Resultate der Mathematik (1) \--41 Birkhauscr Verlag, Base!

Zur Kurventheorie in Difterentialgeometriet

der vierdimensionalen

WOLDEMAR BARTHEL und H ELMUT PABEL in Wurzburg

metrischen

Herro Emanuel Speroer zum 70, Geburtstag am 9,12.1975 gewidmet

Einleitung

In [2] wurde auf einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit e ine Differen­tialgeometrie entwickelt, die auf zwei gleichberechtigten Strukturen aufbaut, einem p-Areal und einem Parallelismus fur einfache p - Vektoren, von denen im wesentlichen nur verlangt wurde, daB bei Paralle/verschiebung eines einfachen p- Vektors dessen Einfachheit und Areal erha/ren bleiben. Die Schwierigkeiten , die sich daraus ergaben , daB fur die Zwischendimensionen 1 < P < n - I die GraBmann-Komponenten eines einfachen p-Vektors voneinander abhangig sind, die homogenen p-Areal-Funktionen also nicht nach den GraBmann­Komponenten differenziert werden konnen, wurden durch die in [ IJ angegebenen veralfgemeinerren Ableirungen behoben.

Minels dieser in (2J eingefUhrten Strukturen wurde in [3] fUr den Spezialfall einer dreidimensionalen Mannigfaltigkeit eine Kurventheorie entwickell und gezeigt, daB eine Kurve lokal durch ihre Krummung und Torsion als Funktionen der Bogenliinge his auf Anfangselemente eindeutig bestimmr ist. A llerdings sind dort wegen der speziellen Dimensionszahl keine Zwischendimensionen vorhan­den, so daB sich keine aus der Nichteinfachheit von p-Vektoren und der fe hlen­den Differentiationsmoglichkeit nach GraBmann-Komponenten resultierenden Probleme stellen.

Aufbauend auf der in [4] fUr p = I entwickellen und von Haubitz in [8] fUr beliebiges p verallgemeinerten Theorie nichrlinearer Zusammenhiinge fur einfache p- Vektoren modifizierten dann Barthel und Haubitz in [6J die (2J zugrundeliegen­den Strukturen: Wahrend die metrischen Strukturen p-Areal und Volumen im

t Diese Arbeit wurde in der vorliegenden Form im September 1975 "l.ur Veroffentlichung in einem Widmungsband der "Hamburger Abhandlungen"' angenommen, dessen Drueklegung sieh aber zu schr verzOgert.

2 W. II " RlllEL UNO H. PABEL

wesentlichen unverandert beibehalten wurden , wurde dUTch

eine invariante Ableiflmg fur einfache p- Vektorfelder tangs einer Kurve definiert. die nur 2-lndizes-Koeffizienten 'Y/II benutzt, und auf invariante Differentiale von p-Tensorfeldern liber dem GraBmann-Kegel-Biindel verzichtet , die 3-Indizes­Koeffizienten benotigen. An die Stelle des " Ricci-Lemmas"

in (2] trat die Invarianz des Areafs eines einfachen p- VeklOrs bei Parallel­verschiebung. die mit def Bedingung

o,J(x, Xl = y'.(x, XlOJ(x, X) (m)

gleichbedeutend ist. Mit diesen strukturell schwacheren Voraussetzungen konnte Scheuring in [9]

ebenfalls den Fundamentalsarz de, Kuroentheorie in de, dreidimensionalen me ­trische" Differentialgeometric beweisen.(\) Zu bemerken ist , daB in diesem Beweis (ebenso wie in [3)) Ableitungsgleichungen von begleitenden 3-Beinen, wie sie etwa bei den entsprechenden Beweisen in den Speziaifallen der Rieman nschen und euklidischen Geometrie in der Gestalt der "Frenetschen Formeln" auftreten, keine Rolle spielen : Zwar werden die invarianten Ableitungen des Tangcntenvek­tors und des Schmiegbivektors wesentlich benutzt, doch ein den Tangenten- und H aupttransve rsalvektor zu einem 3-Bein erganzender dritter Vektor wird nicht konstruiert .

In dieser ArOOit soli nun flir eine Mannigfaltigkeit der Dimension 4 unter Zugrundelegung der in [6J und [8J angegebenen Strukturen ein analoger Satz tiber die Invarianten einer Kurve bewiesen werden. Dabei tfitt bei der speziellen Dimensionszahl 4 im Gegensatz zu [3] und [9] eine Zwischendimension (p:= 2) auf, fUr die der GraBmann-Kegel GKP der einfachen p-Vektoren cine echte Teilmenge des aul3eren Produkts I\P ist.

In Abschnitt 1 stellen wir die Strukturen einer vierdimensionalen metrischen Differentialgeomefrie zusammen. Die Darstellung wird dabei so allgemein gewahlt , daB die Definitionen und Satze ohne Schwierigkeiten auf beliebige n ­dimensionale Mannigfaltigkeiten erweitert werden konnen. WiT verzichten

10abci Iraten gegeniibcr [3J nur zwei kleine A.nderungen auf. namlich die Herleitung der Gleichungen (2.5) und (2.13) in [91.

Zur Kurvcntheoric in dcr vierdimcnsionalcn mClrischen Diffcrcntialgcomctric 3

jedoch - im Gegensatz zu [6] - auf die Einfi.ihrung von Fundamentaltensoren und benutzen nur die 1. verallgemeinerte Ableitung zur Konstruktion kovarian ter GroBen.

In Abschnitt 2 ist es uns dann - in Analogie zu (3) und [9] - moglich. Krummungen ulld Torsion einer Kuroe zu definieren . Schwierigkeiten bereitet dabei, daB die invariante Ableitung eines Bivektors nicht einfach zu sein braucht. Wir konnen jedoch mit Hilfe des in [8] angegebenen Zerlegungssatzes fi.i r den davon betroffenen Bivektor Dlds (T" H ) zunachst lokal die Existenz einer Darstellung

mit Cl-Vektorfeldern X und Y beweisen und dann durch eine Transversalitatsforderung global eine eindeutige C1-Ze rlegung des Trivcktors

angeben. Stan einer Ableitungsgleichung

mit im allgemeinen nicht einfachen Bivektoren Olds (T" H ) und O. wie sie sich (analog zu (3] und (91) in natjjrlicher Weise aus der Definition de r 2. Krjjmmung A ergabe, benutzen wir - mit Hilfe des so konstruierten Vektors 8 - Iediglich ei ne "implizite" Ableitungsgleichung

in I-Vektoren. Weiler ermoglicht es dieser drine, zu T und H linear unabhangige Veklor B, die Torsion zu definieren. Wir versuchen aber nicht - wie es auch in (3] und [9] nicht geschehen ist-, durch Modifikation der Defi nition von 2. Kriimmung und Torsion das Verschwinden dieser GraBen in Fallen auszu­schlieBen, die be i der Spezialisierung auf die Riemannsche und Minkowskische Geometrie nicht auftre ten kOnnen.

Der Abschniu 3 beschaftigt sich mit dem Beweis, daB Krummungen und Torsion ais Funktionen der Bogenliinge unabhiingige und vollstiindige [n varian/en einer Kuroe darstellen . Das Beweisschema lehn! sich an dasje nige in (3] an.

Zur Bezeichnungsweise: Fur jede Dimensionszahl 1 ;$, p :a; 3 durchlaufcn kleine

4 w. BARlllEL liND H. PABEL

lateinische Iodizes die natiirlichen Zahlen 1 bis 4 und kleine griechische Iodizes­wenn nichts anderes angegeben - die naturlichen Zahlen 1 bis p. Oagegen sollen groBe lateinische Iodizes schiefsymmetrische p- tupel derselben-kleinen lateini­scheo Iodizes abkiirzen, zum Beispiel I=[i l ·· · ip], und scmit (!) verschiedene Wertesyslcme durchlaufen.12l Die Einsteinsche Summationskonvention bedeute fUr groBe lateinische Indizes stels nur die Summation iJber diese (:) Wertesy­sterne, zum Beispiel Li,< .. -<;,.' WiT verzichten dabei auf unterschiedliche Be­zeichnungen fUr verschiedene Dimensionen p. da diese Zahl p jeweils aus dem Text soforl klar wird und sich sami! keine Verwechslungen e rgebcn.

1. Struktureo eiDes Ftmler-Raumes ~

1.1. Metrische Strukturen

M sei eine vierdimensionale C·Mannigfaltigkeit. T~ bezeichne den Tangen­tialraum an M im Punkte x E M. Fur p e {I, 2, 3, 4} bezeichne XPT~ das kar­tesische Produkt und GKP(T~) den Gral3mann- Kegel aller einfachen p-Vektoren in der aul3eren Potenz I\PT~ aller tangentialen p-Vektoren. Weiter sei

GKg(T.)o= GK'( T.) \{O}

und

(XPTx)o: == {(X",) e XPT~ I (XG

) linear unabhangig}.

Definition des p-Areals einfacher p-Vektoren: Fur pe{l , 2, 3} seien

F<p): U XPTx

_ R

(x; Xl •... ' Xp )_ F<p)(x, X .. )

Funktionen auf den Kartesischen-Produkt- Bundeln U x " M XPT~ mit folgenden Eigenschaften:

(Fl) " " 1""(x, Xo»O x"M (,J(. I<'(X"T. lo

(F2) Fur alle p x p-Matrizen (A:.) mit det A:. ~ 0 gilt

V V FP)(x, A:.x.,) = det A:.' F'P)(x, x.,) x"M (,J(.>"X"T,

(F3) P-p) ist auf dem Bunde! UUM(XPTJo von der Klasse C3 .

2 Fur p = 1 wird naturlich im allgemeinen statt I = Ii ,] sofort i gesetzt.

Zl,Ir Kl,lrvenlheorie in der vierdimensionalen melrischen Ditferenlialgeomeuie 5

pP)(x, X., ) hei13t dann p-Areal des von den p Tangentialvektoren Xl" ' " Xp im Punkte x E M aufgespannten p-Paral1eJolops.

Diese Funktionen p.P) induzieren nun clwa nach [5] Teil I Funktionen

auf den Gra13mann-Kegel-Biindeln Ux.,M GKP(T~) mit folgenden Eigenschaften:

(fl) V V {(x, X»O x <! M X~GKE<T, )

(t2) V (H; 0 ~ V V ("(x, AX) ~ A . ("(x, X)) A.,R • .,M X . GK·(T,)

(13) fp) ist auf dem nichtsingularen von der Klasse C3

•

Gra13mann-Kegel-Biindel U GK~(T. ) , < M

fp\x, X) hej13t dann p-Areal des einfachen p- VektofS X im Punkte x E M. Wir nennen das I-Areal eines Vektors X E T. auch Lange dieses Vektors und

schreiben

L(x, X):~ pL)(X, X) ~ fi\x, X).

Da der Gra13mann-Kegel GKP(T.) im allgemeinen kein Vektorraum ist, exi­stieren im allgemeinen auch keine partieUen Ableitungcn von fP) nach den Gra13mann-Komponenten Xl ~ p! X\i, ... X:r J des einfachen p-Vektors X ~ X LA' .• "Xp;.!: O. Nach [1) lassen sich aber verallgemeinerte Ableitungen der homogenen Arealfunktionen fp) nach diesen Gra13mann-Komponenten Xl einfiihren; Eigenschaften dieser Ableitungen nndet man in [1] , [5] und [6]. Wir geben hier lediglich die l. verallgemeinerte Ableitung explizit an:

(I)

Nach [1] Eigenschaft A gelten dann die Eulerschen Homogenitatsrelationen

'r/ V iJ,f(p)(x, X)X' ~ t<p){x, X) . .. ,M XEGKt(T. )

Mit dcr 1. vcrallgcmeinerten Ableitung konnen wir jetzt kovariantc Komponen­ten cines einfachen p-Vcktors X E GKg(T.) dUTch

(2)

6 w. BARTHEl UNO H. PABEL

einfuhren, die dann die Eigenschafl

v v

haben.

Definition des Volumens von 4-VeklOren: Fur cine C'-Skalardichte vom Gewicht 1 mit def Komponente

beziiglich cines Koordinatensystems von M heitlt

v(x, X) :=ff(x)4!XV ... X!J

Volumen des 4-Veklors X = X l" . . . "X4EI\4T~ mit der Komponente 4! xV . .. X!] .

Da fur cinen n-dimensionalen Vektorraum Valle Elementc der auBeren Potcnzen N V = V, 1\ n-L V. 1\" V einfach sind,(l) gilt in unserem Fall (n = 4):

GK'(T.) ~ T" GK'(T. ) ~ /\, T"

d.h. es gibt nur BiveklOren X E 1\ 2 T~, die nicht einfach sind. Durch die heiden Definitionen sind damit

- die Lange L(x, X) def Vektoren X E T~,

- das 2-Areal f2 l(X, X) def einfachen Bivektoren X E GK2(T~),

- das 3-Areal f3 )(X, X) der Trivektoren X E 1\ 3 T~ und -das Volumen v(x, X) der 4· Vektoren X e l\4Tx

unabhangig voneinander erklart.

1.2. Strukturen nichtlinearer Zusammenbiinge

Die Definitionen und Satze dieses Abschniltes gelten jeweils unabhangig voneinander fUT aile P E {I, 2, 3}. Dennoch verzichten wir lOr Vereinfachung der

l Vgl. clwa [10] Kapilcl I §7.

Zur Kurventheoric in dcr Yle rdimeosiona1en metrischen Dilferentialgeometrie 7

Schreibweise bei den nun einzufUhrenden GroBen

"If I ..

auf c ine Indizicrung mit p, da die jeweilige Dimensionszahl schon aus dem Text deutlich wird.

Definition nichtlinearer Zusammen hange:.(·) Fur jedes Koordinatensystem (U, q:> : U -+ R·) seien

"I',,: U GKP(Tx)~ R .. u

(x, X)- y',,(x, X)

4 . (!) lokale Funktionen auf dem GraBmann- Kegel- Bundel mit folgcnden Eigenschaften:

(0 1) Transformationsregel:

gilt

Fur jcdc zulassige Koordinatentransformation

~' . ~ - L ~[Un U']_ ~'[u n U']

(x ' ) _ (xl')

" "( ) • ( ) ' ( Xl '" "( ) 'Y ".(x, X) =: x, X x~ · x "I " x, - X x" .{x )o"x, x ,

wobei

Xr := OiXi', " . _ t ' i', Xi . x,·-P·X[i,· .. i. j

gcsetzt werde.

(02) Positive Homogenitiit:

" (A~O~ 'II 'II yJ,, (X, AX) = AY',,(X, X)). " " R u i U X " G K "(T, )

• Vgl. [6] Teil 2 und die in der dortigen Einleitung skizzierte Entwicklung. In [8) §3 Satz 2 werden beliebige differenzierbare (also auch anholonome) Basisfelder bc nutzt.

8 w. BARTHEL UND H. PAREl

(D3) Dif/erenzierbarkeir:

,.'" is( auf der Mannigfaltigkeit UHuGK8(T~) von def Klasse C 2•

(04) £infachheitsbedingung:

Zu jedem x E V, jedem einfachen p-Veklor X E GKP(T.) und jeder Zerlcgung X = Xl" ... " XI' existieren 42 p reelle Zahlen k!".(x; Xl, ... Xp) mil der Eigenschaft

Die Familie dieser 4· (:)-Iupel von Zusammenhangskoe/fizienten )"" heiSt dann nichtlinearer Zusammenhang fur einfache p- Vekroren.

Zu (04) ist aquivalent:

Fur jedes Koordinatensystcm (U, rp ) existieren 42p Funktionen

k~,,: U XPT~ --+ R n U

mil

v V yP,,(x, XI ,, ' " " XI')X~J = xt'k:J,(x, XQ)' X<l U(x" ),, X · T,

Die Eigenschaften der Zusammenhangskoeffizienten )'1" spiegeln sich nun in den Koeffizienten k~" wider.

Sab: liber die Eigenschaften der Koeffizienten k ~,.:' ~)

(kO) Eindeutigkeit:

Die k~h(X, X,,,) sind durch die Bedingung (04) bis auf Lincarkombinalionen der Gestalt

eindeutig bestimmt.

' Vgl. [8] S. 147- 149.

ZlIr Kllrventheorie in der vierdimensiona1en melrischen Diffcrenlialgeomclric 9

(k 1) Tumsformationsregel:

Fur aile zuHissigen Koordinatenlransformatione n

~"~-', ,,(vn V']~ ~'[vn V']

(x')_ (x')

gilt : Sind k~h(X, X",) Koeffi zienlen bezuglich (Vn V' , 'P) , dann sind

Koeffizienten bezuglich (Vn V' , q/).

(k2) Positive Homogenitiit:

Fur aile p x p-Matrizen (A:.) mit det A: . ~ 0 gilt : Sind k~h(X, X .. ) Koeffizienten bezuglich der Ze rlegung X = X u, . . . "Xp , dann sind

Koeffizienten beziiglich der Zerlegung del A:. ' X = (A ~, X<A ),.. ... " (A;.X,,) .

(k3) DiJferenzierbarkeit:

Zu jedem (x, X",)E U. "u<X PT.)o existieren eine offene Umgebung Q c U xE u(X PT.)o von (x, X .. ) und Koeffizienten k~h' SO daB die Einschrankung

von der Kl asse C1 ist.

Ein nichtlinearer Zusammenhang e rmoglicht jetzt , fur Felder einfacher p­

Vektoren langs e ines Weges e ine invariante Ableitung und dam it e inen Parallel is­mus einzufUhren.

Satz ijber d ie invariante Ableitung:(r,) Langs eines C1-Weges

[a,b]_ M

t _ x( t)

6 Folgerllng aus (D1). vgl. [8] §S SaIl I.

\0 W. BARTHEL UNO I{. 'ABEl

sci

[a, b)~ U GK'(T.) • • M

t _ (x(t), X(t))

ein C1_Fcld einfacher p-Vektoren. Selzt man

D (d d ) a I -d X(r):= -d X' (t)+y ',,(x(t),X(r))-d x"(t) -a' ' f f I X ~ (O

(3)

wobei

a a a -'~-/l. ... I\-. iJx i ' ax i, ax'.

die zu den Koordinatensystemen gehorenden naturlichen Basisfelder sind, dann ist

t - (X(t), ~ X(t))

ein stetiges Feld von p-Vektoren tangs dieses C1-Weges. Dldt X heiBt invarianle Ableirung des gegebenen Feldes einfacher p-Vektoren.

Definition des Parallelism us: Ein C1-Feld einfacher p-Vektoren iangs cines C1-Weges

[a, b)~ U GK'(T.) <oM

t _ (x(t), X(t))

heiBt parallel, wenn Did! X = 0 ist.

Zur Definition def invarianten Ableitung uDd des Parallelismus von Feldern einfacher p-Vektoren wird die Eigenschaft (D4) niehl gebraucht. AbeT fUr die Existenz von Parallelfeldern einfacher p-Vektoren llings gegebener Wege - oder anders ausgedriickt - fUr die Moglichkeit, einen einfachen p-Vektor llings eines

Zur Kurventheorie in der vierdimensiona1en melrischen Differenlia lgeometrie II

Weges parallel zu verschieben , ist (04) die entscheidende Eigenschaft nichtlinearer Zusammenhange fUr einfache p. Yektoren.

Satz i.iber Parallelfelder:17l

a) Zu jedem Cl.Weg

und jedem einfachen p·Yektor XoE GKP(T~ (,,) existiert genau ein Cl·Parallelfeld einfacher p-Vektoren

[a, bl~ U GK'(T.) .. M

t ~ (x(t), X(t ))

Hi.ngs des gegebenen Weges mit X(a) = Xo. b) Bei Parallelverschiebung einfacher p·Yektoren langs eines C·Weges in M

bleibt das Verhaltnis zweier gleichgerichteter einfacher p. Vektoren konstant . wahrend zwei nicht·gleichgerich tete einfache p-Yektoren nicht-gleichgerichtet bleiben.

Fi.ir den Umgang mit den Zusammenhangskoeffizienten "Y'" ist es wichtig, daB die implizite Einfachheitsbedingung (D4) ei ne explizite Zerlegung der "Y'~

ermoglicht. Oazu werden aus den nach (D4) existierenden Koeffizienten k ~h neue Koeffizienten "y~~ konstruiert.

Haubil2Scher Zerleguogssatz fUr Zusammenha ngskoeffizien len:ul) Fur jcdcs

Koordinatensystem (U, If) existieren 42p Funktionen

"Y~~:UXPT~~ R

(x. X,,) >-+ "y~,,(x, X,,)

mit

v V

7 Vgl. (4J Sal2 2 filr p = 1 und [8] §6 Sau: 2 fUr beliebiges p. 8 Vgl. (8J §4 . insbesondere S. 153.

12 w. BARTHEL UNO H. PABEL

Die Eigenschaften der Koeffizienten k~" lassen sich nun auf die Zusam­menhangskoeffizienten )'~" iibertragen.

Satz uber die Eigenschaften der Zusammenhangskoeffizienten y~,,:( 9l

(kO), Eindeuligkeit:

Die y:rn(x, XCI) sind nur bis auf Linearkombinatione n der Gestalt

( c;,,(x, K",) ~~ c:,,(x, Ka)S:) X~

eindeutig bestimmt.

(kI), Transformafionsregei:

Fur aile zuHissigen Koordinatentransformationen

.'0.-' ,,,,un u']~ .Tun u'] (x;) _ (x;)

gilt: Sind l'~,,(x, X,.) Zusammenhangskoeffizienten beziiglich (Un V', 'P) , dann

sind

Zusammenhangskoeffizienten beziiglich (U n U', 11").

(k2), Positive Homogenitiit

Fur aile p x p-Matrizen (A:,) mit del A:. 5; 0 gilt: Sind 'Y~,,(x, X .. ) Zusam­menhangskoeffizienten bezuglich der Zerlegung X = X I A • •• " Xp, dann sind

Zusammenhangskoeffizienten beziiglich der Zerlegung

det A:.' X == (Ai·X"L· .. ,,(A;.X,, ).

'* vgl . [81 f 4, Satz 9.

Zur Kurvenlheorie in der vierdimensionalen metrischen Differenlialgeometrie 13

(k3)' Differenzierbarkeit:

Zu jedem (it X .. )E UHu(XPTx)o existieren eine offene Umgebung Q c U XI!U (X PTx)o von (1, Xa) und Zusammenhangskoeffizienten y~", so daB die Einschrankung

von der Klasse C2 ist.

1.3. Met:riscbe Zusammenbange

Unter den nichtlinearen Zusammenhangen fur einfache p-Vek toren (pE {I t 2, 3}) sollen nun solehe ausgezeichne t we rden, fUr die bei der zugehorigen Parallelverschiebung einfacher p-Vektoren deren p-Areal konstant bleibt .

Satz tiber das p-Areal bei Parallelverschiebung:oO) Fur jedes C-Parallelfeld

e infacher p-Vektoren langs cines C1-Weges

[a, bJ~ U GK'(T.) . o M

f ~ (x(l), X(I))

ist das p-Areal

[a, bJ~ R

t __ f(p)(x(t), X(t»

genau dann konstant, wenn auf UuMGK &( Tx) die Bedingung

(m)

erfiillt ist.

Definition metrischer Zusammenhange: Ein nichtlinearer Zusammenhang fUr einfache p-Vektoren, der an ein p-Areal durch die Bedingung (m) gekoppelt ist, heiBt metrisch bezuglich dieses p-Areals.

10 Vgl. [6] Satz 3.

14 w. IIARmEl UND H. PAIIEL

Fur metrische Zusammenhange gilt de r

Satz iiber einfache p-Vektorfelder konstanten Areals: Fur ein C1-Feld e in­facher p-Vektoren llings cines C1-Weges

,~(x(l), X(I))

sci das p-Areal positiv konstant, d.h.

Dann ist die invariante Ableitung

D -K[a,bl~ U NT, dt u M

D t ..... (x(t), dt X(t»

fp I·transversal zu X. d.h. es gilt

Beweis. Wegen f P)2(X, X) > 0 gilt nach (f2) zunachst V ,,,r,,,bjX(t) 1" O. Unter Benutzung der verallgemeinerten Ableitung (I) folgt dann

o==!.!!.. fp )2(X X) = fp l(X X).!!.. fP)(x X) 2 dr' 'dt'

= fP l(X, X) (a,fPl(x. X) ~ x" +o,fp)(x, X) :t XI) wegen (m)

= fp)(x, X)orfp )(x, X) (:t Xl + 'Y',,(X, X) :1 x") und nach (2). (3) schlieBlich

== X D X ' 'dr .

Zur Kurventheorie in der vierdimensionalen metrischen Differentialgeometrie 15

Zusammenfassend werde eine vierdimensionale C'-Mannigfaltigkeit mit den Strukturen

- p-Areal einfacher p-Vektoren (p E {I, 2, 3,}) - Volumen von 4-Vektoren - bezuglich des p-Areals metrischer Zusammenhang fur einfache p-Vektoren (pE{1,2,3})

als Finsler-Raum F' bezeichnet.

2. Grundgro6en einer Kurve im r

2.1. Die Bogenl8.nge

Fur eine C"-Kurve im pc fUhren wiT zunachst die Bogenlange ein, die uns dann einen ausgezeichneten zulassigen Parameter liefert.

Definition der BogenJange: Fur eine orientierte C"-Kurve des F' mit der zuliissigen Parameterdarstellung

[a,bJ~F'

t_ x(t)

heiBt die Funktion

[a,bJ~R

t-s(t): = J L(X(t),~;(t))dt Bogenliinge dieser Kurve .

San uber die Invarianz der BogenHinge: Fur eine C"-Kurve mit der zulassigen Parameterdarstellung t - x(t) ist set) invariant gegenuber zulassigen Parameter­transformationen ,._ r(r·), d.h.

V s·(t·) = s(r(r·)). ,.

San uber den BogenHingenparameter: Fur eine C"-Kurve mit der zulassigen Parameterdarstellung (- x(r) hat die Funktion 1_ set) die Umkehrfunktion

16 w. 9 ARTIlEL UND H. PABEl

$"-+ t(S). Dano gilt: a) s>-+ t(s) ist cine zulassige Parameterlransformation. b) s>-+ t(s) >-+ x(t(s)) =: x(s) is! cine zuHissige Parameterdarstellung der KUTve,

genannt BQgenllingenparamererdarsreliung, die invariant gegeniiber zulassigen Parametertransformationen r* >-+ t(t·) is!, d.h.

V x*(t*(s)) = x(t(s)).

Bei Benutzung der BogenHingenparameterdarsteliung s>-+ x(s) einer Kurve erhalten WiT slcts GroBen der Kurve, oboe daB die Invarianz gegeniiber Parametertransformationen nachgewiesen werden muJ3 .

Satz tiber den Tangentenvektor: Fur cine C'-Kurve s ..... xes) heil3t

Tangenrenvektor. Fur ihn gilt

L(x, n= lund damit 1';1" = L

Beweis. Aus der Transformation auf Bogenlangenparameter

s ........ r(s)"""" x(t(s» = : x(s)

folgl

dx dx dt T = -=-­

ds dt ds

und wegen (F2)

dx -(,-'-d""'-X) d, L x, dt

L(x, n = x, dx dr = dx L x, dt = l. i Id~ 1 (dx) +d') +'d,)

2.2. Die 1. Kriimmung

(4)

(5)

Die 1. Krilmmung einer Kurve soli deren Abweichung yom aUloparaJlcien Verlauf, d.h. die A.nderung der Tangente messen.

Zur Kurventheorie in der vierdimensionalen metrischcn Diffcrentialgeometrie 17

Satz tiber die 1. Krtimmung: Flir e ine C-Kurve s >-+ x(s) heiBt die Funktion

1. Krummung. Fur sie gilt

Beweis. Zunachst gilt

Nach den Satzen iiber den Tangenten vektor und uber einfache p-Vektorfelder konstanten Areals ist

~r = 1 und

Daraus folgt schlie61ich

K = 0 bedeutet also, daB die Tangentenvektoren langs der Kutve ein Parallel­feld bilden, d.h. daB die Kutve eine Autoparallele ist.

Satz tiber den Haupttransversalvektor und den Schmiegbive ktor : Fur eme C 4 -Kurve s>-+x(s) mit K>O gilt :

a) Der Haupttransversalvektor

(6)

ist L-transversal zum Tangentenvektor T, d.h.

T,H' ~ o.

18

ist

W. BAR'THEL UND H . PADEI..

b) Fur den (einfachen) Schmiegbivektor

Beweis.

a) Nach dem ielzleo Beweis ist

D . , T-T'==O also T,B =0. , ds

b) Wegen (f2) folgt

2.3. Die 2. Kriimmuug

(7)

Die 2. Kriimmung eiDer Kurve soli nun die Anderung dec von S::: T"H aufgespannten Schmiegebene messeD. Hierzu betrachten wiT die invariante Ab­lei tung des Schmiegbivektors, die im allgemeinen nieht einfach zu sein braucht. Sie besitzt in Komponenten die Darstellung

Da die Anderung (d/ds)'r des Tangentenvektors schon dUTch die 1. Kriimmung gemessen wird und zur Definition dec 2. Kriimmung das 3-Areal beRutzt werden soil, ist es sinnvoll, hierzu den (einfachen) Trivektor -H,,,(dSlds) mit den Korn­panenteD

zu wahlen. Zunachst abeT beweisen wiT den

Hilfssatz 1: Zu einer C'-Kurve s ..... x(s) mit K > 0 existieren fUr eme Umgebung jedes Parameterwertes soE[a, b] C 1-Vektorfelder

S - (x(s), XIs)) und S - (x(s), Y(s)),

Zur Ku ..... entheorie in der vierdimensionalen metrischen Differentialgeometrie 19

so daB fU r die inva rian te Able itung des Schmiegbivekto rs S = T, . .H in dieser Umgebung gilt

DS Ts= X"H + T"Y.

8 eweis. Nach dem Haubitzschen Zerlegungssalz exislieren Komponentenda r· slellu ngen

D d ds S' = ds S' + ,),',, (x, S}~

= 2 (~ T i, ' H i,J + T i

, :s H "l+ ')'~'~(x, T, H )H i,IT" + T;''Y~(x, T, H )T") .

Dabei konnen die Zusammenhangskoeffizienten ')'~" nach der Differenzierbarkeits· e igenschaft (k3)' und der Transfo rmalionsregel (k I)' lokal so gewahlt werden, daB

und

C1.Vekto rfelder sind. Sie haben dann die gewiinschte Eigenschafl.

Satz iiber die 2. Kru mmung: Fur ei ne C'·Kurve s>-+ xes) mit I( > 0 he iBt d ie Funktion

A:=r))(x,- H" ~~ i: O

2. Krummung. Fur sie gilt : ).(s)=O bedeutet entweder, daB DS/ds (s ) = O iSl, oder, daB DSlds(s) einfach

iSI und H (s) in der von DSlds(s) aufges pan nten Ebene Ilegt,UI)

" Inwieweit es moglich iSI, in der Definition dcr 2. Kriimmung dUTch Wahl eines Veklors H' . H +aT aus der Schmiegebene sian H die zweile Moglichkeit des Verschwiooens von A aunuschl ieBen. sci hier nichl behandelt.

'0 W. BARTIiEL UND H. I'ABEL

8 eweis. Nach dem obigen Hilfssatz gilt

DS A(,) = 0 ~ - H (,), ds (,) = T('), H(,t y (s) = 0

~ 3 3 Y(') =QT(')+~H(s)

= (X (,)+ ~T('))A H (,)

DS ~ ds (s) ist einfach.

Das weitere ist evident.

1m Unterschied zur I . Kri.immung bedeutet also A = 0 im allgemeinen Michl, daB die Schmiegbivektoren iangs der Kurve ein Parallelreld hilde n.

Da nach (kO)' die Koeffizienten y!".(x, T, If) nicht eindeutig festgelegt sind. is! auch in def nach Hilfssatz I moglichcn lokalen Zerlegu ng

DS - H, - = T" H" Y

ds

das C·Vektorfeld

y = (~ H i + i'~,,(x, T, H)T") 0:' L nicht e indeutig beslimmt. Urn cine eindeutige Zerlegung zu erhalten, fordern wir yon ei nem solchen "Erganzungsvektor" die Transversalitat zum Schmiegbivek lor.

Sitz tiber einen -p21·transversalen Vektor: Zu einer C·Kurve S'-~ xes) mit Ie > 0 und A> 0 existiert genau ein C-Vektorfeld

,- (x(s), H(,))

mit den Eigenschaften

{

DS -- H,-=T" H" B

ds

V as;P2)(X, T, H )B f = O. ".

(B)

Zur Kurventheorie in der vierd imensionalen metrischcn Differentialgeometrie 21

Beweis. Y sei e in CI . Vektorfeld aus der nach Hilfssatz 1 moglichen lokalen Zerlegung

Fur irgendein CI·Vektorfeld Y' gilt lokal

~33 Y' = Y+iiT+;3H. " li

Wir konnen also fUr B den Ansatz

B= Y +aT +(3H

machen. Er liefert , in (82) e ingesetzt, ein inhomogenes lineares Gleichungssystem fUr a und (3:

, V (O'(p21(X, T, H )'r)a +(~P<2)(X, T, H)Hk )(3 = -a~p<21(x, T, H) yi.

, 0,

Nach (1), (2) und (7) iSI die Koeffi zienlendelerminanle

a l p2)a~F(2)(X, T, H )'rH k - a~F(2 )a~F(2)(x. T. H )'rH"

= L (a:p<2 )a~p<2) - a!Fma~p<2))(x, T, H )('rHk - TkH ') i<k

= L SikS,k = S,S' = 1. i<k

Damit ist das Gleichungssystem eindeutig losbar und nach der Cramerschen Regel gilt

Das lokale CI·Veklorfe\d

B:= Y -S,( Y" H )'T-S,(T" Y)'H

erfullt somit (B ). Es ist auch unabhiingig von der Auswahl von Y ; denn fUr

22 W. DARrnEL UND H. PABEl

Y': = Y +iiT+ ~H gilt

y' - S,(Y'" H)'T - S, (T" Y')'H

= Y + iiT + jjH - Sr(Y" H )fT - ii (SIS')T - SI(T" Y)IH - P(S,S')H

= Y - Sl ( Y" H)'T - 5,(T" Y)'H = B.

Damil ist die eindeutige LOsbarkeit des Systems (B) nachgewiesen. Wegen dieser Eindeutigkeit liefern die lokalen C '·Vektorfelder ein C1·Vektorfeld Jangs def

ganzen Kurve .

Satz iiber den Bitransversalvektor und den Schmjegtrivektor: Fur cine ~­Kurve s>-+x(s) mit K> O und A> O gilt:

a) Der Bitransversalvektor

1 -B'~-B . A

ist p 2)-transversal zurn Schmiegbivektor S = T" H, d.h.

, '" afPZ)(x, T, H)B i = O. , -,

(Dabei ist B das im letzten Satz eindeutig bestimmte C'·Vektorfeld.)

b) Fur den Schmiegtrivektor

ist

f))(x, P) = 1 und damit p,pl = 1.

Beweis.

a) Die Ffll·Transversalitat folgt unmittelbar aus (82). b) Wegen ([2) folgt

f "(x p) ~rl) x -- H - =_1(3) x - H - =-A= 1. ( lD~l( D~l , 'A"ds A" " ds A

(8)

(9)

Zur Kurventheorie in der vierdimensionalen metrischen Differenlialgeometrie 23

2.4. Die Torsion

Die Torsion einer Kurve soli schlieBlich die Anderung der von P "" T" H,,8 aufgespannten Schmieghyperebene messen, Dazu betrachten wir - analog zur 2. Krummung - die invariante Ableitung des Schmiegtrivektors, die in Komponen­ten die Darstellung

D r d -ri . .. ) -ri. d . . ) - P =3!- 1 "' · H " B" +3 !J -"- H "· B" ds ds ds

+3!1'i' H~ ~ B i,l + yi,,(X, P)T"

besitzt. Da die Anderungen (dlds)T' des Tangentenvektors und (d/ds) H i des Haupttransversalvektors schon durch die 1. und 2. Kriimmung gemessen werden und zur Definition der Torsion das Volumen benutzt werden soli, ist es sinnvoll , hierzu den 4-Vektor B ,,(DP/ds) mit der Komponente

zu wahlen.

Satz uber die Torsion: Fur eine ~-Kurve s_x(s) mit K>O und ,.\ > 0 heiBt die Funktion

T: =V(x, B" ~f)

Torsion. Flir sie gilt: T(S) = 0 bedeutet entweder, daB DP/ds (s) = 0 ist, oder, daB 8(s ) in der von

DP/ds (s) aufgespannten Hyperebene liegt.(12)

Auch hier bedeutet also T = O im allgemeinen nichr, daB die Schmiegtrivek­toren llings der Kurve ein Parallelfeld bilden.

Satz uber den Trivektor der rektifizierenden Hyperebene: Fur eine C-Kurve s>-+x(s) mit K>O, A> O und V. T(S)-.6 0 gilt :

12 Analog ZUT 2. Krtimmung sci hier nicht behandelt, inwieweil es moglich is!. dUTch Wahl eines Vekto~ B' '" B +aT +{3H stat! B in der Definition der To~ion die zweite Moglichkeit des Ve~chwin­dens von T auszuschlieBen.

W, BARTHEL UND H. PABEl

a) Der Trivekror der rektifizierenden H }'perebene

1 DP R '=--

. T ds

ist f J)-transversal zum Schmiegtrivektor P = T" H"B, d.h .

P,R' = O.

b) Fur den 4-Vektor B"R isl

vex. B"R) = I.

Beweis.

( 10)

(11 )

a) Die (ll-Transversalitat folgt aus dem Satz iiber e infache p-Vektorfelder konstanten Areals.

b) Wegen der Linearitat des Volumens folgt

v(x, B"R )= v (x.! B" Ddf\=~v(x,B" D~=~T = I. T ;}T d;}T

Bemerkung zur Differentiationsord nung: Die bisherigen Definitionen und Satze bleiben auch dann gilltig, wen n die Kurve s ..... xes) nur von der Klasse C2

und zusatzlich s"'" H(s) und s"'" B(s) von der Klasse C sind. Denn die C 2_

Differenzierbarkeit der Kurve liefe rt die Stetigkeit von DTlds und der 1. Krummung K, wahrend die C1-Differenzierbarkeit des Haupt- und Bitransversal­vektors die Stetigkeit von H" (DSlds ) und DPlds sowie der 2. Kriimmung A und der Torsion T liefert.

AbschlieBend se ien noch einige Einfachheitsbed ingungcn fUr p-Vek loren angegeben, wie sie im fol genden fur p = 2 ben utzt werden .

HilfssBtz 2:

a) Fur einen p-Vektor X E /\PT~ sind folgende drei Eigenschaften aquivalen l: 0:) X ist einfach, d.h. es ex istieren p Vektoren Xl ' . . . Xp aus T~ mit

(3) Es existiere n p linear unabhangige Vektoren Xl".' Xp aus T. mil

• V X" X" = 0 . . -,

Zur Kurvenlheorie in der vierdimensionalen melrischen Difierenlialgeomclrie 25

y) Fur die Komponenten gilt

b) Fiir die kovarianten Komponenlen eines einfachen p-Ve ktors X E GK~( T~)

gilt

8eweis.

a) Siehe etwa [7] §7 Coroliaire 1 S. 95 und [10J I §7 S. 23. b) Da

GKg(Tx ) - GKg(~)

X ~ X,dx': = f P) affp)(x, Xl dx'

e ine Abbildung der e infachen p-Vektoren ;.! 0 nach den einfachen kovarianten p-Vektoren ;".0 ist, stellt b) die a) entsprechende Einfachheitsbedingung y) fiir kovariante p-Vektoren dar.

3. Natiirliche Gleichungen einer Kurve im F'

Auf die Frage, ob die Kriimmungen K, A und die Torsion l' ein vollstandiges und unabhangiges Invariantensystem e iner Kurve bilden, gibt der folgende Salz A ufschluJ3.

Fundamentalsatz der Kurvenlheorie: Gegeben seien stelige Funklionen

S~ K(S » O, s~ A(s»O, S~ ,.(s);".O,

(emer ein Parameterwert So, ein Punkt xoE F' und Vektoren To , Ho, Bo aus T..., mit den Normierungsbedingungen

(12)

und den Transversalitatsbedingungen , 't/ arP2l(xo, To. Hol Bt; = O. ( 13) , 0,

26 W. BARl1lEL UND H. PABEL

Dann existiert irn ~ genau ein orientiertes ~-Kurvenstiick s>-+ x(s) mit den Eigenschaften

/3) s>-+ x{s) ist Bogenlangenpararneterdarstellung, 'Y) Kist 1. Kriirnrnung, A ist 2. Kriirnrnung, T ist Torsion.

Zurn Beweis mussen die "Ableitungsgleichungen" (4), (6), (8), (10) einer Kurve irn ~. namlich

dX=T ds

DT=KH ds

B = AB, wobei B das durch die Gleichungen

eindeutig bestirnmte Vektorfeld ist,

DP R . P -=T mit = THB ds '" " ,

unter den Normierungsbedingungen (5), (7), (9), (1 1), namlich

L(x, n = 1 } f 2 )(x, S)= 1

f"'(x, P) = 1 v(x, B, R) = 1

(14)

(15)

integriert werden . Dazu bringen wir zunachst diese Gleichungen auf eine Normal­form:

a) Elimination einer Komponellte oon H

Aus L 2(X, n = r;'r = 1 folgt nach dem Satz iiber einfache p-Vektorfelder konstanten Areals unter Benutzung von (14b)

Zur Kurvenlheoric in der vierdimensionalen metrischen Dilfercnlialgeomelric 27

was wegen der Anfangsbedingung (12a) mit (15a) aquivalent ist. Wegen 1';1" = 1 kann man in einer Umgebung von So ctwa

annehmen. Dann erhalt man aus (16)

1 ' H 4 =-'T L T" H" =:H4(x, T, H 1, ff2 , H l

) . 4 .. ~ I

(17)

b) Elimination zweier Komponenten von B

Wegen f212(X, 5) = S,Sl = 1 existiert in einer Umgebung von So ein Index 10 mit Sr.,Sl" t= O. Wir nehmen zunachst

an . Aus (14c) und (82) folgt dann

, V iifP21(x, T, H )B i = O. ,-,

Wegen

I ii~p21(x, T, H) a!p2)(x, T, H) I iii p 2)(X, T, H) ii;P2)(X, T, H)

= 2Clr1p 2) ii:JP21(X, T, H ) = f21(X, 5) ii34f21(X, S)

= S34 t= O

(18)

besitzt dieses lineare Gleichungssystem fUr B den Rang 2. Man kann also nach der Cramerschen Regel B 3 und B4 eliminieren:

1 l-a1p21(x TH)Bl _a 1 p 21(x TH)B' B3=~ 1 " 2, ,

S _a2p 21(x T H)Bl _a2p.21(x T H)B' 34 1 " 2, ,

ii!P21(X, T, H) I ii;P21(X, T, H )

= -~ (a 1 P 2)a2 p.2)(X T H)B ! +ii 1 p 2) ii2 p2)(X T H )B' ) S [ 1 4J " [2 4J "

" (19)

28 w. 8ARTI{EL UND H. PA8El

Analog erhait man

(20)

Da die Annahmen T41'" i:- 0 und 534534 ¢; 0 durch die Beziehung 534 =:

T J H4 - T' H ) miteinander gekoppeh sind, miissen wiT, urn volle Allgemeinheil zu c rreichen, auch rUr cineo Fall, daB keine KoppJung besteht, etwa fur S12S12;t. 0 den Nachweis fiihren. Da abeT nur an einer Stelle des Beweises - namlich im Abschnitt e) - beide Annahmen gleichzeitig benutzt werden, beschranken WiT uos darauf, zurn SchiuB dieses Kapiteis den betreffenden Abschnitt unter den An­nahmen T41";t. 0 und SnSl2 -;I:. 0 zu wiederholen.

c) Elimination des Trivektors R

Wie aben falgt aus f312(X, P) = P,P' = 1 oach dem Salz tiber einfache p­

Vektorfelder konstanten Areals unter Benutzung von (l4d)

P1R ' = 0, (21)

was wegen def Anfangsbedingung (l2e) mit (ISc) aq uivalent ist. Andererseits erhalten wir aus (l4d) und (14a)

Daraus folgt zunachst

Aus (l4b) ergibt sich (DT/ds)", H = 0, d.h. wegen (I4a)

!!.. T- i ,. H o,l= -"\1[', (x nHo,lT" ds ' " , ,

also

Einsetzen in Gleichung (23) Iiefert

(23)

(24)

(25,)

Zur Kurventheorie in der vierdimensionalen meuischen Dilfercntialgcometrie 29

oder abgekiirzt

'PI R 234) =: IPI( ; x, T, H, B ). (25b)

Weiter folgt aus (22)

'tffl R 234 ] =: 3!JifI T2 ~ H3 . B41+ ffl 'Y234J~(X, P)Th. (26)

Aus (14c) und (BI ) ergibt sich H."( DSldsL, B = 0, d.h. wegen (l4a)

Einsetzen in Gleichung (26) liefert

(27a)

oder abgekiirzt

JifIR 234)= 1P2( ;x, T,H, B). (27b)

Damit hat man in den Gleichungen (2l), (25), (27) und (l5d) ein inhomogenes lineares Gleichungssystem fur R' gewonnen:

P,R' = O

'PI R 2341 = <P I ( ; x, T. H, B)

Jifl R 234 ] = <P2( ; x, T, H, B )

oder explizit

P123

R 123 + PI24 R 124 + P 134 R 134 + P 234 R 234 = 0

- rR I23 + T 3Rt24 _ rR 134 + T IR 234= 4<P I

_ H 4 R I23 + H3R 124 _ ff2R I 34 + H I R 134= 4<P2

Da die Koeffizientendeterminante dieses Systems wegen (l5c)

(28)

30 w. BARTI{El UNO H. PABEL

ist, existiert genau cine LOsung R', fUr die wegen (17), (19), und (20) gilt

R = R ( ; x, T, H\ H2, H 3, Bl, 8 2

).

d) Normalform von Gleichung (14b)

Aus (14b) (olgt unter Benutzung von (14a)

d . . . ( )' ds T = I(H'-'Y'h X, T T

also wegen (17)

~ T=~;{ ;x, T,H l ,H2,H3).

e) Nonna/form von Gleichung (14c)

Aus (14c) und (B 1) folg!

DS -- H,-= T,H,B =AT, H, B

d,

und unter Benutzung von (14a)

odeT

S(l~ ff J=A.S<'B il+ff i", l . (x S)T' ds ' ", ,

also wegen (17), (19) und (20)

Dieses lineare Gleichungssystem fiir die GroBen (dlds)H i lautet expl izil

=X 1B

(29)

(30)

(31.)

(31 b)

(32)

Zur Kurventheorie in der vierdimensionalen metrischen Diffcrenlialgeometrie 31

Seine einfache Koeffizientenmatrix besitzt wegen der nach Hilfssatz 2 Teil y) formulierten Einfachheitsrelation S(i,i'Sk,lk, = 0 nur den Rang 2:

Denn Addition des (-SI4/S 34Hachen der 1. Zeile zum (S24/S34)_fachen der 2. Zeile Hefert die Zeile

s" o

also wegen S[12S3}4 = 0 die 3. Zeile. Analog Iiefert Addition des (_SI 3/S34)_ (achen der 1. Zeile zum (S23/S34)-fachen der 2. Zeile die 4. Zeile. Andererseits ist die Unterdeterminante

I 0 s"l=-(S")'~O S34 0 '

d.h. die einfache Koeffizientenmatrix besitzt genau den Rang 2. Wegen der nach der Einfachheitsbedingung (D4) moglichen Darslel\ung

folgl aus (31) sowohl y<I X2341=O als auch Hi lX2341=O. Dann gilt

Sl4X

234 _ S24X

134 + S34X124

d.h.

= H4(TI X234 _ T2 X I34 + T 3X 124 ) _ 'r(Hi Xl34 _ Jf2XJ)4 + H 3X124)

= H4 T 4 X123 _ 'rH4X123 =0.

Analog erhalt man

5 13 523 X

123 = __ X234+_X'" 534 5 34

Damit ist auch der Rang der erweilerten Koeffizientenmatrix gleich 2. Das lineare Gleichungssystem (32) fUr die GraBen (d/ds) H i ist also losbar und

reduziert sich auf das Gleichungssystem

S'" ~ H" = lx'" l ds

5(n!!. H41=!x04 ds

(33)

Weiter folgl aus f 2 )2(X, S) = SIS' == 1 nach dem Salz tiber einfache p-Vektorfelder

J2 W. BARTIlEL UND H. FABEL

konstanten Areals saforl

51 ~ 51 = 0, (34)

was wegen der Anfangsbedingung (12b) mit (ISb) aquivalent is!. Mil (14a) und (14b) erhalt man

D 5' = 2 (!!.. T i, . H i,/+ T i ,.!!... H i,l) + y',,(x, S)T" ds ds ds

= 2 ( Ti' ~ Hi,J+ ff1 i 'yi,I,,(x, nT") + y',,(x, 5)T".

d.h.

L Sik Tidd H It)= - L S,dJ-lfiykJ,,(X, n +h'\(x,S))T",

;<It S ,<It

also wegen (17)

L SikT-idd Hk )=h(x, T,H' , W,H) . ;<It S

Diese Gleichung laulet wegen der Schiefsymmetrie der Silt explizit

Zusammen mit (33) hat man also das lineare Gleichungssystem

S24.E...H3+ d,

S '4.E... H3+ d,

d 5 2 .1 _ H 4 = X2.l~ d,

- d I . d If' ( 0) d 3 . d 4 (SnT) -d H +(Si2 T')-d + S, )T' - H +(Si4 T')- H =x s s ds ds

fUr die GroBen (d1ds)Hi. Es besitzt wegen

o 5 34 _524

S" o SI! r Si2 T 5i ) 1"

:= 5 34[(5145'4 + 5245 24 + S34 S34)'r + S n(S'4'(l - 5 14 Tl )

(35.)

(35b)

(36)

+ SdS I4 T 3- 5 34 T 1

) + S23( S 24 T J _ SJ4~)J

Zur Kurvenlheorie in doer vierdimensionalen melrischen Differenlialgeomelrie 33

den Rang 3, ist also IOsbar. Aus (17) eThalten wir dUTCh Differentiation

d ' (d T) I ' d - H' =- L ---' W -- LT - H o ds a _ I ds T4 T4a _ 1 ods

und wegen (14a) und (30)

d I l d - H4 = -- L Ta - H a + X( ; x, T, H '. /P . Hl). ds T4t1 _

1 ds

(37)

Setzt man dies in die Gleichungen (36) ein, so falgt nach Mulliplikatian mit T4 :

_ 52lT ~ H I +(5J4 T - S H y ) ~ H'-(524T + 52Jy )~ H·~ Ids 42ds "lds

= T4(x2J4 - 5'Jx) (5 J4 T - S I)Y )~ HI-SI) T ~ff2-(SI4T + SIlT )~ Hl

4 1 ds 1 ds 4 J ds

= T4(XI)4 _ SI.1 X)

(. . d I . . d ,

5i I T'T4 - S,4T'T I ) ds H + (Sil T'T .. - Si .. T'T2) ds H

( . T' d ) . -+5, .. T'T .. - 5,4 T ))ds H = T .. (x - 5, .. T'x )

Dieses lineare Gleichungss),stem hal die Koeffizientendeterminante

(SI[ T'T4 - 5,,, TT1)T .. (- SL4 S ·14 y .. - 5 L)Sl"y) - (S i3SH - S B S I")T2)

- (S,2 TY" - S," T'T2) T4(S24S34 T4 + S 23 S 34 T.1_ (5 1)5 2 .. - SV SI4)TI)

+( S; , T'T .. - S,4 T'T.l)T~( _ S34 SJ4T~ + S2 .1SHT~ + SI .1S'''T1)

(38)

(wegen der Einfachhei lsrelatia n S(l2S3l4 = 0 und der Schiefsymmetric der S'~)

= T .. S 34[( S" T'T .. - 5; .. T'YI ) S~ I Tk + (5i2 TY .. - Si .. T'T2 )Sk2 Tk

+ (SI) T'T .. - Si .. T'T3)S" ly~]

= T .. S 34 [ TJ± S"" T'Ska Tk - S;4T'5"kT~) - 5; .. T' t ± S<>BT..Tj3] \, _1 ,, _1 B- 1

34 W. BAR1liEL UNO H. PABEL

(wegen def Schiefsymmetrie def S"'B ven;chwindet der letzte Summand in def eckigen Klammer)

= T.T4 S34S./r'SkiTk :: T. T.S J 4 L Sij T,,(S"iT _Ski'J'i) ;</

(wegen SUTJ= O)

= T4 T4 S34 L SijT,..sllr = T4 T4 S34S,SIT,..T' ,cO. l<j

Es besitzt also genau eine LOsung

, d V - H"'=X"('x T HI W H3 8 1 8 2

) d

• " , , , , . a _ I S

Einsetzen in (37) ergibt noch

f) Nonna/form von Gleichung (14d)

Aus (22) falgt unter Benutzung von (24), (39), (40)

'Pi'Hi., ~ B i,J= 1f1\ B <''Yi•1,,(X, nT"

+11\B<'X i•J( ;x, T,Hl, I-f2, H l, 8 1, B2)

+ li( 'TR I - y',,(x, P)T"),

also wegen (17), (19), (20) und (29)

S(I!!.. BO=1 ."fi( T H' H' H' B' B') ds 3 '1'; x" , , , , .

(39)

(40)

(41)

Die einfache Koeffizientenmatrix dieses !ineaTen Gleichungssystems flir die GroBen (d1ds)Bi besitzt, wie schon nach Gleichung (32) gezeigt, den Rang 2. Dies gilt wegen der mit (2Sa) hzw. (27a) identischen Gleichungen 1'11/1234] "" 0 und H[11/1234 ] "" 0 auch fUr die erweiterte Koeffizientenmatrix (Beweis wie nach Gleichung (32)) .

Das lineare Gleichungssystem (41) fUr die Gro6en (dJds)B' ist also losbar und

Zur KUlVentheorie in der yierdimensionalen melrischen Differentialgeomctric 35

reduziert sich auf das Gleichungssystem

S", .<f.- B" = l~'" } ds

S[ Il ~ 84] = ! ,p134 ds

Andere rseits folgt aus (19) und (20) durch Differentiation

und wegen (14.) , (30) und (39), (40)

(42)

Setzt man dies in die Gleichungen (42) ein , so erhiilt man nach Multiplikation mit

5"

(5 5" +5 5") ~Bl + (S S23 + S S24+ S S34)~ B2 13 14 ds 23 24 34 ds

= SJ4( 1/1234+ S 24 Jj,3_ S 23Jj,4)

(S !3SI3 + S14S 14+ S34S34) :s B l+(S23 S 13+ S24S I4) ~ B 2

= 534(1/1 \34 + SI 4Jj,3 _ S13Jj,4)

Dieses lineare Gleichungssystem hat die Koeffizientendeterminante

- S34SQ I S I_S !3+ S I4S1 4 + S23S23 + S24S24 + 534S 34 )

S 13 S 13 S24 S24 - S I4S14 S23S23 + S I)S23 S24S 14 + S I4S 24 S23S 13

= - S34S34 L. SIS' - (S !3S24 - S23 SI4)(S 13 5 24 - S 23 S1 4) , ,./121

(43)

(wegen de r Einfachheitsrelationen S (12

S J}4 = 0 und S (I2 S 3}4 = 0 - entsprcchend

36 W. BAFll1'lF.:L UNO II. 'ABEL

Hilfssatz 2 - sowie der Schiefsymmetrie der 511< und Sj,,)

=-534 5 34 L SISI - SI2S34SI2S34 =-S34S34SIS'~O . '''(12]

Es besitzt also genau eine LOsung

(44)

Damit gaben wir die Gleichungen (14) und (15) auf eine Normalform gebracht:

Gleichung (14a) ,. d . . V -x'=T

i ~ l ds

nach (30)

oach (39)

oach (44)

und

4 d .. 1 2 J V -T'=q:>'( ;x, T,H , H , H)

i _ I ds

, d V - H" = x"( 'X T HI Jf1 H 3 BI 8 2)

d ' " , , , , a _ I S

oach Gleichung (17) H 4 = H 4(X, T, H ' , H 2, H 3)

oach (19) B) = B 3(x, T,H I, 1f2,H3,8 1,82 )

nach (20) 8 4 = B 4 (x. T, HI, ff2, H 3, 8 1

, 8 2)

nach (29) R =R( ;x, T,Hl,l-f2, H 3, BI,B2)

(45)

(46)

Die in dem Differentialgleichungssystem (45) auftretenden Funktionen <pi, X", tfJP sind nach Konstruktion stetig und besitzen stetige partielle Ableitungen oach Xi,

T i, HQ , BP, (Wegen der Abhangigkeit der GraBmann~Komponenten im Faile

p ==: 2 existieren zwar im allgemeinen keine partiellen Ableitungen der auftreten~ den Zusammenhangskoeffizienten y',,(x, T" H) nach den (T" H)', jedoch besilzen die von uns benutzten Abbildungen

die von der gleichen Differentiationsordnung sind wie die Abbildungen

Zur KUl"lenlheorie in <ler vierdimensionalen metrischen Differenlialgeometrie 37

natiirlicherweise stetige partielle Ableitungen nach Xl, 7", H" .) Damit existiert nach dem Existenz- und Eindeutigkeitssatz fUr Differentialgleichungssysteme 1. Ordnung in einer Umgebung von So genau eine LOsung

s >-+ xes), s >-+ T(s), s>-+ H"(s),

mit den vorgeschriebenen Anfangswerten

W (s,,) = H ;,

AuBerdem folgt aus (17) mit (1 2a) und (1 3a)

aus (19) mit (!2b) und (13 b)

und aus (20) entsprechend

Nun mfissen wir noch nachweisen, daB die eben gewonnene Abbi/dung s >-+ x(s) Bogenliingenparameterdarslellung eines orientierten C 2-Kurvenstucks mil den vor­geschriebenen Anfangsbedingungen und den Krumm ungen K , A sowie der Torsion ,. ist. Dazu zeigen wir, da B unler den vorgegebenen A nfangsbedingungen auch umgekehrt aus dem reduzierlen Gleichungssystem (45 ), (46) die G1eichungen (14). (15) gewonnen werden konncn:

Aus (45a, b) und (46a) folgen unmittelbar die Gfeichungen (14a, b). Dann ist aber (46a), wie im AnschluB an (1 6) bemerkt, aquivalenl zur Gleichung (l5a).

Weiterhin fUhrt (45c) fibe r (38) wegen (45a, b) sofort zu den Gleichungen (36). Wegen der nach (04) moglichen Darstellung

ix" = AS(IB i )+ Hi'yIl,,(x, S)Y"

= AS(lB i]+ S( lk~I,, (x, T, H )r

gilt trivialerweise 71 1 X2~1 = ff l X2~1 = O. Man erhalt a lso aus den Gleichungen (36a, b) das volle Gleichungssystem (32), d.h. die Beziehung

38 w. BARTHEL UND H. PABEl

Aus (46b, C) folgt weiler (18) odeT gJeichbedeutend dam it die Beziehung

, V a~p2)(x, T, H)ABI "" O . . -,

Seide Gleichungen liefern wegen def eindeutigen LOsbarkeit des Gleichungssy­stems (B) die Gleichul1g (14c). Aus (36c) ergibt sich namlich mit Hilfe def schon gefoigerten Gleichungen (l4a, b) die Gleichung (34), die, wie dort bemerkt, zur Gleichung (ISb) aquivalent ist .

Gleichung (45d) fiihrt uber (43) wegen (45a, b, c) soforf zu den Gleichungen (42), Infolge der mit (28b) identischen Beziehung (2Sa) ist 'PI 1/12341 "" 0, und aus def mit (2Sc) identischen Beziehung (27a) erhalt man wegen H,,(DSlds) 1\ B = 0 die Gleichung (26), also J-lilljl234J=O. Linearkombinationen der Gleichungen (42) Hefem demnach das volle System (41). Dieses ist wegen (45a, b, c) und (46a) gleichbedeutend mit (22), d.h. wegen (l4a) mit der Gleichung (l4d). Weiler ist, wie im Anschlu13 an (21) bemerkt, (28a) aquivalent zu Gleichung (l5c), und Gleichung (28d) ist identisch mit Gleichung (I5d), womit der Beweis unter den Annahmen

vollstandig ist.

Nach der Bemerkung am Ende von Teil b) des Beweises ist nur noch zu prufen, ob das Gleichungssystem (31) zusammen mit Gleichung (35) auch unler den Voraussetzungen

eindeutige LOsungen (dlds) H'" besitzt: Wegen S[34S I12::=: 0, ']il X234) = 0 und flIl X234) = 0 liefert im linearen

Gleichungssystem (32) Addition des (S23/S 12).fachen der 3. Zeile zum (-S24/SI2)_fachen der 4. Zeile die 1. Zeile. Analog ergibt Addition des (SI3/SI2)_ fachen der 3. Zeile zum (-SI4/SI2)_fachen der 4. Zeile die 2. Zeile. Andererseits ist die Unterdeterminante

lOS" I SI2 0 ;CO,

d.h. das lineare Gleichungssystem (32) fUr die GroBen (dlds)H' besitzt genau den

Zur Kurventheorie in der vierdimensionaJen metrischen Dilferentialgeometrie 39

Rang 2, ist also losbar und reduziert sich auf das Gleichungssystem

Zusammen mit (35) hat man somit das lineare Gleichungssystem

S24 ~Hl _ S14~ ff2+ S12.E... H4 = X1 24 ds ds ds

S23~ Hl _ ds

SI3~ ff2 + ds

S I2!!... H 3 ds

fUr die GroBen (dlds)Hi. Wegen

S24 _ S 14 0

S 23 - SI) SI 2

= - Sil TSI2S 14 - Si2 1"S12S24 - Sj3 1" (S I3S24_ S23 S 1-4)

= - SI2(S I4 Sil 1" + S24 Si2 1" + S34SjJ 1")

und wie im AnschluB an (36)

= SI2(Sr$l)']"4 -F- 0

= XI23

(33')

(36')

besitzt (36') den Rang 3, ist also losbar. Einsetzen von (37) liefert nach Multipli­kation mit T4 :

(S24 T _ S I2 T).E...HI _ (SL4T +S12T).E...ff2 - SI2T.E...f(3 4 Ids 42ds 3ds

= T4(XI24 - S12X)

(38')

40 W, BARTHEL UND H. PABEL

Dieses lineare Gleichungssystem hat die Koeffizientendeterminante

(5,1 1"T4 - Sj4 T 'T 1)(-S12(SI4T4 +S12Y2) - 512513Y3)

-(5;2 T'T4 - 5,4 TT2)(SI2(S24T4 - 5 12 T\) + S12S23 T3)

+ (5;3 T'T4 - Si4 T' T3)( - 513(524T4 - S12Tt ) + 523(5 14 T4 + S1 2T2))

= (S;1 T'T4 - 5i4 1"T1)(-512)(5 12 T2 + S!3YJ + 5 14 T4 )

+ (5,2 T'T4 - Si4 1"T2)(- 5 12)( -S12)(-SI2 Tl + S23T) + 524T4 )

+ (SjJ 1"T4 - S'4 T'T)( - SI 2)(- S13T1 - 523 T2 + 534T 4 )

= S12«Si 1 TiT4 - 5i4 T'T\)Sk I TI< + (5,2 T'T4 - Si4 TT1)S k2 T" + (5,3 1"T4 - Si4 T'TJ )Sk3 T,,)

uod wie im AnschluB an (38)

Es besitzt also genau eine LOsung

womit der Bcwcis vollstandig is!.

LITERATUR

(39')

(1) W. BARnlEL, Uber homogen( Funktionen auf dem GrnJlmann-Kegel. Arch. Math. 9. 262- 274 (1958).

(2] W. BARTIlEL, Uber melrische Di/ferel1liaigeomelrie, begriindet auf dem Begriff tines p­dimensionaJen Areals. Math. Ann. 137, 42-63 (1959).

(3J W. B"FtTI1EI., Natur/iche Gleichungen einer Kuroe in der metrise/len Differentio/geometrie. Arch, Math. 10, 392-400 (1959).

[4] W, BARTHEL, Nich/lineare Zusammenhangt und deren HO/OlWlI1iegruppen. J. reine angew. Math. 212, 120-149 (1963).

(5] W. B"RntEL und U. BRECHTI<..EN-MANDERSCHEID, Zur Varia/ionsrechmmg mehrfacher In/egrale. Tensor N.S. 24, 101-115 (1972).

(6] W. B"RTIlEL und I. H"UBITZ. Zur metrischen Differen/ialgeome/rie auf Mannigfaltigkeiten mil p-AreaJ und nich/linearem Zusammenhang fiir einfache p- Vekloren. 1.-Ber. DMV 75, 9-4\ (1973).

(7] N. BOUJUi"KI, A/gebre Chapitre 3, AIgtbre multilineaire. Paris 1958. [8] I. H AUBITZ, Nich/lineare Zusammenhange in Biindeln von Grapmann-KegeJn. Tensor N.S. 24.

123-\60 (1972).

Zur Kurventheorie in der vierdimensionalen metrischen Differentialgeometrie 41

[9] B. ScHEURING, Nllliirliche Gleichlmgen einer Kllrve in der dreidimensionll/en metrischen Differen-till/geometric. Staatsexamensarbeit Wiinburg 1973.

[\0] J. A. ScHOUTEt'I. Ricci-Cilicu/us, Berlin-Goltingen-Heidelberg \954.

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