Ausarbeitung zum Hauptseminar

Zehnstellige Probleme I

Jonas Hamann

18.05.2017Sommersemester 2017

Seminarleitung: Prof. Dr. Lukacova

Institut für Mathematik

Johannes Gutenberg-Universität

Inhaltsverzeichnis1 Einleitung 3

2 Das Integral 32.1 Integration von oszillierenden Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Die Lösung des Integral-Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Lösungsalternative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Das zwei Würfel Problem 83.1 Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.1.1 Möglichkeit 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.1.2 Möglichkeit 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2 Exakte Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4 Anhang A: Ein Exkurs in Octave 17

5 Anhang B: n-dimensionale Gauss-Quadratur über den 0-1-Würfel 17

1 Einleitung

1 EinleitungDer Artikel „10-stellige Probleme“ aus dem Buch „Eine Einladung in die Mathema-tik“ wurde von Prof. Hoyd Nicolas Trefethen verfasst, der als Professor für numeri-sche Analysis an der Universität Oxford arbeitet. Jedes Jahr stellt er seinen neuenDoktoranden wöchentliche Aufgaben, die sie in zweier Teams bearbeiten müssen.Dafür steht ihnen jedes Hilfsmittel zur Verfügung. Drei dieser Probleme, die bis auf10 Stellen genau approximiert werden sollten, werden in dem zwei geteilten Vortragpräsentiert.Den Anfang macht das Integral-Problem gefolgt von dem „zwei Würfel Problem“.Der zweite Vortrag behandelt anschließend das „fünf Münzen Problem“.Solange nicht anders gekennzeichnet ist, beziehe ich mich auf den Artikel aus demBuch.

2 Das IntegralProblem 2.1. Gesucht ist eine Approximation des Integrals

1⁄

0

x

≠1cos(x≠1

log(x))dx. (1)

In dem Buch wurde die Lösung nicht weiter diskutiert, in Rahmen des Seminarvor-trag habe ich dies getan1. Das Integral bringt gleich mehrere Probleme mit sich, diedas Au�nden einer Stammfunktion unmöglich machen, bzw. sehr schwierig macht.Der Integrand hat eine Singularität in 0, er ist in Nähe der linken Grenze unbe-schränkt und oszilliert im Integrationsintervall unendlich oft.Wir fassen (1) als Riemann-Integral auf. Da die Funktion am linken Grenzwert un-beschränkt ist, kann sie nicht lebesgue-integrierbar sein, da hierfür

sR+ |f(t)| < Œ

gelten müsste. Dies ist nicht der Fall.Wir wollen, bevor wir zur der Approximation kommen einige Vorüberlegungen tref-fen.

2.1 Integration von oszillierenden Funktionen

Vorab werden allgemeine oszillierende Funktionen betrachtet. Seibs

a

g(x)dx ein sol-ches Integral auf einem allgemeinen Intervall [a, b]. Die Funktion g(x) hat in diesem

1Als Quelle diente hierbei die Vorlesung Funktiontheorie bei Herrn Prof. Zuo und der Artikel ausBornemann, F., Laurie, D., Wagon, S. & Waldbogel, J.

2Abbildung 1: eigene Darstellung mit Geogebra

3

2 Das Integral

Abbildung 1: Plot der Funktion f(x) = x

≠1cos(x≠1

log(x))2

Intervall unendlich viele Extrema, es oszilliert. Möchte man das Integral nun lösenbzw. approximieren kann man die herkömmlichen Methoden aus den Grundlagender Numerik nicht verwenden. Man kann es nicht durch übliche Quadraturformeln(wie z.B. Gauß-Quadraturen) lösen, da hierfür ein polynomiales Verhalten der Funk-tion vorausgesetzt wird, um gute Näherungen zu erhalten.Sei ferner a der einzige Häufungspunkt der Extremstellen von der Funktion g. Mangeht nun wie folgt vor:

• Wähle eine Folge a

k

mit b = a0 > a1 > a2 > a3 > ...., sodass diese Folge dasIntervall [a, b] in Teilintervalle [a

k

, a

k+1], k œ N zerlegt.

• Integriere g über jedes Teilintervall. Die Funktion g verhält sich für hinrei-chend feine Unterteilungen auf einzelnen Teilintervallen „normal“. Auf diesenTeilintervallen funktionieren numerische Verfahren. D.h. berechne:

a

k+1⁄

a

k

g(x)dx = s

k

• Nun summiere alle Teilintegrale auf und erhalte:

Œÿ

k=1s

k

¥b⁄

a

g(x)dx

Man beachte, dass eine Singularität an der Stelle x = a keine weiteren Problemebereitet, da sich die Unterteilungen in a häufen, da hier, wie angenommen, derHäufungspunkt der Extremstellen ist.

4

2 Das Integral

Es ist allerdings zu beachten, dass die Folge a

k

schnell gegen Null konvergieren sollte,sodass es sich hinreichend „normal“ verhält und der Fehler der Quadratur geringbleibt. Doch nun stellt sich die Frage, wie man diese Folge wählen sollte. Hierfürgibt es drei o�ensichtliche Möglichkeiten.

• 1. Wähle die Nullstellen von g als Folge a

k

• 2. Wähle die Extremstellen von g als Folge a

k

• 3. Wenn g(x) = f(x)h(x) mit monotonem h(x) dann wähle die Extremstellenvon f(x)

Im Allgemeinen eignen sich Extremstellen besser, da Nullstellen nicht invariant unterVerschiebungen des Graphens nach oben/unten sind.

2.2 Die Lösung des Integral-ProblemsKommen wir nun zu dem anfangs gestellten Problem (1) zurück. Die eben bespro-chene Methode eignet sich gut, um

1⁄

0

x

≠1cos(x≠1

log(x))dx

zu lösen. Es handelt sich um eine oszillierende Funktion mit einem Häufungspunktvon Extremstellen um die Stelle x = 0, hier besitzt sie zudem eine isolierte Singula-rität. Wir wollen nun unsere Folge a

k

wählen, um die Funktion im Intervall (0, 1) zuunterteilen. Um den Vergleich der Möglichkeiten zu verdeutlichen verwenden sowohldie Nullstellen, als auch die Extremstellen der Funktion. Für die Unterteilungspunkt,im Fall der Nullstellen gilt:

a

≠1k

log(ak

) = ≠(k ≠ 12)fi k œ N.

Im Falle der Extremstellen gilt analog für die Unterteilungspunkte:

a

≠1k

log(ak

) = ≠kfi k œ N.

Nun berechnen wir für k = 1, 2, 3, 4, ..., 17 die Nullstellen des Integranden und er-halten somit durch Verwenden von numerischen Verfahren (wie z.B. der Romberg-Integration) s

k

=a

k≠1sa

k

x

≠1cos(x≠1

log(x))dx. Das ganze wiederholen wir für die Ex-tremstellen von (1) bzw. da wir die Form 3. von oben haben, brauchen wir ledig-lich die Extremstellen von cos(x≠1

log(x)) bestimmen. In unserem Fall ist f(x) =

5

2 Das Integral

g(x)h(x), mit g(x) = cos(x≠1log(x) und h(x) = x

≠1. Auch in diesem Fall verwendenwir ein solches Integrationsverfahren für jedes Teilintervall. Wir erhalten folgendeTabelle3 mit Approximationen für die Reihenglieder s

k

:

k s

k

zwischen Nullstellen s

k

zwischen Extremstellen

1 0.5494499236517820 0.35508384480978242 -0.3400724368128824 -0.04315319657229633 0.1905558793876738 0.01727983087779124 -0.1343938122973787 -0.00938576275377545 0.1043876588340859 0.00592125096644116 -0.0855855139972820 -0.00408708472396807 0.0726523873218591 0.00299621199053608 -0.0631902437669350 -0.00229356213305029 0.0559562976074883 0.001813840885829310 -0.0502402983462061 -0.001471433244936111 0.0456061367869889 0.001218308749950712 -0.0417708676657172 -0.001025793952050713 0.0385427179214103 0.000875896171206314 -0.0357870041817758 -0.000756853295629415 0.0334063038418840 0.000660708539620316 -0.0313283690781963 -0.000581920620330617 0.0294984671675406 0.0005165328013114

Tabelle 1: Die ersten 17 Reihenglieder der Folge s

k

für die gewählten Unterteilungs-punkte Nullstellen und Extremstellen der Funktion

Um nun die endgültige Lösung des Integrals zu erhalten müssen wir lediglich dieWerte der Tabelle aufsummieren. Wir erhalten:

•17q

k=1s

k

= 0.3233674316777786 für die Nullstellen

•17q

k=1s

k

= 0.3233674316777784 für die Extremstellen

Wir erhalten somit mehr als die geforderten 10 Stellen Genauigkeit nach dem Kom-ma.

2.3 LösungsalternativeEine andere Lösungsmöglichkeit findet man mithilfe der komplexen Zahlen. DieIntegration im Komplexen ist anders als im Reellen. Verwendet man den Cauchy-Integralsatz, den man aus Vorlesungen wie Funktionentheorie kennt, hängt das Kur-venintegral nicht von dem Integrationsweg ab, den man wählen muss, solange man

3Werte aus Schleicher, D. & Lackmann, M.

6

2 Das Integral

über einem einfach zusammenhängenden Gebiet integriert, auf dem die Funktionanalytisch ist. Wir können also im Komplexen rechnen, das heißt: Aus

1s

0f(x)dx

wird1s

0f(z)dz, wobei z eine komplexe Zahl ist. Zudem gilt die Euler’sche Formel:

e

ix = cos(x) + isin(x)

. Wir erhalten somit für unser Integral (1):

1⁄

0

f(x)dx =1⁄

0

Re(e

ilog(x)x≠1

x

)dx =1⁄

0

Re(e((ix≠1)≠1)log(x))dx =1⁄

0

Re(xi

x≠1 )dx (2)

Wir brauchen nur den Realteil zu beachten, da, nach Euler’schen Formel, der Kosinusder Realteil ist. Also entspricht das Integral (1) dem Integral (2). Nach der Formelfür Kurvenintegrale4 müssen wir nun lediglich einen geeigneten Integrationsweg “ =“(t), t œ [a, b] wählen, mit “(a) = 0, “(b) = 1. Einsetzt folgt:

1⁄

0

f(z)dz = Re(b⁄

a

“(t)i

“(t) ≠1“

Õ(t))dt

Wir wählen als Kurve z.B “(t) = t + it(1 ≠ t), t œ [0, 1] d.h. “

Õ(t) = 1 + i ≠ 2it.

Wir können nun die Lösung relativ einfach mit einem geeigneten Programm (z.B.Octave) ausrechnen lassen und erhalten somit als Lösung:

1⁄

0

f(z)dz = Re(b⁄

a

“(t)i

“(t) ≠1“

Õ(t))dt ¥ 0, 3233674316777735

4Kurvenintegral: Auf einem einfach zusammenhängendem Gebiet gilt für analytische

Funktionen:s

“ f(z)dz =bs

af(“(t))“Õ(t)d“(t), wobei “ geeignete Kurve ist.

5Siehe Anhang A6Abbildung 2: aus Bornemann, F., Laurie, D., Wagon, S. & Waldbogel, J.

7

3 Das zwei Würfel Problem

Abbildung 2: Funktion f(x) mit Kurve “(t)6

3 Das zwei Würfel ProblemBevor wir das Problem formulieren, wollen wir zunächst eine der größten Formelnvon Newton erwähnen, nach dem sich zwei Punktmassen m1 und m2 mit Abstandr zueinander mit der Schwerkraft

F = Gm1m2r

2 (3)

anziehen, wobei G die Gravitationskonstante ist. Zudem wurde gezeigt, dass sich(kugelförmige) Planeten wie Punktmassen verhalten und somit ist die Formel auchfür diese anwendbar. Wie sieht es nun mit folgendem Problem aus:

Problem 3.1. Zwei Objekte der Masse 1 ziehen sich gegenseitig gemäß des New-tonsgesetzes mit G = 1 an. Jedes ist ein homogener Einheitswürfel in dem die Massegleichmäßig verteilt ist. Die Mitten der Würfel haben den Abstand 1, so dass sie sichan einer Seitenfläche gegenseitig berühren. Wie groß ist dann die AnziehungskraftF?

Abbildung 3: Die zwei Würfel7

7Abbildung 3: aus Schleicher, D. & Lackmann, M.

8

3 Das zwei Würfel Problem

Eine wohl sehr naive Lösung wäre, dass man die Würfel als Planeten au�asst. Dannwürde mit der Formel (3) recht schnell F = 1 folgen. Allerdings gilt dies, wie bereitserwähnt, nur für kugelförmige Planeten.

3.1 LösungSei Würfel 1 mit Punkten (x1, y1, z1) mit 0 < x1, y1, z1 < 1 und Würfel 2 mit Punkten(x2, y2, z2) mit 0 < y2, z2 < 1 und 1 < x2 < 2. Dann folgt für Einpunktmassen an(x1, y1, z1) und (x2, y2, z2) die Kraft in Richtung der beiden Punkte nach (3). Sie istgerade:

F = 1r

2 = 1(x1 ≠ x2)2 + (y1 ≠ y2)2 + (z1 ≠ z2)2 . (4)

Wir müssen nun die Kräfte über alle Punktepaare (x1, y1, z1) und (x2, y2, z2) aus-werten und addieren, d.h. ein 6≠dimensionales Integral auswerten. Die y und z

Komponenten heben sich aus Symmetriegründen weg, die Würfel ziehen sich nurentlang der x Richtung an. Wir müssen also über die x-Komponente integrieren unddas ist gerade das x2≠x1

r

-fache von unserer Anziehungskraft F aus (4). Wir müssendemnach folgende Funktion integrieren, die die x-Komponente der Kraft zwischen 2Punktmassen an (x1, y1, z1) und (x2, y2, z2) repräsentiert:

f(x1, y1, z1, x2, y2, z2) = x2 ≠ x1

((x1 ≠ x2)2 + (y1 ≠ y2)2 + (z1 ≠ z2)2) 32

und die Lösung des Problems ist das 6-dim Integral von der Funktion f , also:

F =1⁄

0

1⁄

0

2⁄

1

1⁄

0

1⁄

0

1⁄

0

f(x1, y1, z1, x2, y2, z2)dx1dx2dy1dy2dz1dz2.

Dieses Integral explizit zu lösen ist sehr kompliziert und kostet viel Zeit. Aber wiegeht es schneller?

3.1.1 Möglichkeit 1

Eine Möglichkeit ist nun die Lösung mittel Gauß-Quadratur. In einer Dimensionwertet man hierfür das Integral an n genau definierten Werten von x (sog. Knoten)aus und multipliziert diese Werte mit n entsprechenden reellen Zahlen (Gewichten)und addiert alle:

nqi=1

Ê

i

x

i

¥bs

a

f(x)dx, wobei Ê

i

die Gewichte und x

i

die Knoten sind.Legt man ein geeignetes Gitter in weitere Richtungen, so funktioniert die gleicheMethode auch in der 2. und 3. Dimension.

9

3 Das zwei Würfel Problem

Abbildung 4: Gauß-Quadratur für 10, 102, 103 Knoten8

Für unser Problem müssten wir es in 6 Richtungen legen und hätten eine Gauß-Quadratur in der 6. Potenz. Dies ist im Allgemeinen eine sechs mal ausgeführteGauß-Quadratur. Nähere Informationen befinden sich im Anhang B. Wir setzen dieAnzahl der Knoten N = n

6 mit n = 5, 10, 15, .., 30. Sei FN die Gauß-Quadratur-Näherung für F . Wir erhalten die Ergebnisse aus Tabelle 2.

n N FN Zeit in Sek.

5 15625 0,969313 0,010 1000000 0,947035 0,315 11390625 0,938151 3,220 64000000 0,933963 17,625 244140625 0,931656 66,730 729000000 0,930243 198,2

Tabelle 2: Gauß-Quadratur-Näherungen

Es ist also F ¥ 0, 93. Allerdings braucht der Rechner bereits für zwei Stellen nachdem Komma einige Minuten. Um 10 Stellen nach dem Komma zu bekommen ent-sprechend länger.

3.1.2 Möglichkeit 2

Wie wir gleich sehen werden, können die Konten zufällig verteilt und die Gewichtealle fest auf 1

N

gesetzt werden und die Ergebnisse werden dennoch besser. Man nenntdiese Vorgehensweise Monte-Carlo-Verfahren. Hier setzt man die Konten rein zufäl-lig, das heißt für 10, 102, 103 Knoten könnte ein mögliches Bild wie folgt aussehen.

Führen wir nun selbiges Verfahren mit den zufälligen Knoten und festen Gewichtenim 6≠dimensionalen Würfel durch, so erhalten wir folgende Ergebnisse aus Tabelle3.

8Abbildung 4: aus Schleicher, D. & Lackmann, M.9Abbildung 5: aus Schleicher, D. & Lackmann, M.

10

3 Das zwei Würfel Problem

Abbildung 5: Monte-Carlo für 10, 102, 103 Knoten9

n N FN Zeit in Sek.

5 15625 0,906741 0,110 1000000 0,927395 0,515 11390625 0,925669 4,420 64000000 0,925902 22,725 244140625 0,926048 88,030 729000000 0,925892 257.0

Tabelle 3: Näherung mit der Monte-Carlo-Methoden

Wir haben nun weitere Stellen erhalten, es ist F ¥ 0, 9259 oder F ¥ 0, 9260. Warumist es mit der Monte-Carlo-Methode und den zufälligen Knoten schneller? Das liegtan dem Fehler. Der Fehler der Gauß-Quadratur ist abhängig von der Dimension unddie Quadratur wird langsamer. Der Fehler der Monte-Carlo-Methode nimmt unab-hängig von der Dimension n wie 1Ô

n

ab.

Aber warum scheitern die einfach numerischen Methoden?Das liegt zu einem wie gesagt an der höheren Dimension und zum Anderen istdas Integral nicht glatt. Es liegt eine Singularität vor, da die Würfel aneinanderliegen. Für x1 = x2 = 1, y1 = y2 und z1 = z2 liegt eine Singularität vor. DerBruch geht gegen unendlich, also divergiert der Integrand. Wir wollen versuchendiese Singularität zu beheben, indem wir die Würfel auseinander ziehen (z.B. umdie Länge 1).Verwenden wir die oben genannte Gauß-Quadratur mit der nun veränderten Situa-tion, so zeigt sich direkt, dass es viel genauer und schneller ist. Es ist zwar nicht die

10Abbildung 6: aus Schleicher, D. & Lackmann, M.

11

3 Das zwei Würfel Problem

Abbildung 6: Auseinandergezogene Würfel10

n N FN Zeit in Sek.

5 15625 0,24792296453612 0,010 1000000 0,24792296916638 0,315 11390625 0,24792296916638 3,220 64000000 0,24792296916638 17,6

Tabelle 4: Gauß-Quadratur-Näherung mit veränderter Situation

gesuchte Lösung, allerdings wissen wir nun, wo der Fehler liegt. Man könnte nun denAbstand der Würfel als ‘ setzten und ihn immer kleiner werden lassen. Allerdingsfunktioniert die Quadratur nur für hinreichend große ‘. Es ist also nicht zielführend.Wir unterteilen stattdessen die beiden Würfel in kleinere Würfel, der Länge 1

2 , so-dass aus zwei großen Würfeln 16 kleine Würfel machen, wie in Bild 7 verdeutlicht.

Abbildung 7: Unterteilte Würfel11

Dann ist die Anziehungskraft der Würfel genau die Summe der Kräfte der Untertei-lungspaare. Es gibt insgesamt 64 solcher Paare, die sich wie folgt aufteilen:

• Es gibt 4 Paare, die sich an einer Seitenfläche berühren.

• Es gibt 8 Paare, die sich an einer Kante berühren.

• Es gibt 4 Paare, die sich an einer Ecke berühren.11Abbildung 7: aus Schleicher, D. & Lackmann, M.

12

3 Das zwei Würfel Problem

• Es gibt 48 Paare, die sich gar nicht berühren.

Abbildung 8: Unterteilungspaare12

Wir haben nun aus einem 6≠dimensionalen Integral ein vierdimensionales gemacht.Wir integrieren nun über die Zustände: Ecken, Kanten, Flächen, getrennt. Sei dazu:

• Fläche(d), die x-Komponente der Kraft zwischen zwei sich entlang einer Flächeberührenden Würfeln der Größe d

• Kante(d), die x-Komponente der Kraft zwischen zwei sich an einer Kanteberührenden Würfeln der Größe d

• Ecke(d), die x-Komponente der Kraft zwischen zwei sich an einer Ecke berüh-renden Würfeln der Größe d

Wir können die Kräfte bei Länge 1 mithilfe der Kräfte bei der Länge 12 der Teilwürfel

ausdrücken. Es gelten folgende Beziehungen:

• Ecke(1) = Ecke(12) + ggT

• Kante(1) = 2 · Kante(12) + 2 · Ecke(1

2) + ggT

• Fläche(1) = 4 · Fläche(12) + 8 · Kante(1

2) + 4 · Ecke(12) + ggT

wobei ggT für gut getrennte Terme steht, das heißt für Unterteilungspaare, die sichnicht berühren. Diese können wir einfach ausrechnen. Nun können wir das Ganzenoch vereinfachen, indem wir Skalierungsbedingungen beachten. Durch das Halbie-ren der Würfel wird jede Masse auf 1

8 verringert. Das heißt, das Produkt der Würfelauf 1

64 . Andererseits wird auch der Abstand zwischen den beiden Würfeln halbiert,das wird der Quotient 1

r

2 vervierfacht. Insamt bekommen wir das Produkt der beidenBedingungen, also 1

16 als Skalierungsbedingung und somit folgt:

• Ecke(12) = 1

16Ecke(1)

12Abbildung 8: aus Schleicher, D. & Lackmann, M.

13

3 Das zwei Würfel Problem

• Kante(12) = 1

16Kante(1)

• Fläche(12) = 1

16Fläche(1)

Mithilfe dieser Bedingungen können wir nun sukzessive das Problem lösen.

Ecke(1) = 116Ecke(1) + ggt

= 16ggT

15Kante(1) = 1

8Kante(1) + 18Ecke(1) + ggt

= Ecke(1) + 8ggT

7Fläche(1) = 1

4Fläche(1) + 12Kante(1) + 1

4Ecke(1) + ggT

= 2Kante(1) + Ecke(1) + 4ggt

3

Die ggT können wir leicht mit einer Quadratur (z.B. Gauß-Quadratur) für getrennteWürfel ausrechnn und somit können wir sukzessive alles ausrechnen. Wir erhaltenals Lösung: Fläche(1) ¥ 0, 9259812606. Somit haben wir unser Problem gelöst. Esgilt nämlich

F ¥ Fläche(1)

3.2 Exakte LösungViele numerische Probleme besitzen keine exakte Lösung. Nicht aber das zwei WürfelProblem. Prof. Bengt Fornberg fand einen Lösungsweg, den er von Hand mit etwasHilfe von dem Programm Mathematica erreichte. Als einer der besten numerischenProblemlöser brachte er das 6≠dimensionale Integral auf eine Dimension und konntees so bestimmt. Er fand die folgende Lösung für die anziehende Kraft F:

F = 13(26

3 fi ≠ 14 + 2Ô

2 ≠ 4Ô

3 + 10Ô

5 ≠ 2Ô

6 + 26log(2) ≠ log(25) + 10log(1 +Ô

2)+

20log(1 +Ô

3) ≠ 35log(1 +Ô

5) + 6log(1 +Ô

6) ≠ 2log(4 +Ô

6) ≠ 22tan

≠1(2Ô

6))

Dies kann exakt ausgerechnet werden und man erhält:

F = 0.925981205572914280934366870

14

Literatur

Literatur

Bornemann, F.,Laurie, D.,Wagon, S. & Waldbogel, J. (2006): VomLösen numerischer Probleme. Ein Streifzug entlang der „Siam 10x10-DigitChallenge“. Berlin (Springer Spektrum).Jayan, S., Nagaraj, K.(2014):Numerical integration over n-dimensionalcubes using generalized Gaussian Quadrature. In: Proceedings of theJangjeon Mathematical Society No.1. (S.63-69). Jangjeon.Schleicher, D & Lackmann, M. (2013): Eine Einladung in die Mathe-matik. Einblicke in die aktuelle Forschung. Berlin (Springer Spektrum).

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ErklärungHiermit versichere ich, dass ich diese Arbeit selbständig verfasst und keine anderen,als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt, die wörtlich oder inhaltlichübernommenen Stellen als solche kenntlich gemacht und die Satzung des KarlsruherInstituts für Technologie zur Sicherung guter wissenschaftlicher Praxis in der jeweilsgültigen Fassung beachtet habe.

Bad Kreuznach, den 15.06.17

4 Anhang A: Ein Exkurs in Octave

4 Anhang A: Ein Exkurs in OctaveOctave ist ein Programm, dass auf Matlap basiert und hat viele Funktionen (u.a.auch Gauss-Quadratur) implementiert. Ein Programmbeispiel für die Situation desIntegrals

Re(b⁄

a

“(t)i

“(t) ≠1“

Õ(t))dt

ist:

format long #um mehr Nachkommastellen zu bekommenfunction y=func ( t ) ;z=t+i ú t .ú(1 ≠ t ) ;y=real ( z . ^ ( i . / z ≠1).ú(1+ i ú(1≠2ú t ) ) ) ;endfunction

quad( ’ func ’ , 0 , 1 )

ans = 0.323367431677773

5 Anhang B: n-dimensionale Gauss-Quadratur überden 0-1-Würfel

Nun wird anhand des [0, 1]≠Würfels gezeigt, was eine 6≠dimensionale Gaussqua-dratur bedeutet. Selbiges Verfahren funktioniert auch für einen beliebigen Würfel,indem man diesen auf den [0, 1]≠ Würfel transformiert13.Im eindimensionalen Fall gilt für eine Funktion f(x) die folgende Gauss-Quadraturformel:

1⁄

0

f(x) =nÿ

k=1Ê

k

f(xk

)

Sei nun der n-dimensionale Würfel definiert als

C

n

= {(x1, x2, x3, ..., x

n

) | 0 Æ x1 Æ 1, 0 Æ x2 Æ 1, 0 Æ x3 Æ 1, ..., 0 Æ x

n

Æ 1}.

Wir können nun die Produktformel für Summen anwenden, um die n-dimensionaleQuadratur zu vereinfachen und somit die Knoten zu erhalten. Wir erhalten mitfolgender Rechnung die Gewichte

13Aus: Jayan, Nagaraj (2014)

17

5 Anhang B: n-dimensionale Gauss-Quadratur über den 0-1-Würfel

I[f ] =⁄

C

n

f(x1, x2, ...., x

n

)dC

n

=1⁄

0

1⁄

0

...

1⁄

0

f(x1, x2, ...., x

n

)dx1....dx

n

=Nÿ

i1=1

Nÿ

i2=1....

Nÿ

i

n

=1Ê

i

n

....Ê

i1f(x1i1 , x2i2 , ...., x

ni

n

)

=N

nÿ

m=1c

m

f(x1m

, .....x

nm

)

mit den Gewichten c

m

= Ê

i1Ê

i2 ....Ê

i

n

, Ê

ji

j

für j = 1, .., n. Man könnte es auchn malige Ausführung der Gauß-Quadratur nennen, die von „innen“ nach „außen“gerechnet wird.

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