Zum Wartezeitverlauf im kollektiven Bausparen bei gleichmiigig sehwankendem Neuzugang

Hans Laux (Ludwigsburg)

I . E i n l e i t u n g

Auf die Wartezeiten im kollektiven Bausparen hat die HShe des Neugeschiifts einen ent- scheidenden EinfluB. Dies versteht sich yon selbst, wenn man sich vergegenwiirtigt, dab je- der Bausparer als u f fir die Zuteilung einen Ansparprozel3 absolvieren muB und dal3 die Bausparguthaben der noch sparenden (auf die Zuteilung wartenden) Bau- sparer die Bauspardarlehen der schon (friiher beigetretenen) zugeteilten Bausparer re- finanzieren. Das so charakterisierte, dem deutschen Bausparsystem immanente Wartezeit- problem ist sdaon ab Beginn der 1930er Jahre nach verschiedenen Gesichtspunkten mathe- matisch untersucht wordea [1]*). Am bekanntesten ist das Denkmodell des statischen Beharrungszustandes, der sich herausbildet, wenn die Neuzugiinge gleidablelben und sich der Ablauf exakt nach den Bestimmungen des jeweiligen Bau, spartarifs vollzieht. Das ma- thematische Formelwerk kann man unschwer auf den Fall eines dauernd geometrisch steigenden Neugeschiifts erweitern; unter dieser Voraussetzung erreicht das Bausparkollek- tiv einen dynamischen Beharrungszustand [2]. Ebenso ist es m~iglich, die wartezeitverklir- zenden Faktoren weiterer Art - h~here als bedingungsgemiiB festgelegte Spar- und Til- gungsleistungen sowie K~indigungen, Darlehensverzichte, Vertragsfortsetzungen und Tr~ig- heitsreserven - ins Kalkfil zu ziehen. [3]. Immer aber ist unter solchen Pramissen angenommen, dab sich der Bausparbestand bereits in einer statischen oder dynamischen Beharrung befindet. Alle maBgeblichen Bestimmungs- grSBen mfissen alsdann fiber einen liingeren Zeitraum von durchweg mindestens 10 Jahren konstant sein. Das ist in der Praxis nur in grober Anniiherung der Fall. Es interessiert deshalb auch der Wartezeitverlauf unter anderen Voraussetzungen als denen des Behar- rungszustandes. Atlgemein bekannt ist es, dab bei einer Bausparkasse nach Er~ffnung des Gesch~iftsbetriebs (oder eines neuen Bauspartarifs mit eigener Zuteilungsmasse) ein sogenannter Anlauf- effekt zu verzeichnen ist. Berechnungsbeispiele hierzu sind schon friiher vorgelegt worden [4]. Von besonderer und zur Zeit auch aktueller Bedeutung sind Untersuchungen fiber den Wartezeitverlauf bei verschledaterten Zugangsverhllhnissen; denn zeitweilig war das New geschiift fast aller Bausparkassen im Gefolge der ungiinstigen Wirtschaftslage und der be- eintriichtigten Bausparf~rderung riickl~iufig. Auch hierzu hat der Verfasser ausgewlihlte Bauspartarife unter bestimmten bauspartechnischen Priimissen untersucht [5]. Die heutige Abhandlung befaBt sich - in Erg~inzung zu den erwiihnten Arbeiten - mit dem Wartezeitverlauf im Bausparen unter der Voraussetzung, dab die Neuzugiinge einem gesetzmiiBigen Auf und Ab folgen. Das soll nicht so verstanden sein, als ob in der Zukunft mit einem gleichmiiBig schwankenden Neugesch~ift zu rechnen sei. Gleichwohl hat die An- nahme etwas ffir sich, dab - anders als in dem durch Wohnungsnot und steigenden Wohl- stand verursachten Bau- und Bausparboom -- sich im Neuzugang der Bausparkassen kiinf- rig - bei ann~ihernd oder weitgehend gesattigtem Wohnungsmarkt - die Wellenbewegung der Konjunktur, spezieU des Wohnungsbaus und der Kapitalmarktverfassung, stiirker wider- spiegelt. Dabei ist so wenig wie in der Vergangenheit ein gleichmiiBiger Verlauf zu erwarten. Doch abgesehen davon, dab niemand das Neugeschiift der Bausparkassen zuverllissig zu prognostizieren vermag und dab bei vSllig unregelm~iBigem Verlauf eine unendliche Man-

*) Zahlen in eckigen K1ammern verweisen auf das Literaturverzeichnis am Ende der Arbeit.

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nigfaltigkeit zu untersuchen wiire, sind Gesetzm~iBigkeiten nur zu erkennen, wenn man auch die Berechnungsvoraussetzungen gewissen mathematisch erfal3baren Regeln unter- wirft. Dies wird im folgenden ebenfalls geschehen, iihnlich den friiheren Annahmen etwa iiber die koustanten Zuwad~sraten des Neugeschiifts oder die einmalige Verschlechterung der Zugangsverh~iltnisse. Es wird jeweils angenommen, dab mit variierter Amplitude und Frequenz das Neugeschiift (ohne Einbeziehung eines dynamischen Trends) linear zu- und abnimmt. Die dazu erforderlichen umfangreichen Berechnungen sind wiederum mit Hilfe der elektronischen Datenverarbeitung durchgefiihrt worden, deren Programm fiir derartige bauspartechnische Modellberechnungen schon friiher entwickelt worden ist.

I I . P r ~ i m i s s e n

Betrachtet werden 2 verschiedene Tarifformen, zum einen der Ratenspartarif mit einem Halbjahres-Sparbeitrag yon 40/0 der Bausparsumme. Die sich daraus ergebende jiihrliche Sparintensitiit von 80/0 ist nicht allzu weit yon den Verhiiltnissen in der Praxis entfernt; zum anderen ein Einmalspartnrif, bei dem die Bausparer bei VertragsabschluB 500/0 der Bausparsumme als Grundspareinlage, aber keine weiteren Sparraten zu entrichten haben [6]. Alle Berechnungen beginnen mit der NeuerSffnung des Geschiiftsbetriebs (oder des betref- fenden Tarifs) einer Bausparkasse. Dadurch zeigt sich zuerst der Anlaufeffekt. Das Neu- geschiift im ersten Halbjahr (Zeitpunkt 0) soil 100~ einer gedachten Mittellage betra- gen, linear bls zu einem Maximum ansteigen und dann mit dem gleichen Prozentsatz linear his zu einem Minimum abfallen, das um soviel Prozent unter der 100~ liegt wie das Maximum dariiber. Konkret bedeutet dies im Be~spiel einer Amplitude yon _+ 500/0 und einer Frequenz von 40 Halbjahren, daB die Neuzuglinge im Zeitpunkt 0 mit 100~ einsetzen, um 50/0 pro Halbjahr bis zu 150~ im Zeitpunkt 10 anwad~sen, dann je 50/0 abnehmen, bis sie im Zeit- punkt 30 nur noch 500/0 der Mittellage betragen, um danach wieder um 50/0 pro Halbjahr anzusteigen. Der Ausgangswert yon 100~ ist dann im Zeitpunkt 40 wieder erreicht und damit die Frequenz einmal roll durchlaufen. Der Zyklus beginnt erneut. In diesem Sinne sind fiir die Amplitude yon + 500/0 des Neugeschiifts Frequenzzeitriiume yon 20, 40 und 60 Halbjahren untersudlt worden, zusiitzlich fiir die Frequenz von 20 Halbjahren die Amplituden v o n + 25 und + 750/0. Im iibrigen liegt den Kalkulationen wie iibli& der Standardbauspartarif mit 30/0 Guthaben- und 50/0 Darlehenszinsen jiihrlich sowie 20/0 Darlehensgebiihr zugrunde. Die Berechnungen vollziehen sich in Halbjahresschritten. Alle Bausparer nehmen die Zuteilung im friihestmSglichen Zeitpunkt sofort in voller HShe an; wartezeitverkiirzende Faktoren dritter Art sind nicht einbezogen.

I I I . B e r e c h n u n g s e r g e b n i s s e

Die Entwi&lung der Wartezeiten fiir die untersuchten Fiille geht aus tier Tabelle 1 fiir den Ratenspartarif und aus der Tabelle 2 fiir den Einmalspartarif hervor. Die Tabelle 1 er- streckt sich vom Halbjahr 10, in dem fiir die erste Zugangsgeneration das tarifliche Min- destsparguthaben yon 40~ der Bausparsumme erreicht wird, bis zum Halbjahr 89, in der Tabelle 2 vom Halbjahr 3, in dem die iibliche Mindestsparzeit yon 18 Monaten abgelaufen ist, bis zum Halbjahr 86. Fiir die tabellarisch nicht erfaBten Halbjahre sind keine nennens- werten Abweichungen mehr yon den zuvor schon beobachteten Auf- und Abschwungphasen mehr festzustellen. In alien 10 durchgeredmeten F~illen verlaufen die Wartezeiten wellenf5rmig. Das ist am besten aus der zeichnerischen Wiedergabe der Figuren zu ersehen. So ist in der Abbildung 1 die Wartezeitentwicklung bei dem Ratentarif mit 40/0 Halbjahres-Sparbeitrag im Falle

250

Tabelle 1. Entwicklung der Wartezeit eines Bauspartarifs mit 4o/o Halbjahres.Sparbeitrag bei gleich- m~iBig schwankendem Neuzugang

Halb- jahr

Amplitude des Neugeschiifts

+ 25~176 I -+ 500/~ I + 75~/o I bei einer Frequenz in Halbjahren yon 20 20 40 60 20

(i) I(2) (3)

10,00 10,00 10,00 10,06 10,63 11,18 11,73 12,29 12,82 13,31 13,76 14,17 14,51 14,79 14,99 15,06 14,99 14,69 14,07 13,17 12,73 12,53 12,50 12,56 12,70 12,90 13,16 13,47 13,81 14,18 14,52 14,82 15,08 15,27 15,40 15,43 15,33 15,08 14,54 13,63

(4)

10,00 10,00 10,00 10,00 10,31 10,71 11,08 11,44 11,78 12,11 12,44 12,75 13,06 13,37 13,66 13,92 14,15 14,34 14,50 14,65 14,81 14,97 15,13 15,28 15,42 15,53 15,62 15,68 15,70 15,67 15,59 15,42 15,17 14,76 14,16 13,64 13,27 13,01 12,83 12,71

(5)

10,00 10,00 10,00 10,00 10,42 10,80 11,15 11,45 11,74 11,99 12,23 12,45 12,64 12,83 13,00 13,16 13,32 13,47 13,61 13,77 13,93 14,07 14,22 14,35 14,47 14,58 14,67 14,76 14,84 14,91 14,98 15,04 15,10 15,15 15,21 15,26 15,31 15,37 15,42 I5,4~

(6)

L0,00 10,00 L0,00 10,00 10,58 I1,I7 L1,78 12,39 13,00 13,55 14,09 14,57 15,01 15,36 15,64 15,79 15,77 15,46 14,49 12,60 11,97 11,80 11,83 11,97 12,21 12,52 12,88 13,29 13,74 14,21 14,65 15,07 15,42 15,73 15,96 16,08 16,06 15,78 15,06 13,05

Amplitude des Neugeschiifts

Halb- _+25~ + 50~ [ _75~ jahr bei einer Frequenz in Halbjahren yon

20 20 40 60 20

(I) ](2) (3) I(4) (5) (6)

50 13,66 51 13,49 52 13,40 53 13,37 54 13,40 55 13,47 56 13,59 57 13,75 58 13,94 59 14,16 60 14,35 61 14,51 62 14,64 63 14,73 64 14,77 65 14,76 66 14,67 67 14,51 68 14,27 69 13,93 70 13,67 71 13,50 72 13,41 73 13,37 74 13,40 75 13,48 76 13,60 77 13,75 78 13,94 79 14,16 80 14,35 81 14,51 82 14,64 83 14,73 84 14,77 85 14,76 86 14,67 87 14,52 88 14,27 89 13,93

13,06 12,64 12,79 12,59 12,68 12,57 12,69 12,58 12,79 12,61 12,96 12,66 13,21 12,73 13,51 12,82 13,84 12,93 14,20 13,05 14,53 13,20 14,84 13,37 15,09 13,56 15,29 13,76 15,41 13,99 15,45 14,20 15,36 14,39 15,11 14,57 14,57 14,74 13,66 14,90 13,07 15,05 12,79 15,19 12,68 15,32 12,69 15,44 12,79 15,55 12,97 15,64 13,21 15,71 13,51 15,75 I 13,84 15,75 14,20 15,71 14,53 15,62 j 14,84 15,45 15,10 15,19 15,29 14,79 15,42 14,18 15,45 13,66 15,36 13,29 15,11 13,02 14,57 12,85 13,66 12,72

10 10,00 11 10,00 12 10,00 13 10,17 14 10,68 15 11,18 16 11,67 17 12,15 18 12,58 19 12,99 20 13,34 21 13,65 22 13,91 23 14,11 24 14,24 25 14,29 26 14,25 27 14,10 28 13,83 29 13,52 30 13,32 31 13,22 32 13,19 33 13,21 34 13,28 35 13,38 36 13,53 37 13,70 38 13,9~3 39 14,13 40 14,3~ 41 14,4~ 42 14,62 43 14,71 44 14,75 45 14,73 46 14,65 47 14,45 48 14,25 49 13,91

15,50 15,52 15,52 15,49 15,43 15,33 15,17 14,95 14,64 14,21 13,83 13,54 13,33 13,17 13,05 12,97 12,92 12,89 12,87 12,85 12,87 12,88 12,89 12,91 12,93 12,95 12,97 12,99 13,02 13,05 13,09 13,14 13,20 13,28 13,36 13,46 13,57 13,70 13,84 14,00

12,30 12,01 11,97 12,07 12,28 12,57 12,91 13,32 13,76 14,22 14,65 15,08 15,43 15,74 15,98 16,10 16,08 15,81 15,09 13,08 12,32 12,02 11,97 12,07 12,28 12,57 12,91 13,32 13,76 14,22 14,65 15,08 15,43 15,74 15,98 16,10 16,08 15,81 15,09 13,08

251

Tabelle 2. Entwicklung der Wartezeit eines Bauspartarifs mit 50~ Grundspareinlage bei gleieh- m~Big schwankendem Neuzugang

Halb- jahr

Amplitude des Neugesch~ifts

I _+25~ _+50o10 l ___ 75~/o [ bei einer Frequenz in Halbjahren yon

120 20 140 60 20

Halb- jahr

Amplitude des Neugeschiifts

+ 25010 [ + 50~176 I + 75~176 I J

bei einer Frequenz in Halbjahren yon

60 20

(I) 1(2) (3) 1(4) (5) (6) (1) (5) (6)

3,00 3,00 3,00 3,00 3,29 3,80 4,36 4,94 5,52 6,14 6,77 7,42 8,12 8,72 9,24 9,65 9,94 LO,02 9,80 9,05 6,87 5,96 5,54 5,43 5,50 5,71 6,01 6,42 6,89 7,42 7,99 8,56 9,18 9,72 DO,18 :0,56 .0,83 .0,97 ~0,90 0,48 9,22 7,04

45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86

20 20 40

(2) (3) (4)

7,74 7,04 6,98 7,56 6,76 6,87 7,48 6,66 6,78 7,47 5,71 6,71 7,53 6,86 5,66 7,65 7,10 6,52 7,82 7,42 5,54 8,03 7,79 6,70 8,29 8,23 5,80 8,56 8,67 6,93 8,82 9,12 7,11 9,03 9,51 7,32 9,19 9,84 7,56 9,30 :0,09 7,81 9,34 ~0,23 8,06 9,31 :0,25 8,30 9,19 [0,12 8,53 8,97 9,73 8,76 8,61 8,95 8,99 8,21 7,84 9,21 7,89 7,20 9,43 7,70 6,88 9,65 7,60 6,76 9,87 7,58 6,79 10,10 7,62 6,93 10,33 7,73 7,16 10,57 7,89 7,47 10,77 8,09 7,84 10,92 8,35 8,27 I 11,02 8,61 8,71 11,04 8,87 9,15 11,00 9,08 9,55 10,84 9,24 9,88 10,57 9,34 L0,12 10,14 9,38 [0,27 9,45 9,35 [0,29 8,75 9,23 [0,16 8,24 9,01 9,78 7,85 8,65 9,00 7,55 8,25 7,88 7,32 7,92 7,23 7,14 7,72 6,90 6,99

3 3,00 4 3,00 5 3,00 6 3,09 7 3,51 8 3,94 9 4,39

10 4,84 ] 1 5,28 12 5,71 13 6,13 14 6,53 15 6,93 16 7,26 17 7,53 18 7,71 19 7,81 20 7,81 21 7,68 22 7,43 23 7,17 24 6,98 25 6,85 26 6,80 27 6,82 28 6,90 29 7,03 30 7,21 31 7,43 32 7,69 33 7,98 34 8,26 35 8,53 36 8,76 37 8,94 38 9,05 39 9,10 40 9,08 41 8,96 42 8,74 43 8,39 44 8,02

3,00 ] 3,00 3,00 t 3,00 3,00 3,00 3,00 3,05 3,38 3,38 3,86 3,70 4,37 3,98 4,90 4,26 5,42 4,55 5,96 4,85 6,48 5,17 7,04 5,50 7,58 5,85 8,07 6,20 8,45 6,54 8,74 6,86 8,90 7,16 8,88 7,44 8,61 7,69 8,00 7,95 7,06 8,20 6,53 8,45 6,20 8,72 6,07 8,98 6,10 9,24 6,24 9,50 6,46 9,77 6,76 10,04 7,12 10,26 7,54 10,44 7,99 10,55 8,43 10,59 8,9O 10,55 9,30 10,41 9,63 10,14 9,88 9,68

10,03 8,98 10,05 8,39 9,90 7,93 9,49 7,60 8,63 7,34 7,64 7,14

3,00 3,00 3,00 3,12 3,47 3,80 4,11 4,40 4,67 4,91 5,14 5,35 5,54 5,73 5,93 6,13 6,33 6,53 6,74 6,96 7,18 7,40 7,61 7,81 8,01 8,19 8,37 8,53 8,69 8,85 9,00 9,14 9,28 9,42 9,55 9,69 9,82 9,95

10,10 10,24 10,38 10,53

10,68 10,80 10,87 10,90 10,88 10,79 10,63 10,38 10,03 9,52 8,99 8,58 8,24 7,97 7,76 7,58 7,44 7,32 7,23 7,15 7,09 7,04 7,00 6,97 6,95 6,93 6,93 6,92 6,92 6,92 6,93 6,96 7,02 7,11 7,21 7,35 7,50 7,67 7,85 8,04 8,21 8,37

6,28 5,98 5,94 6,08 6,34 6,69 7,12 7,62 8,18 8,75 9,35 9,89

10,35 10,73 11,01 11,14 11,09 10,71 9,58 7,28 6,42 6,08 6,02 6,15 6,40 6,74 7,16 7,66 8,21 8,78 9,38 9,92

10,38 10,76 11,04 11,17 11,12 10,75 9,65 7,33 6,45 6,10

252

der Amplituden yon + 500/0 und der Frequenz yon 20 Halbjahren dargestellt. Die Warte- zeit bei gleichbleibendem Neuzugang und die HiJhe des gleichmiil3ig schwankenden Neu- zugangs ist ebenfalls mit aufgetragen, und zwar so, dab die Mittellage von 100~ des Neu- geschiifts der ko~stanten Wartezeit im statischen Beharrungszustand bei gleichbleibendem Neuzugang in H~ihe dieser Mittellage entspricht.

%~

150-

140-

130 -

120-

110-

100-

90-

80-

70-

60-

50-

Halb-}Warte- jahre l zeif

Fre( uenz Ampli- I rude

I i Wartezeif beischwankendem Neuzugang Warfezeif bei gleichbleibendem Neuzugang

1 I I I I I |

20 40 60 80 100 120 140 Halbjahre

Abb. 1. Wartezeitverlauf bei einem Bauspartarif mit 40/0 Halbjahres-Sparbeitrag im Falle gleich- miillig schwankender Neuzug~inge (Amplitude + 50~ Frequenz 20 Halbjahre)

Bei n~iherer Betrachtung der Abbildung 1 stSBt man auf ein iiberraschendes Phiinomen: Die Maxima der Wartezeiten entsprechen in etwa den Maxima des Neugeschiifts und um- gekehrt, wenn auch zeitlich etwas versetzt, die Minima. Dies scheint dem Gesetz zu wider-

253

sprechen, dab steigendes bzw. hohes Neugeschiift wartezeitverkiirzend wirkt, fallendes bzw, niedriges Neugeschiift hingegen wartezeitverliingernd. In Wahrheit handelt es sich um ein Zufallsergebni, s, das sich folgendermagen erkliirt. Auf die Dauer pendeh die Wartezeit mit Abweichungen yon etwa + 1,4 Halbjahren um die mittlere Wartezeit von 14,08 Halbjahren bei gleichbleibendem Neugeschlift. Demnach umfaBt der Bestand der nidlt zugeteilten Ver- tr~ige - von der Anlaufperiode abgesehen - immer 13 bis 16 Zugangsgruppen, aus denen die Sparbeitriige herriihren. Anhand der Grafik yon Abbildung 1 verdeutlicht man sidl rasch, dab es fiir den Ratentarif bei der relativ kurzen Frequenz von 20 Halbjahren nicht darauf ankommt, wann das Neugeschiift seine grSBte und niedrigste HShe erreicht hat, son- dern wann die Bausparsumme der noch nicht zugeteihen Vertriige am hSchsten oder am

%

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2'0 ~0 gO 810 IbO 1~0 140 Holbjohre

Abb. 2. Wartezeitverlauf bei einem Bauspartarif mit 40/0 Halbjahres-Sparbeitrag im Falle gleich- miiBig schwankender Neuzu@nge (Amplitude + 500/0, Frequenz 40 Halbjahre)

254

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Frequenz I I

Neuzugang Warfezeit bei schwankendem Neuzugang

Warfezeif bei gleichbleibendem Neuzu~ang,. I I I I I v

20 40 60 80 100 120 140 Helbjahre

Abb. 3. Wartezeitverlauf bei einem Bauspartarif mit 40/0 Halbjahres-Sparbeitrag im Falle gleich- m~iSig schwankender Neuzug~inge (Amplitude + 500/0, Frequenz 60 Halbjahre)

niedrigsten ist. Offenbar ist das etwa dann der Fall, wenn die Wartezeit ihr Minimum und Maximum durchl~iuft. Wenn die Frequenz sich verl~ingert, stellt sich yon selbst eine bessere Synchronisierung yon Maximum des Neugesch~ifts und Minimum der Wartezeit sowie umgekehrt heraus. Dazu sei auf die Abbildung 2 verwiesen, die fiir den 4~ bei einer Amplitude yon + 500/0 und einer Frequenz von 40 I-Ialbjahren gilt. Doch ist auch hier wie in den weiteren Grafiken zu beobachten, dab die Extremwerte des Neugesch~ifts und der Wartezeiten meist nicht in denselben Halbjahren erreicht werden. Durch die kollektive Verkniipfung der Spar- und Tilgungszahlungen tritt eine Verschiebung, durchweg eine Verz~gerung ein. Dies zeigt die folgende Gegeniiberstellung:

255

4~176 I 50~176

Frecluenz in Halbjahren

20 40 60 I 20 40 I

60 I

Maxima des Neugesch/ifts im I-Ialbjahr

85 90 135 I 85 90 I

135 I

Minima der Wartezeit im I-Ialbjahr

93/92 92 129 I 88/87 90 133 i

T

I Minima des Neugesch/ifts im I-Ialbjahr

95 110 165 I 95 110 165 i

I

Maxima der Wartezeit im Halbjahr

104/105 118 171 I 99/100 114 168 i

I

Die Abbildung 3 gibt den Neugesch/ifts- und Wartezeitverlauf fiir den Ratentarif mit 4~ Halbjahres-Sparbeitrag im Falle der Amplitude des Neugeschafts von+ 500/0 und die Fre- quenz yon 60 Halbjahren wieder. Die Wartezeiten folgen keineswegs dem etwa yon der Sinuskurve her bekannten gleichm~gigen Verlauf. Vielmehr vollzieht sich die Phase der

%' Ha b-~,Warfe - ja/ re zeif Fre(ruenz Arnpli-

150- '3- rude

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3 ~ bngschwankendem Neuzugang "" 5" Wartezeif bei gleichbleibendem Neuzugang

I I I I I I I I

20 40 60 80 100 120 140 Halbjahre

Abb. 4. Wartezeitverlauf bei einem Bauspartarif mit 500/0 Grundspareinlage im Falle gleichm~i6ig schwankender Neuzug/inge (Amplitude + 500/0, Frequenz 20 Halbjahre)

256

Wartezeitverkiirzung rascher als die der Wartezeitverl~ingerung. Das gilt auch fiir kiirzere Frequenzen und fiir den Einmalspartarif. Von besonderem Interesse ist es zu wissen, welche Extremwerte die Wartezeiten annehmen kSnnen. Sowohl fiir den Raten- als auch fiir den Einmalspartarif sind die jeweils ersten Maxima und Minima der Wartezeiten unter I der Tabelle 3 aufgefiihrt. Mit angegeben sind die Halbjahre, fiir welche die Extremwerte gehen; sie stimmen fiir die untersuchten F~ille nicht iiberein. Ferner sind unter II der Tabelle 3 die Anspargrade bei Zuteilung in Prozent der Bausparsumme und unter IIT die Zielbewertungszahlen (nach der Formel: Summe der Prozentguthaben an den durdllaufenden Halbjahresenden) mitgeteilt. Die Abbildungen 4 bis 6 gehen fiir den Einmalspartarif mit einer Grundspareinlage yon 50~ der Bausparsumme. Jeweils bei einer Amplitude des Neugesch~ifts yon + 500/0 betr;igt die Frequenz

20 Halbjahre in der Abbildung 4, 40 Halbjahre in der Abbildung 5, 60 Halbjahre in der Abbildung 6.

Es f~illt auf, dab audl bei kurzer Frequenz von 20 Halbjahren, abgesehen yon einer gering- fiigigen Zeitversetzung, die langsten Wartezeiten mit den niedrigsten Neuzug.qngen einher- gehen und umgekehrt. Abweichend vom Ratenspartarif ki~nnen die weiterflieBenden Spar- raten aus dem Neugesch~ift der friiheren Perioden nicht d~impfend einwirken. Anders ge- wendet, der Einmalspartarif reagiert rascher auf Ver~inderungen im Neugesch~ift, wie schon friiher anhand anderer Beispiele aufgezeigt worden ist [6].

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150- 140: 130- 120- 110 ~

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I I I 1 I I I : 1 -

20 40 60 80 100 120 140 Helbjahre

Abb. 5. Wartezeitverlauf bei einem Bauspartarif mit 500/o Grundspareinlage im Falle gleichmiillig schwankender Neuzug~inge (Amplitude +_ 500/0, Frequenz 40 Halbjahre)

257

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314

603

Die charakteristische Auf- und Abbewegung der Wartezeiten mit der abgekiirzten Ab- schwungphase und der verliingerten Aufschwungphase, wobei der Abschwung bier die Ver- besserung des Wartezeitstatus zugunsten des Bausparers aufzeigt, ist wiederum am besten aus der Abbildung 6 mit der Frequenz von 60 Halbjahren abzulesen. Im einzelnen lii0t sich die Dauer der Wartezeitverkiirzung und -verliingerung aus der Tabelle 3 wie folgt herleiten:

4~176 artarif I[ 50~176 artarif Amplitude des Neugesd~ifts

Jr25O/o I +50O/o I -+75~ If +25~ I _+50O/o I -+72~ Frequenz in Ha]bjahren

20 [ 2 0 1 4 0 1 6 0 [ 20 ][ 20 [ 20 [40 I 60 I 20 Phase der Wartezeitverkiirzung in Halbjahren

9 I 7 ] 14 ] 18 [ 7 H 9 [ 7 [ 16 ] 25 [ 7 Phase der Wartezeitverliingerung in Halbjahren

11 ] 1 3 1 3 6 1 4 2 ] 13 n 11 [ 1 3 1 2 4 1 3 5 [ 13

Demnach kann sich die Wartezeitverliingerung auf eine Zeitspanne des Doppelten oder mehr derjenigen Zeitdauer erstrecken, in der sich die Wartezeitverkiirzung vollzieht. Mit anderen Worten, dem Bausparkollektiv kommt die Verbesserung der Wartezeitverhiiltnisse ziemlich rasch zugute; es verspiirt ein verschlechtertes Neugeschiift jedoch erst mit einer gewissen Verlangsamung, dariiber hinaus nur stark gediimpft.

%' Halb~ Warte- jahrel zeit" Frequenz

I I

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20 40 60 80 100 120 140 Halbjahre

Abb. 6. Wartezeitverlauf bei einem Bauspartarif mit 500/0 Grundspareinlage im Falle gleichmiiflig schwankender Neuzugiinge (Amplitude _+ 500/0, Frequenz 60 Halbjahre)

260

Sdaon aus den Abbildungen 1 bis 6, in denen der prozentuale Mal3stab gleichermaf~en fiir Neugesdaiift und Wartezeit gilt, war zu ersehen, dab die Ausschlage des Neugeschiifts nach oben und unten sich keineswegs auch beim Wartezeitverlauf reproduzieren. Die prozentuale Schwankungsbreiten der Wartezeiten sind unter I der Tabelle 4 erredanet, und zwar in der Weise, dab die letzten beiden Zeilen yon I der Tabelle 3 auf die mittlere Wartezeit yon 14,08 bzw. 8,48 Halbjalrren im statisdaen Beharrungszustand des Raten- bzw. Einmalspar- tarifs bezogen sin& Die Ausschl~ige der Wartezeiten betragen gr6f3enordnungsm~iBig beim 4~

_+ 50/0 filr die Amplitude von+ 250/o + 10~ fiir die Amplitude yon + 500/0 + 15~ filr die Amplitude yon + 750/0

beim 50~ + 10~ fiir die Amplitude yon + 250/0 _+ 200/0 fiir die Amplitude yon + 500/0 -4- 300/0 fiir die Amplitude von+ 750/0

In den Wartezeiten rnachen sich somit die Neugeschiiftsschwankungen im Falle des Raten- tarifs nut mit etwa einem Fiinftel, im Falle des Grundspartarifs nut mit etwa zwei Fiinftel

Tabelle 4. Sdlwankungsbreite der Wartezeiten, Anspargrade und Zielbewertungszahlen

Bauspartarif mit 4"/0 Halbjahres-Sparbeitrag Bauspartarif mit 500/0

Amplitude des Neugeschiifts

• I _+5~/0 I-,-7~o/0 II _+25,/01 -,-5o,,/o I -+75'/0

bei einer Frequenz in Halbjahren yon

~0 120 140 160 120 ..... l i f o I~o 140 160 120 ~1:, I c2) It3) It4) It5) II (6) It7) lea) leg) 1c10)

Grundspareinlage

Abweiehungen in Prozent der Werte des statischen Beharrungszustandes t

I. Wartezeiten

-I-4,9 +9,7 -t-11,9 +10,3 +14,3 +10,7 -4-21,5 -t-30,4 +30,3 +31,7

II. Anspargrade bei Zuteilung in Prozent der Bausparsumme

+5,5 +10,9 -t-13,3 +11,5 -t-16,1 +1,4 +2,7 -I-3,9 +3,9 +4,1

III. Zielbewertungszahlen

--10,5 1--20,2 [--21,7 I--17,9 I--29,6 I --11,11 --21,2 t --22,0 [ --19,4 I --30,1 +10,7 -]-21,9 -t-27,0 +23,2 -t-33,2 +11,4 +22,9 +33,0 +32,7 +34,3

die jeweils letzten beiden Zeilen yon Tabelle 3 bezogen auf 14,08 bzw. 8,48 Halbjahre Wartezeit 62,19 bzw. 56,730/0 Bausparguthaben 392 bzw. 449 Zielbewertungszahl im statischen Beharrungszustand des Raten- bzw. Einmalspartarifs (bei Halbjahresperiodeu)

261

bemerkbar. Ein gr~llerer Ausschlag bis zu etwa 300/0 errechnet sich nur fiir den Einmal- spartarif im Falle der Neugeschiifts-Amplitude yon + 50~ und der Frequenz yon 40 und 60 Halbjahren. In der Tabelle 4 sind unter II auch die Sd~wankungsbreiten der Anspargrade und unter I I I auch die der Zielbewertungszahlen aufgefiihrt. Bemerkenswert erscheint, dab der Diimp- fungseffekt bei den Zielbewertungszahlen des Ratentarifs schw~icher ausf~illt als bei den Wartezeiten. Denn nunmehr l~illt sich sowohl fiir den Raten- als auch den Einmalspartarif feststellen, dall die Schwankungsbreite der Zielbewertungszahlen gr6llenordnungsmiillig

+ 10~ bei der Amplitude yon + 250/0, + 200/0 bei der Amplitude yon + 500/0, + 300/0 bei der Amplitude yon + 750/0,

mithin rd. zwei Fiinftel der Amplitude betriigt. Die Erkl~irung ist darin zu finden, dab - wie die Zahlen unter II der Tabelle 4 zeigen - beim Einmalspartarif nur relativ gering- fiigige Veriinderungeu der Anspargrade auftreten, die allein auf den erhfihten oder vermin- derten Zinszuwachs zuriickgehen, w~ihrend beim Ratenspartarif die Anspargrade prozentual etwa so stark herauf- und heruntergehen wie die Wartezeiten. Da dies gleichgeri&tet ge- s&ieht, mull sich das in den Zielbewertungszahlen, die ein Zeit)<Geld-Abbild darstellen, in etwa multiplikativ verstiirkt widerspiegeln.

Holb -~ jahre

17

16 15 14 13 12 11 10 9

~Warfe- zeif

Frequenz Ampli- = = rude

> Halbjehre

I I I I I I I ~__

20 40 60 80 100 120 140 Abb. 7. Wartezeitverlauf bei einem Bauspartarif mit 4e/o Halbjahres-Sparbeitrag im Falle gleich- miiflig schwankender Neuzugiinge (Amplitude _ 250/0, _+ 500/0 und + 75e/o; Frequenz 20 Halbjahre)

In der Abbildung 7 sind die Wartezeiten des Ratentarifs mit einem Halbjahres-Sparbeitrag yon 40/0 der Bausparsumme im Falle der Frequenz von 20 Halbjahren fiir die Amplitude you _ 25, + 50 und + 750/0 aufgetragen. Wie nicht anders zu erwarten, zeigt sich ein aullerordentlich gleichmiilliges Auf- und Abschwingen, das .schon etwa vom Halbjahr 40 an fast unveriindert immer wiederkehrt.

262

125-

I00 -

5 -

0 -

%' Werte- I Ziel- zeit | bewer- Halb-| tungs- jahre [ zahl

L500

16- -450

15- .. -400

13-

Zielbewertungszahl

~i Halbjahre l 1 I I I I l I ~._

0 20 40 GO 80 100 120 140 Abb. 8. Verlauf von Wartezeit und Zielbewertungszahl bei einem Bauspartarif mit 4o/0 Halbjahres- Sparbeitrag im Falle gleichm~iBig schwankender Neuzug~nge (Amplitude +500/0, Frequenz 40

Halbjahre)

Auf die griSBere Schwankungsbreite der Zielbewertungszahlen als diejenige der Wartezeiten beim Ratentarif ist schon aufmerksam gemacht worden. Eine grafische Darstellung dazu fin- det sich in Abbildung 8. Dort sind die Entwicklungen der Wartezeiten und der Zielbewer- tungszahlen fiir den Ratentarif mit 4o/o Halbjahres-Sparbeitrag im Falle der Amplitude des Neugesch~ifts v o n + 50o/o und der Frequenz yon 40 Halbjahren zeichnerisch wieder- gegeben. SchlieBlich ist noch auf die Abbildung 9 hinzuweisen. Sie soll aufzeigen, dab die Ver~inde- rungen des Neugesch~ifts auf die Wartezeiten beim Einmalspartarif relativ gr~Bere Auswir- kung haben als beim Ratentarif. Deshalb sind in der Abbildung 9 die Wartezeiten in der Weise normiert, dab als 100~ die mittleren Wartezeiten des statischen Beharrungszustan- des bei einem gleichbleibenden Neugesch~ift in Hi, he der 100~ Mittellage angesehen sind. Dargestellt sind die Wartezeiten fiir die Amplitude yon + 50o/0 und die Frequenz von

263

Warfezeif rel. zum abs. in sfatischen Halb- Beharrungs- jahren zusfand

%tOofen-lEinmel- I spar- I spar- | farif I tori f I 204-12

fg-

rS- -11 125-

17- -I0

16- 15--9

100- 14-

13-- 8

t2-

?5- 11- tO-

9-

8-

50- 7-

6-

5 - ,

5-

Einmalspartarif

Halb~abre I I I I I I I

0 20 40 60 80 I00 120 140

Abb. 9. Wartezeitverlauf bei Bauspartarifen mit 4o/0 Halbjahres-Sparbeitrag und 500/0 Grundspar- einlage im Falle gleichm~iBig schwankender Neuzugiinge (Amplitude _ 50~/o, Frequenz 40 Halbjahre)

264

40 Halbjahrem Die Wartezeiten schwanken beim Einmalspartar if mlt einer Bandbreite yon 1 1 , 0 6 - 6 , 7 0 = 4 , 3 6 Halb jahren um die mittlere Wartezeit des station~iren Zustandes yon 8,48 Halbjahren, dies sind 51,4~ davon, w~ihrend beim Ratentarif die entsprechenden Daten (15,75 - 12,58) :14,08 = 3,17 : 14,08 = 22,50/0 lauten.

LITERATURVERZEICHNIS

[1] Von den jiingeren Ver~ffentlichungen sind vor allem zu nennen: Krahn, Arved: Technik des deutschen Bausparens, 123 Seiten, Selbstverlag der Bausparkasse Gemeinschaft der Freunde Wiistenrot gemeinniitzige Gesellschaft mbH, Ludwigsburg, 1955, mit weiteren Hinweisen auf Literatur zur Bauspartechnik und L?tders, Rol/: Die Struktur der Bauspartarife unter besonde- rer Beriicksichtigung der Vertragszeiten und Wartezeiten, in: Beitr~ige zur Bausparmathematik, Curt Hermann Weise Verlag, Berlin SW 68, 1939, S. 7--34.

[2] Laux, Hans: Der dynamische Beharrungszustand des kollektiven Bausparens, Bl~itter der DGVM, Bd. X, S. 419--430, 1972.

[3] Laux, Hans: Die Wirkung der wartezeitverkiirzenden Faktoren dritter Art im kollektiven Bau- sparen, Bl~itter der DGVM, Bd. XI, S. 31--76, 1973.

[4] Laux, Hans: Der Anlaufeffekt im kollektiven Bausparen bei gleichbleibenden und steigenden Neuzug~ingen, Bl~itter der DGVM, Bd. XI, S. 565--604, 1974; Das kollektive Bausparen. Neuere Untersuchungen und zusammenfassende Darstellung zur Tedmik und Mathematik des deutschen Bausparens, 352 Seiten, Verlagsgesellschaft Recht und Wirtschaft mbH, Heidelberg, 1973, Kapitel A III 3, S. 53--68.

[5] Laux, Hans: Verlauf der Wartezeiten im kollektiven Bausparen bei verschlechterten Zugangs- verh~iltnissen, Bliitter der DGVM, Bd. XII, S. 57--77, 1975.

[6] Vgl. Laux, Hans: Wartezeiten, Anspargrade und Zielbewertungsziffern im dynamischen Behar- rungszustand yon Bauspartarifen mit Einmalsparbeitrag, Bl~itter der DGVM, Bd. XI, S. 227 bis 236, 1973.

Zusammenfassung Die vorliegende Untersuchung will friihere bausparmathematische Berechnungen erg~inzen, die ent- weder vom statischen bzw. dynamischen Beharrungszustand (Bl~itter der DGVM, Bd. X, S. 419 bis 430, 1972, Bd. XI, S. 31--76, 1973, Bd. XI, S. 227--236, 1973, Bd. XI, S. 363--370, 1974, Bd. XII, S. 143--152, 1975), vom Anlaufeffekt (Bl~itter der DGVM, Bd. XI, S. 565--604, 1974) oder yon einmalig verschlechterten Zugangsverh~iltnissen (Bl~itter der DGVM, Bd. XII, S. 57--77, 1975) ausgingen. Jetzt sind verschiedene F~ille durchgerechnet worden, in denen das Neugeschiift linear gleichm~iBig mit Amplituden yon +25, +50 und 4-750/0 in Frequenzzeitspannen von 20, 40 und 60 Halbjahren um eine gedachte Mittellage pendeh. Sowohl fiir den Ratenspartarif mit einem Halb- jahres-Sparbeitrag yon 4% als auch ffir den Einmalspartarif mit einer Grundspareinlage yon 50% der Bausparsumme wurden hergeleitet die Wartezeiten, die Anspargrade bei Zuteilung und die Zielbewertungszahlen, die -- wie die Wartezeiten verzSgert und stark gediimpft -- dem Auf und Ab des Neugeschiifts folgen.

Summary The present paper is intended to supplement earlier calculations concerning collective savings and loans systems for housing purposes, which started from a static or dynamic state of equilibrium (Bliitter tier DGVM Vol. X pp. 419--430, Vol. XI pp. 31--76, pp. 227--236 and pp. 363--370, Vol. XII pp. 143--152) the running-in effect (Bliitter der DGVM Vol. XI pp. 565--604) or a non- recurring deterioration of new business conditions (Bliitter der DGVM Vol. XII pp. 57--77). New calculations have been made for various cases, in which the new business oscillates regularly and linearly about an assumed middle position with amplitudes of _+ 25~/0, 4-50o/0 and 4- 75r in time intervals of 20, 40 and 60 six monthly periods. The waiting periods, the relative amounts saved to the date of allocation and the target norms, which follow the ups and downs of the new business like the waiting periods with some delay and much attenuated, were derived for the instalment savings plan with a six monthly savings contribution of 4~/0 as well as for the single contribution plan with a basic contribution of 500/0 of the building savings sum.

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