Folie 1
§ 28 Multilineare und Alternierende Abbildungen
(28.1) Definition: V und W seien wieder ein K-Vektorräume. Eine Abbildung
von V nach W stets linear ist.
Auf dem Wege zum Begriff der Determinante:
WV: p heißt multilinear, wenn sie in jedem Argument linear ist, dh. wenn für feste v1, v2, ... , vj-1, vj+1, ... , vp aus V die Abbildung
,Vv,)v,,v,v,,v,v(v p1j1j21
Man spricht stattdessen auch von p-linear, wenn die Anzahl p der Faktoren betont werden soll, so zum Beispiel von bilinear oder 2-linear, trilinear, 5-linear, etc. Der Begriff der Multilinearität gibt auch Sinn für Abbildungen
.WVVV: p21
Folie 2
Kapitel V, § 28
.ZYX)Z,Y,X(,: RRRR 333
Wichtiger Fall für die Einführung von Tensoren:
W(V*)V: qp
mit ελμν wie oben.
(28.1) Beispiele:1o Lineare Abbildungen sind 1-linear.2o Bilinearformen, wie in § 25 studiert. Das Kreuzprodukt
3o Hier eine Trilinearform:
.YX)Y,X(,: 333 RRRist auch bilinear. Und auch die in § 26 eingeführte Determinante.
4o Es seien p Linearformen f1, f2, ... , fp auf V gegeben.Dann ist das Produkt
stets p-linear.
),(vf...)(v)f(vf)v,...,v,v(,KV: pp2211p21p
Folie 3
Kapitel V, § 28
5o V habe die geordnete Basis b = (b1,b2, ... ,bn) . Dann hat jede p-lineare Abbildung
Eine p-lineare Abbildung lässt sich im Fall V = Kn auch verstehen als Abbildung von Kpxn nach W .
die Form,bXXfür,XXX)X,,X,X( jjp21p21 p
p21
21
WV: p
mit den eindeutig bestimmten .W)b,,b,b(
p21p 21
Das ist (mit W = K) der Blickpunkt, der für die Determinanten eingenommen wird. Für die Determinante von (2,2)-Matrizen (§ 26) gilt aber zusätzlich: Sie ist alternierend!
So lassen sich p-lineare Abbildungen also definieren!
für Vektoren v1,v2, ... ,vn aus V und j < k .
(28.3) Definition: Eine p-lineare Abbildung φ von Vp nach W ist alternierend (oder antisymmetrisch), wenn stets
,)v , ,v, ,v,...,v,v()v , ,v, ,v,...,v,v( pjk21pkj21
28.01.02
Folie 4
Kapitel V, § 28
(28.4) Satz: K sei Körper der Charakteristik ungleich 2 . Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent für eine p-lineare Abbildung
:WV: p 1o φ ist alternierend. 2o Für alle v1,v2, ... ,vp aus V ist φ(v1,v2, ... ,vp) = 0 , wenn
vj = vk für ein Paar (j,k), j < k .3o Für alle v1,v2, ... ,vp aus V und für j < k ist stets
φ(v1,v2, ... , vj, ... ,vp) = φ(v1,v2, ... , vj + vk, ... ,vp) .4o Für alle v1,v2, ... ,vp aus V und sk aus K mit sj = 0 ist stets
φ(v1,v2, ... , vj, ... ,vp) = φ(v1,v2, ... , vj + skvk, ... ,vp) .5o Für alle v1,v2, ... ,vp aus V mit rg(v1,v2, ... ,vp) < p ist
φ(v1,v2, ... ,vp) = 0 .6o Für alle v1,v2, ... ,vp aus V ist φ(v1,v2, ... ,vp) = 0 , wenn
vj = vj+1 für ein j < p .
Folie 5
Kapitel V, § 28
7o Für alle v1,v2, ... ,vp aus V und j < p ist φ(v1,v2, ... ,vj, vj+1, ... ,vp) = – φ(v1,v2, ... ,vj+1, vj, ... ,vp) .
8o Für alle v1,v2, ... ,vp aus V und jede Permutation σ aus Sp gilt
φ(v1,v2,... ,vp) = sgn(σ)φ(vσ(1),vσ(2), ... ,vσ(p)) .
(28.5) Folgerung: Eine n-lineare und alternierende Abbildung
:WV: n auf einem Vektorraum der Dimension n mit Basis b ist von der Form
,bXXfür,XXX)sgn()X,,X,X( jj0)n(
n2)(
21)(
1S
n21n
Dabei ist φ0 = φ(b1,b2, ... ,bn) aus W ( char(K) nicht Null).
Zusatz: Für allgemeine Körper sind 1o, 7o und 8o zueinander äquivalent und ebenso 2o, 3o, 4o, 5o, 6o . Ferner folgt 1o, 7o bzw. 8o aus 2o, 3o, 4o, 5o oder 6o .
28.01.02