Die chaotische Inflation

Melanie Pfeuffer

23. Januar 2008

Abbildung 1: Abbildung entnommen aus [9]

Inhaltsverzeichnis

1 Einfuhrung 2

2 Die Theorie des expandierenden, homogenen und isotropen Universums 22.1 Die Friedmann-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Bewegungsgleichungen eines skalaren Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3 Was ist Inflation? 5

4 Das Szenarium der chaotischen Inflation 6

5 Das selbstreproduzierende Universum 9

6 Spontane Symmetriebrechung und Strahlungskorrekturen 11

7 Literatur und Abbildungsverzeichnis 16

1

1 Einfuhrung

Ein eindeutiges Indiz dafur, dass das Urknallmodell allgemein akzeptiert worden ist, war wohl derArtikel ”How the universe began” auf der Titelseite der britischen Tageszeitung Independent am24. April 1992, in dem die endgultige Bestatigung des Urknallmodells durch die Analyse der kosmi-schen Hintergrundstrahlung verkundet wurde. Doch es gibt Schwierigkeiten mit diesem Bild: DieEntstehung der kosmischen Hintergrundstrahlung stutzt das Urknallmodell, nicht jedoch dessenHomogenitat. Entropiebetrachtungen ergeben, dass es heute etwa 105 kausal unabhangige Berei-che geben musste. Infolgedessen ist eine derartige großraumige Homogenitat nicht erklarbar, es seidenn das Universum ist schon von Beginn an homogen gewesen. Viel naturlicher ware es allerdingsin kausal unabhangigen Bereichen chaotische Anfangsbedingungen anzunehmen. Ein weiteres Pro-blem ergibt sich aus der Flachheit des Raumes. Um die Flachheit des heutigen Universums Ω ≈ 1zu erreichen, musste zur Planck-Zeit tp ∼ M−1

p ∼ 10−43s die Krummung Ω − 1 ≈ 10−60, also ex-trem klein gewesen sein. Die genannten Schwierigkeiten sind lediglich Beispiele einer ganzen Reihevon ”Probleme”, die extrem genau gewahlte Anfangsbedingungen erfordern um die Entstehungder heutigen Daten durch das Urknallmodell erklaren zu konnen.

Viel naturlicher ware es, die scheinbar durch Zufall entstandenen heutigen Daten durch einenzugrundeliegenden Mechanismus beschreiben zu konnen. Es stellt sich also die Frage ob es ei-ne Theorie gibt, der es ohne ”fine-tuning” gelingt, das heutige Universum zu erklaren. Ein sehrvielversprechender Kandidat hierfur ist das inflationare Universum. Die inflationare Kosmologieersetzt das Urknallmodell jedoch nicht, sondern ist vielmehr ein Zusatzeffekt, der zu sehr fruhenZeiten auftritt ohne jedoch die Erfolge des Urknallmodells zu gefahrden.

2 Die Theorie des expandierenden, homogenen und isotro-pen Universums

2.1 Die Friedmann-Gleichungen

Um die Dynamik des Universums quantitativ beschreiben zu konnen, mussen auf diesen Skalenebenfalls Gravitationseffekte berucksichtigt werden. Aus der Allgemeinen Relativitatstheorie istbekannt, dass Materie die Raum-Zeit beeinflusst. Die Eigenschaften der Raum-Zeit werden durchden metrischen Tensor bestimmt. Ist der Raum gekrummt, so ist der metrische Tensor koordi-natenabhangig. Nach dem Aquivalenzprinzip werden die Gravitationsfelder durch eine koordina-tenabhangige Metrik gµν beschrieben, was geometrisch der Krummung eines vierdimensionalenRaumes entspricht. Die Einsteingleichung fur gµν liefert den quantitativen Zusammenhang zwi-schen dieser Krummung und den Quellen des Gravitationsfelds (also insbesondere den Massen)

Gµν = 8πGTµν , (1)

die bereits in dem fruheren Vortrag von Prof. Dr. Andreas Schafer hergeleitet wurde [7] . Dabeibezeichnet Tµν den Energie-Impulstensor und G die Newton’sche Gravitationskonstante. Wirdder Einsteintensor Gµν ausgedruckt durch den Ricci-Tensor Rµν und den Krummungsskalar R =gαβRαβ , so lautet eine aquivalente Formulierung der Einsteingleichung:

Rµν − 12Rgµν = −8πGTµν , (2)

Die Einsteingleichung kann durch einen in gµν linearen Zusatzterm verallgemeinert werden. Diedabei auftretende kosmologische Konstante Λ = 8πGV (φ) kann beim Auftreten eines konstantenund homogenen Skalarfeldes durch die Vakuumenergiedichte V (φ) erklart werden.

Rµν − 12Rgµν + Λgµν = −8πGTµν , (3)

Sobald also die Metrik des Raumes bekannt ist, lasst sich die Krummung und somit der Zusammen-hang zu Druck und Dichte der Materie (Energie-Impuls-Tensor Tµν = diag (ρ, p, p, p)) beschreiben.

2

Das Wegelement eines homogenen und isotropen expandierenden Universums ist gegeben durch

ds2 = gµνxµxν = dt2 − a2(t)[dr2 + f2(r)

(dθ2 + sin2 dφ2

)]. (4)

f(r) bestimmt wie sich die Flache der Sphare r =konst. mit dem Radius r andert, ist also vomVorzeichen der Krummung abhangig:

f(r) =

sin r, k=+1;r, k=0;sinh r, k=-1.

(5)

Der metrische Tensor lautet folglich:

(gµν) = diag(1,−a2(t),−a2(t)f2(r),−a2(t)f2(r) sin2(θ)

)(6)

Der Ricci-Tensor lasst sich uber folgende Beziehung

Rµν =∂Γρ

µρ

∂xν− ∂Γρ

µν

∂xρ+ Γσ

µρΓρσν − Γσ

µνΓρσρ (7)

aus den Christoffel-Symbolen berechnen. Diese lassen sich direkt aus dem metrischen Tensor ab-leiten [7]:

Γκµν =

12gκλ

(∂gµλ

∂xν+

∂gνλ

∂xµ− ∂gµν

∂xλ

)(8)

Setzt man nun den aus dem metrischen Tensor Gl. (6) berechneten Ricci-Tensor und Krummungs-skalar in die Einsteingleichung Gl. (2), so erhalt man die Friedmann-Gleichungen:

a(t) = −4π

3G(ρ + 3p) a(t) +

13Λ a(t) (9)

H2 =(

a(t)a(t)

)2

=8π

3Gρ +

13Λ− k

a(t)2(10)

Die Entwicklung des Skalenfaktors a(t), der die Große des Universums beschreibt, ist also durchdie Friedmanngleichungen festgelegt.

2.2 Bewegungsgleichungen eines skalaren Feldes

Im vorhergenden Abschnitt wurde gezeigt, dass die Feldgleichungen eines homogenen und isotropenexpandierenden Universums parametrisiert werden konnen durch den Skalenfaktor a(t). Dieserbeschreibt die Krummung der Raum-Zeit, die von den Quellen des Gravitationsfeldes hervorgerufenwird. Was aber sind im fruhen Universum die Quellen, die die inflationare Expansion verursachenkonnen? Kandidaten dafur liefert die Elementarteilchenphysik.

In der Teilchenphysik werden die elektromagnetische, die schwache und die starke Wechselwir-kung durch die drei Eichgruppen U(1), SU(2) und SU(3) beschrieben. In den 60er Jahren gelanges Glashow, Weinberg und Salam eine einheitliche Theorie der schwachen und elektromagneti-schen Wechselwirkung zu konstruieren, fur die sie 1979 dann den Nobelpreis erhielten. Diese elek-troschwache Vereinheitlichung beruht auf spontaner Symmetriebrechung eines skalaren Feldes, demHiggsfeld. Betrachtet man beispielsweise ein Potential der Gestalt Abb. 3 wie V (φ) = −µ2φ2+λφ4,so ist das Potential bei hohen Energien V (φ) ≈ λφ4 symmetrisch. Bei niedrigen Energien aller-dings entspricht der Vakuumerwartungswert dem Minimum und hat eine willkurliche Phase. DieseSymmetriebrechung fuhrt dazu, dass bei niedrigen Energien die schwache und elektromagnetischeWechselwirkung entkoppeln, bei hohen Energien allerdings konsistent beschrieben werden. Ana-log dazu versucht man in den sogenannten GUT-Theorien (Grand Unified Theories) die starke,schwache und elektromagnetische Wechselwirkung mit einer hoheren Symmetriegruppe wie bei-spielsweise SU(5) zu vereinheitlichen. Die Entkopplung der starken Wechselwirkung und erfolgtwiederum durch spontane Symmetriebrechung des Potentials der skalaren Higgsfelder. Demzufolgegenießen skalare Felder in der Elementarteilchenphysik eine große Bedeutung.

3

Abbildung 2: Die Abbildung (aus [8]) zeigt die Vereinheitlichung der elektromagnetischen undschwachen WW zur elektroschwachen WW und zusammen mit der starken WW bei noch hoherenEnergien zur GUT ”Grand Unified Theory”. Bei Energien im Bereich der Planckmasse wird einevereinheitlichte Theorie aller vier Wechselwirkung zur TOE ”Theory of Everything” vermutet.

Abbildung 3: Ein Potential der Form V (φ) = −µ2φ2 + λφ4 ist bei hohen Energien V (φ) ≈ λφ4.Bei niedrigen Energien allerdings entspricht der Vakuumerwartungswert dem absoluten Minimumφ 6= 0. (Abbildung aus [1])

Es ist naheliegend bei derart hohen Energien wie sie nach dem Urknall herrschten skalareFelder anzunehmen. Ein skalares Feld tragt auch als Quelle des Gravitationsfeldes zum Energie-Impulstensor bei. Aus der Lagrangedichte eines skalaren Feldes φ mit Potential V (φ)

L =12gµν∂µφ∂νφ− V (φ) (11)

mittels der Euler-Lagrange-Gleichung

1√−g∂µ

(√−ggµν∂νφ)

+∂V

∂φ= 0, (12)

wobei g = det |gµν | die Bewegungsgleichung des Feldes mit H = a(t)a(t) :

φ(t) + 3Hφ− 1a24φ = −∂V

∂φ(13)

Peter Graf zeigte in seinem Vortrag [5], wie die Dichte und der Druck aus der Lagrangedichte folgt:

ρ =12φ2 + V (φ) +

12(∇φ)2 (14)

p =12φ2 − V (φ)− 1

6(∇φ)2 (15)

4

Abbildung 4: Zwei Moglichkeiten, die Voraussetzung zur Inflation, die slow-roll-Bedingung, zuerfullen: Ein großtenteils sehr flaches Potential (linke Abbildung) ermoglicht es, den kinetischenTerm zu kontrollieren. Nach Linde ist Inflation allerdings auch in Potentialen der Form V (φ) ∼φn moglich, in denen die Expansion des Kosmos die Geschwindigkeit des Feldes bremst. BeideAbbildungen entnommen aus [2]

Fur ein homogenes skalares Feld ergeben sich eine leicht modifizierte Bewegungsgleichung:

φ(t) + 3Hφ = −∂V

∂φ(16)

Ebenso lasst sich die zweite Friedmannsche Gleichung vereinfachen:

H2 =8π

3GV (φ) +

4π

3Gφ2 − k

a(t)2(17)

3 Was ist Inflation?

Die wesentliche Annahme der Inflationsmodelle ist eine Zeitspanne im fruhen Universum, in dersich der Kosmos sehr schnell ausdehnt. Die mathematische Definition der Inflation ist sehr einfach.Inflation ist eine Ara beschleunigter Expansion:

INFLATION ⇔ a > 0 (18)

Nach der ersten Friedmann-Gleichung Gl. (9) bedeutet dies aber gerade bei verschwindender kos-mologischen Konstante eine Einschrankung fur die Zustandsgleichung:

INFLATION ⇔ ρ + 3p < 0 (19)

Wird ein homogenes skalares φ-Feld als Quelle des Gravitationsfeldes angenommen, so liefern diein Gl. (14) gegebenen Ausdrucke, die sogenannte slow-roll-Bedingung :

INFLATION ⇔ φ2 < V (φ) (20)

Aufgrund dieser slow-roll-Bedingung waren anfangs die Potentiale ziemlich flach um den kinetischenEnergieterm zu beschranken. Erst A. Linde wahlte einen komplett anderen Ansatz um die slow-roll-Bedingung zu erfullen: Er zeigte, dass sogar in den einfachsten Potentialen der Form V (φ) ∼ φn

Inflation auftreten kann. Dazu betrachtet man die Bewegungsgleichung eines φ-Feldes in einemhomogenen und isotropen, expandierenden Universum nach Gl. (16)

φ(t) + 3Hφ = −∂V

∂φ.

Die Expansion des Universums wirkt als Reibungsterm 3Hφ und reduziert daher die Geschwindig-keit des Feldes.

5

4 Das Szenarium der chaotischen Inflation

Die ursprungliche Idee des inflationaren Paradigmas stammt von Alan Guth. 1982 wurde von Al-brecht, Steinhardt und Linde das Modell der ”neuen Inflation”, das auf einem Phasenubergangzweiter Ordnung beruht, vorgeschlagen. Allerdings ist auch dieses Modell unbefriedigend, als hier-in Inflation erst in Domanen mit Massen, die 6 Großenordnungen hoher als Mp liegen, einsetztund außerdem das Flachheits- und Entropieproblem nur unzureichend gelost wird. Das heute be-vorzugte Modell, die ”chaotische Inflation” wurde von A. Linde 1983 vorgestellt. Linde zeigt, dassunter Annahme chaotischer Anfangsbedingungen Inflation prinzipiell in jedem Modell mit einemausreichend flachen effektiven Potential moglich ist.

Linde betrachtet Potentiale der Form (siehe Abb. 5)

V (φ) =λφn

nMn−4p

(21)

In den allerersten Entwicklungsstadien des Universums konnten prinzipiell H und ρ beliebig großgewesen sein. Man geht davon aus, dass bei Energiedichten & M4

p Quantengravitationseffekte sowichtig sind, dass Quantenfluktuationen der Metrik großer als die klassischen Werte von gµν wer-den. Eine klassische Beschreibung des Universums ist dann nicht moglich. Eine solche ist erst nachder Planck-Zeit t ∼ tp ∼ 1

6Mpmoglich, wenn die Energiedichte kleiner als M4

p ist. Es ist naturlichanzunehmen, dass das Universum vor der Planck-Zeit tp in einem chaotischen Quantenzustandist. Wenn nun das Potential ausreichend flach ist, also λ genugend klein ist, gibt es keinen Grundanzunehmen, dass zur Planck-Zeit tp uberall das Feld im Potentialminimum bei φ = 0 ist. ImGegenteil: Vielmehr wird jeder Wert zwischen −Mp/λ

14 und Mp/λ

14 in unterschiedlichen Gebieten

angenommen. Denn von dem Zeitpunkt aus, ab dem das Feld klassisch beschrieben werden kann,geht man naturlicherweise davon aus, dass typische Anfangsbedingungen V (φ) ∼ M4

p herrschten.Mit dem Potential V (φ) = λφn/nMn−4

p ist ein typischer Wert fur das Feld φ0 ∼ Mp/λ14 , so dass

V (φ0) = λφn0/nMn−4

p . M4p . Grundsatzlich gibt es also kein physikalisches Gesetz, das Felder der

Großenordnung φ ∼ Mp/λ14 verbietet. Daher sollte es unendlich viele lokal homogene und isotrope

Domanen der Große l À 1/Mp geben, die ein lokal homogenes Feld φ mit Mp . φ . Mp/λ14

enthalten.Betrachtet man nun eine derart homogene und isotrope Domane mit Mp . φ . Mp/λ

14 , so rollt

nun keineswegs, wie man intuitiv erwarten wurde, das φ-Feld in das Potentialminimum ab. ImFolgenden wird gezeigt, dass die Expansion des Raumes einen Reibungsterm bewirkt, der geradedas Abrollen des Feldes verhindert. Eliminiert man in der Bewegungsgleichung und in der zweitenFriedmanngleichung H, so erhalt man fur ein hinreichend homogenes und langsam veranderlichesφ-Feld φ ¿ dV/dφ und große a(t), so dass k ¿ a(t)

3Hφ = −∂V

∂φ(22)

H2 =8π

3GV (φ) +

4π

3Gφ2 (23)

eine quadratische Gleichung fur φ2(t)

43Gπφ4 +

83πGV (φ)φ2 =

19

(∂V

∂φ

)2

(24)

mit der Losung

φ2 =−8πGV/3 +

√(8πGV/3)2 + 16πGV ′2/9

8πG/3. (25)

Mit V ′(φ) = nV (φ)/φ und fur ein ausreichend hohes φ (G = M−2p )

φ À n

6√

πMp (26)

6

Abbildung 5: Das Potential des φ-Feldes in den chaotischen Inflationsmodellen. Die Inflation be-ginnt bei hohen φ-Werten und endet bei φ ∼ Mp. Dann rollt das Feld in das Potentialminimumhinab und die Phase der Wiederaufheizung beginnt. Abbildung aus [10]

ergibt sich12φ2 ¿ V (φ), (27)

also Inflation! (ρ ≈ −p und damit mit Gl.(19) ρ + 3p < 0)Diese starke Abschatzung zeigt, dass der Energieimpulstensor Tµν = ∂µφ∂νφ − gµνL = Tµν +gµνV (φ) [5] des φ-Feldes von dem Potential V (φ) dominiert wird. Was aber bedeutet dies furdie Expansion des Universums? Ein Blick auf die Einsteingleichung Gl. (2) Rµν − 1

2Rgµν =

−8πGTµν = −8πG(Tµν + gµνV (φ)

)zeigt, dass somit die Ausdehnung a(t) des Universums nahe-

zu ausschließlich durch das Potential V (φ) bestimmt wird. Die Geschwindigkeit, mit der sich dasφ-Feld und V (φ) andern ist fur φ À Mp viel kleiner als die Expansionsrate des Universums. Dennaus 1

2 φ2 ¿ V (φ) folgt aus den Gleichungen (22), (23)

12φ2 =

M2p

48πV (φ)

(∂V

∂φ

)2

=n2M2

p

48πφ2V (φ) (28)

Verwendet man diese Relation und die zweite Friedmannsche Gleichung Gl. (9), so erhalt man furgroße φ, φ À Mp

a

a= H (φ (t)) =

√83

π

M2p

V (φ) =

√64π2

n2

φ4

M4p

∣∣∣∣∣φ

φ

∣∣∣∣∣ À∣∣∣∣∣φ

φ

∣∣∣∣∣ (29)

Die Idee der chaotischen Inflation ist also folgende: Ein hohes φ-Feld bewirkt einen hohen Hubble-Parameter H = a/a. Ein hoher Hubble-Parameter wiederum zieht eine große Reibung nach sich,Folglich andert sich das φ-Feld lediglich langsam, wohingegen die Expansionsrate des Universumssehr viel großer ist. Uber Zeitraume ∆t . H/H À H−1 (a/a = H + H2 À 0) gilt daher dasExpansionsgesetz:

a(t) = eHt, (30)

wobei H (φ (t)) mit der Zeit allmahlich abnimmt.Wie sich der Skalenfaktor a(t) in Abhangigkeit von φ verhalt lasst sich leicht ableiten: Nach der

zweiten Friedmanngleichung Gl. (10) gilt mit l = 8πG/3 = 8π/3M2p und der Bewegungsgleichung

H = l√

V und 3Hφ = V ′(φ). (31)

7

Abbildung 6: Die Abbildung (aus [3]) zeigt den Temperaturverlauf des Universums. Der Inflationmuss eine Phase der Wiederaufheizung folgen.

Aquivalent dazu sind die Gleichungen

d

dtln a = l

√V und

dφ

dt= −V ′(φ)

3l√

V, (32)

woraus folgende Gleichung resultiert:

d ln a

dφ= −3l2V/V ′ (33)

Nun ist V/V ′ = φ/n und nach Integration erhalt man:

a(φ) = a0 exp−3l2

2n

(φ2 − φ2

0

)= a0 exp

− 4π

nM2p

(φ2 − φ2

0

)(34)

Damit findet man fur den Anfangszustand V (φ0) = λφn0/nMn−4

p ∼ M4p einen Inflationsfaktor von

P = exp

4π

n

(λ

n

)−2/n

(35)

Fur eine λφ4/4-Theorie gilt also

P = exp

π√λ

(36)

Die Theorie der Galaxienbildung erfordert Dichteinhomogenitaten. Allerdings muss die relativeAmplitude der Dichtefluktuationen hinreichend klein sein

δρ(k)ρ

∼ 10−4 − 10−5 (37)

Dagegen liefern Abschatzungen fur die Dichtefluktuationen in der λφ4/4-Theorie zu

δρ(k)ρ

∼ 102√

λ, (38)

8

was zu einer Abschatzung der Kopplungskonstante λ fuhrt:

λ ∼ 10−12 − 10−14 (39)

Die Kopplungskonstante muss also extrem klein sein. Wahlt man beispielsweise fur die Kopplungs-konstante λ ∼ 10−14, so lasst sich daraus der Inflationsfaktor von Gl. (36) berechnen:

P = exp

π√λ

∼ 10105

(40)

Ein Gebiet der ursprunglichen Große lp ∼ M−1p ∼ 10−33cm wird somit wahrend der Inflation auf

l ∼ M−1p P ∼ 10105

cm (41)

wachsen.Inflation tritt wie in obigem Abschnitt gezeigt bei sehr hohen Werten des φ-Feldes auf. Aus der

Voraussetzung hoher φ-Felder in Gl. (26) lasst sich im Gegenzug das Ende der inflationaren Phasefinden. Fur

φ . nMp/12 (42)

ist 1/2φ2 = n2M2p V (φ)/48πφ2 & 1/2πV (φ) und die inflationare Phase endet. Der Hubble-Parameter

H = a/a ist nicht mehr groß genug um ein rasches Hinabrollen des φ-Feldes in das Minimum desPotentials zu verhindern. Das φ-Feld beginnt um das Minimum des Potentials V (φ) zu schwingenund ubertragt seine Energie auf die erzeugten Teilchen. Die Teilchen fuhren Stoße aus und einthermisches Gleichgewicht wird erreicht. Das Universum heizt sich also auf. Erfolgt das Wieder-aufheizen schnell genug, geht praktisch die gesamte Schwingungsenergie des Feldes in Warme uberund die Temperatur des Universums nach dem Wiederaufheizen ist gegeben durch

Trh ∼(

30π2N(Trh)

)1/4

V (φend ∼ nMp/12)1/4. (43)

Fur die V (φ) = λφ4/4-Theorie erhalt man mit N(T ) ∼ 103 die Temperatur Trh = cλ1/4Mp mitc ∼ 10−1. Fur λ ∼ 10−14 kann die charakteristische Temperatur nach dem Wiederaufheizen nichtgroßer als

Trh = 3 · 1014GeV (44)

sein. Das chaotische Inflationsmodell sagt also nach einer stattgefundenen Inflation eine Phase derWiederaufheizung vorher (siehe Abb. 6).

5 Das selbstreproduzierende Universum

Greifen wir nochmals die entscheidende Folgerung aus den von Linde geforderten chaotischenAnfangsbedingungen auf. Zur Planckzeit tp muss es unendlich viele lokal homogene und isotropeDomanen der Große l À 1/Mp geben, deren Felder ausreichend hoch sind Mp . φ . Mp/λ

14 . Eine

jede dieser Domanen erfullt die Bedingungen fur Inflation. Eine inflationare Phase lost gerade dieFeinabstimmungsprobleme, die mit dem Urknallmodell verbunden sind. Das heutige beobachtbareGebiet des Universums entwickelte sich aus einer Domane. Durch die inflationare Phase ist diesesGebiet lokal flach. Allerdings lassen sich aus diesen lokalen Eigenschaften keine Schlussfolgerungenuber den Aufbau und die Struktur des gesamten Universums ziehen. Wie aber sieht die globaleStruktur des Universums aus?

Eine genauere Betrachtung eines einfachen Modells eines skalaren Feldes, der λφ4-Theorie,enthullt einige uberraschende Aspekte bezuglich dieser Frage. Eine Analyse der Bewegungsglei-chung 16 zeigt, dass sich das Feld φ in λφ4-Theorie fur hohe φ wie folgt verhalt:

φ(t) = φ0 exp

(−

√λ

6πMpt

)

9

Abbildung 7: In einer λφ4-Theorie spielen fur φ & λ−1/4Mp Quantengravitationseffekte eine Rolle.Eine klassische Beschreibung ist demnach erst fur φ . λ−1/4Mp moglich. Inflation tritt auf furMp/3 . φ . λ−1/4Mp. Dies lasst sich nochmals unterteilen in einen Bereich, in denen Quantenf-luktuationen vernachlassigt werden konnen φ . λ−1/6Mp und in einen Bereich λ−1/6Mp . φ, indenen Quantenfluktuationen wichtig werden. (Abb. modifiziert (!) entnommen aus [6])

Somit nimmt das Feld φ also in der charakterist. Zeit

∆t = H−1(φ) =

√3

2πλ

Mp

φ2(45)

um

∆φ =M2

p

2πφ(46)

ab. Nun werden zusatzlich noch Quantenfluktuationen des Feldes φ betrachtet. Wahrend der in-flationaren Phase werden aus den kurzwelligen Quantenfluktuationen langwellige Fluktuationen.Uberschreitet die Qellenlange der Fluktuation δφ den Ereignishorizont H−1, so wird deren Ampli-tude quasi ”eingefroren”. Es lasst sich zeigen, dass wahrend der Zeit ∆t die mittleren Amplitudender Quantenfluktuationen des φ-Feldes mit Wellenlangen l & H−1

|δφ(x)| ≈ H(φ)2π

=

√λ

6π

φ3

Mp(47)

sind. Nun ist sofort ersichtlich, dass fur kleine φ ¿ λ−1/6Mp die Quantenfluktuationen gegenuberder Abnahme des φ-Feldes ∆φ vernachlassigbar klein sind |δφ(x)| ¿ ∆φ. Dagegen bewegen sich furφ ≈ λ−1/4Mp die mittleren Amplituden der Quantenfluktuationen in der Großenordnung von ∆φ:|δφ(x)| ≈

√2π/3λ−1/4∆φ. Berucksichtigt man weiterhin, dass fur allzu große φ Quantengravita-

tionseffekte berucksichtigt werden mussen, das Feld also noch nicht klassisch beschrieben werdenkann, sowie bei allzu kleinen φ die inflationare Phase abbricht und die Phase der Wiederaufheizungbeginnt, so lasst sich das typische Verhalten des skalaren Feldes folgendermaßen unterteilen (sieheAbb. 7):

• φ & λ−1/4Mp: Quantengravitationseffekte

• Mp/3 . φ . λ−1/4Mp:∣∣∣ φφ

∣∣∣ ¿ aa

• λ−1/6Mp . φ . λ−1/4Mp: |δφ(x)| À ∆φ

10

Abbildung 8: In der Abbildung wird gezeigt wie eine Domane (A) der Große H−1 innerhalb der Zeit∆t = H−1 anwachst auf die Große eH−1 (B). Fur φ À λ−1/6Mp liefern die Quantenfluktuationenδφ den entscheidenden Beitrag zur Anderung des skalaren Feldes. Es entstehen somit etwa zurHalfte neue Domanen der Große H−1, in denen φ großer ist als in der ursprunglichen Domane A,sodass auch hierin wiederum Inflation moglich ist! (entnommen aus [6])

• Mp/3 . φ . λ−1/6Mp: |δφ(x)| ¿ ∆φ

• φ . Mp/3: Reheating

Fasst man nun ein inflationares Gebiet der Große ∆l ∼ H−1 und φ À λ−1/6Mp ins Auge, soist also die Großenordnung der Quantenfluktuationen vergleichbar mit der Abnahme des skalarenFeldes ∆φ in ∆t = H−1. Wahrend dieser Zeit ist das Gebiet um den Faktor e gewachsen. DessenVolumen ist folglich um das e3 ≈ 20-fache angestiegen. Dieses Gebiet lasst sich nun wiederum inungefahr 20 neue homogene Gebiete der Große ∆l ∼ H−1 unterteilen, deren φ-Felder sich vondem ursprunglichen Feld um den Wert δφ(x) − ∆φ ≈ δφ(x) unterscheidet. In ≈ e3/2 Gebietennimmt also das skalare Feld wahrend der inflationaren Phase um |δφ(x)| À ∆φ zu (siehe Abb. 8)!Es entstehen folglich aus einer inflationaren Domane mehrere neue Gebiete, in denen wiederumInflation stattfinden kann. Das chaotische Modell der Inflation fuhrt zu einem sich reproduzierendenUniversum! Dies ist in Abb. 9 dargestellt.

6 Spontane Symmetriebrechung und Strahlungskorrekturen

Durch das Szenarium der chaotischen Inflation kennt man also einen Mechanismus, der es fur (nahe-zu) allgemeine Potentiale ermoglicht, Inflation unter chaotischen Anfangsbedingungen zu erhalten.Die Forderung chaotischer Anfangsbedingungen ist viel naturlicher als bestimmte feinabgestimmteParameter zu fordern, wie es in den fruheren Inflationsmodellen notig war. Doch nicht nur sindderart feinabgestimmte Parameter schwierig zu motivieren, sondern wie im Folgenden gezeigt wirdwerden diese auch noch durch Strahlungskorrekturen beeinflusst. Strahlungskorrekturen konnendas ”fine-tuning” wieder zunichte machen.Um zu verstehen, was Quantenkorrekturen zum Potential bewirken konnen, betrachten wir wie-derum die λφ4-Theorie. Es stellt sich im Folgenden heraus, dass dort durch Strahlungskorrekturendie Symmetrie des Potentials gestort wird. Dazu gehen wir zunachst auf die spontane Symmetrieb-rechung in der klassischen Feldtheorie ein.

11

Abbildung 9: Kunstlerische Darstellung der Entwicklung der Globalstruktur des inflationaren Uni-versums. Aus einem inflationaren Bereich entstehen standig neue Bereiche, in denen Inflation statt-finden kann. (entnommen aus [10])

Spontane Symmetriebrechung in klassischer Feldtheorie

Abbildung 10: Abbildung aus [1]

Betrachtet man ein Potential V (φ) mit einem negativen Massenterm

:V (φ) = −12µ2φ2 +

λ

4!φ4, (48)

so weist die zugehorige Lagrangedichte

L =12(∂µφ)2 +

12µ2φ2 − λ

4!φ4 (49)

eine diskrete Symmetrie unter φ → −φ auf. Bei niedrigen Energien allerdings entspricht der Va-kuumerwartungswert dem absoluten Minimum des Potentials. Das System muss sich also fur eines

12

der beiden Minima

φ0 = ±v = ±√

6λ

µ (50)

entscheiden. Auch wenn das Feld φ anfangs null ist, erfahrt es einen Ubergang zum einen der bei-den absoluten Minima, was als spontane Symmetriebrechung bekannt ist. Die diskrete Symmetrieφ → −φ ist nun gebrochen. Nach der spontanen Symmetriebrechung ist es nur naturlich, sichSchwingungen σ(x) um den Vakuumerwartungswert v anzusehen:

φ(x) = v + σ(x) (51)

Setzt man diese Transformation in obige Lagrangedichte Gl. (49) ein, so erhalt man

L =12(∂µσ)2 − 1

2(2µ2)σ2 −

√λ

6σ3 − λ

4!σ4 (52)

Diese Lagrangedichte beschreibt einfaches skalares Feld der Masse√

2µ mit σ3- und σ4-Wechselwirkungen.

Strahlungskorrekturen

Im letzten Abschnitt wurde das Auftreten spontaner Symmertriebrechung in der klassischen Feld-theorie analysiert. Die Suche nach dem Vakuumerwartungswert war insofern geometrisch als diesemder tiefste Punkt des Potentials entspricht. Allerdings konnen gemaß Quantenmechanik und Re-lativitatstheorie Teilchen aus dem Vakuum entstehen, und konnen wechselwirken bevor sie wiederins Vakuum verschwinden. Diese Quantenfluktuationen liefern ebenfalls einen Beitrag zum Poten-tial. Wunschenswert ware also wiederum eine Große, deren Minimum den Vakuumerwartungswertunter Berucksichtigung aller Quantenkorrekturen bestimmt. Eine solche Große gibt es tatsachlich:das effektive Potential Veff (φ). In der Quantenfeldtheorie wurde ein Formalismus entwickelt, deres ermoglicht mithilfe Feynman-Diagrammen Veff (φ) zu berechnen. Demzufolge ist das effektivePotential durch alle ein-Teilchen irreduziblen Vakuumdiagramme in der L(φc + φ) gegeben. Diesentspricht der Trennung der Quantenfluktuationen φ vom klassischen Feld φc ahnlich wie in Gl.(51). Zur Berechung des effektiven Potentials wird dann das Quantenfeld φ ausintegriert.

Als Beispiel dient ein weiteres Mal das λφ4/4!-Potential. Bei diesem Potential ist das absoluteMinimum bei φ = 0. Nach klassischen feldtheoretischen Betrachtungen ist auch bei niedrigenEnergien stets die ganze Symmetrie erhalten, es tritt keine spontane Symmetriebrechung auf.Wie wir im Folgenden sehen werden gilt dies nicht mehr fur das resultierende Potential nachHinzunahme der Quantenkorrekturen.Die Lagrangedichte dieser Theorie ist gegeben durch

L =12(∂µφ)2 − λ

4!φ4 +

12A(∂µφ)2 − 1

2Bφ2 − λ

4!Cφ4, (53)

wobei A,B und C fur die Renormierung notwendige Konterterme sind. Um nun das effektivePotential Veff (φ) exakt zu berechnen, mussten unendlich viele Feynman-Diagramme aufsummiertwerden. Coleman und Weinberg schlugen deshalb in [4] als Naherungsmethode die Entwicklungnach der Anzahl der Schleifen, die in den Feynman-Diagrammen auftreten, vor: Zuerst werden alleGraphen aufsummiert, die keine geschlossene Schleife enthalten, dann all jene mit einer Schleife,

Abbildung 11: Beitragende Diagramme in der Einschleifennaherung (entnommen aus [4])

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usw. Der entscheidende Punkt dieser Methode liegt nicht darin, dass die Schleifenentwicklungeine Entwicklung nach einer kleinen Parameter ist. Vielmehr entspricht sie einer Entwicklung ineinen Parameter, die die totale Lagrangedichte multipliziert und ermoglicht daher alle moglichenVakuumzustande sofort zu sehen (siehe [4]).

Angewandt auf das λφ4/4!-Potential ergeben sich bis zur Einschleifennaherung die Beitragegegeben in Gleichung (57). In niedrigster Ordnung (keine geschlossene Schleife) tragt lediglich einGraph mit V = λφc/4! bei. Die ersten beitragenden Graphen in der Einschleifennaherung sindin Abb. 11 gezeigt. Darin entsprechen die außeren Linien dem klassischen Feld φc, die Liniender Schleifen dem Quantenfeld φ. An jedem Vertex sind also zwei φ und zwei φc. In dem n-tenEinschleifengraph hat man somit an jedem Vertex durch V (φ+φc) = λ(φ+φc)4/4! die Kombination

aus zwei klassischen und zwei Quantenfeldern genau(

42

)-mal

• (14!

(42

)λφ2

c

)n

=(

12

)n (12λφ2

c

)n

(54)

Durch die Entwicklung der Exponentialfunktion bis zur n-ten Ordnung (Wicksches Theorem) erhaltman einen Faktro

•n! (55)

Außerdem kommt noch ein kombinatorischer Faktor hinzu. In der n-ten Ordnung der Einschlei-fennaherung gibt es fur φ am ersten Vertex genau (n−1) ·2 Moglichkeiten mit einem der Quanten-felder der anderen Vertices kontrahiert zu werden (oBdA wird es mit einem φ am zweiten Vertexkontrahiert). Nun gibt es fur das verbleibende φ-Feld des zweiten Vertex nur mehr (n−2)·2 Moglich-keiten wiederum mit einem Feld an einem beliebigen der restlichen Vertices zu kontrahieren... . Esergibt sich also ein kombinatorischer Faktor von

•2(n− 1) · 2(n− 2) · . . . · 2(n− (n− 1)) = 2n−1(n− 1)! (56)

Zusammen mit den n Propagatoren erhalt man letztendlich fur die Summe uber alle Einschleifen-diagramme fur die Gleichungen (54)-(56) den zweiten Summand in nachstehendem Ausdruck furdas effektive Potential.

Veff =λ

4!φ4

c −12Bφ2

c −λ

4!Cφ4

c + i

∫d4k

(2π)4

∞∑n=1

12n

( 12λφ2

c

k2 + iε

)n

(57)

Auf den ersten Blick erscheint der zweite Summand hoffnungslos infrarot-divergent, jedoch lasstsich nach einer Wickrotation k0 → ik4, k2 → −k2 die Reihe summieren

Veff =λ

4!φ4

c −12Bφ2

c −λ

4!Cφ4

c +12

∫d4k

(2π)4ln

(1 +

λφ2c

2k2

)

und die Infrarotdivergenz ist verschwunden! Allerdings ist das Integral immer noch ultraviolett-divergent. Da die Physik nur bis zu Energien in der Großenordung von der Planckmasse Mp

bekannt ist, fuhrt man in dem Impulsintegral einen Cutoff ein, ab dem die Integration beendetwird. Nach der Bestimmung der Konterterme (siehe hierzu [4] erhalt man schlussendlich fur daseffektive Potential:

Veff =λ

4!φ4

c +λ2φ4

c

256π2

(ln

φ2c

M2− 25

6

)

Da der Wert des Logarithmus eines kleinen Argumentes negativ ist, scheint es so als ob die Ein-schleifenkorrekturen das Minimum am Ursprung in ein Maximum verwandelt und ein neues Mini-mum geschaffen hatten. Das wiederum bedeutet, dass die Quantenkorrekturen Spontane Symmer-triebrechung erzeugt haben!

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Einen interessanten Aspekt bietet die analoge Berechnung des effektiven Potentials in Einschlei-fennaherung fur das Higgsmodell. Dessen Lagrangedichte ist gegeben durch:

L = −14(Fµν)2 + |(∂µ + ieAµ)χ|2 + µ2χ∗χ− λ(χ∗χ)2

Daraus lasst sich folgendes effektive Potential in Einschleifennaherung berechnen (siehe [6], [4])

Veff = −µ2φ2

2

(1− 3e4

16π2λ

)+

λφ4

4

(1− 9e4

32π2λ

)+

3e4φ4

64π2ln

(λφ2

µ2

)

Der Verlauf des effektiven Potentials wird fur vier verschiedene Werte von λ in Abb. 12 gezeigt.Die fur den Higgsmechanismus erforderliche spontane Symmetriebrechung kann nur stattfinden,wenn es ein neues Minimum gibt, das tiefer als das Minimum am Ursprung ist. Dies ist folglichder Fall, wenn

λ <3e4

32π2. (58)

Aus dieser Forderung an λ lasst sich grundsatzlich eine Forderung an die Masse des Higgsteilchensstellen:

m2A = e2µ2/λ, m2

φ = 2µ2 :m2φ = m2

A/e2 λ (59)

und somit folgt fur das Glashow-Weinberg-Salam-Modell

mφ & 7GeV (60)

Abbildung 12: Das effektive Potential im Higgsmodell fur verschiedene λ. Spontane Symmetrieb-rechung ist nur fur ausreichend große λ moglich. (modifiziert entnommen aus [6])

Dass Quantenkorrekturen einen erheblichen Einfluss auf die Form des effektiven Potentialshaben konnen wie soeben gezeigt wurde, unterstreicht nochmals wie sehr sich das chaotische In-flationsmodell von den vorherigen Modellen abgrenzt: Es ist kein ”fine-tuning” notwendig, dasmoglicherweise sogar instabil gegenuber Strahlungskorrekturen ist. Stattdessen wurde dargestellt,dass es moglich ist fur ein (nahezu) beliebiges Potential unter der naturlichen Annahme chaoti-scher Anfangsbedingungen Inflation zu erzeugen. Fur ein bis jetzt noch unbekanntes Potential derGroßen Vereinheitlichten Theorie ist es also Inflation nicht unwahrscheinlich!

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7 Literatur und Abbildungsverzeichnis

[1] ftp://info.oeaw.ac.at/pub/web ppts/Horizonte der Teilchenphysik.ppt.[2] www.astro.princeton.edu/∼tremaine/ast541/das.ppt.[3] casa.colorado.edu/∼ginsbura/Astronomy/inflation%20presentation.ppt.[4] S. Coleman and E. Weinberg. Radiative corrections as the origin of spontaneous symmetry

breaking. Phys. Rev., D7:1888–1909, 1973.[5] P. Graf. Kosmische Inflation - Eine Einfuhrung, 2007.[6] A. Linde. Particle physics and inflationary cosmology. JHEP, 2005.[7] Prof. Dr. A. Schafer. Some elements of classical gravitation theory, 2007.[8] http://archive.ncsa.uiuc.edu/Cyberia/Cosmos/Images/Odyssey.Forces.bajuk lg.

jpg.[9] http://map.gsfc.nasa.gov/m ig/060915/CMB Timeline150.jpg.

[10] www.stanford.edu/∼alinde/.

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