TECHNISCHE MECHANIK 7(1986)Heft4

Manuskripteingang: 09.12.1985

Zur Berechnung der Verzweigungslösungen

inkompressibler elastisdi-plastisdler Verbundzugstäbe

Herbert Balke

0. Einleitung

Das rotationssymmetrische Verzweigungsproblem elastisch-plastischer Zugstäbe wurde bereits in [l] bis [6] behandelt.

In [l] wird durch Vergleich der Verzweigungslösung des Zugstabes. welcher schubfreie Stirnflächen besitzt, mit der

FEM-Rechnung fiir das inhomogene Problem des eingespannten Zugstabes die Bedeutung sowohl des Verzweigungs—

punktes als auch der Venweigungsmode nachgewiesen. [2] untersucht den Einflufs zweier verschiedener Spannungsge-

schwindigkeitsdefinitionen auf die Verzweigungsspannung in einer asymptotischen Entwicklung für den inkompressi-

blen homogenen Zugstab. Die Erörterung einer allgemeineren Spannungsgeschwindigkeitsdefinition in einem erweiter-

ten Prandtl-ReuB-Material erfolgt in [3] ebenfalls anhand einer asymptotischen Entwicklung. [4] enthält die Lösung des

rotationssymmetrischen Verzweigungsproblems für den Verbundstab. [5] berücksichtigt die dissipative Erwärmung bei

der Berechnung der Verzweigungsdehnung des kompressiblen Zugstabes. Eine asymptotische Lösung fiir den kompres-

siblen Zugstab wird in [6] angegeben.

Die vorliegende Arbeit hat die Ermittlung der Verzweigungsdehnungen nichtrotationssymmetrischer Verzweigungsmo-

den des homogenen Stabes und des Verbundstabes sowie die Angabe der Venweigungsmoden zum Ziel. Außerdem soll

der Einfluß einer allgemeinen Spannunggeschwindigkeitsdefinition, welche gleichbedeutend mit einer Klasse von kon-

stituüven Annahmen ist, auf die numerisch bestimmbaren Verzweigungsdehnungen und -moden diskutiert werden. Wie

in den genannten Literaturstellen wird einschränkend eine homogene Verzerrung im Grundzustand vorausgesetzt. Trotz

dieser Vereinfachung und Separation der Variablen erfordert die Lömng des verbleibenden Problems 6. Ordnung die

Anwendung numerischer Methoden. Eine systematische Vorgehensweise bietet sich hierbei an durch die Formulierung

des Problems als ein System von 6 Differentialgleichungen l. Ordnung in denjenigen Variablen, die unmittelbar in den

Randbedingungen auftreten. Auf dieses System ist dann auch bequem das Übertragungsmatrizenverfahren anwendbar.

Damit beim unterschiedlichen Fließbeginn der Komponenten des Verbundstabes keine Querzwänge auftreten, die die

Homogenität des Gmndverzermngszustandes aufheben, muß die Inkompressibilität der Materialien angenommen wer-

den.

l. Definitionen und Grundgleichungen

Im folgenden wird die symbolische Schreibweise mit halbfetten latein'ßchen Großbuchstaben für Tensoren zweiter Stu-

fe benutzt. Die Tensoren werden auch in raumfesten krummlinigen Koordinaten und Zylinderkoordinaten dargestellt.

Die Bewegung des betrachteten Körpers wird beschrieben durch die räumliche Lage xk(XK,t) des typischen Teilchens,

welches zur (formalen) Zeit t = 0 die Position XK besaß. Die Teilchengeschwindigkeit ist vk = öxk(XK,t)/öt = 9k (ma-

terielle Zeitableitung). Außerdem werden der Geschwindigkeitsgradient

Lkl = vkll ’ ~ (1.1)

die Deformationsgeschwindigkeit

D = go. + LT) (12)

und die Drehgeschwindigkeit

w = äa — LT) (1.3)

benötigt )| l— kovariante Ableitung nach xl, LT — transpoxlierter Tensor).

Als Verzweigungsbedingung dient die Gleichung des fortgesetzten Gleichgewichtes [7], in der die Variablen als Diffe-

renz zweier möglicher Variablen auftreten,

(TkllkY = Nkllk =.° (1-4)

N = 'i—LT+TtrL (1.5)

(N - Nennspannungsgeschwindigkeit im Grunthustand, T —— Spannungstensor, trL = ka) zusammen mit den Randbe-

dingungen

24

Nkl nk = 0 (1.6)

für richtungstreue Oberflächenkraftändemngen auf einem Teil der Oberfläche und

vk : 0 (1.7)

auf dem anderen Teil.

Die Gleichungen (1.4) . . . (1,7) erfordern ein differentielles Deformationsgesetz. Ein solches ist durch eine objektive

Form der Prandtl-Reußschen Gleichungen mit isotroper Verfestigung gegeben [8]. Mit der Inkompressibilitätsforderung

ka=Dkk = 0 ‚ (1.8)

lautet es für elastisch-plastische Deformationsvorgänge [3] (die Bezeichnungen 'l‘G bzw. H’ von wurden hier durch N

bzw. Ep ersetzt)

D = 21_G(S+sw_ws+2_11tr2)+3- "(SD ~s}

ä ä Epms ) (1.9)

av = H(e5),tr(si‘) > 0

oder in der invertierten Form mit (1.5) 1

N :_2G{D _ 3(93) —tr(Z°S)/(2G). }

[1 + Ep/(3G)] tr (52) (110)

+ ItrT/3 —TW—DT —Z+ Iträ/s

ov = weg), „(50) _tr(zS)/(2G) > 0.

Dabei bedeuten:

S = T — ltrT/3 Spannungsdeviator, l— Einheitstensor,

— ä + Itrz°/3 = _ a(TD + DT) _ 7DtrT + (2/3)a man)

tr (23) = 2 atr(DTS) + 7 trT tr(DS)

G = E/3 — elastischer Sehubmodul,

Ep =dH/de5 > 0, 03 = 3u(s2)/2.

Die Verfestigungsfunktion H wird aus dem Verlauf der wahren Spannung (IV = lO l = O über der logarithmischen plasti-

schen Dehnung 63) nach Entlastung aus Zugspannungszuständen U bestimmt. Die Erstbelaslung und Entlaslun

dem hypoelastischen Gesetz

.vI l" "rg Li. nu;_en

Dzä—ä—(wswnwwi—ilträl (1.1!)

07 < mes) oder tr (51) < o. J

Die Materialparameter a. 7 charakterisieren verschiedene Materialien bzw. entsprechen verschiedenen möglichen Span-

nungsgcschwindigkeitsdefinitionen [9]. Ihre Größenordnung soll l nicht überschreiten.

2. Verbundstab mit Kreisquerschnitt unter einachsigem Zug

Für die Tensoren D in (1.2) und W in (1.35) gilt in Zylinderkoordinaten des Grundzustandes (x1, x2. X3) I (r, gp. z) m it

a( )/axk =( ),k [10]

‚.—

v1.1 (V1 ‚2 + V2.1 — 2V2/K1)/2 (V1.3 + V3.1)/2

15k1= l“2/00? (v2.2 + xlvlwx‘ >2 ä<v23 + v3,2>/<x1>2 (2.1)

L D13 (x1)2 D23 V3.3

F 0 (V1.2 r V2.1)/‘-Z (V1,3 - V3,1)/2

W = - W052 0 (1/2) (v2.3 — v3,2>/<x1>2 (2.2)

Lhw13 _(xl)2w23 O

25

Die einaehsige Zugspannung 0 > 0 in Stabachsriehtung x3 = z liefert

i’o 7 t’ -1 H

Tkl ; O t 3 Skl z _1 g, “T : q . (2.3)

1 2o1

Das fortgesetzte Gleichgewicht (1.4) ist in ZylinderkoordinatEn mit den Metrikkoeffizienten gkl

a 1 i 1

l 1/<x1>2

N

‘() (21 l

J'— T z l _ 1 m _ w

ilZr ifle XT’ 12‘i‘—X a {kl} -U sonst

“1.2 + N212 + N313 +(5111- N22)/X1:0 (2.4)

N121 ’N22.2 " N323 * xlNz1 z 0 (2-5)

“3.1 * N232 + N333 + le’xl : 0’ . (2.6)

[Cube/Men von (2.3) in (1.10) und Berüekaii-htigung von

y 0

Tknsn, l 0 i 1r(DS): 01)33.1r(s2): 2022:;

2.7

IL 2202/3 ( )

77 „m : p, u(:ZS) 2011/3» 7)02D33. <1) _~ I + lip/(30)

ergibt die ‘) Temorkoordinaten

V ‘ D33 o 4 l . 2 -

:- ‘pv l‘

N12 L (21: _7o)nl2‚ N13 = [21; -oa +a+'y)]1)13 (2.1)),(2111)

x2, : (2(170)D2l (2.11)

. ‚I . “3 a J. 1 . 2 . . y .\22 r 2e [ D22 + ‚2g [1 726(5a+7)])f ‚p + 3110033 - yon-53 (2J2)

N23 : [2G~0(1+¢1+7)}D23 _ (2.13)

V3] — [211401 T „11,131? 0 W31 (21:1)

\‘32 [21; 0(a + mm2 ’7 ow32 12.15)

13.7 w! „L „_‘Li i 1 :1_'. o.\ 3 — 0(l+:i01

Für die Belustungsbedingung von (l . I 0) gilt mit (3.7)

O .1[1 ‚26 (_ a+7)]ol)33 >11,

3

In der eckigen Klammer wird die Voraussetzung 0/20 <<. l benutzt, welvhe die Äquivalenz von llypo- und llyperelasti—

zität bedingt [ll]. Während der Grunddeformation haben o und D33 glen hes Vorzeichen. Für hinreichend kleine :\m-

plilnde der Verzweigungslösungr bleibt das Vorzeichen von D33 in der fortgesetzten Deformation erhalten und dann!

die Belastungsbedingung erfüllt.

Die Randbedingungen am Rand xl I r sind wegen fortgesetzter Spannunngeiheit (L6) und nk Z (1.0.0)

Vlkzo. k:1,2, (2,171

26

Zur Vermeidung von Singularitäten an der Stelle r = 0 beim Vollzyljnder wird dieser bei der numerischen Rechnung:

durch einen Hohlzylinder mit sehr kleinemrlnnenradius ri ersetzt und an der Stelle r = ri ebenfalls (2.17) gefordert. Eine

solche Vorgehensweise ist berechtigt, da Verzweigungspunkte nicht von der Art der Randbedingungen auf Oberflächen—

teilen mit verschwindendem Inhalt abhängen. Weiterhin sollen die Stabstirnfläehen eben bleiben, d. h., bei x3 = z = 0.

1(1 — aktuelle Stablänge) ist mit nk = (0, 0, wt 1)

v3 =0 und N3k :0, k: 1,2. . (2.18)

Ein Ansatz für die physikalischen Geschwindigkeitskoordinaten u = v1 , v = v2/r, w = v3, der (2.18) mit (2.14), (2.15).

(2.1), (2.2) erfüllt, lautet

u = f(r)cosuc.pc0svz

v = d(r)sinu(pcosvz v = —— , k = 1, 2, 3,...

1 (2.19)w = g(r) cosuspsinvz I

p = 2G1h(r)cospg9cosvz y = 1, 2. 3, . . . J

G1 ~—- Bezugsmodui. (2.19) mit den Abkürzungen a( )/ör = ( )’ und

sinvz = 5V, eosvz = cw sinpsp = s“, cosMp —' CF, (2.20")

ergibt in (2.1),

if um, (1/2) (—2141 + .»d*)c„s„ (1/2) („111+ g’)s„c„ "

! 1 1 . . .Dkl 2 , r3 (Mrd + rflcucu (—Vm 11g)s,,s_u (3-21)

L vgcvcp _

if n (1/2) [_„f_(rd)’]c„s„ —(1/:2) (vf+g')svcp

‚ f 1wkl : 1 0 2:2 („m11 + ug)s,..«„ (2.22)

L 0 _J

Beim Einsetzen von (2.21), (2.22) in (2.8) . . . (2.16) werden winkelfunktionsfreie dimensionslose Tensorkoordinaten

Mkl benutzt, z. B. in (2.8)

und entsprechend für die anderen Koordinaten. Alle diese Koordinaten lauten damit und mit den Abkürzungen

_ cm 9(r) , Z 2 245(r) - w 2T0.) “(Ü (w )

q V ‘1' I h 2 a

111,: M1 +271). [1—K(j§(xv")’)]g—E1'§akvg _wf} (2.25)

MI2 = 2(1- 7K)(—uf—d+rd") - (2.26)

11113 Zgßvf’tg’)“fiK(l+a+7)l (2.27)

“2 : P_(1_. K)(_. f-d+rd*):lMl (2.28)

i 1 2r2 7 u r2 i 2

1 1 4 2 h '

M22 2 LN; (1 _..71<)(pd+f)+ {2—5 [1 —-K(äa+7)]+äak}vg—E> (2.29)

M23 im £2 (Vrdwgfllvwl +a+7>1 (2.30)

f ‚ 2.31)M3l : g((_Vf+g‘)[1——K(a+7)1—-K(vf+g)} ( '

‚42.32

M32 :g‘L‘UrdeHl—K(a+7)]+"(‘”rd+“g)} ( )

' l 4 .1. h (2.33)M5}_ß((l_(S[14K(ga+7)]_x(l+äa+’y)}Vgp

ß>' I

27

3.2I' l'

Hinzu kommt noch die separierte Inkompressibilitätsbedingung (1.8) f’ + + vg = 0. (2.34)

Zwischen den mathematischen Tensorkoordinaten Ml‘l und den physikalischen Tensorkoordinaten M00“) gelten die

Beziehungen [10]

Mkl =a

wo die unterstrichenen Indizes nicht abzusummieren sind. Dies wird zusammen mit (2.19), (2.23) beim Einsetzen von

(2.28), (2.29), (2.31) in (2.4), von (228), (2.29), (2.32) in (2.5) und von (2.30), (2.33) in (2.6) beachtet. Außerdem er-

folgt in den drei entstehenden Gleichungen die Elimination von h/ß mittels (2.25) und (2.34). Die drei Beziehungen des

fortgesetzten Gleichgewichtes lauten dann:

(2.35)

Wan”),l + M(1)(2)_„Mmm + m- 2 g (1 _ 7m

2 2

1—{2%<1—7K>+'§[1+x<1~a77>1} —5’2‘5[3-K(1+a+37)1g > = 0 (2.37)

(rMu)(3)),1—Vrl\1(1)(1)+ ß<—vf(l _7x)_’;i[3_x(1+a+37)]d

2 2

— {21?[1-—x(1+a+7)]+v2r[2—K(1+2a+27)]—%[1 —K ( ga+7)]} g) :0. (2.38)

Diese Gleichungen sind noch durch die Inkompressibilitätsbedingung (2.34) sowie durch (2.26)

rM(1)(2) = g (1 — 7K) (— pf — d + rd’) und (2.27) zu ergänzen. Es seien noch die Abkürzungen (2.39)

M(1)(3):g(_pf+g’)[] _K(1+a+7)] (2.40)

(1 = 1 — -

M )a) Mr” W )(2) ‘ Mm me) - Mrz (2.41)

1 l

<>..:< >,§-;=( )*-;.:=ai.va=w (2-42)

(a Bezugslänge) eingeführt. Das resultierende System von 6 Differentialgleichungen l. Ordnung nimmt damit die endgül-

tige Form an:

y N

K + ' 1 | l l

1

Mr 0 I — ‘E‘ _ co {$1-7m (Kw2+21§_27K)B 25—2 (1—7013 Mr5

3

‚___„‚ l l __ .__._ - ___.‚_._._‚.1 _. __.

l 2 !afi§‘~l3 a{2;—;<1-—w>

MM g - £7 0 5 2“—2(1_7K)ß w2 an

‘ 3—K(l+01+37)] f + —2—[1+K(l—a—-’y)]}

_‚ 5.______‚.____„„. ‚-‚__;‚2;„ _ s A ‚ _ _‚

l I 2

g a ;B{fg2n—K<m>l3 ‘ l i ‚ wg: [3

Mrz = w L 0 —- g +w2l2——K(l+2a+27)] %(lk7K)ß g Mrz

3W2 —K(1 +a+37>l

~§$~[1—K(3-a+7)]}

2/l [1

g 0 0 \ 1 l () o.) 0 g

l—K(l +a+7)]ßf I

l u ‘Hf 0 0 0 ._ m _ - ._

I °’ r s“ f

A)

_ A

d 0 „_i—s o ) 1i lJ ( (14m I l z f J d l

(2.43)

Für den Verbundstab existieren ein Innenbereich ri < r < a mit K1 = 01/(2G1), ß = 1 und ein Außenbereich a < r < b

mit K2 = 02/(2G2), ß = G2/G1 .

Als Randbedingungen verbleiben mit (2.17), (2.23), (2.35), (2.41) bei f = ri/a, f = b/a

NL=MM=Mn=O, gab

d. h. Gleichungen mit genau den Unbekannten, die auch in (2.43) auftreten.

3. Anwendung des Übertragungsmatrizenverfahrens

Das von der logarithmischen axialen Gleichmaßstabdehnung e abhängende homogene Differentialgleichungssystem

(2.43) mit den homogenen Randbedingungen (2.44) bestimmt ein Eigenwertproblem mit e als Eigenwert. Die Koeffi-

zienten des Systems (2.43) hängen auch bei konstanten Spannungs- und Materialkennwerten vom Radius ab. Eine kata-

logisierte Lösung des Systems 6. Ordnung (2.43) wie beim rotationssymmetrischen Problem 4. Ordnung in [4] ist nicht

zu erwarten. Es erfolgt deshalb eine numerische Lösung mittels Übertragungsmatrizen, die aus der Systemmatrix von

(2.43) über die Runge-Kutta—Formeln 4. Ordnung [12] aufgebaut werden [13]. Für vorgegebenes e beginnt die Integra-

tion bei § = ri/a mit den dazugehörigen Randbedingungen aus (2.44) und unbekannten separierten Geschwindigkeiten

f0, go, do und endet am Außenrand 5‘ = h/a, wo die restlichen Randbedingungen aus (2.44) erfüllt werden müssen. Dies

liefert ein homogenes 3 x 3-Gleichungssystem zur Bestimmung der f0, go, do, dessen Koeffizientendeterminante ver-

schwinden muß. Die Determinantennullstelle wird durch schrittweise Vorgabe von e systematisch bestimmt. Die Inte-

grationsprozedur wurde in einem FORTRAN-Unterprogramm realisiert [13], das Ergebnis in das bestehende Rahmen-

programm zur Nullstellensuche [l4] eingebaut {13]. Die Untersuchung der Fälle p = 0 (Rotationssymmetrie) oder

V= 0 erfolgte dabei gesondert.

Das Runge-Kutta-Verfahren gestattet es, nach Ermittlung des Eigenwertes auch die Eigenfunktionen zu bestimmen.

Dies geschieht in der sogenannten Rückrechnung, die nur für die Radialgeschwindigkeit f programmiert wurde [15].

Die hier geschilderte Vorgehensweise läßt sich auf einige andere Belastungsfalle und kompressibles Material übertragen.

Es wäre dann die Systemmatrix von (2.43) neu aufzustellen. Zur Berücksichtigung hydrostatischen Druckes an den Man-

telflächen eines Voll- bzw. Hohlzylinders müßten die Randbedingungen (2.44) neu formuliert werden. Der diekwandige

Hohlzylinder unter richtungstreuem [16], [17] oder hydrostatischem Manteldruck und der kompressible Verbundstab

erforderten außerdem die Integration des radialen Uleichgewichtes für den Umndspannungszustand. Gleiches gilt für

die Einbeziehung von Eigenspannungen [18] , [19].

4. Ergebnisse

Wie in [4] lagen der numerischen Rechnung zwei Materialkennlinien i = 1, 2 für die logarithmische Dehnung e und die

wahren Spannungen oi

g 0i ev——=——,o~=E-e-,0<—-<l (4.1)

e - o - Y‘ 1 Y‘ e -yl y! yl

e 0- 0- "i e__:_L+m<;> _WJ<_.

um6_vi in xoyi eyi

mit den Materialkennwerten nach Tabelle l zugrunde.

Im Verbundstab bestehen der innere Zylinder aus dem Material l (Maragingstahl) und der äußere Zylinder aus dem Ma—

terial 2 (Kupfer). Die Fließspannungsverläufe der Komponenten für Debnungen oberhalb der Gleichmaßdehnung wurv

den dabei aus Zugversuchen an Proben mit verschiedenen Kaltumformgraden [20] bestimmt.

Tabelle l

Materialkennwerte für (4.1),

Material Ei/Nmm— 2 eyi mi ni

1 163 000 0,004652 7,539 12,29

2 120 000 0,000708 6,483 3,145

4. 1. Rotationssymme trische Einschnürformen

Unter der Voraussetzung rotationssymmetrischer Eigenmoden wurden wie in [4] für 4 verschiedene Volumenanteile v

des Materials 1 die Verzweigungsdehnungen ec und —spannungen 01c, 02C eines Verhundstabes mit den Ausgangsabmes-

sungen Aufsenradius B und Länge L, B/L = 0,02, berechnet. Tabelle 2 enthält für verschiedene Halbwellenzahlen k das

Ergebnis, welches auf 4 Ziffern genau mit der Lösung der in [4] benutzten Methode übereinstimmt.

29

Tabelle 2

Verzweigungsdehnungen und -spannungen

v k e„/% olc/Nmm—2 azC/Nmm-2

1 0,3153 326,6 326,6

2 0,3155 326,7 - 326,7

0 4 0,3163 327 ,0 327 ,0

10 0.3265) 330,2 330,2

20 0,51965 3512 v 351,2

1 0,2078 886,0 286,6

2 0.2079 ‚886,0 286,6

0,2 4 0,2081 886,1 286,6

10 0,2144 887,9 289.4

20 0,2837 906,6 316,6

l 0,1419 862,9 254,3

2 0,1419 862,9 254,3

0,4 4 0.1420 862 ,9 254,4

10 0,1468 864,9 257,0

20 0,2165 888.6 290,2

l 0,05091 811,? 811.7

2 0,0310] 811,8 811,8

1,0 4 0,051.51 812.: 812.2

10 0.0581] 817.4 817.4

20 0,1387 861.5 861.5

Eine typische Schar von Eigenfunktionen v = 0,4 aus diesem Beispiel gibt Bild 1 wieder, wo noch die llalbwellenzalil

k 2 40 entsprechend 6c = 0,5300 mit aufgenommen wurde [15]. Dort bedeuten die auf ihren Maximalwert normierte

Amplitude der Radialgeschwindigkeit (vgl. (2.19)) und a den aktuellen Radius des lnnenzylinden (Material 1). Die

Eigenfunktionen weisen keine Besonderheiten am Übergang r = a vom Material l zum “31611412 auf, Der Fall k = 1 ist

vom geraden Verlauf der Radialgeschwindigkeit fiir homogene radiale Deformationsgesr1mindigkrit im Bild 1 nicht

zu unterscheiden. Dies entspricht der Tatsache, (12113 die halhe Wellenlänge in Stabrichtung whr iiel größer ist als der

Stabradius.

Für eine mögliche Kontrolle der Eigenfunktionsherechnuny

wurde der Variationsausdruck [7] 1,0

{y tr(N L)dV 2 Min. (4.3) 7

in allen kinematisch zulässigen Geschwindigkeiten.

V - Vo1umen im Grundzustand, herangezogen. Bei

rotationssymmetrischen Eigenmoden liefert (4.3) mit l

(1.10), (2.1) . . . a = 7 = 0

l 3 —n=1 jac=o,1419

f flrdrdz = Min. -n=203"c=0'2765

0 o4/740, ac sqs3oo

05

2 ' E_ 4 2 u , 2 l 2 3 t ‚2

1—2G[u’r+:.w‘z+i(u‘z+w‘r) ~§(1»~3—G)w‘z1

/

r (4.4))2

0 2 2 0 2 2 0—72(w .r—u’1‚)—:[(u.z +war) + -1w’z]+_—t(u!z ~w’r

und mit (2.19), (2.34) sowie dem Näherungsansutz

f0) = c1: + 02:3

für einen homogenen Zylinder vom aktuellen Radius a

(C1, C2 ~ Freiwerte) 2 notwendige Gleichungen. von 05 10 g 15I I

denen eine lautet

Bild l

Eigenfunktioncn für Rotationxsymmvlrn' und \ - 0.1

30

E E

CI [611232 + 43 CE +(33 (3V232 —48)] + c2 [4v2a2 + 43 + 48 CL + (2»2a2 _ 72)} = 0 . (4.5)

Der Tangentenmodul Et = do/de ist dabei nach (4.2)

_ 0 ‚ 2 n—l _1E‚(a)—3G[1+mn(5ö 5;) 1 . (4.6

In (4.5) wurden die Kennwerte des Materials l (Tabelle l) benutzt und der mittels der halbanalytischen Methode [4]

berechnete Eigenwert G/2G = 0,007522 für das aktuelle Abmessungsverhältnis a/l I 0,1833 hci einer Halbwelle in Stab-

richtung, d. h. Va = 0,57585 eingesetzt [15]. Dies ergibt

Die ebenfalls auf ihren Maximalwert normierte genäherte Eigenfunktion stimmt mit der numerisch berechneten Eigen-

funktion für 8 diskrete Radiuswerte f, 0.01725 S g“ S 1. in den ersten 3 Ziffern überein.

Der Einfluß der Materialparameter a, 7 auf die Verzweigungspunkte wurde auf zwei verschiedene Alten getestet. Der

aus (1.9) mit (2.3) folgende und damit zur Systemmatrix von (2.43) gehörende Tangentenmodul Et = da/de genügt

der Beziehung

in: a'a ‘: EN”) -[1 21+3 0 (47)t v” ’ ’7) 1+.p(ov)E ‘( Ewi ' '

Im ersten Fall wurden die Verzweigungspuukte für wachsende Halbwellenzalilen längs der Kennlinie (=1 .2) aber mit dem

jeweiligen Tangentenmodul gemäß (4.7) und

EP(OV) _ E481 + Edam? _ '(OV)

( i )

bestimmt, d. h., jeder Verzweigungspunkt gehört zu einem anderen Material mit geringfiigig verschiedenem Tangenten-

modul Et, aber gleichem plastischen Modul Ep. Als Beispiel diente ein homogener Zylinder aus dem Material l mit den

Ausgangsabmessungen Radius/Länge 1 0,02. Für a. 7 wurden alle Kombinationen von 0, l. —l zugelassen. Die Halb-

wellcnzahlen k waren k I l, l0, 20. Die maximalen Abweichungen traten zwischen den Kombinationen a = 0, 7 = 0

und 01 = l. 7 : l für k t l beim Material l auf. Die Verzweigungäpannung für a = l, 7 = 1 war um 0,15 % kleiner als

. die für 01 = 0. 7 = 0. die Yerzweigungsdchuung um 2.8 f4. Der Verzweigungspunkt lag geringfügig vor dem Kraftmaxi—

munipunkt. Für das Material 2 waren die Abweichungen geringer.

lm zweiten Fall wurde der Tangentenmodul der Systenunatrix von (2.43) gleich dem Tangentenmodul Et der Kenn-

linie (4.2) gesetzt.

T Ep(0v i GUY). 55 0v . .P. ‚ : ~T—M_m [I _. 201* .- T] i. o,‘ 4.9[(0‘) l + Ep(0t;a.7)’l€ ( 23 7) l2 '( ‘l' ( )

Die Verzweigungspunkte lagen wieder auf der Kennlinie (4.2). d. b.. für jedes Wertepaar 01. 7 besaß das dazugehörige

Material geringfügig verschiedene plastische Moduli] R? bei gleicher Kennlinie im elastisch-plastischen Bereich. Die Halb-

wellcnzahlen waren k I l. lll. 4-0. llic maximalen Abweichungen für das Material 1 traten bei k = 402wisehen01 = l,

7 = l und a I 0. 7 = i) auf. Sie betrugen für die Spannung weniger als die Genauigkeit der Ergebnisausgabe und 0,24 %

für die Dehnung. Beim Material 2 waren sie wieder geringer.

Man kann zeigen. daß der a.7—Einflul3 in (4.7) bei ‘Ep nach {4.6). (4.8) auf die Grunddehnung von der Größenordnung

10—2 und deshalb vernachlässigbar ist. vorausgesetzt. die- elastischplastischen Kennlinien besitzen einen gemeinsamen

Punktl l.

Es ist norh zu bemerken, daß in beiden Fällen die großen Halbwellenzahlen mit unrealistisch großen Verzweigungsdeh-

uungen der homogenen Stäbe einhergehen. wegen der Kleinheit \der Abweichungen andererseits über die 01.7-Einflüsse.

auf die Yerzweigungspunkte des Verbundstabes sowic auf Verzweigungsmoden nicht diskutiert wurden. Des weiteren

ist zu ergänzen, daß (4.7). (ALU) im Zugbcreich gelten und der plastische Modul bei Zug und Druck gleich sein soll.

Demnach unterscheidet sich in beiden Füllen der \nstieg do/de für Zug und Druck gemäß (1.9) und a < E um den

Faktor

[1+(2a+g7)g]/li„(zmgwg s l+2(2a+%7)%.

l) Die asymptotischc Abschätzung dcr (X7-lhinflussc auf dia- Verzwcigungsdchnungcn in enthält im letzten Absehnittdes Punk—

tes 4 einen Trugschlufs hinsnchtlich dcr l'bv rtragbarkcit der Modulabwuchungcn auf die genäherte Venweigungsspannung, wel—

chcr dort zu große. Dchnungsuntvrschwin vcrursacht.

31

4.2. Nichtrotatronssymmetnscne Verzweigungsmoaen

Für den Verbundstab mit den Abmessungen B/L = 0,02, (a/b)2 = 0; 0,2; 0,4; 1 und der Anordnung des Materials 1

innen sowie des Materials 2 außen wurden Verzweigungsdehnungen im Intervall 0,05 . . . 0,6 gesucht (vgl. a. Bild 5 in

[4]). Die Halbwellenzahlen k in Stabachsenrichtung waren k I 1, 2, 4, 10, 20, 40, die Vollwellenzahlen u in Umfangs-

richtung [.1 = 1, 2, 3, 4. Für u = 1, 2, 3 traten keine Eigenwerte auf, bei u = 4- und allenobigen k wurde der Zahlenbe-

reich des Rechners überschritten. Dies deutete sich durch das Anwachsen der Restwertdeterminante an der Intervall-

grenze e = 0,6 fiir ansteigende p-Werte bereits an. Die mit wachünder Dehnung monotone Zunahme der Ordnung der

Eigenwerte für die rotationssymmetrischen Eigenmoden des Verbundstabes nach [4] kann also durch Hinzunahme der

hier geforderten niehtrotationssymmetrischen Eigenmoden unter sonst gleichen Voraussetzungen nicht widerlegt wer-

den. Eine Erörterung des (In-Einflusses erübrigte sich.

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Anschrift des Verfassers:

Dr.-Ing. Herbert Balke -

Zentralinstitut für Festkörperphysik und Werkstofforschung

der Akademie der Wissenschaften der DDR

8027 Dresden

Helmholtzstr. 20

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