Monatshefte fiir Mathematik 72, 254--263 (1968)

Zur s imul tanen h o m o g e n e n d iophant i s chen A p p r o x i m a t i o n I

Von

Jiirg M. Wills, Berlin

(Eingegangen am 10. Juli 1967)

R sei die Menge der reellen Zahlen; N der natiirlichen, Z der ganzen, P der rationalen, I -- R -- P der irrationalen, F = R - - Z der nicht- ganzen Zahlen. Zu einem a e R sei II a It der Abstand vonder n/ichsten ganzen Zahl.

1. Einleitung

Es sei n e N, a = (al . . . . , a.) e R *, q e Z,

und

Weiter sei

~l(a) =

tt(q, a) = rain I1 q=, 11 l < i < n

,u'(q, a) = max tl q=, II. l < i < n

2((a) = sup ,u'(q, a) qeZ

~(~) = li-~ s(q, a) ,h'(a) = 1 ~ / ( q , a) l q l ~ = Iq l+ |

h(,~) = n m s(q, ,~) ;.3'(,~) = ~ / ( q , ,~) ]q I'~'| t ql"~'|

2,(a) = inf tt(q, a) ~4'(a) = inf #'(q, a). q~g q e g

Definitionsgemitlt ist

0 < ~tj(a) ~< 2/(a) < % j = 1, 2, 3, 4

~, Ca) ~< ~ (a) ~ ,~ (a) ~< ~ (a) ;t~'(a) <~ ~; (a) ~< ),~'(a) ~< ~ ' (a )

sup tt(q, a) q~g

(1 .1)

J. M. Wills: Zur simultanen homogenen diophantischen Approximation I 255

Kann man (1.1) versch~rfen? Ftir a e R ~ ist (s. z. B. [3], Satz 55)

lira ql/n ft,(q ' a) ~< 1, also 2s(a) = 0. Mit (1.1) folgt 0 ~ - - - > ~

2s(~) = ~s ' ( . ) = 24(~) = ~ ' ( ~ ) = 0 f~r ~ e R".

In Lemma 1 wird gezeig~:

21(a) = ),2 (a) / flit a e R n. und 21'(a ) ----- 2~'(a) I

In Lemma 3 wird gezeigt:

21 ' (a) : 1//2 f/ir a e R ~ - - pn

l/a ~ 21'(a ) ~ 1//2 f i i r a e p n _ Z n

inf ~ l ' ( a ) = min 2 1 ' ( a ) = 1/s ~ ; ,n_~ ,~ ~ pn_x,, (1.2)

sup 2a'(a) = max 2a'(a) -= 1//2 a s p n - g n a e p U - g n

~ . l ' ( a ) = 0 f i i r a e Z ~.

Bleibt 21. Ist a e R n - F ~, d. h. mindestens ein a i e Z, dann ist fiir jecles q e Z : #(q, a) : 0. Also ist

21(a) = 0 fiir a e R n - - F n.

Wir schlieBen diesen Fall aus und bet rachten F n.

Fiir a ' = (1//2, . . . , 1//2) e F ~ gilt 2x(a') - - 1//2-

Fiir jedes a e F ~ gilt weiter #(1, a) : min ][ a~ i[ > 0, also 2~(a) > 0. l < i _ < n

Damit ist

und

E s sei

0 < ~l(a) ~< 1//2 f'tir a e F"

sup ~ l ( a ) - : max 2 a ( a ) = �89 a e $ r a e $~r6

~ ( n ) = in f ~l(a) .

In Lemma 2 wird gezeigt: t o ( l ) : a/3. In Tell I I werden Schranken fiir to(n), n / > 2 angegeben. In Tell I wird s tar t F ~ die wichtige Teil- menge I n c ~ betrachtet . Man zeigt leicht (s. (3.5))

sup 21(a ) ~--- max 21(a ) : I~. aS I n a~ I n

256

Es sei

In Satz 2 wird gezei~

J. M. Wills

u(n)= in f2~(a ) . ae /n

1 ~(1) = ~ , ~(2) = ~[s, ~ <~ n(n) ~< n + 1 fiir n .~-- 3.

1 (Vermutlich ist ~ (n ) - . i). n +

Der Beweis benutzt Kroneckers Approximationssatz.

2. Einfaehe Ergebnisse

Es sei f l e R, 7 e R. Dann ist

lib + r II < lIB 11 + l i t II (2.1) und

lib II + l i B - �89 [I = � 8 9 (2.2) ~i i~ ~ = (~1, " ' ' , B/t) e / ~ , 7 = (~11 . . . . ' 7.) e / P folgt a u s ( 2 . 1 )

max tl 8, + ~, I! < max I18, I1 + max l{ 7, I1 (2.3) l <<.i<n l ~iSn l <_. i<<.~

und aus (2.2)

rain II 8, tl + max II 8, - �89 tl = � 8 9 (2.4)

Fiir fl' ~ R ~, 7' ~ / ~ folgt aus (2.3) und (2.4) leicht

max liB; t t - max Itr,' II < max l i B ; - r ; It (2.5) l<_i<<.n l < i < . n l<~ t<_n

min liB; t l - min liT,' lit ~< max l i B ; - r ; I1. (2.6) l ~ < _ n l < i < n l _ < i ~ n

Lemma 1. F i i r a e R" ist 21(a) = 2~(a) und 21'(a) = 22'(a).

Beweis. Es sei a e R ~. Wit zeigen

1. 2x(a )= 22(a). a) Fiir ]edes q e Z sei #(q, a ) < Ll(a). Dann ist definitionsgem~l~ 21(a) = 2z(a). b) Es gebe ein % ~ Z mit #(qo, a) = 21(a). Dann folgt aus (2.6) mit fli' = qa~ und 7~' = qoa~:

l t4q, ,~) - ~(%, ,,) I ~< #'(q - %, a). Wegen

lim #'(q -- qo, a) = lim /~'(q, a) = 23(a) = 0 ]~1§174 Iql->|

folgt daraus 2z(a) -- #(%, a) = 21(a ).

Zur simultanen homogenen diophantischen Approximation I 257

2. Xl'(a) = ,~.z'(a). Beweis analog mit (2.5).

F~r ~ = 1 i~t ~1(~) = ~ ' (~ ) = sup II ~ It. q~Z

Lemma 2. Sei a e R. Dann ist

Wir zeigen

1. 21(g ) --- 1~ fur a e R - - P = I

2. 1 / a ~ < 2 1 ( a ) ~ < ~ ffir a e P - - Z

,t1(1/a) = i/a und "~1(~ ) - -1~

3. Xl(a) = 0 fiir a ~ Z.

Bemerkung: Aus t . folgt ~(1) = ~ ; aus I. und 2. folgt ~o(1) = x/a.

Beweis. Zu 3.: klar. Zu 1.: Ist a e I una q(a) = {qa - p/q e Z, p e Z}, dann gilt 0(a) = R, also ist i1(a) = 1~. Zu 2. : Es sei a r P - - Z, also

a = - m i t r a Z , s C N , ( r , s ) = l u n d s > l . 8

a) s sei gerade. Dann ist r ungerade. Mit qo = ~ - ist qo a = ~ und

I I qo a l! = ~ , also ),da) = ~ .

b) s sei ungerade. Dann ist (2r, s) = 1 und es gibt ein p ' E Z und ein q' r Z mit 2 rq' -}- sp" = 1.

Dabei ist p ' notwendig ungerade. Mit p ' - - 2 p + 1 und q' = - - q0 folgt

r l s - - 1 2 r q o - - ( 2 p + l ) s------- t bzw. s q ~ s

Wegen s > 1 ungerade i s t s ~> 3 und

1 l s - - 1 1 <

~ < 2 ~ ~-" Also ist

1 r l s - - 1 1 < -

g < l l q ~ 2 8 2

und dami t 1/a ~< 21(a) ~< 1/2. Insbesondere ist ~1(1/a) ~--- 1/a.

Lemma 3. Sei a ~ R ' . Dann gilt (1.2).

Beweis. Folgt aus der Definit ion yon ,t1'(a ) nnd Lemma 2. ~onatshe f te ffir ~a themat ik . Bd. 72]3, 17

258 J.M. Wills

3. Abgeschlossene Teilmoduln des R"

Sei a = (al . . . . . an) ~ R ~. Die a~ mSgen den n - r linear unab- h~ingigen Gleichungen

% -t- 27 % aj = 0 ~=1 i : 1 . . . . , n - - r (3.1)

% e Z , % e Z , j = I . . . . , n

und keiner weiteren davon linear unabhiingigen Gleichung gehorchen. (3.1) kann mit tIilfe des GauBschen Algorithmus und durch Unmume- rierung auf die folgende Form gebracht werden:

aio -~ a~i a i ~- ~ a# aj = 0 ~=~-,+1 i = 1, . . ., n - - r . (3.2)

aio E Z, a# ~ Z, j = i, n - - r + 1 . . . . , n, a~i ~= 0

(aio, aii, ai n-r+1, " " , ain) -~ 1

O. E. wird im Folgenden immer angenommen, dal~ die a~ in der durch (3.2) gegebenen Reihenfolge vorliegen. Es sei

M(a) = {(~1 . . . . , ~ ) ~ R~/a,, ~, + ~ aq ~i = a,o g + ai, gi + ~ aq g# /=n--v+l ~'=u--r+l

i---- 1 . . . . . n - - r , g e Z , g i e Z , i = 1, . . . , n} . (3.3)

M(a) ist ein r-dimensionaler abgeschlossener Teilmodul des R ". Sei

Q(a) = { ( V a , . . . , V,,) e R"/~ h = qa, - - t,, q e Z , t, eZ, i ----- 1, . . . , n}. (3.4)

Q(a) ist eine abz/ihlbare Teilmenge des R". Damit lautet der Satz von Kronecker (s. z. B. [3], Satz 65):

Satz 1. Fiir a ~ R ~ ist Q(a) -~ M(a) .

Es sei jetzt a' e I ~ so, dab die Zahten 1, a~', . . . . a~' rational unab- h~tngig sind, d. b. keinem System (3.1) oder (3.2) gehorchen. Dann ist M ( a ' ) = R ~ und mit Satz 1 ist Q ( a ' ) - - R ". Also gibt es zu jedem e > O e i n q e Z m i t O < m a x ][qa i ' - 1 / / 2 ] ] < e .

l < _ i < _ . n

- - e < rain t] qa; I] < 1,/2. Also ist ~(a ' ) = 1/2 und l < : i ~ n

SUp 21(a ) = max 21(a ) ----- 1~. (3.5) a E l ~ a E 1 ~

I Lemma 4. Es sei a ~ P . Dann gibt es ein a ' = (ax', . . . . a~) e I ~ mit

a( = k ~ a o , k~ E Z - - { 0 } , i---- 1, . . . , n, ao ~ I und M(a ' ) = M(a).

Zur simultanen homogenen diophantisehen Approximation I 259

Beweis. E s sei a = (ax . . . . , a ~ ) e l ". G e h o r c h e n d ie a i k e i n e m

S y s t e m (3 .2) , d a n n i s t M ( a ) = / P u n d w i t s ind fe r t ig . D ie a i m S g e n

also e i n e m S y s t e m (3 .2) gehorchen . D a n n i s t M ( a ) d u r c h (3 .3) erkl~irt.

W e g e n a e I ~ is t r ~> 1 u n d

a~j > 0 i = 1 . . . . , n - - r.

D a h e r (vgl. den Beweis zu [5], S a t z 1) g i b t es ganze Z a h l e n d] ~ 0,

j = n - - r q- 1, . . . , n m i t

a,i di = b i 4= 0 i = 1 . . . . . n - - r. ]=n-r+l

Sei

u n d

k = ( k . g . V . de r ai~, i = 1, . . . , n - - r) ,

k k i = - - - - b ~ i = 1 . . . . , n - - r

aii

kj = . . . . , n .

D a n n is t k i e Z - - {0}, i = 1, . . . , n. I s t j e t z t a o e l , d a n n i s t a / = k~ a o e I

i = 1, . . . , n u n d aus (3 .2 ) fo lg t

aii a i' --~ aq aj -~ kao(-- b i q- Z aii d]) = 0 i = 1, . . . , n -- r. j=~--r+l j=n--rA-I

F i i r ~t' = qa( - - t i, q e Z , t i e Z , i = 1 . . . . . n gi l t a lso

a~ ~ ~- aij ~]j ----- - - a~ t i - - aq t~ i = 1, . . . , n - - r. /=u--r+l j=U--r+l

D a m i t i s t d a s G l e i c h u n g s s y s t e m v o n (3 .3) erf i i l l t , wenn n u r g = 0, t

~i = ~ i , g~ ~ - - ti, i = 1 . . . . , n g e se t z t wird .

Also i s t Q(a') r M(a) . W e g e n Q(a') = M ( a ' ) u n d M ( a ) : M ( a )

fo lg t d a r a u s M ( a ' ) c M(a) .

4. Die Funktion x

Sei k = (kl . . . . . k~) ~ N ~. D a n n i s t

5(k) ~- sup m i n I] k, ~ I I --- m a x m i n il k, ~ I I-

U ma 5. = rain If k, $11. k~lV~n 0 < ~: < 1 l_*~i__.a

( 4 . 1 )

1 7 ~

260 J.M. Wills

Beweis. Wegen (4.1) geniigt es zu zeigen: Is t n e N und s >~ 0, dann sind folgende Aussagen aquivalent :

a) Es gibt ein k = ( k , . . . . , k,) e N'* mit O(k) - - sup min II k~ ~ t] • s. 6 ~ R l < _ i ~ n

b) Es gibt ein a ~ I" mi t 21(a) ~< s.

1. a) ==> b). Es gelte a). Welter sei a o e I und q E Z. Wi t setzen

qa o ---- $ und k~ a o ~ a~ i = 1 . . . . , n. Dann ist a ~ (al . . . . . a~) e I" und

min Ilqa, l l = m i n I l k ,$[ l < s . l _ < i < n l _ _ _ l < n

Da q ~ Z beliebig war, ist ).i(a) ~< e, d. h. es gilt b).

2. b) ~ ) a). Es gelte b). Wel ter sei

S(s) ~- {(~1 . . . . . ~ ) e R~/ra in l[ ~, II < e}. (4.2) l _ < i < : n

Dann ist Q(a) : S(e). Wegen Q(a) -~ M(a) und S(s) ----- S(s) ist M(a) c S(s). r !

Nach Lem ma 4 gibt es ein a ' = (al, . . . , a~') mi t a i = k i no, k~ e Z - - { 0 } , i ~- 1 . . . . , n, a o e l und M(a ' ) c M(a), also ist M(a ' ) c S(e). Wei ter ist

Q ( , ' ) = . . . , e R " / - - q e Z , t, e Z , i = 1, . . . ,

Is t a o e I , dana liegen die Zahlen ~ = qa~ - - t, q e Z, t ~ Z in R dicht. Mit qa o = ~ und t~ - - k i t = gi, i --= 1 . . . . . n folgt daraus leicht

Q(a') = M(a ' ) = {(~1, �9 �9 ~ ) e / P / ~ i = ki ~--gt, gt ~Z, i = 1 ..... n, ~ e R}.

Dami t folgt aus M(a ' ) r S(s) und (4.2)

rain II k~ ~ II < s fiir $ e R. Also ist ~(k) < s. l < i < n

Es war k, e Z - - {0}. Wegen l[ k, ~ [l = II - - k, ~ II f'~' ~ e R kann o. E. angenommen werden: k, e N, i = 1 . . . . . n. Dami t gilt a).

1 1 1 1 = -- << z(n) <~ ffir n >~ 3. Satz 2. ~(1) g , ~(2) 3' 2 n

Beweis. a) ~ ( 1 ) = ~ . Nach Lemma 2 ist ~ ( 1 ) = ~ . Ein Beweis 1

mi t Lemma 5: Sei k~ e N und ~----- 2 k~" Dann ist 0 ~< ~ ~< 1 und

11 k~ ~x 11 = �89 Da kl e N beliebig war, ist n(1) = ~ .

1 b) u(n) ~< n -1- 1" Es sei n e N. Naeh einem Satz von Dirichlet

(s. z. B. [1] 13 d) ist dann

Zur simultanen homogenen dioph~ntischen Approximation I 261

1 also a(k) -- n ~- 1

1 ~(n) ~< n § 1"

- - - - fiir k ----- (1, 2, . . . , n). Mit Lemma 5 folg~ daraus

c) ~(2) : 1/a. Es sei k = (]~1, kS) e N 2 und ~ = 5(k) < 1/3. O. E. sei 1

kl < k s. Weiter sei ~ -- 3 ~1' also 0 < ~1 "~ 1. Dann ist [[ k~ ~ [] = 1/3,

also folgt

Iks f II ks ~ If = ~ < ~ < 1/=. (4.a)

ks 1 ~, also folg~ (4.3) Wegen ]c 1 ~ ]cs is~ - ~ :> aus

ks 2 ks k~ 3 k--~ ~ 1 -- ~ > ~ oder ~ > 2. wegen ~ - > 2 gibt es ein g e N mit

k2 ks kl kl k ~ < g < g + l < ~ b~w. 1 < N g < T ( g + l ) < 2 .

Mindes~ens eine der beiden Zahlen g und g -k 1 ist nicht durch 3 teilbar. g'

Es gibt also ein g' e {g, g -k 1 } mit 3 ~" g'. Es sei ~s -- 3 k 2" Dann ist

g' 0 < ~ s < l , 1 / a < k l ~ s < s / a und k s ~ - 3 ' also t t k , ~ s [ l ~ l / 3 u n d

t] ks ~2 ][ = 1/a ira Widerspruch zu ~(k) < ~/a. Also ist z(2) = inf 5(k)/> l/a, k ~ r2

und mit b) folgt z(2) = 1/a.

1 d) 2 n ~ z(n). Vorbemerkung: Ist k e N und s e [0, 1~], dann ist

s 1 - - s 1 ~ e in 0~-und--~c ~ -

][k~ll 8 1 - - e

1 2e Die Lgnge der Intervalle in 0 V ~ ~< ~- mit }t k $ [I ~ s ist --k--" Wegen

262 J .M. Wills

1 [I II = II i~t die Lange der Interval le in 0 ~< ~ ~< 1 mi t

II k ~ II < e gleich 2 e.

Es sei je tz t n e N, k : (kl, . . . , k,) e N ~ und

J,(k) ---- {~ / H k, ~ II • 5(k)} i = 1, . . . , n. (4.4)

Nach Defini t ion von 0(k) und J~(k) ist

[0, 11 c t9 J , . (4.5) i

Nach der Vorbemerkung besteht jedes J~ aus endlich vielen abgeschlos- senen Interval len der Gesamtl~inge 2 d. Aus (4.5) folgt daher 1 ~ n. 2 0

1 1 oder 0 ~ 2-nn" Dami t ist ~(n) = inf (~(k) > /2 n"

k e 3 ~

5. Bemerkungen zu Satz 2

In Teil b) des Beweises wurde gezeigt: Is t ]~ = (1, 2 . . . . , n), dana ist 1

~(k) - - Is t j e tz t c e N, k ~ = (1 c, 2 c, . . . n c), dann gilt offenbar n + l "

1 auch ~(k') - - Nach einem Hinweis von P. Flor gibt es ffir gewisse

n -[- 1" 1

n noch weitere k e N" mi t O(k) - - 1' z. B. fiir n = 5 : k = (1, 3, 4, n +

5, 9), fiir n = 7 : k = (1, 2, 3, 4, 5, 7, 12). Eine Gesetzn~gigkei t ist nicht 1

bekannt . Ebenso ist kein k bekann t mi t 0(k) < n +-----1" Dagegea gilt:

1 Fiir n >~ 2, k e N ~ ist 0(k) > 2~n"

Beweis. Sei n >I 2, k e N ~, ko = max k~ und seien 0 = ~(k) und

Ji(k) wie in (4.1) und (4.4) erkl~rt. Wel ter sei

1 - - 0

Dann ist J c J~ i = 1, . . . , n. Da J aus 2 In terval len der Gesamtl~inge

20 , - - besteht, folgt dami t aus (4.5): o K

Zur simultanen homogenen diophantisehen Approximation I 263

20 1 1 ~ n 2 ~ - - (n - - 1) -~0 < n 2 0, also ~(k) > 2-n"

Eine einfache Methode, diese Belnerkungen graphisch darzustellen, ist in [4] erkli~rt.

Literatur

[1] Bourbaki, N.: Topologie g6n~rale, Chap. VII. Paris: Hermann 1963. [2] Cassels, J. W. S.: An introduction to Diophantine approximation. Cam-

bridge: University Press 1965. [3] Perron, 0.: Irrationalzahlen. Berlin: Walter de Gruyter & Co. 1960. [4] Wills, J. M. : Widerlegung einer Aussage yon E. Borel fiber diophantische

Approximationen. Math. Zeitsehrift, Bd. 89 (1965), S. 411--413. [5] Wills, J. M.: Zwei S~tze fiber inhomogene diophantische Approximation

von Irrationalzahlen. Monatshefte ffir Mathem., Bd. 71 (1967), S. 263--269.

Math. Institut der Technischen Universit~it Berlin 1 Berlin 12, ttardenbergstr. 34.