Zur “Scale”-Analyse atmosphärischer Bewegungen in natürlichen Koordinaten

Arch. Met. Geoph. Biotd., Ser. A, 25,323-341 (1977) �9 by Springer-Verlag 1977

551.511.2

Institut far Meteorologie und Geophysik an der Universit~it Innsbmck, Osterreich

Zur ,,Scale"-Analyse atmosph~irischer Bewegungen in natiirlichen Koordinaten

Helmut PicMer

Eingegangen am 15. Juli 1976

Zusammenfassung

Um synoptische Entwicklungen besser erfassen zu k6nnen, ist es unter anderem notwendig, die Produktion yon Scherungs- und Krfimmungsvorticity m6glichst genau zu kennen. Diese Produktionsraten stellen ein Mug fur die Intensitgt einer synoptischen Entwickhing dar. Mit Hilfe der ,,Scale"-Analyse atmosphgrischer Bewegungen in einem nattMichen Koordi- natensystem, die zur Abschiitzung der Magnituden der relativen Dmck-, Dichte- und Tem- peratur~inderungen in Richtung der Str6mung und senkrecht dazu fiihrte, konnten die geforderten Produktionsraten yon Schemngs- und Krtimmungsvorticity approximativ bestimmt werden. Dabei zeigte sich, daf~ diese Produktionen im wesentlichen yon der horizontalen und vertikalen Windschemng sowie yon der Drehung des Windes mit der H6he und yon der freiwerdenden Kondensationswarme kontrolliert werden.

Summary

On the Scale Analysis of Atmospheric Motions Using Natural Coordinates

Knowledge of the production of both the shearing and curvature terms of volticity is most desirable for diagnosing synoptic developments, the two respective rates of production being a measure of the intensity of cyclogenesis or anticyclogenesis. Scale analysis of atmospheric motions has been performed in the natural coordinate system, yielding an order-of-magnitude estimate of the relative changes of pressure, density and temperature along the direction of flow and perpendicular to it, and making it possible to approxi- mately determine the required rates of production of vorticity - both sheafing and curvature terms. The main factors controlling these production rates turned out to be the horizontal and vertical wind shear, including the variation of wind direction with height, and the heat of condensation which is being liberated.

1. Einleitung

Mit Ausnahme der individuel len Bewegungen der Luftmolekfi le (Molekular- s t ruk tur der Luft) l~gt sich das weitlfiufige Spek t rum atmosph~rischer Bewe- gungen, das yon der kleinr~iumigen Turbulenz fiber Wolkenclus ter und Fron ten-

324 Helmut Pichler

systeme bis zu den synoptischen ,,St6rungen" (Hoch- und Tiefdruckgebiete) und zur globalen Zirkulation reicht, mit Hilfe der hydro-thermodynamischen Feldgleichungen beschreiben. Will man ein Ph~inomen einer ganz bestimmten Gr6t~enklasse (z. B. eine synoptische Entwicklung) ff~r sich gesondert betrachten, so ist es tiblich, ein Gleichungssystem zu suchen, das mit Hilfe geeigneter Rand- und Anfangsbedingungen diesen Vorgang m6glichst genau beschreibt, ohne die Fiille der fibrigen Bewegungsformen im Gleichungssystem selbst mit- berficksichtigen zu mfissen. Da aber die Bewegungsgleichungen nichtlinearer Natur sind, d. h. die Bewegungsformen verschiedener Gr6fSenordnungen (,,Scales") untereinander gekoppelt sind, ist vom exakten theoretischen Standpunkt aus eine Isolierung der einzelnen Bewegungsvorgfinge untereinander nicht m6glich. Es tritt somit eine entscheidende Frage auf, ob es tiber- haupt m6glich ist, ein in sich physikalisch konsistentes Gleichungssystem zu gewinnen, das niiherungsweise nur eine bestimmte Gr6t~enordnung von Be- wegungen beschreibt, gleichzeitig aber den Einflut~ anderer ,,Scales" z. B. der kleineren auf diese Gr6fSenordnung approximativ berficksichtigt. Die richtige Beantwortung dieser Frage ist zu einem zentralen Problem in der heutigen dynamischen Meteorologie geworden. J. G. Chamey [I, 2], N. Phillips [3], A. Burger [4] und andere (z. B. [5, 6]) haben gezeigt, daf~ man durch die systematische Anwendung der ,,Scale"-Analyse auf die hydro- thermodynamischen Feldgleichungen auf objektive Weise zu einem approxi- mierten, jedoch in sich physikalisch konsistenten Gleichungssystem gelangen kann, das nur ganz bestimmte Gr6fSenklassen von Bewegungen zulgf~t. Der Einflut5 der kleineren ,,Scales" auf diese Gr6t~enklassen wird dutch eine Para- metrisierung beschrieben. Man versucht, den ,,mittleren EinflutS" der numerisch nicht mehr aufl0sbaren subskaligen Prozesse auf die gr6fSerskalige Str6mung in Parametern dieser Bewegung selbst anzugeben. Diese Parameterfunktionen stellen Quellen bzw. Senken im gr6tSerskaligen zeitabh~ingigen Feld dar.

Aufgabe dieser Arbeit soll es sein, einen weiteren Beitrag zur ,,Scale"-Analyse zu liefern. Um spezielle Bewegungsformen in der Atmosph~ire mit Hilfe der ,,Scale"-Analyse betrachten zu k6nnen, mug zun~chst der ,,Skalenraum" - gegeben durch seine charakteristischen Lfingenausdehnungen - in dem die ffir diesen Raum charakteristischen Bewegungsformen ablaufen, vorgegeben werden. Dabei ist noch die charakteristische Geschwindigkeit C, die den in Frage stehenden Bewegungstypus auszeichnet, aus der Erfahrung festzulegen (s. unter anderem [7, 8]), In den meisten bisher erschienenen Arbeiten zur ,,Scale"-Analyse sind die betreffenden Untersuchungen in einem kartesischen Koordinatensystem durchgeffthrt worden. Will man mittels der ,,Scale"-Analyse jedoch die Umwandlung von Scherungs- in Kr/immungsvorticity bzw. die Produktionsterme von beiden Gr6t~en untersuchen, so mut~ yon dem gewohn- ten kartesischen Korrdinatensystem abgegangen und ein natiirliches Koordi- natensystem eingefiihrt werden. Die ,,Scale"-Analyse atmosph~irischer Bewe- gungen, dargestellt in einem natiirlichen Koordinatensystem, soil Gegenstand der nachfolgenden allgemeinen Untersuchungen sein.

,,Scale"-Analyse atmosph~irischer Bewegungen 325

2. Die atmosph~rischen Bewegungsgle ichungen

Da in dieser Arbeit der grofSr~umige synoptische ,,Scale" im Vordergrund der Betrachtung stehen soll, werden quasistatische, reibungsfreie Bewegungen angenommen. Die quasistatische Ngherung ftir diese Bewegungsformen wird dutch den ffir diesen ,,Scale" anisotropen ,,Skalenraum" R {L, L, D) mit L 2> D, wobei L die charakteristische horizontale Lfinge und D die charakteristische vertikale Ausdehnung ist, begdindet. Ftir L > D degeneriert nfimlich die dritte Bewegungsgleichung zur statischen Grundgleichung (s. [5]). WSre hingegen L ~ D (= konvektiver ,,Scale"), ist eine quasistatische N~iherung nicht mehr erlaubt. Der Einflut~ der Reibung auf Bewegungsformen im synoptischen ,,Scale" wird meistens parametrisiert; d. h. es kann ffir diesen ,,Scale" yon den Euler'schen Gleichungen ausgegangen werden. In einem natfirlichen Koordinatensystem schreiben sich diese horizontalen Bewegungs- gleichungen zu:

und

~V + v O V + o v 0_2 (1) ~---/- 0 s w - ~ z = - a 0 s

Oe vOe Oe) Op (2) V - ~ + -3-~-s +W-~z + f V = - ~ 0 n ,

wobei (1) als Geschwindigkeits- und (2) als Azimutgleichung bezeichnet wird. Die natfirliche Koordinate s weist positiv in Richtung der Stromlinie und die nattMiche Koordinate n steht senkrecht auf die Stromlinie s und ffihrt im positiven Sinn links yon s nach augen. V ist der Betrag der horizontalen Geschwindigkeit unde stellt den AzimutwinkeI, positiv z~hlend im entgegengesetzten Drehsinn des Uhrzeigers, dar. Alle anderen Variablen

1 de weisen die t~blichen Notationen auf. Da weiters ~ ~ - die Krammung der auf

die Horizontalebene projezierte Trajektorie darstellt, lfigt sich G1. (2) auch in folgender Weise schreiben:

~ n

+ f V = -o~ ~nn" (3) Rt

Dabei bedeutet R t der Krfimmungsradius der vorhin erw~ihnten Trajektorie.

Zur Durchftihrung der ,,Scale"-Analyse soll zun~ichst der ,,Skalenraum", in dem die/'fir diesen Raum charakteristischen Bewegungen ablaufen, definiert werden. Bezeichnet man die charakteristische Ausdehnung in Richtung der Str6mung mit S, bzw. senkrecht dazu mit N und die charakteristische vertikale Ausdehnung mit D, so ist der ,,Skalenraum" gegeben durch R(S, N, D }. Der ,,Scale"-Analyse folgend sind die Gln. (1) bzw. (3) dimensionslos zu

Arch. ~ e t . Geoph. Biokl. A. ]~d. 25, H. 4 22

326 Helmut Pichler

P

bzw.

1

P

schreiben. Werden die dimensionslosen Variablen mit ( )* bezeichnet, so erhNt man far die Koordinaten n = Nn*, s = Ss*, z = Dz* und fur t = (S/C)t*. Ist weiters C die charakteristische Horizontalgeschwindigkeit und W die charakteristische Vertikalgeschwindigkeit, so folgt Fur die betreffenden Ge- schwindigkeiten V = CV* und w = Ww*. Wird ferner die harizontale ~aade- rung einer Variablen in Richtung von s bzw. n mit 8s bzw. 8n bezeichnet, so erh~lt man die fiir die relative )~nderung des Druckes bzw. der Dichte l~ngs der Stromlinie bzw. senkrecht dazu:

1 3 p . 1 p 3n N 8nPp ( 1 ~n3P) *

(4) 1 8p _ _ l ~ s S GPp ( 1 - ~ s ) *

(5)

Da sich die wetterwirksame Schicht bis in eine H6he yon ungefahr 10 km erstreckt, sollD ~ H o, mi tHog=R To (Ho =- ,,Scale-Height" ~ 10 4 m)gesetzt werden. Fiihrt man noch die lokale ,,Scale Height" (Hg = RT) ein, so erhSlt man ft~r diese H = Ho H*. Bedenkt man weiters, daf5

lp 8 P = Hg O ln p - s S 8spp [ H * ( ; ~3P)*]

1 O P _ H g O l n p = H o g 8np [ H , ( 1 0 p ) * ] p 0n On N p

ist, so folgt ft~r (1) bzw. (3):

c2 l v,+v, 0 v , / w c [ 0v* t _ --S \ 3 t* 3 s* ] + --~o \w*--3---~-]

und

(6)

Hogs Gpp [H, (10p) '

(7)

PT ~-k-~! + y 0 c ~ * v * ) - N p F~--~ , (8)

wobei f = for* und R t = PtR* sind. Pt bezeichnet s0mit den charakteristischen Radius der auf die Horizontalebene projizierten Trajektorie. Die Fak- toren vor den Klammerausdr~cken geben die Gr6$enordnung der betreffenden


C 2 W C Terme an. Da far synoptische Bewegungen ~-- > T o ist, folgt aus (7)

6sp C 2 P Hog (9)

oder nach Einft~hrung der Froudezahl F -- C z /(Hog)

~sP ~ F. (10) P

Die relative Nnderung des Druckes lfings der Stromlinie ist (unabhfingig yon der Rossbyzahl) direkt proportional der Froudezahl.

Definiert man nach G1. (3) bzw. GL (8) eine Rossbyzahl als Verh~ltnis zwischen Zentrifugalkraft und Corioliskraft: Ro - C/foPt, so erhfilt man ftir Ro < 1 nach(8):

6np CN f o (11) P Hog

oder nach EinFtihrung der Rossby- bzw. Froudezahl

6np ~ N F R o _ I . (12) P Pt

In der Regel wird N ~ Pt sein, doch es k6nnen einzelne F~lle mit P t ~ N auftreten. Die relative Nnderung des Druckes normal zur Stromlinie ist ftir N ~ Pt und Ro < 1 direkt proportional der Froudezahl, jedoch verkehrt proportional der Rossbyzahl. Aus (I 0) und (I 2) folgt weiters

~s___PP ~ Pt 5nP (13) P - ~ R o P

Relation (13) gibt die Verkntipfung der relativen ~mderung des Druckes lfings der Stromlinie mit der relativen Nnderung des Druckes senkrecht dazu in Abh~ngigkeit von der Gate der geostrophischen Approximation (Ro < 1) an. Fi~r Pt ~ N gelangt man ftir eine gute geostrophische Approximation (Ro ~ O, 1) zur erwarteten Aussage, dab die relative Nnderung des Druckes lfings der Strom- lime um eine Gr6fSenordnung kleiner ist, als die relative )~nderung des Druckes senkrecht dazu.

Im aut~ertropischen synoptischen Skalenraum verbleibt im wesentlichen immer Ro < 1. Es sollen hier aber auch die F/ille t'tir Ro ~ 1 (z. B. Bewegungen in tropischen Breiten) untersucht werden. Demnach erh/ilt man/'fir Ro ~ 1 nach (8) und unter Verwendung der Definition der Froudezahl

~.p ~ N F. (14) P Pt

22*

328 Helmut Pichler

Far N ~ Pt ist fiir Ro ~ 1 die relative Nnderung des Druckes normal zur Stromlinie direkt proportional der Froudezahl. Ferner folgt aus (10) und (14)

asp Pt 8nP (15) p N p

Ist Pt ~ N, so folgt ftir Ro >~ 1, dab die relative 5,nderung des Druckes l~ings der Stromlinie die gleiche Gr6Benordnung besitzt, wie die relative ;~nderung des Druckes normal dazu.

3. Die horizontale ,~nderung der Dichte

In diesem Abschnitt sollen die relativen Nnderungen der Dichte l~ings bzw. normal zur Stromlinie untersucht werden. Da quasistatische Bewegungsfor- men betrachtet werden, kann die approximative Gflltigkeit der hydrostati- schen Grundgleichung

1 3 p p - (16)

g 3z

vorausgesetzt werden.

Mit Hilfe von (16) werden nun die relativen )~nderungen der Dichte lfings s bzw. n gebildet. Da das natiirliche Koordinatensystem ein beliebig krumm- liniges orthogonales Koordinatensystem darstellt, sind die Differentialope- rativen nicht mehr kommutativ. Es gelten daher folgende Vertauschungs- relationen:

a 2 a 2 a e a

asaz azas a z a n

a 2 a 2 a e a - - q - - - - -

an az az an a z as

(17)

Mittels (17) folgt aus (16):

1 3p _ _H_~_z ( 1 ~-~s ) # as

Wendet man auf dieses sichtigt man, dab

+1__ ~.p + H a e 1 ap p as az p an

(18) + L aP_Ha__r ~ 1 ap

p 3n az p as

Gleichungspaar die ,,Scale"-Analyse an und bertick-

(19)

,,Scale"-Analyse atmosphfirischer Bewegungen 329

ist, wobei eD die charakteristische Winddrehung mit der H6he in der Schichtdicke D - ausgedriickt im BogenmaiS - darstellt, so folgt aus (18)

1 6sp * H o 1 6sp , + S p D S p S

1 H o *

bzw.

1

(20)

6np 3 p * H o 1 6np H* + -~ -fi-- X p -ff~ D N p

S D eD * P ~ ~ (21)

Die Koeffizienten yon den Differentialausdrticken geben wiederum die Gr6tSen- ordnung dieser Terme an. Ftir D ~ H o sollen im folgenden die Gln. (20) und (21) n~her diskutiert werden. Die Absch~tzung der relativen Dichte~nderung l~ngs der Stromlinie bzw. senkrecht dazu wird dadurch erschwert, dais die einzelnen Terme in (20) bzw. (21) ihre Vorzeichen ~ndern k6nnen. Auf der rechten Seite yon (20) besitzen die beiden ersten Terme nach (10) die GrSfSen- ordnung FS -1 , w~hrend der letzte Term ft~r Ro < 1 nach (12) die Gr6t~enordnung (eH/Pt) F R o -1 bzw. f~rRo >~ 1 nach (14) die Magnitude (eg/Pt) F aufweist. Demnach erhfilt man ffir die relative )~nderung der Dichte lfings der Stromlinie ohne Berficksichtigung der Vorzeichen ft~r Ro < 1 :

5sp ~ F ffir S p ff[ eH < R o (22)

8SPp ptS e H F R o _ 1 far ~t eH > R o . (23)

Damit ist gezeigt, daiS die Winddrehung mit der H6he entscheidend bei der Absch/itzung der relativen Dichtefindemng eingeht. Ffir den Fall von S ~ Pt erhfilt man f~r Ro ~ 10-1 einen Grenzwert der Winddrehung um 5,7 Grad, der Relation (22) yon (23) scheidet. Tatsfichlich ist die Winddrehung mit der H6he meistens gr6iSer als dieser Wert, so daiS in der Regel zur Absch~tzung der relativen Dichte~nderung l~ngs der Stromlinie die Relationen (23) herangezogen werden mug. Ffir Ro ~ 1 erhfilt man:

S 6SPp ~ F mr Ptt e H < 1 (24)

6sp S S t9 Pt eHF fur ~-t e H > 1. (25)

330 Helmut Pichler

Auch hier zeigt sich wiederum der entscheidende Einflut~ der Winddrehung mit der H6he auf die Gr6fSenordnung der relativen Dichteinderung liings der Stromlinie. Beriicksichtigt man in (20) die Vorzeichen der beiden ersten Terme auf der rechten Seite, so ergeben sich keine )~nderungen gegeniiber

den AbschMzungen (22) bis (25) falls sign~z-z ( 1 ~ s ) = - s i g n { p 1-- -~--s)

ist. Sind die Vorzeichen jedoch gleich, so fallen die Abschitzungen in (22)

) bzw. (24) um mindestens eine Gr6t~enordnung kleiner aus P 10 -1 F ,

w~ihrend die Abschitzungen in (23) bzw. (25) unverindert bleiben. Gleich- zeitig verindern sich aber in allen Relationen (22) bis (25) die Schwankungen

ftir die einzelnen Geltungsbereiche um eine Gr6t~enordnung ( -S- eH ~ 10-1 Ro g

, ) \ r t bzw. ~ -~ 10 -1 . In der allgemeinen Diskussion empfiehlt es sich, in (20)

die Vorzeichen nicht zu bemcksichtigen, um so eine maximal m6gliche Ab- schitzung zu erreichen. Fir den zu untersuchenden Einzelfall kann diese Empfehlung jedoch nicht gelten. Die Diskussion fiber die Absch~itzung der relativen Dichtefinderung senkrecht zur Stromlinie nach (21) liefert folgendes

Bild. In der Regel ist sowohl sign (pl-- ~Pn ) < 0 als auch sign [a-L ( 1 -~-n )] < 0 .

Es erweist sich daher in diesem Fall als zweckm~it~ig, die Vorzeichen zu beriick- sichtigen. Demnach wird die Magnitude, bestehend aus der Gr6t~enordnung der beiden ersten Terme auf der rechten Seite yon (21) mindestens um eine

Gr6fSenordnung yon ~ kleiner sein, d. h. die beiden ersten Terme werden

im allgemeinen ft~r Ro < 1 die Magnitude 10 -1 (Pt ' F R o -1 ) bzw. fiir Ro ~ 1 die Magnitude 10 -1 (P~-aF) besitzen. Die Magnitude des letzten Terms auf der rechten Seite yon (21) hat den Wert S -1 e~/F. Daher ergibt sich ffarRo < 1

~Tt Pt 8np ~ 10_ 1 F R o _ a f t ir -~-eH < IO-1Ro -1 (26) P

Pt 6rip N e l l F ffir ~-eH > 10 -I R o -a (27) P S

Im Fall von Pt ~ S ist zur Absch~itzung der relativen Dichte~inderung senkrecht zur Stromlinie z. B. ftir Ro ~ 10 -1 f~ir eine Winddrehung mit der H6he gr6fSer als 57,3 ~ Relation (27) zu bentitzen. Fiir R o ~> 1 erhilt man

5nO ~ 10_1 F fir ~ - e g < 10 -1 (28) O

,,Scale"-Analyse atmosph/irischer Bewegungen 331

Pt 6nP N e l l F far -if-e/4 > 10 -1 (29) P S

Die Relationen (26) bis (29) zeigen wiederum recht deutlich den Einflufi der Winddrehung mit der H6he auf die relative )~mderung der Dichte senkrecht zur Stromlinie.

Weiters folgt aus (20) bzw. (21) noch folgende Aussage: Verbleiben auf der rechten Seite yon (20) die beiden ersten Terme klein gegentiber den letzten, so wird die relative )~mderung der Dichte I~ings der Stromlinie yon der relativen Knderung des Druckes senkrecht dazu kontrolliert; verbleiben auf der rechten Seite von (21) die beiden ersten Terme klein gegentiber den letzten, so wird die relative Dichte~inderung senkrecht zur Stromlinie yon der relativen ~inderung des Druckes lfings der Stromlinie kontrolliert.

4. Die Vertikalbewegung

Zur Absch~itzung der Vertikalbewegung geht man am besten yore ersten Hauptsatz der Thermodynamik aus. Dabei wird angenommen, dab die dutch Kondensation frei werdende Wfirme zur G/inze der trockenen Luft zugefiihrt wird. Man erh/ilt demnach

d ln.__._..~e + r__s d m s = O. (30) dt Cp T dt

Hier bedeuten 0 die potentielle und T die Lufttemperatur, r die Kondensa- tionswSrme, Cp die spezifische W/irme bei konstantem Druck und ms das maximale Mischungsverh/iltnis. Nimmt man welters an, dab die lokale )~mderung des maximalen MischungsverMltnisses im wesentlichen durch horizontale Advektion (s. [9]) zustande kornmt, so folgt aus (30)

Olne r a m s ) = 0 . (31) ~-7--z + c p T a~-

i) In 0 _ r ~ m s _ f f irHoc p = ~:: ein, F t ih r tmanzurAbkiJ rzungf i i rH~ Oz = g l und T 0z

so erh/ilt man aus (31), da ~:2 < 0 ist

+ V * 1 (3 * W S (? - - - - +fro ( / ~ 1 1 - Ig2 [) w* = 0" (32)

Daraus folgt f'tir die Magnitude der charakteristischen Vertikalgeschwindigkeit

W ~ C H ~ ~s---2e. (33) S(1~11-1tr I ) e

332 Helmut Pichler

oder nach Einfi~hrung der Rossbyzahl

~--RO( I/~ 1 [ - - I /~2 [ )--1 folio 6s 0 W 0 (34)

Relation (34) sagt aus, dat~ die charakteristische Vertikalgeschwindigkeit W direkt proportional ist der relativen )~nderung der potentiellen Temperatur lfings der Stromlinie. Diese Abschfitzung ist genauer als die zufolge der ,,Scale"- Analyse in einem kartesischen Koordinatensystem (s. [6, 8]). Bei der ,,Scale"- Analyse in einem kartesischen Koordinatensystem wird bei Auftreten eines inneren Produktes z. B. v �9 V ln0 der Wert dieses Produktes unter der Annahme, dat~ der Cosinus des Winkels, den beide Vektoren einschliet~en, gleich eins ist, abgesch~itzt. Daher ist nach einer solchen Analyse die Vertikalgeschwindig- keit direkt proportional dem gesamten relativen Gradienten der potentiellen Temperatur. Dies fuhrt mitunter zu Fehlern.

Im synoptischen Skalenraum ist magn ~:1 ~ 10-1 und magn ~:2- 10 -1. Daher folgt for die Magnitude yon (L KI I - I K2 l) mindestens die Gr6t~enordnung yon 10 2 Da welters in mittleren Breiten foHo~ 1 ms -1 ist, folgt ft~r die charakteristische Vertikalgeschwindigkeit bei feuchtadiabatischen Prozessen ( ~ * 0)

Pt Ro ~ - 102ms -1. (35) Wf~ ~-- Im trockenadiabatischen Fall (~2 = O) erh~ilt man for die Vertikalgeschwindig- keit

Pt as~3 101ms -1 (36) Wtr ~ ~- Ro ~

Demnach differiert die Vertikalgeschwindigkeit zwischen trocken- und feuchtadiabatischen Prozessen im Extremfall um eine Gr6fSenordnung. Es muf~ nun die relative )~nderung der potentiellen Temperatur lfings der Stromlinie abgesch~itzt werden. Dazu geht man vonder Definitionsgleichung fOr die potentielle Temperatur aus. Danach erhfilt man unter Verwendung der Zustandsgleichung fi~r ideale Gase

~ l n o _ ~ s (1-~-p) ~ l n p - ~ l n p ~ s ~s (37)

oder

6s (~ 0

Ft~r die Magnitude der relativen )~mderung der potentiellen Temperatur l~ings der Stromlinie erh~ilt man daraus ohne Berticksichtigung der Vorzeichen

8sO ~ 8sp + 6sP (39) 0 p P '


R da magn ( 1 - ' " ) vonde r Gr6fSenordnung eins ist. Aus (39) erh~ilt man dem- Cp nach nach (10) sowohl ffarRo < 1 mit (S /Pt)ea<Ro als auch ff~rRo >~ 1 mit (S/Pt)e~l < 1

6s 0 ~ F. (40) 0

Ffir Ro < 1 mit (S/Pt)ee > Ro erMlt man dagegen

6s (? S eHF Ro-1 (41 ) Pt

und far Ro >~ 1 mit (S/Pt)ett > 1

~s~3 S eHF. (42)

(3 Pt

Mit Hilfe dieser Abschatzungen l~ifSt sich nun die Magnitude der Vertikalge- schwindigkeit nach (34) sehr einfach bestimmen. So erh~lt man z. B. ftir Ro < 1 und (S/Pt) eH > R o mit Hilfe von (40)

W ~ "E-l folio eHF, (43)

wobei zur Abktirzung ftir (I ~:1 [ - I •2 I ) - ~ gesetzt wurde. Oder for Ro >~ 1 und (S/Pt)en > 1 folgt

W ~ ~'-Xf0H o eHF Ro. (44)

Unter den angegebenen Bedingungen ist somit die Vertikalgeschwindigkeit verkehrt proportional der statischen Stabilit~it der Atmosph~ire und direkt proPortional der Winddrehung mit der H6he sowie weiters ffir Ro < 1 direkt proportional der Froudezahl bzw. fur Ro ~ 1 direkt proportional der Froude- und der Rossbyzahl.

Die Absch~itzungen der relativen Jlnderungen der potentiellen Temperatur senkrecht zur Stromlinie erfolgen analog den vorhin durchgeffihrten Ab- schatzungen yon 0 l~ngs der Stromlinie.

5. Die Gleichungen fiJr die Scherungs- bzw. Kl~mmungsvorticity

Wird die Vorticitygleichung in Form einer Bilanzgleichung geschrieben [6], so kann man sofort die Quellen bzw. Senken der. Vorticity erkennen und gewinnt so einen tieferen Einblick in die Wirbeldynamik und somit in d i e zyklogenetischen Prozesse. Wie man sich leicht tiberzeugen kann, hfingt eine echte Produktion yon absoluter Vorticity (in einer Ebene) yon der Umwand-

334 Helmut Pichler

lung yon Wirbelgr6ge mit horizontaler Achse in eine solche mit vertikaler Achse (Twistingterm), yon der vertikalen Advektion yon Wirbelgr6f~e mit vertikaler Drehachse und yon der Baroklinit~it des Massenfeldes (Solenoidterm) ab. Produktionsuntersuchungen yon Vorticity sind recht handlich in einem kartesischen Koordinatensystem zu fiihren (s. [6] bis [10]). Will man aber Umwandlungen von Scherungs- in Krammungsvorticity und umgekehrt bzw. die Produktionsraten yon Scherungs- und Kriimmungsvorticity getrennt untersuchen, so mug auf ein nattMiches Koordinatensystem tibergegangen werden. Bei zyklogenetischen Prozessen ist es nfimlich wichtig festzustellen, welche Terme ftir die Produktion yon Scherungsvorticity, welche f'fir die Pro- duktion yon Krfimmungsvorticity und welche f'tir die Umwandlung von Sche- rungs- in Krfimmungsvorticity verantwortlich sind und welche Gr6genordnung die jeweiligen Terme besitzen. G. Hollmann [ 11 ] hat die entsprechenden Glei- chungen ftir die Scherungs- und Kriimmungsvorticity in Bilanzform mit dem Druck als Vertikalkoordinate abgeleitet; er f~hrte jedoch nur eine qualitative Diskussion durch. In diesem Abschnitt soll mit Hilfe der ,,Scale"-Analyse eine quantitative Untersuchung angestellt werden. Zu diesem Zweck sollen in Anlehnung an [ 11 ] die Bilanzgleichungen flit die Scherungs- und Krtimmungs- vorticity mit z als Vertikalkoordinate abgeleitet werden.

Differenziert man die Geschwindigkeitsgleichung (1) nach n, so erh~ilt man

(relative) Scherungsvorticity ~-; - O Vfolgende Bilanzgleichung: ftir die O F /

a--7 g-s-s ( f ' V ) + G g-~n = ~ + Oz On

+ [~-~t o V

wobei o~ dos spezifische Volumen darstellt.

(45)

Die rechte Seite dieser Gleichung stellt die Quell- bzw. Senkenterme far die

(relative) Scherungsvorticity dar, da der Ausdruck (S's V) + ~'s V~-~n = v - (v~'~) is

wobei v den horizontalen Geschwindigkeitsvektor darstellt.

Differenziert man die Azimutgleichung (2) nach s, so erh~ilt man ftir die absolute

Krtimmungsvorticity ~'x + f = VOe + f = V 3 s ~ + f ' wobei Rs der Krtimmungs-

radius der Stromlinie ist, folgende Bilanzgleichung:

a--7 (fk +r + [(fk + ; ) v ] + v ( f~ +f ) a e On

] [~ 3p] [~___~ a V+ O (~sp)] (46) +vOW 3e 3o~ 3p Oa a~ ~ + ~ a~ a s ~ 7 , - a~ --a,~ '~ "


Auf der rechten SeRe von (46) stehen wiederum die Quell- bzw. Senkenterme ftir die absolute Krfimmungsvorticity. Ein Vergleich von (45) mit (46) zeigt, dal3 sich der letzte Term in der eckigen Klammer auf der rechten Seite yon (45) bzw. (46) jeweils nur um das Vorzeichen unterscheidet. Es handelt sich hier offensichtlich um die Transformationsfunktion, die die Umwandlung yon Scherungs- in Krtimmungsvorticity und umgekehrt, je nach Vorzeichen, kontrolliert. Diese Transformation ist demnach yon der )~nderung des Druck- ~adienten l~ings s in Richtung yon n und vonde r )~nderung der horizontalen Geschwindigkeit lfings s abh~ingig.

Die tibrigen Glieder auf der rechten Seite yon (45) bzw. (46) stellen somit die eigentlichen Quell- bzw. Senkenterme, bezogen auf die gesamte (absolute) Vorticity, dar. Man erkennt, dab der Solenoidterm ausschlieglich ein Quell- term fflr die Krt~mmungsvorticity ist. Verschwinden die eigentlichen Quellterme in (45) und (46), so gelangt man zum Erhaltungssatz der potentiellen Vor- ticity (s. auch [12]):

(f +r + V. v(~'+r = 0. (47) 0 t

I n G l . ( 4 6 ) bzw. in(47) i s t d e r T e r m [ - ~ s ( f I O + f V 0 - ~ l enthalten. Dieser

Term stellt nur eine Quelle fiir die relative Krtimmungsvorticity, nicht aber fflr die absolute dar.

Zur weiteren Diskussion ist es zweckmfiPAg, die Bilanzgleichungen (45) und (46) mit Hilfe der ,,Scale"-Analyse in dimensionsloser Form zu schreiben.

C ~.,_ 0 V* Ffihrt man fiir die Scherungsvorticity s = ~ ~'* mit s 3 n ~ ein und

schreibt manweiters fiir 0 e e u [0__s * eX 1 0---n = N ~ 0 n ! mit - - = - - , wobeieN einen N Pn

charakteristischen Wert der Winddrehung liings n darstellt, so er_hglt man mit Hilfe yon (6) ffirD ~ H o aus (45):

3t* + ( f ' V * ) Pn ~ = + ~ ~On*] + (48)

+ 0 V* 0 w * ] + N V* 0 V* Hog 6sP 0 , 0z* On*.] Pt R* Os ~ + C 2 p ~n*

Mit Hilfe yon (9) und (34) erh~ilt man dann:

+ + * Oz* Dn* Pt R* Os*

[ w * ! [0 v* / + 0z* ~0 n* l

336 Hetmut Pichler

FiJr N ~ Pt haben die beiden letzten Terme auf der rechten Seite die gleiche Gr6f.senordnung wie die beiden Terme auf der linken Seite yon (49). Die Gr6genordnung des eigentlichen Produktionstermes der (relativen) Scherungs- vorticity wird vonder Magnitude der relativen Knderung der potentiellen Temperatur l~ings der Stromlinie und yon der statischen Stabilit~it der Atmo-

ph,rekon.o,i .. rol tau (49,, da 0r

bei entsprechendem Vorzeichen eine echte Produktion yon Scherungsvorticity

stattfindet, w~ihrend ffir (~_ 1 6_~) < 1 eineProduktion(Reduktion) von

Scherungsvorticity nur auf Kosten (Gewinn) der Kr~mmungsvorticity gehen kann.

F/ihrt man fi~r die relative Krammungsvorticity ~'x = ~" ~ mit ~'~ = ~ - ein, �9 R s

wobei Ps einen charakteristischen Wert des Krfimmungsradius der Stromlinie

Ps = darstellt, so erh~ilt man unter Bedachtnahme yon

a n as as a n p2 a n a n a s (50)

und der Relationen (5) und (6) fi)r Ps + 0 folgende Bilanzgleichung for die (relative) Krfimmungsvorticity:

aat,~__Z~ + ~ r v*) S , V , ( a e ) * + ~ ~ ~ -UY -

C H 0 ~ C H 0

s176 P ' [gT;s * ff'* v * ) + s v * f * ( a e P ,, -~n

eH [ V*0w*as* (ae)*].~ +NPS 1 P 8nFp

Ps 1 8rip 8sp *

Pt R~ 3s* N F p an* - ~ s ] ] (51)

Unter Verwendung von (9) und (34) und EinfOhrung der Rossbyzahl erh~ilt man anstelle von (51)

a~+ a (~ZV,)+S[zv,(ae)* Ps[ a S (a~ at~ a~--; .. ~ =-Ro-~u[ ~ (f*v*)+~ v,y*

[w ~@(v~__) P. a w* a(5_7)*] P, 1 , , p ~ .p -~-1 8sO , + ~- eHV*-~7* + N F p p 0

,,Scale"-Analyse atmosphfifischer Bewegungen 337

Ps V* 0 V* Ps 0

N R* ~ s* N ~ n*

Ps ~nP * *

Zungchst mag es verwundern, dat~ die Transformationsterme in (49) bzw. (52) nicht die gleichen Koeffizienten aufweisen. Nachdem sich aber die Magnituden dieser Koeffizienten relativ zur Gr6fSenordnung der lokalen Nnderung yon ~'s bzw. ~'k beziehen, mug dies nicht der Fall sein. Die absoluten Gr6t~enordnungen der Transformationsterme sind nattirlich in beiden Gleichungen gleich und betragen [C2/PtS] bzw. [C~/NS]. Wie bereits betont, stellt der erste Term in (52) ein Produktionsterm ffir die relative, nicht aber ft~r die absolute Krfim- mungsvorticity dar; er soll mit D (= Divergenzterm) bezeichnet werden.

Weiters sollen zur Vereinfachung der weiteren Diskussion folgende Abkt~rzun- gen eingeftihrt werden. Auf der rechten Seite yon (49): 1. Term = Qs,

2. und 3. Term - Us; auf der rechten Seite von (52): 2. Term ---- Qk, 3. und 4. Term - B (= Solenoidterm), 5. und 6. Term ~- U~. Die weitere Diskussion soil nun ftir den Fall N ~ S ~ Pn ~ Ps ~ Pt durchgefiihrt werden. Dann wird Us~ Uk -- U (= Transformationsterm) mit magn U ~ 1. Ferner erhSlt man ftir die Magnitude des Divergenzterms magn D ~ Ro -1.

Es massen nun zwei F/~lle unterschieden werden.

1. Fall: Ro ~ 1.

Verbleiben magn Qs < 1 und magn (Qk + B) < i, so tritt keine wesentliche Produktion von absoluter Vorticity auf. Die potentielle Vorticity bleibt er- halten, es kommt lediglich zu Umwandlungen yon Scherungs- in Krfimmungs- vorticity und umgekehrt.

Verbleiben Ro -1 > magn Qs > 1 und Ro -1 > magn (Qk + B) > 1, so kann bereits ohne auf Kosten der jeweiligen Vorticityform Scherungs- und (relative) Krfimmungsvorticity produziert werden, da die Produktionsterme die Trans- formationsterme fiberwiegen. Da aber in diesem Fall noch immer der Diver- genzterm D mit magn D ~ Ro -1 dominiert, so fallt diese Produktion in Hinblick auf die gesamte absolute Vorticity kaum ins Gewicht.

Verbleiben jedoch magn Qs > Ro -1 und magn (Qk + B) > Ro -1 , so findet (ohne auf Kosten der gegenseitigen Umwandlung) eine direkte echte Produk- tion yon Scherungs- und Krfimmungsvorticity statt.

2. Fall: Ro ~ 1.

Da magn U ~ 1 und magn D ~ Ro i sind, folgt da in diesem Fall magn D ~ 1 ist, magn D < magn U.

Verbleiben jetzt magn Qs < 1 und magn (Qk + B) < magn D < 1, so findet keine wesentliche Produktion von absoluter Vorticity start. Es kommt ledig-

338 Helmut Pichler

lich zu Trans format ionen zwischen Scherungs- und Krt immungsvort ic i ty .

Verbleiben magn Qs > 1 und magn (Q~ + B) > 1, so f indet (ohne auf Kosten der gegenseitigen Umwandlung) eine echte direkte P roduk t ion von Scherungs- und Krt immungsvort ic i ty statt .

Um nun die V o r t i c i t y p r o d u k t i o n abschfitzen zu k6nnen, sind daher die Mag- n i tuden yon Qs, Qk und B zu bes t immen. Aus (49) bzw. (52) folgt unter der Bedingung, dag alle hor izonta len Lfingenscales die gleiche Gr6fSenordnung haben ohne Berticksichtigung des Vorzeichens

magn Qs ~ .'g-1 8s c? 8

magn e~ ~ - i (1 + ell) 6s___~e (53) 8

1 8sO 8np 8nP magn B + - -

F p p p

Diese Magnituden k6nnen anhand der Oberlegungen in den vorausgegangenen Abschni t ten verh~ltnismfifSig einfach abgesch~tzt werden. An einem Beispiel soil dies demons t r ie r t werden. Ftir Ro < 1 soll j ener Bereich herausgegriffen werden, ftir den Ro ~ (10 Ro) -a gilt, d. h. 0 < Ro < 0,32. Demnach mu~ man gem~f5 den Rela t ionen (22,23; 26,27; 40,41) je nach der Winddrehung mit der H6he zunfichst 3 F~ille unterscheiden: 1. eH < R o ~ ( 1 0 R o ) -1 , 2. Ro < e H < (10 Ro) -1 , 3. Ro < (10 Ro ) 1 < ell. In der folgenden Tabel le 1 sind die Gr61~enordnungen der vo r t i c i typ roduz ie renden Terme nach (53) ftir diese 3 F~ille angegeben. Dabei zeigte es sich, daf5 bei der Absch~tzung des Solenoidterms in diesem Beispiel der zweite Ausdruck n icht berficksichtigt werden mul~te. Daher erh~lt man ftir,die Magni tuden in den F~illen (2) und (3) die gleichen Ausdr~cke.

Tabelle 1. Grdfienordnungen der vorHcityproduzierenden Terme ~r Ro < 1 gegliedert nach Winddrehungen m# der HOhe (siehe Text)

Fall magn Qs

1 ~"-1F 2/3 ,-if-1 eHF Ro-1

magn (Qk + B)

[s (1 + ell) + Ro -1 ]F [-s (1 + ell) + Ro -1 ] eHF Ro- '

Unter der Annahme yon Ro = 0,2 erh/alt man folgende drei Bereiche ftir die Winddrehung mit der H6he: (1) e H < 11 ~ (2) 11~ e H < 29 ~ bzw. (3) eH > 29~ Es soll nun der 1. Fall mit eg = 0, der 2. Fall mit eH= 20 ~ und der dr i t te Fal l mit eH = 58 ~ n~her diskut ier t werden. Dabei sind noch A n n a h m e n tiber die stat ische Stabilit~it zu treffen. Es mug zwischen zwei Ext remfa l len unterschieden werden: a)~" ~ 10 -1 (d. h. ~:a = 10-1 und ~2 = 0); es handel t sich hierbei um t rockenadiabatJsche Vorg/inge (siehe Rela t ion 36). b) ~" ~ 10 .2 (d. h.


K 1 = 10 -1 und ~:z=.10 -I ); in diesem Fall befindet sich die gesamte Atmosphfire im ges~ittigten Zustand und die freiwerdende Kondensationsw~irme wird der (trockenen) Luft zugefi]hrt. Die Tabelle 2 gibt die Ergebnisse der Abschfitzun- gen unter diesen Annahmen an.

Tabelle 2. GrOfienordnung der vorticityproduzierenden Terme ~r Ro = 0,2 fur verschiedene Winddrehungen mit der Hohe (mit und ohne Kondensation)

eli magn Qs magn (Qk + B) ~"~ 1 0 - J "k" ~ 1 0 - ~ " ~ 10 -1 "g ~ 1 0 - 2

0 ~ 10F 100F 15 F 105 F 20 ~ 17 F 175 F 32 F 245 F 58 ~ 50F 5O0F 125 F 1025 F

Aus Tabelle 2 geht hervor, dab die Magnituden yon Qs bzw. (Q~ + B) ohne Kondensation um eine Gr0fSenordnung kleiner verbleiben als im Fall mit KondensatiorL

6. Schlut~betrachtung

Ein schwieriges Problem in der ,,Scale"-Analyse bleibt die Bestimmung der charakteristischen horizontalen Geschwindigkeit C. W~ihlt man C als mittlere Geschwindigkeit, die im Skalenraum auftritt, so kann man sich leicht anhand der Tabelle 2 tiberzeugen (siehe auch [7]), daI$ bei einer solchen Wahl (F ~ 10 -3) keine wesentliche Produktion yon Vorticity auftritt. Es kommt zu einer Erhal- tung der potentiellen Vorticity, was dem mittleren Verhalten der Atmosph~ire entspricht. Der Synoptiker will aber gerade Abweichungen von diesen mittleren Ver- h~iltnissen erkennen, da diese Ahweichungen ft~r die weitere Wetterentwick- lung von entscheidender Bedeutung sind; oder mit anderen Worten: es gilt die echten Quell e~n der Vorticityproduktion zu erfassen. Zu diesen Zwecke ist es notwendig, die charakteristische Horizontalgeschwindigkeit, die in die Rossby- und Froudezah! eingeht, sinnvoll zu definieren. Da es bei der bier gezeigten ,,Scale"-Analyse im wesentlichen una eine Absch~itzung r~iumlicher Differentialquotienten geht, erweist es sich als zweckm~fSig, die charakteristische Geschwindigkeit Cats Differenzwert l~ngs eines ScaIes zu definieren: z. B. C -= AN V. Dadurch wird der MitteIwert, der yon vornherein nur einen begrenzten [nformationsgehalt besitzt, durch einen Differenzwert der Geschwin- digkeit ersetzt, und somit die Information, die die ,,Scale"-Analyse bietet, erh~Sht. Definiert man die charakteristische Geschwindigkeit als C -= AN V = =/ks V = A H V, so werden die einzelnen Lfingenscales, die den Skalenraum beschreiben, noch dazu untereinander verkntipft, was mitunter die Festlegung

340 Helmut Pichler

yon N bzw. S er le ichter t (s. auch [7]). Mit Hilfe einer derar t festgesetzten charakter is t ischen Geschwindigkei t C gelingt es, ftir den aktuel len Fall eine repr~isentative Rossby- bzw. Froudezah l zu bes t immen. Mittels dieser Zahlen, in die die hor izonta le bzw. vert ikale Windscherung eingeht, und mit einem repr~isentativen Wert ftir die statische Stabilit~it der Atmosphgre bzw. ft~r die Winddrehung mit der H6he, ist es m6glich, den aktuel len dynamischen Zu- s tand der AtmosphSre im synopt ischen Scale-Bereich zu beschreiben.

Die , ,Scale"-Analyse kann somit n icht nur zur Bes t immung eines in sich physikal isch konsis tenten Gleichungssystems ftir einen bes t immten Scale- Bereich Verwendung finden, sondern dartiber hinaus bei geeigneter Bestim- mung der verschiedenen Scaleparameter zur Charakter is ierung eines aktuel len physikal ischen Zustandes in einem bes t immten Scalebereich herangezogen werden. Dies kann am folgenden Beispiel verdeut l ich t werden. Gelangt man in einem aktuel len Fal l aufgrund der Wet te rkar tenanalyse zu C - AN V = AS V = AN V = 50 m/s, so folgt daraus m i t H 0 ~ 104m F = 2,5 �9 10 .2 . Mit diesem Wert Ftir die F roudezah l erh~ilt man nach Tabel le 2 die in Tabel le 3 angegebenen Magnituden f'tir Qs bzw. (Qk+B).

Tabelle 3. GrOj3enordnung der vorticityproduzierenden Terme ~ r Ro = 0,2 und F = 2,5. 10-2 ~ r verschiedene Winddrehungen mit der HOhe (mit und ohne KondensatioW

eH magn Qs magn (Qk + B) ~g ~ 10-1 k ~ 10-2 ~ ~ 10-1 ~ '~ 10-2

0 ~ 0.2 2.5 0.4 2.6 20 ~ 0.4 4.2 0.8 6.1 58 ~ 1.2 12.5 3.1 25.6

Aus Tabel le 3 sind folgende Ergebnisse abzulesen. Die Winddrehung mit der H6he geht en tscheidend in die V o r t i c i t y p r o d u k t i o n ein; es ist welters ein groger Unterschied zu bemerken, ob Kondensa t ion e int r i t t oder nicht. Im t rockenadiaba t i schen Fal l gelangt erst bei eg = 58 ~ die Magni tude des Quell- termes fiir die Scherungsvort ic i ty in die Gr6fSenordnung der Umwandlungs- terme; der Quel l term ftir die Krt immungsvor t ic i ty gelangt bei e H = 20 ~ in die Gr6t~enordnung der Umwandlungs terme; die Magni tuden der einzelnen Terme verbleiben aber kleiner als magn D ~ R o - 1 ~ 5. Im Extremfal l , dat~ die gesamte Atmosphere ges~ittigt ist und Kondensa t ion eintr i t t , sind die P roduk t ions t e rme gr6tSer als die Umwandlungs te rme (bei en = 0 ~ etwa in der gleichen Gr6fSen- ordnung) , aber erst bei einer ver t ikalen Winddrehung yon 58 ~ werden die Quel le terme gr6f6er als die Magnitude des Divergenztermes. Erst in diesem Fall t r i t t eine echte P roduk t ion sowohl yon Scherungs- als auch yon Krtim- mungsvor t ic i ty auf.

Zusammenfassend l~if~t sich sagen, dais die P roduk t ion der Scherungs- als auch der Krt immungsvor t ic i ty yon vier Parametern abh~ingig ist, und zwar yon der


hor izonta len Windscherung, ausgedrtickt durch die Rossbyzahl , yon der ver- t ikalen Windscherung, ausgedriackt durch die Froudezahl , yon der freiwerdenden Kondensat ionsw~irme und yon der Winddrehung mit der H6he. Um im t rockenad iaba t i schen Fall gleiche Produk t ions ra ten zu erhal ten wie bei Kon- densat ion, mut~ die ver t ikale Windscherung wesent l ich gr61~er sein. Welters sieht man, daf5 die P roduk t ion von Vor t ic i ty zun immt , je gr6t~er die ver t ikale Winddrehung ist. Das heifit, dag vor der Warmfron t in der Nfihe des Okklusions- punktes die V o r t i c i t y p r o d u k t i o n am st~rksten und im Warmsektor einer jungen Zyk lone am geringsten ist (s. [ 12]). Diese Tatsache s t immt sehr gut mit der synopt i schen Erfahrung der st~irksten Entwick lung einer Zyklone im Okk lus ionspunk t tiberein.

Literatur

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12. S~einacker, R.: Zur Vorticityproduktion bei zyklogenetischen Prozessen. Arch. Met. Geoph. BiokI., Ser, A, 25, 97-115 (1976).

Anschrift des Verfassers: Univ.-Prof. Dr. Helmut Pichler, Institut fiir Meteorologie und Geophysik, UniversitM Innsbruck, SchopfstrafSe 41, A-6020 Innsbruck, Osterreich.

Arch. met. Geoph. Biokl. A. Bd. 25, H. 4 23

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Zur “Scale”-Analyse atmosphärischer Bewegungen in natürlichen Koordinaten