Vol.30,1978 279

Zur ~quivalenz irreduzibler projektiver Darstellungen

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HA.~s OPOLK.%

Einteitung. Die J~quivalenz zweier linearer Darstellungen einer endlichen Gruppe G f iber einem KSrper K der Charakteristik 0 kann man nach dem Induktionssatz yon Brauer-Berman-Witt auf der Familie der K-elementaren Untergruppen yon G testen. In der vorliegenden Note soll dieser Satz dazu benutzt werden, ein ~hnliehes Kri- terium auch ffir irreduzible projektive Darstellungen herzuleiten. Um das ange- strebte Resultat zu beschreiben, betrachten wit den I)urehschnitt M der Kerne aller linearen Charaktere ~ e Horn (G, K*). M ist ein Normalteiler yon G. Ist Z ein irredu- zibler projektiver Charakter yon G fiber K zu einem Faktorensystem / yon G in K, so hat die Restriktion Res t ( z ) yon Z auf M die Gestalt ReSGM(Z)----eM(Z)Zcfg,

g

wobei eM (Z) eine natfirliche Zahl, der sogenannte Verzwei~o~ngsindex yon Z in M, ist und wobei {~g} die Menge der verschiedenen G-Konjugierten eines irreduziblen projektiven /iM-Charakters ~ yon M bezeichnet. Ffir eine Untergruppe H yon G definieren wir nun res~ (Z) := eM (Z) -1 Res~nn(Z). 1VIit diesen Bezeichnungen gilt dann der folgende Satz.

Satz. Seien T, T' zwei irreduzible pro]ektive Darstelluugen der endlichen Gruppe G i~ber einem K6rper K der Chara]cteristik 0 zu einem FaIctorensystem / mit den Charak- teren Z, Z'. Dann gilt: Es gibt genau dann einen linearen Charakter ~ e Horn (G, K*), so daft T' linear ~iquivalent ist zu ~. T, wenn /i~r jede K-elementare Untergruppe A yon M die Chara]ctere res~(z' ) und res~a(Z) is

Da naeh [3, w 5] die Aquivalenzklassen projektiver Darstellungen yon G fiber K, die zu der Kohomologieklasse f des Faktorensystems / geh6ren, bijektiv den Bahnen der Operation der Gruppe Hom(G~ K*) auf der Menge der linearen Aquivalenz- klassen projektiver Darstellungen yon G fiber K zum Faktorensystem / (im Sinne yon [3, w 5]) entspreehen, l~l~t sich mit dem vorstehenden Satz die projektive Aqui- valenz zweier irreduzibler projektiver Darstellungen yon G fiber K auf der Familie der K-elementaren Untergruppen yon M testen.

1. "&quivalenz beziiglich eines Normaltei]ers. Sei H ~ G ein Normalteiler und seien Z, Z' zwei irreduzible projektive/-Charaktere yon G fiber K. Wir nennen Z, Z' ~qui- valent bezfiglieh H, wenn ResaR(Z) und Res~(z ' ) einen irreduziblen Bestandteil gemeinsam haben (vgl. [1, p. 544]). Die so defmierte Relation ist eine _&quivalenz-

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relation auf der Menge der irreduziblen projektiven/-Charaktere, wie man z.B. den Orthogonalit~tsrelationen entnimmt.

Grundlegend ist nun der folgende

Hilfssatz 1. Es gibt ein 2 e Horn(G, K*) mit der Eigenscha]t Z' ~- 2. Z genau dann, wenn Z und Z' bezihjlich M iiquivalent sind.

Beweis . Aus Z ' = 2" Z folgt unmittelbar die germnnte Bedingung. Seien nun umgekehrt Z und Z' beziiglieh M/~quivalent und sei ~0 ein gemeinsamer K-irreduzibler Bestandteil yon Res~ (Z) und Res~ (Z')- ~be r C zerfallen Z und Z' in K-konjugierte verschiedene absolut irreduzible Teile:

Z = sK (3) (Z~ + " " + ~ ) , Z' = 8K (Z) (Z'~ + " " + Z'~), wobei sK (~), sK (~') die entspreehenden Schurindizes sind und wobei r ----- (K (~): K), s : (K(~'): K). )[hnliches gilt fiir ~v: ~v : sK(~)(~ e~ & --- + ~e,). Es ergibt sich, dal] fiir Elemente aus der K-Konjugationsklasse yon ~ bzw. yon 3', etwa ffir ~ und ~'~, die Restriktionen Res~(~ a) und ReSGM(~ '~) den gemeinsamen Bestandteil haben. Naeh der Cliffordschen Theorie existieren absolut irreduzible Charaktere ~, ~' der Trs I-----I(~) yon ~ zum Faktorensystem fix, die ~z bzw. ~,r induzieren und deren Restriktionen auf M Vielfache yon ~ sind. Seien S bzw. S' Darstellungen zu ~ bzw. ~'. Dann gilt bekanntlich S : $1 Q $2, S' - $1 G S~, wobei $1 eine projektive Darstellung yon I i s t , die auf M mit der entsprechenden Darstellung zu ~ iibereinstimmt, und wobei S~, $2 projektive Darstellungen yon I sind, die auf M trivial sind und deshalb als projektive Darstellungen der abelschen Gruppe I /M aufgefal3t werden. Natfirlich gehSren $2 und S~ beide zu ein und dem- selben Faktorensystem t: I /M • I/M--> C*. Nach [3, Theorem 6.1] existiert eia linearer Charakter ? yon I /M, so dab S~ linear ~quivalent zu ? �9 $2 ist. Der KSrper K enthfilt eine primitive Einheitswurzel der Ordnung exp G/M; denn nach Definition

.yon M i s t G/M isomorph zu einer Untergruppe yon K* • --- • K*. Daher ist ? e Hom(I /M, K*). Sei ~ e Horn(G, K*) so, dal3 die Einsehr/~nkung yon 2 auf I den linearen Charakter ? liefert. Dann ist, wie man leieht nachrechnet, ~'v = 2 �9 ~ und daher Z' ----- 2. Z- q.e.d.

Aus Hilfssatz 1 folgt mit Hilfe der Orthogonalitfitsrelationen

Proposition 1. Es gibt ein 2 e Horn(G, K*) mit der Eigenschaft Z ' : 2"Z genau dann, wenn res~ (Z) = rest/(Z').

2. Induzieren projektiver Darstellungen und Beweis des Satzes. Sei H ~ G eine Untergruppe, seien ], ]' zwei Faktorensysteme yon G in K, sei Z ein projektiver ]-Charakter yon G fiber K und sei ~v ein projektiver ]lH-Charakter yon H fiber K. Durch Nachrechnen beweist man

Hilfssatz 2. Der yon Res~ (X) " ~v beziiglich ]/' auf G induzierte pro]ektive ] /'-Charakter Ind~ (ResH G (Z) Ya)ff" stimmt iiberein mit dem /]'-Charalcter Z" Ind~ (~p)f,.

Mit R(K, G,/) bezeichnen wir die Grothendieckgruppe der halbeinfachen ver- schr~nkten Gruppenalgebra (K, G, ]); sie ist bis auf Isomorphie dureh die zu ] ge-

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h6rige Kohomologieklasse f bestimmt. Aus Hilfssatz 2 ergibt sieh, dab B(K, G,/) ein Modul fiber dem gewShnlichen Darstellungsring R (K, G) so ist, dab die Skalar- multiplikation mit der Restriktions- und Induktionsabbildung beziiglich des Faktoren- systems / vetr~glich ist. Etwas Analoges gilt ftir die R (K, G)-Algebra

~)-]~H~(~,K.)R (K, G,/) .

Aus rein formalen Griinden (vgl. z.B. [2, chap. 3]) ergeben sich jetzt explizite Induk- tionss~tze fiir projektive Darstellungen; insbesondere gilt

Proposition 2. Jeder pro]ektive /-Charakter Z yon G 15]3t sich als ganzzahlige Linear- ]combination von bezi2glich des Faktorensystem8 / induzierten pro]ektiven ]lH-Charak- teren K-elementarer Untergruppen H <= G darstellen. Zwei projektive /-Charaktere Z und )~' yon G i~ber K sind gleich genau dann, wenn ]iir ]ede K-elementare Untergruppe H von G gilt: Res~ (Z') = Res~ (2~)-

Wendet man nun Proposition 2 auf die Untergruppe M yon G und auf die Charak- tere r e s t ( z ) und r e s~ (z ' ) yon M an, so ergibt sieh der Satz aus Proposition 1.

Literaturverzeichnis

[1] A. H. CLIFFORD, Representations Induced in an Invariant Subgroup. Ann. of Math. 38, 533--550 {1937).

[2] T. Y. Lm~, Induction Theorems for Grothendieckgroups and Whiteheadgroups of Finite Groups. Ann. Sci. Ecole Norm. Sup., 4 e s~r. 1, 91--148 (1968).

[3] K. Y),~AZ)-KI, On Projective Representations and Ring Extensions of Finite Groups. J. Fac. Sci. Univ. Tokyo 10, 147--195 (1964).

Eingegangen am 21.9. 1977

Anschrift des Autors:

Hans Opolka Mathemutisehes Institut der Universit~t Miinster Roxeler StraSe 64 D-4400 Mfinster