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Designerkurven -Bézierkurven im Unterricht
Baoswan Dzung Wong
Tag über Mathematik und Unterricht
MNG Rämibühl, 12. September 2012
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Übersicht• Geschichtliches• Arten von Bézierkurven• Analytischer Zugang (nach Bézier)• Geometrischer Zugang (nach de Casteljau)• Eigenschaften von Bézierkurven• Bézierflächen
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Geschichtliches:das Kurvenlineal
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Geschichtliches: Pierre Bézier
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Geschichtliches: Paul Faget de Casteljau
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Arten von Bézierkurven:Mit gegebenen Endpunkten
• 1. Ordnung
• 2. Ordnung
• 3. Ordnung
P0
P0
P0
P1
P1
P1
P2
P2
P3
P
P
P
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Arten von Bézierkurven: 2. Ordnung
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Arten von Bézierkurven 2. Ordnung: Fadenspannbilder
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Bézierkurve 2. Ordnung in der Architektur
Fussgängerbrücke in Seoul, Korea
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Arten von Bézierkurven 3. Ordnung
bezeichnet Endpunkte der Kurve (P0 und P3)
bezeichnet Endpunkte der Griffe (P1 und P2)
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Bézierkurven in Zeichenprogrammen
Schritt 1:
Werkzeugpalette/Linien/S-förmige Linie anklicken
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Bézierkurven in Zeichenprogrammen
Schritt 2:
Grundlinie P0P3 definieren:Anfangspunkt 1x anklickenEndpunkt 2x anklicken
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Bézierkurven in Zeichenprogrammen
Schritt 3:
Grundlinie anklicken:ctrl+Maustaste/Punkte bearbeiten/Anfangspunkt P0 anklicken:ctrl+Maustaste/Eckpunkte/Blauen Griff zu P1 ziehen
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Bézierkurven in Zeichenprogrammen
Schritt 4:
Endpunkt P3 anklicken:ctrl+Maustaste/Eckpunkte/blauen Griff zu P2 ziehen
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Eigenschaften von Bézierkurven
3. Ordnung
• Kurve beginnt in P0: P(0) = P0
• Kurve endet in P3: P(1) = P3 • Kurve startet in Richtung P0P1: P‘(0) = 3 P0 P1 • Kurve kommt aus Richtung P2P3: P‘(1) = 3 P2 P3
bezeichnet Endpunkte der Kurve (P0 und P3)
bezeichnet Endpunkte der Griffe (P1 und P2)
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Analytischer Zugang (Bézier)
• Ansatz: P(t) = a0 + a1 t + a2 t2 + a3 t3
• Bedingungen: P(0) = P0 , P(1) = P3
P‘(0) = 3 P0 P1 , P‘(1) = 3 P2 P3
• Gleichungssystem nach ai auflösen
• ai in Ansatz einsetzen und nach Pi ordnen
• Resultat:
€
P(t) = Bk (t) ⋅Pkk= 0
3
∑
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Analytischer Zugang (Bézier)
Kurvengleichung
wobei B0(t) = (1-t)3
B1(t) = 3 (1-t)2 t
B2(t) = 3 (1-t) t 2
B3(t) = t 3
die bekannten Bernsteinpolynome sind.
€
P(t) = Bk (t) ⋅Pkk= 0
3
∑
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Analytischer Zugang (Bézier)
Die Gleichung der Bézierkurve lautet also
wobei
€
P(t) = Bk (t) ⋅Pkk= 0
3
∑
€
Bk (t) =3
k
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟⋅ tk (1− t)3−k
€
k = 0,1,2,3
0 ≤ t ≤1
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Geometrischer Zugang (de Casteljau)
Konstruktion eines Kurvenpunktes
Q1
Q2
Q3
P2
P0
P1
R2
R3
S3
P3
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Geometrischer Zugang:Herleitung der Formel
Die Qi, Ri und Si sind konvexe Kombinationen der Pi, Qi und Ri:
Qi = (1-t) Pi-1 + t Pi, i = 1,2,3
Ri = (1-t) Qi-1 + t Qi, i = 2,3
Si = (1-t) Ri-1 + t Ri, i = 3 wobei 0 < t < 1.
S3=P(t) durch die ursprünglich gegebenen Kontrollpunkte
P0P1P2P3 ausgedrückt ergibt
P(t) = (1-t)3 . P0+3(1-t)2 t . P1 + 3(1-t) t2 . P2 + t3 . P3
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Geometrischer Zugang:Bedeutung der Formel
Ein Punkt der Bézierkurve ist das gewichtete Mittel der Kontrollpunkte
P(t) = (1-t)3 . P0 + 3(1-t)2 t . P1 + 3(1-t) t2 . P2 + t3 . P3
P(t) = B0(t) . P0 + B1(t)
. P1 + B2(t) . P2 + B3(t)
. P3
wobei 0 < t < 1 und
B0(t) = (1-t)3
B1(t) = 3 (1-t)2 t
B2(t) = 3 (1-t) t 2
B3(t) = t 3
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Eigenschaften von Bézierkurven
• Konvexe Hülle• Symmetrie• Variationsverminderung • „Selbstähnlichkeit“ • Schnelle Berechnung• Lokale Kontrolle bei Zusammensetzung
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Weitere Eigenschaft von Bézierkurven:Trapezhöhe = 4/3 Kurvenhöhe
Bei trapezförmigem Kontrollpolygon:a) Kurvenhochpunkt bei t = 1/2b) Kurvenhochpunkt auf 3/4 der Trapezhöhe
P1 P2
P3P0
P(1/2)
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Schülerarbeiten: Bézierkurven
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Schülerarbeiten: Piktogramme
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Bézierkurven in der Typographie
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Vektorgraphik vs. PixelgraphikVektorgraphik eignet sich für:• Vergrösserung ohne Qualitätsverlust (vgl. nebenstehendes Bild)• sparsamen Speicherplatz
Pixelgraphik eignet sich für:• Wiedergabe von Fotografien
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VektorgraphikWolke aus Bézierkurven
• 10 Bézierkurven (12. Ordnung)
• 200 Bézierkurven (12. Ordnung)
QuickTime™ and aTIFF (Uncompressed) decompressor
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Vektorbild: Wäsche im Schnee
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Bézierflächen
Methode beim Modellieren mit Ton:
Überflüssiges
Material abstreichen
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Bézierflächen:Rechteckige Flächenstücke
Erzeugung durch Aneinanderreihen von Bézierkurven
P10P30P20P00P01P02P03P31P32P33
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Bézierflächen:Rechteckige Flächenstücke
Kontrollnetz aus 4+4+4+4=16 Kontrollpunkten
€
P(s, t) = B jj= 0
3
∑ (s) Bkk= 0
3
∑ (t)Pkj
P(s, t) = B jj,k
∑ (s)Bk (t)Pkj
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Bézierflächen: Anwendungen rechteckiger Flächenstücke
Äussere Karosserieteile, wie Dach, Türe, Motorhaube, usw.
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Bézierflächen:Dreieckige Flächenstücke
• Kontrollnetz aus 4+3+2+1=10 Kontrollpunkten• Baryzentrische Koordinaten
€
P(s, t) = Bijki+ j+k= 3
∑ (s, t)Pijk
Bijk (s, t) :=3
ijk
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟β 0i (s, t) ⋅β1
j (s, t) ⋅β 2k (s, t)
3
ijk
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟:=
3!
i!⋅j!⋅k!
€
β0,β1,β 2
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Für kompliziertere Formen: innere Teile der Automobilkarosse, Lancôme-Werbung, usw.
Bézierflächen: Anwendungen dreieckiger Flächenstücke