Zur Differentialrechnung in limitierten Vektorriiumen

Von E. B1NZ und W. MEIER-SOLFRIAN in Zfirich.

Einleitung

In [1] weist H. H. KELLER auf die Schwierigkeiten hin, die bei der Begrfindung einer Differentialrechnung in topologischen Vektorr/iumen auftreten (Definition der h6heren Ableitungen). Zur ~berwindung dieser Schwierigkeiten schlug er vor, eine Differentialrechnung in der umfassenderen Kategorie der limitierten Vektorr/iume [2] aufzubauen, was in den vorliegenden Notizen versucht wird. Man vergleiche auch [7].

Die grundlegenden Begriffe unserer Betrachtungen sind erstens die Ableitung einer Abbildung zwischen limitierten Vektorr/iumen fiber dem K6rper R der reellen Zahlen [3], und zweitens die Limitierung A c der stetigen Konvergenz von Funktionenr/iumen [3], [4], [7].

lm Falle yon Abbildungen zwischen topologischen Vektorr~iumen stimmt der verwendete Differenzierbarkeitsbegriff mit demjenigen von S. LANG [5] fiberein, welcher seinerseits eine Verallgemeinerung des yon J. D1EUDONN~ [6] verwendeten Ableitungsbegriffes ffir Abbildungen zwischen Banachr/iumen darstellt.

Wir betonen, dass nach H. H. KELLER [1] ffir zwei Banachr/iume E und F im allgemeinen A c auf dem Vektorraum ~P(E; F) der p-fach linearen Abbildungen von E P = E x ... x E nach F gr6ber ist als die fibliche Normtopologie.

Im ersten Paragraphen stellen wir die im folgenden verwendeten Begriffe und Aussagen zusammen.

w 1. Definitionen und Hilfssiitze

Seien X und Y zwei Limesr~ume. Auf der Menge ~(X; Y) der stetigen Abbildun- gen von X nach Y ffihren wir die Limitierung A c der stetigen Konvergenz ein [4]. Sie ist unter allen Limitierungen A auf if(X; Y), ffir welche die Evaluationsabbildung

~ Y)A • X ~ Y

stetig ist, die gr6bste; dabei bedeudet ~(X; Y)A • X die mit der Produktlimitierung versehene Menge c~(X; Y) x X. Daher ist A c durch folgende universelle Eigenschaft charakterisiert: Eine Abbi ldungfvom Limesraum S nach ~(X; Y)ao ist genau dann stetig, wenn

o 3 o ( f x i d x ) : S x X ~ Y

stetig ist.

286 E, B I N Z U N D W . M E I E R - S O L F R I A N

Der folgende in [4] bewiesene Satz wird ffir die Theorie der h6heren Ableitungen von Abbildungen zwischen limitierten Vektorr/iumen wesentlich verwendet.

SA'rZ 1. Die nachstehenden Abbildungsriiume seien mit der Limitierung A c der stetigen Konvergenz versehen. Dann sind die kanonischen Abbildungen

c o : ~ P ( E ; F ) • und k : ~ P ( E ; F ) •

stetig. Ausserdem ist c~: ~ " ( E ; F)--* &~ ~ P - 1 (E; F)),

definiert durch u.-~(u) mit (c~(u)(x))(x2,..., xp)=u(x , x2,.. . , xp) fiir alle p-Tupel x, xz .... , xp aus E x E x ... x E ein linearer Hom6omorphismus.

Verm6ge der zuletzt genannten Hom6omorphie werden wir diese R/iume k/jnftig identifizieren.

Sei ~ die Kategorie der limitierten separierten Vektorr/iume E, F, G .... , (siehe [2]); die Menge Cg(E; F) der Morphismen bestehe aus den stetigen Abbildungen von E nach F. F/jr die Objekte E, F, E 1 .... , E,~ ~ sind die Vektorr~iume ~ (E ; F), &~ F), f P ( E ; F), ~ ( E 1 x ... x E,; F) und der Vektorraum La(E1,..., E,; F) der stetigen n-linearen Abbildungen von E 1 x ... x E, nach F, versehen mit A c, selbst Objekte von

~3, [41. Falls im folgenden diese Funktionenr/iume als Limesr/iume aufgefasst werden,

seien sie, wenn nichts anderes vermerkt, stets mit A c versehen. Nach H. R. FISCHER [2] bestimmen die bezfiglich einer zul/issigen Limitierung A

auf dem Vektorraum E stetigen Seminormen yon E nach R eine lokalkonvexe Topo- logie VJ~ auf E. Diese ist die feinste der lokalkonvexen Topologien, welche griSber sind als A. Den Vektorraum E versehen mit O~ bezeichnen wir mit Eo und nennen ihn den zu E assoziierten lokalkonvexen Vektorraum. Alle Objekte aus ~ , deren assoziierte lokalkonvexe Vektorr~iume separiert sind, bilden die Objekte einer neuen Kategorie ~ o mit den stetigen Abbildungen als Morphismen.

LEMMA 1. Fiir E e ~o gilt ("}t~e(E;m Kern l= {0} (vergl. [3, Satz 2.2.15])

LEMMA 2. Seien Ee f~ und F~ f~o; der Vektorraum H c 9~(E; F) sei mit der yon

A c induzierten Limitierung versehen. Dann ist H e ~o. Der Beweis verl/iuft analog demjenigen von Satz 2.2.19 in [3]. Somit sind f/Jr Fe ~o alte oben genannten Funktionenr/iume ebenfalls Objekte

von ~ o.

DEFINITION. Eine Menge U c E heisst often, wenn U fiir jedes x~ U zu allen gegen x

konvergierenden Filtern auf E geh6rt. Aus obigem folgt, dass jede in E o oftene Menge auch in E often ist. Wir bezeichnen die Filter auf einer nichtleeren Menge mit #, ~u ..... Die untere

Zur Differentialrechnung in limitierten Vektorr/iumen 287

Grenze zweier Filter q~ und T bezeichnen wir mit �9 ^ T ; for den Nul lumgebungs- f l te r in R schreiben wir q~o.

FOr eine Zahl 6 > 0 sei [ - 6 , 6] = { 2 e R [ - 6 < _ 2 < 6 } . Die im folgenden auftretenden a seien Abbi ldungen von [ - 6 , 6] nach R mit lim ~ o a().)/,~ = 0 und a ( 0 ) = 0 .

DEFINITION. Sei U c E eine den Nullpunkt enthaltende offene Menge. Eine an der Stelle OeE stetige Abbildung r: U ~ F heisst ein Restglied, fal ls es zu jedem in E gegen 0 konvergenten Filter q) einen in F gegen 0 konvergenten Filter 7" gibt, welcher der folgenden Bedingung (B) geniigt: (B) Z u j e d e m UetP existieren ein Meq~ und ein a derart, dass r ( ~ . M ) c a ( 2 ) . U f i ir

alle , ~ e [ - 6 , 6].

LEMMA 3. Seien U c E eine den Nullpunkt enthaltende offene Menge und r: U-~F ein Restglied. Fiir eine stetige lineare Abbildung I: F ~ G ist lor: U ~ G ein Restglied.

Beweis siehe [3], L e m m a 3.4.12.

LEM~A 4. Eine Abbildung r = ( r 1 ... . , r,) yon einer offenen, den Nullpunkt ent- haltenden Menge U c E in das Produkt F a x F2 x ... x F , = F von limitierten Vektor-

riiumen Fi ist genau dann ein Restglied, wenn alle ri: U ~ F i Restglieder sind. Beweis: Seien die r i ( i = l . . . . , n ) Restglieder; d a n n i s t r=(r l , r2,... , r,) stetig in

0 e U . Zu jedem gegen 0 e E konvergenten Filter ~ auf U existiert ein gegen 0eF~ konvergenter Filter 7"i derart , dass die Bedingung (B) gilt; nach [3], Bemerkung 3.1.5, kSnnen wir jedes 7"i in der Fo rm 7"~ = 7"~/x r 7"~ annehmen.

Nun betrachten wir den Filter 7 /= 7"~ • 7"2 x ... x 7", auf F. Eine Menge M e 7' umfasst ein Element aus 7' v o n d e r Fo rm (N, w [ -e~ ,e~] .Nx) x .-. x ( N , w [ - e , , ~,]" N,), wobei der i-te Fak to r je in 7"~ liegt. Setze e = m i n i=1 ...... (el, 1). Nach Definition des Restgliedes finden wir zu jedem Element N~ w [ - e, e]. N~ ein Mz aus �9 und eine Abbi ldung a~ : [ - 6~, 6,] ~ R , so dass r(2. M~) ~ a~(2) �9 (N~ w [ - a, ~]-N~) ffir alle 2e [ - 6, 6], wobei [ - 6, 6] der Durchschni t t aller Definitionsbereiche der ag ist. Setze M = 07= 1M/�9 D a n n gilt

r ( 2 " M ) = a,(2) (N~ u [ - e, a] . N,) = a , (2) ' (N, ~ [ - e,, ei] . N,)

ffir alle 2 e [ - 6 , 6]. Wir definieren die Funkt ion a( ) . )=(1 /e ) 'max a~(2) ffir i = 1 , ..., n und 2 e [ - 6 , 6]. Daraus folgt

for alle i = l , . . . , n. Daher gilt

r ( 2 . M ) : = (r , . . . . , r ,) ( 2 .M) c rl () , .M) • -.. x r , ( J , .M) c

= a ( 2 ) ' [ ( N , u [ - e , e ] 'N1) x .-. • (Nnw [ - e , e ] ' U , ) ] c a ( ) , ) . N ,

also ist r e i n Restglied.

288 E. B I N Z U N D W . M E I E R - S O L F R I A N

Sei umgekehrt r = ( r 1 ..... r,) ein Restglied, Schreiben wir pri ffir die i-te Projek- tion, so folgt aus Lemma 2, dass r i =pr ior ein Restglied ist; q.e.d.

DEFINITION. Sei U c E eine offene Menge. Fine Abbildung f : U ~ F heisst differen- zierbar an der Stelle x ~ U, falls es ein l~ .~ (E; F) und ein Restglied r: ( U - x) ~ F derart

gibt, dass f ( x + h) - f ( x ) = lh + r (h) f i ir alle h ~ U - x gilt. Df(x): = l heisst die Ableitung yon f an der Stelle x e U. Wenn f in allen Punkten einer Teilmenge M c U differenzierbar ist, so heisst f

differenzierbar in M; ist M = U, so heisst f differenzierbar. F/Jr eine an der Stelle x differenzierbare Abbildung f ist nach [3, Satz 4.1.2] die

Ableitung Df(x) eindeutig bestimmt. Daher induziert eine in M ~ E differenzierbare Abbildungf: E - ~ F eine Abbildung Df: M ~ ( E ; F). Wir nennenfstetig differenzier- bar in M, wenn D f stetig ist.

LEMMA 5. Fiir eine offene Menge U ~ E sei f : U ~ F an der Stelle x ~ U differenzier- bar. Dann ist auch f : U ~ F o an der Stelle x differenzierbar und die Ableitungen sind identisch.

Beweis: siehe [3, Lemma 3.1.4.]. Unmittelbar aus obiger Definition folgt

LEMMA 6. Eine stetige lineare Abbildung l: E ~ F ist stetig differenzierbar und es ist

DI(x) = l f i ir jedes x ~ E .

LEMMA 7. Eine stetige n-lineare Abbildung u :E x x ... x E , ~ F ist stetig differenzier- bar und es gilt

D u ( x 1 . . . . . Xn)(h, . . . . . hn) = ~, u ( x l . . . . . x i -1 , hi, xi+, . . . . . Xn). i = 1

Der Beweis folgt leicht aus der Tatsache, dass jede stetige n-lineare Abbildung f/Jr n> 2 ein Restglied ist.

Als S/itze 4.4.4 und 4.4.5 werden in [3] folgende zwei S/itze bewiesen:

LEMMA 8 (Kettenregel). Fiir die offenen Mengen U ~ E und V = F seien die Ab-

bildungen f : U ~ F mit f ( U ) ~ V und g: V ~ G an der Stelle x ~ U bzw. f ( x ) E V differen- zierbar. Dann ist g ~ an der Stelle x differenzierbar und es gilt

D (g of) (x) = Dg ( f ( x ) ) ~ Df(x).

LEMMA 9 (Mittelwertsatz). Sind Xo, x l e E fes te Vektoren und f : E ~ F stetig in

{Xo + t ( x l - x o ) l O < t < 1} und differenzierbar in {Xo + t ( x l - x o ) l O < t < 1}, dann gilt

f i ir I~.L#(F; R) und ein gewisses x(O) aus {Xo + t ( x 1 - X o ) ] 0 < t < 1}

l ( f ( x ~ ) - f ( x o ) ) = [l ~ D f ( x (oa))] (xl - Xo).

Zur Herleitung der Restgliedformel des Taylorschen Polynoms ben6tigen wir den

Zur Differentialrechnung in limitierten Vektorr/iumen 289

Begriff des bestimmten Integrals b b

a a

einer stetigen Abbildung q~ yon [a, b ] c R nach einem lokalkonvexen separierten Vektorraum F. Diesen Begriff iibernehmen wir yon H. H. KELLER [8] und notieren lediglich folgende Eigenschaften:

1) Falls F nicht vollst/indig ist, liegt S.bq~ in der vollst/indigen Hfille ff yon F. Ist q~: [a, bl~F stetig differenzierbar, so gilt r

2) Seien r ~b:[a, b]~F stetig und 2~R; dann gilt

b b b

a a a

3) Seien ~p: [a, b]-+F stetig und u eine stetige lineare Abbildung yon F in einen separierten lokalkonvexen Vektorraum G; dann gilt

b b

a a

dabei bedeutet t~:ff-,~, die eindeutig bestimmte stetige Fortsetzung yon u auf die vollst~indige Hfille ff yon F.

w 2. HiJhere Ableitungen

2.1. Definitionen

Sei f : U--*F eine differenzierbare Abbildung einer offenen Menge UcE nach F; es existiert somit die Abbildung D l f = D f : U--.S~(E; F), definiert dutch x,-*Df(x).

Sei DP-l f : U ~ ' - I ( E ; F) definiert und differenzierbar im Punkte xe U. Dann heisst die Ableitung von D P - l f im Punkte x die p-te Ableitung DPf(x)e..~P(E; F) von f an der Stelle x.

Existiert D~f(x) ffir aUe xe U, so wird DPf: U~P(E; F) eine Abbildung definiert durch x,--~DPf(x). Die Abbildungf: U--*F heisst p-fach differenzierbar, wenn DPf(x) existiert ffir alle xe U. Ist zudem D~f: U~P(E; F) stetig, so heisst f stetig p-fach differenzierbar.

Es existiere fiir f die (p + q)-te Ableidung an der Stelle x. Man zeigt wie fiblich, dass

D q (DPf)(x) = D ~ + qf(x).

290 E. B I N Z U N D W . MEIER-SOLFRIAN

Mit cgv(U; F) bezeichnen wir die Menge der p-fach stetig differenzierbaren Ab- bildungen von U nach F. Eine Abbi ldung f e a r ( U ; F) nennen wit auch eine cgp_ Abbi ldung oder v o n d e r Klasse c~p.

2.2. Symmetrie der h6heren Ableitungen

LEMMA 10. Sei U c E eine konvexe offene Umgebung yon x und FEY~ o. Wenn f : U--, F zwei-fach stetig differenzierbar ist, dann ist

DZf(x) : E x E --+ F

eine bilineare symmetrische Abbildung. Der Beweis verl~iuft fast wSrtlich gleich wie derjenige von F. und R. NEVANLINNA

[9, pp. 85/85], man hat lediglich anstelle der Aufgabe 4 in 1.3.10 unser L e m m a 1 zu benfitzen.

SATZ 2. Sei U c E eine konvexe offene Umgebung yon x und feWv(U; F), wobei Fe f~o. Dann ist DPf(x) symmetrisch.

Der Satz folgt aus L e m m a 10 durch vollstS.ndige Indukt ion nach p, siehe z.B. [6, p. 177].

2.3. SATZ 3. Sei f = { f l , . . . , f , } eine stetige Abbildung einer offenen Menge U c E in das Produkt F1 x F 2 x ... x F, yon limitierten Vektorriiumen F i. Die Abbildung f i s t genau dann eine cgP-Abbildung, wenn alle fi yon der Klasse cgp sind, und es gilt D P f =

= {D"f l , . . . , DPf~}. Beweis: Seien alle fl yon der Klasse WP, also existieren Restg}ieder r i : (U-x)- -*F i

derart , dass f , ( x + h) - f i ( x ) = Dfi (x)h + ri(h)

ffir alle h e U - x und i = 1 . . . . . n. Weiter gilt

f ( x + h) - f ( x ) = {fa (x + h) - f l (x) . . . . . fn(X + h) - - f , ( x )} = = {Dfl (x) h + r ,(h) . . . . . D f , ( x ) h + r , (h)} =

= {Df l (x ) . . . . . Df , (x)} h + ( r , , ..., r ,) (h) = = D f ( x ) h + r (h).

Nach L e m m a 4 ist r=(r~ ... . . r,) ein Restglied und d a h e r f E ~ ( U ; F). Ist u m g e k e h r t f e c g ~ (U; F), so ist jedesf i =pr~ofnach L e m m a 8 yon der Klasse ~ t ,

und der Satz ist ftir p = 1 bewiesen. Aus einer nun leicht auszuftihrenden Indukt ion nach p folgt die Aussage des Satzes.

Aus L e m m a 7 folgert m a n miihelos

LEMMA 11. Sei u: E 1 x E 2 • " . x E,--+ F eine stetige n-lineare Abbildung. Dann ist u beliebig oft stetig differenzierbar und es ist D" +*u =0.

Weiter gilt der

Zur Differentialrechnung in limitierten Vektorrfiumen 291

SATZ 4. Seien U = E eine offene Menge, f~c~P(U; F) und I~SF(F; G). Dann ist lo f yon der Klasse (EP und es gilt DP(lof)(x)=lo DV(x).

Beweis: Aus D(lof) (x )=Dl ( f (x ) )oDf(x )= loDf(x ) folgt die Behauptung ffir p = l . Wir definieren c : U ~ ( F ; G) durch x--~l. Als Induktionsvoraussetzung sei lo f yon der Klasse ~p-1 u n d e s gelte DP-I ( I~ d.h. folgendes Diagramm ist kommutativ:

U

D'-'(t of) [__ Dabei ist k(l, m)=lom; es gilt somit

c x D p- i f ~. c~ (F; G) x Gd 'v- ' (E; F)

I

~- ~op- l (E ; G)

DP-~(I of) (x) = k (c(x) , D r - ' f ( x ) ) .

Mit Hilfe der Kettenregel (Lemma 8) und Lemma 7 schliessen wir

D p- ' (l of) (x) h = D (D p- ' (l of)) (x) h = = D k (c (x), D p- ' f ( x ) ) ~ (Dc (x), DPf(x)) h = = k (c (x), DPf(x) h) = l ~ DPf(x) h, q.e.d.

2.4. SATZ 5. Seien U c E und V c F offene Mengen. Wenn die Abbildungen f: U-*F mit f ( U ) c V und g: V ~ G yon der Klasse c~p sind, dann ist auch go f eine c~v- Abbildung.

Beweis: Nach Lemma 8 haben wir zun~ichst

D (g of) (x) = Dg ( f (x ) ) o Df(x) = k ((Dg of) (x), Df(x)),

d.h. ffir p = 1 ist der Satz richtig. Ffir eine Induktion nach p setzen wir voraus: Sind zwei Abbildungen i und j vonde r Klasse ffP-1, so ist die Abbildung i o j, falls sie existiert, ebenfalls vonder Klasse cgp-~. Mit i = D g und j = f folgt, dass Dg~ eine W~ ist. Nach Satz 3 existiert somit D p- l(Dgof, Df). Die bilineare Ab- bildung k (Komposition) ist nach Lemma 11 beliebig oft stetig differenzierbar, also ist k(Dgof, D f ) = D(gof) nach Induktionsvoraussetzung eine ~P-1-Abbildung. Dar- aus folgt die Behauptung.

Mithilfe von Satz 5 und Lemma 11 beweist man leicht

SATZ 6. Seien U c E often und f : U ~ ( E ; F) und g: U ~ ( F ; G) vonder Klasse ~P; dann ist die Abbildung k (g , f ) : U--*C~(E; G), definiert durch k ( g , f ) (x)=g(x)of (x) , ebenfalls vonder Klasse c~p.

Ffir den festen Raum G betrachten wir die mit der Limitierung A cder stetigen Konvergenz versehenen R/iume cgP(G; E) und ffP(G; F). Ffir die stetige lineare

292 E. B I N Z U N D W . MEIER=SOLFRIAN

Abbildung l: E---,F definieren wir

/.:cgP(G; E ) ~ ~P(G; F) dutch

/ ,(g) = log,

und ffir die ~P-Abbi ldungf :E~F sei

f*:c~P(F; G) --* ~P(E; G)

definiert durchf*(g)=gof . Sowohl I, als a u c h f * sind stetige lineare Abbildungen und daher gilt

LEMMA 12. Die Abbildungen l, und f* sind yon der Klasse PP. Mit ~P bezeichnen wir die Kategorie der limitierten separierten Vektorr~iume

E, F, G ..... mit den ~P-Abbildungen als Morphismen. Ffir ein festes G ~ p zeigt Lemma 12, dass folgende Zuordnung ein kontravarianter Funktor von ~P in sich ist:

f ~ P ( E ; F ) " ) f * e ~ P ( ~ P ( F ; G), ~P(E; G))

LEMMA 13. Seien U ~ E und V~ F often, f: U--) G und g: V--) H yon der Klasse <gP, dannist auch ( f x g): U• V---)G x H eine cKP-Abbildung.

Beweis: Zun/ichst ist Ux V often und es gilt

( f x g) (x + h, y + k) - ( f x g) (x, y) = ( f ( x + h), g(y + k ) ) - ( f ( x ) , g(y)) = = ( f ( x + h ) - f ( x ) , g(y + k) - g(y)) = (Df(x) h, Dg(y) k) +

+ (r I (h), rg (k)) = (Df(x) x Og (y)) (h, k) + (r/. x rg) (h, k).

Analog dem Beweis von Lemma 4 zeigt man, dass

(r I x r g ) : ( U - x) x (V - y)-->G x H

ein Restglied ist. Die lineare Abbildung Df(x)x Dg(y) k6nnen wir daher rnit D ( f x g ) (x, y) bezeichnen. Die Induktion nach p liefert die Behauptung.

Daraus folgt mit Hilfe der Kettenregel (Lemma 8) der

SATZ 7. Fiir eine oftene Menge U~G sei f: U--*~(E; F) eine ~P-Abbildung. Dann ist auch

f = co~ x id): U x E-+F mit f (x , y) = f ( x ) (y)

yon der Klasse c~p. Wobei o):~('(E; F ) x E--)F die Evaluation bezeichnet.

Wir halten noch fest:

SATZ 8. Fiir eine offene Menge U c E ist c~P(U; R) e& Ring und c~P(U; F) ist ein Modul iiber dem Ring c~P(U; R).

F/Jr p = 1 steht der Beweis in [3], die Induktion nach p ist trivial.

Zur Differentialrochnung in limitierten Vektorr/iumen 293

w 3. Die Taylorsche Formei

Seien E und F Objekte aus ~o, der Kategorie der limitierten Vektorr/iume, deren assoziierte lokalkonvexe Vektordiume separiert sind. Zudem habe E folgende Eigen- schaft:

(A) Zu jedem gegen OeE konvergenten Filter 4 existiert ein gr6berer (nicht notwendig echt) gegen Null konvergenter Filter 4' mit einer aus ausgeglichenen Mengen bestehenden Basis.

Eine Teilmenge M c E heisst ausgeglichen, falls ffir jede reelle Zahl 8 mit 1~91 < 1 die Beziehung oa. M c M gilt.

Wir geben noch ein Beispiel eines limitierten nicht-topologischen Vektorraumes in ~0, der die Eigenschaft (A) besitzt. Dazu seien Ge ~o ein lokalkonvexer und H ein nicht-normierbarer lokalkonvexer Vektorraum. Dann ist ~ ' (H ; G) nach Lemma 2 in ~o und nach [1] nicht topologisch und, so behaupten wir, hat die Eigenschaft (A).

Beweis. Sei F ein gegen 0e-L~'(H; G) konvergenter Filter mit einer Basis, deren Elemente den Nullpunkt enthalten. D.h. ffir jeden gegen x o e H konvergenten Filter 4 konvergiert F (4): = co (F x 4) gegen Null in F; dabei bedeutet co: 5r G) x H-* G die Evaluation. Sei T e F und T={~9.lloaeR, 1,91-< 1, leT}. 7" ist ausgeglichen. Sei /~ der yon der Filterbasis, bestehend aus den T mit TeF, erzeugter Filter. Es gilt _P < F. Wir zeigen, dass/~ gegen Null konvergiert. Dazu w/ihlen wir einen beliebigen in H gegen x 0 konvergenten Filter 4, und der Nullumgebungsfilter in G sei T. Sei P e ku ausgeglichen. Dann existieren ein TeF und M e 4 derart, dass P ~ T ( M ) . F/Jr jedes 8e R mit 101-< 1 und l e T i s t (0"l) (x )eP fiir alle x e M . Daraus folgt P ~ T ' ( M ) und F konvergiert gegen Null.

Ffir einen festen Vektor x o ~ E sei i: R--*E definiert durch t ~ t . x o. Dann folgt aus [3, Satz 2.1.5], dass auf i ( R ) c E die natfirliche Topologie induziert wird.

DEFINITION. Sei U c E eine den Nullpunkt enthaltende offene Menge. Eine an der Stelle OeE stetige Abbildung G: U ~ F heisst ein Restglied n-ter Ordnung, falls es zu jedem in E gegen Null konvergenten Filter 4 einen in F gegen Null konvergenten Filter T gibt, welcher folgender Bedingung geniigt:

Zu jedem N e T existieren ein M e 4 und eine Abbildung a": [ - 5 , 6 ] ~ R mit

derart, dass

lim ~ - - = 0 und a"(O) = 0 A--*O

M) N fiir alle 2 e [ - 5, 6].

Bemerkung. Falls E ein normierter und F ein limitierter separierter Vektorraum

294 E. B I N Z U N D W . MEIER-SOLFRIAN

ist, so gilt ffir ein Restglied r,, der Ordnung n:

r,,(h) lim - 0 .

llhll ~ o ]]h]]"

Der Beweis verl/iuft wie ffir n = 1 in [3 ; (3.2.d)]. Ffir das n-Tupel (h . . . . . h) schreiben wir im folgenden h (").

SATZ 9. Fiir eine offene konvexe Umgebung U c E yon x e E sei f : U--*F eine W"- Abbildung. Dann gilt fiir h~ U - x

wobei

Df(x ) h D(, - 1)f(x) h (.- 1) f ( x + h) = f ( x ) + - - + . . . + + R,,(h),

1! ( n - 1 ) !

1

R,(h) = f (1 - !)~ ' J o

D"f(x + th) h (") dt,

berechnet in Fo, und die Abbildung R, : ( U - x ) ~ F ist ein Restglied n-ter Ordnung. Die Di f ( x ) sind fiir jedes xe U symmetrisch.

Beweis: Aus F e ~ o folgt nach Lemma 2, dass ~ P ( E ; F ) e ~ o und daher auch W(E; s F ) ) e ~ o ffir p = 1, 2 . . . . . n. Ffir x, x + h e U und [0, 1] = I betrachten wir die Abbildungen i : I ~ E, definiert durch i( t ) = x + t h, und ~p =fo i : I-~ F. Die Abbildung q~ ist stetig differenzierbar; sie ist abet auch als Abbildung in den assoziierten lokal- konvexen Vektorraum Fo von der Klasse cr (Lemma 5). Nun gilt D~p(t)dt= = D f ( x + t h ) h d t . In F o ist somit

t

( t )= i 'Df(x + zh) h dz tp

0

und 1

f ( x + h) = f ( x ) + f D f ( x + Th) h d r 0

Wir schliessen von p auf p + 1. Dazu gelte f f ir p < n - 1

Df(x ) h D ' P - ' ) f ( x ) h (p-I~ f ( x + h) = f ( x ) + - - + . . . + 1! ( p - 1)!

1

_ ~(1 - t ) P - l D V f ( x + th) h (") dt +j (p- 1)!

0

+

Zur Differentialrechnung in limitierten Vektorr/iumen 295

wobei das Integral zun~ichst in der vollst/indigen Hfille fro von Fo existiert; aber aus der Darstellung

Df(x) h DP- i f (x) h (p-l) gp(h) = f ( x + h) - f ( x ) . . . . . . .

l! ( p - 1)!

folgt, das der Weft des Integrals in F 0 liegt. Nach Satz 2 sind die Dif(x) ffir jedes xe U symmetrische multilineare Abbildungen. Sei le~,f~(F; R), dann gilt

1 1

l LJ ( p - ). = 3 (p_~r . l [DPf (x+th ) dt 0 0

1

= (1 P!- t)P.l[DPf( x + th)h~P)]~ § t)Pl[DP+lf(x + th) h tp*l)] dt

0 1

P

0

und aus Lemma 1 folgt die Richtigkeit der ersten Behauptung. Aus der Darstellung

D'- i f (x) h (n- l) R.(h) = f (x + h) - f ( x ) . . . . .

(n -- 1)!

folgt, dass R n : ( U - x ) ~ F eine ~n-Abbildung ist mit der Eigenschaft

gn(0) = Dgn(0) = DERn(0) . . . . . On R,(0) = 0.

Aus Rn(0)=DRy(0)=0 und der Definition der Ableitung folgt, dass R~ ein Restglied erster Ordnung ist. Sei als Induktionsvoraussetzung Rn ein Restglied der Ordnung p<_n-1. Zun~ichst folgt daraus wie ffir p = 1, dass auch DR~:(U-x)~ ~ ' (E; F) ein Restglied p-ter Ordnung ist. D.h. zu einem in E gegen Null konvergenten Filter gibt es einen in ~ ( E ; F) gegen Null konvergenten Filter t/,, so dass zu jedem Ne ein M e ~ und ein a p existieren mit der Eigenschaft

DR~(), 'M) ~ aP(2)'S fiir alle 2 e l - ~, ~].

Den Filter r ersetzen wir durch den nach Voraussetzung existierenden gr6beren Filter c/,' mit einer aus ausgeglichenen und den Nullpunkt enthaltenden Mengen bestehenden Basis. Wir denken uns obigen Filter T auf ~ ( E ; F) derart bestimmt, dass zu jedem Ne ~ ein M'eq~', wobei M ' ~ U - x , und ein a p existieren mit

DR~ (2" M') ~ a v (2)" N fiir alle 2 E [ - 6', 6 ' ] .

M' kann insbesondere als ausgeglichen angenommen werden. Nun w~ihlen wir den

2 9 6 E. BINZ UND W. MEIER-SOLFRIAN

gegen Null konvergenten Filter F in F als F =o9(~ x ~') , wobei c o : ~ ( E ; F) • E - ~ F

die Evaluation bezeichnet. Nach dem Mittelwertsatz (Lemma 9) und Lemma 1 gilt

R, (h) = DR, (9"h) h mit 0 < 8 < 1.

Wir w~ihlen ein Element aus F v o n d e r F o r m

N (M') : = o9 (N • M' )

mit obigen Elementen N~ 71 und M'~q~' . Dann gilt ffir jedes h e M ' :

n . ( 2 . h ) = D R . ( 8 . 2 . h ) 2 . h ~ 2 . D R . ( 2 . M ' ) M ' c 2 . a P ( 2 ) . N ( M ')

ffir alle 2 ~ [ - 6 ' , 6 ' ] ; dabei verwendeten wir ffir die mittlere Relation die Ausge- glichenheit yon M '. Wir haben

R n ( 2 " M ' ) c 2 " a P ( 2 ) ' N ( M ' ) fiir alle 2E [ - 6', 6'-].

Zu M ' ~ ' existiert ein M ~ mit M c M ' und damit gilt erst recht

R, (2. M) ~ 2. a p (2). N (M') fiir alle 2 ~ [ - 6', 6'].

Also ist R, ein Restglied der Ordnung p + l und die Abbildungen aP:[ -6 , 6 ] ~ R haben die F o r m a ~p + 1) (2) = a p (2). 2 = a ' (2)" 2 p.

LITERATUR

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[10] H. H. KELLER, Differenzierbarkeit in topologischen Vektorriiumen, Comment. Math. Helv. 38 (1964), 308-320.

Eingegangen den 15. Aug. 1966