Zur Durchfuhrung des Tom on a g a - Verfahrens in einer skafaren Modefftheorie

Von K laus M e y e r

Inhaltsiibersicht Das Tomonaga-Verfahren wird dazu benutzt, den Grundzustand eines

einfachen Systems (skaleres Mesonfeld, skalar gekoppelt an ein skalares Quellteilchen) sowie die effektive Masse des ,,angezogenen" Quellteilchens zu bestimmen. Es zeigt sich, daB man ein Resultat erhalt, das fur sehwache Kopplung mit dem der Storungstheorie 2. Ordnung ubereinstimmt.

Die Behandlung gekoppelter Felder mit Hilfe der Storungstheorie fur schwache Kopplung stoRt auf zwei wesentliche Schwierigkeiten : Es ist niehr- fach gezeigt worden, daB die so gewonnenen Reihen nach Potenzen der Kopp- lingskonstanten divergieren, gelegentlich ,hat man vermutet, darj sie senii- konvergent sind1). Wenn die letzte Vermutung zutreffen sollte, sind von diesen Entwicklungen hochstens die ersten Glieder fur sehr kleine Kopplungskon- stanten brauchbar. In einigen wichtigen Fallen ist aber diese Voraussetzung nicht erfullt, und zwar bei der Kopplung von Nukleonen an das Mesonfeld oder bei der Kopplung von Elektronen an das Phononenfeld im Festkorper. Um dieser Schwierigkeit auszuweichen, hat man sich bemuht, andere Methoden zu entwickeln, die keinen Gebrauch von der Entwicklung nach Potenzen der Kopplungskonstanten machen. Tom onaga2) hat ein einfaches Variations- verfahren angegeben, das in verschiedenen Fallen in mehr oder weniger ab- geanderter Form Anwendung gefunden hat 3).

In der vorliegenden Arbeit, die sich eng an eine Arbeit von Heber4) an- schlieBt, sol1 dieses Verfahren auf ein einfaches Modell angewendet Ti-erden, das die zugehorigen Rechnungen ohne groBere Schwierigkeiten durchzufuhren gestattet, so daB sich leicht ein genauer Oberblick iiber die Tragweite des Verfahrens gewinnen 1aBt. Besonderer Wert wird auf eine methodisch Hare Darstellung gelegt. Das behandelte Modell ist ein skalares reelles Mesonfeld, skalar gekoppelt an eine skalare, langsam bewegte Quelle. Das Ziel der tfber- legungen ist die Bestimmung der Energie des Grundzustands, sowie der effek- tiven Masse des ,,angezogenen" Quellteilchens im Grundzustand fur kleine Gesamtimpulse des Systems.

l) Siehe etwa W. T h i r r i n g , Helv. phys. Acta 26, 33 (1953); F. J. D y s o n , Physic.

a) S. T o m o n a g a , Progr. Theor. Phys. 2, 6 (1947). 3) Siehe dazu etwa die in 4 ) angegebene Literatur. 4 ) G . H e b e r , Ann. Physik 6. Folge, 15, 157 (1965).

Rev. 85, 631 (1951).

K . Meyer: Tomonaga- Verfahren in einer skalaren Modelltheorie 105

Q 1. Vorbemerkungen Das benutzte Modell wird beschrieben durch den Hami l tonoperator

~~

cuf = l/p2 + k2, p Ruhemasse des Mesons; g Kopplungskonstante V Nor- mierungsvolumen ; H Ruhemasse des Quellteilchens ; u:, at Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren eines Mesons im Zustand f mit

[a€, GI = dtr.9 [a?, a;] = [ar. ar-I = 0, p Impuls- und 1: Ortsoperator des nackten Quellteilchens. Der der Nullpunkts- energie entsprechende Term ist als belangslos weggelassen worden. Ferner ist 6 = 1, c = 1.

Bekanntlich treten als Resultat der Storungstheorie fur schwache Kopp- lung divergente Ausdrucke auf, die sich auch in einer ,,intermediate-coup- lings-Theorie" nicht vermeiden lassen. Um dieser Schwierigkeit zu ent- gehen, versuchen wir, alle Summen oder Integrale an einer oberen Grenze abzuschneiden. Als Abschneideradius wahlen wir die Nukleonenruhemasse x. Dies entspricht auch der konsequenten Durchfuhrung des angenommenen nichtrelativistischen Modells, da dann sehr grol3e Impulse des Quellteilchens keinen wesentlichen Beitrag zum Resultat ergeben.

Zur Bestimmung der effektiven Masse des angezogenen Quellteilchens wird spater die Energie des Grundzustands in der Form

entwickelt. E, ist die vom Gesamtimpuls Ti3 des Systems unabhangige Selbst- energie, x* dann direkt die effektive Masse fur kleine ITi31, die fur gro13ere (Ti31)31 als Funktion von 12331 anzusehen ware.

Man hat sich noch klar zu machen, da13 diese Definition einen vernunftigen Sinn hat, da13 x* eine dem Experiment zugangliche Gro13e ist. Das ist fur schwache Kopplung leicht einzusehen, wenn man annimmt, dal3 ein einfacher Grenzfall schwacher Kopplung existiert. Wir betrachten die tiefsten Zustande von (I) fur g = 0. Der tiefste Zustand ist gegeben durch

,i 22 t 2 3 2 Yo = @, .~ mit der Energie Ea = - V V 2r :

(Q0 lTakuumzustand des Mesonenfeldes), dariiber liegen die Zustande

mit einem Meson vom Impuls f im Feld usw. Der Grundzustand des Feldes liegt also um die Ruheenergie des Mesons unter den angeregten Zustanden. Schalten wir nun die Storung ein, indem wir g von Null an langsam wachsen lassen, tritt eine Absenkung der Niveaus bzw. Aufspaltung entarteter ein, die aber im Grenzfall schwather Kopplung sicher nicht zu einer Uberlappung der gesamten, sich auf dem Grundzustand aufbauenden Energieflache durch die Energieflachen fuhrt, die sich auf den angeregten Zustanden nullter

106

Naherung aufbauen, insbesondere nicht in der Umgebung des Minimums. Somit laljt sich die effektive Masse 3t* etwa dadurch messen, daB man das Ver- halten des Systems in einem homogenen auBeren Kraftfeld untersucht.

Annalen der Physik. 6. Folge. Band 18. 1956

§ 2. Formulierung und Durchfiihrung der Naherungsmethode Die Methode von Tomonaga geht von der Tatsache aus, dalj die Eigen-

funktion des tiefsten Zustands von (1) durch ein Extremalprinzip

6 (Y /HI Y ) = 0

(!?I Y ) =: 1 mit der Nebenbedingung

definierbar ist. Wollte man dieses Variationsprinzip streng durchfuhren, so hatte man alle Vergleichsfunktionen

zur Konkurrenz zuzulassen, die der Nebenbedingung (2) geniigen und unter diesen diejenige herauszusuchen, die den Erwartungswert von H zum Minimum macht. 'B ist wie oben der Gesamtwellenzahlvektor des Systems Nukleon- Mesonen.

Die Naherungsmethode von Tomonaga besteht nun darin, dalj man den Bereich der zur Konkurrenz zugelassenen Vergleichsfunktionen erheblich einengt, indem man statt (3) den Ansatz

macht. (4) ist wie (3) Eigenfunktion des Gesamtimpulsoperators

b = P + , ; f a I * a b

der mit dem Hamiltonoperator (1) kommutiert und soll (2) geniigen. Von den f ( f ) wird nur verlangt, daB

2 f* (f) f ( f ) = N 2 ( 5) I

gelten soll, wobei N cine beliebige positive Zahl sein kann. Der Ansatz (4) bedeutet, daB sich alle Mesonen in den gleichen, durch f (f) bestimmten Zu- standen befinden. Bei der Durchfuhrung des Variationsverfahrens werden nun die c, und die f (t) als Variationsparameter aufgefaot, die so zu bestim- men sind, daB der mit (4) gebildete Erwartungswert zum Minimum wird.

Man erhalt zunachst fur diesen

1 92) + n (n - 1) N" . c, . - * - 2 % ~ 4 j

K . Meyer: Tomonaga- Verjahren i n einer skalaren Modelltheorie

mit If‘ = r f W € f* (t) f (t), 9 = 2 f f f* (f) f (f) ,

Es ist nun zweckmaoig, neue Gro13en einzufuhren durch

( 7 ) y’ = 1 cn = NnC,, w’=_ w 9’ ~ 2 ‘ = K 2

N2 ’ N 2 2 Arz 3 ” damit erhalt man

Dieser Ausdruck wird zunachst zum Minimum gemacht unter der Neben- bedingung ( 2 ) , die wegen ( 5 ) und (7) die Gestalt hat

(8) 00 c c; c, = 1.

n=O

Fuhrt man die Variation der C, und C,* durch, so erhalt man fur die C, unter Berticksichtigung von (8)

Hier kann man den Beweis fiihren, da13 man y ohne Beschrankung der All- gemeinheit reel1 wahlen kann, W‘, 9’ und K2’ sind es sowieso. Man fuhre neue Koeffizienten Ch ein durch

die ebenfalls der Normierungsbedingung genugen. Wenn man in (9) durch ($!)n dividiert und statt Ch w-ieder C, schreibt, kann man (9) als eine

Schrodingergleichung @ !# = E Y mit dem Hamiltonoperator 1 1 B2 9 ‘ 2

43 = ( w + K2’ - ; B 9’) A* A + y ’ ( A + A*) + 2x + (A*)2 A2 ( 10)

und cler Zustandsfunktion 03

Y = 2’ Cn@, n=O

interpretieren. A* und A sind Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren. deren Wirkungsweise durch

- A*@, , = I n + I@n+l, A @ , = A @ , = O

definiert ist. Die Einfuhrung dieser neuen Operatoren ist zweckmafiig, da sich auch das System von Differenzengleichungen (9) nicht streng losen lafit und

108 Annalen der Physik. 6.Folge. BannE18. 1956

man darauf angewiesen ist, dies naherungsweise durch Storungsrechnung zu tun.

Dazu wird gesetzt @ = @o + @‘

8’ = - -&. ,ili3 R’ A” A + - (A*)2 A2. mit

(11) 1 9 ’ 2

2 %

Damit nun die beabsichtigte Storungsrechnung durchfiihrbar wird, n ird angenommen, da13 lR’l + 0 fur 12331 -+ 0. Diese Zusatzannahme, die neben dem Ansatz (5) die einzige des Naherungsverfahrens ist, wird sich als vertraglich rnit dem Formalismus des Naherungsverfahrens erweisen. Nunmehr kann man @’ unter Beschrankung auf kleine I ,ili3 I als kleine Storung ansehen und erhalt fur den tiefsten Eigenzustand von (10) in erster Naherung

mit

und

in nullter Naherung. Unter Beriicksichtigung von (7) erhalt man aus (12)

Die Normierung von f (f) spielt also fur das Resultat keine Rolle. Dieser Umstand wird sich bei der Variation von f (f) als niitzlich erweisen, insofern als man nun keinen weiteren Lagran geparameter einzufiihren braucht. Der hier angegebene Beweis reicht weiter als der von Glauber und L u t - t inger5) angegebene, der sich auf starre Quellen bezieht.

Es genugt fur die Berechnung der effektiven Masse des angezogenen Nuk- leons, die Energie bis zur ersten Ordnung in 8’ auszurechnen, da hierfiir nur Glieder benotigt werden, die von %3 quadratisch abhangen und sich spater zeigen wird, da13 R N ist. Eo ist im iibrigen identisch mit (PI HI Y).

Die nun noch durchzufuhrende Variation von E,, nach f (f) fiihrt zu

(15)

mit

f (t) ist reell, da auf der rechten Seite von (15) nur reelle Gro13en stehen. Damit man mit diesem Ausdruck die Energie des tiefsten Zustands be- stimmen kann, mu13 man noch die Grofie (y2/R2) R berechnen. Dies geschieht unter Benutzung der Definition (6).

5 ) F‘uBnote bei P. T. Mathews u. A. S a l a m , Physic. Rev. 86, 715 (1952).

K . Meyer: Tomonaga- VeTjahTen in einer skalaren Modelltheorie 109

Setzt man (15) ein und laSt das Normierungsvolumen V gegen unendlich gehen, erhalt man nach einer langeren elementaren Rechnung

mit

Y 2 wobei A = 1 'ill3 - B . ft ist. Das Integral ist konvergent, wir schreiben es zunachst ohne Grenzen an und behalten uns vor, im Endergebnis abzuschneiden. Somit ist (y2/R2) - ft exakt proportional 'B6). Da bei der Diagonalisierung von (10) nur Terme zweiter Ordnung in Zf3 und 9 berucksichtigt wurden, hat man auch hier alle Terme hoherer als 2. Ordnung wegzulassen und erhalt einfach

mit

und - r 2 4 ax

Ferner berechnet man ohne Berucksichtigung der 'B-Abhangigkeit

mit

Auch bei diesem divergenten Integral lassen wir die Grenzen vorlaufig weg. Setzt man (16) und (17) in (15) ein und beriicksichtigt, dal3 zur Berechnung der effektiven Masse nur Terme 2. Ordnung in 2% notig sind, so hat man

Setzt man dies in (14) ein, so ergibt sich nach einer langeren Rechnung

6 ) Es sei betont, daB diese Proportionalitat mit ?B lediglich eine Folge der Aniso- tropie von f (k) ist, an der im Prinzip auch bei Berucksichtigung hoherer Naherungen bei der Diagonalisierung von (10) nichts geandert wird.

110 Annalen der Physik. 6. Folge. Band 18. 1950

Hier stellt der erste Term die Selbstenergie dar, die effektive Masse des ange- zogenen Nukleons wird durch

x* = k (1 + 8) (20) gegeben. Man kann dem Ergebnis noch eine andere Fassung geben, indem man die mittlere Anzahl der im Feld vorhandenen Mesonen mit der Zustands- funktion (4) mit (13) und (18) berechnet und in (20) einsetzt. Man erhalt

Js = /+ xz ax 1 + xz (113 + & *

Setzt man dies in (20) ein, so hat man

in1 Resultat setzt sich also die effektive Masse zusammen aus der nackten Masse k und der Masse der virtuell vorhandenen Mesonen, multipliziert mit einem von Abschneideradius abhangigen Faktor, der allerdings aueh dann end- lich bleibt, wenn die Integrale bis x = 00 erstreckt werden.

Zur numerischen Auswertung berechnen wir die Integrale J1 und J3 mit Abschneiden an der oberen Grenze k = x , was x = 6 entspricht, wenn man annimmt, daB 2 = 6 sein soll. Das Abschneiden der Integrale ist insofern konsequent, als bei der ganzen zu (22) fuhrenden Rechnung stillschweigend vorausgesetzt wurde, daB die Umformungen niit endlichen GroBen vorge- nommen wurden. Das ist aber in der Tat nur dann der Fall, wenn man einen Abschneideradius einfiihrt. Man erhalt damit

P

x* = x + 1,2 n p.

Q 3. Vergleich mit dcr Storungstheorie fur schwachc Kopplung Wir vergleichen das Resultat (19) mit dem der Storungstheorie fur schwache

Kopplung, von der wir annhemen, daB sie mindestens eine semikonvergente Entwicklung der Energie nach Potenzen von g2 liefert und somit fur gz< 1 wenigtens das erste Glied brauchbar ist. Man erhalt in 2. Naherung fur den tiefsten Zustand

wenn man das Resultat der Stbrungstheorie unter der Voraussetzung des Abschneidens der Integrale auf die Form von (19) bringt. Bis zur Ordnung g2 stimmen (19) und (21) also uberein.

Q 4. Diskussion des Resultats Im AnschluB an Hohler') schatzen wir eine untere Schranke fur die

Energie des Grundzustands ab, wieder unter der Voraussetzung des Abschnei-

7 ) G . Hohler, Z. Physik 140, 192 (1955).

K. Meyer: Tomonaga- Verfahren in einer skalaren Modelltheorie 111

dens. Dazu transformiert man den Hamiltonoperator (1) mit dem unitaren Operator.

und erhalt 1

Nun liegt der tiefste Zustand von

j j ._

unter dem tiefsten Zustand vonpund damit auch von H , denn der Erwartungs- wert von 2 f a* a ist sicher positiv. ( 2 3 ) kann man streng diagonalisieren

und erhalt unter Beschrankung auf kleine 1 % 1 ( f f)

wenn man die Jntegrale iiber dem Impulsrauni \vie oben bei k = x abschneidet. Vergleicht man (19) und (24), so zeigt sich, da13 die durch das Variationsver- fahren erhaltene Energie uber der unteren Schranke I$, liegt (fur deren Exi- stenz die Einfuhrung einer Abschneidevorschrift allerdings wesentlich ist).

Die Tatsache aber, da13 (19) durch ein Variationsverfahren bestimmt wurde, hat noch eine Komplikation zur Folge, auf die Peka r8 ) aufnierksam gemacht hat: Die so berechnete Energie kann niemals tiefer liegen als die exakte Energie des Grundzustands. Hat man fur 553 = 0 den exakten Wert der Energie erreicht, so kann man fur die effektive Masse nur eine untere Gchranke erhalten. Liegt dagegen fur !B = 0 die erhaltene Energie uber der exakten, konnen sich beliebige positive oder negative Werte fur die effektive Masse ergeben.

Was nun das hier erhaltene Resultat (19) bzw. (20) betrifft, so mu13 man daraus schlieBen, daB es gerade in dem Bereich der mittleren Kopplung ge- ringen Wert hat, da man nicht sicher ist, wie weit ( 2 2 ) fur 533 = 0 iiber dem exakten Zustand liegt. Lediglich in dem Gebiet, in dem g2 << 1 ist, kann man dem Ergebnis einiges Vertrauen schenken, insofern als es mit dem Resultat der Storungstherorie fur schwache Kopplung in 2. Naherung iibereinstimmt.

Verbessern laBt sich das Resultat nur durch immer kompliziertere Varia- tionsansatze, die uber den einfachen Ansatz von Tomonaga hinausgehen, wie etwa der Ansatz von Hohler*) fur das Polaron, der durch eine Verall- gemeinerung des Produktansatzes von P e k a r g ) den Bereich der zur Varia- tion zugelassenen Vergleichsfunktionen wesentlich erweitert, indem Korre- lationen zwischen Mesonen in verschiedenen Zustanden zugelassen werden. Die ubertragung der dort durchgefuhrten Rechnung auf das Mesonfeld fiihrt aber leider zu erheblichen rechnerischen Komplikationen.

8, S. J. Pekar , Zh. eksper. teor. Fiz. 27, 651 (1954). 9 ) S. J. Pekar , Elektronentheorie der Kristalle, Berlin 1954.

112 Annalen der Physik. 6. Folge. Band 18. 1956

Zur Durchfuhrung der Rechnungen hatte man naturlich ebensogut die Lee -Pines-Methodelo) verwenden konnen, was darauf hinausliefe, direkt (10) aus (1) zu erhalten, nur hatte man dann wieder zeigen mussen, das dieses Ver- fahren mit der Tomonaga-Methode aquivalent ist, so daIj die Benutzung der Lee-Pines-Methode fur diesen Fall von geringem Wert ist.

Herrn Prof. Dr. G. Heber , Jena, mochte ich an dieser Stelle fur die An- regung zu diesen Untersuchungen und ihre freundliche Unterstutzung herzlich danken.

lo) T. Lee u. D. Pines, Physic. Rev. 92, 883 (1953).

J e n a , Theoretisch-Physikalisches Institut der Universitat.

Bei der Redaktion eingegangen am 2. Dezember 1955.

~~ -~ Verantwortlich

fiir die Schriftleitung: Prof. Dr. F r i e d r i c h M 6 g 1 i c h , Berlin-Buch, Lindenberger Weg 70: fur den Anzeigenteil: VEB Georg Thieme, Anzeigenabteilung, Leipzig C 1, Hainstr. 17-19, Aufg. C, Rut 21 981. 2. Z. gilt Anzeigenpreisliste Nr. 4; Verlag: Johann Ambrosiw Barth, Leipzig C 1. Salomonstr. 18 B, Fernruf: 63 105, 83781. Veroffentlicht unter der Lizenznummer 28511264

des Amtes fur Literatur und Verlagswesen der Deutschen Demokratischen Republik Printed in Qermany Druck: Paul Diinnhaupt. K6then (IV/5/1) L 85/56