Zeitschrift f/Jr Physik, Bd. 128, S. 289---294 (t950).

Zur Priifung der Bogentheorie. Der Wirkungsquerschnitt der Luft

bei h6heren Temperaturen. Von

H. MAECKER, Kiel .

Mit 3 Figuren im Text.

(Eingega~cgen am 28. April 1960.)

Der Temperaturverlauf in einem freien l0 Amp- und 2,9 Amp-Bogen wird nach dem MAXNKOPFFschen Iterationsverfahren, aber mit neueren theoretischen Grund- lagen berechnet. Die resultierenden Kurven verlaufen viel /lacher als die ge- messenen. I~ie Ursache dieser Unst immigkeit wird in der Temperaturabhs des Wirkungsquerschnit tes der Luf t gefunden. Wegen Unkenntnis dieser Funkt ion ist eine Priifung der Bogentheorie nicht m6gllch. Umgekehrt kann abet der Wirkungsquerschni t t der Luft in Abh/ingigkeit yon der Temperatur aus Tem- peraturmessungen yon HORMANN, SPERLING und SCHMITZ mit der •LENBAAS- HELLERschen Differentialgleichung berechnet werden. Der Yerlauf zeigt einen

plausiblen Gang mi t der Anregung und Dissoziation der Luft.

Problemstetlung. Vor einigen Jahren hat R. MANNKOPFF [~ ] die Temperaturverteilung

im freien Kohlebogen aus der ELENBAAS-HELLERschen Differential- gleichung mit einigen theoretischen Beziehungen berechnet und gelangte dabei zu einer recht guten 13bereinstimmung nicht nur mit der von zahlreichen Forschern gemessenen Achsentemperatur von 7000 ~ K, sondern auch mit dem von H~RMANN ~2] gemessenen Temperaturabfall. Seitdem sind null eine Reihe theoretischer und experimenteller Arbeiten zu diesem Problem publiziert worden. So haben G. BURKHARDT [3] und L. HULDT [4] die Dissoziations- und Ionisationsgleichgewichte ffir Luft bei hohen Temperaturen neu berechllet. (Die Berechnungen yon K. H. H6CKER [5] sind nach Auffassung beider Autoren ungenau.) In Erg~inzung dazu hat W. HAGENAH [6] die spezifische W~rme der Luft bei konstantem Druck und ihr W~rmeleitverm6gen ermittelt. An experimentellen Untersuchungen liegt eine Messung des gesamten Temperaturverlaufs fiber den Querschnitt eines 2,9 Amp-Bogens mit dem Interferenzrefraktor voI1 G. SCI~MITZ [7] und unabh~ngig davon eine gleiche Messung an B6gen verschiedener Stromst/irken mit dem Schlierenverfahren von J. SPERLING [8~ vor. SchlieBlich hat W. HAGE- I~AH das StrSmungsfeld des freien t0 Amp-Bogens aufgenommen und den ~3bergang der W/irmeleitung in die Konvektion gekl~irt. All diese Untersuchungen lassen es als Ilotwendig erscheine0, die Bogentheorie

2 9 0 H. MAECK:ER :

einer erneuten Prfifung zu unterziehen, indem wir die Berechnung des Temperaturverlaufs nach dem MANNKOPFFschen Verfahren ffir den 2,9 Amp- und den t0 Amp-Bogen neu durchffihren und mit dem ge- messenen ve -~h ,~n-

Berechnung des Temperaturverlau/s.

Nach der ELEI~BAAS-HELLERschen Differentialgleichung mug die Leistung, die einem Zylinder der H6he t cm mit dem Radius r der Bogens~ule elektrisch zugefiihrt wird, wieder durch W~irmeleitung durch den Mantel dieses Zylinders abgefiihrt werden:

d T r - -2 rnn( r ) ~ r = E f 2nr](r) dr. (1)

0

Legt man die tiber den ganzen Querschnitt umgesetzte Leistung fest R

mit L = J . E = E f 2 n r "i(r) �9 dr, dann folgt: 0

f j(r) rdr dT L o

- e-Y-= (2) R

f /(,) rdr 0

Also wird

und ihre freie Wegt~inge 4

2e= N ~ 6 ] "

4e 2 E x -

i = = VTs k

d~, ist der RaMsAuE~-Querschnitt der neutralen Teilchen gegeniiber den Elektronen. Der grol3e Wirkungsquerschnitt der'Ionen gegeniiber den Elektronen (GvosDOVER) spielt bier wegen des kldinen Ionisations- grades noch keine Rolle.

MANNIiOPI~F hat den Ionisationsgrad x- aus der SAHA-Gleichung gewonnen, indem er als mittlere Ionisationsspannung ffir den ganzen Querschnitt 9 eV setzte. Dabei gehen natiirlich manche Feinheiten, insbesondere die starke Elektronenlieferung dutch das NO verloren.

Die Stromdichte/" ist gegeben dutch

j = e ' n e . b - ' E .

Darin ist die Elektronendichte

h e = x - �9 N;

die Beweglichkeit der Elektronen

b--- e-~,~ V kr;

Zur Priifung der Bogentheorie. 291

Hier soll deswegen der aus dem Reaktionsgleichgewicht von HULDT berechnete Ionisationsgrad Verwendung finden.

Ffihrt man aUe besprochenen Zusammenh~nge in die G1. (2) ein, dann kiirzen sich die konstanten Faktoren vor den beiden Integralen fort und es wird

r

a r _ L o (3 ) dr 2~ r ~ (r) R

x - f - - r d r

0

Diese Gleichung kann nun nach MANNKOPFF SO dutch Iteration gelSst werden, dab mall mit irgend einer Temperatu~verteilung in die rechte Seite eingeht und dadurch links einen Gradienten an jeder Stelle r erh~lt. Durch Integration yon auBen erh~tlt man dann einen Tempe- raturveflauf, mit dem man abermals in die rechte Seite eingeht usw. Die Schwierigkeit ist aber bier wie bei MANNKOPFF die Festlegung des Bogenrandes. Er mtil3te nun eigentlich dorthin gelegt werden, wo nach den Messungen yon SPERLING die AuBentemperatur erreicht ist. Ferner miiBte man vonder dutch WArmeleitung zu transportierenden Leistung die bereits durch Konvektion abgeftihrte Leistung in Abzug bringen. Da nach HAGENAH aber gerade in den Randgebieten das W~rmeleitverm6gen durch Turbulenz vergr6Bert wird, ctarf mall bier nicht mit dem theoretischen W~rmeleitkoeffizienten rechnen. Hinzu kommt, dab bei dem 2,9 Amp-Bogen die Konvektion iiberhaupt nicht bekannt ist. Es bleibt also nur fibrig, einen Punkt der Temperaturkurve in dem Ubergangsgebiet zwischen Leitf~thigkeitszone und Konvektions- zone als Rand festzulegen und nach innen weiterzurechnen. Ffir den t0Amp-Bogen ( E = 1 7 V / c m ) soll dieser Punkt bei r=0,5 cm und T=3430~ liegen und fiir den 2,9Amp-Bogen (E=31 u bei r-----0,25 cm und T--3960 ~ K. Als Ausgangsfunktion nimmt man ein- fach eine konstante, dem Randwert gleiche Temperatur ffir den ganzen vorgegebenen Querschnitt an. Die h6chstens einige Prozent betragende Konvektionsenergie ist nattirlich jeweils abzusetzen.

Die beiden L6sungen dieser Berechnungen sind in Fig. I graphisch dargestellt. Gleichzeitig sind die gemessenen Temperaturverl~ufe mit eingezeichnet. Der flache Verlauf der berechneten Kurven, der im Gegen- satz zu den frfiheren Berechnungen yon MANNKOPFF steht, rfihrt yon dem jetzt gr6Beren W~trmeleitwert bei mittleren Temperaturen her. Die Unstimmigkeit zwischen den gemessenen und berechneten Tem- peraturverl~ufen ist so groB, dab sie nicht mehr dutch MeBungenauig- keiten erklArt werden kann. Auf der? Suche nach der Ursache dieser

292 H. MAECKER:

Differenzen erkennt man als bei weitem unsichersten Faktor in der Rechnung den Wirkungsquerschnitt ~2 in der yon HAGENAI-I ver- wendeten Formel ftir die W~meleitf~thigkeit

*~ /1~ (4)

Dieser Wirkungsquerschnitt ist -- abgesehen yon der SUTHERLANDschen Korrektion -- ffir alle Temperaturen gleich dem Molekularquerschnitt der Luft bei Zimmertemperatur gesetzt worden, ohne Rficksicht auf

~ [ I

7 ~sSen

Abshznd van tier Achse Fig. t . Gcmessener (ausgezogen) und bereeh- neter (gestrichelt) Temperaturverlauf ffir den

freien IO Amp- und 2,9 Amp-Bogen.

Anregung und Dissoziation. Das ist aber sicher unstatthaft, denn die Rotation und Kernschwingung der Molektile wird gerade vor der Dissoziation zu einer erheblichen Aufbl~lung der Molekfile ffihren, w/ihrend die Dissoziation der Molekfile in ihre Atome eine starke Ver- minderung des Teilchendnrchmessers zur Folge haben mull Da nun keine genauen Rechnungen oder Messungen desWirkungsquerschnittes der Luftteil- chen bei h6heren Temperaturen voflie- gen, scheitert hieran vorl/iufig die Prfi- lung der Bogentheorie beim Kohlebogen.

Wirkungsquerschnitt der Lu/tteilchen.

Will man abet die ELENBAAS-HELLERsche Differentialgleichung als richtig unterstellen, dann bietet sich hier die M6glichkeit, den WirkullgS- querschnitt der Luft aus den gemessenen Temperaturverl/iufen zu er- mitteln. Dazu 16sen wir die G1. (3) nach t/6 2 auf:

x - r d r I L

1 3z~ ~ V m L 0 (5) <5~ h'~ " l " V ~ 2 ~ r ---d T R

a ,

o

Der Faktor (t S +Z/r (r)) berficksichtigt die 3 % ige Abstrahlung s und

die in der N~ihe des gew~hlten Randes R einsetzende Konvektion K. Beim t0Amp-Bogen mul3te der Gradient d T/dr in dem ~lbergangs- gebiet zwischen der H6RMANNsChen und der SPERLINGschen Messung etwas gegl~ttet werden, denn die H6RMANNsche Kurve scheint an ihrem Rande zu steil abzufallen. M6glieherweise liegt dies daran, dab sich das aus der unteren Elektrode austretende Bor, an dem die

Zur Priifung der Bogentheorie. 29~

Messungen durchgeft~hrt wurden, noch llicht gleichm~iBig fiber den Querschnitt verteilt hat.

Die so aus den Temperaturverl~iufen fiir den 2,9 Amp-Bogen yon SCHMITZ ulld fiir den t0 Amp-Bogen von H/SRMANN-SPERLING errech- neten Wirkungsquerschnitte sind in Fig. 2 dargestellt. Aus beiden Kurven kann man eine Mittelkurve zeichnen, und sie bei tiefen Tem- peraturen ill die SUTHERLANDsche einmfinden lassen. Das auffallende an dieser Kurve ist, dab der gr6Bte Wirkungsquerschnitt gerade dolt zu finden ist, wo llach BURKItAI~DT die Dissoziation am h/iufigstell ist, nAmlich ill der Gegend von 5500 ~ K. Hier miissen, wie gesagt, die gr6B- ten Wirkullgsquerschnitte auftre- ten, well ein Molekfil unmittelbar vor seinem Zerfall am st/irksten aufgebl/iht ist. Ebenso ist der Ab- fall der Kurve mit Nachlassei1 der Dissoziation bis 7000~ der Er- wartung entsprechend, weil dalln die Luft nur noch aus Atomell besteht. Auch die absoluten Werte halten sich in vernfinftiger Gr6Be. Ahnliche Vorg~inge mfissen sich natfirlich auch bei der Dissoziatioll

Gq'IL 13 ,~ ~ 1,2' i

#O'rmann~gperlin~ [ ^ 1 tO

" //1

1000 2000 3000 0000 ~700 aO00 7900o1( Temparatur T

Fig. 2. WirkungsqXlerschnitt (Quadrat des Durch- messers) der Lu{tteilchen in Abh~ngigkeit yon der

Temperatur.

des Sauerstoffmolekfils im Temperaturbereich von 4000~ K abspielen, jedoch in viel kleinerem MaBstab, weil der Sauerstoff nur zu 1/5 in der Luft enthalten ist. Die Genauigkei t der Messung reicht aber nicht aus, um diese Feinheiten erkennen zu lassen. ~3berhaupt muB man der ~2-Kurve eine groBe Fehlerbreite zugestehen, well die Fehler aller Messungen und Rechnungen, soweit sie zur Ermittlung von ~2 beige- tragen haben, dem Resultat anhaften.

AuBerdem haben wir noch eine Vernachl/issigung gemacht, indem wir beim ~3bergang von G1. (2) nach G1. (3) dell RaMsAUER-Querschnitt der Gasteilchen gegenfiber den Elektronen $~ als konstant vor die Integrale gezogen haben, so dab sie sich wegktirzten. Der dadurch verursachte Fehler ist aber sicher sehr gering, weil die Hauptleit- f~thigkeit in dem kleinen Temperaturintervall yon 6500 bis 7000~ K liegt und daher die ~2-Kurve nur in diesem Bereich etwas verzerrt wird. Die Gr6Be yon 3~ selbst kann man berechnen, wenn mall die bisher noch gar nicht benutzte Feldst/irke hinzuzieht und bedenkt, dab die gesamte zugeffihrte Leistung bekannt ist:

R R

f - - r d r . (6 )

0 0

294 H. MAECKER: Zur Priifung der Bogentheorie.

R

Fiir den t0Amp-Bogen mit E=t7V /c m und rdr=325.tO -lo 0

ist dann 81 = t ,8 �9 t0 -is cm * und ftir den 2,9 Amp-Bogen mit E ----3 t V/cm R

u n d / x]-~r dr=287.10 -lo ist ~ = , 0 " 1 0 -le cm' . WAhrend das Er- r / F -

0 gebnis ffir den t0 Amp-Bogen plausibel ist, deutet der grol3e RAMSAUER- Querschnitt beim 2,9 Amp-Bogen darauf hin, dab das Integral in G1. (6)

,r zu hoch liegt. Dies wiederum c~- ~ kann seine Ursache darin ha- l3 ,~ 15.10 r

,, [ I _

/ 6

g,

/ \ 12

% Z

0 1000 2000 8000 qO00 5000 8000 7000~

Tempera/ur T

Fig. 3. W~irmeleitwert n und Z~higkeit ~ bezogen auf t/2~ 3 der Luft als Funktion der TcmFeratur.

ben, dab entweder die Achsen- temperatur bei der kleinen Stromst~irke yon 2,9 Amp unter 7000~ K liegt oder dab die Temperatur vonder Achse her steiler abfallen mfil3te, wie bereits SPERLING vet- muter hat.

Mit den gefundenen gas- kinetischen Wirkungsquer- schnitten kann man nicht nut bessere W~rmeleitwerte be- rechnen, sondern auch rich- tigere Koeffizienten der inne-

ren Reibung wegen des gaskinetischen Zusammenhanges beider Gr6Ben ermitteln (Fig. 3). Auf die Messung der Konvektionsenergie von HAGE- NAIl hAtte aber diese Verbesserung keinen groBen EinfluB, weil dort die ZAhigkeit nut in einem Korrekturglied benutzt wurde, um nAmlich Yon der Geschwindigkeit der Kohleteilchen auf die Gasgeschwindig- keit zu schlieBen.

Es ware wfinschenswert, die hier aufgezeigten Zusammenhitnge noch einmal am Hochstrolnbogen mit seiner h6heren Achsentemperatur nacti- zuprfifen, da dann der interessante Bereich zwischen 4000 und 7000 ~ K nicht so sehr in AchsennAhe liegt wie beim Niederstrombogen.

Literatur. [~] I~ANNKOPFF, t{.: Z. P h y s i k 120, 228 ( 1 9 4 3 ) . - [2] H6RMANI% H. : Z.

P h y s i k 97, 539 (t935). - - [3] BURICItARDT, G.: Z. Na tu r fo r schg . 3a , 603 (t948). - - [4] HULDT, L. : E ine U n t e r s u c h u n g des e lek t r i schen L ich tbogens u n d der Aze ty len- f i amme . U p p s a l a 1948. - - [5] H6CKER, K. H . : Z. ~Naturforschg. 1, 305 (t946). - - [6] HAGENAH, W . : Z. P h y s i k (vorangehende Arbeit) . - - [7] SCHMITZ, G.: Z. P h y s i k 126, 1 (1949). - - [8] SP~RLI~G, J . : Z. P h y s i k (vorvorgehende Arbeit) .

Kid, Physikalisches Institut der Universit~t.