Z. angew. Math. Mech. Kleine Mitteilungen 469 Bd. 30 Nr. 11/12 Nov./Dez. 1958

Zum KompressibilitatseinfluB auf den Strom- linienverlauf.

I. Die vorliegende kleine Wtteilung geht von einer

Veroffentlichungl) aus, in der eine zeichnerische Be- stimmung eines ebenen stationiiren Stromungsfeldes versucht wurde. In Erweiterung des dort angegebenen Verfahrens seien nachstehend weitere numerische Be- ziehungen zur niiherungsweisen Ermittlung der Druck- verteilung aufgestellt. Es handelt sich um ein punkt- weises Niiherungsverfahren, bei dem vorteilhaft von einem kartesischen Kreuz Gebrauch gemacht wird.

Die naohfolgend angegebenen Beziehungen sind zu- niichst nur als Hilfsmittel aufzufassen, um zu einer vorgegebenen Randgeschwindigkeit den Stromungs- zustand in gewissen - unten niiher angegebenen - Punkten zu berechnen. Unter Beriicksichtigung der friiheren Ausfiihrungen iiber die Beulen- bzw. Dellen- bildung in den Kurven, die die Stromlinien approxi- mieren sollen, fiihrt jedoch weiterhin die als Kontrolle wirkende Iteration zu dem die Randbedingungen am Korper und im Unendlichen erfiillenden Geschwindig- keitsfeld.

In Ubereinstimmung mit den friiher getroffenen An- nahmen ist eine Voraussetzung iiber die Lage des vor- deren Staupunktes erforderlich. Da dieser in einem Bereich niedriger Mach-Zahl liegt, soll angenommen werden, daB seine Lage durch die Kompressibilitiit unbeeinflult bleibe, obwohl der gesamte Stromungs- verlauf den Staupunkt festlegt. Der Staupunkt ist gegeben, wenn von der als bekannt angesehenen Ge- schwindigkeitsverteilung ausgegangen wird, die sich bei volumenbestiindigem Medium einstellt.

11. Es handele sich vorliiufig nur um diese inkompressible

Stromung

deren gegebene Zustromgeschwindigkeit weit vor dem Profil q sei. Die Stromfunktion der dem Profilrand zugeordneten Stromlinie habe den Wert vo; bei hin- reichend groBer Entfernung vor dem Profil gilt

w = Y O + WI ( (xo- 4 sin a1 - (yo- y) COB 4 wobei zo, yo die Koordinaten eines beliebigen Punktes der Stau-Stromlinie im ungestiirten Gebiet bedeuten. Daher gehort zu einer Stromlinie, die weit vor dem Profil im Abstand AZ$O) parallel zur Stau-Stromlinie ver- liiuft, ein um wI A2io) geanderter Wert der Stromfunk- tion. Wenn die in') eingefuhrten krummlinigen Koor- dinaten

E") = Einkmpr. t qinkompr. verwendet werden, so gilt fur eine solohe Stromlinie

r l k = q O + (w,,.~) ' wobei c eine charakteristische Liinge damtellt. Durch geeignete Bemessung der Leingen dl;? konnen Strom- linien

ausgewiihlt werden, die der Saug- bzw. Druckseite des Profils hinreichend benachbart sind.

111.

W6nkompr. , W(1) = @"' = @I 7

+1' =

W I AZh'i

qk = qo f

Der Einflul der Kompressibilitiit auf den Verlauf dieser Kurven

soll numerisch bestimmt werden, wobei diese Kurven die Stromlinien approximieren sollen. Hierzu dient fol- gender Rechnungsgang :

q(z, y) = 17 = const k

1) W. Bader, Graphisches Naherungsverfaben zur Bestimmung der Geschwindigkeit bei kompressibler Stromung, Z. angew. Math. Mech. 30 (1866) 9.466-468.

I Bild 1. Schematisohe Darstellung zur Iteration einer Stromlinie

Auf der Profilstromlinie einschliealich der Kontur werden einzelne Punkte Pi (man vgl. Bild 1) festgelegt ; diese Punkte Pi sowie die Zahlen qk sollen wiihrend der Rechnung festgehalten werden; durch das Verfahren souen iterativ die Schnittpunkte P { k der Stromlinien qk mit den durch die Pi verlaufenden Orthogonaltrajek- torien f i bestimmt werden.

Nach der v-ten Niiherung mogen die Punkte P:' durch ihre kartesischen Koordinaten ($2, yf") sowie die Kurven $"(z, y) bekannt sein; weiterhin moge die Geschwindigkeit wr' und die Dichte erd berechnet vorliegen. Die Bestimmung der iterierten GroBen P?''), . . . setzt sich dann aus folgenden Schritten zusammen:

1. Bestimmung der Liingen . 2. Bestimmung der Punkte Fr' . 3. Approximation der iterierten Kurve qjdY+l) duroh

4. Approximation der iterierten Kurven durch

5. Bestimmung der iterierten Punkte P?:'). 6. Wiederholung der Schritte 1. bis 5. fur weitere

7. Bestimmung der Asymptoten der iterierten Ei-

8. Bestimmung von wy> ') und &C1) . Da wegen der Nichtbeachtung der Wirbelfreiheit

iiberhohte Geschwindigkeiten auftreten, die sich in zu starker Kriimmung der qk-Kurven iiulern, darf von der Stromlinienkorrektur nur ein gewisser Bruchteil zur Iteration herangezogen werden:

Parabelbogen.

Kreisbogen.

Werte Aq, . Kurven.

Wenn w(Ei,O) mittels des Gradienten der qk-Kurven bestimmt wird, so ist unmittelbar eine untere Grenze Emin fiir E dadurch gegeben, daO der Durchsatz @* S 1 sein muB. Wenn w(&, 0) unter Verwendung der Asym- ptoten der Ei-Kurven bestimmt wird, so kann bei den ersten Iterationsschritten ein kleinerer Wert von E

gewiihlt werden, da erst im Grenzfall die Gesetze der kompressiblen Stromung gelten. Diese starke Ernied- rigung von E ist jedoch nicht erforderlich, wenn beim Auftreten von Ausbeulungen der qk-Kurven die Rech- nung abgebrochen und mit veriinderten Randgeschwin- digkeiten von vorn begonnen wird. Wie friiherl) aus- einander gesetzt wurde, stellt dieses Vorgehen einen wesentlichen Bestandteil des Verfahrens dar.

In 1. und den anschlieDenden Schritten 2. bis 5. wird die Kontinuitiitsforderung verwendet. Infolge 6.

Z. angew. Math. Mech. 470 Kleine Mitteilungen Bd. 36 h'r. 11/12 Nov./Dez. 1956

liegen mehrere Stromlinien vor, so daB die Bedingung der Wirbelfreiheit in 8. erfiillt werden kann. Dem Energiesatz wird durch den entsprechenden p, w-Zu- semmenhang geniigt, hierbei wird fiir die einzelnen Stromfaden die gleiche Ruheenthalpie vorausgesetzt.

IV. Zurn Rechnungsgang seien folgende Ausfiihrungen

gestattet. Zu 1. - I n Bild 2 sind unter Verwendung der fur

einige Stromlinien (man vgl. 0.) berechneten Werte pr' , wr' fur festes & die Funktionen

aufgetragen; diese werden an den Stellen It; i. a. noch nicht den von der Kontinuitiit geforderten Wert 1 haben. Bei linearer Interpolation gilt

zy = zt; + (Or "1 I;$( pyj W g ) ' [l - .

Bud 2. Zur Iteration der WandabstBnde Z s t aufgrund der Eontinub tltsforderung (schematisch)

Zu 2. - Die Koordinaten (?!if 3:') der Punkte Ffi sind nach Bild 3 wegen Z = R (pl - &) gegeben durch

Z!") z k = X y i k - ( X g i k - X P L ) cos ( I / @ )

@ ( V ) i k = Y(Y) R , i k - ( Y k , i k - Y r ' ) C o s ( z , ' R r ' ) ' 4

- (@ i k - gr') sin (~/qi) ,

+ (xi! i k - x?') sin (Z/R:~) . (Die GroDen Rr' sind nach 4. im vorangelienden Itera- tionsschritt bestimmt. Der Index ,,2" bei R i k wurde hier fortgelassen.)

Zu 3. - Die durch drei aufeinander folgende Punkte el1, Fr) und gelegte Parabel werde bezeichnet mit

-

y = &+1+) y?) + &+l). (.- Z?))

+- b " + l ) . ( X - Z ~ ) ) ( z ~ : l - X ) ,

wobei

ist. Der obere Index ,,v" auf den rechten Gleichungs-

seiten wurde hierbei weggelassen. Zu 4. und 5. -Die Bestimmung der Kreisbogen $rv+')

und der Punkte Pr:') wird in e inem Rechnungsgang durchgefiihrt :

2

Bild 3. Zum Ersatz der Orthogoualtrajektorien durch Kreisbogen

In Bild 3 moge ,,l" den Randpunkt Pi, ,,2" den gesuchten Schnittpunkt der zuniichst unbekannten Orthogonaltrajektorie mit der Stromlinie der (Y + 1)- ten Niiherung bedeuten. R, sei der gleichfalls gesuchte Kriimmungsradius der Kurve (r+l). Es gilt

Y2 = m(xJ 1

tg p, = 7n'(x2)

Zuerst ist der Wert von X, aus der numerisch oder gra- phisch zu losenden Gleichung (man vgl. Bild 3)

ctg (PI + SAP + (Y1- Y,)/(Z, - x2) = 0 zu bestimmen; anschlieDend wird

R, = ( ~ 1 - zz)/(cos pa - cos pi) 9

X R = (zl cos p*- X2 COB pl)/(cos 8, - cos PI) , yR = Yl + ("R- Z l ) tg Sl .

Zu 7. - Die Teilschritte 1. bis 6 . waren fur fest- gewiihlte Punkte Pa der Staustromlinie einschliealich der Profilkontur und mehrere gleichfalls fest ange- nommene Zahlen qk durchgefiihrt. Die weiterhin erfor- derliche Ermittlung der Lage Z1(E, 00) der Asymptoten der &-Kurven erfolgt am vorteilhaftesten auf zeich- nerischem Wege. Da fiir die vorzunehmende Tangen- tenbestimmung der Kurve Z1(E, 00) als Funktion von Z1($, 0) nur Differenzen in den jeweiligen Bogenlangen benotigt werden, sind diese von einer beliebigen Kurve & = const aus zu rechnen. Es gilt dann

w(E, 0 ) l W I = dl,(E, O0)/dll(E, 0) . Zu 8. - Damit ist die Geschwindigkeit auf der

Profilstromlinie auf Grund der Bedingung der Wirbel- freiheit und der Randbedingung fur grol3en Abstand vom Korper - quer zur Hauptstromungsrichtung gemessen - bestimmt. Da andererseits w(E,O) der Kontinuitiitsbedingung und der Randbedingung fur groaen Abstand weit vor bzw. hinter dem Korper geniigen muB, ist an dieser Stelle eine Kontrolle in dem Sinn moglich, daB mit wachsender Iterationszahl die Unterschiede zwischen beiden Werten beliebig klein werden miissen.

Bei konstanten Abstiinden AZ,, im Zustromge- biet gilt fiir den Gradienten der Stromdichte auf der Profilstromlinie die Beziehung

wobei A(k) die vorwiirts genommene Differenz k-ter Ord- nung bedeutet. Zur Auswertung, also zur Bestimmung von zc(E, O ) / q bedient man sich am vorteilhaftesten der bekannten Tabellen fur die auf den kritischen Zu- stand bezogene Stromdichte; aus diesen Tafeln kann

Z . angew. Math. Meoh. Buchbesprechungen 47 1 Bd. 36 Nr. 11/12 Nov./Dem. 1956

entnommen werden, nachdem die zur Stromdichte

gehorende Mac hzahl M*(E, T ~ ) bestimmt ist. An- schlieBend sind in den Netzpunkten Pik die Geschwin- digkeiten zu ermitteln

und die hierzu gehorenden Ma c h zahlen a*(&, qk) zu berechnen.

V. Um das rechnerische Verfahren beginnen zu konnen,

mu13 von der ah bekannt vorausgesetzten inkompres- siblen Stromung ausgegangen werden; dann ist fur den

ersten Iterationsschritt eine veriinderliche Dichte

einzufuhren. Von den Grundbedingungen werden somit die For-

derungen von Quellen- und Wirbelfreiheit nicht gleich- zeitig, sondern nacheinander verwendet ; hierbei wird der Tatsache Rechnung getragen, daB eine Erfullung der Quellenfreiheit ohne gleichzeitige Beriicksichtigung der Wirbelfreiheit zu stark gekriimmte qk-Kurven liefert. Ferner werden auch die Randbedingungen nacheinander benutzt : die Zustrombedingung bei der Kontinuitiit, die Randbedingung quer zur Haupt- stromungsrichtung bei der Einfuhrung der Wirbel- freiheit. Der Energiesatz schlieBlich wird bei For- derung der Quellenfreiheit beriicksichtigt.

Im Gegensatz zu der Bestimmung der Stromung durch Kaniile ist wegen zu geringer bzw. fehlender Konvergenz das am Ende des IV. Abschnittes der in FuBnote 1 zitierten Arbeit beschriebene Vorgehen zu beachten.

Berlin. W. B a d e r .

BUCHBESPRECHUNGEN Heinrieh Bsldau! (Le h r b e a u f t r a g t e r a. d.

T. H. D r e s d e n ) , Hochgradig s t a t i s ch unbe - s t immte Tragwerke. VIII + 215 S. mit 165 Abb. Leipzig 1956. S. Hirzel Verlag. Preis geb.17,30 DM.

Das Buch ist am Vorlesungen des Verfassers iiber Statik der Baukonstruktionen an der T. H. Dresden hervorgegangen und wird sowohl den Ingenieuren der Konstruktionsbiiros als auch in ganz besonderem MaBe den Studierenden der Hochschulen empfohlen. Es setzt gewisseKenntnisse der Technischen Mechanik, insbesondere der kinematischen Methoden zur Be- rechnung von Schnittkriiften, voraus. Die numerische Behandlung hearer Gleichungssy steme (Eliminations- und Iterationsverfahren), die fur die hochgradig sta- tisch unbestimmten Stabwerke von besonderer Be- deutung sind, werden in einer Ausfuhrlichkeit dar- gelegt, da13 wohl alle praktisch vorkommenden Systeme zweckmiiBig behandelt werden konnen. Auf das Eliminationsverfahren nach GauB- Banachie- wi c z wird ausfiihrlich eingegangen. Darstellungen von Abdeckmasken und Beispiele erleichtern die An- wendung dieses Verfahrens.

Im Abschnitt iiber die KraftgroBenmethode werden die Wahl statisch bestimmter und statisch unbestimm- ter Hauptsysteme, Anwendungen des Reduktions- satzes, Symmetriebetrachtungen in Verbindung mit symmetrischen und antimetrischen Belastungen, elastischer Schwerpunkt und das Gruppenlastverfah- ren behandelt. Die Yormiinderungsmethode wird von den Grundlagen her entwickelt und die Berechnung verschieblicher Stabnetze mittels kinematischer Ket- ten dargestelegt. Das Cross -Verfahren fur unver- schiebliche und verschiebliche Stabnetze wird folge- richtig &us der Form&nderungsmethode entwickelt. Am SchluB des Buches sind zahlreiche Anwendungs- beispiele zur Ergiinzung und zum Verstiindnis des theoretischen Teils angefuhrt.

Freiberg/Sa. D. Rudiger.

E. Sanger, Die Wege des Strahlfluges. (Mit- teilungen aus dem Forschungsinstitut fur Physik der Strahlantriebe E. V., Stuttgart, Nr. 3.) 14 S. m. 4 Ta- feln. Miinchen 1955. R. Oldenbourg Verlag. Preis geh. 5,20 DM.

Zu den Problemen, die in dem neu gegriindeten Forschungsinstitut fur Physik der Strahlantriebe

bearbeitet werden, gehort u. a. die wissenschaftliche Erkundung auf dem Gebiete der Luft- und Raum- fahrt. Daher war es naheliegend, daD der Leiter dieses Forschungsinstitutes Dr.-Ing. E. Siinger auf der ersten bditgliederversammlung, die am 12. Judi 1955 in Stuttgart-Flughafen stattfand, iiber das Thema ,,Die Wege des Strahlfluges" sprach. Die Instituts- mitteilung Nr. 3 enthiilt den Wortlaut dieses Vor- trages, in welchen vom fiihrenden Fachmann ein ge- driingter nberblick iiber den bereits erreichten tech- nischen Stand und die voraussichtliche weitere Ent- wicklung der Strahlantriebe gegeben wird.

Der Wert der vorliegenden Arbeit ist, neben dem Einblick in die kuhn aufgezeigte Entwicklung der Luft- und Raumfahrt, vor allem darin zu erblicken, daB sie eine Fulle der noch nicht gelosten technischen Probleme anschneidet und sie in Hinblick auf die zweckmilBige Reihenfolge der Behandlung und Lo- sung ordnet. Dies wird zweifellos zum besseren Ver- stehen der Thematik von den im Forschungsinstitut fur Physik der Strahlantriebe durchgefuhrten Ar- beiten dienen, die erfreulicherweise der interessierten Offentlichkeit als Institutsmitteilungen zugiinglich ge- macht werden sollen.

Dresden. A. Pawlowitsch.

H. H. K6lle, tfber die Wir t schaf t l ichkei t von Wasserdampfrake ten a l s Hor i zon ta l -S ta r t - hilfen. (bditteilungen &us dem Forschungsinstitut fur Physik der Strahlantriebe E. V., Stuttgart, Nr. 2.) 76s. m. 17 Abb. Munchen 1955. R. Oldenbourg Verlag. Preis geh. 24,- DM.

Die gegenwiirtig stattfindende Umstellung der Ver- kehrsflugzeuge mit Kolbentriebwerken auf Strahl- turbinen-Antrieb und das in der nahen Zukunft zu erwartende Erscheinen der Staustrahlflugzeuge in der zivilen Luftfahrt hat zur Folge, daB die Schaffung von geeigneten Starthilfen langsam zum dringenden Problem wird. Daher wird von H. H. Kolle die Frage der Wirtschaftlichkeit und Betriebssicherheit von verschiedenen bodenfesten Starthilfen fur Staustrahl- flugzeuge auf der Basis der Feststoffraketen, che- mischer Flussigkeitsraketen mit Wassereinspritzung (Methylalkohol-Sauerstoff-Wasser) und der Wasser- dampfraketen (Heiowasserraketen) untersucht. Als Ergebnis der durchgefuhrten Analyse wird die grole Uberlegenheit von Wasserdampfraketen in wirtschaft-