Ziir Losungstheorie sta,rk elliptischer Systeme uber dem Gesamtraum

Von HERBERT BECKERT in Leipzig

Herrii Prof. Dr. HANS S A L I ~ zum siebzigsten Geburtstag

(Eingegangen am 17. 6. 1971)

Bekanntlich braucht das AuBenproblem fur eine stark elliptische liiieare Differentialgleichung 2 mter Ordnung (oder anch hyperelliptische Diffe- rentialgleichung )

unter einer naturlicheii Abnahnieordnung im Unendlichen keiiie Losung uber H9n,2(Rn) zu besitzen. Das wurde zuerst an dem klassischen AuBen- problem der reduzierten Wellengleichung (1) LZS = d u + q u = f, f ( x ) c & ( f i n ) suppf(x) c R" durch A. SOMMERFELD offenkundig, vgl. etwa [9]. Bei q = k' > 0 existiereii hier im allgemeinen keiiie zu Ilo,2 (R"), geschweige denn zu Bi.2 (R") ge- horigen Losungen. Erweitert man niit A. SO~VMERFELD die Klasse der zu- liissigen Funktionen u (2) diirch die sogenaiiiiten Aus- bzw. Einstrahl- bedingungeii

L U - f

so erweist sich (1) als eindeutig losbar. Eei ( b ) : q 5 0 ist die SOMMERPELD- sche Erweiterung unnotig, die Losungen von (1) liegen dann in fIt,2 (R") und siiid eindeutig bestinimt. Die sogenannten Methoden der Grenzabsorption und Greiizamplitude beinhalten zwei wichtige Konstruktionsverfahren fur die Losungen im ersten Fall. I n zahlreicheri interessanten Arbeiten sind diese Methoden von einer Reihe sowjetischer Mathematiker auf coercive AuBen- probleme allgemeiner Klassen stark elliptischer bzw. hyperelliptischer Differentialgleichungen im Ausstrahlungsfall ( 2 ) verallgemeinert wordeii, vgl. [Ill sowie den abersichtsartikel von B. R. VAINBERG [ lo ] niit weiterer Literatur und [3].

In der vorliegenden Note legen wir cin stark elliptisches lineares System 2 mter Ordnung (4) LU = f uber dem Gesamtrauni R" oder einem AuBen- gebiet. zugruiide und gebeii in Yerfolgung der genannten Fragestellnng Be-

338 Beck&, Znr Losungstheorie stark elliptischcr Systeme

clingungen f ~ r den Fall (b) der klassischen unbeschrankten Losbarkeit cler inhomogenen Aufgabe an. Uabei brauchen die Absolutglieder f ( x ) = (fi , f 2 , . . . , f,) keinen iiber R’l kompakten Triiger zu besitzen. Rei glejchnidfiiger Stetigkeit der Koeffizienten des Hauptteils uber den1 Gesamtrauni Icann nian uber HnQ,2 (P) die G A R D I N G S C ~ ~ Ungleichuiig herleiten ( 7 ) . 1st das System positiv definit, k = 0, so gewinnen wir durch Anwendung klassischer JIethoden eine Homoomorphie zwischen den konjugierten SOBOLEW- Raumen H - n l , 2 (P) und .Elf?%,, (A”). Auf die von ellipt,ischeii Differential- operatoren 2 nzter Ordnung miter coerciven Bedingungen vermittelteii Homoomorphieii ist schon mehrfach in der Literatur eingegangen worden, vgl. etwa [ C i , 81. Da eiii stark elliptisches System L‘u durch Translation mit einer geeigneten positiven Konstanten co in eiu positiv definites

L U = L’2C f Cot6

iibergeht, kann man, wie bei der Wellengleichung (1) bzw. einer elliptischen Differentialgleichung, die unbeschrankte Losbarkeit des inhomogenen Sy- stems iiber H,,,(R”) allein an den Koeffizienten von u ( x ) ablesen (Fall k = 0). Fur das Auftreten der Ausstrahlbedingung ist eiitscheidend, daB die lineare Einbettung von H,,,,(D’) bzw. Hm,2 (EL) in Hm-1,2 (D’) bzw. H,,-,,2(Rn) oder auch in Ho,2(D’) bzw. H,,,(A”) nicht mehr vollstetig ist, d. h. der verallgemeinerte Satz von F. RELLICH im Sufienraurn nicht gilt. Man konnte andernfalls auf die Eigenwertgleichung

(3) L u + n u = j -

die RIESS-XcHsu~ER-Theorie anwenden und erhielte fur a h f ( x ) im zu den Xullosungen komplementiiren Kaum Losungen von (3) uber (R”).

Bezeichriungen

HO,? (h?) bzw. Ho,2 (D‘) siiid die HILBERT-Raume aller iiber ganz Rn bzw. dem Aul3engebiet D‘ quadratiseh integrablen Vektorfunkt lionen ‘

f ( x ) = (f (4)> = = 17 2 , . . ., y,

init der HILBERT-Norm : 1

l l f l lo,2-{ p a j- a i , r ( x ) , 2 d z } L , ~ 1 x = (x,. . .x,,).

Fur Ableituiigsoperatoren wird wie iiblich die Nultiindizesschreibweise ver- wendet :

Beckert, Zur Losungstheorie stark elliptischer Systeme 239

(D‘) bezeichiien die bekannten SoBoixw-Raume der iiber B,,? (R”) bzw. dem R’l bzw. D‘ quadratisch summierbaren Vektorfunktionen

u ( x ) = (?,P(x)), a = 1 , 2 , . . ., Y, init verallgemeinerten quudratisch sumniierbaren Ableitungen bis zur Ord- nung 1 und der HILBERT-Norm

I

Ch.’(D’) ist der bekannte BANACH-Raum der p-ma1 H-stetig nach dem H- Exponenten Y, 0 < Y < i, iiber D’ differenzierbaren Funktionen mit der iiblichen Norm. Starke bzw. schwache Konvergenz bezeichnen wir durch +

bzw. -. Sei

(4) LU = (- I ) l i a ’ D , ~ “ J ( ~ ) D a ~ = f ( ~ ) 0 5 1x1, IBI s m

‘ u ( 4 = ( u w ) > f ( x ) = (d”(4)

B(u, .u) = .A (u, U ) + R(u, U )

ein stark elliptisches System iiber dem E2 mi6 dem Energieintegral

( 5 ) r,r

= a;,;.” ( x ) D , ui D, uj dx Iln lzI=I,9I=?n

Lj=l

sowie r . r

mit einer positiven Konstanten Cg . Die Koeffizienten von B (u, u) seien gleichmaoig beschrlnkt, die des

Hauptteils A (u, u) uber dem Gesamtraum gleichmaaig stetig. Zu vor- gegebenem E > 0 existiert dann eiiie Oberdeckung U 1 , U,, . . . ) U , des Rn, so daB die Oszillationen der a,4;8(x), I M I = 1 = m iiber U , kleiner als E aus- fallen. U , sei etwa mit den1 AuBengebiet einer hinreichend groBen Kugel: 1x1 > R ( F ) identisch. Es esistiert hierzu eine Zerlegung der Einheit:

T L f x ) E C“, SUPPY/&(X) E U,, i = 1 , 2 . . . . , i v ( E ) , 0 < Y/,(x) < 1 ,

C 71; (x) = I, t ;x(E)(x) = I fur x 2 2 R ( E ) .

37

L=l

240 Beckert, Zur Lcsungstheorie stark elliptischer Systeme

Wir vergewissern uns jetzt von der Gultigkeit der GARDINGscheu un- gleichung bzgl. des Gesanitrauins und der Funlrtionenklasse Hm,2 (R”) : ( 7 ) B ( w , w) = CI [;wl[; - k llwll;, UI E Hm,*(R?Z). e l , k. > 0 .

Der Beweis von ( 7 ) kann wie beim DmIcHLET-Problem uber einem be- schraiikten Gebiet 9 c R”, sirpp w c s? erfolgen. Zunarhst erhalt mail durch FOURIER-Transformation

6 ( 5 ) ++ w (x)

D, w(E) = i’“l 5, zi, (t), von w (x) E HTj2,* ( R7&)

/2

o 5 1 c c ~ 5 m, cc = (q, ccI, . . ., cm) ( E ) , t , G ( t ) E H0,2(R7’)

nach VAN DER HOVE wie uber H:,,2 (22“) bei Konstanz den Koeffizienten :

mit ( 8 ) A’(W w) 2 ~Lllwll;:, kl > 0,

li2dl: = llwll:L - lIw!l;-i?

ferner wegen der Stetiglreitsvorsussetzuiigen

bei supp w(x) E U,, j = 1, 2 , . . . , AT(&). In Verfolgung der bekannteii Schluljweise benotigt man zur Beendigung des Beweises noch das EHRLIWGsChe Lemma

(9) I1wIC-l 5 IlWli2’ + C(&) liwllz

bei beliebiger Wahl von F > 0 und w E H,,,? (R”). Ds der verallgemeinerte RmmcHsche Ausmahlsatz fur Aukiengebiete nicht mehr gilt, scheidet hier dei- bekannte funktionalanalytische Beweis aus. MTir merken indessen an, daB sich der in 1121 fur beschrankte Cebiete ausgesprochene Beweis ohne weiteres auf den unbeschrankten Fall (5) iibertragen 1d3t. Ausgangspuiikt ist hier die Grenzformel

mit den Abkiirzungen :

It1 =m:, - 1

fur C + 00. gleichmaljig bzgl. E = (ti, t 2 , . . ., 6%). Ntich einer elementaren Ungleichuiig erhalten wir niit festen positiren Kon- stanten eo, el, e l :

p0 + A 5 B 5 ei iEIL”b + A

Beckert, Zur Losungstheorie stark elliptischer Systenie 24 1

sow-ie O < A S Q 2 c [ 1 1 2 u p Q 2 m I f [ * ( " - ' )

OSvZrn- 1

fur f 2 1. Hieraus folgb tinabhiingig von C fur R = J EJ -, 00

wegen :

Bei vorgegebenem E :-. 0 bestimme man R = 151 so, daB unabhangig von c z o t 10) O < V C E fur 161 2 R

und anschlieBend C so groI3, daB dasselbe noch fur 151 < R zutxifft, q. e. d. Each dem YLANCHEREL-TheOLWn fiir die Funktionenklasse Hm,2 ( RtL)

IID,u I(; = I16s u 11: ==

0 < Is] 5 VL,

fi E2"j Izc (f)12dE ~n j = 1

s = (SL, sz, . . . ) sn) folgt nach Multiplikation der aus (10) folgeiiden Ungleichung A<E(C' + B ) mit I & (t)l nebst Integration iiber R'I sofort das behauptete EHRLINGsche Lemma (5) fur u (x) E H1a,2 (R"). Damit ist such die GARDINcsche Un- gleichung ( 7 ) iiber Hm,2 (R") sichergestellt, in analoger Weise bestatigt man sie fur AuBengebiete D' in der Klasse Hk,2 (D').

Aus ( 8 ) schlieBt man sofort, daB bei konstanten Koeffizienten das zum Hauptteil d (u, 26) gehorige stark elliptische homogene System

,cZc = c ( - I ) ' P ~ D ~ ~ ~ ~ ~ P ( ~ ) D ~ ~ = o l a l = I p l = m

(11)

auBer der trivialen keine Losung uber Hm,2 (R") besitzt, da die Losungs- mannigfaltigkeit, welche sich ails den Polynomen P ( x , , . . . , x,) bis zum Grade ,m, - 1 zusammensetzt, nicht hierzu gehort.

H, ,2 (R") in der negativen Norm, [5] :

Nach P. D. LAX wird durch Abschhxl3 der Eleniente b

der HILBERT-Rauni N_nL,2 (R") definiert, der zum dualen Raum (R") iso- met,risch isomorph ist. Eine aquivalente Einfuhrung der negativen Norm ergibt sich bekannt,lich nach L. SCHWARTZ uber die FOURIER-Transformierte 16 Math. Kachr. 1972, Bd. 53. H. 1-6

212 Beckert, Zur Losungstheorie stark elliptischer Systeme

6 von b : m

IIbIiL9fi = i1(1 + / X I ' ) - 6 1 1 0 .

Each diesen Vorbereitungen beweisen wir den Satz : Das stark elliptische System (4) besitzt im definiten Fall, E = 0, fur alle

f (x) E H-m,z (A") eiiie eiiideutig bestimmte Losung u ( x ) E Hm,2 (R"), und umgekehrt definiert jedes u ( x ) E Hm,z (RB) uber (4) f(x) E H-fla,2 (R") ein- deutig. Dieser eineindeutige Zusammenhang bestinimt eine Homoomorphie zwischen H-m,z (A") und H,,%,2 (R"). Die Losungen besitzen die analogen Regularitatseigenschafteii wie bei beschriinkten Randwertproblemen.

Beweis. Die Nornien I\wljm,2 und VB (w, w) sind wegen 2

(12) c2llwll;,2 2 B ( w , w) 2 CilIWll,,Z

uber Hm,2 (R") aquivalent, und daher trifft dasselbe fur die Normen

uber H_,,,(R") zu. Es bezeichne (w, f ) das von f(x) E H-m,Z (R") erzeugte beschrankte

lineare Funktional uber Hm,2 (R") mit der verallgemeinerten SCHWARZSChen Ungleichung

i(w7f)I 5 llWllna / / f / l - , . Wegen (12) ist B(u, w) auf Grund des Theorems von MILGRAM-LBx ein aquivalentes Skalarprodukt fiber Hm,z (R"). Man findet so die eindeutige Dar s tellung

(13) fur alle w(x) EH,,,(R"), d. h., u ( x ) E H,,,(R") ist schwache Losung der Differentialgleichung (4). Genauso konnen wir von einem beliebigen Element u (x) E H,n,2 (R") ausgehen und wegen der isometrischen Isomorphie von Hk,2 (R") mit H -m,z(Rn) zu B (u, w) ein wohlbestimnites Element b E H - m,2 (R") finden, so da6:

B(u, W) = < f , w)

(14) B(u, w) = (b , w> fur alle w E Hm,2 (R") zutrifft. Aus der Stetigkeit der Funktionale auf beiden Seiten von (1 3) resultiert die Abgeschlossenheit der linearen durch (13) er-

Beckert, Zur Lijsungstheorie stark elliptischer Systeiiie 243

weiterten Operatoren

L u = f bzw. u = L - ’ f = S f .

Wegen des closed graph Theorenis und open mapping ’1 heorems sind S und L beschrankt :

(15) l!uIlnL,2 5 IISll l l f l l -m ,a llfll-7n = llLa!l-m 5 l ! ~ l l - w z l l~ /1 , ,2 .

L definiert daher, wie behauptet, eine Homoomorphie zwischen Hm,2 ( Rn) und H-9n,2 (R“). Die Regularitatseigenschaften der schwachen Losungen u (x) von (4) ergebeii sich aus der bekannten Regularitatstheorie stark elliptischer Systeme. Alle Aussagen unseres Satzes treffen auf das DIRIcHLETsche Auaenproblem zu. Der Vollstiindigkeit fugen wir noch einen Beweis dafur an, daB die lineare Einbettung von H,,,(R”) in H,_,,,(R”) oder H,,,(Rn) nicht vollstetig ist

Offenbar sind die Funktionen u(x) der Menge

~ ( u ( x ) ) : ~ ( x ) + + d ( t ) , l l ~ ( t ) l l o , ~ 5 K7 suppd(E) c E,

lID, ,@!lo = IlD, ullo = l l t , ~ ( t ) l l o

lI~,ullo 5 li’iillo 5 K7

E : 15) S 1, beliebig oft differenzierbar. Aus dem PLANCHEREL-Theorem A

folgt sofort

d. h. die Beschriinktheit der Menge 9X (u (x)) in Hm,2 (R”). Sei un (x) ++ 4, ( E ) eine beliebige Folge aus Fm, und ulLt(x) eine nach dem Satz von RIESS schwach konvergente Teilfolse

u,. (x) - u ( x ) in Ho,2 (B i t ) .

u,,(x) - u(x) in Ho,a(Biz)

GTth (6) - d (6) in H,,,2 (En)

lld(E)ll,l,2 5 K in Ho,2 ( E ) .

Gabe es dann immer eine Teilfolge rn von n‘, langs deren

zutriife, dann fuhrt dies auf Grund der Isometrie

sofort auf den Widerspruch der Kompaktheit der Funktionalkugel

Literatur

[l] S. AGXON, A. DOUGLIS, J. NIRENBERG, Estimates near the boundary for the solutions of elliptic differential equations satisfying general boundary conditions I, 11. Comm. Pure and Appl. Nath. 12, 623-727 (1959); Comm. Pure and Appl. Math. 17, 35-92 (1964).

16*

244 Beckert, Zur Losungstheorie stark clliptischer Systeme

[ 2 ] 8. AGMON, Lectures on Elliptic Boundary Value Problems. Princeton 1965. [3] G. V. FINOZENOX, Boundary value problems of equations of higher order in infinite

regions (Russisch). Izv. Akad Kauk SSSR Ser. Mat. 30, 1027-1046 (1966). [4] P. D. LAX, A. N. MILGRAM. Parabolic equat.ions. Contributions to the Theory of

Partial Differential Equations. Annals of Math. Studies No. 33, 167- Z90 (1954). [5] P. D. LAX, On CAUCHY’S problem for hyperbolic equations and the differentiability

of solutions of elliptic equations. Comm. Pure and Appl. Math. 8, 615-633 (1955). [6] J. L. LIONS, Equations differentielles operationelles et problemes aux limites. Berlin-

Gottingen-Heidelberg 1961. [7] F. RELLICH, uber das asymptotische Verhalten der Losungen von A u + 1 u 1 0 in

unendlichen Gebieten. Jahresber. d. Dt. Math. Ver. 53, 57-68 (1943). [8] A. ROITBERG, Theorems on homeomorphisms which can be realized by elliptic ope-

rators (Russisch). Dokl. Akad. h’auk SSSR 180, 542-545 (1968). [9] A. SOMMERFELD, Partielle Differentialgleichungen der Physik, Vorl. uber Theor.

Physik Bd. VI, Leipzig (1947). Akad. Verlags.Ges. [ 101 B. R. VAIX’BERG, Principles of radiation, limiting absorption and limiting amplitude

in the general theory of partial differential equations (Russisch) Uspehi Mat. Xauk (21) no 3 (129) 115-194 (1966).

[ll] -, Elliptic problems in unbounded domains (Russisch). Mat. Sb. (X.S.) 75 (117),

[I21 K. YOSIDA, Functional Analysis. Grundl. d. Math. m’iss., Bd. 113. 454-480 (1968).

Karl- Marx- Universitat Sektion Mathematik 701 Leipzig Karl-Marx- Platz