Zur bewertung von pensionsverpflichtungen

Zur Bewertung von Pensionsverpflichtungen

Edgar Neuburger (Miinchen)

Zur Bewertung einer Pensionsverpflichtung, bier speziell einer Pensionsanwartschaft, m Jahre nach Eintritt in das Unternehmen, wird bekanntlich der versicherungsmathematische Teilwert

mit der fiktiven Pr/imie

bo a Vm = bm - -~a ax+m

ax

b o

a~

verwendet. Hierbei bedeuten:

x: versicherungsmathematisches Alter des Berechtigten bei Eintritt in das Unter- nehmen

m: abgelaufene Dienstzeit b m: Barwert der Verpflichtung zum Alter x + m, m = 0, 1 aua. . . . . Aktivenrentenbarwert, u = x, x + 1,

Gegen den iiblichen Brauch seien hier Minuskel verwendet, da mit Majuskel systematisch Zufallsgr6Ben gekennzeichnet werden sollen. Dieser Teilwert entspricht der versicherungsmathematischen Reserve einer entspre- chenden Versicherungsverpflichtung mit j/ihrlich gleichbleibender Prfimie und hat ohne Zweifel einige sch6ne Eigenschaften, vor allem, da ja die Pr/imie j/ihrlich gleich bleibt, hinsichtlich aller Jahre der Anwartschaftszeit eine gleichm/iBige Aufwandsverteilung, was fiir die Rtickstellung fiir eine Pensionsverpflichtung aus w 252 HGB als zwingende Forderung abgeleitet werden kann. Ob er der ebenfalls in w 252 HGB geforderten Einzel- bewertung entspricht, mag schon Zweifel wecken, werden doch bekanntlich modellim- manent vorzeitige Versorgungsf'~ille aus Risikopr/imienanteilen der Pr/imie und damit vom ganzen Kollektiv bzw. vom Bestand finanziert. Doch haben wir nun schon Anforde- rungen an eine geeignete Teilwertdefinition gewonnen, die wir auch in unser stochasti- sches Modell einflieBen lassen wollen, n~imlich:

- GleichmfiBige Verteilung des Aufwands auf die Zeit zwischen Diensteintritt und Ein- tritt des Versorgungsfalles

- Einzelbewertung, und zwar derart, dab die dem Berechtigten spfiter zuflieBenden Leistungen allein auf dem ihm angelasteten Aufwand, also seinen Pr/imien, basieren.

Doch der versicherungsmathematische Teilwert zeigt dariiber hinaus, wie bekannt, auch M/ingel, was die Verwendung dieser Gr6Be als MaBgr6Be fiir eine Pensionsriickstellung betrifft. Es geniige der Hinweis, dab bei entsprechender Gestaltung der Verpflichtung die versicherungsmathematische Reserve auch negativ sein kann, was diese Gr6Be sicher nicht besonders fiir den Zweck, MaBgr6Be fiir eine Pensionsriickstellung zu sein, geeignet macht. Im folgenden wollen wir nun diesen Teilwert auf Grund eines wahrscheinlichkeitstheore- tischen, iibrigens sehr einfachen Ansatzes als Erwartungswert geeigneter Zufallsgr613en herleiten, Wobei wir entdecken werden, dab die dem versicherungsmathematischen Teil- wert eigentiimlichen M~ingel erst durch die G1/ittung, also die Bildung des Erwartungs-

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werts entstehen, dem zugrundeliegenden stochastischen Modell demnach nicht imma- nent sind. Wir werden die Gliittung unterschiedlich durchffihren und dadurch auf bekannte Ansiitze fiir einen ,,besseren" Teilwert stoBen, u.a. auf die von Schr6der und Engbroks vorgeschlagenen. Das stochastische Modell, das wir verwenden wollen, sei an dem einfachen Beispiel, eine lebensl~inglich jiihrlich nachschfissig zahlbare Rentenverpflichtung zu bewerten, erliiu- tert. Dieses natfirlich bekannte und wohl unstrittige Modell wollen wir dann auf die Bewertung einer Pensionsanwartschaft fibertragen. Insofern wollen wir das Modell ffir diesen einfachen Fall nochmals ausffihrlich betrachten: diese Analogie ist ffir die 1[lber- tragung auf unser Problem sehr wichtig. Wir wollen also den Wert einer an einen x-jiihrigen Rentner lebensliinglich jfihrlich nachschfissig zu zahlenden Rente vom Betrag 1 ermitteln, d.h. also, ihren Barwert. Wir k6nnen diesen Barwert wie folgt umreiBen: der Barwert einer lebensl~inglich j~ihrlich nachschiissig zahtbaren Rente ist der Wert, der ,,ira Mittel", d.h. also, nach dem Gesetz der groBen Zahlen, ffir einen groBen Bestand yon Rentnern des gleichen Alters ausreicht, um die Leistung, also die lebensl~ingliche Zahlung der Renten, zu garantieren. Dieser Barwert wird in 3 Schritten ermittelt, wobei wir auf alle Formalismen verzichten wollen: das zugrundeliegende wahrscheinlichkeitstheoretische Modell ist derart einfach, dab sich in diesem Rahmen eine Formalisierung erfibrigt.

1. Zun~ichst schafft man sich nach dem Grundsatz der Einzelbewertung ffir einen Einzel- rentner des Alters x eine f]bersicht fiber alle m6glichen zukfinftigen Zahlungsstr6me, die zur Erffillung der Verpflichtung denkbar sind, bildet also die Menge der m6glichen Realisierungen der Zufallsgr613e ,,zukfinftiger Zahlungsstrom", der an den betrachteten Rentner zu zahlen ist. Dabei wollen wir zur Vermeidung sprachlicher Schwerfiillig- keit die folgende Konvention vereinbaren: Die Zufallsgr6Be ,,Zahlungsstrom" besitze die Realisierungen ,,Zahlungsstr6me", d.h., im folgenden bezeichne der Plural einer Zufallsgr6Be immer deren Realisierungen. Bei unserem Beispiel einer j~ihrlich nachschfissig zahlbaren Rente ist die Menge der zukfinftigen Zahlungsstr6me besonders einfach zu charakterisieren: der betrachtete Rentner kann im 1. Jahr, im 2. Jahr usw. sterben, demnach besteht die Menge der Realisierungen der Zufallsgr6Be ,,Zah- lungsstrom" aus Zahlungsstr6men, die aus 0, 1, 2, im allgemeinen aus N Rentenzah- lungen bestehen, jenachdem, nach wieviel Jahren der betrachtete Rentner stirbt. Die Benutzung des Majuskels N drfickt wie fiblich aus, dab N im voraus nicht bekannt ist, also dab N eine Zufallsgr6Be darstellt, n~imlich die mit Alter x beginnende vollen- dete Lebenszeit mit Werten in N o.

2. Der 2. Schritt besteht nun darin, ffir jeden der m6glichen Zahlungsstr6me einen ausreichenden Erffillungsbetrag zu bilden, einen Betrag also, der zum Beginn der Verpflichtung ausreicht, unter Berficksichtigung von Zins und Zinseszins die betrachteten Zahlungsstr6me zu leisten, d.h., abzuwickeln. Der Zahlungsstrom selbst besteht nun aus der Zahlung von N Renten vom Betrag 1. Somit braucht man, unterstellt man einen ffir alle Jahre gleichen Zinssatz, zum Beginn als ausreichenden Erffillungsbetrag ffir den Zahlungsstrom den finanzmathematischen Barwert B = a~, wobei a~ den finanzmathematischen Barwert der j~ihrlich nachschfissig N Jahre lang zahlbaren Zeitrente vom Betrag 1 darstellt. Somit ist als 2. Schritt der Zufallsgr6Be ,,Zahlungs- strom" ihr Erffillungsbetrag B = a~ zuzuordnen. Somit erh~ilt man in diesem 2. Schritt die Menge der m6glichen Realisierungen der Zufallsgr6Be ErffiUungsbetrag, die zur Deckung der Verpflichtung notwendig sind, um in jedem Fall, also abh~ingig von der jeweils betrachteten Zahlungsstromrealisierung, gerade die Auszahlung dieser Zahlungsstromrealisierung zu garantieren oder, anders ausgedrfickt, die man riick-

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schauend, also nach Abwicklung der Zahlungsverpflichtung, w/ire genau die betrachtete Zahlungsstromrealisierung eingetroffen, ben6tigt h/itte, um die Abwicklung eben dieser Zahlungsstromrealisierung zu gew/ihrleisten.

3. Im 3. Schritt wird nun die resultierende Riickstellung -- Reserve = Barwert als ein einziger resultierender Wert gebildet, und zwar dadurch, dab man die m6glichen Erf/illungsbetr/ige mit der Wahrscheinlichkeit gewichtet, dab sie eintreffen, also mit der Wahrscheinlichkeit, dab gerade die Zahlungsstromrealisierung eintritt, der auch die betrachtete Erfiillungsbetragsrealisierung zugrunde liegt. Man bildet also das gewichtete Mittel aller mit ihren Wahrscheinlichkeiten des Eintreffens gewichteten Erfiillungsbetr/ige, d.h., wahrscheinlichkeitstheoretisch ausgedriickt, den Erwar- tungswert der Zufallsgr6Be ,,Erfiillungsbetrag" B als Rfickstellung = Barwert der Verpflichtung:

b = g (B) = Riickstellung = Barwert a X = g (aM).

Die Umrechnung von b in die iibliche Darstellung von ax lfiBt sich leicht durchfiihren und ist vielfach in der Literatur gezeigt (z. B. [1]).

Dieses dargestellte Verfahren stellt eine iibliche Methode dar, um den Wert fiir vom Zufall abh/ingige zukiinftige Zahlungsstr6me zu definieren, und seine Rechtfertigung findet der so definierte Wert darin, dab er bei einer groBen Anzahl von Berechtigten ,,im Mittel" zur Abwicklung der zukiinftigen Zahlungsstr6me ausreicht, oder, mehr mathe- matisch ausgedriickt, daB, geht die Anzahl m der Berechtigten gegen 0% die Summe aller ben6tigten Riickstellungen dividiert durch die Anzahl der Berechtigten gerade - mit Wahrscheinlichkeit 1 - gegen den nach Schritt 3 gewonnenen Wert konvergiert, d.h., fiir fast alle Realisierungen n (k) der Lebenszeit N der Person k gilt:

1 m l i m - Z anlki] = b

m ~ m k = l

Diese mathematische Gesetzm/iBigkeit 1/iBt sich auch wie folgt, sozusagen in deterministischer Sprechweise, ausdriicken: der so definierte Barwert reicht genau aus, um bei ,,rechnungsm/iBigem Verlauf" des Bestands der Berechtigten alle Rentenzahlungen abzuwickeln. In der gleichen Weise wollen wir jetzt die Riickstellung fiir eine Pensionsverpflichtung bilden. Kommen wir also auf unser ursprfingliches Problem zurfick: die ,,richtige" Riick- stellung fiir die Pensionsverpflichtung gegeniiber einem Aktiven, also einem Anw/irter zu finden. Wir gehen dabei in der eben beschriebenen Weise vor:

1. Schritt: Wir betrachten einen Anw/irter. Wie sehen ftir ihn die m6glichen Zahlungs- str6me aus, die das Unternehmen zu leisten hat? Nun, unterstellen wir, dab der betrachtete Anwfirter zum betrachteten Stichtag m Jahre zum Unternehmen geh6rt (vgl. Abb. 1). Desweiteren trete der Versorgungsfall im Jahr ( K - 1 , K] nach Eintritt in das Unternehmen ein, also, vom Stichtag aus betrachtet, im Jahr ( K - m - 1, K - m ] . Mit K ist also das Ende des Jahres gekennzeichnet, in dem der Versorgungsfall eintritt. Das tats/ichlich eintretende K hfingt vom zukiinftigen Verlauf ab, stellt also eine reelle Zufalls- gr6Be mit Werten in N dar. Um uns auf das wesentliche zu beschr/inken, wollen wir von einer besonders einfachen Zusage ausgehen, n/imlich von Einmalleistungen, die bei Ein- tritt des Versorgungsfalles, d. h., Ausscheiden aus dem Aktivenbestand wegen Invalidit/it oder Tod als Aktiver bzw. Erreichen der Altersgrenze f/illig werden: tritt der Versor- gungsfall im Jahr (K - 1, K] ein, dann soil am Ende des Jahres, also genau K Jahre nach Eintritt die Einmalleistung

EK

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Eintritt des Stichtag Versorgungsfalles

! I I I ->

Zeit Eintritt m Jahre K Jahre in das Un- nach Eintritt nach Eintritt ternehmen (bekannt) (unbekannt)

I< >1<- >1 m K-m

I<- ->1 K

Abb. 1

gewiihrt werden. Diese Annahme stellt allerdings im Hinblick auf sp/itere Ergebnisse keine Einschr~inkung der Allgemeinheit dar, denn fiir EK kann, und zwar unterschiedlich fiir Invalidit~it und Tod als Aktiver, jeder beliebige Rentenbarwert angesetzt werden, so beliebige Rentenverpflichtungen erfassend. Nun haben wir als Erstes die Forderung gestellt, dab der Aufwand fiir die Pensionsver- pflichtung gleichm/iBig auf die einzelnen Jahre zwischen Eintritt und Versorgungsfall aufgeteilt werden soil. Dies fiihrt zu einem jiihrlich vorschiissig zahlbaren Jahresaufwand = Pr~imie 1-I z von

EK Fir = - - (1)

s~

wobei s~ den Endwert der j~ihrlich vorschiissig K Jahre lang zahlbaren Zeitrente darstellt. Denn: Schrciben wir diese Gleichung wie folgt:

H K s~ = E K (2)

Die rechte Seite bedeutet die Einmalleistung bei einem Versorgungsfall im Jahr ( K - 1 , K]; dieser Betrag w~ire zum Ende des Jahres des Versorgungsfalles, also nach K Jahren auszuzahlen, muB also zu diesem Zeitpunkt angesammelt sein und bereit stehen. Die linke Seite stellt die aufgelaufene Summe einer Jahrespr/imie in H6he von IIK dar, die K Jahre lang j/ihrlich vorschiissig gezahlt worden ist. BemiBt man also die Pr~imie = Aufwand nach Gleichung (1), dann stimmt bei Eintritt des Versorgungsfalles die aufgelaufene und verzinste Summe der Pr/imien mit der dann zu zahlenden Leistung /iberein. Somit ist also die Pr/imie geeignet festgelegt, allerdings als I 'It, vom Zufall abh/ingig, d.h., als Zufallsgr6Be, oder, wie wir versicherungstechnisch sagen wollen, als Bedarfspr~imie, als Pr?imie a posteriori: wie hoch die erforderliche Jahrespr/imie tats~ichlich ist, ergibt sich erst nach Eintritt des Versorgungsfalles, da dann K und mithin nach Gleichung (1) auch die Realisierung von 1-I K bekannt ist. Im voraus wissen wit vonder Pr~imie H K nut, dab sie zum einen fiir alle Jahre in gleicher Hfhe angesetzt ist, zum anderen die Leistung E r unter Ansatz von Zins und Zinseszins allein vom Berechtigten aufgebracht worden ist: die Erfiillung dieser Forderungen ist auch notwendig, um den gesetzlichen Anforderungen zu entsprechen. Die so festgesetzte Pr~imie FI K gehorcht dem ,~quivalenzprinzip punktweise, also pro Realisierung: die Multiplikation der letzten Gleichung mit

vK (3)

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fiihrt zu I-lz aM = v K Ez (4)

Links steht der Wert der zukiinftigen Pr/imien bei Beginn, und rechts der Wert der zukiinftigen Leistung bei Beginn, und zwar, wie gesagt, fiir jede Realisierung! Fiir jede zukiinftige Entwicklung ist hier also die Pr/imie so angesetzt, dab aus ihr die Leistung erbracht werden kann. Wir setzen, um die gewohnte Terminologie zu erhalten:

B~ := l-I z an (5)

Zufallsgr6Be ,,Erfiillungsbetrag der zuk~inftigen Pr/imien bei Beginn" und

BK = v z Ez (6)

Zufallsgr6Be ,,Erfiillungsbetrag der zukiinftigen Leistungen bei Beginn"

Damit k6nnen wir das Aquivalenzprinzip in gewohnter Weise ausdriicken:

B~ = B z

und die Pr~imie in gcwohnter Wcise als

1-1 z = --Bz (7) aM

Man sollte nur daran denken, dab es sich hier um Zufallsgr6Ben handelt, diese Bcziehung also nicht nur im Mittel, sondcrn punktweise, also fiir jede Realisicrung gilt, im Gcgen- satz zum wic iiblich formulierten vcrsichcrungsmathcrnatischcn -~quivalenzprinzip.

2. Schritt: Nun bleibt, den Erfiillungsbetrag nach m Jahren zu bestimmen, der unter Berficksichtigung der noch eingehenden Pr/imien ausreicht, die versprochene Leistung zu erbringen, wenn also unterstellt wird, dab der Versorgungsfall im Jahr ( K - 1, K] eintritt. Wir wollen den Erfiillungsbetrag m Jahre nach Eintritt bestimmen, mit K > m : der Versorgungsfall sei also nach m - 1 Jahren noch nicht eingetreten. Da damit noch keine Leistungen angefallen sind, k6nnen bis zu diesem Zeitpunkt die Pr~imien verzinslich angesammelt werden, d.h., nach m Jahren betr/igt der Erfiillungsbetrag ffir die zukiinftige Leistung

V~ ) = IlK Sm~ (8)

Wir haben bier den Erfiillungsbetrag retrospektiv definiert. Es 1/il3t sich durch Umformung nachweisen, worauf wir gleich zuriickkommen werden, dab dieser Betrag dem Betrag entspricht, der unter Beriicksichtigung der K - m noch eingehenden Pr/imien gerade ausreicht, um mit Zins und Zinseszins nach K Jahren genau auf dem Betrag EK anzusteigen, also auf die versprochene Einmalleistung. D.h., es t/il3t sich nachweisen, dab der hier retrospektiv definierte Erfiillungsbetrag auch dem prospektiven Erfiillungsbetrag entspricht. Doch zuvor wollen wir, weil es so schSn, einfach und fast zwingend ist, den 3. Schritt angehen.

3. Schritt: Dieser Erfiillungsbetrag V(~ ) h/ingt selbst vom Zufall ab, ist er doch von K bzw. rlz bestimmt, also eine Zufallsgr6Be. Damit ist, um einen resultierenden Wert zu erhalten, das gewichtete Mittel aller V~ ) zu bilden, gewichtet mit der Wahrscheinlichkeit, dab gerade nach K Jahren die Leistung zu erbringen ist, d. h., die resultierende Riickstel- lung ergibt sich als Erwartungswert von V~ ~ unter der Voraussetzung, dab K > mist, dab also der Versorgungsfall nach m - 1 Jahren noch nicht eingetreten ist:

t~ = r (V~)/K > m) = Smq ~ (IlK/K > m) (9)

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Ein sch6nes Ergebnis: die resultierende Riickstellung ergibt sich unter Beriicksichtigung von Zins und Zinseszins als aufgelaufener Jahresaufwand = Bedarfsprhmie. Wir wollen t t den Arbeitstitel ,,Teilwert 1" geben. Offenbar ist tt immer >0 , was man fiir eine Riickstellung einer Verpflichtung auch fordern sollte. Der so definierte Teilwert entspricht der Forderung der strengen Einzelbewertung und der Forderung der gleichm~iBigen Aufwandsverteilung zwischen Eintritt in das Unter- nehmen und Eintritt des Versorgungsfalles. Zudem reicht er bei rechnungsm~iBigem Verlauf genau aus, um die zugesagten Leistungen zu erfiillen, ohne dab das Ergebnis des Jahres zus~itzlich belastet wird. Beziiglich der retrospektiven Form des Erfiillungsbetrags nach m Jahren V~ ) kann man sich kaum eine andere Art der Gl~ittung als die angegebene vorstellen. U m andere M6glichkeiten zur Gl~ittung zu erhalten, miissen wir die prospektive Form von V~ ) gewinnen. Hierzu zuniichst die folgende einfache Beziehung aus der Finanzmathematik: Bekanntlich gilt mit 0 < m < n:

a~q = a m + v m an-ml

Durch Multiplikation mit r m folgt:

r m a~ = v n-m r n a,q = v "-m s~ = r m a N + a~_~q = Sm~ + an-ml,

also, und diese Beziehung werden wir gleich benutzen:

v n-m s~ - a~_-z~ = Smq (10)

Wir wollen nun den Erfiillungsbetrag der zukiinftigen Leistungen nach m Jahren, also unter der Voraussetzung, dab der Leistungsfall nach m Jahren noch nicht eingetreten ist, mit ~B K bezeichnen:

mBz = V K-m E K = V K-m II K SK~ gem/iB G1. (2) (11)

sowie den Erfiillungsbetrag der zukiinftigen Pr/imien nach m Jahren mit mB~<:

B): mB~ -~ HI( a ~ = ~g~ a ~ l (12)

Die prospektive Reserve errechnet sich dann als ErfiiIlungsbetrag der zukiinftigen Lei- stungen nach m Jahren abziiglich des Erfiillungsbetrags der zukiinftigen Pr/imien nach

^" kennzeichnen - m Jahren zu - wir wollen sie mit ,, A

= -

= I'I): (v z-m s): 1 -- a ~ )

= Ill< s~ gem~iB GI. (10)

= V~ ) gem~iB GI. (8)

Die prospektiv definierte Reserve stimmt also - und zwar wieder punktweise - mit der retrospektiv definierten Reserve iiberein. Es sei darauf hingewiesen, dab bei Geltung des Aquivalenzprinzips die Aussage, dab prospektive und retrospektive Reserve iibereinstimmen, sich auf der Ebene unseres stochastischen Modells iiberaus einfach beweisen l~iBt. Damit erhalten wir den Erffillungsbetrag nach rn Jahren zu

V(mZ ) = mBz B): (13) - a--~ a ~

in der gewohnten prospektiven Form.

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Fiir den Teilwert 1 erhalten wir damit die prospektive Darstellung

tl = 8 (V~)IK > m ) = ~ mBK - a K ~ I K > m (14) a~

Bei dieser Darstellung f/illt auf, dab zwar die Reserve durch einen Erwartungswert, also im Mittel ausgedriickt wird, nicht aber die Pr/imie; diese bleibt als Zufallsgr6Be = Bedarfspr/imie = Pr/imie a posteriori (vgl. G1. (7))

BK I ' I K ~ - -

aM

stehen. Die Frage ist: stellt t ~ mit dieser Pr/imie a posteriori eine geeignete MaBgr613e fiir die Rfickstellung einer Pensionsanwartschaft dar? Diese Frage muB, im Gegensatz zu einem Versicherungsvertrag, bei dem dieser Ansatz natiirlich v611ig ungeeignet w/ire, bejaht werden: entscheidend ist bei der Bewertung einer Pensionsanwartschaft zu einem Stichtag lediglich der Wert der Verpflichtung, also die zu diesem Stichtag zu bildende Riickstellung, dagegen spielt die Pr/imie, die aus technischen Griinden in sie eingeht, bei der Bewertung einer Pensionsanwartschaft zun/ichst einmal keine Rolle, da sie ja im Gegensatz zu einem Versicherungsvertrag nicht Gegenstand des Vertrags ist: Vertrags- gegenstand ist bei einer Pensionsanwartschaft lediglich die zukiinftige Leistung, und daraus resultierend die ,,richtige" Riickstellung, um dieser Verpflichtung gerecht zu werden, jedoch nicht eine zu zahlende Pr/imie: das macht einen der wesentlichen Unter- schiede zwischen der Riickstellung fiir eine Pensionsverpflichtung auf der einen Seite und der Reserve fiir einen Versicherungsvertrag auf der anderen Seite aus. Wir wollen nun andere Formen der Gl/ittung betrachten, die zu bekannten Ans/itzen fiihren. NatiJrlich gibt es noch weitere M6glichkeiten der G1/ittungen, auf die jedoch hier nicht weiter eingegangen sei, wenn sie vielleicht vom Modell her gesehen auch n/iher- l/igen. Insofern w/iren noch die unterschiedlichsten interessanten Ans/itze zu gewinnen. Einen 2. Teilwert erhalten wir durch G1/itten gem/iB

I dr (BKIK > m) t2 = 8 mBK - - d~ (ar~ I K > m) ak--m7 [ K > m ] (15)

und einen 3. Teilwert, indem wir den Erfiillungsbetrag gem/iB G1. (13) gl/itten gem/il3

[ ~(BK) , K > m ] (16) t3 = ~ mBK t~ (aM) a k ~

Wir wollen nun unsere Ergebnisse in die gewohnte versicherungsmathematische Nota- tion umsetzen. Hierzu betrachten wir zun/ichst

b m = ~r(mBK IK > m) = r K > m) (17)

und versuchen, diesen Ausdruck in die gewohnte versicherungsmathematische Notation umzusetzen: vK-mEg stellt eine diskrete Zufallsgr6Be dar mit den Werten v l - m E l , v z-m E 2 . . . . . die mit den Wahrscheinlichkeiten P { K = k I K > m}, k = 1, 2 . . . . . angenommen werden. Damit folgt

bin= E v k - m E k P { K = k l K > m } k > m

Nun ist P{K = k[ K > m} = k-m-lPx+m qx+k-1, k = m + 1, m + 2 . . . .

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mit qu : = i u + qu~a, u = x ,x + 1, . . . ,

m-1

mPx = l-I Px + j j=O

und p . = l - q . = l - i . - a. u = x , x + l , qu ~ ' ' '

Hierbei ist zu beachten, dab K das Ende des Jahres des Versorgungsfalles bezeichnet, qu und pu sich jedoch auf den Beginn eines Jahres beziehen. In iiblicher versicherungsmathematischer Terminologie erhalten wir damit, wie zu erwar- ten ist, unter Erh6hung des Indexes k auf k + 1, fiir den Barwert des Erfiillungsbetrags mBK :

bm = 8 ( = B ~ I K > m ) = Z vk-m+l Ek+l k-mPx+mqx+k, k>m

mithin, nun den Index k mit Null beginnen lassend:

b= = ~ v k+l kPx+mqx+m+k Em+k+t (18) k>0

Teilwert 1 lfiBt sich analog umformen und fiihrt zu einem genau so leicht ableitbaren und reeht fihnlichen Ausdruck. Dabei gehen wir yon G1. (9) aus und formen g (HK/K > m) wie folgt urn:

= > rn gemfil3 GI. (7) \ a M

) = > m gemfiB GI. (6) \ aM

V K EK stellt eine diskrete Zufallsgr6Be dar mit den Werten v E~, v 2 E 2 die mit den . . .~

aK] a~q a2q Wahrscheinlichkeiten P {K = k l K > m}, k = 1, 2 . . . . angenommen werden. Damit folgt unter Beachtung der Hinweise der vorangegangenen Ableitung:

also

8 (I-IKIK > m) = Z v k E k

P { K = k l k > m } k>m akq

v k E k ~-~ - - k - m - l P x + m q x + k + l

k>m ak 7

V k+l Ek+ 1 Y~ k--mPx+m q~+k

k~m a~+Tq

Era+k+ 1 = vm ~" v k + l kPx+mqx+m+k - - ,

k~-0 am+k+ll

tl = Sin7 g (I-IK I K > m) = am7 Z v k+ 1 kPx+m qx+m+k - - k>0

Era+k+ 1

a ~ (19)

Wir erhalten also, was besonders anzumerken ist, wieder einen Barwert, nfimlich einen

Barwert mit den Leistungskomponenten am7 Era+k+ 1 am+k+ll

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Dabei fgllt die .~hnlichkeit zur Bewertung nach FAS Nr. 87 auf:

aml Em+k

l~iBt sich interpretieren als der nach m Jahren erdiente Anspruch der Leistung, die nach k Jahren f'~illig wird, wobei der Sachverhalt ,,erdient" nicht wie nach FAS fiblich mit dem Faktor ~- 1

m i = o

m + k - re+k-1 ' 1

i=O

d.h., als reiner Zeitvergleich, sondern eben mit dem Faktor m - - 1

v ~ a~q i = o

- - - - - ( 2 0 )

a m + k I m + k - 1 Z vi i=o

ausgedrfickt wird, also unter BeriJcksichtigung der Zinswirkung, d. h., als Wertvergleich. Denn die beiden Ausdrficke stimmen ja fiir den Zins 0 miteinander iiberein. Dieser Ansatz des Sachverhalts ,,erdient" fiihrt zu h6heren Werten (vgl. Bemerkung am SchluB dieser Arbeit), fibereinstimmend mit der Tatsache, dab bei der FAS-Bewertung der Aufwand nicht fiber die ganze Dienstzeit gleichverteilt ist, sondern mit zunehmender Dienstzeit ansteigt. Diese Unsch6nheit der Bewertung nach FAS lieBe sich also sehr leicht dadurch beheben, dab man den erdienten Teil der Zusage mittels des angegebenen Wertvergleichs ermittelte, so der Forderung einer gleichm/iBigen Aufwandsverteilung nachkommend. Man m6ge jedoch beachten, dab sich in G1. (19) der Vergleich auf das Ende des Jahres bezieht, was bei der gew/ihlten Zusage auch vertretbar ist. Meistens wird jedoch bei der Bewertung nach FAS der Vergleich auf den Beginn des Jahres oder auf die Mitte des Jahres bezogen, selten auf das Ende des Jahres. Dieser gem~iB G1. (19) fiir t 1 gewonnene Ausdruck wurde zum ersten Mal von Schr6der, und zwar in deterministischer Herleitung, 1987 vorgestellt [2] 1). Er kam auf diesen Ansatz, um der Forderung der Einzelbewertung gerecht zu werden, also zur Ausschal- tung yon Vererbungseffekten. Es gilt:

t l > 0 tl ist von den ffir die Alter <x + m zugesagten Leistungen unabh/ingig tl ist hinsichtlich unterschiedlicher Leistungsarten additiv

Das Postulat der Einzelbewertung ist, wie die Herleitung zeigte, ebenfalls erfiillt. Es sei erw~ihnt, dab man einen weiteren Teilwertansatz erh~ilt, den Schmauck [3] bereits 1986 vorgestellt hat, wenn man in G1. (19) das Merkmal ,,erdient" nicht mit den Faktoren

am7

am+q~

1) Der von mir in [1] 1988 vorgestellte Ansatz beruht auf einer vollstgndigen punktweisen Anwen- dung des .g, quivalenzprinzips, der also auch die Rentenauszahlungszeit mit einbezieht, und einer wie bei t 1 durchgefiihrten einfachen Gl~ittung; er fiihrt damit bei der hier betrachteten einfachen Zusage einer Einmalleistung bei Ausscheiden zu den gleichen Werten wie beim Ansatz Schr6der. Generell l/iBt sich nachweisen, dab bei einfacher Gl~ittung auch bei beliebigen Leistungszusagen beide An- s/itze zu iibereinstimmenden Werten kommen: der Unterschied liegt lediglich im Ansatz.

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bewertet, sondern mit den Faktoren a

a ~

a:m+~

so bei ,,erdient" nicht nur den Zins, sondern auch die Bestandsverbleibewahrscheinlich- keit als Aktiver berficksichtigend. Dieser Ansatz ist allerdings nicht so ohne weiteres aus unserem stochastischen Ansatz abzuleiten, weswegen wir ihn hier nicht weiter verfolgen wollen. Es sei lediglich darauf hingewiesen, dab in diesem Ansatz, da (vgl. Bemerkung am SchluB dieser Arbeit) stets

a

a ~ am~ - - > V m > 0 , k > 0 , (21) a~. ~ am+-~

der Aufwand nicht gleichmiiBig auf die Jahre der Aktivenzeit verteilt wird, sondern dab friihere Jahre mit einem gr6Beren Aufwand belastet sind als sp/itere Jahre, also gerade umgekehrt zur Bewertung nach FAS, bei der sp/itere Jahre mit einem h6heren Aufwand belastet sind als frfihere Jahre. Immerhin ist interessant, dab unsere Anfangsforderungen ffir die Bewertung mit dem Teilwert t 1, der ja diese Bedingungen erfiillt, zu einem Rechenansatz f'tihren, der metho- disch mit der Bewertung nach FAS und mit der Bewertung nach Schmauck iiberein- stimmt: alle 3 Ans/itze stellen Barwerte erdienter Anspriiche dar, wobei lediglich die Faktoren ffir den Sachverhalt ,,erdient" unterschiedlich angesetzt sind. Befassen wir uns als n/ichstes mit Teilwert 3, also mit

I 6' (B~) aw-~l ' K > m l t 3 = 6" mBK 6" (agl------ ~

Wir erhalten zun~ichst

6' (BK) t3 = 6' (mBK I K > m) - - - 6" (aK-~71K > m)

6' (a~ und hieraus

t3 = bm ___b~ a a: ax+m '

also den klassischen versicherungsmathematischen Teilwert in der bekannten prospekti- yen Form, bei dem im voraus eine feste Pdimie

6" (Bx) bo - a (22) Px 6" (a~) ax

definiert ist, und zwar fiir alle Jahre. Die Eigenschaften y o n t 3 und auch seine Miingel sind bekannt. Nun zu Teilwert 2, also zu

t2 = 6 " [ mBx- 6" (BKIK > m) ] 6' ( a ~ l K > m) a ~ l K > m

Teilwert 2 k6nnen wir wie folgt umformen:

t2 = 6" (mBK[ K > m) 6" (Bxl K > m)

6" ( a ~ l K > m) 6 " ( a ~ l K > m)

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Der Unterschied zu t 3 liegt in der Definit ion der Pr/imien: im Gegensatz zu G1. (22) ist hier die Pr~imie gem~il3

~ ( B z l K > m ) Px~=

( a ~ l K > m)

definiert. Es handel t sich hier also um eine Pr/imie, die zwar bei der Bewertung zum Stichtag nach m Jahren fiir den ganzen Verlauf konstant angesetzt ist, die sich aber von Stichtag zu St ichtag/ inder t , also damit nicht nur vom Eintri t tsal ter x abh/ingt, sondern zusfitzlich noch vom gew~ihlten Stichtag m. U m die gewohnte Nota t ion zu erhalten, wollen wir die einzelnen Teile dieser Pr/imie n/iher betrachten: Fi ir den Z~ihler gilt:

Fi i r den Nenner gilt:

dr (Br I K > m) = dr (v K E~I K > m)

= ~' (v" v ~-m E z I K > m)

~-- v m r (v K-m EKI K > m)

= v m b m gemfil3 G1. (11)

dr (aN I K > m) = d ~ (am7 + v m a ~ I K > m)

= am7 + vm dr ( a ~ I K > m)

= am7 + v m a~ + m

Setzt man die so gewonnenen Ausdri icke in die Formel fiir t : ein, so erh/ilt man:

v m b m t2 = b m - a~+m,

a~il + v max ~ + m

einen Ausdruck, den Engbroks, allerdings auf ganz andere Weise begriindend, in den Bl/ittern der D G V M 1989 vorgestellt hat [4]. Er 1/il3t sich in die einfache F o r m

t : = b m am7 am7 + v m aa+m

bringen, also wieder in die Fo rm eines Barwerts. Man sieht, t : / i hne l t dem m/n-Barwert ,

allerdings nicht mit dem Gewicht m/n, sondern mit dem Gewicht am7 aM + v ~ ax ~ + =

F i i r t 2 gelten alle Eigenschaften yon t 1 mit Ausnahme der strengen Einzelbewertung: hier sind Zweifel angebracht. Um einen besseren Vergleich zu t 1 zu haben, stellen wir t z als Summe dar (vgl. G1. (18)):

Era+k+ 1 t2 = am7 Z vk+l k P x + m q x + m + k

k>_0 am7 + V m axa+m

Im Vergleich hierzu stellt sich t 1 wie folgt dar (vgl. G1. (19)):

Era+k+1 tl =am7 )7 vk§

k ~ 0 am- l + V m a n

Ein Vergleich dieser beiden Darstel lungen zeigt sehr sch6n den Unterschied zwischen den Teilwerten 1 und 2 auf: im einen Fal l steht ab dem Jahr m der schon gemittelte, yon k unabh/ingige, auf das Endal ter bezogene konstante Akt ivenrentenbarwer t aa+m, im anderen Fall steht ab diesem Jahr der yon k abh~ngige Zei t rentenbarwert ak+fl, also

865

Abb. 2. Vergleich der unterschiedlichen Wertansiitze

1 2 3 4 5 6 7 8 9

40 0 41 1 42 2 43 3 44 4 45 5 46 6 47 7 48 8 49 9 50 10 51 11 52 12 53 13 54 14 55 15 56 16 57 17 58 18 59 19 60 20 61 21 62 22 63 23 64 24 65 25

Spalte 1: Spalte 2: Spalte 3:

Spalte 4:

1 000 3 536 0 0 0 0 0 1000 3717 263 405 383 305 266 1000 3907 539 785 741 621 516 1000 4106 827 1 160 1 094 947 767 1 000 4314 1 128 1 535 1447 1284 1026 1000 4530 1 442 1914 1 804 1 633 1 296 1000 4 755 1 769 2 298 2167 1 992 1 579 1000 4 990 2111 2 690 2 539 2 364 1 878 1000 5236 2467 3089 2919 2747 2194 1000 5 492 2 840 3 499 3 309 3 143 2 529 1 000 5 759 3 228 3 917 3 710 3 551 2 884 1000 6036 3631 4345 4120 3970 3258 1000 6323 4048 4781 4541 4401 3652 1 000 6618 4480 5224 4971 4842 4067 1000 6920 4921 5671 5406 5 291 4498 1000 7228 5374 6121 5848 5746 4946 1 000 7 540 5 835 6 573 6 293 6 205 5 410 1 000 7 858 6 305 7 025 6 742 6 669 5 891 1000 8182 6787 7479 7197 7139 6389 1000 8514 7283 7935 7661 7615 6910 1000 8 827 7 759 8 364 8 100 8 068 7 417 1000 9117 8 209 8 757 8 511 8 493 7 903 1000 9 458 8 732 9196 8 981 8 972 8 472 1 000 9829 9302 9656 9486 9484 9100 1000 10299 10008 10212 10112 10112 9887 1000 10942 10942 10942 10942 10942 10942

Alter Spalte 5: Teilwert 3 abgelaufene Dienstzeit Spalte 6: Teilwert nach Schmauck Anspruchsverlauf Spalte 7: Teilwert 1 (Rentenvektor) Spalte 8: Teilwert 2 Barwert Spalte 9: Wert nach FAS

insgesamt der Zeitrentenbarwert der sich auf die Leistung E m + k + 1 beziehenden Priimien- zahlungen. Zum Schlul3 noch ein kurzer Zahlenvergleich (vgl. Abb. 2 und 3). Allgemein gesprochen, hiingt es sehr von der Zusage ab, wie die vorgestellten Teilwerte zueinander stehen. 2 Beispiele m6gen das demonstrieren:

1. Beispiel: Konstanter Rentenvektor mit einer Jahresrente von 1000 DM p.a. auf der Basis der fiblichen Berechnungsgrundlagen. Wir sehen, hier liegt der klassische Teilwert t 3 stets unter dem Ansatz t 2 , und der wiederum unter dem Ansatz t t- Wie schon bemerkt, liegt der Teilwert nach Schmauck stets fiber dem Teilwert t t , und dieser wiederum stets fiber dem Wert nach FAS. Dabei sei nochmals darauf hingewiesen, dab bei der FAS-Be- wertung der ,g, hnlichkeit zur G1. (19) wegen der Zeitvergleich auf das Ende des Jahres abgesteUt wurde. Das sieht jedoch, und zwar insbesondere wegen des Wartezeitparadoxons, ganz anders aus bei einer 15j~ihrigen Wartezeit, unserem 2. Beispiel: hier liegt in den ersten 19 Jahren der klassische Ansatz t 3 fiber t2, und auch in den ersten 16 Jahren t 3 fiber t 1 . Interessant ist auch, dab hier in den ersten Jahre t I unter t 2 liegt. Auch sei nochmals darauf

866

Abb. 3. Vergleich der unterschiedlichen Wertansiitze

1 2 3 4 5 6 7 8 9

40 0 41 1 42 2 43 3 44 4 45 5 46 6 47 7 48 8 49 9 50 10 51 11 52 12 53 13 54 14 55 15 56 16 57 17 58 18 59 19 60 20 61 21 62 22 63 23 64 24 65 25

Spalte 1: Spalte 2: Spalte 3:

Spalte 4:

0 2 564 0 0 0 0 0 0 2 730 225 234 215 224 125 0 2 908 465 483 444 462 265 0 3 099 720 749 690 715 424 0 3 304 993 1033 954 984 603 0 3525 1 285 1 337 1237 1271 804 0 3 764 1 598 1663 1 542 1 577 1030 0 4022 1933 2012 1 870 1905 1 285 0 4 302 2 294 2 387 2 225 2 257 1 570 0 4606 2682 2791 2610 2636 1 891 0 4 983 3102 3 228 3 082 3 045 2 253 0 5 303 3 558 3 702 3 484 3 488 2 661 0 5 704 4055 4219 3 984 3 971 3123 0 6151 4600 4 787 4 536 4 501 3 648 0 6655 5206 5416 5153 5 088 4251

1000 7 228 5 883 6121 5848 5 746 4 946 1000 7 540 6 303 6 573 6 293 6 205 5 410 1000 7 858 6 732 7025 6 742 6 669 5 891 1 000 8182 7170 7479 7197 7139 6389 1 000 8 514 7621 7935 7661 7615 6910 1000 8 827 8 052 8 364 8100 8 068 7 417 1000 9117 8 458 8 757 8 511 8493 7 903 1000 9458 8932 9196 8981 8972 8472 1000 9 829 9 446 9 656 9 486 9 484 9100 1000 10299 10088 10212 10112 10112 9887 1000 10942 10942 10942 10942 10942 10942

Alter SpaRe 5: Teilwert 3 abgelaufene Dienstzeit Spalte 6: Teilwert nach Schmauck Anspruchsverlauf SpaRe 7: Teilwert 1 (Rentenvektor) Spalte 8: Teilwert 2 Barwert Spalte 9: Wert nach FAS

hingewiesen, dab der Tei lwert nach Schmauck stets fiber dem Tei lwert t l , und dieser w iede rum stets fiber d e m Wert nach FAS liegt.

Bern. : Seien (ai), (ill) Fo lgen yon pos i t iven Zah len derar t , dab ~-i eine s t reng m o n o t o n fal lende Fo lge ist. D a n n gilt Vm, k E N :

m - ! m - 1

i = O i = O - - < r e + k - 1 r e + k - 1

X ~i Z t~i i = O i = O

Falls ( f l ~ ) e i n e schwach m o n o t o n fal lende Fo lge ist, gilt diese U n g l e i c h u n g mi t , , < "

statt , ,< " Der Beweis dieser e infachen Aussage sei dem Leser fiberlassen.

867

Anwendung:

1. ct i = 1 Vi,/~i = v i Vi mit 0 < v < 1. Hieraus resultieren

m am7 - - < ~ V m , k > 0 m + k am+-~

2. tx i = viVi, fli = vi iPx vi- Hieraus folgt G1. (21). �9

Herrn Dr. Rainer von Chossy, Universiti i t der Bundeswehr Miinchen, danke ich herzlich fiir die kritische Durchsicht des Manuskr ip ts und fiir seine Diskussionsbeitriige.

L I T E R A T U R

[1] Neuburger, E. : ,,Pensionsriickstellungen: M6gliche Ansfitze aus versicherungsmathematischer Sicht", Bl~itter DGVM 1988, Band XVIII, S. 345ff.

[2] Schr6der, W.: Beriicksichtigung der Fluktuation bei der Ermittlung yon Riickstellungen, BetrAV 1987, S. 113ff., insbesondere S. 119.

[3] Schmauck, U.: Notiz zum Yeilwertverfahren, in: Wegweiser fiir die Altersversorgung, Stuttgart 1986, S. 223ff.

[4] Engbroks, H.: ,,Diskussionsbeitrag zur Bewertung yon Pensionsverpflichtungen", BlOtter DGVM 1989, Band XIX, S. 161ff.

Zusammenfassung

Zur Bewertung von Pensionsverpflichtungen

Ausgehend yon einem stochastischen Ansatz fiir die Bewertung einer Pensionsanwartschaft, der auf dem Grundsatz der Einzelbewertung und der gleichmiiBigen Aufwandsverteilung auf die Zeit zwischen Eintritt in das Unteruehmen und Eintritt des Versorgungsfalles beruht (Forderungen nach HGB), werden durch unterschiedliche Gliittung, also unterschiedliche Bildungen des Erwartungs- wertes der Teilwert nach w 6a EStG und die modifizierten Teilwerte nach Schr6der und Engbroks abgeleitet, sowie die Beziehung des Ansatzes von Schr6der zum Bewertungsansatz von Schmauck und nach FAS hergestellt, auf diese Weise die .~hnlichkeiten und Unterschiede dieser verschiedenen Ansiitze darstellend. Insbesondere zeigt sich, dab die Forderungen nach HGB durchaus von einer Bewertung nach FAS erfiillt werden, wenn der erdiente Anspruch nicht rein zeitratierlich, sondern - leicht modifiziert - unter zus~itzlicher Beriicksichtigung des Zinses angesetzt wird. Einige wenige Beispiele runden die Arbeit ab.

Summary

On the Valuation of Pension Obligations

Pension obligations are valued by a stochastic approach, which is based on the principles of individual identification and equal distribution of pension costs over the total period between the entry to the company and the occurrence of the eventual claim (as required by German commercial law HGB). As a result, with the help of different types of smoothing, i.e. by forming the expected value in different ways, the actuarial reserves according to Section 6 a EStG (German Income Tax Act) and their modification by Schr6der and Engbroks are derived, and the relation between Schr6der's approach on the one hand and the approaches by Schmauck and by FAS rules on the other hand is made clear, thus showing the similarities and the divergencies between these different approaches. As a particular result, it becomes apparent that the HGB requirements are indeed met by FAS valuations, if the accrued pension title is not just service pro-rated but, with a slight modification, defined by taking due account of interest effects. Some few examples complete the paper.

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Documents

Zur bewertung von pensionsverpflichtungen