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Zur Theorie der C- mad H-Summierbarkeit negativer Ordnung.
Yon
Gerhard Lyra in GSttingen.
Einleitung.
Der Begriff der CEs~osohen Limitierbarkeit einer Zahlenfolge sn zum Werte s ist urspriinglieh yon E. C~.sA~ol) 1889 nur fiir positiv-gan~zahlige
Limitierungsordnung r durch die Konvergenz der Mittel
erkl~rt worden. K. K.NopP 2) hat 1907 diese Definition auf nicht-ganzzahlige r ~ -- 1 erweitert und damit erstmalig den Begriff der G-Limitierbarkeit beliebig reeller Ordnung r ~ - 1 eingefiihrt. Wie KNoPP a . a . O , gezeigt
hat, bleiben bei dieser Verallgemeinerung alle bekannten Eigenschaften des
G-Verfahrens erhalten3). Nun sind durch (1) die CEs~osehen Mittel auch noch fiir alle nicht-
ganzzahligen r ~ - - 1 definiert. Trotzdem kann der Begriff der G-Limitier- barkei t ffir diese Ordnungen nieht allein dutch die Konvergenz der CEsA~oschen Mittel (1) erkl~rt werden, da sonst nicht einmal die Permanenzbedingung, d .h . die Forderung, dal3 aus der Gr-Limitierbarkeit einer Folge zum Werte s f i i r r ' ~ r ihre Gr,-Limitierbarkeit zum gleichen Werte folgt, erfiillt w~re. In der Tat gibt es zu jedem beliebigen nieht-ganzzahligen r ~ - - 1 Zahlen- folgen sn, welche Gr-limitierbar und doch nicht konverger~t sind, im Wider- spruch zu dieser Permanenzfordel~ng. Z .B . hat die Zah|enfolge
n
-, = Z , .,/('-')., wie man mit Hilfe der erzeugenden Funktion leicht erkennt, die CEs~oschen
Mittel (7~(sn) -~ l/[n~r~/~n/ \(n -]-r),n welehe fiir n --~ oo gegen f ' (1 - - r ) f ' ( 1 -~ r)
~) E. C~.s~o, Sur la multiplication des s~ries. Bull. des sciences math. (2) 14 (1890), S. 119.
2) K. KNOPP, Grenzwerte yon Reihen bei der Ann~herung an die Konvergenz- grenze. Inauguraldissertation, Berlin 1907, ferner: Multiplikation divergenter Reihen. Sitzungsber. d. Berliner Mathematischen Gesellschaft, Jahrgang 7 (1907), S. 1--12.
3) Unabh~ngig yon KNOPP hat sl~ter S. CHAP~AN in der in Ful3note 4 ge- nannten Arbeit die C-Limitierbarkeit nicht-ganzzahliger Ordnung r ~> -- 1 untersucht.
G. Lyra, C- und H-Summierbarkeit negativer Ordnung. 539
= r r~/sin ~' z konvergieren. Andererseits ist sn ~_ (n - - r - -n 1), die F olge s~
also gewi~ nicht konvergent. U m solche F~lle auszuschliel3en, muB in der
Definition der G-Limitierbarkeit nicht-ganzzahliger Ordnung r < - - 1 zur Konvergenz der CEsARoschen Mittel (1) noch eine weitere Forderung hinzu- kommen. Als geeignete Zusatzforderung hat zuerst S. CHAPMAN 4) 1910 die
O o
A-Beschr~nktheit cter Folge s~, d .h . die Beschr~nktheit yon (1 - - x ) ~ s~ x ~ o
in O ~ z < 1 gefordert und gezeigt, dab unter dieser Voraussetzung aUe
wesentlichen Eigensehaften des CssARoschen Limitierungsverfahrens gfiltig bleiben. Dami t war der Begriff der G-Limitierbarkeit f/Jr reelle Ordnung r ~= - - 1 , - 2 . . . . erkl~rtS). Wegen des fiir ihn gfiltigen Permanenzsatzes folgt insbesondere aus der Konvergenz der C~si~oschen Mittel C~(sn) nicht- ganzzahliger Ordnung r < - 1 und der A-Besehr~nktheit der s~ die Kon-
vergenz der Fo|ge s n zum selben Wert .
U m schlieBlieh den Begriff der G-Limitierbarkeit auf den allgemeinen Fall beHebig reeller Ordnung r zu verallgemeinern, bedarf es noch einer De-
finition der G-Limitierbarkeit negativ-ganzzahliger Ordnung r = - - k (k > 0 ganz). Zun~chst erseheint fiir diesen Zweck der Ausdruck (1) unbrauehbar, da
er wegen des ffir negativ-ganzzahlige r verschwindenden Nenners ( n t r ) # _
nicht
definiert ist. I m Gegensatz hierzu kann die Definition der HSLDE~sehen Limitierbarkeit bekanntlieh ohne weiteres auf negativ-ganzzahlige Ordnung ausgedehnt werden, wie sehon ]916 W. H. You~Ge) ffir die Ordnung - - 1 bemerkt hat. Denn der ~bergang yon den H6LD~.~schen Mitteln H~(s,~) der positiv-ganzzahligen Ordnung k zu denjemgen der Ordnung ~ - 1 wird dureh die zur arithmetisehen Mittelbildung inversen Operation H_~ (H~ (s~)) ----(n-~ 1 ) H ~ ( s ~ ) - - n H ~ ( s , , _ ~ ) = H~_l(s~) vermittel t , so dab die HO~D~-
schen Mittel negativ-ganzzahliger 0rdnung -- k einer Zahlenfolge sn rekursiv
durch die Ausdriicke
(2) H_~(s,~) = (n ~ 1) Hl_~(s ,~) - - nHl_1,~(s , ,_l) - ~ s
mit k = 1, 2, 3 . . . . und H o(s.) = s~
4) S. CHAP~N, On non-integral orders of summability of series and integrals. Proe. of the London Math. Soc. (2) 9 (1911), S. 369--409.
~) Allerdings hat C H A P ~ unter C-Limitierbarkeit nieht-ganzzahliger Ordnung r < -- 1 doch nur die Konvergenz der CES/~ROsehen Mittel verstanden und die A-Be- schr~nktheit als eine zus~tzliche Bedingung aufgefal~t. Unabhangig yon CHAPMA~ hat F. HAUSDORFF in der in Fui~note 11 genannten Arbeit dieselbe Zusatzbedingung angegeben und zum ersten Male ausdriiektich in die Definition der C-Limitierbarkeit mit einbezogen.
6) W.H. YOUNG, On the convergence of the derived series of Fourier series. Proc. of the London Math. Soc. (2) 17 (1918), S. 210.
540 G. Lyra.
zu erklgren sind, aus denen man entnimmt, dab H_ ~(sn) die zu H~(sn) inverse Transformation der Folge sn ist. Der auf Grund yon (2) erklgrte Begriff der
H-Limit ierbarkei t negativ-ganzzahliger Ordnung geniigt trivialerweise der Permanenzforderung. HAUSDORFF 7) ha t 1.921 diese Definition der HOLDERsehen Mittel und der H-Limit ierbarkei t auf beliebig reelle Ordnung verallgemeinert .
In einer Untersuehung des Zusammenhangs einiger Reihens~tze ha t der Verfasser I940 8) den folgenden Satz mitgeteilt , dessen Beweis erstmalig in der vorliegenden Untersuehung erbracht wird:
/~hsCe'as ( /~- 1 ) - ~ 0~'~_~ ir~ n ez~/ert, so daft . ~ ( a , ~ - P,~) = s end 0
zlk--l(a,, - - P, , ) ---- o (n -k) ist.
Aus einem Vergleich dieses Satzes mit dem folgenden Satz yon A . F . A ~ E R S ~ N 9) :
co
Poly. c o
nora Pn h6chstens (k-- 1)4enGrades in n exi~iert, so daft ~ . ~o (an-- Pn) = S
iSt, ha t der Yerfasser a. a, 0. die folgende Definition fiir den Begriff der 0-Summierbarkei t negat, iv-ganzzahliger Ordnung -- k entnommen : Eine
Reihe a~ heil~t O_ ~-summierbar zur Summe s, wenn ~ an ~- s konvergent o 0
und zl ~-~ a . -~ o (n -k) ist ~o). Andererseits wird durch die Tatsache, daft der
durch (2) erkl~rte Ausdruck H_~(sn) die zur HOLDSRsehen Mittelbildung H~(sn) inverse Transformation darstellt, nahegelegt, die O_~-Limitierbarkeit einer Folge sn durch die Konvergenz der zur C~.sA~oschen Mitte]bildung G~(s.)
inversen Bildung < ~ ( s ~ ) = ~ (~ - - v - - k - -1) (~k /r s, = / k ~ [ ( . ~ ) s n ] _ ~ s ~ 0 n - - ~
~) F. HAUSDORFF, Summationsmethoden und Momentfolgen I. Math. Zeitschr. 9 (1921), S. 83.
s) G. LYRA, ~ber den Zusammenhang einiger Relhens~tze. l~ th . Zeitsehr. ~5 (1940), S. 633f.
9) A. F. AND~RS~.I~, Comparison theorems in the theory of CESIRO summability. Proc. of the London Math. Soc. (2) 27 (!927), S. t4. In der in FuBnote 8 zitierten Arbeit des Verf. wird a. a. O., S. 630ft. der genannte Satz unabh~ngig yon AND~RS~N a u s einem ~lteren Satz des Verf. gefolgert. Vg]. daselbst den Zusatz bei der Korrektttr.
lo) Fiir k ~-- 1 erh~lt man eine Definition der C_ 1-Summierbarkeit, welche sehon seit der in FuBnote 6 genannten Arbeit yon W. H. YOUNa aus dem Jahre 1916 vor allem durch G. H. HARDY gebr~uchlich geworden ist, und offenbar mit der dutch die Konvergenz H 1 (s~) ~ s n ~- na n --) s definiexten H 1-Summierbarkeit ~quivalent ist.
C- und //-Summierbarl~eit negativer Ordnung. 54:1
zu definieren. (Wegen der Bedeul~ng' der Differenzensymbole A und ~x
s. u. I , 3.) Beide Erklgrungen erweisen sich als gqlfivalent mit der fotgenden
schon 1929 yon F. HAUSDO~FF 11) gegebenen Definition der C-Limitierbarkeit negativ-ganzzahliger Ordnung.
Zungchst war fiir nicht-ganzzahlige IAmitierungsordnung r < - 1 nach CHAP~AN die C-Limitierbarkei~ einer Folge s~ dnreh die Konvergenz
der CEshRoschen Mittel (1) und die A-Besehrgnktheit dieser Folge s~ definiert. HAVSDO~FF sehreibt nun die erste dieser beiden Forderungen in der Form
2 ( : _ + / n! n-- r - - 1 s , - - * (3) v ( n + r + 1) ~ v ( r + 1) '
v-----O
wodurch die linke Seite dieser Grenzwertbeziehung auch noch Iiir negativ- ganzzahliges r = - - k und n __> k definiert ist. Die reehte Seite aber s trebt
fiir r -~ - - k (k > 0 ganz) gegen Null, weshalb HAUSDOR~F die Forderung (3)
im Fall negativ-ganzzahliger Ordnung r = - - k dureh n
=
(4) 8~-+0
ersetzt. Als Zusatzforderung reicht aber die A-Beschrgnktheit der s , nieht mehr aus, da dann die Permanenzbedingung nicht erfiillt wgre. Z. B. braucht
eine l~eihe X an nicht zu konvergieren, wenn ihre Teilsummen s n beschri~nkt sind und n a n - + 0 strebt, wie leieht aus Gegenbeispielen ersichtlich ist; die Teilsummen einer solchen Reihe sind aber erst recht A-besehrgnkt und er- fiillen die Bedingung (4) fiir k - - 1. Dsher wghlt HXVSDORFF als zusgtzliche
Forderung die A-Limitierbarkeit der Folge s~, d .h . die Existenz des o a
lim (1 - - x ) Z s , x n = s ffir x -+ 1 - - 0. HAUSDOI~FF definiert also die 0_~-Li- 0
mitierbarkeit der Folge s~ zum Werte s dureh (4) und A - lira s , = s. Wegen
der nunmehr bestehenden Permanenzeigenschaft 11 a) der so erklgrten 0_ k-Li- mitierbarkeit folgt insbesondere die Konvergenz der Folge s , - + s. Also
ist HAUSDO~FFS Erklgrung gleiehbedeutend damit , dab
~ ( ~ - - ' - - k - - l / s , - + O und s .-->s ( 5 ) (n - - k) ! - - - ~ - - �9
,.=0
konvergiert, t t ierin ist die Zusatzforderung s~ --> s zwar wesentlieh enger als diejenige ttXUSDO~FFS. Da aber beide Forderungen (5) zusammen gleiehwertig
11) F. HAUSDORFF, Die ~-quivalenz der HOLDERschen und CEsJ~ROschen Grenz- werte negativer Ordnung. Math. Zeitschr. 31 (1930), S. 186--196. Diese Arbeit ist dem Verf. erst nach Abschlul~ der vorliegenden Untersuchung dutch freundtichen Hinweis yon Herrn Prof. K. KNOPP zur Kenntnis gekommen.
ha) Vgl. HAUBDORFF, a. a. 0., S. 193, Satz V.
542 G. Lyre.
mit denjenigen HAUSDORYFS und einfacher &ls diese sind, so definieren wit die (LLimitierbsrkeit negativ-g~nzzshliger Ordnung -- k dutch (5) ~ls eine Ver- st~rkung der Konvergenz, indem wit nicht die zweite der beiden Forde- rungen (5), sondern die erste als die Zusatzforderung suffassen. Diesc ist
wegen n -- �9 s,, : sn (n -- b)-------~ ~ ~ 0
mit /k ~ s~ = o (~-~), so dsl~ sehliel31ieh die O_k-Limitierbarkeit der Folge s~ zum Werte s durch
(6) s~-+s und / k ~ s n = o ( n -k)
definiert ist 12). Die oben gegebene Erkl~rung des Verf. ist also in der Tat mit derjenigen HAUSDOZ~S i~quivalent. HAUSDOX~T hat a. s. O. unabh~ngig yon CHAP~A~T such die a-Limitierbsrkeit nicht-gsnzzshliger negativer Ordnung erkl~rt und bereits gezeigt, dal3 der ~NOPP-SCHNEEsche ~quivslenzsatz auch ffir beliebig negative Limitierungsordnung gfiltig ist. Weft der Beweis dieses "~quivalenzsatzes ffir negativ-ganzzshlige Ordnung unter Zugrundelegung der Definition (6) des 0_k-liras ~ besonders einfach wird, ist er in der folgenden Untersuchung mit sufgenommen worden, in welcher wir uns such sonst suf gsnzzshlige Summationsordnung beschr~nken. Doch gelten die wesentlichen Ergebnisse mutatis mutsndis such fiir beliebig reelle Ordnung.
Da eine Reihe, welche 0-summierbsr negstiver Ordnung ist, stets kon- vergiert, so handelt es sich bei der Ausdehnung des Begriffs der G-Summier- barkeit suf negative Ordnung nicht eigentlieh um ein ,,Summierungsver- fahren", sondern um eine Versllgemeinerung des Summationsbegriffs, die einen besseren Einblick in die Natur der Konvergenz gew~hrt, als dss bei Beschr~nkung auf die O-Summierbarkeit positiver Ordnung m6glich ist. Es lassen sich n~mlich nicht nur bekannte S~tze fiber ~- uud H-summierbare Reihen auf be]iebig gsnzzahlige Summationsordnung vera]lgemeinern, sondern es werden such solche S~tze der klsssischen Reihenlehre, welche nnter Be- schr~nkung auf positive Summierbsrkeitsordnung kein Analogon in der Theorie der G- und H-summierbsren Reihen hsben konnten, sich nunmehr auf G- und H-summierbare Reihen verallgemeinern lassen. Vor ahem sber soil an Beispielen gezeigt werden, dab sich manehe Reihens~tze unter Verwendung des Begriffs der G_~-Summierbarkeit wesentlich einfacher und durchsichtiger formulieren lssseu, und daft sich zuweilen zwei ganz verschie- dene S~tze aus der Theorie der ~-summierbaren Reihen sis die beiden, der negstiven und der positiven Summationsordnung eutspreehenden H~lften
1,~) Z~hlenfolgen mit tier Eigenschaft (6) nennt A. F. ANDERSEN ,,regular Yon der Ordnung /~"; vgl. die Berichte iiber Den sjette skandinaviske Matematikerkongres i Kmbenhavn (1925), S. 458.
C- mad H-Summierbarkeit negativer Ordnung. 543
eines einzigen Satzes iiber U-summierbare Reihen beliebig ganzzahliger Ordnung erweisen. Damit tragt der Begriff der (~-Summierbarkeit negativer Ordnung dazu bei, in der Theorie der G-summierbaren Reihen eine weitgehende Analogie zur Theorie der konvergenten Reihen herzustellen und neue Zu- sammenh~nge zwisehen bekannten Reihens~tzen aufzufinden.
I. Die C k-Snmmierbarkeit und iiquivalente Eigenschaften.
1. Wie bereits einleitend bemerkt, beschr~nken wit uns durchweg auf ganzzahlige Summationsordnung und legen der Betraehtung die folgende Form der HAusDoR~Fsehen Definition fiir die C.Summierbarkeit negativ ganz-
zahliger Ordnung - - k zugrunde: Eine Reihe ~ a , heiBt C_k-summierbar o
zur SuInme s, wenn ~ a ~ = s konvergent und Zkk-lan = o (n -k) ist. Aus o
dieser so erkl~rten G_ k-Summierbarkeit ersieht man leicht die G~ltigkeit des
Permanenzsatzes ffir negative Ordnung, wonach G_ ~+ 1" ~ a~ = s aus o co
~_k- o~a . = s folgt; denn ist k > 2 (fiir k = 1 ist der Satz trivial), dann
folgt aus A ~ - l a ~ = o (~-k), dab
~ ' ~ 0 ~-~'--0 ~ ' ~
= K + o (~-k+l);
wegen der Konvergenz yon ~ am strebt /k k-2 a , -+ O, so dab K = 0 sein o
muB. Auch die ]~rweiterungsbedingung ist effiillt, da ffir jedes ganzzahlige k
die Reihe ~ (-- 1) n (n + 1) -6 ~_ k+ rsummierbar ist, nieht aber ~_ ~-summier- 0
bar, wie aus der leicht zu verifizierenden Absehatzung
(1) n ~-I A k-s(-if = O ( 1 ) und n k A~-i(-n I)'~ = 2~-t( - -1)" + O ( 1 ) ~t k
hervorgeht. Fiir die O_ ~- und H_ ~-Summierbarkeit als verstarkte Konvergenz gilt trivialerweise such die Vertraglichkeitsbedingung.
HAusDoarr hat die Giiltigkeit des K~oPP-Scmv~aschen ~quivalenzsatzes ffir beliebig negative Summationsordnung nachgewiesen. Bei Bescln%nkung auf negativ-ganzzahlige Summationsordnung laBt sieh der Beweis des Xqui- valenzsatzes sehr einfaeh und in vollkommener Analogie zu demjenigen 18)
is) Vgl. K. KNOPP, Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen, 3. Aufl., Berlin 1931, S. 499ff.
544 G. Lyra.
von I. ScHU~ und A. F. A N D ~ S ~ fiir positiv-ganzzahlige Ordnung ftihren. Wit beweisen zun~ehst die beiden folgenden Identit~ten fiir k _~ 1:
(~) - - ] ~ ( ~ ) / ~ k S . 2ff k _ _ l ) / ~ k - l ( S n + ~ a n )
Die Beziehung (2) geht aus der Ident i t~t
= k ' = ~ (s, + t,a,)
(4) -- (n -- k + 1) A s .% + A k - l ( s n + na~) = k / ~ - 1 s,,
durch Multiplikation mit (k ~ 1) hervor. (4) ist ftir k = 1 richtig; aus dem
Bestehen der Ident i tgt (4) ffir ein bestimmtes k _ 1 folgt ihre Richtigkeit fiir k + 1 s ta t t k dutch einmalige Ausiibung der Differenzenbildung auf (4) und nachfolgende Addition yon ~ s , auf beiden Seiten. Zum Beweise yon (3) setze man in (4) ~ sn A k-1 s n A k-1 und erh~lt ----- -- 8n- 1
- - (n + 1) A k-I s, + (n -- k + I) A k-1Sn_l + Ak- l ( sn + nan) = O.
Multipliziert man dlese Gleichung mit ( k : 1)' so wird
(n-b 1 ) ( k _ n 1)/~]c--1 8 n ~ ( ~ E ~) ~k--1 8n_l : (]r 1 ) /kk - l ( sn~- ' an ) '
woraus durch Aufsummieren nach n und nachfolgende Division mit n -~ 1 die Ubereinstimmung der beiden rechten Seiten yon (2) und (3) folgt, womit alles bewiesen ist.
Zun~chst ergibt sich aus diesen beiden Beziehungen (2) und (3) fast unmittelbar der
H i l f s s a t z . I s t die F o r e s,, O_rl imi t ierbar z u m Werte s, so ist die Folge
H _ 1 (8~) = 8 n ~ Ran erst O_ ~+ 1-1imitierbar zum selben W erte und umgekehrt.
Denn strebt sn --> s and n $ /k s sn -~ 0 und ist k ~ 2 (fiir k : I i s t der Hilfssatz trivial), so strebt nach dem Permanentsatz auch n k-1 A k-1 Sn --> 0
und somit nach (2) auch n k-1 A k - l ( s , + nan) --> O. Da n A sn --~ 0 strebt zufolge der Permanenz und damit auch sn ~ - n a , - - > s , so ist
G_~+l-l im (s,, ~- nan) ~ s. Strebt umgekehrt sn + n a n --~ s und r~k-1/k k - l (sn -k n a , ) --> O, dann bilden auch die arithmetischen Mittel der n ~-1 Ak- l (s ,~ + nan) eine l~ullfolge, so dal3 naeh (3) n ~ A k s~ - ~ 0 strebt. Da mit sn -b na,~ --> s auch sn --> s strebt, so ist also C_ ~- lira s , = s, womit der Hi/fssatz bewiesen ist.
Nun folgt aber aus diesem Hilfssatz eine jede der Beziehungen
. . . . ,
s
C- und /t, Summierbarkeit negativer Ordnung. 545
aus jeder der iibrigen, insbesondere die erste aus der letgten Beziehung und umgekehrt. Das ist abet gerade der )/quivalenzsatz fiir r = - - k .
Aueh das Analogon zum KRosEcxEgschen Satz, dab bei einer G~-snmmier-
baren Reihe ~ a ~ notwendig O~-lim l a~q '2asq" "'" "f-•an --~ 0 sein mul~, o s ~ - I
gilt jetzt auch fiir negativ-ganzzahlige Ordnung p = -- k. Denn ffir k = 1 folgt aus s~ --~ 8 und n k A k s . - + 0 nach ohigem Hilfssatz, dab n~+iA~+Iso+ "-' + s . 8o+ "" + s . -+ 0 und ~ s streht und hieraus n + l n + l
nr Ar so+ ... + s , _ + 0 naeh dem Permanenzsatz. Daher strebt aueh
n ~ A ~ s , _ n~A~ s0+n+l... + s , _--- ~ A k lal+2a~+n+l..- + h a , ~ 0
w. z . b .w . Ein anderes Beispiel zur Ausdehnung der ~.Summierbarkeit auf negativ-
ganzzahlige Ordnung ist der Satz, wonach die DmlCHLzTsehe Reihe ~ (-- 1)'~/n ~ n~- -1
ffir alle der Bedingung - - p < a ~ - p + l
geniigenden Punkte s genau O~-summierbar ist. Es besteht nghmlieh die fiir alle ganzen r > 1 giiltige Abschgtzung
n" A "-1 - ( - 1I" _
- - 0 " 1 ) Denn die Oleichung A ' - 1 (--~,l)n 2"-1 (--n,- ~-l)n (n--~-~ gilt fiir alle r _~> 1,
da sic f/ir r = 1 richtig ist und dutch einmalige Differenzenbildung ihre Riehtigkeit fiir r + 1 start r folgt. Multiplikation mit n r ergibt die
behauptete Absehgtzung. Aus ihr folgt abet, dab n ~ A r-1 ( - 1) n _~ 0 strebt
f i i r r ~ s, jedoeh nieht mehr fiir r ~ s. Also ist r -- k mit k < s ~ / c q- 1 die genaue Summierbarkeitsordnung.
2. Fiir die Auffindung etwaiger Zusammenhgnge yon Reihens/~tzen ist die FeststeUung weiterer Eigenschaften yon Bedeutung, welche mit der G-Summierbarkeit negativ-ganzzahliger Ordnung gquivalent sind, Wit definieren die ~ ~-Summierbarkeit dutch die Konvergenz der zur G-~siRosehen Mittelbildung inversen Transformation und beweisen den folgenden
co
S a t z 1. Ist fi~r ein k ~ 0 die Reihe ~ a~ O~l-summierbar z~r Su~nme s, 0
so ist sie auch ~_~-~ummierbar zur selben Bumme und um~ekehrt.
Zum Beweise folgern wir zun~chst die Permanenzeigenschaft der C~ ~- Summierbarkeit am einfachsten aus der fiir positive Ordnung bekannten
546 G. Lyra.
Matrizengleichung H1 0~_ 1 ----- C~_ z Hx dutch ~bergang zur Reziproken H 1 C~kll H-1 = _16~_11 oder
+ k - 1~ A (n + 1) s.] (~) Ak-~[(mk_~ y
= (,,+ ,> ~,-, [(" +'-~_, ' ) s . ] - , ~,-, [(" +'-,_, ") ,.-,]. Add ie r t man auf beiden Seiten ( k - - 1 ) z ~ ' - l [ ( " t L T 1 ) s , ] , so f indet man
~, +,~ ~,-,[(" + ' ; ' ) , . ] + , ~,-1[(- + , - ,_, % - , ] = , ~ , [ ( - + % ] .
Multiplikation dieser Gleichung mit (n q- k -- 1) ! liefert
Hieraus. folgt dutch Aufsummieren nach n und nachfolgende Division mit
I ~, +~ ~) ~o ~o=~on~
O~-kll(s) = ~'~---0~, ~ - - 1 ] C-~'~kl(Sj')
o k--1 !
l-lieraus ist wegen der bekannten Vera]Igemeinerung des C.~UCHY-TOEPLITZsohen Orenzwertsatzes die behauptete Permanenz abzu]esen.
Die %quivsIenz der G_a- und O~'1-Summierbarkeit folgt nun unmitte]bar aus den beiden Re]ationen
k n
+ (~)(;) ~' , . + + (~)(;) :. '
+ ( , )~ [( + ' ) , . ] . . . . +~_, : (~)~ , [ ( -+ , ) , . ] , deren erste unter Anwendung der bekannten Formel
=" k '~
erhalten wird, und deren zweite die eindeutig vorhandene AufI6sung des dutch die erste Beziehung f~r k = 0, 1, 2 . . . . gegebenen Gleichungssystems
nach den ( ; ) / ~ s ~ darstellt. Ist ~_~-~a~-----s, d.h. strebt s , - ->s und 0
~ s ~ - + 0, so strebt zufolge der Permanenz auch ~ s ~ - + 0 fiir
= 1,2 . . . . . k und also nach der ersten" Beziehung A~(~ t ~)s~ --> s, d.h.
G- und H-Summierbarkeit negativer Ordnung. 547
es ist C~k l- o~ an = s. Wegen der Permanenz der G~X-Summierbarkeit
trifft nach dot zweiten Beziehung aueh der umgekehrte SchluB zu, womit die ~quivalenz der O_~-und ~X-Summierbarkeit bewiesen ist. Der ~quivalenz- beweis kann aber auch leicht direkt erbracht werden. Denn es bestehen fiir die G~l-Mittel die beiden Relationen
(9) k G;I(s~) -- ~;~_l(s. ~- na~) = (k -- 1) G;11(sn),
2:0-1k-1 (e~ q- ~a,) (10) kC~Jl(s")--O~11(s"+na') = ( k - - 1 ) ~ = ~ a.{-1
Erstere geht aus der trivialen Identit~t (n + k ) s . - - n s . _ l - (s. + na~)
= ( ] r 1)s . durch Multiplikation mit ( . :__~ 1) und nachfolgende Aus-
iibung der Differenzenbildung/k k-1 hervor. Die zweite Relation folgt aus (5)
durch Aufsummieren naoh n und nachfolgende Division mit n ~- I. Daduroh
erh'~lt man die Gleichheit der rechten Seiten beider Relationen, die somit bewiesen sind.
Aus diesen beiden Relationen ist unmittelbar der dem friiheren analoge Hilfssatz abzulesen, dal3 aus der O~LLimitierbarkeit der Folge sn die -1 Limitierbarkeit der Folge H l(sn) = sn-~ na~ folgt und umgekehrt. Hier- nach ist wieder jede der Beziehungen
~rl(H_~+l(Sn)) = H_~(sn) --> s
eine Folge der iibrigen; insbesondere ist die erste eine Folge der letzten Be-
ziehung und umgekehrt, w. z. b. w.
3. Fiir die weltere Untersuchung enpfiehlt es sich, die beiden I)ifferenzen-
bildungen A xn ---- x~ -- x s + I und /k x~ : xn -- x~_ I nebenoinander zu
gebrauchen und durch die angegebenen Bezeiohnungen zu untersoheiden. co
Es soll nun gezeigt werden, dafl die G_ k-Summierbsrkeit eL-ler Reihe ~ an = s o
im wesentlichen ~quivalent ist mit der Konvergenz der Reihe
~ - o Es gilt n~mlich der
1~). Es iSt ~o(n ~ k)zika n = s dann und nut dann ]amvergent, S a t z 2
wenn ein Polynom P,, h6chstens ( k - 1)-ten Grades existiert, so daft
~ ( a ~ ~ P~) = s O_~.summierbar ist. o
la) Dieser Satz finder sich ohne Beweis in der in Ful~note 3 zitierten Arbeit des Verfassers.
548 o . Lyre.
Beweis. Zun~chst zeigen wir, dal3 aus der Konvergenz der Reihe
2 /~-~ ( ~ t k) A'(an - - P , ) die Konvergenz der Reihe [n+k- lk_ l ) n - - - 0 ~ - " -~-- n ~ 0
ZJt-1 ( r P~) zur selben Summe folgt, wo Pn ein beliebiges Polynom h0ehstens (k - - 1)-ten Grades in n i s t . Zwischen den Teilsummen beider Reihen besteht die Beziehung
u -4- k a _ k f ~ + ~ ~ , ~ = o , -
k + ~ k j=.~-; l ~ + k + ~ ' = L ~ + I /
welche durch den SehluB yon ~ auf n + 1 bewiesen werde: fiir n = 0 geht (11) iiber in
(12) A k-1 (ao - - Po) ---- k ~-~ ~, = o" . . . . . . k-~-~ _~ o i , + k + h �9
k + l /
Wie sich durch einmalige Ausiibung der ABELschen partiellen Summation n
auf die Summe ~ ( ~ k ) A k ( a _ e , ) / ( ~ k ) und nachfolgenden Grenz-
iibergang fiir n -+ oo ergibt, ist die rechte Seite der Gleiehung (12) gleich
Ak(r -- P,) ---- A~-l(a0 -- Po). Also ist (11) ffir n = 0 richtig. Aus der r
G~ltigkeit der Beziehung (11) fiir ein bestimmtes ~ _~ 0 folgt dann dutch
Multiplikation mit n-}- k + 1 und nachfolgendes Hiniiberschaffen des ersten k-F1
Reihengliedes auf die ]inke Seite die Gleiehung
, 2(:) A~ (a, - - P,) ~ + 1 o k - - 1 ~-~-1
~ , A~ (% - ~u)
- ' 2 " ' - - k + l \ k ( ~ + k + I'~ )
Die linke Seite dieser Gleichung erh~lt aber nach einmaliger Anwendung der partiellen Summation die Gestalt
n + l
_ Z , (,,§ . - - ~ ) A ( a , - - P , ) .
@- und H-Summierbarkeit negativer Ordnung. 549
Somit hat man (11) fiir n + 1 statt n erhalten, womit (11) bewiesen ist. Die rechte Seite der Gleichung (11) stellt eine lineare Transformation der
n
Zahlenfolge Z ( ~ k) d~(a ' _ p,) dar mit der Matrix Tn~ = 0 oder ~'~--0
k (~nuk~/[1,4-k-}-l~ je nachdem ~ < n oder v ~ n ist. Nun ist = k + l ~. / / k k + z /' diese Matrix regular, weft
2 2 IT~ , I~ 2"'=Y~--1+1~. k j =,~,1 k+ l / = 1
und lira T~, = 0 ist ffir jedes ~ ~ 0, wegen Tn, = 0 fiir r > v. Wegen der ~-- -~ co
vorausgesetzten Konvergenz der Reihe Z (ntk)A~(c~n- .Pn)strebt daher r i m - 0
die reohto Seite yon ( l l )gegen s, d.h. es ist 2 (n k~'tT1) ~Jk-l(an-- Pfl) n- - -~0
konvergent, wie behauptet. Nun folgt Satz 2 fast -nmittelbar aus den beiden Identit~ten
n
I * = 0
n
~ - - - 0
n n
(,,/ Z ' (o.-~.~ = X ( 't~)~'(~ + ~ ' ~ 0 1 , ~ 0
k
+Z i~+~ ~)~-~lo.~- ~.~), 1 . = 1
2 " welche aus den Summen \['+k--1)k--1 A k - l ( ~ P' ) und Z ( ( ~ , - - P,) �9 ----0 0
dureh ein- bzw. k-malige Ausfibm~g der partiellon Summation hervorgehon.
Denn ist (7_ ~ - Z (r -- P"} = s, d.h. Z (~" -- P") = s konvergent und 0 0
~ A~:-l(an -- P,J -->- 0, so strebt wegen der Permanenz der O_~/Summier- barkeit auch nZA;~-~(an--P,, ) ...~0 fiir X = l, 2 . . . . , k, so dab
2 (" ~ ~) A~ (a, -- P , )nach (14)zur Summe s konvergiert. Sei umgekehrt n ~ 0
r
~,t (n ~ k) A~ a , ~--s konvergent vorausgesetzt. Dann ist wegen der Perma-
Mathematische Zelt~chrtft. ~9. ~ 6
550 G. Lyra.
~o
~ = = z u
Polynom Pn h~chstens ( k - l ) - t e n Grades in n existiert, fiir das
(an - - Pn) ~ s konvergiert. Ferner s t rebt (an Pn) -->0 nach (13), ~b k A~-I
0
2 da mit Z (" ~ k ) A ' ( a n - Pn)----s auch (" ~kT . 1) A' - ' {an -- Pn) = s
konvergiert. Dami t ist Satz 2 bewiesen.
SchlieJ3lich merken wit noch den allgemeinen Satz an, welcher fiir ---- - - k den Satz 2 als Spezialfall enth~lt:
oo
l t ~ O
d a n n u n d n u r dann , w e n n ein P o l y n o m h6cl~ten, s ( k - D-ten Grades i n n
e~isliert, so daft G ~ - s (an - - Pn) = s ist. o
Fiir positive p ist der Satz bereits 1926 yon A. F. A~D~.RSSN15) bewiesen worden. Fiir p ~ -- k folgt er unmit telbar aus Satz 2 unter Benutzung des
yon A~D~RS~.~" herriihrenden Satzes: Es ist O~+ 1 ~ ( n - } - k + l ) " ~ _ k - p 1 / lan ~ s n ~ 0
dann und nur dann, wenn eine Kons tan te A existiert, so dab 0o
0.- Z . -- ~ i~) (an -" A ) = s i s t . H_ierin ist p _ --1 vorausgesetzt. Doeh nffiffiO
gilt er fiir alle ganzzahligen p, woraus daun Satz 3 aueh fiir p < - - k
gefolgert werden kann. I s t 0~+~- Z ( n + k ) / l ' a n ----s, so ist das Polynom n ~ 0
X ~ J
P , = A l n k-1 + 21 2 n k-2 ~ . . �9 + 21~ eindeutig best immt. Die Koeffizienten lassen sich durch die Rekursionsformel
A~ ( - 1)~-~ = (k - - ~.)! G~- lim A ~-~ [a, - - (Aan ~-1 + A ~ n k-2 + �9 �9 �9 -}- A ~ _ l n k-~ + 1)]
mi t ~t = 2 , 3 , . , k und 21j ( - -1)k-x "" = ( k - - l ) ! O~-lim A ~ - l a n
darstellen, wie dureh vollst~ndige Indukt ion leicht best~tigt werden kann. Macht msn in Satz 3 die Vorausser dab V-lira an = 0 ist, wo V
ein willkiirliehes (lineares und permanentes) Limitierungsverfahren bezeichnet, so verschwindet das Polynom P~ identisch; denn ist V-lima~-----0, so
is) Vgl. Ful3note 9.
C- und H.Summiezbarkeit negativer Ordnung. 551
folgt aus lira (a~ -- P~) = 0 wegen der Permanenz und Linearit~t des V-Ver- fahrens V-lira P~ -- 0 also P~ ---- O. Es gftt also der
S a t z 4. Ist k :> O, p bdiebig und V.l im a . = O, so ist
n~O 0
Unter den engeren Voraussetzungen p = - k und lira an = 0 start V.lim a . -~ 0 ist Satz 4 sehon yon A~D~RS~ ~e) bewiesen worden.
H. Die absolute C_~-Summierbarkeit and iquivalente Eigenschaften.
1. In der Theorie der 0-Summierbarkeit negativ-ganzzahliger (~rdnung -- k fehlt bislang der Begriff der absoluten O-Summierbarkeit. Bevor wit diesen Begriff einfiihren~ geben wir yon dem bereits yon ttAusnoRI~F a. a. O. erk]~rten Begriff der C_ ~.~-i~chr~nktheit eine Definition, welehe derjenigen HAUSDO~P~s ~quivalent ist. Bekanntlieh versteht man unter der (~k-Beschr~nktheit einer Folge s~ positiver Ordnung ~ die Beschr~nktheit der C~sARoschen Mitte] ~k(s~). Da nun die G_~-Summierbarl~eit nicht dutch die Konvergenz einer einzelnen Zahlenfo|ge erkl~rt ist, so wird yon dem Begriff der G_ ~-Beschr~nkt- heir einer Folge s,. jedenf~lls gefordert werden miissen, daI~ er mit der Be- schr~nktheit der Folge G~l(sn) ~quivalent ist. In der Tat erweist sich die folgende naheliegende Definition als gleiehwertig mit der Besehr~nktheit der G~ 1.Mitte].
c o
D e f i n i t i o n . Die Folge der Teilsummen s~ einer Reihe ~ a ~ heiBt 0
C_k-beschr~nkt, wenn die Folgen s . und nk/~ ~-1 a~ beide beschr~nkt sind.
S a t z 5. Eine Folge s,, ist dann und nut dann G_~-beschrimkt, wenn die Folge G-il (s,,) beschr~nkt ist.
Denn sei zunachst s.----ao J r " ' - ~ a~ G_~-beschr~nkt vor~usgesetzt. Dann folgt der Reihe naeh fiir k ~ 1
0 ~
/~-~a . = 0 ~-~_~) + A~n + A~,
s,, = O(Inn) + A~n ~-~ + A~n ~-~-t-- "'" + A~_~n.
1~) Vgl. die in FuBnote 12 genannt* Arbeit. 36*
552 O. Lyra.
Wegen % : O (1) muB A1 = A2 . . . . . Ak-1 = 0 sein, so dab n ~ / ~ - l a n
---- 0 (1) ist fiir ~ ~ l, 2 , . . . , k -- 1. Daher folgt aus der Identit/it
die Besehriinktheit der Folge G~-l(s~}.
Sei umgekehrt O~l(sn) beschr/ir~kt vorausgesetzt. Dann folgt aus der Identitii.t (vgl. S. 546)
~'~--0
dab aueh U~_ll(s,), U'~12(s,,) . . . . . Uol(S,,) - - s,, beschr/inkte Folgen sind. Schlielllich folgt aus der Identitiit
die Beschriinktheit der Folge nk/X ~-1 a , , w. z. b. w.
Ferner gilt der folgende co
S a t z 6. D/e Folge s,, der Teilsummen einer Reihe Z a,, ist dann und 0
oo
nu t dann a_~.beschr~nkt, wenn die Teilsummen der Reihen Z a,, und 0
~t ~O
Denn ist die Folge % O_wbeschri~nkt, so folgt aus Gleichung (14) fiir P~ = 0 und wegen n~ZX~-la~ ~ 0 (1) fiir ~ : 1, 2 . . . . , k - 1, dab die Folge
n n
,=~o(~+kk) A~a, beschr/inkt ist. Ist umgekehrt sn und =~0(~k+k) Aka,
beschri~nkt vorausgesetzt, dann folgt aus (11), dab fiir ~ = 1, 2 . . . . . k auch n
(~ q-Zh--1-- 1) A~-I (a" _ p , ) besehriinkt ist, wo P , ein gewisses Polynom Y ~ - - 0
n
hiichstens ( k - 1)-ten Grades in n ist. Insbesondere ist also ~v, ( a , , - P,) 0
~g
s~ - Q ~ beschr~nkt, wo Q~ = ~ ~ P , ein Polynom hSchstens k-ten Grades
in n i s t . Wegen der Beschr~nktheit yon s~ muf~ abet Q. yore 0-ten Grade sein und also P , identisch verschwinden. Aus der Beschr~nktheit der Folge s.
~ o k k / a~ folgt also, dal~,.=o k - - 1 A~-~a,, beschr~nkt ist.
Hieraus ergibt sich aber wegen Gleichung (13) die Beschr~nktheit der Folge n ~/k ~-~ a~, womit alles bewiesen ist.
C- und H-Summieroarkeit negativer Ordnung. 553
Allgemeiner soil unter der einseitigen U_ ~-Beschrgnktheit einer Folge sn verstanden werden, dab die Folgen s. und n k Z~ k sn beide nach derselben Seite besehrgnkt sind. Wie aus der Beziehung (15) hervorgeht, verlangt diese Eigenschaft nicht weniger als die Forderung G~l(sn) ~ - - K .
2. In der Theorie der G-Summierbarkeit wird in Analogie zur absoluten Konvergenz die absolute Ok-Summierharkeit durch die Konvergenz der
Reihe 2 tGk(sn) -- Gk(sn-1)f definiert. Da aber die G-Summierbarkeit n ~ - - - 0
negativer Ordnung nicht durch die Konvergenz einer einzelnen Zahlenfolge erklgrt ist, jedoch mit der Konvergenz der Gfl-Mitte| gquivalent ist, so liegt es nahe, den Begriff der ,,absoluten G_~-Summierbarkeit" durch die Kon-
vergenz der l~eihe 2 1 G ~ ' I ( s . ) - - G ~ ' I ( s n _ I ) I = 2 t A k + x ( ~ k ) s n zu
definieren. Auf Grund dieser
D e f i n i t i o n . Eine Reihe ~ a , heist absolut O_~-summierbar, wenn 0
2 1 Z ~ k § konvergiert, gilt der
Sa tz 7. Fiir die absolute O_~.Summierbarkeit einer Reihe Z an ist not. 0
~t ~ O
V-lim a,~ = 0 ist. Hierin bezeichnet V wieder ein beliebiges Limitierungsverfahren. Zum
Beweise dieses Satzes gebrauehen wir die in den folgertten beiden Sgtzen aus- oo
gesprochene Permanenzeigensehaft der Konvergenz v o n ~ I/k* + 1 (~ k-b k)s,~ I
H i l f s s a t z I. , s t [iSr ein k ~ , * , Reihe l (" + *) a. ~ e , r
A~ ( - D~-! _ i , i . (k-- I)! n ~
Naeh Voraussetzung ist lira A*- la . ---- (-- 1)k-X(k--1)! A1 sieher
vorhanden und daher
fi_, A*' aa = Ax-~a,. -- (-- 1)tr162 -- 1}! A~ = A~-X(a,. -- Ax~-~) ,
554 G. Lyra.
oder c~
Aus dieser trivialen Identi tgt ergibt sich die Absch~tzung
~ 0 n oo
,.-~ -~,=X=0, k--1 ]a_d~r (Jt-~kk) l( kk) '~ka'[
__~ , k ~ l ] ( v + k
oc
Also ist ~ In + / r Ak_i(a" _ A1 n k-l) absolut konvergent und d . d \ k - - 1
n - ~ - 0
oo
n=0 g ~ l ] n = 0 "
o o
Dutch Iteration des I-Iilfssatzes ergibt sioh: Istnd=_ff~10 I (~ k + k ) A 'a , I konvergent,
so konvergieren die Reihen 2 ( '+p l* ) AV (a , - -Pn ) ! ffir O<__t, ~ k , wo n = 0 '
Pn -- A1 nk-1 + A2 nk'2 + �9 �9 + A~ ein Polynom hSehstens (k -- 1)-ten Grades ist, welches durch die Rekursionsforme!
Ai - ( - l)k-I (k--a) , lira Ak-i[a,, -- (A1 nk-~ + . . . + Al- lnk-~+l) ] �9 n ---~ co
fiir ~ ~ 2 , 3 , . , k und A I = ( -1 )~ -1 �9 " (k-- 1)t. n lim._.oo Ak- la , eindeutig bestimmt
is$. Besteht fiber die a n die Voraussetzung V- lim a~ = 0, wo V wieder ein beliebiges Limitierungsverfahren bezeiehnet, so ist aueh V-lira A~-la~ = 0 fiir 1 ~ 2 < k und also A1-----A2 . . . . . A k = 0 , d .h . P~-----0.
H i l f s s a t z 2. Ist ]i~r ein k > 1 die Reihe ~anabsblut G._k.summierbar, o
so ist sie auch absolut (7_ k+ 1-summierbar.
Zun~chst beweisen wir die Identi t~t
(16) /k(n+k 1 In+k--l) k ) n A ~ - i ( 8 . ) = n ( k - - 1 Z X ~ 1 (s.).
U- und H-Summierbarkeit negativer Ordnung. 555
Subtrahiert man yon der mit n multiplizierten Gleichung (6) diejenige G]ei- chung, welehe aus (6) dutch Einsetzen yon n - - 1 stat t n und nachfol6ender Multiplikation mit n + k -- 1 hervorgeht, so erhMt man die Gleiehung
~ C~ + ~)~'~ (~)- (- § ~ C § ~ - ~ / ~ ' , (~o~} = { n + k - 1)
nt ~:-1 ~ O;l (s")"
Die l~bereinstimmung der linken Seiten yon (16) und dieser Gleichung be- st~tigt man leieht dureh Ausffihrung der Differenzen. Dureh Aufsummieren
n T k der Gleichung (16) naeh n und naehfolgende Division mit n ( k ) ergibt sieh
2 (17) A 0-s I 1 X(~ -I- k-- 1)/X 0"s I (s~.).
Der Obergang zur Ungleiehung zwischen den Betr~gen der linken Seite und den Gliedern der reehten SeRe und nochmaliges Aufsummieren fiber v yon 1 bis n liefert die Absch~tzung
0~s 1 ~L(~ 1 A ,_~(s.) ~ Z , k ) ~c~kl(s ' )
-- 2"('~+!T~)1~'{'.} =. ( . ) J l
k _<_ 1 sind, so folgt
n
(18) 2 7 1 A O ; ! 1 ( s , ) l ~ _ 2 : lAO~-~(s , ) t , , ' = 0 , ' = 0
woraus die behauptete Permanenzeigenschaft unmittelbar abzulesen ist.
Der Beweis des Satzes 7 gelingt nun mit HiIfe der folgenden Beziehung:
n - k n - k
k 1
Diese Relation folgt unmittelbar aus den Gleiehungen (8) und (13). wenn man die Identit~t
{-,)~C) ~ , , = - r k +k) dk-la,~_~.+l
556 G. Lyra.
beriicksichtigt. Aus (19) finder man durch einmalige Ausiibung der Diffe- renzenbildung, ~bergang zur Ungleichung zwischen den Betr~gen der Diffe- renzen und nachfolgende Aufsummierung nach ~ die beiden Absch~tzungen
~--- ~ 0
0 0 ~ 0 n n-k #-k
n n n
+XJo.i + ( )Xl + . . . + 0 0 ~ 0
Hieraus ergibt sieh ~ t z 7 fast unmit~lbar dureh den SehluB yon m a u f + 1 : Sei der Satz for ein bestimmtes k = m bereits bewie.qen. Dann folgt
aus der absoluten 0_(m+ x)-Summierbarkeit der Reihe ~ a , ihre absolute o
(7_,-Summierbarkeit ffir 0 _=/~ ~ m naoh Hilfssatz 2 und damit wegen der
II~c~u~tion~Tor~l~etz~lng die Ko]~verg~][17, c~er Reihe ~ t / n t ~ / ~ ' ~ n l . n ~ o
Somi~ i.,~ n~o~ Vngloioh~g (20) ~i~ ~i~o ~ 1 ~ " + " +1~ ~.§ ~. ~o~- z--~oI~ ~ m-[-1 /
vergent. Trivialerweise ist aueh V. l ima, = 0. Umgekehrt folgt aus der
Konvergenz der Reihe 2 1 { " + m ' [ ' l I A .an und I T - l i m a n ~ 0 die . = 0 ~ m + l ) m+l
oo
Konverge~lz der Reihe* ~ I (~ t m / / ~ an I naeh I-Iiifssatz l und darau8
wegen der Induktionsvomussetzung die absolute ~_~,Summierbarkeit der co
Reihe ~ an. Wegen Hilfssatz 2 ist dann ~ a . auch absolut ~ ,-summierbar 0 0 -
f~r 0 ~ /~ ~ m u n d somit naeh Ungleiehung (21) aueh absolut ~_{~+~)- summierbar. Also grit Satz 7 ffir k = m + 1. falls er ffir k = m richtig ist. Fiir k = 1 ist aber der Satz gewill richtig. Denn in diesem Fall lauten die AbschKtzungen (20) und (21):
n - I n n �9 o~'1(,_ t_ 1) Aa, . l~2o~' la . , . ]+ ~o ]s,.-i-va,.I
~ n--I
C- und H-Summierbarkeit negativer Ordnung. 557
aus denen die Giiltigkeit des Satzes 6 ffir k : 1 abzulesen ist. Damit ist
Satz 7 ffir alle k ~ 1 bewiesen.
3. Schliefllieh beweisen wir noch die folgende Ausdehnung des Satzes yon der "~quivalenz der absoluten 0- und H-Summierbarkeit auf den Fall beliebig ganzzahliger Ordnung p.
c o
Satz 8. Ist [i~r ein bdie~g 9unzzahliges p die Reihe Z an absol, at H~-sum- o
mierbar, so ist sie auch absolut O~-summierbar u~l umgekehrt.
Der Beweis dieses ~quivalenzsatzes stiitzt sich auf den folgenden Hilfssatz :
Hilfssatz. Ist eine Reihe • an absolut O_k-summierbar, so ist die Reihe o
Z~ (s, + ha,) = ~ Z~ H_l(sn) erst absdut O_~+l-summierbar und urn. o o gekehrt.
Denn naeh diesem Hilfssatz folgt aus der Konvergenz irgendeiner der
Reihen
o o 9
A I - I ( H - . ( . . ) ) I o 0
die Konvergenz jeder anderen Reihe. Insbesondere ist fiir die Konvergenz c o .
der letzten Reihe, d .h . fiir die absolute H_k-Summierbarkeit yon ~ a , die 0
Konvergenz der ersten Reihe, d .h . die absolute 0_~-Summierbarkeit yon c o
an, notwendig und hinreichend. Das ist aber der Inhal t des Satzes 8 fiir 0 negative Ordnung p ---- - - k .
Zum Beweise des Hilfssatzes best~tigen wit zun~chst die beiden Formeln
(22) A C-~11 (sn + na~) : k A C]-~ 1 (s,) -+- (1 -- k) Z~ 0 -lk_1 (s,),
1 ~-1 (s~ q- nan) + (23) A (7; 1 (s~) = ~-/~ k-1
Erstere ist nut eine triviale Umformung der Gleichung (9). Zum Beweise der zweiten Formel machen wit yon der einfachen Identi t~t A [(n -~ 1) n Z~ x~]
n Z~2(n q- 1) x n Gebraueh, indem wir
y ~ 0
n - ~ l
558 G. Lyra.
setzen, dann nach n auisummieren und die erhaltene Gleiehung mit n (n + 1) dividieren. Setzt man die so gewonnene Umformung
~" ~]1 (,,+ ,a,) A" =o i ~-7~ ZX 0;,_1] (0,. + ,,a,)
,~+~ = ,,(,~---~a) ffi r
in diejenige Gleiehung ein, welche aus (20) durch einmslige Ausfibung der Differenzenbildung hervorgeht, dann ergibt sich die Formel (22). Nun be- kommt man aus (22) und (23) dureh Bfldung der absoluten Betr/ige und naeh- folgende Aufsummierung nacb ~ die beiden Absehiitzungen
n
I 0_ 1 (8,~...~.._ ,pal , ) ] +
+ (1 - - T 1'0'+ I) ~I
Erstere geht mit Rficksieht auf Ungleiehung (18) fiber in
7t Cr~-~ 1 ~ - - (24) ZIZX ~- , ( , ,+ , , a , ) l ~ (2k 1) Z I Z X ~ ( s , ) l .
v = O ~ = 0
Die zweite Absch~tzung geht wegen
,/, 1 = ; a__l , ( , - t - ; ) [ A C'~',-'l(Sa + )-aa)l = ,.=~ = . , ~ ( ~ D I A O-kk!l(S,.+~aJI
----J'O---- r ~ l
v 1
i n
n n (25) X I Z~ ~ 1 k (s,)l~_ Z, lAe; ! , ( s ,+~ ,a , ) l
, , ~ . 0 ~ - ~ 6
fiber. Aus (24) und (25) folgt unmittelbar der behauptete Hilfssatz, womit der Beweis des Satzes 8 erbracht ist.
IH. Weitere Anwendungen des Begriffs der C_k-Snmmlerbarkeit.
1. Zun~chst soil als ein weiteres Beispiel eines Reihensatzes, weleher auf O-summierbare Reihen beh'ebig ganzzahliger Summabilit~tsordnung verallgemeinert werden kann, ein Umkehrsatz gew~hlt werden, niimlicb der
C- und H-Summierbarkeit negativer Ordnung. 559
o o
U m k e h r s a t z y o n DOETSC~rZ~). ISt die Reihe ,~ as G~.summierbar zur o
Summe s und einseitig G~_~.beschr~n~, so ist sie schon U~_l-summierbar zu~ selben Summe.
Dieser Satz, weloher ffir k ---- 1 den HA~DY-LA~DAuschen Or.-GZ--~ K- Satz als Spezialfall enth~lt, beh~lt aueh fiir negativ-ganzzahliges k seine Gfiltigkeit. Dies ergibt sieh aus dem folgenden, gleiehfalls yon G. Do~TsoHZS) bewiesenen sehr allgemeinen Grenzwertsatz:
Strebt cs/n2 -->A und ist A u c,Jn p-~ :> - -K , so strebt 5 c s / n P - l - ~ A p , we p, A und K beliebig reell sind. Setzt man hierin p ---- - k, A = 0 und cs = A t ss ffir k _~ 1 und ffigt noeh die Aussage s~ -~ s zur Voraussetzung und Behauptung des Grenzwertsatzes hinzu, so geht dieser gerade in den Umkehrsatz ffir -- k start ]r fiber. Der Umkehrsatz besteht also ffir beliebig ganzzahliges k. Zugleich erscheinen damit beide S~tze als Spezialf~lle eines
einzigen Satzes. Das folgende Beispiel zeigt, dab der Begriff der 0_~-Summierbarkeit
dazu beitr~gt, such zur klassischen Reihenlehre eine weitergehende Analogie herzustellen. In der Theorie der U-Summierbarkeit positiver 0rdnung konnte es kein Analogon zu dem Satz geben, wonaeh aus lira As = A und lim Bs -- B der lim A s B s = A B folgt, da ja aus der G-Limitierbarkeit positiver Ordnung der Folgen A , und Bs nieht notwendig die U.Limitierbarkeit der Folge A s B , folgt. Die Verallgemeinerung auf beliebig ganzzahlige Limitierungsordnung k
laute t :
S a t z 9 . Aus U ~ - l i m A s : A und U _ ~ - l i m B , ~ : B /olgt
O'l k I" lim As Bs = A B.
Zum Beweise dieses Satzes best~tigen wit ffir positives k zunachst die
Formel k
welehe dutch leichte Umlormung aus der Beziehung
k
hervorgeht. Darin ist, wie fiblieh, A(~ ") = A(o "- l ) + �9 �9 �9 + A(~ -l) ffir ~ ~ 1 und A~ ) = As gesetzt. (27) ist ffir/c = 0 gewiB riehtig. Sei (27) ffir ein be-
~) G. DO1~TSCH, ~ber die CES~ROsche Summabilit~t bei Reihen und eine ]Er- weiterung des Grenzwertbegriffs bei inbegrablen Funktionen. Math. Zeitsehr. 11 (1921), S. 166.
is)" G. DOETSCH, a .a .O. , S. 161.
560 G. Lyra.
s t immtes k ~ 0 bereits bewiesen. Dann fo]gt durch Anwendung der ein-
fachen Umformung xn Y, = (Zo + "" " + x,) zJ Yn + A [(x o + �9 �9 �9 + xn)Yn+ 1] auf das Produkt ~ k ) A k - ~ in (27),
k § k
A,,B,, i~-joi~/~ ~-" " + ; J + - - , ~ / ~ �9 . n+a§ 2 = 0
k + l k + l
~.=.0 2 = 0
k + l
Also ist (27) aueh ft ir k + I st~tt k riehtig, w. z. b.w. Somit ist (26) f i i r aIIe k ~ 0 bewiesen. Nun folgt aus der Voraussetzung O_ ~-lim B , = B naeh Definition und der Permanenzeigenschaft des 0_ R-Limes, dab
lim (n + "I A" B,, = B oder ~ 0
ist, j e nachdem u ---- 0 oder 1 ~ x _< k.
Andererseits liest man aus (26) unmit te lbar ab, dab die Ga-Mittel des ~t-ten Gliedes der (k + 1)-gliedrigen Summe (26) ofienbar
_ Ok(A.).(n.-I- ~+ k--~)
sind und also fiir n --> ~ gegen A B oder 0 streben, j e nachdem 2 = k oder 0 _< Jt <~ k - 1 ist. Also sind alle Glieder der Summe (26) O~-limitierbar und damit auch die Folge A.B,~ Ok-limitierbar zum Werte 0 + 0 + �9 �9 �9 + 0 + + A B = AB, was zu beweisen war.
2. Ein weiterer Satz der Reihenlehre, dessen Verallgemeinerung auf 0-summierbare Reihen nur mi t Hilfe des Begriffs der O-Summierbarkei t negativer Ordnung ge|ingt, ist alas bekannte Konvergenzkri ter ium yon Du Bo~s-R~'~o~D und D E D E K I N D :
Die Reihe ~a,,b,, konvergiert, wenn ~ a . konvergent und ,~(b.--b,,+a) 0 0 0
absolut konvergent ist.
Es besteht dns folgende, fiir beliebig ganzzahlige k giiltige AnMogon:
S a t z 10. Die Reihe ~, a. bn ist Ul~l-summierbar, wenn ~ an O~-summier. 0 0
bar und ~ (b. --b.+~) absolut O_ ~-summierbar ist. 0
C- und H-Summierbarkeit negativer Ordnung. 561
Die beiden, den positiven und negativen Werten yon k entsprechenden
H~lften dieses Satzes sind abet - - wie im folgendeD nachgewiesen werden
soll - - wegen der S~tze 3 und 7 nur eine andere Formulierung der beiden folgenden S~tze, deren erster im wesentlichen schon 1909 yon H. BOH~19) und G . H . HARDY 20) herriihrt, und deren zweiter yon A. F. ANDERSEN 21) 1934 bewiesen wurde:
S a t z y o n BOn~-HARDY. Ist /iir ein ganzzahliges k ~ 0
1. X a, G~-summierbar und 0
dann ist X a, b, Gk-summierbar. o
Satz yon ANDSRS~. ISt ]'i~r ein ganzzahliges k ~ 0
1. ~ a, absolut Gk.summierbar und o
2. Z (" ~ ') ~'(b. - - b , + l ) kanvergen, und die Fol,e bn beschr~nkt,
dann ist X a~b~ Gk-summierbar. o
Da mi t b~ : 0 ( 1 ) insbesondere C l - l im ( b ~ - b ~ + l ) : 0 ist, so folgt wegen Satz 7 aus der Voraussetzung 2 des BOBR-HARDYschen Satzes~ dab
( b ~ - b~+l) absolut G_~-summierbar ist. Umgekehr t folgt aus der ab- 0
sotuten O_ k-Summierba~keit der Reihe ~ (b, - - b~+ 1) die Voraussetzung des 0
BoH~-HARDYschen Satzes, da die Folge b~ dann gewi~ beschr~nkt ist. Also besagt der BOHR-HA~DYsche Satz gerade die den positiven Werten yon
entsprechende H~lfte des Satzes 10.
Um nachzuweisen, dab die andere H~lfte des Satzes 10 sich mi t dem Inha l t des AND~SE~'schen Satzes deckt, beachte m~n zun~chst, da~ die Voraussetzung 2 dieses Satzes wegen der S~tze 3 und 4 mit der ~_ ~-Summier-
go
barkei t der Reihe Z (b~ - -0~+ ~) gleiehwertig ist. Ersetz t man dann a~ durch o
19) H. BoHR, Bidrag tildeDIRlCHT.ET'skeRoekkersTheori, S.61 (K~benhavnl910). 20) G.H. HARDY, Generalization oI a theorem in the theory of divergent series.
Proc. Lond. Y[atb. Soc. (2) 6 (1908), S. 255. 81) A. F. AI~D]~RSEN, Uber die Anwendung von Difierenzen nieht ganzer Ordnung
in der Reihentheorie. ~ttonde skandinaviska Matematikerkongressen i Stockholm 1934, S. 345.
562 G. Lyra, O- und H-Summierbarkeit negativer Ordnung.
bn - - bn+~ und zugleich bn durch ao + as + "'" + an, so erh/~lt der ANDERSEN- a o
sche Sa tz die Form: I s t 1. ~ (bn - -bn+ l ) absolut O~-summierbar und 2. ~ a n o o
O_~-summierbar, dann ist ~ (ao ~- a l ~ �9 �9 �9 -~ an) (bn - - b~+l) O~-summier- o
bar. - - Nun ist wegen der beiden Vorau~etzungen 1 und 2 dieses Satzes die
Folge ao -t-a1 + �9 �9 �9 + an O-k-limitierbar und die Folge ~ (b,. -- b,.+l ) o .
---- - - bn + 1 O~-limitierbar und daher nach Satz 9 auch die Folge (ao + a l + + " ' " + an)bn+l Ok-limitierbar- Also ist wegen der Iden t i t~ t
o (ao + a s + "'" + a,) (b , - - b,+l) = Zoa,.b , - (ao + al -~ " ' " -'~ an) b,,+~
die Reihe ~ ' (O,o -~ a l + �9 . . + a,~) (bn - - b. + 1) dann und nur dann G~-summier- o
bar, wenn ~anbn O~-summierbar ist. Dami t ist gezeigt, dal~ der A~I)~,Rs~sche o
Satz gerade die den negativen Werten yon k entsprechende H~lfte des Satzes 10 darstellt. Unter Verwendung des Begriffs der O-Summierbarkei t negat iver Ordnung lassen sich also auch der BOHR-HARDYsche und der ANDERSI~I~'sche Satz zu dem einen Satz 10 yon besonders einfacher Form verschmelzen.
(Eingegangen am 2. September 1943.)
