Zu Minkowskis Theorie von Volumen und Oberflfiehe.

Von

Wil]lelm Si~ in Greifswald.

1. In H. Mh~kowskis Theorie yon Volumen und Oberfl~che ~) spielen die yon ibm eingeffrhr~n gemischten Volnmina V ~ = V($i ,~ ,~z ) dreier Eifl~chen ~i, ~k, ~z eine beherrschende RoUe. Sie sind in den I n ~ symmetrisctL Die atlgemeinste Ungleichung, die Minkowski fiir sie gef~anden hat, lautet

Hierin ist meines Wissens der Fall des Gleichheitszeiehens noch nieht auf- geld~rt. In dem besonderen Fall, dal~ ~z die Einheitslmgel ist, besag~ die Ungleichung, daft die Wurzel aus der Oberit~che eines EikSrpers einer Linearschar ( 1 - t ) ~ + t ~ yon EikSrpem eine nach oben konvexe Funk- tion ist; M. Fujiwara~) hat diesen speziellen Satz mit Hilfe Hilberk~hex Methoden ~) bewiesen und dabei die Vermutung B~mns bestKtigts da$ das Gleichheitszeichen in (M) dann nut fiir homothetische (einander ~hnliche und gleichsirmig i~hnlich gelegene) EitI~chen gl, ~ gilt. W. Blaschke 4) hat darauf hingewiesen, da$ man die Brunnsche Vermutung auch mit Hilfe einer Uberlegung yon T. Bonnesen a) beweisen karm.

Hier soll gezeigt werden, da~ man auf diesem Wege mehr erreichen kann: Es l~i~t sich (M) (mit Aufkl~rung des G]eichheitazeichens) beweisen, wenn man als dritte Fl~che die Oberfl~che ~)~ des schon yon Minkowski

I) Volumen und OberflRohe, Math. Annalen 57, Ges. Abh~ If, S. 230ff. ~) Ein von Brunn vermuteter Satz fiber konvexe Fliichen, T6hoku Math. Jourm

13, S. 228ff. Eine Veral]gemeinerung fiir mehrdimensionate P54ume gibt T. Kubota: Uber die Eibereiche im n-dimensionalen Raume, T6hoku Science Reports (1) 14, Nr. 4.

~) D. Hilbexr Grundzfige einer aI]gemeinen Theorie der linearen Inf~gra]g~eich~, S. 242ff. Leipzig 1912.

4) FAne Vexsch~-~mg yon Minkowskis Ungleicb3~e~ ffir den gemiuchten Ftiiehen- inhalt, Abhandlg. aus dem Math. Seminar Hamburg 1, S. 209.

~) Uber eiue VersclErfung der isoperimetrischen Ung~eichheit . . . , Math. Annalen 84, S, 216ff,

254 W. S~.

eingefiihr~n ,,KSrpers der Projektionen" der Eifli~che ~ ~) (Satz 2), wozu die Kugel als spezieller Fall gehSrt, oder noch allgemelnere Mittelpunkts- eifl~chen (Satz 4 und 5) wS~hlt. Zun~chst fiihre ich den Beweis der Brunnschen Vennutung nach dem Btaschkeschen ttinweis durch (Satz 1) mad sehieke einige Bemerkungen voraus (Nr. 2), die den Zusammenhang der Minkowskischen Theorie mit gewissen neueren Untersuehungen zu einer yon E. Miiller begrfindeten relativen ~s betonen :). Es sei noch bemerkt, dal3 aus unseren Ergebnissen die Tatsache folgt, dal~ die Ober- fl/iche des ,,KSrpers der Projektionen" einer Eifl/iche keine Kapperdt~che einer anderen Eitl~iche ist (Satz 3).

Wie in de~ grundlegenden Arbeit Minkowskis') setzen wit bei tmsezen Uberlegungen stets voraus, da~ die betrachteten Fl~chen und KSrper nicht in einer Ebene enthalten sind, sondern innere Punlcte besitzen.

2. Es seien ~ , ~ , ~ drei stetig-gekriimmte Eifl~chen, deren Punkte dutch Parallelismus der /iu~eren Normalen (mit dem EinheitsvelC~or ~) einander eindeutig zugeordnet seien. Das Volumen L das v o n d e r dutch positive Linearkombination ans ihnen gebitdeten Eifls

( l a ) : = },: : : -~- ,~ :z ~ ,~a :a (),i > 0)

umschlossen wird, ist ein homogener Ausdruck dritten Grades in den GrSSen 2 i

i , k , l= l,2,3

dessen in den Indizes symmetrischen Koeffizienten Vi~---~ V(~i,~k,~'~) Minkowski das gemischte Volumen der yon den betreffenden Ft~ichen be- grenzten K6rper (~), (~ ) , (a) genannt hat. Insbesondere sind

(1r E , , = I,

die Votumina von (~i) mid

( l d ) 3 5 , ~ : 0,~ = M~,, die Retativoberfl~che yon _~ beziiglich ~ als Eiehfl/ivhe oder das Integral der mittleren Relativ~iimmung yon ~ beziiglich ~ als Eiehfl~he (R. D. w 2); dies sieht man z. B. so ein, da~ man in (:i a) 2~ = 1, 2: ~ ~, 2 s = 0 setzt und ( l b ) mit der a.a.O, dutch ein J. Steiner naehgebildetes Veffahren

~) Ges. Abhandlg. II, 8. 216; vgL auch W. Blaschke, Kreis und Kuget, S. 148. Leipzig 1916.

:) E. Miiller, Relative MinimalflKchen, Monatshefte f, Math. u. Phys. 3!, S. 3ft.; A. Duschek, Uber relative FlRohentheorie, Sitzungsber. der Akad. der Wiss., Wien 1926. Vgl. auoh die Schrift des V o W s : Zur relativen Differentialgeometrie I; Ubex Ei- linien und Eifl~ichen in der e]ementaren und affinen Di~erentialgeometrie, Japanese Jourm of Mat~ 4, S. 57 ft. Diese Sehrift wird mit R_ D. zitiert, Ihre Kenntnis ist zum Vemt~dnis des Textes nicht erforderlieh.

Votumen trod Oberiigehe. 2~5

bewiesenen Formel fiir Relativparatlelitiichen ~a + ~ ~-., im Rela~ivabs~and vergleieht:

Fiir die GrSi]en Oa~, My, " hatte sich dabei aui ganz elementare Weise ergeben:

1

M . = jp do, ., =

worin do i : do(L ) das gewShnliehe Oberiliiehenelement yon ~r ferner p, der S~iitzabstand des ~ullpunktes, den wit der Einfaekheit wegen im Innern aller drei Flgchen E, anne]amen wollen, yon der Stiitzebene an ~i und endlich (Ri)~ " die Relativkrfimmungsradien yon ~1 beziiglich ~, be- deuten. Alle Integrationen sind stets fiber die gesamte Oberfli~ehe zu erstrecken. Wit wollen zun~chst iiir V!~ ~eine ( l f) entsprechende relativ- geometrische Darstellung angeben.

Naeh (1 e) ist

1 (~) : I (2~ ~ -~ ),~ ~ ) + 2 a 0 ()o~ ~ + 2~ ~o., ~s) , L~ M (2~ ~'~ ~- ,q ~ , ~s) + ~ I (~a).

Sun ist naeh ( l f )

Sind hierin die Parameterkurven u, v die Retativkriimmungslinien beziig- lich g~ a~s Eiflgche, so folgt

_Man erhglt somit

Ferne~ ist naeh ( l f )

M (2 a g, + ),. g,,, g~) = ),~ M,a + ),~ M~.~.

Berechnet man l(;t~gx+2e~.) nach ( le ) , so wird endlich

+ 2, 20 2 s f p, (R x + R~)a~ do~ T ,tz 2; M,~ + 2~ ~ M,, + a In"

Da dieser Ausdruek in den Indizes symmetrisch sein mu~, so diirfen hierin die Indizes beliebig permutiert werden. Dutch Vergleieh je zweier so|chef Darste]]ungen erhglt man dann wegen (I d), wenn noch a = R x + R~ ge- setzt wird,

256 W. Stm.

Man erkennt, dal~ hieraus sowohl die Darstellungen (1 f) wie die Formeln ( l c ) und ( l d ) hervorgehen, wenn man zwei oder alle drei Fl~ichen ~; einander gleich w~ihlt und bedenkt, dab ak~= 2 wird (Relativsph~ire). Start ( l g ) kann man ferner jetzt schreiben

(2) { 0 (,~ ~ + ~, ~ , ~s) = ,~70~s + 6 ~ ,~,~ V.~ + ,~ 0,,~ oder

v(~ ~, + ~, ~,, ~ ~, + ~, ~,, ~) = ~ v ~ + 2 ~ ~ v,~ + ~ v~,.~.

8. Jetzt wollen wir aus (2) die in Nr. 1 genannte Vermutung yon Brunn beweisen. Wiihlen wir als Fliiehe gs die Einheitskugel L so geht die linke Seite yon (2) in die gewShnliehe Oberfl~iehe 0 der Eifl~iehe ~a ga + 2~ ~ tiber. Wit werden fiir den Koeffizienten Va~ s = V (gx, ~ , f) zun~ehst noch eine andere Darstellung angeben, die unsere weitere Beweis- fiihrung yon der bisherigen Voraussetzung der Stetigkeit der Kriimmungen der betrachteten Fl~ichen unabh~ingig macht. Nach Cauchy ist auch

wenn i, der Fl~icheninhalt der senkrechten Projektion der betrachteten Fliiche in der Richtung (~) und d~o das zfigehSrige Fl~ichenelement auf der Einheitskugel ist. Bezeichnet ferner (Sik), den doppelten gemischten Fl~cheninhalt der Projektionen (~,), und (~k), in derselben Richtung (r) (,,Relativumfang" yon (~i), beziiglich (~,), oder umgehrt nach R.D.), so ist

mad es folgt aus (2a), (1) und (2):

(3) 0 (~1 ~1 + a, ~,) = ~; 0, + 6 ~, ~ v(~ , ~, t) + ~,~ 09, worin

Die Vermutung Brunns lautet dann: Es ist

(4) 9 [V(~, , ~9, ~)]9 ~ 01 09 = 9 V(~, ~1 f) V(~.. g9 ~)

und hierin gilt nur fiir einander iihnliehe und zueinander iihnlieh gelegene (homothetisehe) Eiflii~hen ~a, ~9 das Oleiehheitszeiehen~). Nun liiBt sieh nseh einem Verfahren yon T. Bonnesen s) zeigen, dal~ flit alle Projektions-

~') Aus (8) und (4) sohliel]t man noch: Ftir die Oberfl~ohe des Vektorenbereichs eines EikSrpers ~ gilt die Ungleiehheit 40(~)_< O(~)=~< 60(~); hierin gilt das erste Gleickheitmeiohen nut fiir Mitte]punklmkSrper ~ und dss zweite nur fiir Dreieoke ~.

~) Siehe besonders Math. Annalen 84, S. 226f. und Math. Annalen 91, S. 256.

Volumen und Oberttgehe. 257

richtungen (~,) eine Zahl 2 > 0 die Ungleichheit

(5) ~ (S , ) , ____ i (~1), + ~ i (~) ,

erfiillt. Hierin gilt nut ffir homothetische (~1)~, (~)~ das Gleichheitszeichen. Dann folgt aus (2a), (3) und (5) dutch Integration fiber f

Fiir ~ - ' = - 2 ist also in (3) 0 (~ ~ ,-~ 4 2 ~ ) < 0; die quadratische Form

(3) in ~1, 2~ hat also reelle Nullstellen, d.h. es ist (4) erfiillt. Und zwar gilt nut dann in (4) das Gleichheitszeichen, wenn es ffir alle Projektionen in (5) gilt, d .h. wenn alle Projektionspaare je homothetisch sind. Es bedeutet keine Einschriinkung der Allgemeinheit, wenn wir annehmen, dal3 die Durehmesser (d. h. Maxima der Entfernungen zweier Punkte) yon ~ und ~.z einander gleich sind. Dann abet miissen die beiden Fliichen ~1 und ~ selbst durch eine Parallelverschiebung ineinander fiberffihrbar sein. Lassen wir niimlich diese zwei Durchmesser yon ~1 und ~ dutch Parallel- verschiebung yon ~1 miteinander zusammenfallen, so haben die Stfitzebenen in den Endpunkten A und B dieser Durchmesser, welche auf A B senk- recht stehen, mit ~1 und ~o, keine weiteren Punkte gemein. Betrachtet man nun eine Projektion yon ~1, ~2 in irgendeiner zu A B senkrechten Richtung, so mfissen die Projektionsbereiche yon ~1 und ~ in jeder dieser Richtungen miteinander zusammenfallen, da sie einen Durchmesser gemein- sam haben und homothetisch sein sollen. Dann aber mfissen iiberhaupt die F1/ichen ~1 und ~.z sich decken, w. z. b. w.

Wir haben hiermit ohne Benutzung der Ungleichheiten yon H. Minkowskis Theorie yon Volumen und Oberfl~che bewiesen:

Satz 1. Die Quadratwurzel aus der Oberfliiche einer geschlossenen konvexen Fla;che einer linearen Schar (1 -- t ) ~ -~-t~2 (0 < t ~ 1) ist eine nach oben konvexe Funktion:

1/Oi(1 - - t ) ~ , ~ - t ~ ] > (1 - - t ) 1/-(5-i~,,) -r l/V-i-~) ;

hierin gilt das Gleichheitszeichen nur /iir homothetische Fldchen ~ und ~o..

W~hlt man in (4) als F1/iehe ~ gleichfalls die Einheitskugel f, so geht daraus die von Minkowski bewiesene Ungleichung

hervor, worin M das Integral der mittleren Kriimmung Minkowskis oder wegen (3) das (von Voraussetzungen fiber Kriimmungsverh~iltnisse freie) ,,Konturintegral" Bonnesens [loc. cit.~)] und 0 die Oberfl/iche der Fliiche ~ ist. Nach unserem Beweis gil~ das Gleichheitszeichen nur im Falle der Kugel.

Mathematische Annalen. 101. 17

258 w. sii~.

4. Wi~ J[iigen eine Verallgemeinerung yon (4) binzu. Fiir die in den beiden ersten Indizes symmetrischen GrSi3en

die eine Erweiterung von (3) darstellen, ls sich ganz entsprechend wie oben im AnschluB an (5) zeigen, dab

(65) Yi~z >= Y,,z YkT, z

ist und hierin das Gleichheitszeichen wieder homothetische Fl~ichen ~i, ~k kennzeichnet. Die GrS~en Y~z sind nun nicht nut formale Weiter- bildungen der friiheren V (~,, ~k, ~), sondern sie stellen selbst soIche GrSl3en dax; ich behaupte niimlich: Fiir eine durch ~z bis auf Translationen ei_n- deufig bestimmte Eifl~iche t)z ist

(6~ Y;~, = 6 V(~,~ t)~).

Um dies zu beweisen, bediirfen wit fo]gender Verallgemeinerung der Cauchysehen Gleichung (2 a)

(6d) f r do, = f (to) do, es ist n~mlich, wenn dutch ~ und e wieder l~ichtungen bezeichnet werden, bekanntlich

(6 e) 2 (i (X~)L : f l r176 v e ldoe (g~), also

2 f i~ (~) d o~ (~o) = f If; cos ,o v I d o~ (~)] d o~ (~) = f If t ~176 ~'~ t d o~ (~0.)] do, (~),

somit (6d) giiltig. Nach (lg) und (6d) abet ist, wezm wit die betrach- teten Fl~chen zuns als stetig gekriimmt ansehen,

also wegen (6d)

Nun ist bekanntlich ~) dutch alle die Ebenen, die yon einem festen Punkr in der Richtung iv) den Abstand i~(~z ) haben, eine Mittetpunkts- eifls t)z, nach Minkowski die Oberfls des ,K6rloers der Projektionen", bestimmt. Fiir diese Flache t9~ ist somit die Formel (1) anwendbar und es folgt die obige Behauptung (6c). Nachtrs kSnnen wit tins aber wieder yon dez Annahme der stetigen Kriimmung der Flgchen ~i dutch die Bemerkung befreien, dab die Yi~a wie die Vi~ z stetige Funktionale sind. Wit haben also das Resultat:

~) ttienmoh ]aunt fftr i = k = 1, 1 = 2 (6d) Yn* = Yz~z- Es wird also nach (6e~ flir die im Text definier~en Eiflgehen ~ : V(~, ~ th)= V(~%~ ~)~ ).

Volumen mad Oberflgmhe. 259

Satz 2. $~2r je drei Eifldchea ~1, ~ , ~ gilt stets die Ungle~'chung

(6) [V(~l ~ ~,)]~ >_ V(~ ~ ~ ) V(~ ~ ~ ) ,

worin 9s die zuvor ~s eindeutig zugeordnete Mittelpunlctsei/ldche let; in (6) gilt dos Gleichheitszeicheu nut, wenn ~1 und ~3 zueinander homothetisch si~ui. Diese Kennzeichnung der Giiltigl~eit des Gte ich~ze ichens in (6) bei bel iebiger FA/ldvhe Oa gilt stets dann, wenn 9a dutch zweira, al stetig di//erenzierbare positive Li~earlcombination aus Strecken au/gebaut wet- den ]r

Aus diesem SaC: lgBt sich flit die Projektionsfl~che 9 eine interessante Folgerung ableiten. Minkowski hat schon (toc. cir.1)) darauf hingewiesen, dal~ in der Ungleichung

v~: > L13 v33~ darm und nut clann clas Gleichheitszeiehen gilt, werm (g3) mit (~,) oder mit einem Knppenkfrper von (g~) homothetiseh ist. Es ist also nut dann

(6g) [V(~ ~ 9,)] 3 = V(~ ~ 93) V (9o, 93 ~3),

wenn t)~ mit ~ oder einem Kappe~6rper yon ~ homothetiseh isr Andererseits gilt naeh Satz 2 die Gleichung (6g) nut, wema E1 und ~: homothetisch sin& Daraus folgt abet:

Satz 3. Die Projektionsei/ldche ~3 einer Ei/ldche ist keine Kappen]ldche.

Andemfalls g:ibe es eine yon t)3 verschiedene Eiflgche ~1, zu der 1~ eine Kappenfl~che w~e, so daft also im Widerspruch za Satz 2 Oleichtmg (6g) bestehen miil]te.

5. Nach (6e) ist

Y (~, ~ , ~ + ~ ~ ) - - f ~;~k [do, + �9 (R~ + R3),~ do~ + ~~ do~]

also

(Ta) Z,,, = � 8 9 + R3),,~o, = � 8 9 + ~3), ,S, ,eo, = Z,,,.

Nach (5) ist nun /fir diese neuen in den beiden ersten Indizes symmetri- schen GrSBen

2 f S,, (R, + R3),, do~, ~ f i (g,) (R1-5- R 3)~, do, ~. 2" f i (~,) (R a +a3),, do,, also naeh (6f) und (7a):

2 2 Z,,~, ~ Y,,~ + ).3 f k,, ;

somit gelten die Ungleichungen

(7b) "{ Z~, ~ Y,u Y,,, :--- Y,,, Y,u,,

17"

260 W. SiilL Volumen und Oberflgohe.

hierin shad die Gleichheitszeichen fiir homothetische ~i, ~ bzw. ~ , ~ kenn- zeictmend. Die GrSllen Z ~ sind nun ihrerseits nicht nut formale Weiter- bildungen der friiheren Yi~, sonclern lassen sich wie jene als gemischte Volumina darstellen. Dazu brauchen wir nach (1) und (7a) nux einzu- sehen, dal~ die GrSl~e S~ gleich/alls Stiitzebenenabstand einer Mittelpunkts- eittiiche $~ ist; dann ist niimlich

( 7 o ) = =

Die Kons~ruk~ion yon ~** ergibt sieh aber ~us (6e) ; es ist niimlieh

also

lj ~ ]~e T ; (7d) (Si,) -= ~- cos I(R~' R~),~do k

hieraus ergibt sich wie loc. cir. 6) der auch an sich bemerkenswerte

S a t z 4. Errichtet man senkrecht au] den Erzeugenden ]e.des einer Ei]ldche ~1 umschriebenen Zylinders Ebenen, de'ten Ent]ernung yon einem /esten Punkt gleich dera doppelten gemischten F~dchenlnhalt S,,. des Zylinderquerschnitts und des entsprechenden Querschnitts bei einer zweiten Ei/ldche ~ ist, so ist das Hiillgebilde dieser Ebenen eine Eifldche ~ , die den /esten Punkt zum Mittelpunkt hat.

Wit kSnnen hiermit das Ergebnis yon Nr. 5 auch so formulie~en:

S a t z 5. Fi~r je drei Ea'fliichen ~ , ~ , ga gilt stets die Ungleichung

<7)

hierin gilt das Gleichheitszeichen nut, wenn ~ und ~ bzw. g~ und ~ homothetisch sind ~~

~o) Analog (7) gelten auch fiir die GrSl~en

die Ungleiehungen

v(~ , ~ , ~8,) ~ - ( 4 v ( ~ , ~-,, ~,) v(~, ~,, ~o.),

worin die Gleichheitszeichen nut gelten, welm ~3 und r, bzw. ~ und ~, homothetSsch sind.

(Eingegangen am 31. 1. 1928.)