Geometrisches Begründen und

Beweisen

Geometrisches Geometrisches BegrBegrüünden und nden und

BeweisenBeweisen

Julia Julia DutenhDutenhööferfer und Anna Vorpahlund Anna Vorpahl

Gliederung1. Begriffsklärung2. Überblick Rahmenlehrplan3. Diskussion 4. Allgemeine Ratschläge 5. Zwei Beweisbeispiele6. Gruppenarbeit

BegriffsklärungWas versteht ihr unter den Begriffen Axiom, Definition, Satz, Argumentieren, Begründen und Beweisen?

BegriffsklärungAxiom:Ein Axiom ist ein nicht deduktiv abgeleiteter Grundsatz einer Theorie (Wissenschaft, eines axiomatischen Systems).Bsp.: „Jede natürliche Zahl n hat genau einen Nachfolger n+1.“ ist ein Axiom der Arithmetik.

BegriffsklärungDefinition:Eine Definition ist entweder eine Bestimmung 1. des Wesens einer zu erklärenden Sache oder 2. eines Begriffs oder 3. die Feststellung eines tatsächlich geübten

Sprachgebrauchs, oder 4. die Festsetzung oder Vereinbarung eines

solchen.

BegriffsklärungSatz:Ein Satz oder Theorem ist in der Mathematik eine widerspruchsfreielogische Aussage, die mittels eines Beweises als wahr erkannt, das heißt, aus Axiomen und bereits bekannten Sätzen hergeleitet werden kann.

BegriffsklärungArgumentieren, Begründen und Beweisen:Der Begriff Beweisen ist eng mit axiomatisch-deduktiver Erkenntnissicherung, mit formalem Charakter und mit Strenge der Schlussfolgerung verbunden.

BegriffsklärungArgumentieren, Begründen und Beweisen: Den Begriff Beweisen ergänzt man mit dem breiteren Begriff Begründen, wenn auch andere Begründungsformen, wie das inhaltlich-anschauliche Begründen angebracht werden.

BegriffsklärungArgumentieren, Begründen und Beweisen:Die soziale und kommunikative Dimension des Begründens wird mit dem Begriff des Argumentierens noch deutlicher akzentuiert.

Überblick Rahmenlehrplan

Form und Veränderung, Kl. 3/4:

Überblick Rahmenlehrplan

Rahmenlehrplan Grundschule:

S. 24

Überblick Rahmenlehrplan

Form und Veränderung, Kl. 5/6:

Überblick Rahmenlehrplan

Form und Veränderung, Kl. 5/6:

Überblick Rahmenlehrplan

Rahmenlehrplan, Sek. I:

Überblick Rahmenlehrplan

Leitidee Raum und Form:

Diskussion

Müssen Schülerinnen und Schüler in der Schule im Geometrieunterricht Argumentieren, Begründen und Beweisen?

Allgemeine Ratschläge• Alles, was man sich für Schüler wünscht, muss zuvor bei

Mathematiklehrern und Lehramtsstudenten erreicht werden. → Also sind alle Empfehlungen zum Beweisen auch in der Aus-, Fort- und Weiterbildung von Mathematiklehrern anzuwenden.

• An vertrauten, leicht durchschaubaren Alltagsbeispielen und an sicher verfügbaren mathematischen Beispielen versuchen das Argumentieren zu lehren und die logischen Strickmuster bewusst zu machen.

• Mit dem Argumentieren bereits in der Grundschule beginnen (Einsatz von Problemaufgaben, Begründen und Verteidigen der eigenen Lösungswege etc.).

Allgemeine Ratschläge• Beispiele zum Argumentieren ausarbeiten für Schüler: Offenlegung heuristischer Überlegungen, ausführliche Dokumentationen.

• Sprachlich- logische Schulung auch im Mathematikunterricht, z.B. Werbe- und andere Sprüche beurteilen, Analysieren rechtlicher Formulierungen, Ausfüllen von Formularen → der Zwang zum präzisen Ausdruck zwingt auch zum Nachdenken über den betreffenden Sachverhalt.

• Entdeckendes Lernen

Allgemeine Ratschläge• Allgemeine Bemerkungen zum Beweisen geben (beweisspezifische Methodenkompetenz).

• Schülern und Schülerinnen die Notwendigkeit des Beweisens einsichtig machen → Beweisbedürfnis wecken

Allgemeine Ratschläge• Trainingsmöglichkeiten für ein eigenes Formulieren von Beweisen im Unterricht geben �Schülerzentrierung

• z.B.: Lösen von Berechnungs-, Konstruktions- und Beweisaufgaben und dabei zu einzelnen Schritten Gründe angeben

• z.B.: Mathematische Aufsätze verfassen →Begründen des eigenen mathematische Vorgehens → z.B. in Lern- oder Reisetagebüchern

• Verifikation/ Rückschau/ Überblick über den Beweis, Diskussion des Beweises

Zwei Beispiele1. Beispiel: Beweis des Kosinussatzes

Beweis des Kosinussatzes(Typische) Defizite:• für ein singuläres Problem, wird sofort eine allgemeine

Lösung gesucht (Dieses Vorgehen ist nicht einsichtig/ motiviert die Schüler und Schülerinnen nicht)

• keine Transparenz des Vorgehens: Es wird nicht deutlich herausgestellt, welche Gesetzmäßigkeit hergeleitet werden soll. Deswegen werden unsinnige Vorschläge von den Schülern gemacht, wie z.B. bekannte Größen durch unbekannte zu ersetzten.

• Es findet weder eine strategische Planung noch eine Retrospektive der Herleitung statt.

Beweis des Kosinussatzes(Typische) Defizite:• Da die Lernenden anschließend ausschließlich die Formel

anwenden müssen, spielt die Beweisführung für sie eine sehr untergeordnete Rolle bzw. hat keine Bedeutung für sie.

• Die Lernenden haben keine Chance für eigenständiges Problemlösen auf Grund des auf die (nur der Lehrerin bekannte) Lösung zusteuernden, fragend- entwickelnden Unterrichtsgesprächs. Es wird sogar teilweise zum Ratespiel.

• Schüler klinken sich aus und folgen dem Unterrichtsgeschehen nicht.

Beweis des KosinussatzesWie könnte man den beschriebenen Unterrichtsverlauf verbessern?• Als Lehrkraft könnte man das beschriebene Problem mit den

Schülern und Schülerinnen zunächst konkret lösen (durch einsetzen der gegebenen Größen).

• Anschließend könnte man ihnen ein ähnlich aufwendiges Problem geben und sie dieses lösen lassen.

• Danach könnte man das Vorgehen bei beiden Aufgaben analysieren.

• Dabei werden die angewendeten Strategien und Lösungsschritte erkennbar.

• Um nicht jedes Mal bei ähnlichen Aufgaben so aufwendig vorgehen zu müssen, kann die Suche nach einer allgemeinen Lösung motiviert werden.

2. Beispiel: Innenwinkelsumme im

DreieckBeispiel aus dem Unterricht:

- Arbeitsblatt mit 6 verschiedenen Dreiecken

- Aufgabe: Innenwinkel messen- Drei Abweichungen: 178°, 180,5°, 181°- Kurze Diskussion, dann Abstimmung- Merksatz

Innenwinkelsumme im Dreieck

Andere Möglichkeit:1. Vermutung aufstellen: In jedem Dreieck beträgt

die Summe der Innenwinkel 180°.2. Das Problem wird untersucht:

enaktiv: Schere, Geodreieck� Dreieck ausschneiden, Ecken abschneiden und

neu zusammensetzen� Mehrere kongruente Dreiecke so

zusammensetzen, dass unten eine gerade Linie entsteht

Innenwinkelsumme im Dreieck

Kinder können selbstständig begründen, warum die aufgestellte Vermutung wahr ist.

Der Lehrer sollte nur zum selbstständigen Arbeiten anregen, z.B. klären, was die Schüler alles über Dreiecke und Winkel wissen.

Innenwinkelsumme im Dreieck

�Vergleicht man die Aussagen und Ergebnisse der Experimente, kann dies zu einer Beweisidee führen.

Beweisidee: Eine gerade Linie überspannt einen Winkel von 180°. Entsprechend müsste man zeigen, dass die Winkel in einem beliebigen Dreieck kongruent zu passenden Winkeln sind, die sich zu einer geraden Linie zusammen setzen lassen.

Gruppenarbeit

Geometrische Denkaufgaben von Paul

Eigenmann• ikonisch formulierte Aufgaben• Sie lassen dem Unterricht besonders viele Differenzierungsmöglichkeiten hinsichtlich Sprach- und Anspruchniveau, ohne ihn mit immer neuen Erläuterungen zu überfrachten.

• Wer für seine Lösung gut argumentiert, kann Recht bekommen!

Geometrische Denkaufgaben von Paul

Eigenmann• Zunächst wird von den Schülern vielleicht nur halbwegs

sorgfältig abgezeichnet und nachgemessen. (gar nicht so einfach bei späteren Aufgaben, wenn die Reihenfolge oder Querbedingungen unklar sind)

• Schüler, die dabei bereits Probleme haben, bekommen von anderen Schülern freihändig skizzierte Bedienungsanleitungen gezeichnet.

• Sobald daraus nonverbale Konstruktionsbeschreibungen werden, merken viele Schüler rasch selbst, dass man die Konstruktion von z.B. Mittelsenkrechten Höhen, Winkel oder Seitenhalbierenden nicht jedes Mal wieder beschreiben muss, wenn man dafür „Makros“ oder „Module“ mit suggestiven Namen erfindet

Geometrische Denkaufgaben von Paul

Eigenmann• Es wird deutlich, wo Fachsprache nützlich ist und warum

gute sprachlich- symbolische Repräsentationen Übersicht erleichtern.

• Sie bieten vielfältige Möglichkeiten: zeichnerische oder rechnerische Lösung (zunächst) frei, verdeckter Lösungsanschrieb (Schüler beschreibt seine Hausaufgabenlösung, Mitschüler zeichnen freihändig mit), unterbestimmte oder überbestimmte abgewandelte Aufgaben, schrittweise explizitere Heuristik: Hilfslinien zwischen noch unverbundenen Punkt, „ähnliche“ Aufgaben oder Sätze, Symmetrisierung, vorübergehendes Vereinfachen etc.

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