3E Ma 1 – Lubov Vassilevskaya
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Schwerpunkt homogener Rotationskörper: Beispiele
cSchwerpunkt eines geraden Kreiskegels: Schwerpunkt eines geraden Kreiskegels: Beispiel 1Beispiel 1
Durch Rotation des Geradenstücks y = r/h x um die xAchse entsteht einKreiskegel mit dem Grundflächenradius r und der Höhe h
Abb. 71a: Geradenstück mit der Gleichung f (x) = r/h x, 0 ≤ x ≤ h
V x = ⋅∫0
h
y2 dx = ⋅∫0
h
rh x 2
dx = rh 2
∫0
h
x2 dx = r2 h
3VE
xS =V x
∫0
h
x y2 dx =3
r 2 h rh
2
∫0
h
x3 dx =3 h4, yS = zS = 0 LE
Ma 1 – Lubov Vassilevskaya31a
Ma 1 – Lubov Vassilevskaya31b
Abb. 71b: Durch Rotation des Geradenstücks f (x) = r x/h (0 ≤ x ≤ h) um die xAchse erzeugter Kreiskegel (Rotationswinkel π)
cSchwerpunkt eines geraden Kreiskegels: Schwerpunkt eines geraden Kreiskegels: Beispiel 1Beispiel 1
Abb. 71c: Durch Rotation des Geradenstücks f (x) = r x/h (0 ≤ x ≤ h) um die xAchse erzeugter Kreiskegel (Rotationswinkel 2 π)
31c Ma 1 – Lubov Vassilevskaya
cSchwerpunkt eines geraden Kreiskegels: Schwerpunkt eines geraden Kreiskegels: Beispiel 1Beispiel 1
Ma 1 – Lubov Vassilevskaya32a
Durch Rotation des Geradenstücks y = r/h x (a ≤ x ≤ h) um die xAchse entsteht ein abgeschnittener Kreiskegel mit dem Grundflächenradius r und der Höhe h
Abb. 72a: Geradenstück mit der Gleichung f (x) = r/h x, a ≤ x ≤ h
V x = ⋅∫a
h
y2 dx = ⋅∫a
h
rh x 2
dx = rh 2
∫a
h
x2 dx = r2
3 h2h3 − a3 VE
xS =V x
∫a
h
x y2 dx =3
r 2 h rh
2
∫a
h
x3 dx =34
h4 − a4
h3 − a3LE , yS = z S = 0
cSchwerpunkt eines geraden Kreiskegels: Schwerpunkt eines geraden Kreiskegels: Beispiel 2Beispiel 2
Ma 1 – Lubov Vassilevskaya32b
Abb. 72b: Durch Rotation des Geradenstücks f (x) = r x/h (a ≤ x ≤ h) um die xAchse erzeugter Kreiskegel (Rotationswinkel 3 /2π )
cSchwerpunkt eines geraden Kreiskegels: Schwerpunkt eines geraden Kreiskegels: Beispiel 2Beispiel 2
Ma 1 – Lubov Vassilevskaya32c
Abb. 72c: Durch Rotation des Geradenstücks f (x) = r x/h (a ≤ x ≤ h) um die xAchse erzeugter Kreiskegel (Rotationswinkel 2 π)
cSchwerpunkt eines geraden Kreiskegels: Schwerpunkt eines geraden Kreiskegels: Beispiel 2Beispiel 2
Ma 1 – Lubov Vassilevskaya32d
Abb. 72d: Ein gefülltes Saftglas als Rotationskörper
cSchwerpunkt eines geraden Kreiskegels: Schwerpunkt eines geraden Kreiskegels: Beispiel 2Beispiel 2
cRotationskörper der Aufgabe: Rotationskörper der Aufgabe: Beispiel 3Beispiel 3
Abb. 73a: Die Darstellung eines Glases als Rotationskörper
33af x = a x 2 , a 0
http://www.gzweb.ru/uploads/posts/2008-04/1207505939_1185788835_072746aa7b65546c3.jpg
Als nächstes Anwendungsbeispiel untersuchen wir ein Weinglas. Die Funktion,deren Rotation das Weinglas beschreibt, unterscheidet sich etwas von einer Parabel
Ma 1 – Lubov Vassilevskaya
Abb. 73b: Durch Rotation des Kurvenstücks y = g (x) um die xAchse erzeugte paraboloidähnliche Fläche
f x = x , g x = 1.02 x e−0.02 x
33b
oder von einer Wurzelfunktion:
Ma 1 – Lubov Vassilevskaya
Aber man kann trotzdem das Glas näherungsweise durch Rotation derquadratischen Funktion oder der Wurzelfunktion beschreiben.
cRotationskörper der Aufgabe: Rotationskörper der Aufgabe: Beispiel 3Beispiel 3
cSchwerpunkt eines Rotationsparaboloids: Schwerpunkt eines Rotationsparaboloids: Beispiel 3Beispiel 3
Abb. 73c: Kurvenstück mit der Gleichung f (x) = a √x, 0 ≤ x ≤ h, a > 0
y = a x , V x = ⋅∫0
h
y2 dx = a2⋅∫0
h
x dx =2a2 h2 VE
xS =
V x∫0
h
x y2 dx = a2
V x∫0
h
x2 dx =2 h3
LE , yS = z S = 0
33c Ma 1 – Lubov Vassilevskaya
33d
Abb. 73d: Durch Rotation der Kurven y = f (x) und y = g (x) um die xAchse werden zwei Paraboloide erzeugt, die den selben Schwerpunkt S = (2/3h, 0) haben
f x = x , g x = 3 x
Ma 1 – Lubov Vassilevskaya
cSchwerpunkt eines Rotationsparaboloids: Schwerpunkt eines Rotationsparaboloids: Beispiel 3Beispiel 3
33e Ma 1 – Lubov Vassilevskaya
Abb. 73e: Durch Rotation der Funktion f (x) = 3/4 √x (0 ≤ x ≤ h) um die xAchse erzeugtes Rotationsparaboloid (Rotationswinkel 2 π)
cSchwerpunkt eines Rotationsparaboloids: Schwerpunkt eines Rotationsparaboloids: Beispiel 3Beispiel 3
cSchwerpunkt eines Rotationsparaboloids: Schwerpunkt eines Rotationsparaboloids: Beispiel 3Beispiel 3
Abb. 73f: Ein Sektglas als Rotationskörper
33f
cSchwerpunkt einer Halbkugel: Schwerpunkt einer Halbkugel: Beispiel 4Beispiel 4
34a Ma 1 – Lubov Vassilevskaya
Abb. 74a: Kurvenstück mit der Gleichung f (x) = (h² x²)½, 0 ≤ x ≤ h
V Halbkugel =12V Kugel =
2 h3
3
xS =
V x∫0
h
x h2 − x2 2dx =
3 h8, yS = zS = 0
Abb. 74b: Durch Rotation des Kurvenstücks y = (h² x²)½ (0 ≤ x ≤ h) um die xAchse erzeugte Halbkugel
c
34b Ma 1 – Lubov Vassilevskaya
Schwerpunkt einer Halbkugel: Schwerpunkt einer Halbkugel: Beispiel 4Beispiel 4
cEine HalbkugelEine Halbkugel
34c Ma 1 – Lubov Vassilevskaya
http://katrika.com/onefloorup.com/uploaded_images/November07/1101petpeek.jpg
c
34d Ma 1 – Lubov Vassilevskaya
Abb. 74c: Schnittflächen der x,yEbene mit den Rotationskörpern: Kegel (1), Paraboloid (2) und Halbkugel (3) und entsprechende Schwerpunkte
1 : xS , Kegel =h4, 2 : xS , Paraboloid =
h3, 3 : xS , Halbkugel =
3 h8
Schwerpunkte: Schwerpunkte: ZusammenfassungZusammenfassung