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M A T H E M A T I S C H E A N N A L E N B E G R Ü N D E T 1868 D U R C H
A L F R E D C L E B S C H U N D C A R L N E U M A N N
F O R T G E F Ü H R T D U R C H
F E L I X K L E I N D A V I D H I L B E R T
O T T O B L U M E N T H A L E R I C H H E C K E
G E G E N W Ä R T I G H E R A U S G E G E B E N V O N
H E I N R I C H B E H N K E R I C H A R D C O U R A N T MÜNSTER (WESTF.) NEW YORK
H E I N Z H O P E G O T T F R I E D K Ö T H E Z t) RICH ] 1E1 D E L B E R G
K U R T R E I D E M E I S T E R B A R T E L L . V A N D E R W A E R D E N GÖTTINGEN ZÜRICH
B E R L I N
S P R I N G E R - V E R L A G
G Ö T T I N G E N H E I D E L B E R G
1 9 5 8
I n h a l t des 136. Bandes
( I n a l p h a b e t i s c h e r O r d n u n g ) Seite
B a u e r , F . - W . , Spez i e l l e H o m o l o g i e s t r u k t u r e n 3 4 8 ( A n s c h r i f t : F r a n k f u r t / M a i n , O e d e r w e g 109)
B e h n k e , H . , O t t o B l u m e n t h a l z u m G e d ä c h t n i s 387 ( A n s c h r i f t : M ü n s t e r / W e s t f . , R o t t e n d o r f f w e g 17)
B e r g m a n , S t . , A Class o f P s e u d o - C o n f o r m a l a n d Q u a s i - P s e u d o - C o n f o r m a l M a p -p i n g s 134 ( A n s c h r i f t : A p p l i e d M a t h e m a t i c s a n d S t a t i s t i c s L a b o r a t o r y , S t a n f o r d U n i v e r s i t y , S t a n f o r d / C a l i f o r n i a U S A )
B r e m e r m a n n , H . J . , D i e C h a r a k t e r i s i e r u n g R u n g e s c h e r G e b i e t e d u r c h p l u r i s u b h a r -m o n i s c h e F u n k t i o n e n 173 ( A n s c h r i f t : D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s , U n i v e r s i t y o f W a s h i n g t o n , S e a t t l e 5, W a s h . U S A )
G a r t a n , H . . P r o l o n g e m e n t des espaces a n a l y t i q u e s n o r m a u x 97 ( A n s c h r i f t : 95 B o u l e v a r d J o u r d a n , P a r i s X I V e , F r a n k r e i c h )
E n g e l , W . , G a n z e C r e m o n a - T r a n s f o r m a t i o n e n v o n P r i m z a h l g r a d i n d e r E b e n e . . . 319 ( A n s c h r i f t : H a l l e / S a a l e S 1 1 , R e g e n s b u r g e r S t r . 20)
F r i e d m a n , B . , n - C o m m u t a t i v e M a t r i c e s 343 ( A n s c h r i f t : D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s . U n i v e r s i t y o f C a l i f o r n i a , B e r k e l e y 4 , C a l i f o r n i a , U S A )
G a n d y , R . 0 . , N o t e o n a P a p e r o f K e r n e n y ' s 4(36 ( A n s c h r i f t : T h e U n i v e r s i t y o f L e e d s , M a t h . D e p t . , L e e d s / E n g l a n d )
G a n i , J . , E l e m e n t a r y M e t h o d s f o r a n O c c u p a n c y P r o b l e m o f S t o r a g e 4 5 4 ( A n s c h r i f t : D e p t . o f M a t h e m a t i c s , U n i v e r s i t y o f W e s t e r n A u s t r a l i a , N e d l a n d s
( W e s t e r n A u s t r a l i a ) )
G r a u e r t , H . , u . R . R e m m e r t , K o m p l e x e R ä u m e 2 4 5 ( A n s c h r i f t : I n s t i t u t e f o r A d v a n c e d S t u d y , P r i n c e t o n , N . Y . , U S A ;
1. M a t h e m a t i s c h e s I n s t i t u t d e r U n i v e r s i t ä t M ü n s t e r / W . , S c h l o ß p l a t z 2)
H a h n , W . , Ü b e r d i e A n w e n d u n g d e r M e t h o d e v o n L j a p u n o v a u f D i f f e r e n z e n g l e i ch u n g e n 4 3 0 ( A n s c h r i f t : B r a u n s c h w e i g , M a s c h s t r . 3 a )
H e i n s , M . , S o m e C o n s t r u c t i v e P r o b l e m s C o n c e r n i n g A n a l y t i s c h e G e b i l d e 9 ( A n s c h r i f t : U n i v e r s i t y o f I l l i n o i s , U r b a n a , I l l i n o i s , U S A )
I I i l l e , E . , O n R o o t s a n d L o g a r i t h m s o f E l e m e n t s o f a C o m p l e x B a u a c h A l g e b r a . . 46 ( A n s c h r i f t : D e p t . o f M a t h e m a t i c s , Y a l e U n i v e r s i t y , N e w H ä v e n , G ö n n . , U S A )
H i r z e b r u c h , F . , u n d H . H o p f , F e l d e r v o n F l ä c h e n e l e m e n t e n i n 4 - d i m e n s i o n a l e n M a n n i g f a l t i g k e i t e n 156 ( A n s c h r i f t : M a t h e m a t i s c h e s I n s t i t u t d e r U n i v e r s i t ä t B o n n / R h e i n , W e g e l e r s t r . 1 0 ; Z o l l i k o n / Z ü r i c h , A l t e L a n d s t r . 37)
H o p f , H . . siehe H i r z e b r u c h , F .
J a c o b s o n , N . , N i l p o t e n t E l e m e n t s i n S e m i - s i m p l e .Tordan A l g e b r a s 375 ( A n s c h r i f t : M a t h e m a t i c a l D e p a r t m e n t , Y a l e U n i v e r s i t y , N e w H ä v e n ( C o n n . ) U S A
K a s c h , F . , u n d B . V o l k m a n n , Z u r M a h l e r s c h e n V e r m u t u n g über S - Z a h l e n . . . 4 4 2 ( A n s c h r i f t : M a t h e m a t i s c h e s I n s t i t u t d e r U n i v e r s i t ä t H e i d e l b e r g , T i e r g a r t e n s t r . ;
M a t h e m a t i s c h e s I n s t i t u t d e r U n i v e r s i t ä t M a i n z , S a a r s t r . 21)
I V I n h a l t s v e r z e i c h n i s
Seite K ö n i g , H . , E i n e C h a r a k t e r i s i e r u n g d e r D i s t r i b u t i o n e n e n d l i c h e r O r d n u n g . . . . 2 4 0
( A n s c h r i f t : A a c h e n / R h l d . , A n d e r S c h a n z 20 )
K n o b l o c h , H . - W . , u . H . R ö h r l , Z u m B e g r i f f d e r a n a l y t i s c h e n F o r t s e t z u n g i n a l g e b r a i s c h e n F u n k t i o n e n k ö r p e r n e i n e r V e r ä n d e r l i c h e n 187 ( A n s c h r i f t : W ü r z b u r g , M a t h e m a t i s c h e s I n s t i t u t d e r U n i v e r s i t ä t ;
M ü n c h e n , M a t h e m a t i s c h e s I n s t i t u t d e r U n i v e r s i t ä t , G e s e h w i s t e r -S c h o l l - P l a t z 1)
P i n l , M . , M i n i m a l f l ä c h e n f es ter G a u ß s c h e r K r ü m m u n g 34 ( A n s c h r i f t : K ö l n - R i e h l / R h e i n , S t a m m h e i m e r S t r a ß e 3 4 — 3 6 )
R e m i n e r t , R . , s iehe G r a u e r t , H .
R i e g e r , G . J . , E i n i g e S ä t z e ü b e r I d e a l e i n a l g e b r a i s c h e n Z a h l k ö r p e r n 339 ( A n s c h r i f t : T h e U n i v e r s i t v o f M a r y l a n d , D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s . C o l l e g e P a r k . M d . U S A )
R ö h r l , H . , s iehe K n o b l o c h , H . - W .
S c h m i d t , \V. , F l ä c h e n a p p r o x i m a t i o n b e i m J a c o b i a l g o r i t h m u s 365 ( A n s c h r i f t : M o n t a n a S t a t e U n i v e r s i t y M i s s o u l a , M o n t a n a , U S A )
S e b a s t i a o e S i l v a , J . , L e s f o n e t i o n s a n a l y t i q u e s c o m m e u l t r a - d i s t r i b u t i o n s d a n s le c a l c u l o p e r a t i o n n e l 58 ( A n s c h r i f t : L i s b o a , P o r t u g a l , P r a c a d o A r c e i r o 5, 3° D )
S o m m e r , F . , K o m p l e x - a n a l y t i s c h e B l ä t t e r u n g r e e l l e r M a n n i g f a l t i g k e i t e n i m Cn . . 111 ( A n s c h r i f t : 1 . M a t h e m a t i s c h e s I n s t i t u t d e r U n i v e r s i t ä t M ü n s t e r / W e s t f . , S c h l o ß p l a t z 2)
S t e i n , K . , D i e E x i s t e n z k o m p l e x e r B a s e n z u h o l o m o r p h e n A b b i l d u n g e n 1 ( A n s c h r i f t : M ü n c h e n 9, U l m e n s t r a ß e 14)
S t o l l , W . , Ü b e r m e r o m o r p h e A b b i l d u n g e n k o m p l e x e r R ä u m e I 201 ( A n s c h r i f t : 4 1 E i n s t e i n D r i v e , P r i n c e t o n , N . Y . , U S A )
S t o l l , W . , Ü b e r m e r o m o r p h e A b b i l d u n g e n k o m p l e x e r R ä u m e I I 393 ( A n s c h r i f t : 4 1 E i n s t e i n D r i v e , P r i n c e t o n N . Y . , U S A )
S u s s m a n , L , A G e n e r a l i z a t i o n o f B o o l e a n R i n g s 326 ( A n s c h r i f t : D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s , U n i v e r s i t y o f S a n t a C l a r a , S a n t a C l a r a . C a l i f o r n i a , U S A )
T i e t z , H . , Z u r R e a l i s i e r u n g R i e m a n n s c h e r F l ä c h e n I I 4 1 ( A n s c h r i f t : M a t h e m a t i s c h e s I n s t i t u t d e r U n i v e r s i t ä t , M ü n s t e r / W e s t f . , S c h l o ß p l a t z 2)
T i e t z , H . . Ü b e r T e i l r e i h e n v o n P o t e n z r e i h e n >42 ( A n s c h r i f t : M ü n s t e r / W e s t f . , H o y a s t r . 2 a )
V o l k m a n n , B . , s iehe K a s c h , F .
v . d . W a e r d e n , B . L . , Z u r a l g e b r a i s c h e n G e o m e t r i e 1 9 . G r u n d p o l y n o m u n d zugeo r d n e t e F o r m L39 ( A n s c h r i f t : Z ü r i c h 6, B i o n s t r . 18)
W a l s h , J . L . , A G e n e r a l i z a t i o n o f F a b c r ' s P o l y n o m i a l s 23 ( A n s c h r i f t : H a r v a r d U n i v e r s i t y , M a t h e m . D e p t . , C a m b r i d g e , M a s s . , U S A )
KASCH, F . u n d VOLKMANN, B . M a t h . A n n a l e n , B d . 136 , S. 4 4 2 — 4 5 3 (1958)
Z u r Mahlerschen V e r m u t u n g über S-Zahlen V o n
F R I E D R I C H K A S C H i n Heidelberg u n d B O D O V O L K M A N N i n Mainz
1. Be i der Mahlerschen Klasseneinteilung der transzendenten Zahlen betrachtet man bekannt l i ch 1 ) , wenn (n, H) die Menge aller Polynome P(x) m i t ganzrationalen Koeff izienten von einem Grad <^ n und einer Höhe ^ H ist , zu einer vorgegebenen Zahl f die Größen
, 1
wn(Hi£)= m i n |P(|)| u n d wn(£) = E n ° ! ^ - ' i L . PeV(n,H) H->oo log .tt
JP(*)*0 Setzt man ferner # n ( £ ) = -^jp-, so ergibt sich i n der Bezeichnungsweise von [ 8 ]
der T y p einer (reellen oder komplexen) Zahl f als oo
0 ( f ) = 8 U p 0 B ( f ) .
Unter ^-Zahlen versteht m a n dann diejenigen, deren T y p posit iv und endlich ist . Der kleinste W e r t , den für transzendente Zahlen f annehmen kann , is t = 1 für reelles u n d == \ für komplexes £, und eine Vermutung v o n K . M A H L E R [ 7 ] besagt, daß dies für fast alle reellen bzw. fast alle transzendenten | auch w i r k l i c h e i n t r i t t . Diese Mahlersche Vermutung ist also, da für reelle transzendente £ auch immer # n ( f ) ^ 1 ist , i n ihrem reellen Tei l m i t der Aussage äquivalent, daß für fast alle reellen £ die Gleichungen
( 1 ) #«(0 = 1 ( ? * = 1 , 2 , . . . )
gelten. Bisher ist ( 1 ) , v on dem bekannten F a l l n = 1 abgesehen, nur für n — 2
bewiesen worden, nämlich von J . F. K U B I L Y U S [ 5 ] . Einer der Verfasser [ 4 ] gab kürzlich für diesen Satz einen vereinfachten Beweis und erzielte zugleich das bestmögliche Ergebnis für den komplexen F a l l , wonach für fast alle komplexen £
(2) 0 , ( £ ) = T
g i l t . Für allgemeines n dagegen besagt die bisher beste Vorstufe der Mahlerschen Vermutung , ein Satz von W . J . L E V E Q U E [6 ] , nur, daß für fast alle reellen bzw. fast alle komplexen f die Ungleichung
(3) l ^ # ( f ) ^ 2 , bzw. A b
g i l t . Hauptz ie l der vorliegenden A r b e i t i s t der folgende *) S iehe T H . SCHNEIDER [ 8 ] , 3 . K a p .
Z u r M a h l e r s c h e n V e r m u t u n g 443
S a t z 1 . a) Für fast alle reellen | ist
1 S; 2 - - | (» = 3 , 4 , . . . ) -
b) Für fast alle komplexen f ist
- 2 — i ^ « n ( f ) ^ 4 - | ( « = 3 , 4 , . . . ) .
Aussage a) ist offenbar für n = 2 m i t dem Resultat von J . F . K U B I L Y U S ident isch ; dieses w i r d jedoch hier n i c h t bewiesen, da die hier angewandte Methode von der i n [ 5 ] u n d auch v o n der i n [ 4 ] abweicht u n d nicht auf den F a l l n — 2 übertragbar ist . Aussage b) würde sich m i t unserer Methode zwar auch für den F a l l n = 2 beweisen lassen, jedoch dann weniger scharf sein als ( 2 ) . Satz 1 , der offensichtlich das Ergebnis von W . J . L E V E Q U E einschließt, w i r d sodann durch Einführung des Hausdorffschen Dimensionsbegriffs verschärft (Satz 2 ) . M a n erhält speziell die Aussage, daß die Menge aller T-Zahlen u n d die Menge aller [/-Zahlen i m Sinne der Mahlerschen Klasseneinteilung beide die Hausdorffsche Dimension N u l l haben.
2. Zum Beweis von Satz 1 benötigen wi r die folgenden Hilfssätze. Die darin auftretenden Größen (7 l 5 C2, . • . bedeuten von unabhängige K o n stanten, die jedoch von n abhängen dürfen.
H i l f s s a t z 1 . Für jede 8-Zahl | und jedes natürliche n ist # N ( £ ) ^ 1 bzw.
' ^ « ( 1 ) ^ \— »?ß nachdem, ob f reell oder komplex ist.
B e w e i s . Siehe T H . S C H N E I D E R [ 8 ] , Seite 6 9 . H i l f s s a t z 2 . Sei P(x) = aQxnjr • • • + ccn^(nt H) ein Polynom mit den
Nullstellen a 1 ; . . ., a„. Dann gilt, wenn die Indizes ily . . ., im voneinander verschieden sind,
H I " o I
B e w e i s 2 ) . Die Nullstellen von P(x) seien dem absoluten Betrag nach geordnet:
ccx\ ^ |a2| < • • • < \ocn\ <: y < |a„1 + 1| ^ • • • :g |a,J < 1 < |a W s + 1 | ^ • • • ^ \ocn\.
Für jedes x = z m i t \z\ = 1 g i l t offenbar
\P(z)\ <Z(n+l)H. Daraus folgt
n | 2 - a < i = | - ^ - n ^i\£(n+i)2n*JL. i = W L + I I ao i = i \z — a d I \ao\
Auf G r u n d des Satzes vom M a x i m u m einer analytischen F u n k t i o n erhält man dami t
n k i £ 2 - - » * n KI £(» + 1 ) 2 * *
i = « 8 + l i = wx + l woraus die Behauptung unmi t te lbar fo lgt .
2 ) S iehe N . I . FELDMAN [ 2 ] ; d e r B e w e i s w i r d d e r V o l l s t ä n d i g k e i t h a l b e r h i e r a n -
444 FRIEDRICH KASCH u n d BODO V O L K M A N N :
H i l f s s a t z 3. Sei n ^ 2 und P(x) ein Polynom aus%s{n, H) mit einer von Null verschiedenen Diskriminante D(P). Dann gilt für jede seiner Nullstellen am:
B e w e i s . Offenbar i s t
\D(P)\ = | « 2 " - 2 77 ( a , - « , ) * | =
! i<? \
und wegen
n
a§ n (ocm— a,-)2
j= I j 4= w i . ?' 4= »»•
folgt somit
(4)
a§ 77(a.m—a ;-? = l 9 4= W
1 ^ ( 0 1 l«o|f
/ | D ( P ) | 7 7 ( a i - a , ) !
i O ' i,? 4= m I
Bei Ausmul t ip l ika t i onen des Produktes i m Nenner entsteht eine Summe von
2^ 2 ^ Summanden, v o n denen jeder seinerseits ein P r o d u k t von ^ *j Faktoren aus der Menge der n — 1 Wurze ln 0Lt m i t i 4 = m ist . I n diesen Produkten k o m m t jedes a ? : höchstens i n der (n — 2)-ten Potenz vor. Daher g i l t nach Hilfssatz 2
K ~ 2 7 7 ( a , - a , ) / » - i x
l n - 2 9\ 2 /
i < 7 j 4= w
so daß sich die B e h a u p t u n g nach (4) ergibt. H i l f s s a t z 4. Unter den Voraussetzungen von Hilfssatz 3 gilt, wenn £ eine
beliebige reelle oder komplexe Zahl und
ist,
|f — a m | = m i n |f — a ? :
TOI
B e w e i s . Da |a m — a,-| s: |« m — l | + || — a,-| g; 2 |£ — a,-| i s t , folgt
|P ' ( « , „ )|< :2« - i|« 0 | n | f - a , | .
Somit ist nach Hil fssatz 3
- C% ylI)(P)
i = 1 i 4= m
Kl n \s-*f\, i = 1
u n d hieraus folgt die Behauptung durch M u l t i p l i k a t i o n m i t || — am\. H i l f s s a t z 5. Seien wn{H, f ) , wn{£), # n ( f ) und&(^) analog den Ausdrücken
w n { H , I ) , w n ( f ) , # n ( f ) definiert, jedoch unter Beschränkung auf irre-duzible Polynome P{x). Dann gibt es für jedes f und jedes n eine natürliche Zahl
Z u r M a h l e r s c h e n V e r m u t u n g 445
v = v(n) ^ n so, daß
(5) 0 n ( f ) £ 0 n ( f ) « s £ ( f )
B e w e i s . Der l inke Te i l von (5) folgt unmit te lbar aus der Tatsache, daß die Menge aller i rreduzib len Polynome von einem Grad < n u n d einer Höhe ^ H eine Untermenge vonSP(?i, II) i s t 3 ) . Z u m Beweis des rechten Teils betrachten w i r ein Po lynom P(x) £<$(n, II) m i t |P(£)| = wn(H, f ) . Es sei P = P x . . . Pr
m i t irreduziblen Po lynomen P 0 ; ferner sei Grad Pü= nQ u n d Höhe PQ= HQ. r
D a n n ist wegen |P(£)| = I T |P„(£)| u n d 8 = 1
^ S » c ( f f c , I ) offenbar w n ( f f , f ) >. 17w„Q(HQ, f ) ,
a l s o 1 1 1 1_
l o g / / ^ l o g / / = - L l 1 ~ r l o g / / ,
vobei i n der zweiten Ungleichung benutzt worden i s t , daß es eine nur von n ibhängende Konstante cn m i t H0<^ c n I I g i b t 4 ) . D u r c h indirekte Schluß weise :blgt daraus 5 )
r
«>«(£) ^ m a X E >
üso Q /^v ^ ^ ( f H (£)
vn(fj)^ max — — — —— — M l + . f . . . + „ r = n
n \ + r w r
^ (f) max | — - — , . • — 1 1 —
•Hi -r n2 r • • • + nr = n
d . h . es ist S für ein gewisses v « , wie behauptet. I s t also für eine Zahl f eine Abschätzung der F o r m
$tf)^F(v) ( V = l , 2 , . . . )
bewiesen, bei der P(^) eine monoton wachsende F u n k t i o n ist , so g i l t für jedes natürliche n auch
&n($)£0,M(£)£F(v(n))£F(n).
Daher werden w i r uns beim Beweis von Satz 1 au f irreduzible Polynome beschränken können; doch w i r d davon nur i n F o r m der Voraussetzung Gebrauch Kein acht, daß keine mehrfachen Nullstel len auftreten sollen.
3 ) V g l . a u c h A b s c l m . 6 d i e s e r A r b e i t . 4 ) S iehe z. B . [ 8 ] , 3. K a p . , H i l f s s a t z 16 . 5 ) Z u b e a c h t e n i s t , d a ß d i e Z e r l e g u n g ? i 1 - f n2 + * • • + nr= n v o n H a b h ä n g t .
446 FRIEDRICH KASCH und BODO VOLKMANN:
Der folgende Hilfssatz erscheint uns auch unabhängig von dem hier vorliegenden Zusammenhang bemerkenswert; er w i r d daher etwas allgemeiner formul ier t , als es für das Folgende notwendig ist .
H i l f s s a t z 6. Zu jeder Zahl ß > 0 und jeder natürlichen Zahl n^2 gibt es eine Konstante C > 0 derart, daß für jedes Polynom V(x) vom Grad n mit ganzrationalen Koeffizienten und alle natürlichen Zahlen H gilt:
H lCH1~ßn für ßn< 1 ,
Z T r Ä n r < C f l 0 « ( f l r + 1 ) f ü r ß n = l >
£<;> + o \0 für ßn>\.
B e w e i s . Das I n t e r v a l l [— H, H] werde durch die Punkte XQ= H, xlt . . xq= H
so i n Tei l interval le [xi9 xi+1] zerlegt, daß i n jedem von ihnen die Po lynome 6 ) V(x), A V(x), . . ., An-1V(x) sämtlich monoton u n d i m I n n e r n von N u l l verschieden sind. Dies ist bei festem V(x) offenbar m i t einem q <S ?i 2 - f 1 möglich. D a n n genügt es, die Behauptung für ein einziges I n t e r v a l l [xit xi+1] an Stelle von [—H, H] zu beweisen.
A u f Grund der W a h l der xi sind auch die Funkt i onen
Ft(x)= \A»-*V(z)\ (j=l,...,n)
sämtlich i n den Interva l l en [xit xi + 1] monoton. Daher g i l t , wenn x^x ^ xti.1 — 1 i s t ,
F^x), falls Fj+1(x) i n [xit xi+1] monoton wächst, (6) AFj + 1(x) , _F^X^ f a l l g F j + i ( x ) i n [Xit monoton fällt.
Sei r{ die kleinste ganze Zahl :> xt u n d s~ I m folgenden denken w i r
uns das I n t e r v a l l [xitxi + 1] festgehalten u n d betrachten n u r ganze Zahlen
x £ [xit xi+ 1]. D u r c h I n d u k t i o n soll gezeigt werden:
1
( 7 ) F^z)^
• (x — rt —(j — l ))j für i\ + j — 1 ^ x ^ Si, falls F^\x) monoton wächst,
i - (sr- x ~~ (j ~~ l))* für x ^ s^ (j - 1 )
falls Fj{x) monoton fällt.
W i r nehmen zuerst an, die F u n k t i o n ^ (x) sei i n [xi9 xi+1] monoton wachsend. D a sie auf Grund der Voraussetzungen linear u n d ganzwertig i s t , fo lgt
F^Vi) ^ 0 u n d F^x) :> x — rt für rt <: x ^ s,-.
A n a l o g ergibt sich, falls F1(x) monoton fällt,
F1(si) :> 0 u n d F^x) :> s — x für rt<L x<Lst .
Die Behauptung ( 7 ) sei n u n für ein j m i t 1 < I j < n erfüllt. I s t Fj + x (x) monoton
6 ) Dabei ist, wie üblich, AF{x) die Funktion F(z + 1)—F(z) und Ai+1—A(Aj).
Z u r M a h l e r s c h e n V e r m u t u n g 447
wachsend bzw. fa l lend, so g i l t 7 )
Fi+1{x) = Fi+l(rt) + £ A F]+1(v)
bzw.
Fj+1(x)=F1+1(8t)-Z;AFi+1(v). v = X
Wegen (6) u n d (7) erhält man daraus i m ersten Fal le 7 a ) für r^ - f j t£ x ^
v = n r = r * + y - I
/ • ,. = n + ./ - I
_ 1 _ ( 7 T i ) !
(X—Vi-J) 3 + 1
Analog folgt i m zweiten F a l l 7 a ) für x <; si —
« . - i - M
/ • V = * + 1 tjdt = 1
D a m i t ist (7) bewiesen, u n d man erhält speziell:
1
Fn(x)=.\V(x)\2>
(x — rt —- (n — l))n für % — 1 < x < <sz-, falls |F(#)| monoton wächst,
- — x — (n — l ) ) n für r, : <; x g ^ — (>i — 1 ) ,
falls |F(a;)| monoton fällt.
Aus diesen Ungleichungen folgt
y i x = ri i n ' V ' / .
— 2 n ! I V 1 1
xßn
Schätzt man noch |F(.x)| für die restlichen Werte r 2 x < rt•-}- n und s,- — n < # < ^ t r i v i a l durch |F(#)| ^ 1 ab, so folgt
V ( .r)4= 0
2 ?i 4 -Si - Vi - 2 n i- .1.
y - n 2 H
^2n-\-{n\f f t~Pnät^2n+(n\)ß f t~Pn dt , i i
7 ) I s t d e r o b e r e S u m m a t i o n s i n d e x e i n e r S u m m e k l e i n e r a ls d e r u n t e r e , so s o l l s ie d e n W e r t 0 h a b e n .
l a ) S iehe , , Z u s a t z b e i d e r K o r r e k t u r " a m E n d e d e r A r b e i t .
448 FRIEDRICH KASCH u n d BODO VOLKMANN :
wobei die Ungleichung je tzt für alle In terva l l e g i l t . Wegen ' 21~ß .Hi-ßn f ü r ß n < x j
211 l - ß n f t-P» dt ^h0g2H für ßn=l9
i 1 -ö für ß n > 1 ßn — l 1
fo lgt die Behauptung. H i l f s s a t z 7. Ist n ^ 3, so treten in dem Polynom
D(a0, al9 . . ., an) — D i skr iminante von a0xn-\- c^x71-1^ * * * - f an
ivenigstens zivei der n 4- 1 Veränderlichen ai in höherer als erster Potenz auf. B e w e i s . Aus der Resultantendarstellung der D iskr iminante fo lgt u n
mit te lbar , daß i n ihr das Glied nnaQ~[a^~x a u f t r i t t . 3. W i r beweisen n u n Satz 1, wobei w i r uns i m H i n b l i c k auf Hi l f ssatz 1
auf den rechten Tei l beider Behauptungen beschränken können. Z u m Beweis von a) betrachten w i r bei festem a > 0 u n d natürlichem n die Menge 9l n (er) der reellen Zahlen £ m i t # n ( f ) > 1 - f o*. Wie aus der D e f i n i t i o n v o n # n ( £ ) folgt , gehört eine Zahl £ genau dann zu 9ln(cr), wenn zu unendlich vie len H ein Polynom P aus der Komplementärmenge ^ 3 0 (n, H) v o n <-p (n, H — 1) i n V(n,H) m i t (8) 0 < |P(£)| < ü-»<i + *>
existiert . W i r ordnen jeder Nullstel le a,- eines Polynoms 7 3 6 ^3 (n, H) das I n t e r v a l l
Re a,— C 4 . , Re a, + C* }/\D(P)\ ' * 4 y\D(P)\
zu. D a n n g i l t für jedes reelle £ m i t (8), wenn a.,: die nächstliegende Nul lste l le v o n P(x) i s t , nach Hilfssatz 4
|| - Re a,| < |£ - a,| < C 4 < C 4 ^ = 1 - , |G ÄI ~ |G LL ^ 4 1 / |P(P)| ^ 4 j / | P (P ) |
d. h . £ £ t(a 2-). Folgl ich w i r d 9*n(cr) für jedes i / 0 durch die Gesamtheit dieser Interva l l e t(a^) m i t zugehörigen Polynomen P ^0(n, H), H ^ H0i überdeckt. Also ist , wenn man m i t ^ das lineare Lebesguesche Maß bezeichnet 8 ) ,
CO TT-2-an
Z u r Abschätzung der Summe
Z= Y' -
haben w i r zu berücksichtigen, daß wenigstens ein Koef f iz ient , etwa ah
den Betrag H hat . Hält m a n dann alle Koeff iz ienten bis auf einen, etwa c/;
m i t j =(= i, fest, so w i r d D(P) ein Po lynom V{a^ i n aj9 dessen Grad nach H i l f s satz 7 bei geeigneter W a h l von j sicher 2 > 2 ist . Daher w i r d nach Hilfssatz 6
8 ) D e r S t r i c h a m S u m m e n z e i c h e n s o l l a n d e u t e n , d a ß n u r P o l y n o m e P o h n e m e h r f a c h e N u l l s t e l l e n b e t r a c h t e t w e r d e n , f ü r d i e a l so D(P) 0 i s t .
Z u r M a h l e r s c h e n V e r m u t u n g 4 4 9
für e > 0 bei genügend großem H
7 1 1
Folglich ergibt sich auf Grund von ( 9 )
(10) fhWnW) ^ C10 h m £ # - 2 - o » + » - l + « . / / 0 - > c o H=H0
2 — e
I s t n u n a > 1 — , so w i r d i n der letzten Reihe der Exponent < — 1, so daß Konvergenz e i n t r i t t u n d ^ (a)) = 0 folgt. Läßt man er eine Folge
von
hält man
2
von Werten alf a2, • • • m i t aty ai+1 u n d l i m o",= 1 durchlaufen, so er t - > c o 7 1
U 9U<r f) = 9 * .
und daher
2 Also hat die Menge aller reellen Zahlen f m i t # n ( f ) ^ 2 — -- , wie behauptet, das Lebesguesche Maß Eins.
Der Beweis der Aussage b) verläuft analog. Man betrachtet für festes
o > 0 die Menge S?n(cr) der komplexen Zahlen £ m i t # n ( f ) > + or. A n Stelle des Interval ls i (a , ) verwenden w i r jeweils den Kreis r*(az) der Zahlen z m i t
„ n ( i - a ) - 2 |z — a,-| <; 0 4 . Dann erkennt man wie oben, daß jedes
•|/|7)(P)[
von einem solchen Kreis überdeckt w i r d . S t a t t (10) erhält man, wenn man die Summe — - i . . . . . - m i t Hilfssatz 6 abschätzt u n d m i t f.t9 das zweidimen-
l^V(n,H) \D(* )l
sionale Lebeguesche Maß bezeichnet, die Ungleichung
ff 0 —>• oo / / = / / „ I'6 = p 0 ( n , I I ) l-L'y1 )\ H0_> <x> H = 7 / 0
Daraus ergibt sich ähnlich wie oben ( & n ^ l — ™j j = 0, w o m i t alles bewiesen ist.
4. Die Aussagen von Satz 1 lassen sich verallgemeinern, wenn man s t a t t des Lebesgueschen Maßes den Hausdorffschen Maß- u n d Dimensionsbegrif f 9 ) heranzieht. Man erhält so den
S a t z 2. Für jedes a^O und n > 3 ist
n + 1 (11) d i m S U o r ) ^ a n + 3
9 ) D e f i n i t i o n e n u n d h i e r v e r w e n d e t e S c h r e i b w e i s e f i n d e t m a n z. B . b e i B . V O L K MANN [ 9 ] .
4 5 0 FRIEDRICH KASCH u n d BODO VOLKMANN :
und in 1 2 ^ 3 2
/ n i o J /attö ~ö — 0* — "o (er — | ) ? i - | - 2 ' ; 2 ^ — — 2 w ( 1 2 ) d i m $ U o r ) £ n + i 3 9
Es sei bemerkt, daß man , u m aus diesem Satz n i cht t r iv ia l e Abschätzungen, also solche von der F o r m d i m (a) < 1 bzw. d i m & n (er) < 2 zu erhalten, die
2
Ungleichungen ( 1 1 ) u n d ( 1 2 ) auf den Bereich a > 1 — b e s c h r ä n k e n muß,
wie dies gemäß Satz 1 zu erwarten ist . B e w e i s , a) Für jedes H 0 b i ldet die Menge der Interva l le i ( a j m i t zuge
hörigem H ^> H 0 eine ( 2 C 4 HQ 2 - A N ) -Überdeckung von 9l„(cr). Daher gib bei gegebenem d m i t 0 < (5 < 1 für das (5-dimensionale Hausdorffsche Maß
{ 9 U ( r ) } * ^ l i m C 1 0 f 2 V F H - " A N V j / 0 —> co / / = I I 0 Pe=p0(7i, H) \ ]•''
Für die Summe J T ' | Z > ( P ) | ~ 0 / 2 = E erhält man nach Hilfssatz 6 die Ab -PeVoin.H)
Schätzung 2 ^ C11H1-Ö + n - 1 = CUHN-6, so daß sich schließlich CO
I i s °n E n-d«>n+*)+n
/ / 0 - > c o I I //„ 11 -\- 1
ergibt. Somit g i l t {9 l n ( cr ) } ( 5 = 0 für alle d > _ 3 , woraus der erste Teil der
Behauptung folgt. b) Der Beweis für den komplexen F a l l verläuft analog; nur muß m a n
Werte ö m i t 0 < d < 2 zulassen, so daß sich — unter Verwendung von H i l f s satz 6 — die Abschätzung
(CL2HN~Ö für < 5 < 1 ,
C^H«-1 log H für 3 = 1 , C^H"-1 für < 5 > 1
ergibt , die dann zur Unterscheidung der beiden i n der Behauptung ( 1 2 ) auftretenden Fälle führt.
5. Der Vollständigkeit halber führen w i r auch Dimensionsabschätzungen für die beiden i n Satz 3 n i cht erwähnten Fälle n = 1 und n = 2 an. Für n — 1 ist nach v. J A R N I K [ 3 ]
( 1 3 ) d i m K 1 ( a ) = v | T ( ( r > l ) .
Ferner bestätigt man leicht, daß
( 1 4 ) a i ( < r ) = Ä i ( t f - y g i l t .
I m F a l l n = 2 g i l t der H i l f s s a t z 8. Zu jedem ß mit 0 < ß < 1 gibt es von H unabhängige positive
Zahlen c und x so, daß gilt: £ ' \D(P)\-ß < c HW^H + 2 ( 1 ~~ ß \
peVo ( 2 , / / )
Z u r M a h l e r s c h e n V e r m u t u n g 451
B e w e i s . W i r übernehmen ans [4] die Abschätzung 1 0 )
/'-•r\, (2. /V) ' ' \ w- - I L }" !
wobei r 2 (m) der größte gemeinsame quadratische Teiler von m und 47 / ist . I n der rechts stehenden Summe kommen zu vorgegebenem r(m) = k höchstens die folgenden Glieder vor :
Die A n z a h l der möglichen k ist jedenfalls kleiner oder gleich der Anzahl d(4:H) der Teiler von 4 H, u n d dafür g i l t bekanntl ich
d{4:H)^C15H^lSSH .
Die vorstehenden Ungleichungen zusammen liefern die Behauptung. A u f Grund von Hilfssatz 8 erhält man, ähnlich wie beim Beweis von Satz 2,
die Abschätzungen
(15) d i m ^ 2 ( a ) ^ T / ~ ( T - 0) u n d
(16) d i m R 2(a) s: , (a > - ~) .
Aus Satz 2 und den obigen Betrachtungen ergeben sich zwei Folgerungen. F o l g e r u n g 1. Bezeichnet man m i t 91 (a) bzw. S?(cr) die Menge der reellen
bzw. komplexen £ m i t > 1 + a bzw. i) ( f ) > * -f o~, so ist für a 1 o
d i m 9v (er) < - - - - -u n d
d i m S?(a) =g ^ 2 , .
B e w e i s . I s t f ( 9 (er), so g ibt es ein w m i t > 1 ~r er. Somit ist
K ( f f ) C U 9 ? „ ( ( T )
w = .1 u n d folglich
oo d i m 9v(cr) ^ sup d i m 9l n(cr) — T ,
n = 1. also nach (13), (15) u n d (11)
/ 2 3 n + 1 \ 2 r < max — - - - - , sup — — 6 ~ = = ; ~ r •
^ CT + 1 2 a + 3 n = 3 > 4 T _ <r?i + 3 I CT -4- 1
1 0 ) T4] , Se i te 2 6 7 , F o r m e l n (12) u n d (14 ) .
M a t h . A n n . 136 31.
452 FRIEDRICH KASCH u n d BODO VOLK MANN:
Ähnlich erhält m a n nach (14), (16), (12) u n d (11) die Abschätzungen
(max (—-----, ~ - ^ , sup - - - - ) für 1 < er ^ dim a <«r )J U + * 2 % + 2 - » • « - • ( f f - « » + 2 ' ~ 2 3 n - [ - 1 \ .... 3
a + i ' 2(7 + 2 " ' N ^ 4 , • • • ( e r ^ + 3 / l u r T
u n d daraus ergibt sich die zweite obige Behauptung. F o l g e r u n g 2. Für die Mengen T und U aller T - bzw. CZ-Zahlen1 1) g i l t
d i m T = d i m D r = 0 .
B e w e i s . Für jedes (noch so große) a g i l t Q u n d £7 C St(a) . 6. Die De f in i t i on des Typs d einer transzendenten Zahl f läßt sich folgender
maßen verallgemeinern: Sei O eine behebige Menge v o n Polynomen m i t ganzrationalen Koeff iz ienten u n d Q (n, H) die Menge der Q 6 O m i t Grad Q ^ u n d Höhe Q ^ H. D a n n setzt m a n für jede transzendente Zahl |
t*>n(ff,f,Q) = m i n Q € 0 ( n , / / )
u n d def iniert w n (£ , Q ) , # n ( f , Q ) u n d # ( f , O ) entsprechend den Größen wn ( f ) , # n ( £ ) u n d # ( f ) . Für zwei solche Mengen Q x u n d Q 2 m i t Q1C Q2 gelten dann trivialerweise die Ungleichungen
wn (H, g, Q 2 ) ^ wn (H, f , Q 2 ) , &n ( f , Q x ) ^ #» ( f , C 2 )
w Ä ( f , Q j ) ^ w w ( f , Q 2 ) , Q x ) <: C 2 )
für jedes f u n d jedes natürliche ?i. Man kann n u n die Frage auf werfen, unter welchen Voraussetzungen über Ö das Analogon der Mahlerschen Vermutung bewiesen werden kann. W i r geben dazu den folgenden Satz an, dessen Beweis wie der von Satz 1 verläuft.
S a t z 3. Sei Q eine Menge von Polynomen mit ganzrationalen Koeffizienten, die mit jedem Polynom Q auch alle seine Teiler als Elemente enthält, und O die Teilmenge der Elemente von Q ohne mehrfache Nullstellen. Gilt dann für ein natürliches n beim Grenzübergang H -> oo die Aussage
(17) A/ • =0(H°n) (a > 0, fest)
oder
( 1 8 ) i' •„] --
so ist für fast alle reellen f die Ungleichung - ^ ( f , Q ) < 1 + o — — bzw. für fast
alle komplexen f die Ungleichung dn{^, O) < 2n erf^-F o l g e r u n g . G i l t (17) oder (18) für alle natürlichen n (oder auch nur für
unendlich viele), so g i l t für fast alle reellen f die Ungleichung d ( f , O ) ^ 1 + a
bzw. für fast alle komplexen f die Ungleichung # ( f , Q ) ^ 1 ' ° .
n ) S iehe T u . SCHNEIDER, a . a . O . 1 )
Z u r M a h l e r s c h e n V e r m u t u n g 453
Für Satz 3 lassen sich leicht Beispiele bi lden, wenn man bedenkt, daß die Voraussetzungen (1.7) u n d (18) immer erfüllt sind, wenn die Anzahl A.n(H) der Elemente von Q0(n,H) der Bedingung An(H) = 0(Han) genügt. Dies t r i f f t insbesondere dann z u , wenn, m a n verlangt, daß die auftretenden Grade n oder auch die Koeff izienten at gewissen Mengen angehören sollen, über die m a n geeignete Dichte V o r a u s s e t z u n g e n macht.
Zusatz bei der Korrektur. I m B e w e i s v o n H i l f s s a t z 6 s i n d n u r d i e Fä l l e b e h a n d e l t , d a ß Fl^1(x) u n d Fj(x) i m I n t e r v a l l \xh x;. J e n t w e d e r b e i d e m o n o t o n w a c h s e n o d e r b e i d e m o n o t o n f a l l e n . N i m m t m a n n u n a n , d a ß F} ~ l(x) m o n o t o n w ä c h s t , a b e r Fj(x) m o n o t o n fä l l t , so e r h ä l t m a n
( * ) ^ V Fj (v) ^ l. V (st-v-u-iyy v - n +} - l ' ' v Tj 4- j - l
1 x-n-j+l 1 'f
~ j \ r V ~ ) ' J 0
w o m i t a u c h i n d i e s e m F a l l e d e r I n d u k t i o n s s c h l u ß d u r c h g e f ü h r t i s t . A n a l o g s c h l i e ß t m a n , w e n n Fj±1(x) m o n o t o n fä l l t , a b e r Fj(x) m o n o t o n w ä c h s t .
S c h l i e ß l i c h m ö c h t e n w i r e r w ä h n e n , d a ß H i l f s s a t z 6 e i n f a c h e r u n d k ü r z e r d a d u r c h z u b e w e i s e n i s t , d a ß m a n v o n d e r I n t e r v a l l e i n t e i l u n g — ß l 9 . . . . ßtl, H a u s g e h t , w o b e i /?!,..., ßu d i e n a c h w a c h s e n d e r G r ö ß e g e o r d n e t e n R e a l t e i l e d e r X u 1 I s t e l l e n v o n V(x) s i n d , u n d d i e S u m m a t i o n ü b e r | V(x)\~ß i n d i esen I n t e r v a l l e n e i n z e l n a u s f ü h r t .
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(Eingegangen am 20. Juni 1958)
3 1 *
