Zusammenhang mit RG - Theory groups · 19.07.2017 | TU Darmstadt | Fachbereich Physik | Johannes Reinhard | 4 Motivation [2] Anwendbar auf viele chemische und physikalische Phänomene

19.07.2017 | TU Darmstadt | Fachbereich Physik | Johannes Reinhard | 1

PerkolationZusammenhang mit RG


Agenda

1.1 Einführung und Motivation

1.2 Grundlagen

2.1 Erzeugende Funktion

2.2 Perkolation in einer Dimension

2.3 Perkolation auf einem Cayley-Baum

3.1 RG – hierarchisches Gitter

3.2 RG – Dreiecksgitter


Einführung

[1]

Was ist Perkolation?

→ geometrisches Objekt

~> Gitter

→ Wahrscheinlichkeit :

Teilstück des Objekts existiert

~> besetzter Gitterpunkt

(Besetzungsperkolation;

→ Verbindungsperkolation)

→ Untersuchung der entstehenden Strukturen

~> Clustergröße, Perkolationsschwelle

Anwendungen?


Motivation

[2]

Anwendbar auf viele chemische

und physikalische Phänomene

→ Eindringen einer Flüssigkeit in

ein poröses Medium

→ Ausbreitung eines Feuers

→ Elektrische Leitfähigkeit

zusammengesetzer Stoffe

→ Sol-Gel Übergang

→ ...


Grundlagen - Begriffe

Besetzungswahrscheinlichkeit

Perkolationsschwelle

Größenverteilung

→ Anteil Cluster Größe

→ Anordnungen ~> „lattice Animals“

→ Wichtig: ohne unendlichen Cluster

Anteil des unendlichen Clusters

→ Ordnungsparameter

→ Skalierung:

~> Kritischer Exponent

→

Clusterzahl

→ Skalierung:


[3]


Grundlagen - weitere Größen

Wkt. Knoten ist Teil eines -Clusters:

Wkt. Knoten eines endlichen Clusters

ist Teil eines -Clusters:

Mittlere Anzahl Knoten in endlichen Clustern

→ Skalierung:


[3]


Grundlagen - weitere Größen

Radius eines -Clusters

Korrelationslänge

→ Skalierung:


[1]

→ Fraktale Dimension des Clusters


Grundlagen - Skalierungshypothese

Allgemeines Problem:

Exakte Bestimmung von

Ansatz:

Skalierungshypothese

→ a priori unbekannt

→ nahe und

→ Kritische Exponenten durch ausdrückbar


Erzeugende Funktion

Hilfsmittel zur Berechnung

Gegeben über

Moment der Ordnung von über Differenziation


Perkolation in einer Dimension

Clustergrößenverteilung gegeben über

→ Lösung exakt möglich

→ Erzeugende Funktion

~> 0. Moment: Clusterzahl

~> 1. Moment: Ordnungsparameter

Vergleich:

~> ...


Perkolation auf einem Cayley-Baum

Jeder Knoten hat nächste Nachbarn

Keine Schleifen

Selbstähnlich

Betrachte Verbindungsperkolation

Bestimmung der Perkolationsschwelle

→ Wähle Startpunkt, gehe nach außen

→ Verbindungen existieren

→ Statistische Unabhängigkeit der Schritte

→ kein unendlicher Cluster[3]

→ Weitere Berechnungen möglich


[4][3]

Renormierungsgruppe – hierarchisches Gitter

Hierarchisches Diamantgitter

→ unendlich viele nächste Nachbarn

→ selbstähnlich

→ exakte RG-Transformation

→ selbst wenig physikalische Bedeutung

~> ähnelt RG-Transformation des

quadratischen Bravais-Gitters

→ RG-Schritt invertiert Konstruktion

[3]


Renormierungsgruppe – hierarchisches Gitter

Mögliche Zustände und statistische Gewichte

Drei Fixpunkte

→ Fixpunkt bei

→ Fixpunkt bei

→ kritischer Fixpunkt

[3]

[3]

mit


Renormierungsgruppe – Dreiecksgitter

Betrachte Besetzungsperkolation

Mehrheitsprinzip-RG-Transformation

Mögliche Zustände und statistische Gewichte

Perkolationsschwelle

→ Selbstähnlich exakt

[3]

[3]

[4][3]


Renormierungsgruppe – Dreiecksgitter

Kritischer Exponent

→ Theoriewert:

→ gute Übereinstimmung nicht selbstverständlich

verbunden → nicht verbunden

[3]

nicht verbunden → verbunden

[3]


Quellen

[1] Drossel, Barbara: Komplexe dynamische Systeme, Manuskript zur Vorlesung, Darmstadt, 2016

[2] eigene Arbeit

[3] R. J. Creswick, Horacio A. Farach, Charles P. Poole: Introduction to renormalization group methods

in physics, John Wiley and Sons Ltd, New York (1992)

[3] R. J. Creswick, Horacio A. Farach, Charles P. Poole: Introduction to renormalization group methods

in physics, John Wiley and Sons Ltd, New York (1992) – überarbeitet

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