Orbital gehoben werden, da es den Zustand mF = 3 im P -Orbital bei 87Rb nicht

gibt. Jedoch können angeregte Elektronen durch Lichtemission vom höheren Orbital aufdiesen speziellen Zustand zurückfallen. Das bedeutet, dieser Zustand wird mit der Zeitüberbevölkert. Dadurch nimmt die Lichtabsorptionsfähigkeit ab und die Transmissiondurch die Rubidiumatome steigt. Der Vorgang läuft analog für 85Rb ab, allerdings findenhier die Übergänge zwischen F = 2 und F = 3 statt, das „Pumpniveau“ ist also höher.

2.5.1 RF-Spektroskopie

Um das durch optisches Pumpen überbevölkerte Niveau wieder zu leeren, wird ein ma-gnetisches Wechselfeld mit einer Frequenz im kHz-Bereich angelegt, das RF(Radiofrequenz)-Feld. Dadurch werden magnetische Dipolübergänge möglich, welche wiederum den Re-geln aus Abschnitt 2.4 genügen. Da das RF-Feld senkrecht auf dem statischen Feld undder optischen Achse steht, ist der Fall �m

F

= 0 ausgeschlossen. Wegen der Frequenzdes Feldes findet auch �F = 1 nicht statt, es bleiben also Überänge mit �m

F

= ±1und �F = 0. Gl. (2) gibt den Energieunterschied zwischen einem Elektron vor- undnach einem durch das RF-Feld induzierten Übergang an. Das Licht, welches bei denÜbergängen abgestrahlt wird, hat wegen EPh = h⌫ die Frequenz

⌫ =

g

F

µB|B0|h

. (4)

Stimmt die Frequenz des RF-Feldes mit dieser Frequenz überein, werden besonders vieleÜbergänge induziert, dadurch sind wiederum besonders viele Elektronen in der Lage,

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2 Physikalische Grundlagen 2.6 Lummer-Gehrcke-Platte

das eingestrahlte Licht erneut zu absorbieren und die Transmission durch die Rubidiu-matome sinkt auf ein Minimum.

2.6 Lummer-Gehrcke-Platte

Ein schematischer Aufbau einer solchen Platte ist in Abbildung 9 zu finden. Sie dient alshochauflösender Spektralapparat und beruht auf dem Prinzip der Mehrstrahlinterferenz.Ein Lichtstrahl fällt unter einem Winkel gleich oder größer dem Winkel der Totalrefle-xion in das Prisma am Anfang der Platte ein, wird reflektiert und in die eigentlicheLummer-Platte geleitet. Hier wird er mehrfach leicht unterhalb des Winkels der Total-reflexion reflektiert, wodurch eine Vielzahl an Strahlen an der oberen und unteren Seiteder Platte entstehen, welche miteinander interferieren können. Die Strahlen werden dar-aufhin mit einer Sammellinse fokusiert.

Abbildung 9: Aufbau und Funktionsweise einer Lummer-Gehrcke-Platte. Entnommen aus[3], S. 153.

Nach [6] gilt dabei für den Wellenlängenunterschied �� zwischen den Komponentenunterschiedlicher Frequenz des einfallenden Lichts:

�� =

�

2

2a

pn

2 � 1�⌧

�⌧

, (5)

wobei a die Dicke der Platte, n den Brechungsindex, �⌧ die Winkelaufspaltung innerhalbeiner Beugungsornung und �⌧ die Winkelaufspaltung der Linien zwischen zwei Ordnun-gen angibt. Da wir diese Formel später für die Auswertung verwenden, benötigen wirauch den Quotienten �⌧/�⌧ . Da wir im Versuch äquidistante Linen beobachten undvermessen, geben uns die in Abbildung 10 dargestellten geometrischen ZusammenhängeAufschluss darüber. Für die transversale Betrachtung erhalten wir damit �⌧/�⌧ = 1/3und für die logitudinale Beobachtung �⌧/�⌧ = 1/4.

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SvenjaTextfeldwarum entstehen mehrere Linien?

3 Versuchsdurchführung „Zeeman-Effekt“

δτ

Δτ

δτ

Δτ

Abbildung 10: Skizze zur Veranschaulichung der Äquidistanzbedingungen im transversalenbzw. longitudinalen Beobachtungsmodus (bezogen auf das Magnetfeld). Es sindjeweils 2 normale Zeeman-Tripletts dargestellt, bei longitudinaler Beobach-tung fällt je eine Linie aus. Wir stellten das Magnetfeld so ein, dass die Liniengleichen Abstand zueinander hatten. Erstellt mit Pages.

3 Versuchsdurchführung „Zeeman-Effekt“

3.1 Aufbau

Der Versuchsaufbau ist vereinfacht in Abbildung 11 dargestellt. Er bestand aus einerCadmium-Dampf-Lampe (Wellenlänge der roten Linie � = 643, 8 nm), welche zwischenzwei konischen Polschuhen mit Elektromagnet angebracht war. Das Magnetfeld ließ sichüber ein regelbares Netzgerät einstellen. Zur Messung lag eine Hall-Sonde bereit. Mit-tels eines Rotfilters wurde aus dem Spektrum der Lampe die oben erwähnte Spektrallinieselektiert und durch eine Lummer-Gehrcke-Platte (Dicke a = 4, 04mm, Brechungs-index n = 1, 4567) geleitet. Die so erhaltene Ausspaltung beobachteten wir mit einemFernrohr. Auch ließen sich noch �/4-Plättchen und lineare Polarisatoren zwischen Platteund Beobachter einsetzen. Die Polschuhe samt Lampe waren zudem auf einer Drehvor-richtung montiert, was eine Logitudinaluntersuchung ermöglichte. Hierzu war ein kleines

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3 Versuchsdurchführung „Zeeman-Effekt“ 3.2 Ablauf

Loch in einem der Polschuhe, wodurch wiederum das rote Licht beobachtet werden konn-te.

Abbildung 11: Versuchsaufbau entnommen aus [3], S. 152.

3.2 Ablauf

Als erstes wurde der Versuch für die transversale Beobachtung präpariert. Hierzu wurdedie Messapparatur so justiert, dass die roten Interferentstreifen scharf erkennbar waren.Daraufhin regelten wir den Strom für das Magnetfeld so, dass sich die Linien äquidistanteinstellten. Das Magnetfeld maßen wir, indem wir die Lampe herausschoben und dieHall-Sonde in Position brachten. Die Messung führten wir insgesammt fünf mal durch.Auch untersuchten wir die Auswirkung eines Polarisationsfilters im Strahlengang.Als nächstes drehten wir die Vorrichtung für die logitudinale Beobachtung. Nach derJustierung führten wir erneut fünf Messungen des Magnetfeldes bei äquidistanten Ab-ständen durch. Zum Abschluss beobachteten wir wiederum den Einfluss eines Polari-sationsfilters und eines �/4-Plättchens. Die Messergebnisse sind dem Messprotokoll zuentnehmen.

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4 Auswertung „Zeeman-Effekt“

4 Auswertung „Zeeman-Effekt“

Um den Versuch auszuwerten, werden wir die spezifische Elementarladung e/me

bestim-men. Hierzu ziehen wir sowohl die Messwerte der transversalen Einstellung, als auchdie der logitudinalen Einstellung heran. Darüberhinaus werden wir den Einfluss vonPolarisatoren und �/4-Plättchen qualitativ beschreiben.

4.1 Spezifische Elementarladung

Um aus den gemessenen Magnetfeldern B die spezifische Elementarladung zu berechnen,ziehen wir Gl. (5) und (1) heran. Es liegt der normale Zeeman-Effekt vor, weil sichbeim Cadmium die Elektronenspins zu null addieren und damit reiner Bahnmagnetismusvorliegt. Durch Einsetzen und Umformungen erhalten wir

e

m

e

=

2⇡c

Ba

pn

2 � 1�⌧

�⌧

,

wobei wir für den Quotienten �⌧/�⌧ die in Abschnitt 2.6 hergeleiteten Beziehungenverwenden. Für den Fehler erhalten wir folglich folgende Formel:

�

e

m

e

=

e

m

e

1

B

�B.

Die Unsicherheit der einzelnen Messwerte haben wir auf ±0, 01T abgeschätzt. Da wirjedoch für die transversale und die logitudinale Einstellung jeweils fünf Messwerte vorlie-gen haben, bilder wir hieraus die Mittelwerte samt Standardabweichung und verwendendiese für die Fehlerrechnung. Aus den Mittelwerten bestimmen wir dann die spezifischeElementarladung. Die Ergebnisse sind in Tabelle 2 zusammengefasst.

MW von B [T] STABW[T] e/me

[1011 C/kg] �(e/me

) [1011 C/kg]longitudinal 0,758 0,015 1,937 0,038transversal 0,588 0,029 1,873 0,091

Tabelle 2: Die Mittelwerte der magnetischen Flussdichten und die berechneten spezifischenElementarladungen.

Unsere beiden berechneten Werte mitteln wir nun erneut und erhalten somit un-ser (e/m

e

)exp. Der Vergleich mit dem gerundeten Literaturwert aus [1] ist in Tabelle3 aufgeführt. Zwar liegt der von uns bestimmte Wert größenordnungstechnisch recht

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SvenjaTextfeldUmrechnung dnu => dlambda?

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SvenjaBeschriftungdie Unsicherheit des Mittelwerts ist nicht die StABw, sondern StAbw/WURZEL(Anzahl Messwerte) (s. auch Skript zur Fehlerrechnung. Die StAbw gibt die statistisch ermittelte Genauigkeit einer Einzelmessung an => entweder mit Unsicherheit d. MW rechnen oder mit geschätztem Fehler, falls ihr eine systematische Abweichung vermutet

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SvenjaLinien

4 Auswertung „Zeeman-Effekt“ 4.2 Polarisationseffekte

nah Vergleichswert, jedoch außerhalb der Fehlertoleranz. Wir erhalten eine prozentualeAbweichung von knapp 8,3 %.

(e/m

e

)exp [1011 C/kg] STABW[1011 C/kg] (e/me)lit [1011 C/kg] Diskrepanz [1011 C/kg]1,905 0,045 1,759 0,146±0, 045

Tabelle 3: Der Vergleich des experimentell bestimmten Wertes mit dem Literaturwert.

4.2 Polarisationseffekte

In der transversalen Einstellung hatte das Einbringen eines Polarisationsfilters bei geeig-neter Justierung den Ausfall mancher Linien zur Folge (es wurde hier kein �/4-Plättchenbenötigt, da das Licht bereits linear polarisiert war). Drehte man den Filter dann noch-mals um 90 °, wurden andere Linien gelöscht. Dies bestätigt die Theorie, wonach diePolarisation der mittleren Linie eines Zeeman-Trippletts senkrecht auf denen der bei-den äußeren Linien steht (vgl. Abbildung 6).In der longitudinalen Beobachtung tritt zunächst einmal das Problem einer geringenIntensität auf. Verwendet man ein �/4-Plättchen, um das zirkular polarisierte Licht inlinear polarisiertes umzuwandeln und danach einen Polarisationsfilter, so ist auch hierder Ausfall einiger Linien zu verzeichnen. Welche Linien bei welcher Winkelstellung aus-gefallen sind, konnte jedoch nicht außreichend gut beobachtet werden. Da wir in dieserEinstellung 2 entgegengesetzt zirkular polarisierte Linien vorliegen haben, welche in li-near polarisiertes Licht umgewandelt werden, so ist von einer Phasendifferenz von 90 °auszugehen.

4.3 Fehlerdiskussion

Die berechneten Werte für die spezifische Elementarladung liegen zwar außerhalb derFehlertoleranz, können unter qualitativen Gesichtspunkten allerdings als gültig betrach-ten werden. Diese Ungenauigkeit ist hauptsächlich auf Messungenauigkeiten zurückzu-führen. Es war nicht ganz einfach, die äquidistanten Abstände mit dem Auge abzuschät-zen. Zwar haben wir für jede Einstellung fünffach gemessen, die Abweichungen spiegelndiese Ungenauigkeit dabei wieder. Für einen besseren Wert hätten aber schlicht mehr

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SvenjaBeschriftungauch hier: StAbw des MW, nicht normale StAbw

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5 Versuchsdurchführung „Optisches Pumpen“

Messungen erfolgen müssen. Auch die Messung des Magnetfeldes war teilweise proble-matisch. Ein leichte Bewegung der Sonde hatte bereits Auswirkungen auf die Messung.Hier hätten wir evtl. von einem größeren Fehler ausgehen müssen. Vergleicht man dieWerte für transversal und logitudinal, so fällt auf, dass der logitudinale Wert näher amLiteraturwert liegt. Dieser Tatsache liegt jedoch kein ersichtlicher Zusammenhang zuGrunde. Da die Intensität bei longitudinaler Beobachtung geringer war, wäre sogar zuvermuten, dass die transversale Beobachtung genaueres Messen und damit bessere Werteermöglicht.

5 Versuchsdurchführung „Optisches Pumpen“

5.1 Aufbau

Bei dem Versuchsaufbau handelte es sich um einen kompakten Aufbau der Firma Leybold-Heraeus (siehe Abbildung 12). Dieser bestand aus einer Rubidium-Zelle mit den Iso-topen 87Rb und 85Rb, welche an ein Heizsystem mit Temperaturmessung angeschlossenwar, Helmholtz-Spulen (je 80 Windungen und ein mittlerer Radius von 9 cm) zur Er-zeugung eines magnetischen Sweepfeldes, RF-Generator (6 verschiedene Frequenzen) undRF-Helmholtz-Spulen. An die Sweepspulen wurde eine Sägezahnspannung angelegt.Zudem verwendeten wir eine Rubidium-Lampe, wobei deren Licht noch fokusiert, mo-nochromatisiert und schlussendlich zirkular polarisiert wurde. Die Intensität des Lichtswurde nach dem Durchqueren der Rb-Zelle mittels einer Photodiode gemessen. MittelsOszilloskop konnten wir Sweepspannung und Photostrom oder die RF-Frequenz messen.

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SvenjaBeschriftunghätte das wirklich etwas geändert? (systematisch Abweichung nach oben!)

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6 Auswertung „Optisches Pumpen“ 5.2 Ablauf

Abbildung 12: Versuchsaufbau, entnommen aus [5].

5.2 Ablauf

Zunächst bestimmten wir die RF-Frequenzen der 6 möglichen Einstellungen. Daraufhinließen wir die Sweepspannung und den Photostrom am Oszilloskop anzeigen. Hier be-stimmten wir mittels Curser für jeden Intensitätspeak die jeweilige Sweepspannung. Abder 2. RF-Frequenz erhielten wir 2. Peaks pro Sägezahnperiode. Dies führten wir füralle 6 RF-Frequenzen durch, wobei wir bei der letzten Messung noch eine zusätzlicheHelmholtz-Spule mit gleicher Konfiguration zuschalteten, um die nötige Feldstärke zuerreichen. Die Messergebnisse samt ersten Plots sind dem Messprotokoll zu entnehmen.

6 Auswertung „Optisches Pumpen“

Um den Versuchs auszuwerten, werden wir mit den gemessenen Spannungen bzw. Strö-men auf das entsprechende B-Feld der Sweepspule schließen und diese über die Frequen-zen auftragen. Mittels den Steigungswerten einer linearer Regression werden wir dannden Faktor g

F

für die beiden Isotope berechnen. Daraufhin werden wir noch den Kern-spin I der Stoffe bestimmen.

Die Umrechung der gemessenen Spannungen in die jeweilige Stromstärke erfolgt über

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6 Auswertung „Optisches Pumpen“

das Ohmsche Gesetz. Da wir einen Widerstand von R = 1⌦ vorliegen haben, können dieSpannungswerte eins zu eins übertragen werden. Zur Bestimmung des B-Feldes ziehenwir die Gleichung der Helmholtz-Spule heran:

B = µ08INp125r

,

wobei N für die Windungszahl, in unserem Fall 80, und r für den Radius der Spulestehen. Für den Fehler gilt

�B =

����@B

@I

���� �I =B

I

�I.

Der Fehler �I ist betragsmäßig gleich dem Fehler �U , welchen wir auf ±3mV abgeschätzthaben. Prinzipiell hat sich die Ungenauigkeit der Werte der 6. Frequenz durch den zu-sätzlichen Strom leicht erhöht. Der Einfachheit halber vernachlässigen wir diesen Fehlerjedoch. Wir erhalten:

�B = 2, 4µT.

Die berechneten magnetischen Flussdichten sind zusammengefasst in Tabelle 4 aufge-führt.

⌫ [kHz] I1 [mA] B1 [µT] I2 [mA] B2 [µT]343,6 115 91,9 - -483,1 154 123 (288) (230)892,9 193 154 (295) (236)1081 227 181 322 2571258,4 258 206 372 2972352,3 443,5 354 653,5 522

Tabelle 4: Die RF-Frequenz samt zugehörigen Stromstärken bei den Peaks und den darausberechneten Feldern.

In den Plots, welche im Messprotokoll verzeichnet sind, erkennt man jedoch, dassunsere Zuteilung der Werte für Peak 1 und Peak 2 nicht ganz richtig sein kann. Dawir zwei Geraden erwarten, gehen wir davon aus, dass die Werte der ersten beidenFrequenzen für Peak 1 eher Peak 2 zuzuschreiben sind. Zudem fallen die Messwerte der2. und 3. Frequenz für den 2. Peak auf, da diese stark von der Linearität abweichen. Wirhaben uns daher dazu entschlossen, diese nicht weiter zu berücksichtigen. Trägt man diemagnetische Flussdichten nun über die entsprechenden Frequenzen auf und fittet dieselinear, so erhält man Abbildung 13.

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6 Auswertung „Optisches Pumpen“

Abbildung 13: Die berechneten magnetischen Flussdichten aufgetragen über der Frequenzsamt Fit. Erstellt mit QtiPlot.

Für die Steigungen A der beiden Gerade erhalten wir mit QtiPlot:

A1 = (1, 365± 0, 009) · 10�7T

kHz

A2 = (2, 143± 0, 032) · 10�7T

kHz.

Die Formel für den Landé-Faktor gF

bekommen wir durch das Umstellen von Gl. (4):

g

F

=

h

A

i

µ

B

.

Für den Fehler gilt�g

F

=

h

A

2i

µ

B

�A.

Damit erhalten wir für die beiden Peaks Landé-Faktoren von

g

F1 = 0, 5237± 0, 0004,

g

F2 = 0, 3336± 0, 0005.

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6 Auswertung „Optisches Pumpen“ 6.1 Fehlerdiskussion

Über Gleichung (3) können wir abschließend noch den Kernspin I berechnen. Hierzuverwenden wir den Zusammenhang F = J + I sowie die Tatsache, dass für das ElementRb J = S = 1/2 im Grundzustand gilt. Dies liegt daran, dass Rb in der 1. Hauptgruppeim Periodensystem zu finden ist und damit lediglich ein Valenzelektron besitzt. Derenergetisch günstigste Zustand liegt dann vor, wenn L = 0 gilt. Wir erhalten nachUmformungen als Berechnungsformel für I:

I =

1

g

Fi

� 12

.

Mit den beiden ermittelten Werte für gF

und der Fehlerformel

�I =

1

g

2Fi

�g

Fi

erhalten wir schlussendlich

I1 = 1, 41± 0, 02,

I2 = 2, 50± 0, 04.

Die berechneten Kernspins lassen sich nun noch mit den erwarteten Werten vergleichen.Das Isotop 85Rb besitzt einen Kernspin von I = 5/2. Diesen Werte haben wir auch miterstaunlicher Übereinstimmung in unseren Messergebnissen erhalten. Damit können wirdie 2. Messreihe diesem Isotop zuordnen. Für 87Rb würde man einen Wert von I = 3/2erwarten. Zwar liegt dieser nicht im Bereich der Fehlertoleranz, dennoch können wirdamit die 1. Messreihe diesem Isotop eindeutig zuordnen.

6.1 Fehlerdiskussion

Die erhaltenen Ergenisse können qualitativ und zum Teil auch quantitativ als gültigbetrachtet werden. Die beiden erhaltenen Kernspins passen sehr gut zu den erwartetenWerten. Im Fall von I2 stimmt dieser sogar mit dem erwarteten Wert unter der Nä-herung auf die zweite Nachkommastelle überein. Größere Unstimmigkeiten ergeben sichallerdings bei Hinzunahme der zwei ausgeklammerten Messwerte. Die recht große Abwei-chung muss hier wohl auf gröbere Messfehler im Einzelnen zurückzuführen sein, da einsystematischer Fehler aufgrund der guten anderen Werte eher unplausibel ist. Weiterhin

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Tabellenverzeichnis

sind Ungenauigkeiten durch die Annahme von exakten Angaben der Helmholtz-Spulenentstanden. Auch waren kleinere Schwankungen am Oszilloskop zu beobachten, die wirmit der interne Mittelung auszugleichen versuchten.

7 Anhang

Abbildungsverzeichnis

1 Entstehung der Feinstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Kopplung von J und I zu F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Feinstruktur und Hyperfeinstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Ersatz-Elektronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Zeeman-Effekt beim Cd-Atom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Polarisation der Zeeman-Komponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 Zeeman-Effekt der Hyperfeinstruktur im Vektormodell . . . . . . . . . . 128 Optisches Pumpem bei 87Rb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Lummer-Gehrcke-Platte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1510 Äquidistanzbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1611 Versuchsaufbau Zeeman-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1712 Aufbau Optisches Pumpen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2113 Flussdichte über Frequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

Tabellenverzeichnis

1 Auswahlregeln bei Dipolübergängen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Spezifische Elementarladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 Spezifische Elementarladung Vergleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Berechneten Magnetfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

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Literatur Literatur

Literatur

[1] Spezifische Ladung. http://de.wikipedia.org/wiki/Spezifische_Ladung. Ent-nommen am 26.05.12.

[2] Demtröder, Wolfgang: Experimentalphysik 3 - Atome, Moleküle und Festkörper.Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 4. Auflage, 2010.

[3] Georg Maret, Guido Burkard: Physik IV: Integrierter Kurs. Skript zur Vor-lesung im Sommersemester 2012. Entnommen am 18.07.2012.

[4] Haken, Hermann und Hans Christoph Wolf: Atom- und Quantenphysik.Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 8. Auflage, 2004.

[5] Runge, Bernd-Uwe: Optisches Pumpen. Anleitung zum physikalischen Anfänger-praktikum der Universität Konstanz. Entnommen am 13.07.2012.

[6] Runge, Bernd-Uwe: Zeeman-Effekt. Anleitung zum physikalischen Anfängerprak-tikum der Universität Konstanz. Entnommen am 15.07.2012.

[7] Schneider, John und Jörg Herbel: Quantenmodelle. Versuchsprotokoll im Rah-men des physikalischen Anfängerpraktikums an der Universität Konstanz.

[8] TeachSpin: Optical Pumping of Rubidium OP-1A � Guide to the experiment andinstructor’s manual. TeachSpin, Inc., 2495 Main Street, Buffalo, NY 14214-2153,USA, 2002.

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http://de.wikipedia.org/wiki/Spezifische_LadungSvenjaBleistift

VersuchszielePhysikalische GrundlagenQuantenzahlenEnergietermaufspaltungDie FeinstrukturDie Hyperfeinstruktur

Der Zeeman-EffektDer normale Zeeman-EffektDer anormale Zeeman-EffektZeeman-Effekt der HyperfeinstrukturDer Paschen-Back-Effekt

Auswahlregeln bei DipolübergängenOptisches PumpenRF-Spektroskopie

Lummer-Gehrcke-Platte

Versuchsdurchführung ,,Zeeman-Effekt``AufbauAblauf

Auswertung ,,Zeeman-Effekt``Spezifische ElementarladungPolarisationseffekteFehlerdiskussion

Versuchsdurchführung ,,Optisches Pumpen``AufbauAblauf

Auswertung ,,Optisches Pumpen``Fehlerdiskussion

Anhang