209

10. Zur Bestirnmqcn g der Dispersion von Xetallerk wach der Methode

des Minirnalnxirnuts ( Ern. 70 i g t mr Erwiderun y) ;

von A. L. BernozclCi.

Hr. Voigt hat unter dem Titel: ,,BemerRunyen zu der Bernoullischen neuen Methode der Bestimmung der optisclien Konstanten der MetalleiL l) in dieser Zeitschrift eine Arbeit ver- bffentlicht, in welcher er zu einer scharfen Ablehnung der er- wahnten Mcthode3 gelangt, und zwar trotzdem die von niir mitgeteilten Beobachtungen samtlich eine gute Uhereinstimmung mit denjenigen anderer Autoren zeigen.

Ich hatte fur eine Reihe von Einfallswinkeln das Azimut wiederhergestellter linearer Polarisation mit dem L i p p i c h - schen Balbschattennicol in Verbindung mit einem Fr es ne l - when Prisma gemessen. Das so ermittelte Minimalazimut habe ich mit dem Hauptazimut identifiziert und den zugehorigen Einfallswinkel dementsprechend als Haupteinfallswinkel an- genommen. Diese Methode ergibt im Gegensatz zu derjenigen von Q u i n c k e - D r u d e im ganzen sichtbaren Gehiet des Spek- trums dieselhe MeBgenauigkeit. Zur Zeit der Niederschrift habe ich allerdings geglaubt, dab der Einfallswinkel mi t Minimal- azimut (Brews terscher Winkel) auch bei Metallen genau mit dem Haupteinfallswinkel zusammenfallen miiBte 3), d. h. daf3 fur denselben Einfallswinkel einerseits das Azimut ein Minimum und andererseits die relative Phasendifferenz der Komponenten in der Einfallsebene und senkrecht zu letzterer den Wert + A annehme. Hr. Voigt macht dann darauf nufmerksam, daB

1) W. Voigt, Ann. d. Phys. 29. p. 956. 1909. 2) A. L.Bernoull i , Ann. d. Phys. 29. p. 585. 1909. 3) A. L. Bernoull i , 1. c. p. 589. - Dagegen habe ich alle zitierten

Formeln jeweile ausdrucklich als N6herzmgsformeln bezeichnet. Annalen der Physik. IV. Folge. 33. 14

meine Annahme nur naherungsweise erfiillt sei.') So wertwoll diese Berichtigung fur mich ist, scheint mir dieselbe doch fur die Bewertung der praktischen Verwendbarkeit meiner Methode erst dann brauchbar zu sein, wenn die durch Benutzung dieser Annaherung hervorgerufenen Fehler mit den Messungsfehlern meiner und anderer Methoden zahlenmafiig vergleichbar wcrden. Leider hat sich Hr. Voigt mit dem analytischen Nachweis begniigt, da6 fur den Haupteinfttllswinkel das Azimut kein Minimum wird. ZahlenmaBige Angaben iiber die GroBe der hierdurch bedingten Fehler finden sich nicht in der Arbeit. Hr. Voigt schreibt: ,,die theoretische Beziehung, auf der seine (Bernoul l is) Methode beruht, ist eine nur angenaherte, in vielen Fallen sogar nur roh angeniihert". Weiter unten schreibt Hr. Voigt2): ,,daB mit Rilfe der richtigen Formeln die Beob- achtung des Einfallswinkels mit minimalem Azimut zu einer exakten Bestimmung der Metallkonstanten fuhren kann, ist selbstverstandlich; es fragt sich nur, ob dann die Methode die geriihmte Einfachheit bewahrt".

Darf ich mir erlauben, folgendes d a m zu erwidern: die experimentelle Ausfiihrung meiner Methode wird doch davon nicht beriihrt, dab die von mir gemessenen Brewsterschen i3infallswinkel nicht analytisch identisch sind mit den Haupt- einfallswinkeln. Die einfachen experimentellen Hilfsmittel : ein Lippichscher Halbschattennicol, ein gewohnlicher Nicol und ein Fresnelsches Prisma, bleiben dieselben. Hr. Voigt hat un8 die Formeln , welche zur Berechnung der optischen Kon- stanten aus den von mir gemessenen Winkeln zu benutzen waren, nicht mitgeteilt. Auch wenn dieselben wesentlich un- bequemer waren als diejenigen, welche bei den Methoden yon Voigt s, und von D r u d e 4, zur Anwendung kommen, konnte das doch gleichfalls kein wesentliches Moment zur Beurteilung meiner experimentellen Methode liefern. D a m noch eine zweite Frage: Warum wendet sich Hr. Voigt gegen das Prinz@

1) W. Voigt, 1. c. p. 956. 2) W. Voigt , 1. c. p. 957. 3) W. Voigt , Physik. Zeitschr. 2. p. 303. 1901; vgl. R. S. Minor,

Ann. d. Phys. 10. p. 598. 1903. 4) P. D r u d e , Wied. Ann. 39. p. 481. 1890; vgl. such v. Warten-

berg, Ber. d. Deutsch. Phyeik. Bee. 12. p. 108. 1910.

Bestimmzing der Dispersion von Metallen. 21 1

meiner Methode, wenn nach seiner eigeaen Angabe praktisch nur die zur Ausrechnung meiner Resultate benutzten Naherungs- formeln zu beanstanden sind.

Die von Hrn. Voigt') mitgeteilte strenge Formel zum Nachweis, dab das Azimut des Haupteinfallswinkels kein Minimalazimut sein kann, lautet :

2 n2 x sin qi. cos qi drp

(m2 (1 - %*)I - sin2 $ ) a + 4 124 x2 -- d e - 1 + @

Er gewinnt dieselbe durch logarithmische Differentiation aus der Gleichung

sin cp tg cp -- - 1 + q d A 1 - q c ' J v z

fur den speziellen Fall des Haupteinfallswinkels, also fur die spezielle Phasendifferenz d = n / 2 . Dabei ist 9 der Einfalls- winkel, y das zugehijrige Azimut, @ der Haupteinfallswinkel, q p das Hanptazimut und 0 = R, : B, = tg das Verhaltnis der reflektierten Aruplituden, ferner E' = x2 (1 - i z)~ .

Wie schoii erwahnt, diskutiert Hr. Voigt die Frage nach der GroBe des Naherungsfehlers meiner Methode iiberhaupt nicht. Hr. Voigt schreibt3: ,,die Abweichung (von Null) kann recht merklich sein und selbst eine kleine Abweichung mu8 das Minimum des Azimuts nach desseii Natur erheblich aus dem Haupteinfallswinkel verschieben. Die Ubereinstimmung, die Hr. Be rnou l l i bei seinen Beobachtungen mit anderweit erhaltenen Zahlen findet, beweist bei der grogen Verschieden- heit im Verhalten verschiedener Metallproben an sich wenig fur die theoretische Richtigkeit seiner Methode, und um. so weniger, als zufallig bei Nickel, Stahl und Silber n2(1 +z2) ziemlich yro,L?, der gemachte Fehler also relativ klein ist".

Um dem Leser den Vergleich meiner Resultate fiir die drei genannten Metalle mit denjenigen anderer Autoren zu er- leichtern, will ich einige der friiher mitgeteilten Zahlen noch- mals hier anfuhren.s)

1) W. V o i g t , 1. c. p. 957. 2) W. V o i g t , 1. c. p. 957. 3) A. L. B e r n o u l l i , 1. c. p. 602 u. 603.

14*

212

Hagen u. Rubens (Gehtirt. Stahl) Minor

A. L. Bernoulli.

Bernoulli (Gehtirt. Stahl)

Tabe l l e 1. Werte der Haupteinfallswinkel q~ fiir Nickel.

Wellenllinge 1 1 Quincke I Drude 1 Bernoulli 1 Meier

Rot, 1 = 615‘ 76’48’ 76O48’ 77’06’ D-Link, 1 = 578 11 76007’ 1 76 01 1 76 00 1 ‘15 51

Werte des Hauptazimuts q fur Nickel.

58,6 -

57,7 56,9 55,4

Wellenlange (1 Quincke 1 Drude 1 Bernoulli ~ Meier

Rot, I = 615 31’48‘ 31O49’ 33OOO‘ D-Linie, I = 578 11 32009’ 1 31 41 ~ 31 40 I 33 00

Haupteinfallswinkel q~ des Stahles.

Wellcnllingc! )I Jamin /Quinckel Drude 1 Minor /Bernoulli! hIeirr

D-Linie, bsw. Hg-Gelb Rot, Li, hzm. Hg-Rot

Werte des Hauptezimuts q fur Stahl.

Wellenlange 1 1 Jamiu IQuincke I Drude I Minor ~Bernoulli~ Meier

D-Linie, bzw. Hg-Gelb Rot, Li, bzw. Hg-Rot

Dispersion des Reflexionsvermogens J fiir Stahl.

60,O - 59,4 59,6 58,6

Wellenlange

Rot, GOO, Hg-Rot D-Linie, Hg-Gelb 1 = 550, Hg Grun 1 = 500, Hg-Blsugriin 1 = 450, Hg-Violett

Drude

58,5 58,6 - - -

60,O

58,6 59,6 58,6

59,4

Diese Koinzidenzen beweisen allerdings nichts fir die theoretische Richtigkeit der Methode, wohl aber meines Er- achtens sehr vie1 fir ihre praktische Verwendbarkeit. Vor allem lege ich Wert auf die gute Ubereinstimmung der aus meinen Beobachtungen berechneten Werte des Reflexions-

Bestimmuny der Dispersion von Metollen. 21 3

vermiigens J fur geharteten Stahl bei verschiedenen Wellen- langen mit den von Hagen und Rubens l ) photometrisch ge- messen en Wer ten.

1. Obere Grenzen fur die Fehler der NZiherungen qu = q una yu = q.

Bereits in einer seiner fruheren optischen Arbeiten bat Drude') den Nachweis fur die neuerdings von Hrn. Voigt betonte Divergenz zwischen dem Brews terschen Winkel und dem zugehtirigen Minimalazimut gegenuber den beiden Haupt- winkeln in strenger Weise gefiihrt. Fur den Haupteinfalls- winkel $5 und das Hauptazimut gilt nach D r u d e die strenge Relation [%Icp - - 'p = sin 4 $, cotgg q . Drud e benutzt zur Herleitung seiner Formel gangsgleichung wie Hr. Voigt, indem er setzt

dieselbe Aus-

Im Falle eines optisch isotropen Metalles wird somit, wenn man den Brechungsexponenten n und den Absorptionsindex x einfuhrt, fur jeden beliebigen Einfallswinkel q

M = ( nz( t - z 8 ) - sin*cp tg2 'p sinP cp

2n9s N = tg* 'p . sin* cp *

Er fuhrt dann die beiden Hilfsvariablen P und Q ein durch die Bedingung

N - = t g2 Q , fil

M a + N a = t g4P .

Bekanntlich sind diese Variablen P und Q mit den GrOBen A und y verknupft durch die Relationen

c o s 2 P = c o s A s i n 2 y 1 tgQ = s i n A t g 2 9 , . Aus der letzten Uleichung ergibt sich somit fur den Haupt- einfallswinkel wegen

s i n d = sin- = 1 ,

1) E. H a g e n u. H. R u b c n s , Ann. d. Phye. 1. p. 352. 1900. 2) P. Drude , Wied. Ann. 32. p. 614, 1887.

. 7 z

2

214 A. A, Bernoulli.

da0 tg 6 = tg 2 wird und somit auch

9 = 2 $ ? . 8rp drp

Da uns N und N als Funktionen von cp und den Konstanten n und .T gegeben sind, ergibt sich durch Differentiation von tg 2 Q nach sp fur jeden beliebigen Einfallswinkel die Beziehung

a N a M

-- a Q - 3 T acp . cos22Q= aT 111

M - - N . - 2 cot$' cp . sin 2 Q . cos 2 Q

M

Im Falle des Haupteinfallswinkels sp = @ wird

Q = a i p , somit -- -2- acp acp a0 aq

und fernerl) M = COS4.q = cos2 Q .

U'ie Drud ez) bemerkt, ist dieser Ausdruck von Null ver- schieden und positiv. Der Brews te r sche Einfallswinkel ist somit fur Metalle stet8 kleiner als das Eauptazimut. Un- gefahr ein Jahr spater ist D r u d e noch einmal auf die Frage zuruckgekommen 3), urn deren praktische Tragweite zu disku- tieren. Drude schreibt dazn: ,,Bei den meisten Metallen ist dies (alljlacp) eine sehr kleine GrGpe 2. B. bei Stah1 (nach Hennig) f u r n = 2,5, 2 = 1,3 zu 0,024, so dap die Abweichung von der Regel B r e u ~ s t e r s , dap 9 zu einem Hinimum f u r den Haupteinfallswinkel tuird, unmerklich wird.

D rud e hat zur Berechnung des Fehlers nicht die Haupt- winkel selbst eingesetzt - seine eigenen Messungen dieser GroBen lagen ja damals noch nicht vor - vielmehr setzte er niiherungsweise

Setzt man dagegen in Drudes strenge Formel (2) die von jhm selbst spater gemessenen Werte der Hauptwinkel fur Stahl ein, so wird

ay? - = 0,011. 8cp

1) P. Drude, Wied. Ann. 32. p. 612. 1887. 2) P. Drude, 1. c. p. 615. 8) P. Drude, Wied. Ann, 86, p, 620, 1888,

Bestimmung der Dispersion von, Metallen. 215

Fur die von Minor nach der Voigtschen Methode bestimmten Hauptwinkel desselben Metalles ergibt sich ehenfalls nach Drudes Formel (2)

8 F - = 0,011. 39

Die zitierte Bemerkung von Drude , daB der von Hrn. Voigt bet,onte Fehler praktisch unmerklich wird, gilt somit auf Grund der neueren Messungen vonDrude und vonMinor um so mehr.

Zieht man zum Vergleich die neue Voigtsche Formel heran, so wird mit den Werten von Minor fur Stahl

Es ergeben sich also Werte von derselben GroBenordnung fur 1 / 1 + p z . dq/c3y wie nach der Drudeschen Formel fur ajij/tJ(p selbst. Fur die weitere Diskussion habe ich aus- schlieBlich die strenge Drud e sche Fehlerformel (2) benutzt, da sie fur die numerische Berechnung wesentlich bequemer ist als die neue Voigtsche.

2. Diskussion der zu erwartenden Abweichungen von der B r e w 8 t e r schen Regel bei beliebigen Werten von n2 (1 f ~ ~ 9 ) .

Hr. Voigtl) ver- tritt die Auffassung, daB gerade bei den von mir zufallig ge- wahlten Metallen Nickel, Stahl und Silber der Fehler relativ klein sei und zwar im Qegensatz zu anderen Metallen, daB also eine ebenso gute Ubereinstimmung meiner Werte mit den- jenigen anderer Beobachter bei anderen Metallen nicht zu er- warten sei. Ich habe nach der Drudeschen Formel fur alle mir zuganglichen Werte der Hauptwinkel die Gro6e E = d q l d y berechnet. Doch habe ich mich absichtlicli auf die Werte fur gelbes Licht (B-Linie bzw. gelbe Quecksilberlinie 578) be- schrankt, da fur gelbes Licht sehr vie1 mehr exakte Beob- achtungen vorliegen als fur andere Wellenlangen. AuBer den Werten von Drude2) und von Minor3) habe ich die neuesten

Ich komme zu einem weiteren Punkt.

1) W. Voigt, 1. e. p. 957 und diese Arbeit p. 21i Zeile 6 von unten. 8) P.Drude, Wied. Ann. 39. p. 548. 1891. 8) R. S. Minor, Ann. d. Phys. 10. p. 581. 1903.

216 A. L. Bernoulli.

achier Beob- l l

Bestimmungen von Meier l ) und von Y. War t enbe rg2) mit aufgenommen. Durch die Arbeiten der beiden letztgensnnten Autoren hat sich die Zahl derjenigen Metalle, fiir welche genaue Bestimrnungen der optischen Konstanten durchgefiihrt wurden, nahezu verdoppelt. Beide Arbeiten Bind erst nach meiner Publikation erschienen, so da6 ich damals noch nicht Bezug darauf nehmen konnte. Dagegen habe ich meine Messungen der optischen Konstanten fester metallischer Losungens) einst- weilen hier nicht mit herangezogen, da ich diese Bestimmungen gleichfalls nach der Methode des Minimalazimuts durchgefuhrt und die eben hier zur Diskussion stehende Naherung be- nutzt habe.

aq &==a91

Tabe l l e 2.

Nb Ta Se Te wo

cu { Ni Pb Pd

Stahl

v C Bi J Mn Au

al?

arp & = -

0,0367 0,0283 0,0183 0,0179 0,0157 0,0151 0,0149 0,0125

0,0117 0,0113

0,0118

0,0111 0,0112 0,009s 0,0098 0,0096 0,0088 0,0077 0,0075

D. = Drude. M. = Meier.

M. W. D. Min. D. D. W. I). Min. 31. w. W. D. M. W. D.

Pt K-Na Cr Ir Rh Sb Si Hg Zn Sn A1 Cd MJ3

0,0064 0,0061 0,0046 0,0045 0,0044 0,0044 0,0042 0,0041 0,0037 0,0030 0,0028 0,0028 0,0027 0,0016 0,0016

Ag (1 0,0014 N n I 0,0002

W. = v. Wartenberg. Min. = Minor.

Beob- achter

Mio. 1). W. D. W. D. W. W. W. D. W. D. D. D. D. D. D. D. Min. D.

1) W. Meier, Diss. Giittingen 1909; Ann. d. Phys. 31. p. 1017. 1910. 2) v. Wartenberg, Rer. d. Deutsch. Phys. Ges. 12. p. 118. 1910. 5) A. L. B c r n o u l l i , Zeitschr. f. Eloktrochemie 15. p. 646. 1909.

Bestimwung der Dispersion won Metallen. 217

Die Metalle, Metallegierungen und Metalloide sind in der Tabelle nach fallenden Werteri von E = d$/i7y1 geordnet. Fur Niob und Tantal ist demnach die Brewstersche Beziehung relativ am schlechtesten, fur die Metalle Silber und Natrium dagegen am genauesten erfullt. Dabei ergibt sich, daB Nickel und Stahl, also diese beiden Metalle, deren Dispersion ich nach der Methode des Minimalazimuts im sichtbaren Gebiet untersucht habe, mit zu denjenigen gehoren, welche die gr6pten Abweichungen von Brews t e r s Regel zeigen mii6ten. Nach dem bereits mitgeteilten Zitat') vertritt Hr. Voigt die Auf- fassung, da6 die Abweichung von der Brews t e r schen Regel gerade bei Nickel und Stahl besonders klein werden muBte, da bei ihnen der Ausdruck n a ( l + 2 ) relativ groB ist.

Zur Zeit, als ich meine Arbeit publizierte, standen hin- sichtlich der Gro6e ihrer Abweichung von Brews t e r s Regel das Nickel an zweiter, der Stahl an vierter Stelle. Nickel steht auch heute noch in der Gro6e seines FehIers unter Metallen an siebenter Stelle. Da aber der gro6te iiberhaupt bekannte ,,Fehler", derjenige des Niob, nur dreimal so gr06 ist als der des Nickels, dagegen letzterer2) 70mal so groB als der des Natriums , so scheinen mir die Beobaciitunysresdtate uon D r u d e , M i n o r , u. W a r t e n b e r g und Meier der F'oigt- scheii Auffassung direkt zu widersprechen.

Damit vereinfacht sich unsere weitere Aufgabe bereits sehr wesentlich, denn wenn es gelingt, an Hand der vorliegenden Beobachtungen zu zeigen, daS die von mir benutzte Naherung fur die Metalle Nickel und Stahl erlaubt ist, d. h. daI3 die dadurch bedingten Naherungsfehler klein gegen die mittleren Beohachtungsfehler sind , so wird meine Naherung urn so mehr bei allen denjenigen Metallen erlaubt sein, fur welche 6 = dq /dy noch kleiner als bei Nickel und Stahl ist. Es wird somit genugen, zu zeigen, daB bei Nickel und Stnhl die Abweichung fir die Hauptwinkel, wenn naherungsweise yo = q und yo = 3 gesetzt wird, sicher kleiner als bestimmte aus den Beobachtungen zu ermittelnde GroBen sind. Dieser Nach- weis la& sich bereits mit den Hilfsmitteln der Elementar- geometrie f iihren.

1) Vgl. diese Arbeit p. 211 Zeile 6 von unten. 2) Genauer fur Na wird 6 = 0,00018.

218 A. I;. Bernoulli,

Die Methode des Minimalazimuts bestimmt experimentell moglichst viele Punkte der Kurve V I = f ( y ) in der Umgebung des zu erwartenden Minimums y)=v0. In der Figur iet T,LJ Ordinate und 9 Abszisse. Der Einfachheit wegen legen wir die Abszissenachse durch das Minimum, so da6 d y = (y-y,,) die Ordinaten sind. Das Minimum selbst betrachten wir gleichfalls als gegebcn, da wir es j a in der Hand haben, das- selbe durch Anderung des Einfallswinkels y in beliebig enge Grenzen einzuschlieBen.

Zur Bestimmung einer oberen Fehlergrenze fiir A cp = (cp - yo) nehmen wir an, es seien gegeben dae Minimum vl0 = f(po) und ein demselben benachbarter Kurvenpunkt A nach der Richtung des wachsenden (p, also nach der Seite, nach welcher der Haupteinfallswinkel sp = 9 liegen mu6. Uberdies seien die Hauptwinkel rp und $j gegeben. In unserem speziellen Fall waren also 0 und A aus meinen Beobachtungen, dagegen Sp und lij aus den Bestimmungen von Drude , Minor oder Meier zu entnehmen. Aus cp und lij ergibt sich

Bestimmung der Dispersion von ilfetallen. 219

d. h. es ist dadurch der Steigungswinkel der Tangente an die Kurve im Punkt qp = f ( @ gegeben. Fur Stahl z, B. wird a: = 38’ und fiir Nickel a: = 45’ Bogenminuten. Wir schlagen nun in der Figur einen Kreis durch die Punkte 8 und 0 derart, daB sein Zentrum irn Schnittpunkt 2 der Halbierungs- linie der Sehne 0 8 mit der im Miniinum 0 errichteten Ordi- nate liegt. Der Kreisbogen A 0 schneidet die Kurve in A und beruhrt sie im Minimum 0. Da ferner die Kurve keine Wendepunkte zwischen 0 und A haben kannl), da streng tg Q = sin A tg 2 t,o und nach Drudea) gleichfalls streng

2n2xcotg2 Q = na(l - x 2 ) - s in2y , somit streng

cotg 2 ?/I

1 - cos2 A sinP cp - nz tg 2 7 p - _____ = ~ sin A

ist3), RO liegt das ganze Kurvenstuck 08 notwendigerweise innerhalb des Kreises O A . . Da somit die Kurve in der Nabe des Minimums starker gekriimmt sein muB als der Kreis OA, wird eine Tangente lnit gegebenem Steigungswinkel als Kurven- tangente ihren Beriihrungspunkt bei einer kleineren Abszisse 9 haben, als wenn dieselbe bei gleichem Steigungswinkel Tangente an dem Kreis 08 ware. Wenn sich somit zeigen labt, dab die gegebene Hauptwinkeltangente a dee betreffenden Metalles, welche ja durch die Gleichung

definiert ist, zu einer Abszisse y, gehiirt, die dem Brewster- winkel yo bereits dann verschwindend nahe liegt , wenn sie Kreistangente ist, so muB fur sie als Kurventangente ihr Be- riihrungspunkt bei einem noch kleineren Wert von y liegen.

1) Der Punkt A ist in der Figur nicht willkurlich gewiihlt, sondern er und ebenso die Kurvenpunkte B,, C,, C, und C, sind den Beob- achtungen fur Stahl entsprechend konstruiert.

Oa, AT, FCi, v2 und m8 sind also Sehnen der Azimutkurve des Stahles fiir 1. = 578. Dabei ist ein Teilstrich der Figur gleich eine Bogenminute.

2) P. Drude, Wied. Ann. 36. p. 521. 1888. 8) Fur die linke Seite darf 2 cotg 4 y gesebt werden.

Die Strecken

220 A. I;. Bernoulli.

Es ware also zu zeigen, da8 ( y , - 9,) und um so vie1 mehr (q - y o ) zu vernachlassigen ist, da j a (p-yo) < ( y , - yo).

Far jede beliebige Tangente an den Kreisbogen O A ist der spitze Steigungswinkel u gleich dem Winkel 7, welchen der Radiusvektor des Beruhrungspunktes K dieser Tangente mit der Ordinatcnachse einschlieBt, somit, wenn die Strecke OD = 11 und A? = r gesetzt wird,

~

U tgq = 7 = t g a .

Wahlen wir nun den bis dahin willkiirlichen Beriihrungs- punkt K der Kreistangente derart auf dem Kreisbogen, da6 der Steigungswinkel a = Z wird. Dabei ist L definiert durch die Drudesche Gleichung (2), d. h. wir wahlen den Punkt K so, da6 die Tangente an den Kreis mit K als Beriihrungs- punkt denselben Steigungswinkel hat, wie er einer Tangente an die Kurve im Haupteinfallswinkel, also im Punkt q=f(@) zukommt. Sind y , I,O~ die Koordinaten des ersten durch den Versuch gegebenen Kurvenpunktes A und al der spitze Winkel, den Ox= d mit der y-Achse einschlieat, so erkennt man aus der Fiaur, daB

Substituiert man den Ausdruck fur r in unsere frubere Glei- chung, so wird

(2) tg a

= r . t g Z = ~ 2 #in al V(Yl - ,,I2 + (Yl - Die Abszisse a des Punktes D, also des Schnittpunktes

des Badiusvektor durch K mit der Abszissenachse ist stets grofier als die Abzisse B des Punktes K auf dem Kreisbogen, und wie wir gezeigt haben, ist letztere Strecke stets gro6er als die Abszisse A y = (p - yo) des Hauptwinkelpunktes q = f(p). (3) a > a > A y . Wenn es uns gelingt, durch Einsetzen der Zahlwerte der beob- achteten GroBen, welche auf der rechten Seite von Glei- chung (2) vorkommen, zu zeigen, da8 a klein ist gegen die Messungsfehler fur yo und yo, so ist urn so mehr bewiesen, da8 B und noch lnelir dgr gegen die Beobachtungsfehler ver-

Wir haben somit die doppelte Ungleichung

Best irnmuy der Dispersion von Mefallen. 221

schwindet. Auch fur d 7 1 = (y -w,) laBt sich nunmehr leicht eine obere Grenze der Fehler unserer Naherung angeben. Es ist naturlich streng

(4)

Betrachten wir eine Ordinate t m , welche definiert sei durch die Relation

so muB unbedingt, damit Gleichung (4) erfiillt ist, die Un- gleichung

bestehen, da nach (3) a > A M .

(5) w = a . t g z ,

(6) l d > d ? p

Liitlt sich also ferner zeigen, da6

verschwindet gegen die Messungsfehler, so ist damit erwiesen, daE auch die Naherung y=vO vollig ausreicht. Durch Ver- gleich der Formelu (2) und (7) sieht man, daB to stets sehr klein gegen .ii sein muO, da j a in Gleichung (7) rechts das Quadrat der Tangente eines kleinen Winkels im Ziihler vor- kommt und nicht bloE die erste Potenz dieser GroBe wie in Gleichung (2). Die Naherung yo = $ ist also vergleichsweise sicher noch wesentlich genauer als die Naherung yo = sp.

3. Zahlenwerte der Niiherungsfehler.

Es bleibt uns noch die Aufgabe, die fruher mitgeteilten Zahlenwerte fur Nickel und fur Stahl in die Gieichungen @) und (7) einzusetzen. Der bessern Ubersichtlichkeit wegen will ich die benutzten Werte hier noch einmal anfiihren:

Fur A’i~kel ist nach D r u d e fur Natriumlicht p = 76O 01’ und y = 31° 41‘,

woraus ’’ - - 0,0125. +P

Nach meinen Eeobachtungen ist yo = 76O 00’ und yo = 31° 40‘,

die Koordinaten des Punktes A , d. h. das Wertepaar yIyl

222 A. A. Bernoulli.

des nachsten Kurvenpunktes nach der Seite dea wachsenden Einfallswinkels ist

‘pl = 76O 65’ und 7p1 = 31° 46’.

Aus den Gleichungen (2) und (7) ergibt sich mit Benubung dieser Werte, daB

a = 4,58 Bogensekunden und 23 = 0,057 Bogensekunden.

Fur Stah2 ist nach Minor

@ = 77O 09’, 7t;l= 27O45‘ und daraus - = 0,0111. a(P

Ferner ist nach meinen Beobachtungen fur Stahl

yo = 7 7 O O r , y l = 7 7 O 11’ und yl = 27O 39.

Da 8q/8y bei Stahl etmas kleiner ist als fur Nickel, sind auch fur a und entsprechend ltleinere Werte zu erwarten. Tatsachlich ergibt sich fur Stahl

7 p 0 = 27O 33’,

fi = 3,13 Bogensekunden nnd ID = 0,034 Bogensekunden.

Zufolge der Uiigleichungen (Y), (4) und (6) miissen aber

Somit ist die tatsachlich durch die Verwendung der Naherungen vo = und yo+ hedingten Fehler noch kleiner sein.

fiir Nickel (Y; - yo) < 4,6” und ($3 - ibo) < 0,06”, ,, Stahl ( L p - yo) < 3, l” und (TP - yo) < 0,03“.

Wie ich bereits fruher mitteilen konnte, waren die Ab- lesungen am Positionskreis des von mir verwendeten Analy- satornicol von Schmid t Sr; H a e n s c h dank der vorziiglichen mechanischen Einrichtungen auf & 1 Bogenminute genau fur Mittelwerte BUS mindestens drei Beobachtungen. Der Positions- kreis erlaubt am Nonius 100 Grad abzulesen. Somit sind die relativeu Werte der Azimute auf f1‘ genau.’) Die Genauig- keit der Absolutwerte dagegen ist natiirlich etwas weniger genau, da sie ja sowohl von der Orientierung des Spiegels als auch von der Genauigkeit abhapgt, mit welcher die Haupt- lagen des Nicols relativ zur Reflexionsebene bekannt sind. Letztere Einstellung war auf & 0,Ol O genau fur Mittelwerte.

1) 1. c. p. 591.

Bestimniung der Dispersion von Metallen. 223

Uber die nach der Drudeschen Methode erreichbaren Genauigkeiten teilt Hr. v. Wartenberg ' ) mit, daB fur gelbes Hg-Licht (A = 578) bei seinen Messungen die Azimute 2 q auf 30' und die Phasendifferenzen A auf 1 O genau waren. Drude2) selbst hat wohl infolge besserer Spiegel eine groBere Genauig- keit, namlich & 10' fur 2 und f0,2 O fur A erreicht. Nach den Angaben von Hrn. Minor3) erlaubt die Voigtsche Me- thode eine wesentlich grijBere Genauigkeit, als sie von D r u d e nach seiner Yethode erreicht wurde, namlich f4,4' fur 2 y und +0,001 (A/2). Die Genauigkeit der Einstellungen fur 2 I,!J

wurde sich, wie Hr. Minor gltmbt, durch etwas feinere Ein- richtungen auf +1' bringen lassen. Aus alledem ergibt sich, da6 die durch die Naherung 'p =vo bedingten Fehler nicht nur verschwindend klein sind gegen die Messungsfehler der Methode des Minimalazimuts, sondern auch gegen die unver- meidlichen mittleren Beobachtungsfehler auch der genauesten bis jetzt angewandten Methode , namlich derjenigen von Voigt. Die Fehler der Naherung + = y o sind ihrerseits wieder klein gegen die Fehler von = yo, also um so vie1 mehr zu vernachlassigen , betragen sie doch sel bst i m reltttiv ungiinstigen Fall beim Nickel weniger als 1 Promille des mitt- leren Fehlers der Nicoleinstellung.

Ich glaube deswegen an meiner bisherigen Auffassung, daB die Naherungen Sp=y0 und um so mehr * = y o un- bedingt erlaubt sind und dab der yon Hrn. Voig t betonten Divergenz zwischen dem Brews t e r when Einfallswinkel und dem Haupteinfallswinkel zurzeit noch keinerlei pruktische Be- deutung zukommt, festhalten zu miissen, da die Fehler der beiden genannten Naherungen gegen die mittleren Fehler dieser und anderer Methoden unbedingt zu vernachlasvigen sind.

Zum SchluB mochte ich meine Auffassung beziiglich der Verwendbarkeit der Methode des Minimalazimuts noch einmal zusammenfassen:

1. Die Methode ergibt im gaiizen sichtbaren Gebiet die- selbe Genauigkeit im Gegensatz zu der Methode von D r u d e ;

1) v. Wartenberg, 1. c. p. 109. 2) P. Drude, Wied. Ann. 39. p. 481. 1890. 3) R. S. Minor, 1. c. p. 596 u. 597.

224 A. I;. Bernoulli. Bestimmung der Dispersion von Metallen.

eine neue Bestatigung hierzu gibt Hr. v. War t enbe rg ' ) be- ziiglich Messungen mit rotem Licht.

2. Die zurzeit erreichte Genauigkeit ist anscheinend such im Gelb groBer als bei der Methode von Drude .

3, Im Gegensatz zu der Methode von Voig t , welche eine Spezialkonstruktion erfordert, verwendet sie nur einfachste experimentelle Rilfsmittel und erreicht dabei, soweit sich &us den von Hrn. Minor mitgeteilten Daten entnehmen la& trotz- dem dieselbe Genauigkeit der Ablesung.

4. Da die Naherungen rp = yo und fb = q0, wie wir ge- sehen haben, unbedingt erlaubt sind, so gewinnt man im Oegensatz zu den Methoden von Voig t , D r u d e und Z a k r - zewskya) direkt die Hauptwinkel (p und fb, wodurch sich die Berechnung der GroBen n und x wesentlich vereinfacht. Denn nach Cauchys) ist bei gegebenern Cp und $j streng

n = tg q . sin z = tgw J

tg(2 0 - 2 Ip) = - cos 2 sp. tg 2 Tp. Jch beabsichtige auf diesen letzten P u n k t nochmals in anderem Zusammenhang zuruckzukommen.

Bonn, den 28. Mai 1910.

1) v. W a r t e n b e r g , 1. c. p. 119. 2) ]ti. Z a k r z c w s k y , Bull. de 1'Acad. de Cracovic, Jabrgang 1907.

3) A. Cauchy, Pogg. Ann. 47. p. 545. 1848.

(Eingegangcn 31. Mai 1910.)

p. 1016; 1910. p. 77 u. 116.

Druck yon Metager & Wittig in Leipdg.