KRULL. W. Math. Annalen, Bd. 126, S. 239--252 (1953).

Zur GALOISSChen Theorie der arithmetischen KSrper. Von

WOLFGANG KRULL in Bonn.

In Bd. 121 dieser Zeitschrift habe ieh die GALoIssche Theorie beliebiger ,,arithmetischer" KSrper entwickeltl). Dabei lag das Hauptgewicht auf der Verzweigungsgruppe. Die Theorie der Zerlegungs- und der Tr~gheitsgruppe wurde rasch abgetan, die Frage nach der eventuellen Einfiihrung yon ,,hS- heren" Verzweigungsgruppen fiberhaupt nicht gestellt. Im folgenden wird zun~chst die Untersuchung des Zerlegungsk6rpers bzw. Zerlegungsrings weitergefiihrt und ein Erg~nzungssatz bewiesen, der vor allem deshalb be- merkenswert ist, weil er die Eigenart des allgemeinen Falles eines beliebigen arithmetisehen K6rpers im Vergleieh zum Spezialfall der endlichen algebrai- schen ZahlkSrper deutlicher hervortreten l~l~t. Anschlie~end wird fiir den Tr~gheitsring eine naheliegende idealtheoretisehe Frage behandelt, die man nur deshalb leicht fibersieht, weil die Antwort im Spezialfall der ZahlkSrper (nicht aber im allgemeinen Fall) trivial ist. Was das Problem der ,,hSheren Verzweigungsgruppen" angeht, so zeigt eine genauere, im dritten Paragraphen durehgefiihrte Analyse, dab kaum eine allgemein befriedigende L6sung mSglich ist. Im Spezialfall beliebiger NOETHERscher Ringe lassen sich allerdings hShere Verzweigungsgruppen leieht definieren, aber auch hier seheint es schwer, fiber die ~bertragung der einfachsten yon den endliehen Zahlk6rpern her gel~uflgen S~tze hinauszukommen. Die Vernachl~ssigung der hSheren Verzweigungs- theorie in der ~lteren Arbeit wird durch diese ~berlegungen in gewissem Um- fange gerechtfertigt. Als eine unmittelbar lohnende Aufgabe erscheint nur der Ausbau der h6heren Verzweigungstheorie bei diskreten Bewertungsringen mit unvollkommenem RestklassenkSrper. Hierzu bringt der letzte Abschnitt einige grunds~tzliche Betrachtungen und Beispiele.

§ 1. Der Zerlegungsring. Es sei wie in G. Th. 9t ein beliebiger ganz abgeschlossener Integrit~ts-

bereich mit dem QuotientenkSrper ~; p sei ein Primideal aus 91, yon dem ohne wesentliehe Beschr~nkung der Allgemeinheit vorausgesetzt werden darf und soil, dab es das einzige maximale Primideal yon 91 darstellt. ~ sei ein endlicher, separabler NormalkSrper yon ~, ~ der Ring aller yon 91 ganz abh~ngigen Elemente aus ~. In ~ gibt es endlieh viele Primideale Pi (i = 1 , . . , n), die fiber p liegen, also der Gleiehung Pi f~91 = P geniigen. Die ~ shad alle

a) Die Verzweigungsgruppe in der GALOIsschen Theorie beliebiger arithmetischer KSrper. Math. Ann. 121, 446--466 (1950); in Zukunft mit G. Th zitiert. Die vorliegende Note bildet eine Erg~nzung yon G. Th., § 1. Wegen eines drucktechnischen Versehens wird im folgenden die Verzweigungsgruppe im Gegensatz zu G. Th. durch den Index v (und nicht durch v) gekennzeichnet.

240 WOLF(~AN(] KRULL:

im Sinne der G~oIsschen Theorie untereinander konjugiert. Wir zeichnen unter den Pi ein bestimmtes, etwa p = Pl, aus und verstehen unter der Zer- legungsgruppe $z (yon p fiber ~) das System aller der Automorphismen A aus der GxLoIsschen Gruppe ~ yon ~ fiber ~', die das Primideal ~ in sich fiberf'tihren. Der Zerlegungsk6rper ~ (yon ~ fiber ~) ist der zu ~z gehSrige KSrper. SehlieBlieh werde ~z = ~ A ~z, Oz = P ~ ~z = P D~z gesetzt. Genau wie bei den endtichen algebraischen ZahlkSrpern zeigt man: ~ ist der kleinste KSrper ~ zwischen ~ und ~ mit der Eigenschaft, dal~ fiber dem Primideal

f~ ~ aus ~ ~ ~ in ~ nur das Primideal p liegt (G. Th., Satz la). Weiter wurde in G. Th. das folgende Resultat gewonnen:

G. Th. S a t z 1 b): Es sei ~ ein beliebiges zu p geh6riges Primdrideal, qz = q f~ ~ = q ~ ~z. Dann gibt es zu jedem ~ E ~?~ mindesten~ ein der Kongruenz a ~ o¢ (qz) geniZgendes a ~ ~R. Auf der anderen Seite hat im Falle der endlichen algebraischen Zahlk6rper ~) der Zerlegungsk5rper ~z zwei Haupteigenschaften: 1. Es ist ~z/pz= ~/p. 2. Das Ideal p ~z besitzt eine Zerlegung ~ ~ z = Pz 1:~ mit zu Pz teilerfremdem ~z und es werden die s~mtlichen zu Pz gehSrigen Prim~rideale qz (d. h. hier die s~mtlichen Potenzen VON Pz) umkehrbar ein- deutig auf die zu p geh6rigen Prim~rideale q (d. h. die Potenzen von p) ab- gebildet, wenn man jedem ¢lz jeweils q --- ~tz f ~ zuordnet.

Es ist nun offenbar 1. einfaeh eine spezielle Anwendung yon G. Th. Satz 1 b). Was aber 2. angeht, so ist ein Zusammenhang mit G. Th Satz 1 b) nieht ohne weiteres zu sehen. Um hier weiterzukommen, hat man zuniichst eine im all- gemeinen Fall u .U . auftretende Sehwierigkeit zu beaehten: Sind alle zu gehSrigen Prim~rideale q Potenzen von O, so sieht man mfihelos, dab stets cl ~ f ~ = q wird, dat~ also el ~ q' stets q ~ ~= q '~ nnch sieh zieht. Im all- gemeinen Fall dagegen mul~ man mit der MSglichkeit q =~ q', cl~ = cl'~ rechnen. Die gleichen Oberlegungen gelten fiir die zu p~ gehSrigen Prim~r- ideale q~. Nennen wir nun ein zu p bzw. Pz gehSriges Prim~rideal q bzw. cl~ hiw~ichtlich ~ permanent, wenn q ~ c~R = q bzw. qz ~ f ~ z = q~ wird, so l~t~t sieh der Satz 2 des Speziaffalls in folgender Weise auf den allgemeinen Fall fibertragen:

G. Th. S a t z 1 e)a): Ortlnet man j e~m zu Oz geh6rigen Prim~irideal q~ das zu p geh6rige Primiirideal q~ ~ = q zu, so werden da.durch die zu O~ gehSrigen, hlnsichtlich ~ ~ermanenten qz umkehrbar eindeutlg auf die zu p geh6rigen, hinaichtlich ~ Termanenten q abgebildet.

Zum Beweise sei zuniiehst bemerkt: In jeder Klasse zu p (Pz) gehSriger Prim~rideate, die in ~ das gleiehe Erweiterungsideal besitzen, gibt es ein einziges hinsichtlieh ~ permanentes Ideal, ni~mlieh die Summe aller Ideale der Klasse. Gibt es zu q (qz) e i n d e r Gleichung ~ c ~ = q ( ~ c ~ = ~I~) ge- nfigendes ~-Ideal ~, so ist q (q~) hinsiehtlieh ~ permanent. ~ Den eigentliehert Beweis yon Satz 1 e) zerlegen wit in 6 Sehritte: a) Ist qz irgendein zu p~ ge-

a) Oder allgemeiner, worm ~ der Bewer~ungsrlng eines bewerteten Kiirpers mit be- li~biger Wertgruppe ist.

• ) Die gewtihlte Bezeichnung soil den unmittelbaren Anschlul] an die ~lteren Unter- suchungen in G. Th. herstellen.

Zur GALomschen Theorie der arithmetischen K6rper. 241

h6riges Primiirideal, so ist b in 6 das einzige q, 6 enthaltende Primideal, und es mull daher qz 6 ein zu p geh6riges Primi~rideal sein. Fiir q, bedeutet also die in G. Th. Satz 1 b) geforderte Exis tenzeines der Gleiehung q ~6 , - - - q, geniigenden, zu p geh6rigen Prim~rideals ~ soviel wie die Permanenz von q, hinsichtlich 6 . - - b) Is t q ein beliebiges zu p geh6riges Primiirideal, so besitzt q ~ eine Komponentenzerlegung q ~ = ql . . . . . q . = ql • . . . ~ q~, wobei q, jeweils ein zu ~, geh6riges Prim~rideal bedeutet (P l= P, q l = q). (Man be- achte, dall die Pt, die in ihrer Gesamtheit die Menge aller maximalen a -Pr im- ideale bilden, die einzigen Primoberideale von q. ~ sind.) Da q ~ gegenfiber den Automorphismen von (~ invariant ist, sind die ~ untereinander kon- jugiert, und es wird infolgedessen: ql ~ R . . . . . qn ~ R -- (ql ~" " "¢~ q~) ~9 l -- q 6 ~ t . Is t also q hinsiehtlich ~ permanent, so gibt es stets ein zu b ge- h6riges, der Gleichung ~ R = q gentigendes Prim/irideal ~. - - e) Is t q hin. sichtlich 6 permanent, ~ die zu b geh6rige Prim/irkomponente yon q 6.. so wird q ,= ~ ~ 6 , ein zu p, geh6riges Primiirideal, das mit 9t den Durchsehnitt q besitzt [vgl. b)]. ~ d) Es sei q, hinsichtlich ~ permanent, q -= q,.~R. Dann ist q ein zu p gehSriges Prim/irideal und man hat: q6*'~R~_ q ; ' q ~ R = ( q ~ , ) ~ r ~ 9 1 g q ~ 6 r ~ l = ( q ~ r ~ 6 , ) r ~ = q , ~ R = q. Es ist also cl hin- sichtlich ~ permanent. - - e) Sind q~/) hinsichtlich ~ permanent, q ( / ) f ~ ,

(i) = q~ , (ft(i)6 = ~(i). i = 1, 2), so haben wir ( ~ ( 1 ) ~ ( 2 ) ) ~ 6 , = (q(1)f~6z)r~ ~(1) ~ ~(2) C~ (~(2) c~6,) = ,z ' ~ qz , es ist also auch das (ebenso wie die q(i)) zu p~ geh6rige

Prim/~rideal q(z ~) ~ q~2) hinsichtlich ~ permanent. Ferner folgt aus q~) ~9l = q(2) ~ ~ = q sofort (q(z ~) ~ q(z 2)) ~ ~ ---- q. Diese beiden Bemerkungen zeigen: Ergibt sich fiir zwei hinsiehtlich ~ permanente, zu pz geh6rige Primiirideale

(1) qT) _(1) C q(e), q(1) r ~ q7 ) r ~ stets q~l)= (2) qz , a u s qz = Cl~ , so haben allgemein zwei versehiedene, hinsiehtlich 6 permanente, zu p, geh6rige Primiirideale

_(2) -~(1) hin- stets verschiedene Durchsehnitte mit ~R.--f) Es seien q(z 1) und qz - ~ sichtlich ~ permanent und q(1)~R (2)~ = ¢h ~R = q. Dann gibt es einen natiir- lichen Homomorphismus H, der 6,/q(z 1) auf @,/q(2) abbildet, und dieser Homo- morphismus ordnet zwei verschiedenen Klassen a l , ~2 aus ~/q(1) versehiedene Bilder zu, falls ~ und ~ zwei Elemente a~, a~ aus ~R enthalten, die in ~/q verschiedene Klassen a , , a, definieren ( q ( 2 ) ~ = q beachten!). Andererseits enthalten nach a) und G. Th. Satz 1 b) zwei Klassen ~%, ~¢, aus @,/q~) stets Elemente al, a2 aus 9~, und es ist wegen q(1)~R = q dann und nur dann = a--~, wenn ax und a2 die gleiehe Klasse in ~R/q erzeugen. Der Homomorphis- mus H mull also der identisehe Automorphismus yon 6,/q(z 1) sein, und das

_(x) q(2). Aus c), d), f) folgt unmit telbar G. Th., bedeutet so viel wie qz = Satz 1 e). Denn nach e) und d) wird dureh die Zuordnung q,-~ q, ~ = q die Menge allor zu pz gehSrigen, hinsichtlich 6 permanenten Primiirideate auf die volle Menge aller zu p geh6rigen, hinsiehtlich 6 permanenten Primiirideale abgebildet, und nach f) ist diese Abbfldung eindeutig umkehrbar. Der wesent- lithe Punkt des Beweises ist natiirlieh, abgesehen von der Konjugierten- betrachtung unter b), der Sehlull yon f), der sieh wesentlich auf G.Th., Satz lb) stiitzt. In gewissem Sinne ist also Satz 1 e) eine Folgerung aus dem sehon in

Mathematlsche Annalen. 126. 17

242 WOLI~GANG KRULL :

G. Th. bewiesenen Satz 1 b). ~ Satz 1 c) kann offenbar als eine zufrieden- stellende und mehr ansehauliche Verallgemeinerung der bei den endlichen algebraischen ZahlkSrpern gfiltigen Behauptung 2. angesehen werden. Fragen wit naeh der Verallgemeinerung der in 2. mit enthaltenen Feststellung, dal3 bei den endliehen algebraischen ZahlkSrpern immer ~ @z~ ~ ~z mit zu ~z teilerfremden ~z wird, so erhalten wlr:

1. K o r o l l a r zu G. Th., S a t z 1 c). Ist q~ die zu p~ gd~rige Pri~rd~rl~ompo. nente yon ~ ~ , so wlrd stets q; ~ ~ ~ = p~.

Zum Beweis hat man zu beaehten, daft sowohl q~ ~ als aueh W ein hinsichtlieh ~ permanentes, zu p~ gehSriges Prim~rideal ist, das mit ~ den Durehsehnitt p hat. Um fiber das erste Korollar hinauszukommen und die plausible Gleiehung q; = p~ allgemein zu beweisen, mfi~te man (falls die Vermutung fiberhaupt riehtig ist}, jedenfalls fiber die in G. Th. benutzten Methoden hinaus wesentlieh neue Hilfsmittel heranziehen. In einem wiehtigen Fall allerdings gelingt die wSrtliche ~bertragung der Behauptung 2. der alge- braisehen ZahlkSrper auf beliebige arithmetische KSrper.

2. K o r o l l a r zu G. Th, S a t z 1 e): Ist ~ ~m Sinne der DiskrimlnanSen- theorle iiber ~ unverzweigt, d. h. is~ ~ gleieh dem Tr~igheitskSrper ~ yon ~ i~ber

a), so werden dutch die Zuordnung q~ - ~ r~ q~ = q die zu p~ gehSrigen Prlm~ir. ideale umkehrbar elndeutig au~ die zu p geh6rigen Primgirideale abgebildet, und es ist stets p~ die zu p~ geh6rlge Primi~rkomponente yon p ~ , .

Ist n~mlich ~ fiber ~ unverzweigt, so ist es auch ~ fiber ~ und ~ fiber ~. Aus der Unverzweigtheit von@ fiber ~ und ~ folgt dann zun~ehst, dab are ~- und ~z-Ideale hinsiehtlich ~ permanent sind, und daraus ergibt sich sofort naeh Satz 1 c) die erste Behauptung des 2. Korollars. Weiter mu8 p ~ wegen der Unverzweigtheit yon ~ fiber ~ Durchsehnitt yon gegenseitig primen Primidealen sein, d .h . es muB auch die zweite Behauptung des zweiten Korollars gelten~).

§ 2. Der Triigheitsring.

Wir wenden uns jetzt, nachdem hinsiehtlich des Zerlegungsk6rpers ein befriedigendes Resultat gewonnen ist, noeh kurz zum Aufbau des Tr~gheits- k6rpers fiber dem Zerlegungsk6rper. Es sei also ~ ~ ~ , ~ ~ ~z, p = ~ ;

4) Zur I)iskriminantentheorie vgl. etwa: W. KRULL, Beitr~ge zur Arithmetik kommu- tativer Integdt~tsbereiche VI, Math. Zeitsohr. 45, 1--19 (1939); zitiert mit DisEr... Dal3 ~ ~-~ ~t mit der, Unverzweigtheit yon ~ fiber ~ gleiehwertig ist, folgt angesiohts des Hauptsatzes der Diskrimlnantentheorie (Diskr. Satz 5, S. 11) sofort aus dem Umstand, dal~ ~t tiber ~ den Grad n g hat, falls n die Anzahl der iiber p liegenden Primideale ~ und g den reduzierten Grad yon ~/~ tiber ~/p bedeutet. (Man beachte, daft angeaiehts der gruppentheoretiscben Definition ~z fiber ~ den Grad n haben muff sowie G. Th., Satz 2a).

6) Zu den benutzten Tatsaehen vgl.: Diskr. § 6 (Unverzweigtbeit yon ~ tiber ~z und yon ~z tiber ~); Diskr. Satz 7, S. 13 (a ~ f ~ ~-~ a ftir jedes ~-Ideal a); Di~kr. Satz 9, S. 13 (Zerfallen yon ~ ~z).

Zur GALomsehen Theorie der arithmetisehen K6rper. 243

---- ~ , ~ = ~ t , P = Pt; aueh sei p das einzige maximale Primideal yon ~Re). Wir wissen dann, dab ~ das einzige maximale Primideal von ~ ist, dab ~ /~ einen separablen Normaloberk6rper yon ~R/~ darstellt, dab die Gruppe von fiber R zur Gruppe yon ~ /~ fiber ~ /p isomorph ist, und dab V ~ = P wird (vgl. G. Th., Satz 2). Auflerdem folgt aus der Unverzweigtheit yon ~ fiber ~R die Giiltigkeit der Gleichung a ~ A ~ = a fiir jedes ~- Idea l a. Man k6nnte unter diesen Umst~nden vermuten, dab die zu p gehSrigen PrimErideale immer umkehrbar eindeutig den zu p gehSrigen entsprechen; dab aber diese Ver- mutung ]alsch ist, zeigt folgende ~berlegung: Es sei O ein bestimmtes, zu geh6riges Prim~rideal, q = q ~ ; dann ist ~ ein zu ~ geh6riges Prim~rideal, und zwar das (mengentheoretisch) kleinste, das mit ~R den Durchsehnitt q hat.

Die Menge aller der zu p geh6rigen Primiirldeale ~', /iir die ~" ~ ~R = q ist, wird durch die Zuordnung ~" ~ ~'/~ umkehrbar eindeutig au/ die Menge aller der Ideale aus dem Ringe ~/~ abgebildet, die mit ~/q nut die Nullklasse gemein haben;

(dabei ist ~ /~ in fiblicher Weise als Oberring von ~/q aufzufassen), l~ber die Menge der genannten Ideale aus ~/~ aber gewinnt man leicht einer~ gewissen t)berblick auf Grund eines Theorems, das G. Th., Satz 2 c) verallgemeinert und das infolgedessen als G. Th., Satz 2 d) bezeichnet werden soil. Zur be- quemen Formulierung von Satz 2 d) fiihren wir die folgenden Bezeichnungen ein:

Ein Ring ~ (mit Einheitselement) sell ~ h e i B e n , wenn ~ nur ein einziges Primideal m enth~lt, so dab das Nullideal ein zu m geh6riges Primer- ideal und ~ / m ein KSrper wird~). Eine einfaehe Ringerweiterung ~ [~] yon sell regulitr algebraische Erweiterung genannt werden, wenn ~ [~] zum Rest- klassenring des Polynomrings ~ [x] naeh einem Primhauptideal (p(x)) iso- morph ist, dessen Basispolynom p (x )= x~W q~ x'*-~+ . . . + q,~ in ein tiber dem KSrper ~ / m = K irreduzibles Polynom iibergeht, wenn man die Koeffi- zienten q~ durch die entsprechenden Restklassen aus ~ / m ersetzt; der Grad n von p(x) wird dabei aueh als der Grad von ~ [~] fiber ~ bezeiehnet. Man sieht leicht: Die einfaehe Ringerweiterung ~ [~] von ~ ist dann und nur dann regular algebraisch, wenn ~ [~] fiber ~ eine endiiehe Modulbasis yon linear

e) Der Ring ~z yon § 1 enthMt fiir ~z ~= ~ mehrere maximale Primideale. Wenn wit aber ~z a~ Ausgangspunkt wahlen, so k6nnen wir ~z dureh den Ring ~R'~ (~z)~ aller Quotienten a/t? (~, fl ~ ~z, ~[ Pz) mit dem einzigen maximalen Primideal 0"-~ 0z ~" und ~ dureh den Ring ~ '~--~ ~" aUer yon ~ ' ganz abh~ngigen Elemente aus ~R mit dem einzigen fiber O' liegenden Primideal ~ ' ~ ~ ~" ersetzen. Die Annahme des Textes ist also statthaft.

7) Die Theorie der primf~ren Ringe wurde yon W. KRULL entwickelt. [Algebralsehe Theorie der Ringe I u. II, Math. Annalen 88, 80--122 (1023) bzw. 91, 1--46 (1924).] Eine Neudarstellung der Theorie und eine Weiterftthrung entsprechend dem heute erreiohten Standpunkt der Algebra verdankt man E. SNAPP~.R [Competely primary rings I~ IV, Annals of Math. 52, 666--693 (1950} bzw. 58, 125--142 (1951) bzw. 58, 207--234 bzw.55, 46--64 (1952)].

17"

244 WOLFGANGKRULL:

unabh~ngigen E l emen ten besi tzt u n d selbst e inen prim~tren Ring mi t dem Pr imideal m • ~ [£] darstel l t s). __ Wi t formutieren je tz t :

G. Th . S a t z 2 d). Bedeu t e t q e i n z u p = Pz geh6riges P r i m i i r i d e a l a u s

= ~ , , so 9eniigt da8 z u p = Pt geh6rige P r i m S r i d e a l ~ = q ~ a u s ~ = a t der

Gle ichung ~ f ~ R = q u n d es w i r d der p r imi i re R i n f f Z== ~ / ~ e ine e in /ache ,

regul i ir alf febraische E r w e i t e r u n g des p r i m d r e n R i n g e s P = ~ / q , wobe i der Grad

yon Z i~ber P gleich d e m Grade yon ~ = ~ t i~ber ~ = ~'z is t . Die Gtiltigkeit yon f'~R = q wurde schon oben festgestellt. DaB P n n d Z prim~re Ringe sind,

ist klar, da p bzw. ~ das einzige Pr imober ideal yon q bzw. ~ darstell t . I s t ferner t der Grad yon ~ = ~ t fiber ~ = ~ , , so gibt es nach dem Beweis yon Satz 2 in G. Th. ein E lement ~ ~ ~ derart , da]~ ~ = ~ [~] wird und daft fiber ~ NullsteUe eines i rreduziblen Polynoms p ( x ) = xt ÷ ql x t - l ÷ " ' " ÷ qt

mit Koeff iz ienten q~ aus ~ ist, das in ein fiber ~ / p irreduzibles Po lynom fiber- geht, wenn man die q~ durch ihre Restklassen modulo p ersetzt. Daraus folgt sofort: Bezeichnet m a n mit ~ die durch ~ definierte l~estklasse aus ~w, so wird Z = P [~] und es stellt ~" eine regular algebraische Erwei te rung t . ten Grades

- ¥ m - 1 ÷ . . . ÷ ~o= 6 ( r ~ P, yon P dar, wenn sich ffir ~ aus r., ~ ,n+ rm_l

m < t) stets ~ = O (i = 0 . . . . . m) ergibt. Bedeu te t aber r i jeweils einen zu ~R

geh6rigen Repr / i sen tan ten yon ~, so fotgt aus ~ ~ m ÷ . . . ÷ ~ = ~ wegen = q ~ , ~ ___ ~ [(~], g t = - - q l fit--1 . . . . . qi eine Gleiehung r m ~ '*+ . ' - ÷ r 0

= s~_~ : i t -~ + " " " -t- s o (s t ~ q), und da ¢¢ tiber ~ keiner Gleiehung niedrigeren als t - ten Grades genfigt, h aben wit: s t _ ~ = s t _ z . . . . . sm+~= 0; s~= r~,

s i = r~= -0 ( i = 1 . . . . , m ) . - - Auf Grund yon G. Th., Satz 2 d) kSnnen wir n u n leieht die Ve rmutung widerlegen, die den Ausgangspunk t unserer ~ber - legungen gebildet hat te . Wir be t raeh ten e inen primi~ren ICing P, dessen Pr imideal m e i n e endliehe Basis w I . . . . . w~ besitzt u n d der Gleiehung m~ = (0) gentigt. D a n n ist jedes w ~ m eine Linearform w = ~ w~ + • • • + ~ w ~ , und

wenn wir m min imal wi~hlen, ist ~1 w~ + • • • + :¢~ w~ + fix w~ + • • • + fl~ w~

s) Da die Beweise ftir die uns interessierenden Satze bei KRm,L und SNxPP~ ziem- lich mfihsam zusammengesueht werden mfissen, seien sie hier kurz skizziert: Im Polynom- ring ~ [x] ist ein Polynom a ( x ) = a, -4- a~ x t . • • + a n x n + . . • + a n + m xn + m (a n ~ m; (an+ ~ . . . . . an+m) g m) stets zu einem eindeut.ig bestimmten Polynom a* (x) = a~ -~-- • • + A- a~-~ x n - 1-4- x n assoziiert. - - (Vgl. § 4 der Arbeit ,,Algebraische Theorie der Ringe I " yon '); die deft gemachte Voraussetzung ,,me ~ (0) ffir grebes p" wird beim Beweise unseres Satzes nicht benutzt.) - - Daraus folgt sofort, dat~ a (x) und b (x) in ~ [x] teiler- fremd sein miissen, falls es im Polynomring K [x] die zugehSrigen Res$klassenpolynome

(x) und b (x) sind. Das wiederum zeig~, dell bei einer regular-algebraischen Erweiterung [~] yon ~ stets ~ [~]/m ~ [~] zu dem OberkSrper K [x]/(p (x)) • K [x] yon K [x] iso-

morph wird und dab entsprechend m ~ [£] das einzige Primideal yon ~ [~] is~. DaB ferner l, ~ . . . . , £n - ~ eine Modulbasis yon linear unabh~ngigen Elementen fiir ~ [~] fiber

bflden, ist ldar. ~ Besitzt umgekehrt ~ [ti] fiber ~ eine Modulbasis yon n linear un- abhitngigen Elementen, so sieht man zun~chst miihelos, dM~ fOx t/eine Gleichung p (~l) ~ tin + qx t i n - 1 + . . . _~ qa---~ 0 gelten mull, wobei 1, ti . . . . . rft - 1 fiber ~ linear unab- hangig sind, so dab £~ [ti] zu ~ [x]/p (x) ~ [x] isomorph wird. Welter zeigt man unschwer: B~sitzt in K [x] des Restklassenpolynom ~ (x) mindestens zwei versc}fiedene irreduzible Faktoren, so gibt es in ~[t~] mindestens zwei verschiedene Primideale; wlrd ~(x)----~(x) (~ > 1)" und ist s (x) ein dot Restklasse s(x) angehSriges Polynom aus ~ [x], so ist s (~/) ein nieht in m ~ [t/] tiegender Nulltefler. Damit ist alles bewiesen.

Zur GALoIssehen Theorie der arithmetisehen K6rper. 245

gleichwertig mit ~ - - fl~ E m (i --- 1 . . . . . m). Daraus folgt, immer unter Be- nutzung yon m2= (0): Die Unterideale yon m entspreehen umkehrbar ein- deutig den Unterr/~umen eines mit m Basisvektoren ¢1 . . . . . Cm gebildeten m-dimensionalen Vektorraumes 31m fiber K = P /m , derart, dab ~1 Wl + " " q- ~ w~ dann und nur dann in dem dem Vektorraume ~B zugeordneten Ideale a liegt, wenn ~1 el q- " " • q- ~ ¢~ zu ~ gehSrt, falls ~ die durch ~ in K defi-

nierte Restklasse bedeutet. - - Es sei jetzt weiter P - ~ P [4] eine echte, re-

gul/~r algebraische Erweiterung yon P, ~ sei die dutch ~ in K = /~ /~ t definierte

Restklasse. Dann ist K = K (~, und es stellen w I . . . . . w~ aueh eine Minimal-

basis yon ~t = m t7 dar. Die Unterideale von m entspreehen also umkehrbar

eindeutig den Unterr~umen des aus ~m durch I~bergang zum GrundkSrper /~

entstehenden Vektorraumes ~ . I s t nun m ~ 2 und bedeutet ~? ein beliebiges,

nicht zu K gehSriges Element aus/~, so sieht man sofort, dab der eindimen- sionale Vektorraum mit dem Basisvektor ¢~ q- ~ ¢~ mit ~ nur den Nullvektor

gemein hat, und das besagt ffir/~: Is t m ~ 2, so gibt es immer P'-Ideale, die mi t P nu t das Nullelement gemein haben. Mit Hilfe dieser Bemerkung zeigen wir jetzt:

1. K o r o l l a r zu G. Th., S a t z 2 d). Is t 3t -- 31z ein NOETHERscher Ring (Ring mi t Maximalbedingung) und ist ?R = ~ von ~ = ~ verschieden, so ent- sprechen die in ~ = ~ zu p = Pt geh6rigen Primdrideale dann und nur dann umkehrbar eindeutig den zu ~ -~ Pz geh6rigen, wenn ~R ein diskreter Bewertungs- ring ist.

Zum Beweis beaehte man: a) Is t ~R ein diskreter Bewertungsring, so ist es auch ~. Es sind also die Potenzen von p bzw. ~ die einzigen Ideale (~= (0)) in 31 bzw. ~, und aus ~ ~ = p [vgl. G. Th., Satz 2 c)] folgt ~mf~31 = p m ffir jedes m. - - b) Da 3~ als NOETHERscher Ring angenommen wurde, ist ps=~ p, und es wird P = 31/~2 ein prim/~rer Ring von dem oben betrachteten speziellen Typus (mit m=O/Os) . Ferner ist ~ f ~ = 0 9' gleiehwertig mit ~_~p2~, (~/O ~ ~) A (31/p~) = O2/p~ (vgl. den ersten Abschnit t v o n § 2). Aus unserem ffir spezielle prim/~re Ringe gewonnenen Resultat ergibt sich also: Sollen die zu gehSrigen Prim~rideale umkehrbar eindeutig den zu ~ gehSrigen entsprechen, so muB ,p/p2 Haupt ideal werden, d .h . es muB in ~R ein Element T geben, derart, dab ~ - - ( p ) q-p~. I s t aber p = ( p ) q -p 2 , so ist auch ~ - - ( p ) J r ~ f/Jr jedes m u n d daraus folgt nach 'einem bekannten Satz fiber ,,Stellenringe" : p = (p).9) __ e) I s t in dem NO]~THERschen Ringe ~ das einzige vorhandene maximale Primideal p ein Hauptideal, so ist ~ notwendig ein diskreter Be- wertungsring.

Lassen wir die Maximalbedingung bei 9~ fallen, so wissen wir, dab immer die Zuordnung ~ - ~ f ~ die zu ~ - - - ~ gehSrigen Prim~rideale umkehrbar ein- deutig auf die zu p = p~ gehSrigen abbildet, wem~ 9t ein ganz beliebiger Be- wertungsring (mit reellzahliger oder auch mit nichtarehimediseh geordneter

~) Vgl. : W. KRULL, Dimensionstheorie in SteUenringen, J. reine u. angew. Math. 179, 204--226 (1938), § 1, Sa~tz 2.

246 W o ~ o ~ o K~v~z,:

Wertgruppe) istl°). Aber es scheint nicht mehr so leicht zu beweisen zu sein, dab dies der einzige Fall der eindeutig umkehrbaren Zuordnung ist, vor allem dann nicht, wenn ~2= p wird. Indessen k6mmn wir diese Frage als sekund~r ansehen; die Hauptsache war zu zeigen, dal] das umkehrbar eindeutige Ent- sprechen gewissermaBen als Ausnahmefall anzusehen ist, und das wird durch das erste Korollar zu G. Th., Satz 2 d) geleistet. I m fibrigen wird der positive Inhal t von G. Th., Satz 2 d) vielleicht noch besser verdeuttieht dureh:

2. K o r o l l a r zu G. Th., S a t z 2 d). Fi~r ein zu p = ~ geh6riges Primiir- ideal ~ u~ird dann und nur dann (~ ~ ) ~ := ~ (~ = ~ ) , w e n n ~ /~ eine regul~ir algebraische Erweiterung yon ~ / ( ~ ~ ~ ) darstellt.

Hach G. Th., Satz 2 d) selbst braucht Mlein das ,,dann" bewiesen zu werden, d. h. man hat (mit ~ = q) zu zeigen: I s t ~ ein echtes Oberideal yon q ~, so ist ~ / q = 2: keine regular algebraische Erweiterung yon ~/q = P. Es sei nun a die beim Beweis yon Satz 2 d) eingefiihrte Nullstelle yon x t + ql x ~ - l + " ' " + q t= p(x) ; ~ bzw. ~ sei das durch a bztv. qi definierte Element aus 2: bzw. P. Dann ist Z = P [~]; ~ t + ~ ~ t - 1 + . . . + ~ = ~, und es gilt aul~erdem noch mindestens eine weitere Gleiehung ~ m + . . . ÷ ro =-~ (ri E P, m < t). W~re dabei ein ri eine Einheit aus P, so mfiBten wegen der Irreduzibiliti~t yon x ~ + q~ x t - ~ ÷ • • • ÷ qt modulo p die Polynome xt~: q~ x~-~ + " " " + ql und rm xm+ " " " + ro aus P [ x ] modulo m = p/q teiler- fremd sein, sie kSnnten daher nicht die gemeinsame Hullstelle ~ haben. Es sind also bei jedem Polynom niedrigeren als t-ten Grades mit der Nullstelle ~ aus P [ x ] alle Koeffizienten in p/q enthalten, d. h. die Elemente 1, -~ . . . . , ~ t - 1 , die eine Basis yon 27 fiber P bilden, sind zwar linear abh~ngig, es li~$t sich aber keines yon ihnen linear fiber P durch die fibrigen ausdrficken. ~7 besitzt demnaeh fiber P keine Modulbasis yon linear unabh~tngigen Elementen, wie es bei einer regular algebraischen Erweiterung der Fall sein miil~te.

§ 3. Htihere Verzweigungsgruppen. Fiir die Verzweigungsgruppe ffS~" ergab sich aus G. Th. und einer im Archiv

der Mathematik erschienene Hote 11) : H a t ~ /p die Charakteristik 0, so ist stets (~, gleich der nut aus dem identischen Automorphismus E bestehenden Gruppe @. H a t dagegen ~ / p Primzahleharakterist ik p, so ist {~, gleich der grSBten invarianten p-Untergruppe der Tr~gheitsgruppe a t . Ein Automor- phismus A ~ a t gehSrt dann und nur dann zu @~, wenn A bei allen irredu- ziblen Darstellungen A (a, am) yon (~, die dutch die endlichen, invarianten ~- Idea le a und ihre maximalen Unterideale a~ erzeugt werden, auf die je- weitige Einheitsmatrix abgebildet wird. Xst ~ und damit auch ~ ein NO~T~ER- seher Ring, so braucht man nieht aUe irreduziblen Darsteltungen A (a, am) zu betrachten, sondern nur die, die bei der Ausreduzierung der (i. a. reduziblen) Darstellung A (p, ~2) auftreten. [Zur Definition der Darstellungen z] (a, am)

~o) Vgt. etwa die in G. Th., Anm. 1 zitierten Arbeitem n) W. Kav~ , Die Verzweigungsgruppe in der GxLoIssehen Theorie der arithmetischen

KSrper, Bd. 2, S. 295--299 (1949).

Zur GALoISschen Theorie der arithmetischen KSrper. 247

bzw. zJ (a, a p) vgl. G. Th., § 2.] - - Es sei nun bei Charakteristik p yon ~/p bereits ~ = ~ , (~ = {~, ~ = ~ ; soll dann ohne weitere Annahmen fiber die Struktur von ~ der Aufbau von ~ fiber ~ n~her untersucht werden, so liegt es nahe, als p.Verzweigungsgruppe (~p diejenige Gruppe einzuffihren, die in G. Th., § 1 und § 4 als ~ 1 bezeiehnet wurde, also unter (~p die Gruppe aller der A C (~ zu verstehen, deren Bild bei allen Darstellungen zJ (ct, a p) die Ein- heitsmatrix ist. Nach G. Th. (§ 2, Satz 8) gilt dann: $~p ist eine invariante Untergruppe von ~ = (~ . Die Faktorgruppe ~,/ffJ,~ ist die grSflte Faktorgruppe yon (~, die eine vollisomorphe Darstellung I I k = 1A (ak, ak P) besitzt.

Was die Struktur yon ( ~ angeht, so weii3 man, daI3 ]edenfatls ( ~ = 6J~

werden muB, wenn ~ = ~ - - ! 3 und dalnit auch ~ = !~ ein Bewertungsring (mit beliebiger Wertgruppe) ist. Denn da jede einzelne Darstellung zJ (a, a ~) eine Darstellung einer p-Gruppe fiber einem KSrper der Charakteristik p ist, muI~ sie bei geeigneter Normierung (~ auf eine Gruppe yon Matrizen der speziellen Form (ccik) (:ci~= 0 (/c ~ i) cci~= 1) abbildenl~), mid da bQi einem

Bewel~ungsring ~ alle Ideale a Hauptideale sind, also alle Darstetlungen eingradig werden, ist bei ibm jede Darstellung zJ (a, a ~) die identische. Die Gfiltigkeit der Gleichung (~,= f f~ bei Bewertungsringen zeigt, dab das Auseinanderfallen yon 6J, und ~ in der klassisehen Theorie der endlichen algebraischen ZahlkSrper kein Gegenstfick hat. Man sieht sich also bei der Unter- suehung yon (~ bzw. beim Studium des Aufbaues yon ~ fiber ~ = ~ , im all- gemeinen Fall nicht einer, sondern zwei Aufgaben gegenfiber: a) Es sind ge- nauere Aussagen fiber ~,p bzw. die Faktorgruppe (~/~6,~ herzuleiten, b) Es ist zu ~ eine Untergruppenkette ~ , ~ = (~0 D (~ ~" " " D (~= ~ zu konstruieren, die als Verallgemeinerung der yon HILB~I~T bei den endlichen algebraischen ZahlkSrpern eingeffihrten Ket te der hSheren Verzweigungsgruppen angesehen werden kann.

Bei dem Problem diixfte es zweckm~Big sein, sich bei einer vorl~ufigen Orientierung auf den Fall zu beschr~nken, dab ~ und damit aueh ~ einen NOm:HERschen Ring darstellt. ])enn einerseits dfirfte eine n~here Unter- suchung yon (~/(~,~ nur dann mSglich sein, wenn es gelingt, endlich viele aus- gezeichnete Ideale Ctl* . . . . . ~* zu finden, derart, da[~ ( ~ bereits dutch die endlich vielen Darstel lungen/I (~*, ct~' p) festgelegt ist. Wie aber eine solche Reduktion ohne eine Endlichkeitsannahme fiber ~ auch nur versucht werden kSnnte, ist nicht zu sehen. Andererseits ist sehon im Speziaffall, dal~ ~ ---- ~ ,

= i~ und damit aueh ~ = ~ ein Bewertungsring ist, also gewisserma~en im einfachsten yon Endlichkeitsannahmen freien Fall, das Problem der Kon- struktion yon ,,hSheren Verzweigungsgruppen" anscheinend nur dann un- gekfinstelt und in allgemein brauehbarer Weise 15sbar, wenn 9~ fiber ~ = ~ ,,vollverzweigt" ist, d. h. wenn der Grad yon ~ fiber ~ und der Index der zu f~

1~) Vgl. z . B . R . KOCHEND•RFER, ~ber treue irreduzible Darstellungen endticher Gruppen, Math. Nachrichten, Bd. 1, 40--61 (1948), Abschn. II, Satz 6.

248 WO~FG~oKavL~:

geh6rigen Wer tg ruppe / " in der zu t~ gehSrigen Wertgruppe/~ den gleichen Wef t habenla).

Es seien also ~ und ~ NOETHERsehe Ringe. / )ann kSnnte man auf den ersten Blick vermuten, daft ~J,~ ebenso wie 6J~ allein mit Hilfe der Darstellung zJ (p, ~ ) bestimmt werden kann. Indessen wird diese Annahme schon dureh das Beispiel yon G. Th., § 4 widerlegt, dutch das in der dortigen Terminologie gezeigt wurde, dal] die (ebenso wie $ , s = 6J,~ in ~ , enthaltene) Gruppe 6J,~ u .U . eine echte Obergruppe yon ~ darstellt. /)ariiber hinaus diirfte es, aueh ohne dab ein Beispiel explizit vorliegt, nieht zu bezweffeln sein, dab F~lle existieren, wo alle Automorphismen aus ~ (fiir beliebig groB vorge- gebenes r) s~mtliche Elemente yon ~ modulo ~r in sieh iiberfiihren, w~hrend gleiehzeitig A (a, a p) fiir ein passendes ~t yon der identisehen /)arstellung Yerschieden ausf~llt. Unter diesen Umsti~nden scheint es aber auch bei den NO~,THERschen Ringen ~ aussiehtslos zu sein, in einer allgemein verbindtichen Weise die Bestimmung yon ~,~ auf die Betraehtung yon endlich v ie len/ )ar - steUungen A (a~, ai p) zuriiekzufiihren; die oben gestellte Aufgabe a) diirfte also selbst im NOET~ERsehen Speziaffall keine befriedigende LSsung besitzen.

Als Ausweg bietet sieh nun die MSglichkeit dar, bei den NOETHERsehen Ringen gar nicht mit der Gruppe ~ = (~z zu arbeiten, sondern mit der Gruppe (B,1, und sieh iiberhaupt bei der Definition der hSheren Verzweigungs- gruppen so eng wie mSglieh an das Vorbild der endlichen algebraischen Zahlk6rper anzusehlieBen. Wir woUen diesen Gedanken zun~ehst unter der Zusatzvoraussetzung durchfiihren, dab ~/~ eine separable Erweiterung yon ~R/p darstellt, d. h. (wegen ~ = ~,), dab ~ /~ = 2/P wird. Man daf t sieh dann bei der Betraehtung des Verhaltens der ~-Elemente gegeniiber den A 6 ~ auf die Elemente aus p besehrKnken, und man erh~ilt sofort den

Satz: Ist ~ ) ~ = ~ , , so ist sicher ~ ~ C p.

Ist niimlich p ~ = ~, so folgt aus ~/~ = ~/p sofort ~/p~-- ~R/p ~ fiir jedes r. Daraus ergibt sich aber fiir a ~ 6 , A ~ @, stets a A ~ a ~ pr, falls a ~ wie iiblieh das Bfldelement yon a hinsichtlich A bedeutet. Da aber wegen der fiir giiltigen Maximalbedingung ~ ¢ ~ = (0) ist~), bedeutet unser Resultat, da~ jedes a durch jedes A in sich iibergefiihrt wird, d. h. man hat ~ = ~R, ~ = ~. Wit definieren jetzt: Unter der i.ten hb'heren Verzweigungsgruppe $,1 (yon hinaichtlich ~) soll die Gruppe atler der A ~ @, verstanden werden, die fiir

I,) Zu den roll vemweigten K6rpern vgl.: M. DE~tNO, Vorzweigungstheorio be- wertetex K6rper, Math. Ann. 10~, 277--307 (1931). - - Allerdings ist es auoh bei ganz beliebigen Bewertungsringen mSglich, in invarianter (also z. B. yon der Auswahl spezieller ~lemento unabhg, ngiger) Weise Ketten yon ,,h6heren Verzweigungsgruppen" @,= (~ ) 0 ~ , ) " '" )@~T~---(E) einzufiihren, derart, dab wie in der klassischen HILB~R~schen Theorie die Quotientengruppen {~,,~/@,,~+~ aUe direkte Produkte yon Gruppen der Ord- nung fl werden. Abet es kommen hier verschiedene Ketten in Betracht, yon denen keine vor der anderen ausgezeichnet ist und dm alle mit irgendeinem Mangel behaftet sind. Vor allem ist es nieht olme weiteres zu sehen, ob die eingefiihrten Gruppen ~ ¢ im voU- verzweigten SpezialfaU stets in die DEuRr~Gschen hSheren Verzweigungsgruppen iiber- gehen.

~4) Vg]. Satz 1 der in 9) zitierten Arbeit.

Zur G~LoIsschen Theorie der arithmetischen KSrper. 249

jedes a 2 p (und damit wegen ~ /~ = ~/p Ftir jedes a E ~) der Bedingung a a - - - a ~ ~ + 1 geniigen15). Es ist dannjede der Gruppen {~,~ in ill,= q~,0 invariant, und man hat q~,0 ~ , 1 ~-~,2 -~ . . . . Ist ferner $ ein zu ~ gehfriges primitives Element yon ~ fiber ~, so muB f'fir jedes A ~= E wegen ~ ~ ~ ' = (0) ein ra existieren, derart, dab ~ a ~ ¢ ~ a . Setzt man r = max (ra), so wird q~,~ = (E); die Kette der q~,i bricht also im Endlichen mit (E) ab. Die Gruppe q~,l, die (ebenso wie ~ v und aus den gleichen Grfinden) bei einem Bewertungsring

= ~ stets mit q~ zusammenf~llt, ist mit der Gruppe q~,1 yon G. Th. identisch.

Es de/iniert also A (~, ~ ) eine vollisomorphe (nicht nur homomorphe) Dar- steUung yon q~,/q~,l. Fiir die Gruppen~,,~+1 (i = 1, 2 . . . . ) dagegen ergibt sich leicht dutch grunds~tzlich geli~ufige Rechnungen: Ist q~3q~ , , ~+~, so ist q~,d~, , ~ +1 abelsch und direktes Produkt yon Gruppen der Ordnung p. Ist n~mlich zun/~chst A E $ , i ; ak E p (k --- I, 2), so ist a A¢ - - a k = bkE PS+ 1; (ax a~)A--a~ a~ = a~ b~ -t- a~ b~ + b~ b~ ~ ~ + 2. Fiir c ~ ~ , A ~ fi~, ~ wird also immer c ~ - c E P~ + ~

A--1 Sind ferner A~, A~ ~ 6~,~; a ~ ~, so wird a ~ - - a = b~ ~ ~ + ~ ; a ~ ~-~ = a = a ~ +

- - . A A - 1 -~- bkk , b -~ b ~ = c ~ ~i+2; a ~ --a+b~,E ~ - ~ . In entsprechendbr Weise

ergibt sich a A~A~A11 A21 "~i + 2, - - a E und diese letzte Relation bedeutet so-

viel wie Ax A~ A~ -1 A 2 ~ (~,i+1. Damit erweist sich (~,i/(~,i+l als Abelsch.

Ebenso leicht erh/~lt man: a A n - a -- ((n + 1) a A n - a) ~ "~i + 2 (A E (~i , a ~ ~; 1 Einheitselement yon ~), und daraus folgt A v ( ~ , i + ~ wegen p ~ ~. - - Da- mit ist der Beweis abgeschlossen.

Die Verzweigungsgruppen ( ~ , i , - die bei einem endlichen algebrMschen ZahlkSrper oder allgemeiner bei einem diskreten Bewertungsring mit den Verzweigungsgruppen im Sinne HILBERTs identisch sind (wobei insbesondere stets q~ i= q~, wird) ~ besitzen also bei einem beliebigen NOET~Rsehen Ringe ® jedenfalls die Haupteigensehaft, die man vom klassisehen Spezial- fall her erwarten konnte. Es liegt nun noeh nahe zu fragen, ob sieh etwa fiir die Ordnungen der Quotientengruppen @,dq~,~+~ (i -~ 1, 2 . . . . ) eine einfach idealtheoretisehe Deutung finden laBt. Indessen ist bier auf den ersten Blick wenigstens keine Antwort zu sehen, und es erseheint zweifelhaft, ob eine Untersuehung in dieser Richtung fiberhaupt lohnt. Handelt es sieh doeh - - im Gegensatz zu der darstellungstheoretisehen Deutung der Gruppe q~, in G. Th. - - bei der Einffihrung der Gruppen @, ium eine rein formale Nachbil- dung der hSheren Verzweigungstheorie der endliehen algebraischen Zahl- kSrper, wobei noeh die Tatsache, dab man anstelle der ohne jede Endliehkeits- annahme definierbaren Gruppe qfi,~ die Gruppe q~,~ setzen muB, als ein zwar unvermeidbarer, aber doeh stSrender SehSnheitsfehler anzusehen is$.

Ist ~ /~ fiber ~/p eeht algebraiseh (natiirlieh total inseparabel), so kann man nieht mehr behaupten, dab ftir ~ ~ ~ immer p ~ ~= ~ sein mull. Dagegen bleiben die ftir die Gruppen ~ , ~ und die Faktorgruppen @,/~,~, q~, i/(~,¢ +~ herge- geleiteten S~tze einsehlielllich ihrer Beweise unverandert giiltig. Ein neues

~) Die Gruppe ~ , der eingeffihrten Reihe ist yon der Gruppe q~, yon G. Th. ver- schieden !

250 WOLFGh~O KRULL :

Moment kommt nur dadurch herein, dab jetzt die Gruppe ~ , i aller der A ( @, die ]iSr jedes a ~ ~ der Bedingung a A - a E "~i + i geniigen, u. U. eine echte Untergruppe you ~,~ sein wird. Da die Frage, wie sich die 0 , i in die h6here Verzweigungstheorie einordnen lassen, sehon bei den diskreten Bewertungs- ringen yon Interesse ist, beschr~nken wi~ uns bei den weiteren Betrachtungen, abgesehen yon einigen wenigen grunds~tzlichen Bemerkungen, auf diesen Speziaffall.

§ 4. Diskrete Bewertungsringe mit unvollkommenem Restklassenkiirper.

Es sei jetzt ~R = ~ und ebenso ~ = ~ ein diskreter Bewertungsring, und es sei ~ /p eine total inseparable Erweiterung yon ~/O, so dab jedenfalls wie in § 3 ~ = ~ , , (~ = ~ , wird; wegen der Besehr~nkung auf Bewertungsringe haben wir dann auBerdem (~ = 6J~1. Dagegen kann ~,1 eine echte Untergruppe • yon 6J,= (~,1 werden, wie das folgende triviale Beispiel zeigt: Es sei ~ der KSrper aller ganzzahligen Polynomquotienten in einer Unbestimmten u, der Unterring aller Quotienten, bei denen nicht s~mtliche Nennerkoeffi- zienten dutch 2 teilbar sind. Ferner werde ~ = ~ [l/u] gesetzt. Dann ist

= ~ [V ~] der Ring aller yon ~ ganz abh~tngigen Elemente aus ~ , und es sind ~ und ~ beide diskrete Bewertungsringe mit dem Primelement 2. ~ /b ist eine inseparable Erweiterung 2. Grades yon ~R/O durch die der Gleichung

@-~2= ~ genfigende Restklasse ~-~ 1~). Die Gruppe (~ mit dem (in leicht verst~ndlicher Symbolik geschriebenen) erzeugenden Automorphismus A------{]/~-~--~/-u} f~llt also jedenfalls mit (~,= (~,1 zusammen. Andererseits besteht ~ 1 nur aus dem identischen Automorphismus E; denn man hat: (l/u) ~ - - l / u = - - 2 l/u(~ ~ = (4). ~ . Es ist also bei den diskreten Bewer tungsringen mit unvollkommenem Restklassenk6rper nicht zuldssig, ~,1 anstslle yon ~ 1 , also die Verzweigungsgruppe schlechthin einzu/i~hren, obwohl die Bevorzug ung yon ~, vor ~,1 angesiehts des Vorbilds der endlichen algebraischen Zahlk5rper an sieh naheli~ge. - - Wir zeigen jetzt zuniichst:

Es wird stets ~,,i+1 =- ~ , i , d. h. man hat

Es sei n~mlich z~ ein Primelement aus ~ - - - ~ , q beliebig aus ~. Dann hat man fiirA~(~,,~+~: g A = g ~ i + ~ ; (ga)A zea~'~i+2; ze(aA a)~'~i+~; a A - a ~ ~i + ~. __ W~re ~ kein Bewertungsring, sondern ein beliebiger NOETHER- seher Ring, so k6nnte man auf entspreehende Weise nu r zeigen: Ist A ~ (~,,i+~ und a beliebig aus ~, so wird ~ ( a A - - a ) ~ + u ; aber daraus bmucht nieht immer a A - a ~ ~i + 1 zu folgen. Es ist also nicht sieher, ob sieh bei einem beliebigen NOET~E~schen Ringe ~ die ~ ebenso einfaeh zwischen die $ ~

einordnen lassen wie bei einem diskreten Bewertungsring ~ = ~ . ~ Es han- delt sieh nun datum, Klarheit dariiber zu gewinnen, was durch die Einfiihrung der ~,~ neben den (~,~ mSglicherweise erreicht werden kann. Hierzu zun~chst einige grunds~tzliehe Bemerkungen:

~) Dutch den Querstrich kennzeichnen wir den t2~berg~ng yore Element aus ~ zur Restkla~e modulo p.

Zur G~Lo~sschen Theorie der arithmetischen K(lrper. 251

Es seien ~ i und ~ ) ~1 zwei fiber $ normale K6rper zwisehen ~ und ~, und es werde ~ k = ~ k , P~= P ~ (k -- 1, 2) gesetzt. Dann kann einerseits a) ein Primelement des Bewertungsringes ~1 im Bewertungsring ~2 seinen Primelementcharakter verlieren (,, Verzweigung"), andererseits kann b) ~ /P2 ein eehter OberkSrper yon ~I/PI werden (,,Resterweiterung"). Trit t nur a) bzw. nur b) ein, so sprechen wir yon einer ,,reinen Verzweigung" bzw. ,,reinen Resterweiterung" (beim ~bergang yon ~t zu ~2). Als wfinschenswert erscheint es offenbar, in allgemeinverbindlicher Weise eine KSrperkette

= ~ , : ~0 ( ~ 1 ( ~ 2 ( " " " ( ~ n = ~

so festzulegen, dab alle ~ i fiber ~ normal sind und dab beim l~bergang yon ~ i zu ~ i +1 stets entweder eine reine Verzweigung oder eine reine Resterweite- rung stattfindet. Bezeiehnet weiter ~ , i bzw. ~ t den zu (~,~ bzw. ~ i im Sinne der GALoisschen Theorie gehSrigen KSrper, so liegt die Vermutung nahe, dab mSglieherweise bereits die Ket te ~ : ~ 1 -~ ~J~l C~,~ _c_ . ~ C - • • (abge- sehen vonde r unvermeidlichen Zulassung der Gleiehheitszeichen) eine KSrper- kette der gewfinsehten Art darstellt. DaB abet die Verh~ltnisse imWirklich- keit nicht so einfach liegen, zeigen die folgenden beiden Beispiele:

Es mSgen ~ und ~ die gleiche Bedeutung haben wie in dem oben kon-

1 + i , sehlieB- struierten Beispiel ffir ~,1 ((~,1. Ferner sei ~ ' = ~ (e) m i t e - V2-

]ich bedeute w eine Nullstelle des fiber ~ ' irreduziblen Polynoms x ~ - u (,,Bei- spiel 1") bzw. des gleiehfalls fiber ~ ' irreduziblen Polynoms x ~ - (1 ~- e) x - - u (,,Beispiel 2"), und es werde ~ -- ~ ' (w) gesetzt. Dann verffiziert man miihe- los: Es ist ~ ' : 9t [el bzw. ~ : ~ ' [w] : 91 [~, w] der Ring aller yon ~ ganz abh~ngigen Elemente aus ~ ' bzw. ~. Sowohl ~ ' als ~ sind diskrete Be- wertungsringe mit dem Primelement ~ = 1-~ e, das den Gleichungen ~ : ~/2-. ~ • (1 ÷ ] /~ , ~ d : 2 i (1 + ]/~)~ genfigt. (Beaehte, dab aui~ere u n d e r : i auch 1 ÷ ~/2-: ( V 2 - 1 ) -~ in ~ Einheit.) Welter wird ~ ' / ~ ' : 91/p, w~hrend ~/~ eine inseparable Erweiterung yon 91/0 dureh eine Nullstelle ~w des Polynoms x~--~ ist 1~) (p : (1 ?- e), p ' : p ~ ' ) . Der KSrper ~ ist fiber ~ normal vom Grade 8. Seine Gruppe ~, die die Verzweigungsgruppe yon p hinsichtlich 91 darstellt, ist abelsch und direktes Produkt von Gruppen der Ordnung 2. Erzeugende yon (~ sind die Automorphismen

_-- w w } ,

B =_ w w} s o w i e

P=-- ( ~ / 2 - ~ , i-~i, w-~--w} (Beispiel 1) bzw.

P ~ (~/2-~ ~2,, i--i, w-~l q- e--w} (Beispiel 2).

Zur Bestimmung der Gruppen {~,~ und 0,~ genfigt es offenbar, das Verhatten yon 1 -~ e gegenfiber A, B, sowie das yon w gegenfiber P festzustellen. Ffir 1 ~- e erh/~lt man gleichm~Big in beiden Beispielen: (1 q- e) A - (1 ~- ~) = =--i~/2E~a; ( l + e ) B - - ( l + ~ ) - - - - - - - ( l + i ) V 2 - = - - 2 e E O , ~ . F f i r w d a - gegen findet man je naeh seiner Definition:

252 WOL~GA~a KRULL : Zur G~J~OIsschen Theorie der arithmetischen KSrper.

w P - w ---- 2 w E ~yl, ~ ~5 (Beispiel 1)

w P - w = (1 + e) -- 2 w ~ p, ~ p~ (Beispiel 2).

Bezeiehnen wir nun die dureh A und B erzeugte Gruppe mit (A, B) usw., so folgt aus den gewonnenen Relationen miihelos:

Beispiel 1 : $ = $ , 1 = ~,1; (B, P) = $ , 3 = ~ ,~= $ , 3 = 0,s; (E) = $,4- Beispiel 2: $ = $ , 1 ; (A, B ) = 9,1; ( B ) = $ ~ = ~ ) , ~ = $ , s = 9,8; ( E ) = $ , 4 .

Bedeutet also 9~(a ' s) den zur Gruppe (A, B) gehSrigen KSrper usw., so liefern die Gruppen $ , i , ~ , i in den beiden Beispielen folgende NormalkSrperketten:

= ~ C ~ = 9~z (Beispiet 2). Unter Beriieksiehtigung der Gleiehungen 92~B, p} = ~ (i), ~ x , n> = ~ (w), 92~n)= ~ (w, i) verifiziert man nun sofort: In Beispiel 2 ist die Ket te 9~0 ( ~x C ~ C ~a eine KSrperkette der yon uns gewfinsehten Art; beim ]~bergang yon ~o zu ~1 hat man eine reine Resterweiterung; bei den ~berg~ngen von 9~x zu 9~ und yon 9~2 zu 9~z dagegen je eine reine Verzweigung. In Beispiel 1. aber entspricht die Kette ~0 C ~1 C 9~z unseren Wfinsehen nicht; denn beim Ubergang yon 9~x zu ~ erfolgt gleichzeitig eine Resterweiterung und eine Verzweigung.

Die Bilanz unserer Betraehtungen kann kurz so gezogen werden: In der Verzweigungstheorie der diskreten Bewertungsringe mit unvoUkommenem RestklassenkSrper sind die Gruppen $ ~ unentbehrtich. Die Gruppen ~,~ kSnnen zur Not entbehrt werden, doeh bedeutet ihre Zwisehenschaltung un- bedingt eine wiinsehenswerte Verfeinerung. Allerdings liefern aueh die @~ und die 0~ ~ zusammen nicht immer fiir den EndkSrper fiber dem Verzweigungs- k6rper eine ZwisehenkSrperkette, bei der inseparable Resterweiterungen und Verzweigungen getrennt sind. - - Welter auf die Verzweigungstheorie der diskreten Bewertungsringe mit unvollkommenen RestklassenkSrper einzu- gehen, besteht im Rahmen der vorliegenden Note kein AnlalL

(Eingeganyen am 19. Dezember 1952.)