Zusammenfassung der HM I fur Physiker¨lucaskunz.mpillich.de/wp-content/uploads/2018/09/Zusammenfassung-der-HM-I-2018.pdf · 0 VORWORT 6 0 Vorwort Diese Zusammenfassung basiert auf

Zusammenfassung der HM Ifur Physiker

Autor:

Lucas Kunz

8. Februar 2019

INHALTSVERZEICHNIS 2

Inhaltsverzeichnis

0 Vorwort 6

1 Aussagenlogik 71.1 Logische Verknupfungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Quantoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Mengen 92.1 Definition und Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 De Morgan’sche Regeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Potenzmengen und kartesisches Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.4 Relationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Funktionen 113.1 Definition und Begrifflichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2 Verkettung und Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4 Reelle Zahlen 124.1 Konstruktion und Axiomatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.2 Einschub: Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.3 Naturliche Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.4 Beweise durch vollstandige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.5 Ganze und Rationale Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.6 Formeln und Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.7 Wurzeln und Exponenten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5 Komplexe Zahlen 185.1 Konstruktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.2 Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.3 Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5.3.1 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

6 Folgen und Konvergenz 206.1 Definition einer Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206.2 Konvergenz von Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206.3 Besondere konvergente Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216.4 Teilfolgen und Haufungswerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216.5 Satz von Bolzano-Weierstraß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216.6 Cauchy-Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216.7 Limites inferior und superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226.8 Endlichkeit und Abzahlbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

7 Reihen 237.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237.2 Wichtige Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237.3 Absolute Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247.4 Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

7.4.1 Monotoniekriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247.4.2 Cauchy-Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

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7.4.3 Leibniz-Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247.4.4 Majoranten-/ Minorantenkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247.4.5 Wurzelkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257.4.6 Quotientenkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

7.5 Umordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257.5.1 Riemann’scher Umordnungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

7.6 Cauchy-Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267.7 Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267.8 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277.9 Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

7.9.1 Konvergenzradius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287.10 Funktionenfolgen und -reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

7.10.1 Punktweise Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287.10.2 Gleichmaßige Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287.10.3 Beispiel zur Unterscheidung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297.10.4 Kriterien fur verschiedene Arten der Konvergenz . . . . . . . . . . . 297.10.5 Nachtrag: Definition der Supremumsnorm . . . . . . . . . . . . . . 30

8 Stetigkeit 318.1 Definition von Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318.2 Stetigkeit bei Kompositionen von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 318.3 Stetigkeit von Grenzfunktionen und Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . 318.4 Grenzwerte von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

8.4.1 Delta-Umgebungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318.4.2 Haufungspunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318.4.3 Grenzwert-Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328.4.4 Eigenschaften von Grenzwerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328.4.5 Vertauschen von Grenzwerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338.4.6 Einseitige Grenzwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

8.5 Zwischenwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338.6 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348.7 Allgemeine Potenz und Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348.8 Abgeschlossenheit und Kompaktheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

9 Trigonometrische und Hyperbelfunktionen 359.1 Sinus und Cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359.2 Tangens und Cotangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359.3 Komplexe Zahlenebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369.4 Sinus und Cosinus Hyperbolicus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369.5 Tangens Hyperbolicus und Umkehrfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 37

10 Differentialrechnung 3810.1 Definition der Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3810.2 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

10.2.1 Linearitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3810.2.2 Produktregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3810.2.3 Quotientenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3810.2.4 Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3910.2.5 Ableitung der Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

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10.3 Innere Punkte und Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3910.4 Mittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3910.5 Verallgemeinerter Mittelwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4010.6 Regel von l’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4010.7 Mehrfache Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4010.8 Satz von Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

10.8.1 Spezialfall n = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4110.9 Eigenschaften von Extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4110.10Ableitungen von Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4210.11Abelscher Grenzwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4210.12Identitatssatz fur Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

11 Integration 4411.1 Definition des Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

11.1.1 Riemann-Summen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4511.2 Grundlegende Eigenschaften des Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4511.3 Integrierbarkeit von Kompositionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4611.4 Gleichmaßige Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4611.5 Stammfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4711.6 I. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . 4711.7 II. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . 4811.8 Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4811.9 Substitutionsregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

11.9.1 Ubliche Substitutionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

12 Fortgeschrittene Integration 5012.1 Integrale uber Funktionenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5012.2 Stammfunktionen von Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5012.3 Ableitungen von Funktionenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5112.4 Uneigentliche Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

12.4.1 Typ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5112.4.2 Typ 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5112.4.3 Typ 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

12.5 Konvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5212.5.1 Absolute Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5212.5.2 Cauchy-Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5212.5.3 Minoranten und Majoranten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5212.5.4 Integralkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

13 Differentialgleichungen 5413.1 Differentialgleichungen erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

13.1.1 Lineare DGL erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5513.1.2 DGL mit getrennten Veranderlichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

13.2 Lineare DGL zweiter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5613.2.1 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

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14 Grundlagen der linearen Algebra 5914.1 Korper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5914.2 Gruppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5914.3 Vektorraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6014.4 Untervektorraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6014.5 Lineare Abhangigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6014.6 Lineare Hulle und Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6114.7 Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6114.8 Norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6214.9 Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

14.9.1 Matrix-Addition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6314.9.2 Matrix-Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6314.9.3 Matrix-Vektor-Produkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

14.10Lineare Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6414.11Kern einer Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6514.12Bild einer Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6514.13Inverse Matritzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6514.14Rangsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6514.15Lineare Gleichungsysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

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0 VORWORT 6

0 Vorwort

Diese Zusammenfassung basiert auf der von Dr. Christoph Schmoger im Wintersemester2014/15 gehaltenen Vorlesung

”Hohere Mathematik I fur die Fachrichtung Physik“. Sie ist

nicht als offizielle Lernhilfe von Seiten der Ubungsleiter entstanden, sondern privat erstelltworden. Samtliche Angaben, Formeln, Berechnungen, Herleitungen und Schilderungensind daher ohne Gewahr und es besteht kein Anspruch auf inhaltliche Richtigkeit oderVollstandigkeit. Es ist zu bemerken, dass auch etwaige bereits im Skript enthaltene Fehlermit großer Wahrscheinlichkeit in dieses Dokument ubernommen wurden.

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1 AUSSAGENLOGIK 7

1 Aussagenlogik

1.1 Logische Verknupfungen

Die Grundlage aller mathematischen Logik besteht in Aussagen. Eine solche Aussagekann entweder wahr (w) oder falsch (f) sein. Auf Basis dessen lassen sich logische Ver-knupfungen definieren, welche Aussagen in Relation zueinander stellen. Seien hierzu Aund B Aussagen, dann definiert man:

• Das logische UND: Diese Verknupfung ist genau dann wahr, wenn beide AussagenA und B wahr sind.

A w w f fB w f w f

A ∧ B w f f f

Tabelle 1: Logisches UND

• Das logische ODER: Diese Verknupfung ist genau dann wahr, wenn mindestens eineder Aussagen A und B wahr ist.

A w w f fB w f w f

A ∨ B w w w f

Tabelle 2: Logisches ODER

Als weitere Moglichkeit der ODER-Verknupfung existiert das sogenannte exklusiveODER, welches nur dann wahr ist, wenn genau eine der Aussagen A und B zutrifft.Der Unterschied besteht also darin, dass die Relation falsch ist, wenn beide Aussagenwahr sind.

• Negation: Die Negation kehrt den Wert einer Aussage in ihr Gegenteil um.

A w f¬A f w

Tabelle 3: Negation

• Implikation: Die Logiktafel der Implikation ist relativ kurz in Worte zu fassen.Grundsatzlich kann eine wahre Aussage keine falsche implizieren, alle anderen Kom-binationen hingegen sind moglich.

A w w f fB w f w f

A ⇒ B w f w w

Tabelle 4: Implikation

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1 AUSSAGENLOGIK 8

• Aquivalenz: Diese Aussage ist wahr, wenn beide Aussagen A und B den selbenWahrheitsgehalt haben.

A w w f fB w f w f

A ⇔ B w f f w

Tabelle 5: Aquivalenz

Fur die Kombination der eben eingefuhrten Relationen existieren naturlich einige Regeln.Die wichtigste davon ist, dass die Negation immer starker Bindet (also fruher ausgefuhrtwird) als alle anderen Operatoren. Insbesondere vertauschen außerdem bei Negation dieOperatoren UND und ODER. Dadurch kommen die folgenden Eigenschaften zustande:

1. ¬(¬A) ⇔ A

2. ¬(A ∧B) ⇔ (¬A) ∨ (¬B)

3. ¬(A ∨B) ⇔ (¬A) ∧ (¬B)

4. (A ⇔ B) ⇔ [(A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A)]

5. (A ⇒ B) ⇔ (¬B ⇒ ¬A) ⇔ (¬A ∨ B)

Diese Regeln gelten nicht nur fur Aussagen, sondern auch fur sogenannte Aussagefor-men. Dies sind Satze, die durch konkrete Belegung mit einer Variablen zu einer Aussagewerden. Beispiel:

”x ist eine Primzahl.“

1.2 Quantoren

Da einige Formulierungen in der Mathematik sehr haufig auftreten, hat man dafur Kurz-schreibweisen in Form von Symbolen entwickelt. Diese bezeichnet man als Quantoren,welche es in zwei Varianten gibt:

• Der Allquantor: ∀x : A(x) bedeutet, dass die Aussageform A fur alle x wahr ist.

• Der Existenzquantor: ∃x : A(x) bedeutet, dass es mindestens ein x gibt, mitwelchem die Aussageform A wahr ist. Es existiert weiterhin die Schreibweise mitAusrufezeichen, ∃!x : A(x). Diese druckt aus, dass es genau ein x gibt fur das dieAussageform wahr ist.

Es ist bei der Anwendung von Quantoren auf die Reihenfolge zu achten, insbesondere inRelation mit Aussageformen, die von mehreren Variablen abhangen:

• ∀y ∃x : A(x, y) bedeutet, dass man zu jedem y ein x finden kann, sodass A wahr ist.Dieses x kann aber zu jedem neuen y immer ein anderes sein.

• ∃x ∀y : A(x, y) bedeutet hingegen, dass es ein universelles x gibt, fur das die Aussagemit allen beliebigen y wahr ist.

Dieser feine Unterschied, ob x jeweils verschieden oder immer das selbe ist, macht auchfur einige mathematische Definitionen etwas aus. So basiert darauf z. B. der Unterschiedzwischen punktweiser und gleichmaßiger Konvergenz (siehe Kapitel 7.10).

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2 MENGEN 9

2 Mengen

2.1 Definition und Eigenschaften

Laut Cantor ist eine Menge definiert als”eine Zusammenfassung wohl unterschiedener

Objekte unserer Anschauung oder unseres Denkens zu einem Ganzen“. Uber eine einfacheMenge hinaus existieren einige Verknupfungen zwischen mehreren Mengen, welche imFolgenden als M und N bezeichnet werden:

• M ist Teilmenge von N : M ⊆ N ⇔ ∀x ∈ M : x ∈ N .

• M und N sind identisch: M = N ⇔ (M ⊆ N ∧N ⊆ M).

• M ist ein echter Teil von N : M ⊆ N ∧M 6= N ⇔ M ( N . Manchmal schreibt manauch nur M ⊂ N und betont die Ungleichheit nicht speziell.

• Schnitt zweier Mengen: M ∩N := {x : x ∈ M ∧ x ∈ N}.

• Vereinigung zweier Mengen: M ∪N := {x : x ∈ M ∨ x ∈ N}.

• Differenz zweier Mengen: M \ N := {x : x ∈ M ∧ x /∈ N}. Alternativ kann manauch schrieben M ∩ (¬N), wobei ¬N := {x : x /∈ N}.

• Die leere Menge ∅ oder auch {} enthalt keine Elemente.

2.2 De Morgan’sche Regeln

SeienQ,M undN Mengen, dann gelten zwei Gleichungen, welche als die De Morgan’schenRegeln bezeichnet werden:

Q \ (M ∪N) = (Q \M) ∩ (Q \N) (2.1)

Q \ (M ∩N) = (Q \M) ∪ (Q \N) (2.2)

Diese folgen grundsatzlich aus der Tatsache, dass sich logischen UND und ODER beiNegation vertauschen. In der Sprache der Mengenrelationen steckt die Negation in derDifferenz \, das UND entspricht dem ∩ und das ODER dem ∪. Letztere beiden Zei-chen sind auch in der graphischen Darstellung jeweils nur die abgerundete Version ihrerlogischen Verwandten, wodurch das Analogon offensichtlich wird.

2.3 Potenzmengen und kartesisches Produkt

Sei M eine Menge, dann ist Pot(M) := {N : N ⊆ M} die sogenannte Potenzmengevon M . Diese entspricht der Menge aller Teilmengen von M . Hierbei sind sowohl die leereMenge ∅ als auch M selbst immer Teil von Pot(M). Beispiel: Sei M := {1, 2}, dann istPot(M) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}}. Man muss also in Potenzmengen immer die Mengenklam-mern beachten, denn die Elemente von Pot(M) sind selbst Mengen und keine Zahlen.

Sei n ∈ N, n ≥ 2 und M1,M2, ...,Mn seien Mengen, dann heißt

M1 ×M2 × . . .×Mn := {(x1, x2, ..., xn) : xj ∈ Mj ∀j ∈ {1, 2, ..., n}} (2.3)

das kartesische Produkt der Mengen M1 bis Mn. Die entstehenden Elemente sindsogenannte n-Tupel, mit welchen z. B. ein Koordinatensystem konstruiert werden kann.

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2 MENGEN 10

2.4 Relationen

Es seien X und Y zwei Mengen und die Menge R ⊆ X × Y sei eine Teilmenge derenkartesischen Produkts. In der Menge R sind also jeweils Tupel aus Elementen x aus Xund Elementen y aus Y . Man schreibt nun statt (x, y) ∈ R auch xRy und spricht dies als

”x steht in Relation mit y“. R setzt also x und y in eine gewisse Beziehung zueinander.Da es zahlreiche Moglichkeiten gibt, zwei Mengenelemente zueinander in Verbindung zusetzen, hat man einige Begrifflichkeiten etabliert, um solche Relationen zu klassifizieren:

• Reflexivitat: ∀x ∈ X : xRx.

• Symmetrie: Aus xRy folgt stets yRx.

• Antisymmetrie: Aus xRy und yRx folgt stets x = y.

• Transitivitat: Aus xRy und yRz folgt stets xRz.

• IstR reflexiv, symmetrisch und transitiv, so nennt man es eine Aquivalenzrelation.

• Ist R reflexiv, antisymmetrisch und transitiv, so nennt man es eine Ordnungsre-lation.

Ist R eine Aquivalenzrelation, so kann man weiterhin sogenannte Aquivalenzklassendefinieren. Ist R ⊆ X × X eine solche Aquivalenzrelation innerhalb ein und derselbenMenge X, dann bezeichnet man

[x]R := {y ∈ X : xRy} (2.4)

als die Aquivalenzklasse von x ∈ X bezuglich der Relation R.In den meisten Fallen ist die Anzahl verschiedener Aquivalenzklassen beschrankt. Beispiel:R := {(x, y) ∈ Z × Z : x − y ist gerade}. In diesem Fall ist [0]R = [2]R = [4]R = ... undebenso gilt [1]R = [3]R = ..., weshalb es nur zwei unterschiedliche Aquivalenzklassen gibt.

Es ist anzumerken, dass der Inhalt dieses Kapitels 2.4 im Winter 2016/17 nicht Teildes Skripts und daher auch nicht Teil der Klausur war. Entsprechendes gilt demnach allerVoraussicht nach auch fur das laufende Wintersemester 2017/18.

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3 FUNKTIONEN 11

3 Funktionen

3.1 Definition und Begrifflichkeiten

Es seien im Folgenden stets X, Y , Z und W nichtleere Mengen. Dann nennt man f eineFunktion (oder Abbildung), wenn f : X → Y jedem x ∈ X genau ein y ∈ Y zuordnet.Man schreibt dann auch y = f(x). Die Menge X heißt Definitionsbereich der Funktionf , die Menge Y heißt Wertebereich.Die Menge {(x, f(x)) : x ∈ X} bezeichnet man als Graph von f . Fur eine TeilmengeA ⊆ X nennt man f(A) := {f(x) : x ∈ A} das Bild von A unter der Funktion f . DasBild der Gesamten Definitionsmenge f(X) bezeichnet man als Bildmenge von f .Ist B ⊆ Y , dann heißt f−1(B) := {x ∈ X : f(x) ∈ B} das Urbild von B unter derFunktion f . Es ist hierbei darauf zu achten, dass zwar die Schreibweise identisch zur imFolgenden definierten Umkehrfunktion ist, ein Urbild allerdings auch unabhangig von die-ser existiert. Nur im Spezialfall, dass f umkehrbar ist, entspricht das Urbild von B unterf dem Bild von B unter der Umkehrfunktion f−1.

Zusatzlich zu den eben genannten Begriffen zur Beschreibung der an einer Funktions-definition beteiligten Mengen existieren drei wichtige Bezeichnungen, welche sich an denspeziellen Eigenschaften einer Funktion orientieren. Eine Funktion f ist ...

• ... surjektiv, falls f(X) = Y ist, also wenn sie auf den ganzenWertebereich abbildet.

• ... injektiv, wenn aus f(x1) = f(x2) mit x1, x2 ∈ X immer folgt, dass x1 = x2, alsowenn sie nie den gleichen Wert zweimal annimmt.

• ... bijektiv, falls sie surjektiv und injektiv ist.

3.2 Verkettung und Umkehrfunktion

Seien f und g Funktionen, f : x → Y , g : Y → Z, dann ist die Komposition der beidenFunktionen auch eine Funktion: g ◦ f : X → Z mit (g ◦ f)(x) := (g(f(x)). Existiertweiterhin h : Z → W , dann ist h◦ (g ◦f) : X → W eine Funktion. Man kann also beliebigviele Funktionen miteinander verketten. Weiterhin ist die Verkettung assoziativ, also gilt

h ◦ (g ◦ f) = (h ◦ g) ◦ f. (3.1)

Ist f bijektiv, dann existiert eine sogenannte Umkehrfunktion mit der Eigenschaft

(f ◦ f−1)(x) = (f−1 ◦ f)(x) = x. (3.2)

Dadurch gilt also mit f(x) = y, dass f−1(y) = x. Weiterhin ist auch (f−1)−1(x) = x.Die Umkehrfunktion macht also sozusagen die Wirkung von f ruckgangig und doppelteInversion liefert die ursprungliche Funktion zuruck. Weiterhin haben Umkehrfunktioneneine spezielle Eigenschaft bezuglich Verkettungen:

(g ◦ f)−1 = f−1 ◦ g−1. (3.3)

Dies nennt man die”Hemd-Jacke-Regel“. Der Begriff kommt daher, dass man beim aus

dem Haus gehen (ublicherweise) zuerst ein Hemd und dann eine Jacke anzieht, beimzuruckkommen aber zuerst die Jacke und dann das Hemd ablegt. Eine ahnliche Inversionder Reihenfolge tritt auch beim Umkehren von Verkettungen auf.


4 REELLE ZAHLEN 12

4 Reelle Zahlen

4.1 Konstruktion und Axiomatik

Die reellen Zahlen R sind die Grundmenge der Analysis. Auf dieser Menge sind zweiVerknupfungen

”Plus“ + : R × R → R und

”Mal“ · : R × R → R definiert, die jeweils

zwei Elemente aus R auf ein drittes abbilden, das ebenfalls in R liegt. Weiterhin nehmenwir insgesamt 15 Axiome als gegeben an:

1. Assoziativgesetz der Addition: ∀a, b, c ∈ R : (a+ b) + c = a+ (b+ c).

2. Neutrales Element der Addition: ∃0 ∈ R ∀a ∈ R : a+ 0 = a.

3. Inverses Element der Addition: ∀a ∈ R ∃ − a ∈ R : a+ (−a) = 0.

4. Kommutativgesetz der Addition: ∀a, b ∈ R : a+ b = b+ a.

5. Assoziativgesetz der Multiplikation: ∀a, b, c ∈ R : (a · b) · c = a · (b · c).

6. Neutrales Element der Multiplikation: ∃1 ∈ R ∀a ∈ R : a · 1 = a.

7. Inverses Element der Multiplikation: ∀a ∈ R \ {0} ∃a−1 ∈ R : a · a−1 = 1.

8. Kommutativgesetz der Multiplikation: ∀a, b ∈ R : a · b = b · a.

9. Distributivgesetz: a · (b+ c) = a · b+ a · c.Diese neun Axiome bezeichnet man als die Korperaxiome. Diese werden nicht nur vonR, sondern von jedem mathematischen Korper erfullt. Uber diese hinaus gelten fur R wei-terhin die sogenannten Anordnungsaxiome. Diese beziehen sich auf die auf R definierteOrdnungsrelation ≤:

10. ∀a, b ∈ R : a ≤ b oder b ≤ a.

11. Aus a ≤ b und b ≤ a folgt stets a = b.

12. Aus a ≤ b und b ≤ c folgt stets a ≤ c.

13. Aus a ≤ b folgt a+ c ≤ b+ c ∀c ∈ R.

14. Aus a ≤ b und a ≤ c folgt a · c ≤ b · c.Das letzte der bereits erwahnten 15 Axiome ist das sogenannte Vollstandigkeitsaxiom.Dieses lautet folgendermaßen:

15. Ist ∅ 6= M ⊆ R und ist M nach oben beschrankt, so existiert das Supremum supM . Analog existiert fur nach unten beschrankte Mengen M das Infimum inf M .

Zunachst mussen nun naturlich die darin auftauchenden Begriffe erlautert werden. EineMenge heißt nach oben beschrankt, wenn ∃γ ∈ R : x ≤ γ ∀x ∈ M . In diesem Fallbezeichnet man γ als obere Schranke von M . Da man beliebig viele dieser Zahlen γ findenkann (sind alle Elemente von M kleiner als 10, dann sind sie auch kleiner als 11,12,13,...)ist nur die kleinste von Bedeutung. Diese kleinste obere Schranke einer Menge nennt manihr Supremum. Liegt dieses γ innerhalb der Menge selbst, dann bezeichnet man es auchals ihr Maximum. Ganz analog wird die großte untere Schranke als Infimum und daskleinste Element von M als Minimum bezeichnet. Es gilt immer inf M ≤ sup M undentsprechend auch min M ≤ max M . Weiterhin gilt:


4 REELLE ZAHLEN 13

• Ist ∅ 6= B ⊆ A ⊆ R und A ist nach oben/unten beschrankt, dann ist auch B nachoben/unten beschrankt und es gilt sup B ≤ sup A bzw. inf B ≥ inf A.

• Ist A nach oben beschrankt und γ eine obere Schranke von A, dann ist γ =sup A ⇐⇒ ∀ǫ > 0 ∃x ∈ A mit x > γ − ǫ. Die Werte x ∈ A kommen demSupremum also beliebig nahe, allen anderen oberen jedoch Schranken nicht.

• Ist A nach unten beschrankt und γ eine untere Schranke von A, dann ist γ =inf A ⇐⇒ ∀ǫ > 0 ∃x ∈ A mit x < γ + ǫ. Die Werte x ∈ A kommen dem Infimumalso beliebig nahe, allen anderen unteren jedoch Schranken nicht.

Nachdem nun die Definition der reellen Zahlen an sich abgeschlossen ist mangelt es zurRechnung nur noch an Schreibweisen und einer speziellen Operation. Aus den erstge-nannten ist insbesondere eine einfache Methode relevant, Teilmengen aus R zu definieren,sogenannte Intervalle. Die Beschreibung derer verlauft (wie bereits aus der Schule be-kannt) folgendermaßen:

• Geschlossenes Intervall: [a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ∧ x ≤ b}.

• Rechtsseitig offenes Intervall: [a, b) := {x ∈ R : a ≤ x ∧ x < b}.

• Linksseitig offenes Intervall: (a, b] := {x ∈ R : a < x ∧ x ≤ b}.

• Offenes Intervall: (a, b) := {x ∈ R : a < x ∧ x < b}.

Ist die eine Seite eines Intervalls offen (bis ∞), dann schreibt man dies als [a,∞) := {x ∈R : a ≤ x}. Analog verlauft dies mit (−∞, b] := {x ∈ R : x ≤ b}.Die erwahnte wichtige Operation ist der Betrag einer Zahl. Fur ein beliebiges x ∈ R istdieser bekanntlich definiert als

|x| ={

x falls 0 ≤ x

−x falls x < 0. (4.1)

Sind a, b, c ∈ R wobei 0 ≤ c, dann gehorcht diese Operation den folgenden Regeln:

• |a| ≤ 0, |a| = 0 ⇔ a = 0

• |a · b| = |a| · |b|

• a ≤ |a|, −a ≤ |a|

• |a| ≤ c ⇔ −c ≤ a ≤ c

• Dreiecksungleichung: |a+ b| ≤ |a|+ |b|

• umgekehrte Dreiecksungleichung: ||a| − |b|| ≤ |a− b|


4 REELLE ZAHLEN 14

4.2 Einschub: Gruppen

Es sei G eine Menge und ◦ : G×G → G eine beliebige Verknupfung zweier Elemente dieserMenge, wobei das Ergebnis wieder in G liegt. Es sei darauf hingewiesen dass ◦ in diesemFall nicht die Verkettung zweier Funktionen, sondern eine gewohnliche Rechenoperationwie + oder · meint. Dann nennt man (G, ◦) eine Gruppe, wenn:

• Assoziativgesetz: ∀a, b, c ∈ G : (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c).

• Neutrales Element: ∃0 ∈ G ∀a ∈ G : a ◦ 0 = a.

• Inverses Element: ∀a ∈ G ∃ − a ∈ G : a ◦ (−a) = 0.

Gilt zudem das Kommutativgesetz ∀a, b ∈ G : a ◦ b = b ◦ a, so bezeichnet man dieGruppe als abelsche Gruppe. Ein Beispiel fur eine nicht abelsche Gruppe sind die quadra-tischen Matrizen einer beliebigen Große n in Kombination mit der Matrix-Multiplikation.Gruppen wie diese sind in der Physik außerst wichtig, da sie z.B. Drehungen des Koordi-natensystems oder Lorentz-Transformationen beschreiben. Man sieht dass ein Korper alsonichts weiter ist als die Kombination zweier abelscher Gruppen (einmal mit Verknupfung+, einmal mit Verknupfung ·), welche zusatzlich das Distributivgesetz erfullt.

4.3 Naturliche Zahlen

Eine Menge A wird als Induktionsmenge bezeichnet, wenn

1. 1 ∈ A und

2. aus n ∈ A immer folgt, dass n+ 1 ∈ A.

Sei a := {A ⊆ R : A ist eine Induktionsmenge} die Menge aller solchen Induktionsmen-gen. Beispiele fur solche Mengen sind Intervalle wie [1,∞) oder ganz R. Man definiert dienaturlichen Zahlen wie folgt:

N := ∩A∈aA := {B ∈ a : B ⊆ A ∀A ∈ a}. (4.2)

Die naturlichen Zahlen sind also der Schnitt aller Induktionsmengen, also das, was injeder dieser Mengen A enthalten ist. Dadurch sind sie selbst auch die kleinstmoglicheInduktionsmenge. Aufgrund der zweiten Anforderung an Induktionsmengen ist N nichtnach oben beschrankt bzw. die Folge 1

nmit n ∈ N kommt der 0 beliebig nahe.

4.4 Beweise durch vollstandige Induktion

Es sei A(n) eine Aussageform in Abhangigkeit der Variablen nmit den Eigenschaften, dasseinerseits A(1) wahr ist und andererseits aus der Wahrheit von A(n) immer folgt, dass auchA(n+ 1) wahr ist. In diesem Fall ist A wahr fur alle n ∈ N. Um dies zu zeigen muss manalso nur das Anfangselement A(1) betrachten (Induktionsanfang) und diese Aussageauf Wahrheit uberprufen sowie fur ein beliebiges (allgemeines) wahres A(n) (z. B. jenesfur n = 1, Induktionsvoraussetzung) zeigen, dass daraus auch folgt, dass A(n+1) wahrist (Induktionsschluss oder -schritt). Sehr einfach ist die Anwendung dieser Beweisartbei rekursiv definierten Rechenvorschriften wie beispielsweise der Fakultat:Die zu beweisende Annahme sei, dass

n∑

k=0

(nk

)

:=n∑

k=0

n!

k! · (n− k)!= 2n.


4 REELLE ZAHLEN 15

Beweis. Dieser Beweis weicht ein wenig vom obigen Schema ab, da der Beginn aufgrundder unteren Grenze der Summe bei n = 0 gesetzt werden muss, nicht bei n = 1.Induktionsanfang: Es sei n = 0, dann ist

n∑

k=0

n!

k! · (n− k)!=

0!

0! · (0− 0)!= 1 = 20.

Induktionsvoraussetzung: Wir nehmen an, dass

n∑

k=0

n!

k! · (n− k)!= 2n.

Induktionsschluss: Zu zeigen ist, dass daraus folgt

n+1∑

k=0

(n+ 1)!

k! · (n+ 1− k)!= 2n+1.

Dies machen wir durch geschicktes Umschreiben der Summe und der Fakultaten:

n+1∑

k=0

(n+ 1)!

k! · (n+ 1− k)!=

n∑

k=0

(n+ 1)!

k! · (n+ 1− k)!+

(n+ 1)!

(n+ 1)! · (n+ 1− (n+ 1))!

=n∑

k=0

(n+ 1) · n!k! · (n− k)! · (n+ 1− k)

+ 1

=n∑

k=0

n!

k! · (n− k)!· n+ 1− k + k

n+ 1− k+ 1

=n∑

k=0

n!

k! · (n− k)!·(

1 +k

n+ 1− k

)

+ 1

IV= 2n +

n∑

k=0

n! · kk! · (n− k)! · (n+ 1− k)

+ 1.

An dieser Stelle muss der verbleibende Summenterm genauer betrachtet werden:

n∑

k=0

n! · kk! · (n− k)! · (n+ 1− k)

= 0 +n∑

k=1

n! · kk! · (n− k)! · (n+ 1− k)

=n∑

k=1

n!

(k − 1)! · (n+ 1− k)!.

Hierbei wurde verwendet, dass der Term mit k = 0 wegfallt. Als nachstes fuhrt man einenIndex-Shift durch: l := k − 1. Die Summe lautet dann

n∑

k=0

n! · kk! · (n− k)! · (n+ 1− k)

=n−1∑

l=0

n!

l! · (n− l)!=

n∑

l=0

n!

l! · (n− l)!− 1

IV= 2n − 1.

Setzt man dies in obige Hauptrechnung ein, dann ergibt sich

n+1∑

k=0

(n+ 1)!

k! · (n+ 1− k)!= 2n + (2n − 1) + 1 = 2n + 2n = 2 · 2n = 2n+1.


4 REELLE ZAHLEN 16

4.5 Ganze und Rationale Zahlen

Auf Basis der eben eingefuhrten naturlichen Zahlen lassen sich auch einige weitere haufigverwendete Zahlenmengen definieren:

• Naturliche Zahlen mit 0: N0 := N ∪ {0}.

• Ganze Zahlen: Z := N0 ∪ {−n : n ∈ N}.

• Rationale Zahlen: Q := {pq: p ∈ Z, q ∈ N}.

Da Z nicht kontinuierlich ist (man findet zwischen zwei beliebigen Zahlen aus Z nichtunendlich viele weiter Zahlen in Z) existiert bei Beschrankung nicht nur ein Supre-mum/Infimum, sondern auch immer ein Maximum/Minimum. Weiterhin existieren zwi-schen jeweils zwei Zahlen aus Z immer unendlich viele Zahlen in R und in Q.

4.6 Formeln und Rechenregeln

Es seien a, b ∈ R und n ∈ N, dann:

an+1 − bn+1 = (a− b) ·(

n∑

k=0

an−k bk

)

. (4.3)

Mit n = 1 folgt daraus die aus der Schule bekannte dritte binomische Formel. Setzt manHingegen a = 1 und benennt b = q 6= 1, dann ergibt sich eine Moglichkeit zur Auswertungder geometrischen Reihe:

n∑

k=0

qk =1− qn+1

1− q. (4.4)

Die anderen beiden bekannten binomischen Formeln ergeben sich als Spezialfalle des bi-nomischen Satzes fur n = 2:

(a+ b)n =n∑

k=0

(nk

)

an−k bk. (4.5)

Mit a = b = 1 erhalt man den zuvor gezeigten Zusammenhang, dass die Summe derBinomialkoeffizienten 2n ergibt.Ist x ∈ R und x ≥ −1 sowie n ∈ N, dann gilt weiterhin dieBernoulli’sche Ungleichung:

(1 + x)n ≥ 1 + n · x. (4.6)

4.7 Wurzeln und Exponenten

Der Exponent an mit a ∈ R und n ∈ N ist definiert als

an := a · a · ... · a︸︷︷︸

n Faktoren

. (4.7)

Die Umkehrung dessen ist die n-Wurzel. Ist b = an, dann ist n√b := a. Diese Wurzel ist zu

jeder positiven Zahl existent und eindeutig bestimmt. Als Wurzel wird im reellen immernur ein positiver Wert bezeichnet. Man definiert

n√x ≥ 0 und damit

√x2 :=

2√x2 := |x|. (4.8)


4 REELLE ZAHLEN 17

Achtung: Die Losungen quadratischer Gleichungen sind dennoch auch negative Zahlen.Ist z.B. x2 − 1 = 0, dann ist x = ±

√1 = ±1. Es ist jedoch

√4 = 2 und

√4 6= −2.

Im Falle rationaler Zahlen r = pq∈ Q ist der Exponent folgendermaßen definiert:

ar = ap

q =(

q√a)p

. (4.9)

Wie genau der Bruch pqerweitert ist spielt dabei fur das Ergebnis keine Rolle, z. B. ergibt

510

das selbe wie 12. Ebenso ist es egal, ob man ( q

√a)poder q

√

(ap) berechnet. Was beiExponenten weiterhin beachtet werden sollte ist ihr Grenzwertverhalten und ihr Einflussauf die Ordnung (≤). Ist |a| > 1, dann strebt an fur n → ∞ gegen ∞. Ist hingegen|a| < 1, dann gilt an → 0 fur n → ∞. Aus diesem Grund konvergiert die unendliche Reihe(n = ∞) in Gleichung 4.4 nur fur |q| < 1. Unabhangig von Grenzwertprozessen gilt aberfur x, y ∈ R mit x ≤ y fur alle n ∈ N, dass auch xn ≤ yn. Furderhin existiert auch furbeliebige n ∈ N eine Ungleichung zwischen geometrischem und arithmetischem Mittel:

n√a1 · a2 · ... · an ≤ a1 + a2 + ...+ an

n. (4.10)

Die zweite dieser Methoden der Mittelwertbildung entspricht der aus Schulen bekannten.


5 KOMPLEXE ZAHLEN 18

5 Komplexe Zahlen

5.1 Konstruktion

Statt der einfachen reellen Zahlen R betrachtet man nun eine zweidimensionale Version.Auf dieser definiert man die Verknupfungen + und · wie folgt:

(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) (5.1)

(x1, y1) · (x2, y2) = (x1 · x2 − y1 · y2, x1 · y2 + x2 · y1). (5.2)

Die so definierte spezielle Variante des zweidimensionalen Raumes R2 ist ein Korper (Axio-me 1 bis 9 sind erfullt, siehe Kapitel 4.1) und hat dann die besondere Eigenschaft, dassVektoren (x, 0) sich verhalten wie die einfache Zahl x. Weiterhin wird eine weitere Glei-chung erfullt, welche die Grundlage zur Definition der komplexen Zahlen bildet:

(0, 1) · (0, 1) = (−1, 0). (5.3)

Man definiert die Grundeinheit der zweiten Koordinate als komplexe Einheit i, welcheaufgrund der eben erwahnten Gleichheit von (x, 0) und x beschrieben ist als

i2 = −1. (5.4)

Man schreibt daher auch x + i · y statt (x, y) und somit C := {x + i · y|x, y ∈ R}. Indieser Darstellung bezeichnet man x als den Realteil (ℜ) und y als Imaginarteil (ℑ)der komplexen Zahl z := x + i · y. Weiterhin nennt man z := x − i · y die komplexkonjugierte Zahl zu z und |z| :=

√

x2 + y2 ihren Betrag, der immer rein reell ist.Diese stehen im folgenden Zusammenhang:

z · z = z · z = x2 + y2 = |z|2. (5.5)

5.2 Rechenregeln

Die zu komplexen Zahlen gehorigen Rechenoperationen gehorchen einigen Regeln:

1. z = w ⇔ ℑz = ℑw ∧ ℜz = ℜw, z = 0 ⇔ ℑz = ℜz = 0.

2. (z) = z.

3. |z| = |z|.4. z + w = z + w.

5. z · w = z · w.6. ℜz = 1

2(z + z) , ℑz = 1

2i(z − z).

7. |ℜz|, |ℑz| ≤ |z| ≤ |ℜz|+ |ℑz|.8. |z · w| = |z| · |w|.9. Dreiecksungleichung: |z + w| ≤ |z|+ |w|. Allgemein: |∑n

k=1 zk| ≤∑n

k=1 |zk|.10. umgekehrte Dreiecksungleichung: ||z| − |w|| ≤ |z − w|.

Nebst all diesen Besonderheiten ist eine Division durch komplexe Zahlen nicht moglich.Man muss den Bruch hierzu also erweitern um im Nenner eine reelle Zahl zu erzeugen:

1

z=

z

z · z =z

|z|2 . (5.6)


5 KOMPLEXE ZAHLEN 19

5.3 Polynome

Ein Polynom ist - wie vermutlich bereits aus der Schulzeit bekannt - eine Funktion derArt

p(z) = a0 + a1z + · · ·+ anzn. (5.7)

Hierbei heißt der Exponent der hochsten Potenz von z (fur den Fall an 6= 0 ware das alson) der Grad des Polynoms. Ist p ein Polynom des Grades n, so existiert genau ein q desGerades n− 1 sodass

p(z) = q(z) · (z − z0). (5.8)

Hierbei ist z0 eine Nullstelle des Polynoms p. Man bezeichnet (z−z0) dann als Linearfak-tor von p. Ein Polynom vom Grad n besitzt genau n Linearfaktoren. Die Haufigkeit derenAuftretens in der sogenannten Linearfaktorzerlegung von p nennt man die Vielfachheitder zugehorigen Nullstelle. Jedes beliebige Polynom hat mindestens eine Nullstelle in C,was auch als Fundamentalsatz der Algebra bezeichnet wird. Weiterhin ist zu jederNullstelle z0 auch die komplex konjugierte Zahl z0 Nullstelle desselben Polynoms.

5.3.1 Beispiel

Sei p(z) := (z2−4z+4) · (z2+1) = z4−4z3+5z2−4z+4 ein Polynom des Grads 4. SeineLinearfaktorzerlegung lautet p(z) = (z − i) · (z + i) · (z − 2)2. Somit hat p die einfachen(und konjugierten) Nullstellen z1 = i und z2 = −i sowie die doppelte Nullstelle z3 = 2.


6 FOLGEN UND KONVERGENZ 20

6 Folgen und Konvergenz

6.1 Definition einer Folge

Ist X 6= ∅ eine Menge und p ∈ Z, dann heißt die Abbildung a : {p, p+1, . . . , 0, 1, 2, . . . } →X eine Folge inX. Hierbei schreibt man auch an statt a(n) und bezeichnet dieses Elementals das n-te Folgenglied. Meist wahlt man p = 0 oder p = 1, sodass man nur positive Zah-len im Index stehen hat. Grundsatzlich kann eine Folge aber wie in der obigen Definitionmit einer beliebigen ganzen Zahl beginnen, solange alle folgenden Indizes ansteigen.

6.2 Konvergenz von Folgen

Nahern sich Folgenwerte mit steigendem Index immer naher einem festen Wert an, sonennt man diesen Grenzwert. Existiert ein solcher Grenzwert bezeichnet man die Folgeals konvergent. Mathematisch formuliert man diesen Zusammenhang folgendermaßen:

an heißt konvergent gegen a, wenn ∀ǫ > 0 ∃n0 = n0(ǫ) : |an − a| < ǫ ∀n > n0. (6.1)

Diese Formulierung bedeutet, dass ab einem gewissen Index n0 die Differenzen der Fol-genwerte vom Grenzwert kleiner sind als ein willkurlich gewahltes ǫ, von dem besagterIndex dabei naturlich abhangig ist. An einem Beispiel wird dieser Sachverhalt klarer:Sei an := 1

n. Diese Folge konvergiert fur großer werdende n gegen den Grenzwert a = 0.

Wir wahlen zunachst ǫ = 112. In diesem Fall ist das in Gleichung 6.1 erwahnte Kriterium

erfullt ab einem Index n0 = 13. Wahlt man hingegen ǫ = 120, dann muss n0 = 21 gewahlt

werden. So lasst sich zu jedem noch so kleinen ǫ ein passendes n0 finden, weshalb die Folgean entsprechend der obigen Definition (in 6.1) als konvergent bezeichnet werden kann.

Folgen konnen sowohl in R als auch in C definiert werden und konvergieren. Fur reel-le und komplexe Folgen gelten bezuglich ihrer Konvergenz die folgenden Regeln:

• Konvergiert eine Folge, so ist ihr Grenzwert eindeutig bestimmt.

• Jede konvergente Folge ist beschrankt, also ∃c > 0 : |an| < c ∀n.

• Ist an ∈ C und an → a, dann gilt ℜan → ℜa und ℑan → ℑa.

• Konvergiert an → a, dann auch |an| → |a|.

• Der Grenzwert einer reellen Folge ist auch reell.

• Konvergiert αn gegen 0 und gilt |an − a| < αn fur fast alle n (fur alle außer endlichvielen), dann konvergiert an gegen a. Hierbei bezeichnet man αn als Majorante.

• Konvergieren an → a und bn → b und gilt an ≤ bn fur fast alle n, dann folgt a ≤ b.

• Konvergieren an → a und cn → a und gilt an ≤ bn ≤ cn fur fast alle n, dannkonvergiert auch bn → a (Einschnurungssatz/Sandwich-Theorem).

• Gilt an → a und bn → b, dann folgt an + bn → a + b, αan → αa fur α ∈ R,an · bn → a · b und falls b 6= 0 und bn 6= 0 ∀n weiterhin 1

bn→ 1

b.

• Ist eine Folge monoton und beschrankt in der Richtung ihres Wachstums (nach obenbeschrankt bei monotonem Wachstum/nach unten bei monotonem Fall), dann istsie konvergent und der Grenzwert ist das Supremum/Infimum der Folgenwerte.



6.3 Besondere konvergente Folgen

Es existieren einige Folgen, deren Grenzwert bei weitem komplexer nachzurechnen ist alsjener des vorherigen Beispiels 1

n. Da diese dennoch haufig auftreten werden sie hier kurz

zusammengefasst (es gilt jeweils n → ∞):

• n√n → 1, n

√c → 1 ∀c ∈ R.

• Konvergiert an → a, dann auch p√an → p

√a fur beliebige p ∈ N.

• sn := 1−zn+1

1−z → 11−z fur |z| < 1, ansonsten divergent.

•(1 + 1

n

)n → e,(1 + x

n

)n → ex mit x ∈ R (Exponentialfunktion).

6.4 Teilfolgen und Haufungswerte

Sei an eine beliebige und nk eine streng monoton wachsende Folge, dann nennt man dieVerkettung ank

eine Teilfolge von an. Dieser Begriff erklart sich dadurch, dass in anknicht

alle Elemente aus an enthalten sind, z. B. bei nk = 2k = (2, 4, 6, . . . ) nur jedes zweite.Ist eine solche Teilfolge konvergent, dann bezeichnet man ihren Grenzwert als Haufungs-wert der ursprunglichen Folge. Diesem Wert kommen die Glieder der Folge an unendlichoft beliebig nach. Ist z.B. wie eben nk = 2k (bzw. nk = 2k+1) und an = (−1)n, dann sind1 und -1 die Haufungswerte, weil diese beiden Werte von an unendlich oft angenommenwerden und weil sie die Grenzwerte der beiden genannten Teilfolgen ank

sind.Konvergiert eine Folge an → a, dann konvergieren naturlich auch all ihre Teilfolgen gegendenselben Grenzwert a und dieser ist der einzige Haufungswert.

6.5 Satz von Bolzano-Weierstraß

Jede beschrankte Folge (egal ob in R oder in C) hat mindestens eine konvergente Teilfolgeund damit mindestens einen Haufungswert.Das folgt daraus, dass jede beliebige reelle Folge mindestens eine monotone Teilfolgeenthalt und diese aufgrund von Monotonie und Beschranktheit konvergieren muss (sie-he Kapitel 6.2). Fur komplexe Folgen resultiert die obige Aussage aus der getrenntenBetrachtung von Real- und Imaginarteil.

6.6 Cauchy-Folgen

Es sei an eine Folge und n,m ∈ N. Man nennt an eine Cauchy-Folge, wenn

∀ǫ > 0 ∃n0 = n0(ǫ) : |an − am| < ǫ ∀n,m > n0. (6.2)

Diese Definition ist der des Grenzwertes sehr ahnlich (siehe Gleichung 6.1), hat aber einenwichtigen Unterschied: Statt der Differenz der Folgenwerte von einem festen Wert wirdnun die Differenz der Folgenglieder untereinander minimiert. Da dies bei konvergentenFolgen zwangslaufig auch der Fall ist sind alle konvergenten Folgen Cauchy-Folgen.Die Umkehrung gilt nur auf abgeschlossenen Mengen. So hat z.B. die Folge

(1 + 1

n

)nnur

Elemente in Q, ihr Grenzwert (die eulersche Zahl e) liegt aber in R\Q. Dementsprechendist sie in Q zwar eine Cauchy-Folge, aber nicht konvergent. Ahnliche Beispiele lassen sichauch fur N oder Z finden, welches ebenfalls keine abgeschlossenen Mengen sind.



6.7 Limites inferior und superior

Man kann die aus Kapitel 4.1 bekannten Begriffe”Supremum“ und

”Infimum“ nicht nur

auf Mengen, sondern auch auf Folgengrenzwerte anwenden:Ist an eine Folge, dann sei Ak := {an|n ≥ k} die Menge aller Folgenglieder mit einemIndex, der großer als k ist. Ist an in einer Richtung beschrankt, so ist auch jede der MengenAk in derselben Richtung beschrankt und es existierten Infima/Suprema der Mengen. Mandefiniert zwei Grenzwerte wie folgt:

lim sup an := limk→∞

(supAk) nennt man den limes superior der Folge an. (6.3)

lim inf an := limk→∞

(inf Ak) nennt man den limes inferior der Folge an. (6.4)

Als Beispiel fur deren Anwendung kann wieder die Folge an = (−1)n dienen. Fur sie giltAk = {−1, 1} ∀k und dementsprechend ist lim sup an = 1 und lim inf an = −1.Wie bei Haufungswerten existieren immer Teilfolgen von an, die gegen lim sup an undlim inf an konvergieren. Sind diese Werte endlich stimmen sie daher mit dem großtenbzw.kleinsten Haufungswert der Folge an uberein. Entsprechend gilt im Fall von Konver-genz lim sup an = lim inf an = lim an, weil dies der einzige Haufungswert ist (siehe Kapitel6.4). Weiterhin gilt immer lim inf an ≤ lim sup an, weil inf A ≤ supA (wie in 4.1).

6.8 Endlichkeit und Abzahlbarkeit

Eine Menge M heißt endlich, wenn sie aus einer endlichen Anzahl von Elementen besteht.Anders ausgedruckt:

M ist endlich ⇔ ∃n ∈ N und ∃f : {1, . . . , n} → M surjektiv. (6.5)

Eine Menge M heißt abzahlbar, wenn man ihre Elemente sinnvoll in einer Reihe Ordnenund mit naturlichen zahlen zahlen kann. Genauer ausgedruckt bedeutet dies:

M ist abzahlbar ⇔ ∃f : N → M surjektiv ⇔ ∃an mit M = A1 = {a1, a2, . . . }. (6.6)

Eine abzahlbare Menge hat also nicht genau die selbe Anzahl an unendlich vielen Ele-menten wie die naturliche Zahlen (was zugegeben seltsam klingt). Dementsprechend istjede endliche Menge auch abzahlbar, weil sie sogar weniger Elemente als N enthalt.


7 REIHEN 23

7 Reihen

7.1 Definition

Es sei ak eine Folge wie bislang und sn := a1 + a2 + · · · + an =∑n

k=1 ak sei eine weitereFolge, die also aus der Summe der Glieder von an besteht. In diesem Fall heißt ak das k-teReihenglied und sn die n-te Teilsumme der Reihe

∑∞k=1 ak. Ist die Folge sn konvergent,

dann heißt ihr Grenzwert auch Reihenwert und es gilt

limn→∞

sn =∞∑

k=1

ak. (7.1)

Im Falle von komplexwertigen Folgen mussen der Real- und Imaginarteil jeweils einzelnkonvergieren und der Reihenwert resultiert aus den beiden Grenzwerten:

∞∑

k=1

ak =∞∑

k=1

ℜ(ak) + i ·∞∑

k=1

ℑ(ak). (7.2)

Auf sehr ahnliche Art verhalten sich Reihen auch im rein reellen bezuglich Addition undMultiplikation mit Skalaren linear. Seien hierzu α, β ∈ R und an, bn Folgen, dann gilt

∞∑

n=1

(α · an + β · bn) = α ·∞∑

n=1

an + β ·∞∑

n=1

bn (7.3)

Beginnt die Folge (an)∞n=p nicht bei n = 1 sondern n = p ∈ Z (also bereits bei einem

negativen Index), dann gilt entsprechend sn :=∑n

k=p ak. Die Summe beginnt also immeram kleinsten Index, unabhangig davon wie groß dieser letztendlich ist.

7.2 Wichtige Reihen

So wie es einige haufiger auftretende Folgen gibt tauchen auch ein paar Reihen immerwieder auf. Eine davon ist die geometrische Reihe:

k∑

n=0

zn =1− zk+1

1− zbzw. im unendlichen Fall

∞∑

n=0

zn =1

1− zfalls |z| < 1. (7.4)

Ebenso treten die harmonische und alternierende harmonische Reihe haufig auf:

∞∑

n=1

1

n= ∞ und

∞∑

n=1

(−1)n+1

n= ln(2). (7.5)

Selbige existiert naturlich auch in der quadratischen Form:

∞∑

n=1

1

n2=

π2

6und

∞∑

n=1

(−1)n+1

n2=

π2

12. (7.6)

Und zu guter Letzt gilt auch

∞∑

n=1

1

n · (n+ 1)=

∞∑

n=1

(1

n− 1

n+ 1

)

= 1 undk∑

n=1

n =k · (k + 1)

2. (7.7)

Die erste der beiden letztgenannten (in 7.7) ist dabei eine sogenannte Teleskopreihe. Beidieser ergeben aufeinander folgende Reihenglieder in Summe jeweils 0, sodass insgesamtnur das erste und letzte (also das

”unendlichste“) Element zum Reihenwert beitragen.


7 REIHEN 24

7.3 Absolute Konvergenz

Eine Reihe heißt absolut konvergent, wenn die Reihe uber die Betrage∑∞

n=1 |an| konver-giert. Jede solche Reihe ist auch

”normal“ konvergent und es gilt die Dreiecksungleichung

fur Reihen: ∣∣∣∣∣

∞∑

n=1

an

∣∣∣∣∣≤

∞∑

n=1

|an|. (7.8)

7.4 Konvergenzkriterien

Da die Berechnung des exakten Reihenwertes recht schwierig sein kann ist es sinnvoll,zunachst die Konvergenz zu uberprufen, die immerhin eine Grundlage fur die Existenzeines endlichen Wertes ist. Als vermutlich wichtigste Voraussetzung gilt dabei, dass∑∞

n=1 an grundsatzlich nur konvergieren kann, wenn die einzelnen Summanden mit zu-nehmendem n immer kleiner werden und an also eine Nullfolge (gegen 0 konvergierendeFolge) ist. Da diese Bedingung allerdings nur notwendig und nicht hinreichend fur Kon-vergenz ist folgen in den nachsten Kapiteln einige Optionen zur genaueren Uberprufung.

7.4.1 Monotoniekriterium

Sind alle ak ≥ 0 und deren Teilsummen sn :=∑n

k=1 ak alle beschrankt, dann ist∑∞

k=1 akkonvergent. Dies folgt direkt aus dem Monotoniekriterium zur Folgenkonvergenz (letzterAufzahlungspunkt in Kapitel 6.2), welches hier auf die Folge sn angewendet wird.

7.4.2 Cauchy-Kriterium

Eine Reihe∑∞

n=1 an konvergiert genau dann, wenn

∀ǫ > 0 ∃n0 = n0(ǫ) :

∣∣∣∣∣

n∑

k=m+1

ak

∣∣∣∣∣< ǫ ∀n > m ≥ n0. (7.9)

Eine Reihe konvergiert also genau dann, wenn beliebige Teile der Reihe zwischen denIndizes m+ 1 bis n jeweils eine in Abhangigkeit von n gewahlte Grenze ǫ unterschreiten.

7.4.3 Leibniz-Kriterium

Ist bn eine monoton fallende Nullfolge und an := (−1)n · bn eine weitere Folge, dannkonvergiert

∑∞n=1 an = −b1+ b2− b3+ b4− . . . . Eine solche Reihe nennt man alternierend.

7.4.4 Majoranten-/ Minorantenkriterium

Es seien an und bn Folgen, dann existieren die folgenden Zusammenhange:

• Ist |an| ≤ bn fur fast alle n ∈ N (alle außer endlich viele) und∑∞

n=1 bn konvergiert,dann ist

∑∞n=1 |an| absolut konvergent (Majorantenkriterium).

• Ist an ≥ bn ≥ 0 fur fast alle n ∈ N (alle außer endlich viele) und∑∞

n=1 bn divergiert,dann ist

∑∞n=1 an auch divergent (Minorantenkriterium).

Umgangssprachlich konnte man also sagen, dass eine Reihe divergiert, wenn es eine klei-nere divergente Reihe gibt (Minorante), oder konvergiert, wenn eine großere konvergenteReihe existiert (Majorante).


7 REIHEN 25

7.4.5 Wurzelkriterium

Ist an eine Folge und α := lim sup n√

|an|, dann ...

• ... konvergiert∑∞

n=1 |an| absolut wenn α < 1.

• ... divergiert∑∞

n=1 an wenn α > 1 ist.

• ... kann man mit diesem Kriterium nichts uber die Konvergenz aussagen falls α = 1.

7.4.6 Quotientenkriterium

Ist an eine Folge und an 6= 0 fur unendlich viele n ∈ N (alle außer endlich viele) und es

sei cn :=∣∣∣an+1

an

∣∣∣ definiert an allen Stellen mit an 6= 0, dann ...


n=1 an wenn cn ≥ 1 fur fast alle n.

• ... konvergiert∑∞

n=1 |an| absolut wenn lim sup cn < 1.


n=1 an wenn lim inf cn > 1.

• ... muss in allen anderen Fallen eine genauere Unterscheidung getroffen werden. Diesist nur moglich wenn die Folge der cn konvergiert mit dem Grenzwert c := lim cn:

– Ist c < 1, dann ist∑∞

n=1 |an| absolut konvergent.– Ist c > 1, dann ist

∑∞n=1 an divergent.

– Ist c = 1, dann ist mit diesem Kriterium keine Aussage moglich.

7.5 Umordnungen

Sei an eine Folge und φ : N → N eine bijektive Abbildung, dann heißt bn := aφ(n) eineUmordnung von an. Diese enthalt genau die selben Elemente wie an, jedoch in eineranderen Reihenfolge. Entsprechend heißt

∑∞n=1 bn eine Umordnung von

∑∞n=1 an.

• Ist an konvergent, dann ist auch bn konvergent und lim an = lim bn.

• Ist∑∞

n=1 an absolut konvergent, dann konvergiert auch∑∞

n=1 bn absolut und diebeiden Reihenwerte sind identisch.

7.5.1 Riemann’scher Umordnungssatz

Ist an eine Folge und∑∞

n=1 an ist konvergent, aber nicht absolut konvergent, dann ...

• ... gibt es divergente Umordnungen von∑∞

n=1 an.

• ... gibt es fur jedes beliebige s ∈ R eine Umordnung∑∞

n=1 bn, sodass∑∞

n=1 bn = s.


7 REIHEN 26

7.6 Cauchy-Produkt

Seien∑∞

n=0 an und∑∞

n=0 bn absolut konvergente Reihen und eine weitere Reihe sei defi-niert uber die Folge cn :=

∑nk=0 ak bn−k, dann konvergiert diese Reihe gegen

∞∑

n=0

cn =

( ∞∑

n=0

an

)

·( ∞∑

n=0

bn

)

. (7.10)

Diese Reihe∑∞

n=0 cn bezeichnet man als das Cauchy-Produkt der Reihen∑∞

n=0 an und∑∞

n=0 bn. Durch eine derartige Verkettung lassen sich einige Reihenwerte bestimmen, dieelementar nicht berechenbar sind. Seien z. B. an = bn = zn mit |z| < 1, dann giltbekanntlich ( ∞∑

n=0

an

)

·( ∞∑

n=0

bn

)

=1

1− z· 1

1− z=

1

(1− z)2.

Es gibt also offenbar ein Cauchy-Produkt der beiden Reihen mit dem Grenzwert 1(1−z)2 .

Dieses ergibt sich folgendermaßen:

cn :=n∑

k=0

ak bn−k =n∑

k=0

zk zn−k =n∑

k=0

zn = (n+ 1) zn.

Auf diese Weise erhalt man also das Wissen, dass∑∞

n=0(n+ 1) zn = 1(1−z)2 fur |z| < 1.

7.7 Exponentialfunktion

Man definiert eine spezielle Funktion exp(z) :=∑∞

k=0zk

k!. Die so definierte Reihe konver-

giert fur alle z ∈ C und wird auch geschrieben als ez := exp(z) falls z ∈ Q. Hierbei iste :=

∑∞k=0

1k!

die sogenannte euler’sche Zahl, die als Basis der naturlichen Exponen-tialfunktion fungiert. Diese spezielle Funktion hat einige Eigenschaften, von denen vieledurch die Potenzgesetze und die Darstellung exp(z) = ez ∀z ∈ Q offensichtlich sind. Furirrationale und komplexe Zahlen lassen sie sich direkt aus der Reihendarstellung herleitenund gelten daher ebenso:

• exp(0) = 1 und exp(1) = e.

• ∀z, w ∈ C : exp(z + w) = exp(z) · exp(w).

• exp(z) 6= 0∀z ∈ C, weiterhin gilt exp(−z) = 1exp(z)

und ∀n ∈ N : exp(nz) = exp(z)n.

• ∀x ∈ R : exp(x) > 0, ∀x > 0 : exp(x) > 1.

• Aus x, y ∈ R und x < y folgt stets exp(x)y exp(y).

• sup{exp(x) : x ∈ R} = ∞, inf{exp(x) : x ∈ R} = 0.

• exp(z) = exp(z).

• ∀x, y ∈ R : exp(x+ iy) = exp(x) · exp(iy) und | exp(iy)| = 1.

• ∀x ∈ R ∀n ∈ N : exp(xn

)= n√

exp(x).

• ∀z ∈ C : | exp(z)| = exp(ℜz).


7 REIHEN 27

Weiterhin werden durch die Exponentialfunktion zwei wichtige Ungleichungen erfullt:

∀z ∈ C : |ez − 1| ≤ |z|e|z| (7.11)

∀z ∈ C :

∣∣∣∣

ez − 1

z− 1

∣∣∣∣

≤ |z|e|z|. (7.12)

Aus letzterer folgt auch der bekannte Grenzwert limz→0

ez−1z

= 1, weil die rechte Seite der

Ungleichung in diesem Grenzfall als gegen 0 konvergierende Majorante dient.

7.8 Trigonometrische Funktionen

Auf Basis der eben eingefuhrten Exponentialfunktion lassen sich zwei weitere sehr funda-mentale Funktionen definieren:

• Der Sinus sin(z) := 12i(eiz − e−iz) =

∑∞n=0(−1)n z2n+1

(2n+1)!mit sin(−z) = − sin(z).

• Der Cosinus cos(z) := 12(eiz + e−iz) =

∑∞n=0(−1)n z2n

(2n)!mit cos(−z) = cos(z).

Aus diesen Definitionen folgen weitere Eigenschaften, darunter die Additionstheoreme:

• ∀z ∈ C : eiz = cos(z) + i sin(z).

• ∀z ∈ C : sin2(z) + cos2(z) = 1 und daher |eix| = 1 ∀x ∈ R.

• sin(z + w) = sin(z) cos(w) + sin(w) cos(z).

• cos(z + w) = cos(z) cos(w)− sin(z) sin(w).

Weiterhin erfullen auch diese beiden sogenannten trigonometrischen Funktionen spe-zielle Ungleichungen:

• ∀x ∈ R : | sin(x)| ≤ 1, | cos(x)| ≤ 1.

• | sin(z)| ≤ |z|e|z| ∀z ∈ C.

•∣∣∣sin(z)z

− 1∣∣∣ ≤ |z|e|z| und

∣∣∣cos(z)−1

z

∣∣∣ ≤ |z|e|z| jeweils ∀z ∈ C \ {0}.

Auch hier folgt wie bei der Exponentialfunktion selbst aus einer der Ungleichungen derwichtige Grenzwert lim

z→0

sin(z)z

= 1, weil erneut eine konvergente Majorante existiert. Aus

demselben Grund kann auch limz→0

cos(z)−1z

= 0 gefolgert werden. Derartige Grenzwerte wer-

den genauer im Kapitel 8.4 eingefuhrt und in ihrer Bedeutung exakt definiert werden.

7.9 Potenzreihen

Es sei z0 ∈ C und (an)∞n=0 eine Folge in C, dann heißt eine Reihe der Form

∑∞n=0 an(z −

z0)n Potenzreihe. z0 bezeichnet man als ihren Entwicklungspunkt und an nennt man

Koeffizienten. Falls sowohl an ∈ R als auch z0 ∈ R nennt man die Reihe reell. exp(z),sin(z) und cos(z) sind Beispiele fur reelle Potenzreihen um den Entwicklungspunkt z0 = 0.Auch die geometrische Reihe ist in diesem Sinne eine reelle Potenzreihe um z0 = 0.


7 REIHEN 28

7.9.1 Konvergenzradius

Ob eine Potenzreihe tatsachlich konvergiert oder nicht hangt naturlich von dem z ab,das man darin einsetzt. In z = z0 sind alle Potenzreihen trivialerweise konvergent. Furalle Punkte in einem großeren Abstand gibt der Konvergenzradius Auskunft uber dasVerhalten der Reihe. Sei zu dessen Definition

∑∞n=0 an(z − z0)

n eine Potenzreihe und

ρ := lim sup n√

|an|, dann ergibt sich der Konvergenzradius als Kehrwert von ρ, also

R =

0 falls ρ = ∞∞ falls ρ = 01ρ

falls 0 < ρ < ∞.

Eine solche Reihe konvergiert im Bereich {z ∈ C : |z− z0| < R} und divergiert außerhalbdieses Kreises, also im Bereich {z ∈ C : |z− z0| > R}. Auf dem Kreisrand ist keine exakteAussage moglich, haufig konvergiert die Reihe an einigen Punkten und an anderen nicht.Die Reihen von exp(z), sin(z) und cos(z) haben R = ∞, konvergieren also in ganz C. Diegeometrische Reihe hingegen weist nur ein R = 1 auf, fur sie muss |z| < 1 gelten.Es existiert auch noch eine weitere Methode, den Konvergenzradius einer Potenzreihe zuberechnen. Man erkennt bereits, dass die bisherige Definition dem Wurzelkriterium furKonvergenz sehr ahnlich sieht. Die folgende ahnelt dem Quotientenkriterium:

Existiert der Grenzwert α := limn→∞

∣∣∣an+1

an

∣∣∣, dann ist R = 1

α(bzw. 0 oder ∞ in den

Grenzfallen). Weiterhin gilt α = ρ und die obige Definition ist genauso anwendbar.

lim sup∣∣∣an+1

an

∣∣∣ und lim inf

∣∣∣an+1

an

∣∣∣ alleine erlauben im Allgemeinen keine Aussage uber R.

7.10 Funktionenfolgen und -reihen

Es sei fur den Rest des Kapitels 7 jeweils ∅ 6= D ⊆ R und es sei fur jedes n ∈ N eineFunktion fn : D → R gegeben. Die Folge fn heißt eine Funktionenfolge (teilweise auchbekannt als Funktionenschar), die Reihe

∑∞n=1 fn bezeichnet man als Funktionenreihe.

7.10.1 Punktweise Konvergenz

Definition fur Funktionenfolgen: Die Folge fn heißt auf D punktweise konvergent, wennfur jedes x ∈ D die Folge fn(x) konvergiert. Die Funktion f(x) := lim

n→∞fn(x) bezeichnet

man in diesem Fall als Grenzfunktion.Definition fur Funktionenreihen: Die Reihe

∑∞n=1 fn heißt auf D punktweise konvergent,

wenn fur jedes x ∈ D die Reihe∑∞

n=1 fn(x) konvergiert. Die resultierende Funktion derReihenwerte bezeichnet man in diesem Fall als Summenfunktion.

7.10.2 Gleichmaßige Konvergenz

Um den Unterschied zwischen punktweiser und gleichmaßiger Konvergenz zu verstehenmuss man zuruck zur Definition von Konvergenz an sich. Eine punktweise konvergenteFunktionenfolge erfullt folgende Eigenschaft:

∀x ∈ D ∀ǫ > 0 ∃n0 = n0(x, ǫ) : |fn(x)− f(x)| < ǫ ∀n ≥ n0. (7.13)

Fur gleichmaßige Konvergenz lautet die Definition hingegen

∀ǫ > 0 ∃n0 = n0(ǫ) : |fn(x)− f(x)| < ǫ ∀n ≥ n0 ∀x ∈ D. (7.14)


7 REIHEN 29

Der bedeutende Unterschied ist also, dass der minimale Index n0 nur von Epsilon, nichtaber vom exakten Punkt x abhangig ist und somit auf ganz D als identisch betrachtetwerden kann. Umgangssprachlich kann man also sagen, dass die Folge an allen Punktenin D (in etwa) gleich schnell gegen die Grenzfunktion konvergiert.Der Vollstandigkeit halber wird auch der genaue Unterschied fur Funktionenreihen dar-gestellt. Fur punktweise Konvergenz derselben gilt:

∀x ∈ D ∀ǫ > 0 ∃n0 = n0(x, ǫ) :

∣∣∣∣∣

n∑

k=1

fk(x)− f(x)

∣∣∣∣∣< ǫ ∀n ≥ n0. (7.15)

Fur gleichmaßige Konvergenz hingegen muss folgendes erfullt sein:

∀ǫ > 0 ∃n0 = n0(ǫ) :

∣∣∣∣∣

n∑

k=1

fk(x)− f(x)

∣∣∣∣∣< ǫ ∀n ≥ n0 ∀x ∈ D. (7.16)

Auch hier liegt der Unterschied wieder in der auf ganz D gleich schnellen Konvergenz.

7.10.3 Beispiel zur Unterscheidung

Es sei fn(x) := xn auf dem Definitionsbereich D := [0, 1]. Offenbar konvergiert diese Folgeauf D fur n → ∞ gegen die Grenzfunktion

f(x) =

{

0 falls x ∈ [0, 1)

1 falls x = 1.

Diese Konvergenz kann nicht gleichmaßig sein, weil die Werte der einzelnen Folgengliederfn(x) unterschiedlich weit entfernt von der Grenzfunktion sind. Je naher an 0 der be-trachtete Punkt x liegt, desto niedriger kann man den in der Definition der Konvergenzauftauchenden Index n0 wahlen. fn(x) konvergiert daher auf D nur punktweise.

7.10.4 Kriterien fur verschiedene Arten der Konvergenz

Grundsatzlich gilt, dass jede gleichmaßig konvergente Funktionenfolge/-reihe auch punkt-weise konvergiert. Die Umkehrung dieser Aussage ist im Allgemeinen falsch. In einigenbesonderen Fallen reichen die Eigenschaften der Folge/Reihe aber aus, um sicher aufgleichmaßige Konvergenz derselben im gegebenen Gebiet D schließen zu konnen:

• Bei gleichmaßiger Konvergenz ist die Grenz-/Summenfunktion immer stetig (sieheim folgenden Kapitel 8). Unstetigkeit dieser Funktion schließt Gleichmaßigkeit derKonvergenz daher immer aus.

• Ist αn eine rein positive Nullfolge (αn ≥ 0 ∀n ∈ N) und gilt |fn(x)− f(x)| ≤ αn furfast alle n ∈ N (alle außer endlich viele) und fur alle x ∈ D, dann konvergiert fn(x)auf D gleichmaßig gegen f(x). Anders ausgedruckt: Konvergiert die Supremums-norm

limn→∞

‖fn(x)− f(x)‖∞ = 0,

dann (und nur dann) ist die Funktionenfolge gleichmaßig konvergent.

• Weierstraß-Kriterium: Ist cn eine rein positive Nullfolge und∑∞

n=1 cn ist konver-gent sowie |fn(x)| ≤ cn fur fast alle n ∈ N und x ∈ D, dann konvergiert die Reihe∑∞

n=1 fn(x) auf D absolut und gleichmaßig.


7 REIHEN 30

• Ist∑∞

n=0 an(x− x0)n eine reelle Potenzreihe und es sei r ∈ (0, R), dann konvergiert

diese Reihe auf [x0 − r, x0 + r] gleichmaßig. Eine reelle Potenzreihe konvergiert alsoauf beliebigen abgeschlossenen Intervallen innerhalb von R immer gleichmaßig.

7.10.5 Nachtrag: Definition der Supremumsnorm

Sei f : D → R eine Funktion, dann ist die Supremumsnorm definiert als

‖f(x)‖∞ := sup{|f(x)| : x ∈ D}. (7.17)

Diese Supremumsnorm entspricht damit dem Grenzfall p → ∞ einer beliebigen p-Norm,die auf einem Funktionenraum definiert werden kann. Entsprechend gilt

‖f(x)‖∞ = limp→∞

(∫

x∈D|f(x)|p dx

) 1

p

. (7.18)

Fur nahere Informationen hierzu sei auf die Kapitel zu absolut und quadratintegra-blen Funktionen (p = 1 und p = 2) in http://lucaskunz.mpillich.de/wp-content/

uploads/2017/06/Fouriertransformation.pdf verwiesen.


http://lucaskunz.mpillich.de/wp-content/uploads/2017/06/Fouriertransformation.pdf

http://lucaskunz.mpillich.de/wp-content/uploads/2017/06/Fouriertransformation.pdf

8 STETIGKEIT 31

8 Stetigkeit

Im gesamten Kapitel 8 sei stets ∅ 6= D ⊆ R eine Menge und f, g : D → R seien Funktionen.

8.1 Definition von Stetigkeit

Eine Funktion f heißt dann stetig in x0 ∈ D, wenn fur jede Folge xn → x0 auch die Folgeder Funktionswerte f(xn) → f(x0) konvergiert. Entsprechend heißt f auf D stetig, wennes in jedem x0 ∈ D stetig ist. Man bezeichnet derartige Funktionen auch als Teil von

C(D) := {f : D → R|f ist stetig auf D}. (8.1)

Alternativ lasst sich Stetigkeit auch wie folgt definieren: f ist stetig in x0, wenn

∀ǫ > 0 ∃δ = δ(ǫ, x0) > 0 : |f(x)− f(x0)| < ǫ ∀x ∈ D mit |x− x0| < δ. (8.2)

In einem beliebig keinen Umkreis von x0 (im Kreis mit Radius δ) gilt also, dass sich auchdie Funktionswerte beliebig nahe an f(x0) (in einem Kreis mit Radius ǫ) befinden.

8.2 Stetigkeit bei Kompositionen von Funktionen

Sind die Funktionen f und g in x0 stetig, dann gilt dies auch fur f + g, f − g, f · g sowie|f | und |g|. Ist weiterhin f(x0) 6= 0 und D0 := D \ {x ∈ D : f(x) = 0} die Menge D ohnedie Nullstellen von f , dann ist auch die Funktion 1

f: D0 → R stetig an der Stelle x0.

Falls hingegen ∅ 6= E ⊆ R gilt und h : E → R stetig in y0 := f(x0) sowie f stetig in x0

sind und f(D) ⊆ E, dann ist auch die Verkettung h ◦ f : D → R stetig in x0.

8.3 Stetigkeit von Grenzfunktionen und Potenzreihen

Ist fn eine Funktionenfolge in C(D) (es sind also alle Glieder der Folge stetige Funktionen)und fn konvergiert auf D gleichmaßig, dann ist auch die Grenzfunktion lim

n→∞fn(x) =: f(x)

stetig. Selbiges gilt auch bei Funktionenreihen fur die Summenfunktion. Weiterhin stelltjede Potenzreihe innerhalb ihres Konvergenzradius eine stetige Funktion dar.

8.4 Grenzwerte von Funktionen

8.4.1 Delta-Umgebungen

Die Menge Uδ(x0) ist allgemein definiert als eine kleine Umgebung des Punktes x0, alsodurch {x : |x− x0| < δ}. Je nach Dimension beschreibt dies also den Inhalt eines Kreisesoder einer Kugel um x0 mit dem Radius δ. Hin und wieder verwendet man auch andereBuchstaben im Index (z.B. ǫ), die Definition an sich bleibt dabei allerdings dieselbe.

8.4.2 Haufungspunkte

Ein Punkt x0 ∈ D heißt Haufungspunkt (HP) von D, wenn eine Folge xn ∈ \{x0}existiert, die gegen x0 konvergiert. Damit ist er sehr ahnlich definiert wie der bereits inKapitel 6.4 eingefuhrte Haufungswert. Der Unterschied der beiden Definitionen liegt nurdarin, in welchem großeren Rahmen sich die gegen x0 konvergente Folge befindet. Ist sie


8 STETIGKEIT 32

Teilfolge eine anderen Folge an, so ist x0 deren Haufungswert; liegt sie in einer Menge D,so ist x0 deren Haufungspunkt. Haufig werden beide Bedingungen gleichzeitig erfullt.Falls x0 ein Haufungspunkt von D ist, dann befinden sich in jeder noch so kleinen Delta-Umgebung von x0 immer Punkte aus D, was anders ausgedruckt geschrieben werden kannals

∀δ > 0 : Uδ(x0) ∩ (D \ {x0}) 6= ∅. (8.3)

Die anderen Punkte der Menge D liegen einem Haufungspunkt also beliebig nahe, so wiees Folgenwerte an einem Haufungswert tun. Dies ist der Grund der ahnlichen Begriffe.

8.4.3 Grenzwert-Definition

Es seien α, β ∈ R∪{−∞,∞} Zahlen und es existiere mindestens eine Folge an ∈ D \ {α}mit an → α, dann gilt die folgende Aquivalenz:

limx→α

f(x) = β ⇐⇒ fur jede Folge xn ∈ D \ {α} mit xn → α gilt: f(xn) → β. (8.4)

Manchmal schreibt man auch f(x) → β (x → α). Der eventuell existierende Funktions-wert f(α) ist fur den Grenzwert nicht im geringsten relevant, sondern es geht nur dasVerhalten der Funktion links und rechts dieses betrachteten Punktes mit ein.

8.4.4 Eigenschaften von Grenzwerten

Sind f, g, h : D → R Funktionen, α ein Haufungspunkt von D und β, γ ∈ R ∪ {−∞,∞}seien Zahlen. Weiterhin existieren die Grenzwerte f(x) → β, g(x) → γ (x → α). Dann:

• Ist β ∈ R, dann gilt |f(x)| → |β|.

• ist β 6= 0, dann existiert ein δ > 0 sodass f(x) 6= 0 ∀x ∈ Uδ(α).

• Ist α ∈ R und β = 0 und gibt es ein δ > 0 mit der Eigenschaft, dass |h(x) − a| ≤f(x) ∀x ∈ Uδ(α), dann gilt h(x) → a (x → α). Diese Eigenschaft entspricht imPrinzip einem Majorantenkriterium fur Funktionen (f ist die Majorante).

• Gibt es ein δ > 0 mit der Eigenschaft, dass f(x) ≤ g(x)∀x ∈ Uδ(α), dann ist β ≤ γ.

• Gibt es ein δ > 0 mit der Eigenschaft, dass f(x) ≤ h(x) ≤ g(x) ∀x ∈ Uδ(α) und istβ = γ, dann gilt h(x) → β (x → α). Dies entspricht im Prinzip dem Einschnursatz(Sandwich-Theorem) fur Funktionen (h wird von f und g eingeschnurt).

• Sind β, γ ∈ R, dann gilt fur Kompositionen f(x)+g(x) → β+γ, f(x)−g(x) → β−γund f(x) · g(x) → β · γ fur x → α. Ist weiterhin β 6= 0, dann gilt 1

f(x)→ 1

β.

Eine weitere Eigenschaft des Grenzwertes sollte aufgrund ihrer recht großen Relevanzfur das Uberprufen von Stetigkeit speziell außerhalb der eben aufgefuhrten Aufzahlungerwahnt werden. Es handelt sich dabei um eine besondere Aquivalenz:

f : D → R stetig in x0 und dies ist ein HP von D ⇐⇒ limx→x0

f(x) = f(x0). (8.5)

Bei stetigen Funktionen stimmt also der Funktionswert immer mit dem Grenzwert anderselben Stelle x0 uberein. Auf diese Weise lasst sich einfach rechnerisch uberprufen, obeine Funktion an einem bestimmten Punkt stetig ist oder nicht.


8 STETIGKEIT 33

8.4.5 Vertauschen von Grenzwerten

Sind Funktionenfolgen/-reihen gleichmaßig konvergent, so lassen sich Grenzwerte inder Ausfuhrung ihrer Reihenfolge vertauschen und somit direkt auf die Grenz- bzw. Sum-menfunktion anwenden:

limn→∞

(

limx→x0

fn(x)

)

= limx→x0

(

limn→∞

fn(x))

= limx→x0

f(x) (8.6)

∞∑

n=1

(

limx→x0

fn(x)

)

= limx→x0

( ∞∑

n=1

fn(x)

)

= limx→x0

f(x). (8.7)

Bei reiner punktweiser Konvergenz ist diese Grenzwert-Vertauschung allerdings nichtmoglich und die beiden obigen Formeln sind nicht anwendbar.

8.4.6 Einseitige Grenzwerte

Einseitige Grenzwerte unterscheiden sich von den bislang definierten dadurch, dass nurWerte auf einer Seite des Punktes x0 betrachtet werden. Die formale Definition benotigtα ∈ R als Haufungspunkt von D+ := D ∩ (α,∞) fur den rechtsseitigen bzw. von D− :=D ∩ (−∞, α) fur den linksseitigen Grenzwert sowie β ∈ R ∪ {−∞,∞}. Dann gilt:

limx→α+

f(x) = β ⇐⇒ fur jede Folge xn ∈ D+ mit xn → α gilt: f(xn) → β (8.8)

limx→α−

f(x) = β ⇐⇒ fur jede Folge xn ∈ D− mit xn → α gilt: f(xn) → β. (8.9)

Ist α ein Haufungspunkt von sowohl D+ als auch D−, dann existiert der gewohnliche(beidseitige) Grenzwert und dieser stimmt mit den beiden einseitigen uberein:

limx→α

f(x) = limx→α+

f(x) = limx→α−

f(x) (8.10)

Als Beispiel fur die Anwendung von einseitigen Grenzwerten kann die sogenannte Heaviside-Sprungfunktion dienen:

Θ(x) :=

{

1 falls x ≥ 0

0 falls x < 0

Der beidseitige Grenzwert an der Stelle 0 ist nicht existent, jedoch die beiden einseitigen:

limx→0+

Θ(x) = 1 und limx→0−

Θ(x) = 0.

8.5 Zwischenwertsatz

Es seien a, b ∈ R, a < b und f ∈ C([a, b]). Weiterhin sei y0 ∈ [f(a), f(b)] falls f(a) ≤ f(b)bzw. in y0 ∈ [f(b), f(a)] falls f(b) ≤ f(a). Dann existiert mindestens ein x0 ∈ [a, b] furdas gilt, dass f(x0) = y0. Einfacher ausgedruckt: Ist eine Funktion stetig und nimmt zweiWerte f(a) und f(b) an, dann muss sie auch alle Werte dazwischen mindestens einmalannehmen. Den Spezialfall dieses Satzes mit y0 = 0 (also die Aussage, dass zwischeneinem positiven und einem negativen Funktionswert einer stetigen Funktion mindestenseine Nullstelle liegt) bezeichnet man auch als Nullstellensatz von Bolzano.Aus dem Zwischenwertsatz folgt auch, dass das Ergebnis f(I) der Abbildung eines Inter-valls I ⊆ R unter einer stetigen Funktion f ∈ C(I) selbst auch ein Intervall ist.


8 STETIGKEIT 34

8.6 Monotonie

Es sei f : D → R eine Funktion. Diese nennt man (streng) monoton wachsend, wennfur x1, x2 ∈ D mit x1 < x2 immer gilt, dass f(x1) < f(x2) bzw. f(x1) ≤ f(x2). Mitentsprechend umgedrehten Ungleichungen definiert man (streng) monotones Fallen.Ist I ⊆ R ein Intervall und f : I → R eine streng monotone Funktion (wachsend/fallend),dann ist f injektiv. Außerdem die Umkehrfunktion f−1 : f(I) → R ebenfalls strengmonoton (wachsend/fallend) und falls f ∈ C(I) auch stetig auf f(I), also f−1 ∈ C(f(I)).

8.7 Allgemeine Potenz und Logarithmus

Allgemein sind Potenzen mit irrationalen Exponenten nicht trivial zu definieren. Einesolche Rechnung ist nur dadurch ausfuhrbar, dass man eine Umschreibung zur Exponen-tialfunktion vornimmt:

ax := ex ln(a) =∞∑

n=0

(x ln(a))n

n!. (8.11)

Aus den bereits im Kapitel 7.7 aufgefuhrten Eigenschaften der Exponentialfunktion folgendaher die Potenzgesetze (es seien jeweils a, b > 0 und x, y ∈ R):

• ax+y = ax · ay

• a−x = 1ax

• (ax)y = ax·y

• (a · b)x = ax · bx

Weiterhin sind alle so definierten Potenzen positiv sowie stetig auf R. Je nach Große derBasis a ist die Funktion ax streng monoton fallend (a < 1) oder steigend (a > 1).Die Umkehrfunktion von f(x) = ax bezeichnet man bekanntlich als Logarithmus zurBasis a. Man schreibt diesen als f−1(x) = loga(x), wobei ln(x) := loge(x) als naturlicherLogarithmus bezeichnet wird. Ahnlich wie Potenzen druckt man auch Logarithmen im-mer uber den ln aus:

loga(x) =ln(x)

ln(a). (8.12)

Fur diese gelten die bekannten Logarithmengesetze: Fur Addition und Subtraktion vonLogarithmen gilt ln(a) + ln(b) = ln(a · b) bzw. ln(a)− ln(b) = ln

(ab

), wobei letzteres aus

ln(1a

)= − ln(a) folgt. Weiterhin gilt auch ln(ax) = x · ln(a). Diese Regeln gelten naturlich

fur Logarithmen zu beliebigen Basen und nicht nur fur die Basis e (also den ln).

8.8 Abgeschlossenheit und Kompaktheit

Eine Menge A ⊆ R heißt abgeschlossen, wenn fur jede konvergente Folge in A auch ihrGrenzwert zur Menge A gehort, also (xn) ∈ A ⇒ lim xn ∈ A. Dies bedeutet, dass jederHaufungspunkt von A in der Menge A selbst liegt. Eine Menge A ⊆ R heißt kompakt,wenn jede Folge in A mindestens eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert in A enthalt.Anders ausgedruckt: A ist kompakt ⇐⇒ A ist beschrankt und abgeschlossen.In einer kompakten Menge ∅ 6= D ⊆ R existiert immer ein Maximum und ein Minimum.Selbiges gilt auch fur Funktionen auf kompakten Mengen: Ist f ∈ C(D), dann ist f(D)kompakt und f besitzt auf D mindestens ein Maximum und ein Minimum.


9 TRIGONOMETRISCHE UND HYPERBELFUNKTIONEN 35

9 Trigonometrische und Hyperbelfunktionen

9.1 Sinus und Cosinus

Wie bereits im Kapitel 7.8 eingefuhrt sind die trigonometrischen Grundfunktionen Sinusund Cosinus definiert als

sin(z) =∞∑

n=0

(−1)nz2n+1

(2n+ 1)!und cos(z) =

∞∑

n=0

(−1)nz2n

(2n)!. (9.1)

Uber letzteren definiert man schließlich eine spezielle Zahl: π ist das Doppelte der kleins-ten positiven Nullstelle des Cosinus. Unter Verwendung dieser Zahl lassen sich einigeEigenschaften der beiden eben genannten Funktionen kompakt ausdrucken:

• cos(0) = 1, sin(0) = 0, cos(π) = −1, sin(π) = 0, cos(2π) = 1, sin(2π) = 0

• sin(x+ π

2

)= cos(x), cos

(x+ π

2

)= − sin(x)

• sin(x+π) = − sin(x), cos(x+π) = − cos(x), sin(x+2π) = sin(x), cos(x+2π) = cos(x)

• cos(x) = 0 ⇐⇒ ∃k ∈ Z : x = (2k + 1)π2

• sin(x) = 0 ⇐⇒ ∃k ∈ Z : x = kπ

• sin(−x) = − sin(x), cos(−x) = cos(x)

• sin(x+ π

2

)= sin

(x− π

2

), cos

(x+ π

2

)= − cos

(x− π

2

)

• sin(π4

)= cos

(π4

)= 1

2

√2 = 1√

2

• | sin(x)| ≤ 1, | cos(x)| ≤ 1, sin, cos ∈ C(R)

Naturlich lassen sich auch Sinus und Cosinus umkehren. Da sie allerdings nur auf einemeingeschrankten Intervall bijektiv sind muss dieses zunachst spezifiziert werden:

• Der Sinus ist auf[−π

2, π2

]streng monoton wachsend. Seine Umkehrfunktion ist defi-

niert als arcsin := sin−1 : [−1, 1] →[−π

2, π2

]und wird als Arcus sinus bezeichnet.

• Der Cosinus ist auf [0, π] streng monoton fallend. Seine Umkehrfunktion ist definiertals arccos := cos−1 : [−1, 1] → [0, π] und wird als Arcus cosinus bezeichnet.

Beide Umkehrfunktionen sind stetig und weisen wegen der letzten Aussage in Kapitel 8.6dieselbe Art von strenger Monotonie auf wie die jeweils ursprungliche Funktion.

9.2 Tangens und Cotangens

Es sei D := R \ {(2k + 1) · π2: k ∈ Z} die Menge der reellen Zahlen ohne die Nullstellen

des Cosinus, dann ist der Tangens definiert als

tan(x) :=sin(x)

cos(x), x ∈ D. (9.2)

Diese Funktion hat die folgenden Eigenschaften:



• tan(x) ist stetig auf D und auf(−π

2, π2

)streng monoton wachsend

• tan(0) = 0, tan(π4

)= 1, tan(x) = tan(−x), tan(x+ π) = tan(x)

• tan(x) → +∞(x → π

2−), tan(x) → −∞

(x → −π

2+)

Auch der Tangens lasst sich umkehren, wobei man das Intervall(−π

2, π2

)zugrunde legt.

Die Funktion arctan := tan−1 : R →(−π

2, π2

)nennt man Arcus tangens. Fur ihn gilt:

• arctan(0) = 0, arctan(1) = π4

• tan(x) → π2(x → +∞) , tan(x) → −π

2(x → −∞)

Der Arcus tangens ist auf ganz R stetig und streng monoton wachsend. Naturlich kannman den Quotienten aus Sinus und Cosinus aber auch anders herum definieren:

cot(x) :=cos(x)

sin(x), x ∈ D. (9.3)

nennt sich Cotangens, wobei in diesem Falle die Definitionsmenge D = R \ {kπ : k ∈Z} die Menge der reellen Zahlen ohne die Nullstellen des Sinus ist. Auch der cot(x) istumkehrbar.

9.3 Komplexe Zahlenebene

Aus Kapitel 7.8 ist bereits die Darstellung der komplexen Exponentialfunktion durch Sinusund Cosinus bekannt. Aus dieser heraus lasst sich eine vielfach nutzliche Darstellungkomplexer zahlen herleiten. Ist z ∈ C, dann gibt es genau ein r > 0 und genau einϕ ∈ (−π, π], sodass

z = r · eiϕ = r · (cos(ϕ) + i · sin(ϕ)) . (9.4)

Den Winkel ϕ bezeichnet man dabei als das Argument von z, anschaulich ist es derWinkel zwischen der reellen Achse und der Verbindungslinie von z mit dem Nullpunkt. Mitdieser neuen Schreibweise sind Multiplikationen komplexer Zahlen wesentlich einfacherauszufuhren:

z := r · eiϕ, w := s · eiψ ⇒ z · w = r · s · ei(ϕ+ψ). (9.5)

Bei der Multiplikation addiert man also die Argumente und multipliziert nur die Betrage.

9.4 Sinus und Cosinus Hyperbolicus

In starker Analogie zu Sinus und Cosinus (siehe Kapitel 7.8) definiert man

sinh(x) :=1

2

(ex − e−x

)und cosh(x) :=

1

2

(ex + e−x

)(9.6)

als Sinus hyperbolicus und Cosinus hyperbolicus. Im Gegensatz zu ihren nicht hy-perbolischen Entsprechungen sind sinh und cosh aber nicht im geringsten periodisch. Siehaben aber noch weitere von der Trigonometrie abweichende Eigenschaften:

• sinh und cosh sind Potenzreihen: cosh(x) =∑∞

n=0x2n

(2n)!und sinh(x) =

∑∞n=0

x2n+1

(2n+1)!.

Diese Reihen entsprechen denen des normalen sin und cos bis auf den Faktor (−1)n.

• cosh(x+ y) = cosh(x) · cosh(y) + sinh(x) · sinh(y)



• sinh(x+ y) = sinh(x) · cosh(y) + cosh(x) · sinh(y)

• cosh2(x)− sinh2(x) = 1, cosh(0) = 1, sinh(0) = 0 ; sinh, cosh ∈ C(R)

• sinh und cosh sind nicht beschrankt, sondern besitzen im unendlichen die folgendenGrenzwerte: cosh → ∞ (x → ±∞), sinh → ∞ (x → ∞), sinh → −∞ (x → −∞).

• sinh ist auf ganz R streng monoton wachsend.

• cosh ist auf (−∞, 0] streng monoton fallend, auf [0,∞) streng monoton wachsend.

9.5 Tangens Hyperbolicus und Umkehrfunktionen

Ebenso wie aus sin und cos lasst sich auch fur Hyperbelfunktionen eine Umkehrfunktionbilden. Diese nennt man Area sinus hyperbolicus bzw. Area cosinus hyperbolicus:

Arsinh := sinh−1 : R → R; Arcosh := cosh−1 : R → [0,∞). (9.7)

Weiterhin bezeichnet man die Quotienten der beiden Funktionen analog zum trigono-metrischen Fall auch als Tangens hyperbolicus und Cotangens hyperbolicus. Beiletzterem ist dabei darauf zu achten, dass er an der Stelle x = 0 nicht definiert ist, weil derim Nenner stehende sinh(0) zur Divergenz fuhrt. Der tanh hat aber keine Einschrankungendes Definitionsbereichs und bildet daher von R in das offene Intervall (−1, 1) ab:

tanh(x) :=sinh(x)

cosh(x); coth(x) :=

cosh(x)

sinh(x). (9.8)

Auch diese beiden Funktionen sind stetig (außer coth im Nullpunkt) und umkehrbar undman erhalt somit Area tangens hyperbolicus bzw. Area cotangens hyperbolicus:

Artanh := tanh−1 : (−1, 1) → R; Arcoth := coth−1 : R \ [−1, 1] → R \ {0}. (9.9)


10 DIFFERENTIALRECHNUNG 38

10 Differentialrechnung

In diesem Kapitel sei I ⊆ R ein Intervall und f : I → R eine Funktion. Hierbei ist zubeachten, dass in einem Intervall jeder Punkt x ∈ I ein Haufungspunkt von I ist.

10.1 Definition der Ableitung

Eine Funktion f heißt in x0 ∈ I differenzierbar (db) genau dann, wenn der Grenzwert

limx→x0

f(x)− f(x0)

x− x0

(10.1)

existiert. In diesem Fall wird obiger Grenzwert als Ableitung von f in x0 (f′(x0)) bezeich-

net. Ist f in allen x ∈ I differenzierbar, so nennt man die Funktion f ′(x) : I → R dieAbleitung von f . Eine andere Moglichkeit zur Definition und Berechnung der Ableitungbesteht im (zum obigen aquivalenten) Grenzwert

f ′(x0) = limh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h. (10.2)

Ist eine Funktion in x0 differenzierbar, so muss sie in x0 auch stetig sein. Im Umkehrschlussist aber nicht jede stetige Funktion differenzierbar (z. B. f(x) = |x| fur x = 0).

10.2 Ableitungsregeln

10.2.1 Linearitat

Sind f und g Funktionen und in x0 differenzierbar, so ist auch deren Linearkombinationh := αf + βg (α, β ∈ R) in x0 differenzierbar und es gilt

h′(x0) = αf ′(x0) + βg′(x0). (10.3)

10.2.2 Produktregel

Sind f und g in x0 differenzierbar, so ist auch deren Produkt h : f · g in x0 differenzierbarund es gilt

h′(x0) = f ′(x0) · g(x0) + f(x0) · g′(x0). (10.4)

10.2.3 Quotientenregel

Sind f und g in x0 differenzierbar und g(x) 6= 0 ∀x ∈ Uδ(x0), so ist auch deren Quotienth : f

gin x0 differenzierbar und es gilt

h′(x0) =f ′(x0) · g(x0)− f(x0) · g′(x0)

(g(x0))2(10.5)

Diese Regel ist nur ein Spezialfall der Produktregel. Schreibt man 1gals eine weitere

Funktion k und wendet die Produktregel auf f · k an, dann erhalt man ebenso diesenAusdruck, wenn man alles auf den gemeinsamen Nenner g2 bringt.



10.2.4 Kettenregel

Ist f : I → R in x0 ∈ I differenzierbar, f(I) ⊆ J und g : J → R ist in y0 = f(x0)differenzierbar, dann ist die Verkettung g ◦ f : I → R in x0 differenzierbar und es gilt

(g ◦ f)′(x0) = g′(f(x0)) · f ′(x0). (10.6)

10.2.5 Ableitung der Umkehrfunktion

Die Funktion f ∈ C(I) sei streng monoton (also auf f(I) bijektiv und daher umkehrbar)und in x0 differenzierbar mit Ableitung f ′(x0) 6= 0, dann ist f−1 : f(I) → R in y0 = f(x0)differenzierbar und es gilt

(f−1)′(y0) =1

f ′(x0)=

1

f ′(f−1(y0)). (10.7)

10.3 Innere Punkte und Extrema

Es sei ∅ 6= D ⊆ R eine Menge und g : D → R eine Funktion. Man nennt x0 ∈ D eineninneren Punkt von D, wenn es eine δ-Umgebung des Punktes gibt (siehe Kapitel 8.4.1),die komplett in der Menge D liegt. Mathematisch formuliert lautet diese Forderung

x0 ∈ D ist ein innerer Punkt von D ⇔ ∃δ > 0 : Uδ(x0) ⊆ D. (10.8)

Ein innerer Punkt ist also genau das, was man sich unter dem begriff anschaulich vorstellenwurde, namlich ein Punkt, der auf allen Seiten von weiteren Teilen der Menge D umgebenist. Innere Punkte haben eine besondere Bedeutung bei der Untersuchung von Extremaeiner Funktion, welche folgendermaßen definiert sind:

g hat in x0 ein lokales Maximum ⇔ ∃δ > 0 : g(x) ≤ g(x0) ∀x ∈ D ∩ Uδ(x0), (10.9)

g hat in x0 ein lokales Minimum ⇔ ∃δ > 0 : g(x) ≥ g(x0) ∀x ∈ D ∩ Uδ(x0). (10.10)

Diese Definition entspricht genau dem bereits aus Schulzeiten bekannten Extremums-Begriff. Liegt das Extremum einer Funktion an einem inneren Punkt, dann verschwindetan dieser Stelle die Ableitung der Funktion. Ist also g im inneren Punkt x0 ∈ D diffe-renzierbar und hat ein Extremum, dann gilt g′(x0) = 0. Außer an den Randpunkten derDefinitionsmenge D ist also ein Extremum immer gleichbedeutend mit einer Nullstelle derAbleitung. Besagte Randpunkte mussen bei einer Kurvendiskussion getrennt betrachtetwerden, wobei die Ungleichung aus Definition 10.9 oder 10.10 uberpruft werden muss.

10.4 Mittelwertsatz

Es seien a, b ∈ R, a < b und f eine auf (a, b) differenzierbare Funktion. Die Stetigkeit auf(a, b) folgt direkt aus der Differenzierbarkeit, zusatzlich fordern wir aber auch Stetigkeitin a und b, also f ∈ C([a, b]). Dann gibt es ein ξ ∈ (a, b) mit der Eigenschaft, dass

f ′(ξ) =f(b)− f(a)

b− a. (10.11)

Es gibt also mindestens einen Punkt, an dem die Steigung der Funktion gleich der Steigungder direkten Verbindung der Punkte (a, f(a)) und (b, f(b)) ist.



10.5 Verallgemeinerter Mittelwertsatz

Es seien erneut a, b ∈ R, a < b. Weiterhin seien f und g auf (a, b) differenzierbare undauf [a, b] stetige Funktionen. ist g′(x) 6= 0 ∀x ∈ (a, b), dann ist g(a) 6= g(b) und

∃ξ ∈ (a, b) :f(b)− f(a)

g(b)− g(a)=

f ′(ξ)

g′(ξ). (10.12)

Mit der Funktion g(x) = x ergibt sich daraus wieder der normale Mittelwertsatz.

10.6 Regel von l’Hospital

Es seien a, b ∈ R∪{−∞,∞}, a < b, sowie f, g : (a, b) → R seien auf (a, b) differenzierbareFunktionen mit g′(x) 6= 0 ∀x ∈ (a, b). Weiterhin definieren wir Lγ ∈ R ∪ {−∞,∞} wiefolgt:

Lγ := limx→γ

f ′(x)

g′(x), (10.13)

wobei die Grenze γ entweder a oder b ist. Es gibt also zwei solche Lγ, namlich La und Lb.In zwei haufig auftretenden Fallen kann die Große Lγ helfen, Grenzwerte der Funktionenf und g bzw. deren Quotienten zu berechnen:

• Ist limx→γ

f(x) = limx→γ

g(x) = 0, dann gilt limx→γ

f(x)g(x)

= Lγ.

• Ist limx→γ

g(x) = ±∞, so gilt ebenfalls limx→γ

f(x)g(x)

= Lγ.

Dies gilt sowohl fur γ = a als auch γ = b, wobei es innerhalb einer Rechnung naturlich festgewahlt werden muss und nicht mehr getauscht werden darf. Grob lasst sich also sagen:In den beschriebenen zwei Fallen stimmen der Grenzwert des Quotienten der Ableitungenund der Grenzwert des Quotienten der Funktionen selbst uberein.Die Regel lasst sich naturlich auch mehrfach anwenden, sodass etwas uber Grenzwertevon hoheren Ableitungen (siehe im folgenden Kapitel 10.7) ausgesagt werden kann.

10.7 Mehrfache Ableitungen

Eine Funktion lasst sich nicht nur einfach, sondern haufig auch mehrfach ableiten. Istf : I → R eine solche in x0 differenzierbare Funktion und ihre Ableitung f ′(x0) ist erneutdifferenzierbar, dann existiert die zweite Ableitung f ′′(x0). Ganz analog definiert manauch weitere Ableitungen wie f ′′′(x0), f

(4)(x0), ... sowohl an der festen Stelle x0 also auch(falls existent) auf dem ganzen Intervall I. Fur hohere Ableitungen hat man dabei diekurze Notation f (n)(x0) eingefuhrt, was die n-te Ableitung bedeutet und das schreibenvon n Strichen vermeiden soll. Entsprechend kann man auch f (1)(x0) fur die erste undf (2)(x0) fur die zweite Ableitung schreiben, was in der Praxis aber selten getan wird.Eine weitere haufige Notation liegt in den Mengen

Cn(I) := {f : I → R|f ist auf I n-fach stetig differenzierbar}. (10.14)

Eine Funktion f ∈ Cn(I) lasst sich auf dem Intervall I n mal ableiten und diese Ablei-tungen sind stetig auf I (was genau der Bedeutung von stetiger Differenzierbarkeitentspricht). Fur n = 0 ist C0(I) = C(I) die Menge der stetigen Funktionen auf demIntervall I (siehe Kapitel 8), was also der Notation f (0)(x0) = f(x0) entspricht.



10.8 Satz von Taylor

Es sei n0 ∈ N und f ∈ Cn(I) sowie x0 ∈ I. Dann nennt man

Tn(f, x0)(x) :=n∑

k=0

f (k)(x0)

k!(x− x0)

k (10.15)

= f(x0) + f ′(x0)(x− x0) + · · ·+ f (n)(x0)

n!(x− x0)

n (10.16)

das n-teTaylorpolynom von f . Die Stelle x0 nennt man dabei den Entwicklungspunktdes Polynoms. An dieser Stelle stimmt T in all seinen Ableitungen mit der Funktion f undderen Ableitungen uberein (wie durch nachrechnen mit der Definition uberpruft werdenkann). Ist f ein Polynom von Grad ≤ n, dann sind T und f sogar uberall auf I identisch.Wir haben bereits f ∈ Cn(I) vorausgesetzt. Weiterhin existiere auf I auch die (n+ 1)-teAbleitung der Funktion f , diese muss jedoch nicht zwingend stetig sein. Ist nun x ∈ I,dann existiert ein ξ zwischen x und x0, sodass

f(x) = Tn(f, x0)(x) +f (n+1)(ξ)

(n+ 1)!(x− x0)

n+1. (10.17)

Die Funktion lasst sich also darstellen als Summe ihres Taylorpolynoms und eines soge-nannten Restgliedes. In der Physik wird das Restglied meist vernachlassigt, da die Appro-ximation durch T meist ausreichend gut ist. Eine andere haufige Variante der Nutzungdes Satzes von Taylor besteht darin, den Grenzwert n → ∞ zu betrachten, wodurch sichdie Potenzreihe einer Funktion ergibt. Die Reihendarstellung des Sinus, Kosinus oder derExponentialfunktion sind Taylorpolynome von Grad n = ∞ um den Entwicklungspunktx0 = 0. Solche unendlichen Taylorpolynome werden auch als Taylorreihen bezeichnet.

10.8.1 Spezialfall n = 0

Falls man das Taylorpolynom nur bis zur nullten Ordnung berechnet, lautet der Satz vonTaylor folgendermaßen (es sei x > x0):

∃ξ ∈ (x0, x) : f(x) = f(x0) + f ′(ξ)(x− x0). (10.18)

Geht man nun hin und benennt b := x und a := x0, so ist dies genau der Mittelwertsatz.

10.9 Eigenschaften von Extrema

Es sei n ≥ 2 und f ∈ Cn(I). Weiterhin sei x0 ein innerer Punkt von I und f ′(x0) = . . . =f (n−1)(x0) = 0, aber f (n)(x0) 6= 0. Dann lasst sich folgendes sagen:

• Ist n gerade und f (n)(x0) > 0, so hat f in x0 ein Minimum, ist hingegen f (n)(x0) < 0,so hat f in x0 ein Maximum.

• Ist n ungerade, so hat f in x0 kein lokales Extremum, sondern nur einen Sattelpunkt.



10.10 Ableitungen von Potenzreihen

Es sei eine Funktion f : I → R definiert uber eine Potenzreihe mit KonvergenzradiusR > 0, wobei I := (x0 − R, x0 + R) bzw. I = R falls R = ∞. Die Funktion ist alsodefiniert als

f(x) =∞∑

n=0

an(x− x0)n (10.19)

und hat folgende Eigenschaften:

• Sie ist unendlich oft stetig differenzierbar, also f ∈ C∞(I).

• Ihre erste Ableitung ist gegeben durch

f ′(x) =∞∑

n=0

(an(x− x0)n)′ =

∞∑

n=0

n an(x− x0)n−1. (10.20)

Diese Reihe hat exakt den selben Konvergenzradius wie die ursprungliche Funktion.

• Hohere Ableitungen lassen sich berechnen als

f (k)(x) =∞∑

n=k

(n · (n− 1) · . . . · (n− (k − 1))) an(x− x0)n−k (10.21)

und haben alle ebenfalls den selben Konvergenzradius. Der untere Index der Summekann dabei beliebig zwischen 0 und k verschoben werden, da samtliche zugehorigenTerme aufgrund des Vorfaktors n · (n− 1) · . . . ohnehin verschwinden.

• Die Koeffizienten an lassen sich berechnen als Koeffizienten einer Taylorreihe:

an =f (n)(x0)

n!∀n ∈ N0. (10.22)

10.11 Abelscher Grenzwertsatz

Es sei bn eine Folge und die Reihe∑∞

n=0 bn sei konvergent. In diesem Fall hat die Potenz-reihe

∑∞n=0 bnx

n einen Konvergenzradius von R ≥ 1 und es gilt

limx→1−

( ∞∑

n=0

bnxn

)

=∞∑

n=0

bn. (10.23)

10.12 Identitatssatz fur Potenzreihen

Es sei erneut eine Funktion f : I → R definiert uber eine Potenzreihe mit Konvergenzra-dius R > 0, mit dem Intervall I := (x0−R, x0+R) bzw. I = R falls R = ∞. Die Funktionhat also genau die selbe Form wie die in Gleichung 10.19.Weiterhin sei eine konvergente Folge (xm) ∈ I \ {x0} gegeben, die gegen den Entwick-lungspunkt der Reihe konvergiert, also xm → x0 (m → ∞). Gilt nun f(xm) = 0 ∀m ∈ N,dann gilt f(x) = 0 ∀x ∈ I und sogar an = 0 ∀n ∈ N.Ist also die Funktion f (dargestellt durch eine Potenzreihe) entlang einer konvergentenFolge xm immer 0, dann ist sie innerhalb des gesamten Konvergenzradius identisch mit0. Entsprechend gilt, dass zwei Funktionen g und h auf ihrem ganzen Definitionsbereich



identisch sind, wenn sie entlang einer konvergenten Folge ubereinstimmen. Hierzu definiereman einfach die Differenz der beiden als neue Funktion f(x) := g(x) − h(x), die dannentlang der Folge xm verschwindet, und wendet darauf diesen Satz an.Auf diese Art lasst sich die Eindeutigkeit einer bestimmen Funktion recht einfach bewei-sen, was in der Mathematik haufig genutzt wird. Erneute Anwendung findet dieser Satzam Ende von HM II zur Herleitung des Identitatssatzes fur holomorphe Funktionen.


11 INTEGRATION 44

11 Integration

In diesem Kapitel seien a, b ∈ R, a < b, f : [a, b] → R sei eine beschrankte Funktionund m := inf(f([a, b])) sowie M := sup(f([a, b])).

11.1 Definition des Integrals

Eine Menge Z := {x0, x1, . . . , xn} heißt eine Zerlegung des Intervalls [a, b], wenn a =x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b. Sei also Z eine Zerlegung von [a, b] und basierenddarauf seien Teilintervalle definiert als Ij := [xj−1, xj] (j = 1, . . . , n). Die Lange dieserIntervalle wird im Folgenden bezeichnet als |Ij| := xj − xj−1.Man kann nun die Suprema und Infima einer (wie zuvor gefordert beschrankten) Funktionf auf diesen Teilintervallen bestimmen. Diese bezeichnet man mit mj und Mj:

mj := inf f(Ij) (11.1)

Mj := sup f(Ij). (11.2)

Damit lassen sich nun sogenannte Unter- und Obersummen definieren:

sf (Z) :=n∑

i=1

mj · |Ij| (11.3)

Sf (Z) :=n∑

i=1

Mj · |Ij|. (11.4)

Anschaulich sind diese Summen der Flacheninhalt der Rechtecke, die entstehen, wennman die Lange des jeweiligen Teilintervalls mit dem Wert des Infimums/des Supremumsmultipliziert. Direkt aus den Definitionseigenschaften von Infimum und Supremum undebenso mit etwas geometrischer Logik folgt, dass sf (Z) ≤ Sf (Z).Weiterhin durfte klar sein, dass bei großen Teilintervallen die Abschatzung des Funkti-onswerts durch inf und sup nicht sonderlich gut ist, aber mit immer kleiner werdendenIntervallen besser wird. Mit feiner werdendem Z, also bei Unterteilung in mehr Teilin-tervalle, wird also sf großer und Sf kleiner und der Bereich zwischen ihnen kleiner unddamit besser bestimmt. Diese Entwicklung lasst sich im Idealfall in einem Grenzwert furimmer feinere Zerlegungen (n → ∞) festhalten, der wie folgt definiert ist:

sf := sup {sf (Z)|Z ist Zerlegung von I} (11.5)

Sf := inf {Sf (Z)|Z ist Zerlegung von I}. (11.6)

Diese beiden Grenzwerte bezeichnet man gelegentlich auch als unteres und oberes In-tegral. Die Funktion f heißt nun genau dann (Riemann-)integrierbar, wenn die beidenGrenzwerte ubereinstimmen, also wenn sf = Sf . In diesem Fall nennt man diese Grenz-werte auch das Integral der Funktion uber dem Intervall I,

∫

I

f(x) dx := Sf = sf . (11.7)

Diese Eigenschaft der Integrierbarkeit ist gegeben fur jede beschrankte, jede monotoneund fur jede stetige Funktion, fur andere muss sie gegebenenfalls nachgewiesen werden.Die Menge der auf dem Intervall I integrierbaren Funktionen bezeichnet man mit R(I).


11 INTEGRATION 45

Die Gleichheit der beiden Grenzwerte sf uns Sf lasst sich analog zur bekannten Definitionvon Konvergenz auch folgendermaßen ausdrucken:

f ∈ R[a, b] ⇔ ∀ǫ > 0 ∃ Zerlegung Z von [a, b] : Sf (Z)− sf (Z) < ǫ. (11.8)

Die Differenz der beiden Grenzwerte wird also fur passend gewahlte Zerlegungen belie-big klein. Diese Schreibweise bezeichnet man auch als das Riemannsche Integrabi-litatskriterium; sie ist offenbar gleichbedeutend mit der zuvor verwendeten.

11.1.1 Riemann-Summen

Statt uber Unter- und Obersummen ist eine Definition des Integrals auch uber sogenannteRiemann-Summen moglich. Man verwendet dazu Zerlegungen sowie die Infima mj undSuprema Mj analog zum bereits erlauterten Weg, summiert diese jedoch anders. Um diessinnvoll darzustellen bedarf es zunachst zweier Definitionen:

• ‖Z‖ := max{|Ij| : j = 1, . . . , n} nennt man die Feinheit von Z. Sie entspricht derLange des großten Teilintervalls der Zerlegung. Je kleiner diese Intervalle also sind,desto geringer ist der Wert der Feinheit (obwohl die Zerlegung ja feiner wird).

• Wenn man in jedem Teilintervall Ij eine Zahl ξj wahlt, dann heißt das daraus ent-stehende n-Tupel ξ := (ξ1, ξ2, . . . , ξn) passend zur Zerlegung Z.

Basierend darauf definiert man die Riemann-Summe als

σf (Z, ξ) :=n∑

j=1

f(ξj)|Ij|. (11.9)

Aufgrund der Relation mj ≤ f(ξj) ≤ Mj gilt auch sf (Z) ≤ σf (Z, ξ) ≤ Sf (Z). Ist alsof ∈ R[a, b], Zn eine Folge von Zerlegungen mit ‖Zn‖ → 0 (die Zerlegungen werden alsomit steigendem n immer feiner) und ξ(n) die Folge der jeweils passende Tupel, dann gilt

σf (Zn, ξ(n)) →

∫ b

a

f(x) dx (11.10)

aufgrund des Einschnurungssatzes/Sandwich-Theorems (sf (Z) von unten und Sf (Z) vonoben) entsprechend Punkt 8 der Aufzahlung im Kapitel 6.2. Das Prinzip dieser Definitionist also wie bereits erwahnt genau das selbe wie uber Ober- und Untersummen.

11.2 Grundlegende Eigenschaften des Integrals

Praktischerweise ist das Integral linear

∫

I

αf(x) + βg(x) dx = α

∫

I

f(x) dx+ β

∫

I

g(x) dx ∀α, β ∈ R, f, g ∈ R(I) (11.11)

und erfullt die Dreiecksungleichung

∣∣∣∣

∫

I

f(x) dx

∣∣∣∣≤∫

I

|f(x)| dx. (11.12)


11 INTEGRATION 46

Außerdem gilt naturlich falls g ≤ f auf I, dass bei Integration diese Ungleichung beibe-halten wird, also ∫

I

g(x) dx ≤∫

I

f(x) dx. (11.13)

Neben diesen oft allgemein verwendbaren Eigenschaften benotigt man noch Definitionenfur Spezialfalle. Die zwei haufigsten derer sind die folgenden:

∫ a

b

f(x) dx = −∫ b

a

f(x) dx und

∫ a

a

f(x) dx = 0. (11.14)

Fur den Fall, dass a < c < b und f ∈ R[a, b] gilt:

∫ b

a

f(x) dx =

∫ c

a

f(x) dx+

∫ b

c

f(x) dx. (11.15)

Aus f ∈ R[a, b] folgt also in diesem Fall direkt f ∈ R[a, c] und f ∈ R[c, b]. Dies ist moglichfur jedes beliebige c ∈ (a, b), der Wert des Integrals bleibt derselbe.Ist f ∈ R(I) und c ∈ I sowie F : I → R definiert als

F (x) :=

∫ x

c

f(t) dt , dann gilt

∫ b

a

f(x) dx = F (b)− F (a) ∀a, b ∈ I. (11.16)

Auch hier ist der Wert des rechten Integrals unabhangig von der exakten Wahl von c.

11.3 Integrierbarkeit von Kompositionen

Haufig ist es interessant zu wissen, welche Eigenschaften bezuglich Integration eine Kom-position (Produkt, Quotient, Verkettung, ...) von integrierbaren Funktionen hat. Zur ge-naueren Betrachtung dieser Eigenschaften seien die beiden Funktionen f, g : [a, b] → R

integrierbar und D := f([a, b]). Mit diesen Voraussetzungen folgt:

• ist h : D → R eine Funktion und existiert ein L ≥ 0, sodass

|h(t)− h(s)| ≤ L · |t− s| ∀t, s ∈ D, (11.17)

dann ist h ◦ f ∈ R[a, b]. Eine Funktion h, die diese Bedingung erfullt, bezeichnetman als Lipschitz-stetig. Anschaulich gesprochen bedeutet dies, dass der Betragder Steigung von h nach oben durch die Konstante L beschrankt ist.

• Das Produkt von f und g ist integrierbar, f · g ∈ R[a, b].

• Existiert ein c > 0 mit |f(x)| ≥ c∀x ∈ [a, b], so ist 1f∈ R[a, b], denn 1

fist beschrankt

und auf ganz [a, b] wohl definiert (f 6= 0).

11.4 Gleichmaßige Stetigkeit

Um die Definition von gleichmaßiger Stetigkeit besser von der zur gewohnlichen Stetigkeitunterscheiden zu konnen, sei diese hier nochmals wiederholt (siehe Gleichung 8.2):

∀ǫ > 0 ∃δ = δ(ǫ, x0) > 0 : |f(x)− f(x0)| < ǫ ∀x ∈ D mit |x− x0| < δ. (11.18)


11 INTEGRATION 47

Gleichmaßige Stetigkeit zeichnet sich nun dadurch aus, dass anschaulich die Große desFensters erlaubter Werte um den Funktionswert herum nicht mehr von x0 abhangt:

∀ǫ > 0 ∃δ = δ(ǫ) > 0 : |f(x)− f(x0)| < ǫ ∀x ∈ D mit |x− x0| < δ. (11.19)

Der einzige Unterschied liegt darin, dass einmal δ = δ(ǫ, x0) und einmal nur δ = δ(ǫ) ist.

Wenn man sich am Funktionsgraphen veranschaulicht, was diese Definitionen bedeuten,dann wird durch die δ und ǫ ein Rechteck begrenzt, dessen waagerechte Seite die Lange2δ und die senkrechte Seite die Lange 2ǫ hat. Die Relation dieser beiden Langen hangtbei gewohnlicher Stetigkeit vom betrachteten Ort x0 ab. Bei gleichmaßiger Stetigkeit istdas nicht der Fall, wenn man also an einer Stelle der Funktion ein passendes Rechteckgefunden hat, so muss dieses auch an allen anderen Stellen verwendbar sein. Das bedeutet,dass der Graph das Rechteck immer nur durch die senkrechten Seiten verlassen darf, dader Betrag der abweichenden Funktionswerte kleiner als ǫ sein muss. Folglich konnen nurFunktionen die Eigenschaft der gleichmaßigen Stetigkeit besitzen, deren Steigung globalbegrenzt ist, da ansonsten irgendwann ǫ gegen ∞ streben musste. Diese Forderung nachglobal beschrankter Steigung ist der definierenden Eigenschaft der Lipschitz-Stetigkeit(siehe Kapitel 11.3, Aufzahlung Punkt 1) sehr ahnlich. Im Unterschied zu dieser lasstgleichmaßige Stetigkeit aber eine Divergenz der Steigung an einem einzelnen Punkt (wieim Falle von

√x bei x = 0) zu, sofern sie am Rand des betrachteten Intervalls liegt.

Da gleichmaßige Stetigkeit eine Verscharfung des normalen Stetigkeitsbegriffs darstellt,folgt aus ihr immer direkt gewohnliche Stetigkeit. Die Umkehrung dessen ist im Allge-meinen falsch. Dennoch ist auf einem kompakten Intervall jede stetige Funktion auchgleichmaßig stetig. Dies liegt wie bereits bei gleichmaßiger Konvergenz daran, dass anden Randern keine (großraumigen) Divergenzen der Steigung mehr auftreten konnen.

11.5 Stammfunktionen

Es sei I ⊆ R ein Intervall und f, F : I → R seien Funktionen. die Funktion F heißtgenau dann Stammfunktion von f , wenn sie auf I differenzierbar ist und F ′ = f gilt.Im Umkehrschluss muss dann f ∈ R(I) sein, wobei I Das offene Intervall I ist, alsoI = (a, b) fur den Fall I = [a, b]. Aus der Existenz einer Stammfunktion folgt also nichtzwangslaufig Integrierbarkeit an den Randpunkten. Sei z.B. F (x) :=

√x, dann ist dies

eine Stammfunktion von f(x) := 12√xauf dem Intervall [0,∞). An der Stelle x = 0 ist f

allerdings divergent bzw. nicht definiert und somit nicht integrierbar, f /∈ R([0,∞)).

11.6 I. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Es sei f ∈ R([a, b]) und F : [a, b] → R definiert durch

F (x) :=

∫ x

a

f(t) dt. (11.20)

Diese Funktion F ist auf [a, b] stetig. Weiterhin ist F an jeder Stelle x0 stetig differen-zierbar, an der f stetig ist, und an jeder solchen Stelle gilt F ′(x0) = f(x0). Falls alsof ∈ C([a, b]) ist, dann ist F ∈ C1([a, b]) und es ist F ′(x) = f(x) auf ganz [a, b]. Es istin diesem Fall jede durch ein Integral wie in Gleichung 11.20 definierte Funktion F eineStammfunktion von f , sofern die untere Integralgrenze (hier als a gewahlt) in [a, b] liegt.


11 INTEGRATION 48

11.7 II. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Es sei f ∈ R([a, b]) und f besitze auf [a, b] die Stammfunktion F , dann gilt

∫ b

a

f(x) dx = F (b)− F (a) =: F (x)|ba =: [F (x)]ba . (11.21)

Das Integral lasst sich also berechnen uber die Differenz der Funktionswerte der Stamm-funktion. Um dies zu notieren verwendet man ublicherweise die auf der rechten Seite derGleichung definierten Schreibweisen.

11.8 Partielle Integration

Es sei I ⊆ R ein Intervall und f, g ∈ C1(I) seien Funktionen. In diesem Fall lasst sichein Integral uber ein Produkt dieser beiden Funktionen durch geschicktes umstellen derProduktregel berechnen. Aus dieser folgt

(f · g)′ = f ′ · g + f · g′ ⇔ f · g =

∫

f ′ · g dx+

∫

f · g′ dx. (11.22)

Die rechte Seite dieser Gleichung entspricht bereits der Formel der partiellen Integration:

∫

f ′ · g dx = f · g −∫

f · g′ dx (11.23)

∫ b

a

f ′ · g dx = [f · g]ba −∫ b

a

f · g′ dx. (11.24)

11.9 Substitutionsregel

Um diese Regel in aller mathematischer Korrektheit zu formulieren benotigt es noch einebestimmte Notation:

〈α, β〉 :={

[α, β] α ≤ β

[β, α] α > β.(11.25)

Weiterhin sei darauf hingewiesen, dass eine stetig differenzierbare Funktion g ∈ C1(J),deren Ableitung nie verschwindet, also g′(t) 6= 0 ∀t ∈ J , monoton und damit injektiv,also auf dem Intervall J umkehrbar ist. Es seien nun I, J ⊆ R, f ∈ C(I) und wie bereitserwahnt g ∈ C1(J) mit g′(t) 6= 0 ∀t ∈ J , wobei g(J) ⊆ I. In diesem Fall lasst sich x ∈ Ieindeutig als g(t) mit t ∈ J schreiben und umgekehrt t ∈ J als g−1(x) mit einem x ∈ I,sodass man also bei Integrationen die Variablen vertauschen kann:

∫

f(g(t)) g′(t) dt =

[∫

f(x) dx

]

x=g(t)

(11.26)

∫

f(x) dx =

[∫

f(g(t)) g′(t) dt

]

t=g−1(x)

. (11.27)

Ist I = [a, b] und J = 〈α, β〉 mit α = g−1(a) und β = g−1(b), dann ergibt sich die Formelzur Substitution: ∫ b

a

f(x) dx =

∫ β

α

f(g(t)) g′(t) dt. (11.28)


11 INTEGRATION 49

Die Umschreibung von einer auf die andere Seite der Gleichung folgt dabei genau denbereits erwahnten Regeln x = g(t) und t = g−1(x). Daraus ergibt sich auch die Umschrei-bung der Differentiale dt und dx:

g(t) = x ⇒ g′(t) =dx

dt⇒ dx = g′(t) dt. (11.29)

Diese Notation, in der mit Differentialen multipliziert wird wie mit gewohnlichen Zahlen,wird insbesondere in der Physik haufig verwenden, auch wenn sie streng genommen nichtmathematisch exakt ist. Im gegebenen Fall jedoch (wie auch spater in Kapitel 13) fuhrtsie offenbar zum richtigen Ergebnis, sodass sie ohne weitere Probleme anwendbar ist.

11.9.1 Ubliche Substitutionen

Einige der moglichen Substitutionen, die zur Berechnung komplizierter Integrale heran-gezogen werden konnen, sind nicht gerade offensichtlich. Daher sollen hier in aller Kurzezwei derer aufgefuhrt werden, um einen Einblick in die vielzahligen Moglichkeiten derSubstitution zu geben. Betrachten wir z.B. das folgende Integral:

∫ 1

0

1√1 + x2

dx =? (11.30)

Die angebrachte Substitution in diesem Fall lautet x = sinh(t), also dx = cosh(t)dt. DieIntegralgrenzen lauten nach dieser Substitution α = Arsinh(0) = 0 und β = Arsinh(1).Weiterhin vereinfacht sich die Wurzel im Nenner deutlich:

√1 + x2 =

√

1 + sinh2(t) =

√

cosh2(t) = cosh(t). (11.31)

Das Integral ist also einfach berechnet als

∫ 1

0

1√1 + x2

dx =

∫ Arsinh(1)

0

cosh(t)

cosh(t)dt = [t]Arsinh(1)

0 = Arsinh(1). (11.32)

Ein anderes sehr gut durch Substitution losbares Integral ist das folgende:

∫ 1

0

e2x + 1

exdx =? (11.33)

Die Substitution in diesem Fall ist vermutlich einfacher zu erkennen als im ersten Beispiel,man nutzt t = ex und x = ln(t). Damit ergibt sich also dx = 1

tdt und die Grenzen sind

α = e0 = 1 und β = e1 = e. Das Integral lasst sich also berechnen als

∫ 1

0

e2x + 1

exdx =

∫ e

1

t2 + 1

t· 1tdt =

∫ e

1

(

1 +1

t2

)

dt =

[

t− 1

t

]e

1

= e− 1

e. (11.34)


12 FORTGESCHRITTENE INTEGRATION 50

12 Fortgeschrittene Integration

12.1 Integrale uber Funktionenfolgen

Man definiere zur Veranschaulichung der Idee dieses Kapitels eine Folge fn : [0, 1] → R

wie folgt:

fn(x) =

n2 x x ∈ [0, 1n)

2n− n2 x x ∈ [ 1n, 2n)

0 x ∈ [ 2n, 1]

(12.1)

Die Funktion steigt also im Bereich [0, 1n) linear von 0 auf n an und fallt im Intervall [ 1

n, 2n)

wieder auf 0 ab, beschreibt also anschaulich ein Dreieck. Das Dreieck hat eine Hohe vonn und eine Breite von 2

n, also hat es den vom Parameter n unabhangigen Flacheninhalt

A = 12· n · 2

n= 1. Dieser Flacheninhalt entspricht dem Integral uber die Funktion fn, also

kann man schreiben ∫ 1

0

fn(x) dx = 1 ∀n ∈ N. (12.2)

Im Grenzfall n → ∞ strebt die Funktionenfolge punktweise gegen die Nullfunktion f(x) ≡0, da das dritte Intervall der Definition, [ 2

n, 1], dann zunehmend den gesamten Raum in

[0, 1] annimmt. Die Konvergenz ist allerdings nicht gleichmaßig, da direkt neben der 0immer noch ein Dreieck der Hohe n existiert, die in diesem Grenzfall divergiert. Vergleichtman also die Integrale uber fn und f , so fallt einem ein erheblicher Unterschied auf:

limn→∞

(∫ 1

0

fn(x) dx

)

= 1 6= 0 =

∫ 1

0

f(x)︸︷︷︸

≡0

=

∫ 1

0

(

limn→∞

fn(x))

dx. (12.3)

Die Reihenfolge, in der Integral und Grenzwert berechnet werden, ist bei dieser punkt-weise konvergenten Folge also wichtig. Dies ist bei gleichmaßiger Konvergenz nicht derFall. Ist fn ∈ R[a, b] gleichmaßig konvergent gegen f : [a, b] → R, dann ist auch dieseGrenzfunktion auf dem Intervall [a, b] integrierbar und es gilt tatsachlich die Gleichheit

limn→∞

(∫ b

a

fn(x) dx

)

=

∫ b

a

f(x) dx =

∫ b

a

(

limn→∞

f(x))

dx. (12.4)

12.2 Stammfunktionen von Potenzreihen

Wie schon in Kapitel 10.10, in dem es um die Ableitungen von Potenzreihen ging, seif : I → R definiert uber eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R > 0, wobei I :=(x0 −R, x0 +R) bzw. I = R falls R = ∞. Die Funktion ist also definiert als

f(x) =∞∑

n=0

an(x− x0)n. (12.5)

Die in ihrer Definition sehr ahnliche Potenzreihe

F (x) =∞∑

n=0

ann+ 1

(x− x0)n+1 (12.6)

hat genau den selben Konvergenzradius wie f und ist auf dem Intervall I eine Stamm-funktion zu f , also F ′ = f auf I, wie einfach nachzurechnen ist.



12.3 Ableitungen von Funktionenfolgen

Es sei fn eine Folge stetig differenzierbarer Funktionen, also fn ∈ C1([a, b]), die auf [a, b]punktweise gegen eine Funktion f konvergiere. Die Folge der Ableitungen f ′

n konvergieregleichmaßig gegen g. In diesem Fall ist f ∈ C1([a, b]) und f ′ = g auf ganz [a, b], also

(

g(x) = limn→∞

fn(x))′

= f ′(x) = g(x) = limn→∞

f ′n(x). (12.7)

Wenn die Folge der Ableitungen also gleichmaßig konvergent ist, dann lassen sich Ablei-tung und Grenzwert vertauschen, selbst wenn die Folge selbst nur punktweise konvergiert.

12.4 Uneigentliche Integrale

Uneigentliche Integrale sind solche Integrale, deren grenzen sich im Bereich von eventuel-len Divergenzen der Funktionen befinden. Ein Beispiel ware

∫ 1

01√xdx, weil die Funktion 1√

x

in x = 0 nicht definiert ist. Dennoch ist der Wert des Integrals existent und endlich, lasstsich jedoch nur als Grenzwert berechnen. Ebenso sind Integrale, in deren Grenzen ±∞auftaucht, uneigentlich, da auch derartige Rechnungen nur als Grenzwert durchfuhrbarsind. Daher mussen diese Integrale auf spezielle Weise definiert werden. Hierzu seien imFolgenden jeweils a, b ∈ R, α ∈ R ∪ {−∞} und β ∈ R ∪ {∞}, α < a < b < β.

12.4.1 Typ 1

Der erste Typ uneigentlicher Integrale ist jener mit einer problematischen oberen Grenze.Es sei f : [a, β) → R eine Funktion, dann heißt

∫ β

af(x) dx ein uneigentliches Integral

Typ 1. Es lasst sich berechnen als∫ β

a

f(x) dx := limr→β−

∫ r

a

f(x) dx (12.8)

und wird als konvergent bezeichnet, wenn sein Wert endlich ist.

12.4.2 Typ 2

Wie zu erwarten bezeichnet man Integrale mit problematischer unterer Grenze als unei-gentliches Integral Typ 2. Ein solches ist gegeben durch

∫ b

αf(x) dx mit einer Funktion

f : (α, b] → R und wird berechnet als

∫ b

α

f(x) dx = limr→α+

∫ b

r

f(x) dx. (12.9)

Konvergenz bedeutet auch in diesem Fall, dass der Wert des Integrals endlich ist.

12.4.3 Typ 3

Das uneigentliche Integral Typ 3 ist nun die Kombination dieser beiden bisherigen Ty-pen, man nimmt also eine Funktion f : (α, β) → R und integriert daruber als

∫ β

αf(x) dx.

Um dies zu berechnen benotigt man ein beliebiges c ∈ (α, β), mit dem dann folgendesgilt:

∫ β

α

f(x) dx =

∫ c

α

f(x) dx

︸︷︷︸

Typ 2

+

∫ β

c

f(x) dx

︸︷︷︸

Typ 1

. (12.10)



Der Wert des linken Integrals ist dabei unabhangig von der Wahl von c (wie schon inGleichung 11.15 bei gewohnlichen Integralen); man bezeichnet es als konvergent, wennbeide rechten Integrale wie fur die Typen 1 und 2 definiert konvergieren.

12.5 Konvergenzkriterien

Die folgenden Konvergenzkriterien werden der Kurze wegen hier nur fur Integrale des Typs1 formuliert, lassen sich aber (bis auf 12.5.4) auch auf die Typen 2 und 3 ubertragen.

12.5.1 Absolute Konvergenz

Da in den folgenden Kriterien dieser Begriff auftauchen wird, sei an dieser Stelle”absolute

Konvergenz“ definiert. Ein Integral

∫ β

α

f(x)dx heißt absolut konvergent, wenn

∫ β

α

|f(x)|dx (12.11)

konvergiert. Damit hat der Begriff fur Integrale die selbe Bedeutung wie fur Reihen.Außerdem erfullen Integrale eine sehr ahnliche Dreiecksungleichung (Gleichung 11.12).Aus dieser Ungleichung folgt auch, dass jedes absolut konvergente Integral auch normalkonvergent ist, da das Integral uber den Betrag als Majorante dient (siehe 12.5.3).

12.5.2 Cauchy-Kriterium

Ein uneigentliches Integral∫ β

af(x) dx ist genau dann konvergent, wenn

∀ǫ > 0 ∃c = c(ǫ) ∈ (α, β) :

∣∣∣∣

∫ v

u

f(x) dx

∣∣∣∣< ǫ ∀u, v ∈ (c, β). (12.12)

Ein uneigentliches Integral ist also genau dann konvergent, wenn man auch in der Naheder problematischen Stelle β uber kleinere Intervalle [u, v] integrieren kann und dieseIntegrale einen beliebig kleinen Wert (kleiner als jedes ǫ) annehmen konnen.Um das Kriterium auf Integrale des Typs 2 anzuwenden muss man u und v jeweils ausdem Intervall (α, c) wahlen, also ebenfalls in der Nahe der problematischen Stelle.

12.5.3 Minoranten und Majoranten

Die Majoranten- und Minorantenkriterien fur Integrale sind jenen fur Reihen sehr ahnlich.Sie lauten folgendermaßen:

• Ist |f | ≤ g auf [a, β) und ist∫ β

ag(x) dx konvergent, so konvergiert

∫ β

af(x) dx abso-

lut. Entsprechendes gilt fur Integrale des Typs 2, falls die zugrundeliegende Unglei-chung |f | ≤ g auf (α, b] erfullt wird.

• Gilt f ≥ g ≥ 0 auf [a, β) (bzw. (α, b] fur Typ 2) und ist∫ β

ag(x) dx divergent, dann

divergiert auch∫ β

af(x) dx.

Insbesondere die Majoranten konnen dabei nicht nur helfen, allgemeine Konvergenz festzu-stellen, sondern schranken auch den moglichen Grenzwert nach oben ein. Eine solche Ein-schrankung ist naturlich bei Integralen ebenso wie bei Summen durch Einschnurung/dasSandwich-Theorem moglich (siehe Punkt 8 der Aufzahlung im Kapitel 6.2).



12.5.4 Integralkriterium

Dieses Kriterium existiert ausschließlich fur Integrale des Typs 1. Ist m ∈ N und f :[m,∞) → (0,∞) ist monoton fallend, dann besteht folgende Aquivalenz:

∞∑

k=m

f(k) konvergiert ⇔∫ ∞

m

f(x) dx konvergiert. (12.13)

Damit lasst sich also die Konvergenz von Reihen und Integralen ineinander uberfuhren.Eine exakte Berechnung des Grenzwerts ist mit dieser Methode aber leider nicht moglich.


13 DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 54

13 Differentialgleichungen

Im Rahmen der HM I werden nur wenige Arten von Differentialgleichungen exemplarischbesprochen. Die Physik der ersten beiden Semester benotigt ublicherweise aber auch nurdiese Arten von Gleichungen, sodass an dieser Stelle keine zusatzliche Vertiefung in dasThema notwendig ist. Die Losungsansatze zu komplizierter aufgebauten Differentialglei-chungen sind das Thema der HM III Vorlesung.

13.1 Differentialgleichungen erster Ordnung

Es seien I, J ⊆ R Intervalle und f : I×J → R sei eine Funktion. Eine Differentialgleichungerster Ordnung ist dann eine Gleichung der Form

y′ = f(x, y), (13.1)

wobei y auch eine Funktion der Variablen x ist. Eine Losung von Gleichung 13.1 ist eineFunktion Φ : I → R, wobei I ⊆ I und Φ(I) ⊆ J . Weiterhin muss Φ auf I differenzierbarsein und es gilt

Φ′(x) = f(x,Φ(x)) ∀x ∈ I . (13.2)

Kombiniert man eine Gleichung wie in 13.1 mit einer Anfangsbedingung y(x0) = y0(wobei x0 ∈ I und y0 ∈ J), dann nennt man die Kombination der beiden Vorschriften einAnfangswertproblem (AWP):

(AWP)

{

y′ = f(x, y)

y(x0) = y0.(13.3)

Eine Losung dieses Problems ist eine wie zuvor beschriebene Funktion Φ mit der zusatzlichenEigenschaft, dass Φ(x0) = y0. Dieses AWP heißt eindeutig losbar, wenn fur je zweiLosungen Φ1 : I1 → R und Φ2 : I2 → R gilt, dass Φ1 = Φ2 auf I1 ∩ I2. Die Anfangsbedin-gung muss dabei zwingend in der Schnittmenge liegen, also x0 ∈ I1 ∩ I2.Ist ein gegebenes AWP eindeutig losbar, so definiert man zunachst zwei Dinge:

L := {Φ : IΦ → R|Φ ist Losung des AWPs} ; Imax :=⋃

Φ∈LIΦ. (13.4)

Die Menge L ist also die Menge aller moglichen Losungsfunktionen des AWPs, die jeweilsauf den Intervallen IΦ definiert sind. Imax ist die Vereinigung all dieser Intervalle IΦ,man bezeichnet es als das maximale Existenzintervall. Wie bereits erwahnt muss derAnfangswert x0 in allen Intervallen der Losungsfunktionen liegen, also ist

x0 ∈⋂

Φ∈LIΦ und insbesondere x0 ∈ Imax. (13.5)

Dementsprechend lasst sich auch eine Losungsfunktion Φmax : Imax → R finden, welcheman als maximale Losung bezeichnet. Bei der Losung von Differentialgleichungen istes ublich Φmax und Imax zu verwenden, statt die ganze Menge L anzugeben.



13.1.1 Lineare DGL erster Ordnung

Ist I ⊆ R ein Intervall und a, b ∈ C(I) sind Funktionen, dann heißt die Gleichung

y′ = a(x) y + b(x) (13.6)

eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung. Ist b 6= 0∀x ∈ I, so nennt man dieGleichung inhomogen. Zur Losung einer inhomogenen Gleichung benotigt man allerdingsauch zunachst eine Losung der zugehorigen homogenen Gleichung

y′ = a(x) y. (13.7)

Im folgenden betrachten wir in aller Allgemeinheit die Losung eines inhomogenen An-fangswertproblems mit y(x0) = y0. Hierzu sei A eine Stammfunktion von a auf demIntervall I. Unter dieser Voraussetzung bestimmt man die Losung folgendermaßen:

• L := {Φ : I → R|Φ ist eine Losung von 13.7 auf I} ist die Losungsmenge der ho-mogenen Gleichung. Diese ist gegeben als L= {c eA(x)|c ∈ R}.

• Man definiere eine Stammfunktion C(x) :=∫e−A(x) b(x) dx und basierend darauf die

Funktion ΦP := C(x) eA(x) mit x ∈ I. Diese Vorgehensweise nennt man Variationder Konstanten. Die Funktion ΦP bezeichnet man als partikulare Losung desinhomogenen Gleichung.

• Die Summe der allgemeinen Losung der homogenen Gleichung aus L und der par-tikularen Losung der inhomogenen Gleichung ΦP ergibt die allgemeine Losung derinhomogenen Gleichung 13.6:

Φ(x) = c eA(x) + ΦP(x). (13.8)

Die Konstante c und ebenso die Integrationskonstante in der Definition von C sinddabei so zu wahlen, dass die Anfangsbedingungen eingehalten werden.

Die Festlegung der Konstanten lasst sich statt am Ende der Rechnung auch direkt dadurchrealisieren, dass man die Integrationen uber x von x0 bis x und die uber x von y0 bis yjeweils uber eine umbenannte Variable t durchfuhrt. Die Losung der homogenen Gleichungergibt sich dann als

Φhom(x) = y0 · eA(x) mit A(x) =

∫ x

x0

a(t) dt. (13.9)

Auf diese Art ist die Anfangsbedingung offenbar erfullt, denn

A(x0) = 0 ⇒ Φhom(x0) = y0 · e0 = y0. (13.10)

Analog definiert man

C(x) :=

∫ x

x0

e−A(t) b(t) dt, (13.11)

sodass sich die allgemeine Losung der inhomogenen Gleichung schreiben lasst als

Φ(x) = eA(x) · (y0 + C(x)) . (13.12)

Diese Gleichung erfullt offensichtlich die gegebene Anfangsbedingung:

Φ(x0) = eA(x0) · (y0 + C(x0)) = e0 · (y0 + 0) = y0. (13.13)

Eine Gleichung wie 13.6 in Zusammenhang mit einer Anfangsbedingung y0 = y(x0) istimmer eindeutig Losbar. Es ist dabei aber naturlich auf das Existenzintervall zu achten.



13.1.2 DGL mit getrennten Veranderlichen

Es seien I, J ⊆ R Intervalle und f ∈ C(I) und g ∈ C(J) Funktionen. Eine Gleichung derArt

y′ = f(x) g(y) (13.14)

bezeichnet man als Differentialgleichung mit getrennten Veranderlichen. Mit x0 ∈I und der Anfangsbedingung y(x0) = y0 erhalt man daraus ein eindeutig losbares An-fangswertproblem, falls g(y) 6= 0 ∀y ∈ J und falls y0 ein innerer Punkt von J ist. DieLosung der Gleichung erhalt man in diesem Fall durch Umstellen von

∫ y

y0

1

g(t)dt =

∫ x

x0

f(t) dt (13.15)

nach y. Bei dieser Umstellung ist allerdings das maximale Existenzintervall x0 ∈ Imax ⊆ Izu beachten, auf dem diese maximale Losung y definiert ist. Dadurch, dass das Integral∫ x

11tdt = ln(x) ein nur fur positive Argumente reell definierter Logarithmus ist kommt es

bei Gleichungen dieser Art haufig zu Einschrankungen der Existenz einer Losung.In mathematisch nicht ganz so sauberer aber im gegebenen Fall dennoch zielfuhrenderSchreibweise kann man Gleichung 13.15 auch folgendermaßen erhalten:

y′ = f(x) g(y) ⇔ dy

dx= f(x) g(y) ⇔ dy

g(y)= f(x) dx. (13.16)

Durch beidseitige Integration und anschließendes bestimmen der Integrationskonstantenmit Hilfe der Anfangsbedingungen erhalt man die selbe Losungsfunktion.Kurz formuliertlasst sich das Vorgehen bei der Losung also in folgende Formeln gießen: Zunachst berechnetman die Integrale

F (x) :=

∫ x

x0

f(t) dt (13.17)

G(y) :=

∫ y

y0

1

g(t)dt. (13.18)

Anschließend lost man die Gleichung G(y(x)) = F (x) nach der Funktion y(x) auf.

13.2 Lineare DGL zweiter Ordnung

Was Differentialgleichungen hoherer Ordnung betrifft wird in HM I nur die lineare Glei-chung maximal zweiter Ordnung behandelt. Hierzu sei I ⊆ R ein Intervall und a0, a1, b ∈C(I) seien Funktionen. Wir sind wieder interessiert an der Losung eines Anfangswertpro-blems, welches nun sehr ahnlich zu 13.3 gestellt ist:

(AWP)

{

y′′ + a1(x) y′ + a0(x) y = b(x)

y(x0) = y0 ; y′(x0) = y1.

(13.19)

Im Gegensatz zu einer Gleichung erster Ordnung benotigt man nun aufgrund der hoherenOrdnung auch mehrere Anfangsbedingungen. Allgemein gilt: zur eindeutigen Losung einerDGL n-ter Ordnung benotigt man n Anfangsbedingungen. Das Problem 13.19 ist auf Iimmer eindeutig losbar. Fur den Fall b(x) = 0∀x ∈ I nennt man die Gleichung homogen.



Zur Vereinfachung seien a0 und a1 im Folgenden stets Konstanten. Die Verallgemeinerungmit beliebigen Funktionen wird in HM III diskutiert. Zur Losung der homogenen Glei-chung kann unter diesen Umstanden ein einfacher Ansatz gemacht werden: Φ(x) = eλx.Setzt man dies in die homogene Gleichung ein, so ergibt sich

λ2 eλx + a1 λ eλx + a0 e

λx = 0. (13.20)

Durch Kurzen der uberall auftretenden Terme eλx (da diese nie den Wert 0 annehmen kannohne Probleme dadurch geteilt werden) erhalt man das charakteristische Polynom derGleichung:

p(λ) := λ2 + a1 λ+ a0 = 0 ⇒ λ1/2 = −a12

±√

a214

− a0. (13.21)

Es gibt nun drei Falle, die durch die Nullstellen λ1/2 auftreten konnen:

• Sind λ1, λ2 ∈ R und λ1 6= λ2, dann definiert man Φ1(x) := eλ1x und Φ2(x) := eλ2x.

• Sind λ1, λ2 ∈ R und λ1 = λ2, dann nutzt man stattdessen die Funktionen Φ1(x) :=eλ1x und Φ2(x) := x eλ1x.

• Falls schließlich λ1, λ2 ∈ C \ R, dann ist λ2 = λ1, weil komplexe Nullstellen einesPolynoms immer paarweise konjugiert auftreten. Es gilt λ1 = α+i β und λ2 = α−i β,wobei α, β ∈ R. Man definiert daher die beiden Funktionen Φ1(t) = eαx cos(βx) undΦ2(t) = eαx sin(βx).

In jedem der drei Falle sind Φ1 und Φ2 jeweils linear unabhangige Losungsfunktionen derhomogenen Gleichung. Da die Gleichung selbst linear ist, sind also auch beliebige Linear-kombinationen von Φ1 und Φ2 erneut Losungen. Die allgemeine Losung der homogenenGleichung ist also in allen drei Fallen gegeben als

Φhom(x) = c1 Φ1(x) + c2 Φ2(x) mit c1, c2 ∈ R. (13.22)

Die beiden Konstanten c1 und c2 sind dabei von den beiden Anfangsbedingungen abhangig.Wie schon bei linearen Gleichungen erster Ordnung benotigt man nun zur Losung der in-homogenen Gleichung noch eine partikulare Losung:

Φ(x) = Φhom(x) + ΦP(x). (13.23)

Um diese partikulare Losung zu finden gibt es einen einfachen Ansatz, welcher aber nurfur Inhomogenitaten der Art

b(x) = qm(x) eµx

{

cos(ρx)

sin(ρx)(13.24)

funktioniert. Hierbei ist qm ein Polynom von Grad m ∈ N0 (wobei eine Konstante einPolynom vom Grad 0 ist) sowie µ, ρ ∈ R. Die komplexe Zahl µ + iρ sei eine ν-facheNullstelle des charakteristischen Polynoms p(λ). Ist p(µ + iρ) 6= 0, dann ist ν = 0. DerAnsatz fur die partikulare Losung hat nun folgende Form:

ΦP(x) = [rm(x) cos(ρx) + sm(x) sin(ρx)] eµx xν . (13.25)

Hierbei sind rm und sm Polynome vom Grad ≤ m, die dadurch festgelegt werden konnen,dass ΦP eine Losung der inhomogenen Gleichung sein muss. Zum besseren Verstandniswird dieses Vorgehen nun an einem kurzen Beispiel erlautert. Weiterhin sei auf das Do-kument zum harmonischen Oszillator verweisen, in dem auch eine lineare DGL zweiterOrdnung gelost wird: http://lucaskunz.mpillich.de/wp-content/uploads/2017/06/Harmonischer-Oszillator.pdf.


http://lucaskunz.mpillich.de/wp-content/uploads/2017/06/Harmonischer-Oszillator.pdf

http://lucaskunz.mpillich.de/wp-content/uploads/2017/06/Harmonischer-Oszillator.pdf


13.2.1 Beispiel

Wir suchen die Losung des Anfangswertproblems

(AWP)

{

y′′ + y = cos(x)

y(0) = 0 ; y′(0) = 1.(13.26)

Das charakteristische Polynom der homogenen Gleichung (y′′ + y = 0) lautet λ2 + 1 = 0,hat also die Losungen λ = ±i. Es ist dementsprechend α = 0 und β = 1 (dritter Fall)und die allgemeine Losung der homogenen Gleichung lautet

Φhom(x) = c1 cos(x) + c2 sin(x). (13.27)

Durch Nutzung der Anfangsbedingungen findet man c1 = 0 und c2 = 1, also ist

Φhom(x) = sin(x). (13.28)

Die Inhomogenitat hat die Form b(x) = cos(x), also ist m = 0, µ = 0 und ρ = 1. Die Zahlµ+ iρ = i ist eine einfache Nullstelle des Polynoms p(λ) = λ2 + 1, also ist ν = 1 und derAnsatz lautet

ΦP(x) = [γ cos(x) + δ sin(x)] · x. (13.29)

Hierbei sind die Polynome 0-ten Grades direkt als Konstanten rm(x) = γ und sm(x) = δgeschrieben worden. Diese beiden Konstanten gilt es nun zu bestimmen. Hierzu benotigtman zunachst die zweite Ableitung:

Φ′P(x) = [−γ sin(x) + δ cos(x)] · x+ [γ cos(x) + δ sin(x)] (13.30)

Φ′′P(x) = [−γ cos(x)− δ sin(x)] · x+ 2 [−γ sin(x) + δ cos(x)] . (13.31)

Setzt man dies in die ursprungliche Gleichung ein, so erhalt man

Φ′′P(x) + ΦP(x) = 2 [−γ sin(x) + δ cos(x)]

!= cos(x). (13.32)

Damit dies fur alle x ∈ R erfullt ist muss γ = 0 und δ = 12sein. Die partikulare Losung

lautet also schließlich

ΦP(x) =1

2x sin(x). (13.33)

Die allgemeine Losung des gegebenen Anfangswertproblems ist entsprechend

Φ(x) = Φhom(x) + ΦP(x) = sin(x) +1

2x sin(x). (13.34)


14 GRUNDLAGEN DER LINEAREN ALGEBRA 59

14 Grundlagen der linearen Algebra

14.1 Korper

Ein KorperK ist im mathematischen Sinne definiert als eine Menge mit zwei Verknupfungen

”Plus“ + : K × K → K und

”Mal“ · : K × K → K definiert, die jeweils zwei Elemente

aus K auf ein drittes abbilden, das ebenfalls in K liegt. Weiterhin nehmen wir insgesamt9 Axiome als gegeben an:

A1: Assoziativgesetz der Addition, ∀a, b, c ∈ R : (a+ b) + c = a+ (b+ c).

A2: Neutrales Element der Addition, ∃0 ∈ R ∀a ∈ R : a+ 0 = a.

A3: Inverses Element der Addition, ∀a ∈ R ∃ − a ∈ R : a+ (−a) = 0.

A4: Kommutativgesetz der Addition, ∀a, b ∈ R : a+ b = b+ a.

M1: Assoziativgesetz der Multiplikation, ∀a, b, c ∈ R : (a · b) · c = a · (b · c).

M2: Neutrales Element der Multiplikation, ∃1 ∈ R ∀a ∈ R : a · 1 = a.

M3: Inverses Element der Multiplikation, ∀a ∈ R \ {0} ∃a−1 ∈ R : a · a−1 = 1.

M4: Kommutativgesetz der Multiplikation, ∀a, b ∈ R : a · b = b · a.

D: Distributivgesetz, a · (b+ c) = a · b+ a · c.

Diese neun Axiome bezeichnet man als die Korperaxiome. Es fallt hierbei auf, dassdie Axiome 1-4 und 5-8 jeweils identische Aussagen fur die beiden Unterschiedlichen Ver-knupfungen + und · darstellen. Der Korper K ist also bezuglich der beiden Verknupfungen+ und · eine abelsche Gruppe (siehe nachstes Kapitel).

14.2 Gruppen

Es sei G eine Menge und ◦ : G×G → G eine beliebige Verknupfung zweier Elemente dieserMenge, wobei das Ergebnis wieder in G liegt. Es sei darauf hingewiesen dass ◦ in diesemFall nicht die Verkettung zweier Funktionen, sondern eine gewohnliche Rechenoperationwie + oder · meint. Dann nennt man (G, ◦) eine Gruppe, wenn folgendes gilt:

• Assoziativgesetz, ∀a, b, c ∈ G : (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c).

• Neutrales Element, ∃0 ∈ G ∀a ∈ G : a ◦ 0 = a.

• Inverses Element, ∀a ∈ G ∃ − a ∈ G : a ◦ (−a) = 0.

Eine Gruppe heißt abelsche Gruppe, falls zudem auch das

• Kommutativgesetz, ∀a, b ∈ G : a ◦ b = b ◦ a

gilt. Ein Beispiel fur eine nicht abelsche Gruppe sind die invertierbaren quadratischenMatrizen einer beliebigen Große n in Kombination mit der Matrix-Multiplikation (GruppeGL(n,R) := {A ∈ Rn×n| det(A) 6= 0} im Falle reeller Matrizen). Gruppen wie diese sindin der Physik außerst wichtig, da sie Symmetrie-Transformationen beschreiben.



14.3 Vektorraum

Sei K ein Korper (im Folgenden immer entweder R oder C) und V 6= ∅ eine Menge,weiterhin existieren 2 Verknupfungen + : V × V → V und · : K× V → V , dann heißt Vein K-Vektorraum (bezuglich dieser beiden Verknupfungen) wenn

1. ∀x, y, z ∈ V : x+ (y + z) = (x+ y) + z (Assoziativgesetz)

2. ∀x, y ∈ V : x+ y = y + x (Kommutativgesetz)

3. ∃0 ∈ V ∀x ∈ V : x+ 0 = x (neutrales Element der Addition)

4. ∀x ∈ V ∃(−x) ∈ V : x+ (−x) = 0 (inverses Element der Addition)

5. ∀α, β ∈ K, ∀x ∈ V : (α · β) · x = α · (β · x)

6. ∀α, β ∈ K, ∀x, y ∈ V : (α + β) · x = α · x+ β · x ; α · (x+ y) = α · x+ α · y

7. ∃1 ∈ K ∀x ∈ V : 1 · x = x (neutrales Element der Multiplikation) .

Die neutralen Elemente sind fur jede Operation eindeutig bestimmt, ebenso das additiveInverse zu jedem x ∈ V . Wichtig zu beachten ist, dass V nur als Vektorraum bezeichnetwerden darf, wenn es bezuglich der beiden Abbildungen abgeschlossen ist, wenn sie alsobeide wieder ausschließlich in V selbst abbilden.

14.4 Untervektorraum

Sei ∅ 6= U ⊆ V , dann ist U ein Untervektorraum (UVR) von V , wenn U bezuglich derAbbildungen + und · in V ein Vektorraum ist (wichtig: U muss bezuglich dieser Abbildun-gen abgeschlossen sein). Dies bedeutet auch, dass 0 ∈ U , weil durch Skalarmultiplikationjedes beliebigen Elements von U mit 0 dieser Vektor erreicht wird. Ist 0 /∈ U ⊆ V , gibt esjedoch einen andern UVR W von V , sodass U beschrieben werden kann durch

U = {v + w|w ∈ W} (14.1)

mit einem festen v ∈ V , so ist U ein sogenannter affiner Unterraum von V . Ist v ∈ W , soist U = W und U ist sogar ein Untervektorraum. Daraus folgt, dass jeder Untervektorraumein affiner Unterraum ist, nicht jedoch umgekehrt.Als anschauliches Beispiel des Unterschieds zwischen einem Vektorraum und einem affi-nen Unterraum kann die dreidimensionale Geometrie dienen. Betrachtet man den R3 alsden Raum V und eine beliebige Ebene darin als U , so ist diese genau dann ein Untervek-torraum, wenn sie durch den Ursprung verlauft, also wenn ihr Stutzvektor der Nullvektorist. Ist dies nicht der Fall, so ist die Ebene ein affiner Unterraum und ihr Stutzvektor istgenau der Vektor v in Gleichung 14.1. Der Raum W ist dann diejenige zu U paralleleEbene, die den Ursprung selbst enthalt, und ist daher ein UVR.

14.5 Lineare Abhangigkeit

Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum, dann heißen k Vektoren, k ≤ n, linear unabhangig,falls

0 =k∑

i=1

αi vi ⇔ αi = 0 ∀i ∈ {1, ..., k}. (14.2)



Die einzige Moglichkeit, aus linear unabhangigen Vektoren den Nullvektor zu konstruieren,besteht also darin, alle Koeffizienten auf 0 zu setzen. In einem n-dimensionalen Raumkonnen maximal n Vektoren linear unabhangig sein. Aus der Definition geht weiterhinhervor, dass der Nullvektor linear abhangig mit allen anderen Vektoren ist.

14.6 Lineare Hulle und Basis

Die lineare Hulle (oder der lineare Aufspann) einer Menge an Vektoren ist der Raum, derdurch Linearkombinationen dieser Vektoren aufgespannt wird. Ist also M ⊆ V eine solcheMenge (uber dem Korper K), so ist sie gegeben durch

lin(M) =∑

i

αimi , αi ∈ K,mi ∈ M. (14.3)

Die lineare Hulle entsteht also durch Anwendung der beiden in V definierten Abbildungen+ und · aufM . IstM ein Untervektorraum von V , so muss er bezuglich dieser Abbildungenabgeschlossen sein. Es folgt dementsprechend

lin(M) = M ⇔ M ist ein UVR von V. (14.4)

Existiert in einem n-dimensionalen Vektorraum V eine Menge linear unabhangiger Vek-toren bi mit der Eigenschaft, dass ihre lineare Hulle der Vektorraum selbst ist, also dass

lin ({bi | i = 1, ..., n}) = V, (14.5)

so nennt man die Menge der Vektoren {bi | i = 1, ..., n} eine Basis von V . Aufgrund seinerEigenschaft, dass er linear abhangig mit allen anderen Vektoren ist, macht der Nullvektornie einen Teil einer Basis aus. Jeder Vektorraum besitzt mindestens eine solche Basis.Beispiel:

lin

100

,

010

,

001

= lin

110

,

011

,

001

= R3.

14.7 Skalarprodukt

Sei V ein K-Vektorraum, dann heißt eine Abbildung (·|·) : V × V → K Skalarproduktoder inneres Produkt auf V , falls es die folgenden Eigenschaften erfullt:

1. (x|x) ≥ 0, (x|x) = 0 ⇔ x = 0

2. (x|y) = (y|x)

3. (αx+ y|z) = α(x|z) + (y|z), α ∈ K.

In diesem Fall heißt (V, (·|·)) ein Skalarproduktraum (SPR). Aus diesen Eigenschaftenfolgt weiterhin die sogenannte Cauchy-Schwarz’sche Ungleichung (CSU):

|(x|y)| ≤ (x|x) 1

2 · (y|y) 1

2 . (14.6)



14.8 Norm

Sei V ein K-Vektorraum, dann nennt man eine Abbildung ‖ · ‖ : V → R eine Norm, falls

1. ‖x‖ ≥ 0, ‖x‖ = 0 ⇔ x = 0

2. ‖αx‖ = |α| · ‖x‖

3. ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ (Dreiecks-Ungleichung).

Wenn dies erfullt ist heißt V ein normierter Raum und es gilt weiterhin

|‖x‖ − ‖y‖| ≤ ‖x− y‖.

Ist die Norm durch ein Skalarprodukt induziert, also gilt

‖x‖ = (x|x) 1

2 , (14.7)

so muss weiterhin die Parallelogrammgleichung erfullt sein:

‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 = 2 ·(‖x‖2 + ‖y‖2

). (14.8)

Erfullt die Skalarproduktnorm diese Gleichung, so sind auch die geforderten Normeigen-schaften 1 bis 3 erfullt. Die CSU sieht in diesem speziellen Fall so aus:

|(x|y)| ≤ ‖x‖ · ‖y‖. (14.9)

14.9 Matrizen

Matrizen sind Elemente eines besonderen Vektorraums. Sei K ein Korper, dann ist einen × m-Matrix ein Element aus dem Kn×m. Anschaulich gesprochen ist eine Matrix alsoeine Tabelle oder ein Gitter aus n Zeilen und m Spalten, wobei in jedem der Felder einEintrag aus dem zugrundeliegenden Korper K steht. Damit dieser spezielle Raum die inKapitel 14.3 definierten Eigenschaften eines Vektorraums erfullt, mussen Multiplikationund Addition auf ganz bestimmte Arten definiert sein. Weiterhin bedarf es eines neutralenElements der Multiplikation und der Addition. Diese sind einfach gefunden:

0 :=

0 0 . . ....

. . .

0. . .

.... . . 0 0

und I :=

1 0 . . ....

. . .

1. . .

.... . . 0 1

. (14.10)

Das neutrale Element der Addition ist eine Matrix, in der in allen Komponenten nurNullen stehen. Das neutrale Element der Multiplikation, auch Einheitsmatrix genannt,existiert nur in quadratischer Form, also fur den Fall n = m. Auf der Diagonale ste-hen jeweils Einser, uberall sonst Nullen. Fur die Einheitsmatrix existieren verschiedeneSchreibweisen, darunter auch 1. Manchmal verwendet man auch die Schreibweise I(n) oder1(n) um anzudeuten, dass es sich um die n× n-Einheitsmatrix handelt.



14.9.1 Matrix-Addition

Die Art der Definition der Nullmatrix lasst bereits vermuten, auf welche Weise die Ad-dition von Matrizen definiert ist: Es seien A,B ∈ Kn×m, also haben beide Matrizen diegleiche Anzahl an Zeilen und an Spalten. Die Summe wird Komponentenweise ausgefuhrt,also werden die Elemente links oben addiert usw. Beispiel:

A :=

(3 4 72 1 5

)

; B :=

(3 3 111 12 0

)

⇒ A+B =

(6 7 183 13 5

)

. (14.11)

Die Multiplikation mit Skalaren aus K ist ebenso komponentenweise definiert, sodass2 · A = A+ A ist, wie man es von anderen Vektorraumen her auch gewohnt ist.

14.9.2 Matrix-Multiplikation

Die Multiplikation zweier Matrizen ist etwas komplizierter zu definieren. Außerdem istsie wie die Addition von der Große der beiden Matrizen abhangig, die man multiplizierenmochte. Es sei hierzu A ∈ Kn×m und B ∈ Km×p. Die Zahl der Spalten von A und derZeilen von B ist also identisch. Nur wenn diese Voraussetzung gegeben ist, kann man einProdukt C := A · B definieren. Das Element in der n-ten Zeile und p-ten Spalte von C,kurz auch geschrieben als Cnp, berechnet sich dabei mehr oder weniger als Skalarproduktder n-ten Zeile von A mit der p-ten Spalte von B, nur dass keiner der beteiligten Vektorenkomplex konjugiert wird. In Summenschreibweise ergibt sich folgende Definition:

Cnp =m∑

j=1

Anj Bjp. (14.12)

Anhand eines Beispiels wird dieser Sachverhalt vermutlich klarer. Es seien hierzu

A :=

(3 4 72 1 5

)

und B :=

3 3 111 12 03 4 1

. (14.13)

Das Produkt dieser beiden Matrizen ist also wohl definiert, da die Zahl der Spalten vonA und der Zeilen von B jeweils 3 ist. Wegen Gleichung 14.12 gilt:

A · B =

(3 · 3 + 4 · 1 + 7 · 3 3 · 3 + 4 · 12 + 7 · 4 3 · 11 + 4 · 0 + 7 · 12 · 3 + 1 · 1 + 5 · 3 2 · 3 + 1 · 12 + 5 · 4 2 · 11 + 1 · 0 + 5 · 1

)

(14.14)

=

(34 85 4022 38 27

)

. (14.15)

Die Eigenschaften des Matrixprodukts stehen wie erwartet im Einklang mit den Vektorraum-Axiomen (siehe Kapitel 14.3). Die wichtigsten drei sind die folgenden:

• Es ist assoziativ, also A · (B · C) = (A · B) · C.

• Es ist distributiv, also gilt (αA+βB)·C = αA·C+β B·C und ebenso A·(αB+βC) =αA · B + β A · C fur beliebige α, β ∈ K.

• Es ist im Allgemeinen nicht kommutativ, A · B 6= B · A, selbst wenn beide Multi-plikationen definiert sind.



14.9.3 Matrix-Vektor-Produkt

Matrizen lassen sich nicht nur untereinander und mit Skalaren aus K multiplizieren, son-dern auch mit Vektoren. Eine derartige Multiplikation gehorcht den selben Regeln wie jenevon zwei Matrizen, da ein Vektor auch nur eine spezielle Matrix ist. Jeder Spaltenvektorder Große n ist eine n× 1-Matrix, jeder Zeilenvektor eine 1× n-Matrix. Alle Regeln derMatrix-Multiplikation lassen sich durch diese Auffassung auch auf Vektoren anwenden.Das Matrix-Vektor-Produkt hat daher die folgenden Eigenschaften:

• Distributivitat: A · (x+ y) = A · x+ A · x und (A+B) · x = a · x+B · x.

• Assoziativitat: (αA) · x = α · (A · x) = A · (αx).

Diese Regeln gelten fur alle A,B ∈ Kn×m, x, y ∈ Km (Spaltenvektoren) und α ∈ K.Ebenso lasst sich auch ein Produkt eines Zeilenvektors xT (sogenannter transponierterVektor) mit einer Matrix definieren, welches genau den selben Regeln gehorcht.

14.10 Lineare Abbildungen

Seien V und W K-Vektorraume und Φ : V → W eine Abbildung. Dann heißt Φ linear,falls ∀α ∈ K ∀x, y ∈ V gilt:

1. Φ(0) = 0

2. Φ(αx) = α Φ(x)

3. Φ(x+ y) = Φ(x) + Φ(y) .

Eine solche lineare Abbildung lasst sich auch beschreiben durch eine Abbildungsmatrix.Hat V die Dimension n und W die Dimension m, so gilt

Φ(x) = A · x ,A ∈ Km×n. (14.16)

Die im Folgenden definierten Begriffe Kern und Bild von Φ entsprechen dann dem Kernund Bild der Abbildungsmatrix A. Man erhalt A folgendermaßen: Sei {v1, ..., vn} eineBasis von V und {w1, ..., wm} eine Basis von W , dann berechnet man Φ(vi) fur i = 1, ..., nund druckt das jeweilige Ergebnis in Koordinaten bezuglich der Basis von W aus. derdabei entstehende Vektor ist die i-te Spalte von A.Beispiel: Seien V = W = R2, Φ(x) = 3 · x und die Basen seien gewahlt als

v1 =

(11

)

, v2 =

(2−1

)

, w1 =

(10

)

, w2 =

(01

)

.

Daraus ergibt sich nach der beschriebenen Vorgehensweise

Φ(v1) =

(33

)

= 3 · w1 + 3 · w2 , Φ(v2) =

(6−3

)

= 6 · w1 − 3 · w2 ⇒ A =

(3 63 −3

)

.

Multipliziert man die Koordinaten eines Vektors x ∈ V bezuglich dieser Basis {v1, v2}mit A, so erhalt man die Koordinaten von Φ(x) bezuglich {w1, w2}. Beispiel:

x =

(10

)

=1

3· v1 +

1

3· v2 → A ·

(1313

)

=

(30

)

→ Φ(x) = 3 · w1 + 0 · w2 =

(30

)

.



14.11 Kern einer Abbildung

Der Kern einer linearen Abbildung (bzw. ihrer Abbildungsmatrix) beschreibt die Mengealler Vektoren im Definitionsbereich, die durch die Abbildung auf den Nullvektor abge-bildet werden. Es ist dementsprechend fur eine lineare Abbildung g : Cn → Cm

Kern(g) = {x ∈ Cn | g(x) = 0}. (14.17)

14.12 Bild einer Abbildung

Das Bild einer linearen Abbildung (bzw. ihrer Abbildungsmatrix) ist die Menge derElemente, in die sie abbildet. Im Falle einer wie eben bereits verwendeten Funktiong : Cn → Cm ist dies

Bild(g) = {y ∈ Cm | ∃x ∈ Cn : g(x) = y}. (14.18)

14.13 Inverse Matritzen

Eine Inversion ist nur mit quadratischen Matritzen moglich. Sei also A ∈ Kn×n, dann istA−1 die Inverse von A mit der Eigenschaft, dass

A · A−1 = A−1 · A = I (Einheitsmatrix). (14.19)

Man errechnet diese Inverse mit dem Gauß-Jordan Algorithmus, indem man ein LGSumformt:

A|I Umformungen−−−−−−−−→ I|C ; C = A−1.

Bei 2× 2-Matritzen gibt es eine einfache Formel zur Invertierung:

A =

(a bc d

)

∈ R2×2 ⇒ A−1 =1

ad− cb

(d −b−c a

)

. (14.20)

14.14 Rangsatz

Sei A ∈ Kn×m eine Matrix, dann gibt es eine lineare Abbildung f : Km → Kn, derenAbbildungsmatrix A ist. Weiterhin gilt:

m = dim Kern(A) + dim Bild(A). (14.21)

Wie bereits bekannt ist gilt Kern(A) = Kern(f) und Bild(A) = Bild(f). Weiterhin lasstsich eine neue Große definieren, der Rang:

rg(A) = dim Bild(A). (14.22)

Der Rang einer Menge an Vektoren entspricht der Dimension ihrer linearen Hulle, also dermaximalen Anzahl an linear unabhangigen Elementen der Menge. Im Falle einer Matrix istder Rang also die Maximalzahl der linear unabhangigen Zeilen (Zeilenrang) oder Spalten(Spaltenrang). Ist A eine Matrix uber einem Korper K (wie in der gesamten HM I undII), so stimmen Spalten- und Zeilenrang uberein. Fur den Wert des Rangs gilt

1 ≤ rg(A) ≤ k ; k = min{n,m}. (14.23)

Der Fall rg(A) = 0 tritt nur auf, wenn die Matrix A nur aus Nullen besteht, also fallsf ≡ 0 gleich der Nullfunktion ist.



14.15 Lineare Gleichungsysteme

Ein lineares Gleichungssystem (LGS) der Art A · x = b ist genau dann losbar, falls

rg(A) = rg(A|b). (14.24)

Es ist eindeutig losbar, wenn dieser Rang dem Hochstrang (k in Gleichung 14.23) ent-spricht. Zur Losung versucht man, mit dem Gauß-Algorithmus die Koeffizientenmatrix Aauf Zeilenstufen- (ZSF) oder Zeilennormalform (ZNF) zu bringen. Die folgende Gleichungzeigt je ein Beispiel fur eine Matrix in ZNF und ZSF:

ZSF: B =

1 3 40 5 170 0 12

ZNF: C =

1 0 40 1 170 0 0

.

Zeilenstufenform meint, dass unterhalb der Hauptdiagonalen nur noch die Zahl 0 steht.Zeilennormalform hingegen bedeutet weiterhin, dass auf der Diagonalen selbst nur 1 (oder0) stehen darf und oberhalb jeder 1 auf der Diagonalen nur Nullen. Aus der Zeilenstufen-form lasst sich im Falle eines homogenen Gleichungssystems sehr leicht die Losungsmengeablesen:

C · x = 0 ⇔ x ∈ lin

417−1

.

Dies ergibt sich aus dem (-1)-Trick. Hat man eine Matrix in ZNF, so besteht die Losungdes homogenen Systems aus der linearen Hulle aller Spalten, die keine 1 sondern eine0 auf der Hauptdiagonalen stehen haben, wenn man diese 0 durch -1 austauscht. Einesolche Losung eines homogenen Gleichungssystems, die vom Nullvektor verschieden ist,heißt nichttriviale Losung, das System ist dementsprechend nichttrivial losbar.Formt man die Koeffizientenmatrix A auf ZNF um , dann erhalt man das neue SystemA′ · x = b′. Die Losbarkeit dessen stellt man wie bereits vor der Umformung fest, denn

rg(A) = rg(A′) und rg(A|b) = rg(A′|b′). (14.25)

Die Dimension der Losungsmenge eines solchen Systems ergibt sich als die Differenz zwi-schen tatsachlichem Rang von A und moglichem Hochstrang einer Matrix der Große vonA. Ist z.B. A ∈ K3×3, so ist der Hochstrang k = 3. Ist nun aber rg(A) = rg(A|b) = 2,so hat der Losungsraum die Dimension 1, ist also anschaulich eine Gerade. Dimension 0bedeutet eindeutige Losbarkeit und entspricht einem exakten Punkt.Um eine Matrix auf ZSF oder ZNF zu bringen, gibt es drei erlaubte Umformungen:

1. Addieren von Zeilen aufeinander.

2. Multiplizieren von Zeilen mit Skalaren aus K.

3. Vertauschen von Zeilen.

Diese Umformungen verandern weder den Rang, noch die Losung des Systems. Zu beach-ten ist, dass dabei auch immer der rechte Teil des gemeinsamen Systems (A|b), also derVektor b, entsprechend mit umgeformt werden muss.


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