Zur Approximation nichtlinearer Evolutionsgleichungen durch abstrakte Differentialgleichungen

rnit lipschitzstetigen Operatoren

Von HERBERT GAJEWSKI in Berlin

(Eingegangen am 21.8. 1970)

Wir bctrachten das Anfangswertproblem

du ( A P ) + P( t ) u = 0, ~ ( 0 ) = u O , 0 5 t 5 T.

Dabei sci u( t ) einc abstrakte Funktion mit Werten in einem HILBERT- rauni H und { P ( t ) ) eine Familie in H dicht definierter (moglicherweise) nichtlinearer, unbeschrhnkter Operatoren aus ( H -+ H ) .

T. &TO [3] hat ( A P ) durch eine Folge von Problemen der Form

mit lipschitzstetigcn Operatoren

approximiert und so Existenzaussagen fur ( A P) gewonnen. In vorliegender Arbeit wcrden wir ein anderes Approximationsverfahren

fiir ( A P ) begriindcn (Satz 2). Xcben ( A P) werden wir Anfangswertprobleme der Form

, ~ ~ ( 0 ) = u O , 0 5 t 5 T due (APJ + p, ( t> % = 0

mit lipschitzstetigcn Operatoren

P,( t ) = (1 + cL.)-'P(t) E ( H , - H L )

betrachten. Dabei ist L ein zur AbschMzung von P ( t ) geeigneter I), hearer , symmetrischer, positiv-definiter, zeitunabhiingiger Operator, HL sein Energieraum.

._

1) Die notigen Prazisierungen werden spater gegeben.

378 Gajewski, Zur Approximation nirhtlinearer Evolutionsgleirhungen

Diese Approximation scheint natiirlich, da E in cinigen konkreten Rand- Anfangswertproblemen der Mechanik (z. B. [2, 61) als Materialparameter gedeutet werden kann.

Auf ein konkrc?tes Rand-Anfangswertproblem fur eine nichtlineare parabolische Differentialgleichung wird am SchluB der Arbeit eingegangen.

I.

Sei H ein reeller HILBERT-Raum mit dem Skalarprodukt (. , .) und der Norm ( 1 - I ! . Wir betrachten das Anfangswertproblem

(1) U’ + P ( t ) u = 0, ~ ( 0 ) = u g E NO, 0 5 t 5 T . { P ( t ) } sei eine Familie auf der dichteii Menge N O C H dcfinierter Ope- ratoren aus ( H -, H ) . u( t ) sei einc abstrakte Funktion mit Werten in H .

Sei L mit D ( L ) = M , , R (L) C H , ein linearer, symmetrischer, positiv definiter Operator ((L u, u) 2 y (ju113, u E U ( L ) ) und H , der zu L gehorige energetische Itaum [5 ] mit dem Skalarprodukt (. , .), und der Xorm 1 1 . 11,.

P ( t ) geniige im folgenden - sofern nicht ausdriicklich anders vermerkt, - fur alle u, w, h E N O , s, t E [0, TI den Bedingungen:

(A) I ( P ( t ) u - P ( t ) v, h ) I 5 M 1Iu - vlILljh/lL, (B) (Pu- P v , u - w ) ~ m l i u - v 1 1 ~ , ~ < m = c o n s t ,

(C) I (PG) 21 - P ( 9 ) u, h)I I It - s I r(llulI) (llhi! + I ( P w u, h)l) mit stetiger, positiver, nichtfallender Funktion r ( a ) , a E [0, 00). Fur E > 0 betraehten wir neben (1) das Problem

M = const,

d -- (u + E Lu) + P ( t ) u = 0, u (0) = u g , at

O s t s T .

(. , .I, = (. , .) + E (. , .), Sci H , der energetische Raum zum 0perat.or L, = I + E L und

das Skalarprodukt und 1 1 ! I E die Norm in H e . Remerkung 1. Die R,liume H , und H , sind offenbar algebraisch identisch

und topologisch iiquivalent (E‘’’ I! - 11, 5 / I ( le 5 (i + E ) ” ~ 1 1 (I,. AuQer-

dem sind H, und H , algebraisch und topologisch in H eingebettet.

z ie h ung

einen Operator J , E ( H -, H J .

Wir erzeugen uber den Rmszschen Darstcllungssatz gemLB dcr Be-

( J , u, h), = (u, h) , h E H ,

Gajewski, Zur Approximation nichtlinearer Evolutionsgleichungen 379

Lemma 1. Fur u E HL gilt

(3) (4) llu - JeUilL s o .

llu - J , U ~ I , 5 ~ " ~ J l u l l L , II J , uilL 5 2 IiUllL

Beweis. Sei h E HL. Es gilt

I (U - J c u , h), 1 = 1 (u, h)e- ( J , 21, h), I = I (u, h)e - (u, h) I . = E I (u, h ) L s & IIUIILllhLll 5 ~1'211~11Lllhll€~

d. h.

und IIu - J , ull, 5 E"* I'uIIL

I ' J S U , L I IIJ,u - 4 l L + IIUllL 5 E1'211J€u - UII, + IlUlIL 5 2llUllL. Aus den bewiesencn Ungleichungen Sol@ J , u - u in HL. Wir zeigen noch J,u -+ u in 11,.

Es gilt (J,u, J,u - u), = (J,u, J,u - U ) + E (J,u, J,u - u)L

und andererseits (J,u, J,u - u), = (u, J,u - u). Subtraktion ergibt

O = I/J,u - u I I ' ? + E (J,u, J,u - u)L

2 & [IIJcu - ulli - J 8 u - u)Ll19

oder nach Division durch E > 0,

IIJ,u - ulli 5 I (u, J,u - u ) ~ I - 0 . Q . e. d. Wir erzeugen auf M o gemiil3 den Vorschriften

( P e ( t ) U , h) , = ( J , P ( t ) u, h), (PL(t) u, h)L = ( P ( t ) , h) , h EM,

( P ( t ) u, h ) ,

Familien von Operatoren {P,(t)} und {PL( t )} aus (HA - HL).

genauer gilt fur u, v E HL Lemma 2. P, ( t ) und PL ( t ) konnen lipschitzstetig auf HL erweitert werden,

M IIP,u - P,VI/~ 5 - IIu - wll,, IIpLu - PLvllL i Nllu - 4 I L .

Beweis. Sei znnlichst u, w E M o . Es gilt bei beliebigen h E HZ E

( 5 )

I (P,u - Pew, h), I = I (PLU - PLV, h)LI = I ( P u - P v , h) I M

SMIlu - *IILIIhIIL 5 Ilu - ~ l l a l l h l l e &

und damit ( 5 ) . Sei u E HL beliebig, u, - u in HA und {u,} cMO. Wir definieren (wegen ( 5 ) eindeutig)

P,u = lim P,un, PLu =- lim YLun. n-.- n-m

380 Gajewski, Zur Approximation nichtlinearer Evolutionsgleichungen

Die Ungleichungen ( 5 ) blciben, wic man sich durch Grenzubergang leicht iiberzeugt, auf H L erhalten.

Lemma 3. Fur u E M o gilt

(6) 1; P,ul( 5 ;I Y,ui/, 5 I) P UI!.

I(PEu, h),l = I(Pu, h)l 5 IIPull llhll 5 ilpull i!h!IL7

Beweis. Es gilt fur h E H ,

also llPEulle 5 IIP uil uiid damit (6).

Lemma 4. Fur E ~ , E~ > 0 Und u, w E HL gilt

( P L U - P L V , 21 - 2.’)L = (PE,% u - w),, - (P& u - w),* 1 WL Iju - v11; .

Beweis. Wegcn Lemma 2 geniigt cs, die Behauptung fur u, v E M , zu zeigen. Es ist fur u, v E M o

( P L U - P L V , u - v), = (Pep, u - v),, - (P& 21 - de2 2 = (P u - P w, u - w ) 2 m Iju - vllL.

Lemma 5. Fur u E HL, t , s E [0 , TI gilt

(7) (8)

fur u E M o zu zeigen. Es gilt fiir h E H ,

IIP,(t) u - P,(4 u IIL 5 It - $ 1 ( 1 1 ~ 1 1 ) (1 + !l~:)uIlJ l/PL(t) u - PL(s) u(IL 5 It - 91 r(llu!l) (y - ’ I2 + /jP$)ullL).

Beweis. Unter Berufuiig auf Lemma 2 geniigt es wiederum, (7) und (8)

I (P(t) 21 - P(8) u, h),I = I (W) u - Y(s) u, h) I 5 I t - s I r (Iluli) (llhll + I (Pb) u, 4 I) = I t - sI r (liull) (llhll + 1 (P,(s) u, hk-1) 5 I t - 81 r (iiull) (Ilhil + IlP,(s) ullcl!hll,) 5 I t - s I r(llul!) (1 + IIP,(s) ulle) llhll,

und damit (7). Ungleichung (8) beweist man analog.

Definition 1. Mit C(0, T, X) (X = H , HL) bzw. Cl(0, T, X) bezeichnen wir die Klasse der stetigen bzw. einmal stetig differenzierbaren abstrakten Funktionen mit Wertcn in X. C (0, T, X) wird mit der Norm / ] z ~ ~ ~ ~ , , ~ , ~ , =

zu einem BANAcHraum. zt,gl Ilz(t)llxr Ci(0, T, X ) mit der xorm Il~llc~(o,~.r,=ll~ilc~o.T,x,+ll~’IIc(o,T,~)

Wir betrachten neben (1) und (2) das Anfangswertproblem

due -- + P,(t)u, = 0, ~ ~ ( 0 ) = ~ 0 , 0 5 t 5 T. dt (9)

Bemerkung 2. (9) ist (2) iiquivalent. Eine entsprechende Aussage wird in [2] bewiesen.

Gajewski, Zur Approximation nichtlinearer Evolutionsgleichungen 381

382 Gajewski, Zur Approximation iiichtlinearer Evolutionsgleichungen

Gajewski, Zur Approximation nichtlinearer Evolut,ionsgleichungen 383

oder 'I - 0 . 1 1 u C ~ - u6d1C(0,T,H) ~ , c ~ - O

Die Vollstandigkeit von C(0, T , H ) liefert u, .-, u in C(0, T , H ) . Offenbar gilt u (0) = u". SchlieBlich finden wir wegcn Lemma 7

~lu( t ) - u(s)i; = lim(lu,(t) - u,(s)jl 5 lim J l l u : ( a ) d a ~ K l t - s l . 1

8-0 8-0 , Lemma 10. {uE}. konvergiert fur E -+ 0 in C (0, T , H L ) stark gegen u.

Bewei s. Mit den beim Beweis von Lemma 9 eingefuhrten Bezeichnungen finden wir unter Benutzung von Lemma 1 , 7 , 8 , 9 fur t E [0 , TI

0 = (u;.?, u12) + (P,u, - P A , U,?) = (u;q, U,?) + (Pi%, J,u12 - %?)I - (P,u.,, J A 2 - % 2 ) ?

+ (Piul, uI2)i - ( P ~ U ~ , u12)? - / juA ( ~ ~ 1 2 1 1 - (~','2:jPiuIIIi

+ & 7 2 l l P 2 % I ' 2 ) I!uI?IIL + m llu121.; - K II~I?IIC(O,T,H)

- (&',I2 + &*) K? + m ';uI2l:?, '

und damit I i u,, - ue2 J I C ( O , T , H L ) -+ 0 oder wegen der Einbettung

C (0, T , H L ) < C (0, T , H ) und Lemma 9 :Iu, - u l i c (o ,T ,HI ,~~O.

Definition 2. Mit C,(O, T , H ) bezcichnen wir die Klasse der abstrakten Funktionen x ( t ) niit Werten in H , fur die bei beliebigem h E H , ( x ( t ) , h ) stetig in [ O , TI ist. Mit Cf,(O, T , I ] ) bczeichnen wir die Klasse der

x ( t ) E C,(O, T , H I , fur die ( x ( t ) , h ) , h E H stetig difftrenzierbar in [ O , TI ist. Die Funktion x ' ( t ) E C , ( 0 , T , H ) mit ( ~ ' ( t ) , h) = ( x ( t ) , h)' nennen wir schwache Ab- leitung von x E CL(0, T , H ) .

Wir sagen, eine Folge {xn} C C,(O, T , H ) konvergiert in C,(O, T , H ) gegen z ,€ C,(O, T , H ) , wenn { ( ~ , ~ ( t ) , h ) } , h E H in [0 , TI gleichmiiBig gegen ( x ( t ) , h ) konvergiert. Schlieljlich sagen wir, eine Folge {z,,} C CL (0, T , H ) konvergiert in Ck(0, T, H ) gegen x E CL(0, T , H ) , wenn in C,(O, T , H ) gleichzeitig {z,} gegen z und {x:} gegen x' konvergieren.

Bemerkung 3. Aus der Vollst,iindigkeit der RLume C (0, T) und Cl(0, T) folgt unmittelbar die Vollstiindigkeit von C,(O, T, H ) und Ck(0, T, H ) be- zuglich des eingefuhrten Konvergenzbegriffes.

Lemma 11. {u,}, konvergiert fur E -+ 0 in CL(0, T , H ) gegen u E C1 (O,T, H ) . Beweis. Wegen Lemma 9 und Bemerkung 3 genugt es zu zeigen,

{(u:(t), h) )= konvergiert fur beliebiges h E H gleichmiiljig in [0, TI. Es sei h E H und {h,} C H , eine Folge mit h, -+ h in H . Dann gilt mit den schon

384 Gajewski, Zur Approximation nichtlinearer Evolutionsgloichungen

mehrfach benutzten Bezeichnungen fur t E [0 , TI :

I(u;.L,h)I 5 I(~i2,h-hn)I + I(uiz,hn)I 5 K Ilh - hnll + ! ( P i ~ i - P2~2, hn) I 5 ~ i ! h - hnII + I(pLu1 - pLu2, h n ) l L

- 5 KI’h -h,,II+ MiIu,, - u,,IjL IIhn!lL + KijhnIJL($+ 8;”)

5 K I/ h --hn II + M II ‘n :I (II u,, - ue2 Ilc(o,T,a,) + K‘ ( E : ’ ~ + 4”)) .

+ I (Piui, J i h n - hn)i I -t i (P2~2, J,hn - hJ2 I

Die rechtc Seite dieser Ungleichung hiingt von t nicht ab und wird bei ge- eignetcm n fur q , t2 + 0 beliebig lrlein.

Definition 3. x E C (0, T , H L ) n C:,(O, T , H ) heillt verttllgemeinertc Losung von (1)) wenn fur h E H , gilt

(x’, h) + (PL(t) X, h)L = 0, x (0) = u O , 0 5 t j T . Satz 2. Das Problem (1) besitzt genau eine verallgemeinerte Liisung u. Es

gilt u, s u in (0 , T , HL) n CL(0, T , H ) .

zu boweisen. Es ist fur h E H, , t E [0, TI Beweis. Wegen Lemma 10, ll ist lediglich noch die erste Behauptung

- (u’, h) = - lim (a:, A) = lim (Pew,, h) = lim (P,u,, J,h) , s-0 8-0 8-0

= lim(P,u,, J,h), = (P,u, h), .

0 = 1/2 Ilu(t) - ti(t) 112 - 1/2 1 1 u (0) - ti(0)II

8-0

Sei ti cine weitere verallgemeinerte Losung. Wir finden

t

+ J ( p L U - ti, - q as 0

1

2 v 2 IlW) - G(t)1I2 + m J l I W - .ii(s)II; ds 0

und damit schliealich u = C.

Bemerkung 4. Aus der zuletzt bewiesenen Ungleichungskette folgt un- mittelbar die stetige Abhtingigkeit der vcrallgemeinerten Losung des Problems (1) vom Anfangswert.

Zur Erliiuterung dcr durchgefuhrten Untersuchungen gehen wir auf eine spczielle Rettlisierung des Problems (I) ein. Sei G C R” ein beschriinktes Gebiet. Wir betrachten das folgende Rand-Anfangswertproblem

Ga jewski, Zur Approximation nichtlinearcr Evolutionsgleichungen 385

Wir verwenden die ublichen Bczeichnungen [5] und identifiziercn H mit L , ( G ) , N o mit GJ(G), L mit - A , H L mit ( G ) . Die folgenden Forderungen an die Funktionen ai und b haben, wie man leicht nachrechnet, zur Folge, daI3 der Operator

Literatur

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Deutsehe Akademie der Wissenschaften zu Berlin Institut f u r Angewandte Mathematik um? Mechanik

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