Physikalische Darstellungen der Poincaré - scheck/quanten/  · Physikalische Darstellungen

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  • Physikalische Darstellungen der Poincaré - Gruppe

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    Ein Vortrag zum Seminar

    Höhere Theoretische Physik „Teilchen, Symmetrien und

    Quantentheorie“

    Physikalische Darstellungen der Poincaré - Gruppe

    von Nadia Amor, Johanna Fleckner und Andrea Neusiedl

  • Physikalische Darstellungen der Poincaré - Gruppe

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    Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis ....................................................................................................... 2 Ziel:............................................................................................................................. 3 Kapitel I: Überblick über die wichtigsten Operatoren und deren Eigenschaften ......... 4

    Erzeugende............................................................................................................. 4 Casimir-Operatoren ................................................................................................ 5

    Kapitel II: Massive Teilchen: m≠0 ............................................................................... 7 Kapitel III: Massive Einteilchen - Zustände und Poincaré – Gruppe ........................... 8

    Erinnerung an aktive und passive Drehung ............................................................ 8 Anwendung auf einen physikalischen Zustand ...................................................... 9 Homogene Transformationen (a=0) ...................................................................... 10 Wigner‘sche Drehung............................................................................................ 11 Reine Translationen.............................................................................................. 12 Allgemeine Transformationen ............................................................................... 12

    Kapitel VI: Masselose Teilchen................................................................................. 13 Operatoren Wλ ...................................................................................................... 15 Helizität ................................................................................................................. 16 Spin....................................................................................................................... 18 Aktuelles Beispiel: Neutrinos................................................................................. 19

    Zusammenfassung ................................................................................................... 20 Klassifikation der Darstellungen:........................................................................... 20 Betrachtung von Symmetrien:............................................................................... 21

    Literaturverzeichnis: ................................................................................................. 22 Bücher:.................................................................................................................. 22 Internet:................................................................................................................. 22

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    Ziel: Ziel dieses Vortrages ist die Beschreibung elementarer, mikrophysikalischer Objekte wie Atome, Kerne oder Elementarteilchen, welche im Folgenden zur Vereinfachung nur noch allgemein als „Teilchen“ bezeichnet werden sollen. Grundlage der hier gemachten Überlegungen ist ein Postulat von Wigner, welches im Wesentlichen aussagt, dass kräftefreie dynamische Zustände von Teilchen nach den Eigenwerten ihrer Masse und ihres Spins klassifiziert werden können. Dabei erhält man 4 Eigenwerte der µP̂ (der Energie und des Impulses) und eine Komponente des Spins. Diese Spin- Eigenwerte bilden den Schwerpunkt unserer Betrachtungen.

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    Kapitel I: Überblick über die wichtigsten Operatoren und deren EigenschaftenErzeugende

    Es sollen nun zunächst noch einmal die bereits im Vortrag über die Lorentz- und Poincaré-Gruppe eingeführten Erzeugenden wiederholt werden: Dabei sind zunächst die Erzeugenden von Translationen in Raum und Zeit, νP , zu

    nennen. Dabei sind die νiP (5x5)-Matrizen mit einer „1“ an (5, )-ter Stelle, also

         

         

    −=

    00000

    00000

    00000

    00000

    10000

    iP :z.B. 0 (1)

    Die Entsprechung zu den sechs Parametern der Lorentz- Gruppe nimmt in Matrixform folgende Gestalt an:

       

       

    −− −−

    −− =µν

    0JJK

    J0JK

    JJ0K

    KKK0

    M

    123

    132

    231

    321

    (2)

    Aus den bisherigen Studien der Lorentz-Gruppe ist bekannt, dass man eine infinitesimale, spezielle Lorentz-Transformation entwickeln kann:

    )M(1 2 1

    µν µνδω−=Λ (3)

    Vergleicht man nun die sich hieraus ergebende Form der eigentlichen endlichen Lorentz-Transformation mit der bereits bekannten,

    ),Kˆiexp()Jˆiexp(

    )Mexp( 2 1

    rr ψ−⋅φ−=

    ω−=Λ µν µν

    (4)

    so folgt eine formell aus der Elektrodynamik bekannte Matrixform (vgl. µνF ):

       

       

    φφ−ψ φ−φψ

    φφ−ψ ψ−ψ−ψ−

    −=ω⇒ µν

    0

    0

    0

    0

    i

    123

    132

    231

    321

    . (5) Man kann nun entweder über Vergleich der beiden Exponentialfunktionen in Gleichung (4) oder mit Hilfe einer Lagrangefunktion (s. Greiner, W.: Relativistische Quantenmechanik) eine sehr anschauliche Darstellung für µνM finden:

    µννµµν −= PxPxM . (6) (Auch an dieser Stelle sei noch einmal an die Elektrodynamik erinnert.)

    ν

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    Casimir-Operatoren Diese nach dem 1909 in Den Haag geborenen Hendrik Casimir benannten Operatoren zeichnen sich dadurch aus, dass sie mit allen Generatoren µνµ M ,P

    kommutieren. Dabei sind sie keineswegs eindeutig, da Linearkombinationen oder Potenzen von Casimir-Operatoren trivialerweise wieder Casimir-Operatoren bilden. Diese Mehrdeutigkeit ermöglicht eine Auswahl möglichst einfacher und vor allem physikalisch bedeutungsvoller Operatoren. So erfüllt der Eins-Operator zwar offensichtlich die Forderung mit den Generatoren zu kommutieren hat aber keinerlei physikalische Bedeutung. Anders verhält es sich für µµ= PPP

    2 . Wir wollen zunächst zeigen, dass dies in der Tat

    ein Casimir-Operator ist. Dazu müssen wir einige Kommutatoren studieren:

    k0k0ikji

    0ikijkji

    iP]P,K[,Pi]P,K[

    0]P,J[,Pi]P,J[

    ,0]P,P[

    =δ=

    =ε=

    =νµ (7)

    Damit wird aus 220 2 P)P(PPP −== µµ :

    .0]K,P[,0]J,P[

    0]P,P[

    i 2

    i 2

    2

    == =µ

    (8)

    Ebenso:

    0

    )PPPP(2i

    }P,PgPg{i

    }P],M,P{[

    ]M,P[PP]M,P[

    PMPMPPPPMPMP

    PPMMPPPMPPMP

    ]M,PP[]M²,P[

    =

    −=

    −=

    =

    +=

    −+−=

    −+−=

    =

    µνµν

    α µµανµα

    α µνα

    µν α

    ααµν α

    αµν α

    µνα α

    α α

    µναµν α

    α α

    µνµνα α

    αµν α

    αµν α

    µνα α

    µν

    (9)

    Das nun nahe liegende Analogon zu 2P , also 2M , ist leider kein Casimir-Operator, daher wird zunächst der sogenannte kovariante Spinvektor von Paul und Lubanski definiert:

    λµνµνσλσ ε= PM:W 21 (10) Dabei ist µνσλε das vollständig antisymmetrische Levi-Cività-Symbol in vier Dimensionen, welches hier mit der Konvention verwendet wird, dass 10123 +=ε gilt. Man erhält wie in drei Dimensionen für gerade Permutationen einen Faktor +1, für ungerade entsprechend -1. Dabei gilt es hier zu beachten, dass in vier Dimensionen eine zyklische Vertauschung nunmehr eine ungerade Permutation ist! (Bemerkung: Für diejenigen, die die Schreibweise als Skalarprodukt der in Komponentenschreibweise vorziehen, sei hier erwähnt, dass der Spinvektor sich auch schreiben lässt als: )PKPJ,PJ(W 0

    rrrrr ×+⋅=σ .)

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    Untersuchen wir nun den Spinvektor auf seine Eigenschaften, so stellen wir als erstes fest, dass seine einzelnen Komponenten nicht miteinander kommutieren:

    [ ] γβµνβγνµ ε= PWiW,W (11) --------------------------------------------------------------------------------- Beweis: Zunächst müssen zwei Hilfskommutatoren berechnet werden.

    a)

    αβ

    αβαβ

    αβ

    ταβµ

    γ µ

    γ µταβγ

    γ µταβγτµ

    ε=

    +ε=

    ε=

    M

    )P]M,x[]P,x[M(

    ]PM,x[]W,x[

    2 i

    2 1

    2 1

    (12)

    b)

    )WgWg(i

    )PMPM(

    P]W,x[P]W,x[

    ]W,PxPx[]W,M[

    2 i

    νµτµντ

    µταβνντ