3­E Ma 1 –  Lubov  Vassilevskaya

http://www.fotocommunity.de/pc/pc/cat/575/display/1246265

Schwerpunkt  homogener  Rotationskörper:  Beispiele

cSchwerpunkt  eines  geraden  Kreiskegels:  Schwerpunkt  eines  geraden  Kreiskegels:  Beispiel 1Beispiel 1

Durch  Rotation  des  Geradenstücks  y = r/h x  um  die  x­Achse  entsteht  einKreiskegel  mit  dem  Grundflächenradius  r  und  der  Höhe  h

Abb.  7­1a:  Geradenstück  mit  der  Gleichung  f (x) = r/h x,  0  ≤  x  ≤ h

V x = ⋅∫0

h

y2 dx = ⋅∫0

h

rh x 2

dx = rh 2

∫0

h

x2 dx = r2 h

3VE

xS =V x

∫0

h

x y2 dx =3

r 2 h rh

2

∫0

h

x3 dx =3 h4, yS = zS = 0 LE

Ma 1 –  Lubov  Vassilevskaya3­1a

Ma 1 –  Lubov  Vassilevskaya3­1b

Abb.  7­1b:   Durch  Rotation  des  Geradenstücks  f (x) = r x/h  (0  ≤  x  ≤ h)  um  die                     x­Achse  erzeugter  Kreiskegel  (Rotationswinkel  π)

cSchwerpunkt  eines  geraden  Kreiskegels:  Schwerpunkt  eines  geraden  Kreiskegels:  Beispiel 1Beispiel 1

Abb.  7­1c:  Durch  Rotation  des  Geradenstücks  f (x) = r x/h  (0  ≤  x  ≤ h)  um  die                    x­Achse  erzeugter  Kreiskegel  (Rotationswinkel 2 π)

3­1c Ma 1 –  Lubov  Vassilevskaya

cSchwerpunkt  eines  geraden  Kreiskegels:  Schwerpunkt  eines  geraden  Kreiskegels:  Beispiel 1Beispiel 1

Ma 1 –  Lubov  Vassilevskaya3­2a

Durch  Rotation  des  Geradenstücks  y = r/h x  (a  ≤  x  ≤ h)  um  die  x­Achse  entsteht  ein abgeschnittener  Kreiskegel  mit  dem  Grundflächenradius  r  und  der  Höhe  h

Abb.  7­2a:  Geradenstück  mit  der  Gleichung  f (x) = r/h x,  a  ≤  x  ≤ h

V x = ⋅∫a

h

y2 dx = ⋅∫a

h

rh x 2

dx = rh 2

∫a

h

x2 dx = r2

3 h2h3 − a3 VE

xS =V x

∫a

h

x y2 dx =3

r 2 h rh

2

∫a

h

x3 dx =34

h4 − a4

h3 − a3LE , yS = z S = 0

cSchwerpunkt  eines  geraden  Kreiskegels:  Schwerpunkt  eines  geraden  Kreiskegels:  Beispiel 2Beispiel 2

Ma 1 –  Lubov  Vassilevskaya3­2b

Abb.  7­2b:  Durch  Rotation  des  Geradenstücks  f (x) = r x/h  (a  ≤  x  ≤ h)  um  die                    x­Achse  erzeugter  Kreiskegel  (Rotationswinkel  3 /2π )

cSchwerpunkt  eines  geraden  Kreiskegels:  Schwerpunkt  eines  geraden  Kreiskegels:  Beispiel 2Beispiel 2

Ma 1 –  Lubov  Vassilevskaya3­2c

Abb.  7­2c:  Durch  Rotation  des  Geradenstücks  f (x) = r x/h  (a  ≤  x  ≤ h)  um  die                    x­Achse  erzeugter  Kreiskegel  (Rotationswinkel 2 π)

cSchwerpunkt  eines  geraden  Kreiskegels:  Schwerpunkt  eines  geraden  Kreiskegels:  Beispiel 2Beispiel 2

Ma 1 –  Lubov  Vassilevskaya3­2d

Abb.  7­2d:  Ein  gefülltes  Saftglas  als  Rotationskörper 

cSchwerpunkt  eines  geraden  Kreiskegels:  Schwerpunkt  eines  geraden  Kreiskegels:  Beispiel 2Beispiel 2

cRotationskörper  der  Aufgabe:  Rotationskörper  der  Aufgabe:  Beispiel  3Beispiel  3

Abb.  7­3a:  Die  Darstellung  eines  Glases  als  Rotationskörper

3­3af x = a x 2 , a 0

http://www.gzweb.ru/uploads/posts/2008-04/1207505939_1185788835_072746aa7b65546c3.jpg

Als nächstes Anwendungsbeispiel untersuchen wir ein Weinglas. Die Funktion,deren Rotation das Weinglas beschreibt, unterscheidet sich etwas von einer Parabel

Ma 1 –  Lubov  Vassilevskaya

Abb.  7­3b:    Durch  Rotation  des  Kurvenstücks  y = g (x)  um  die  x­Achse  erzeugte  paraboloidähnliche  Fläche

f x = x , g x = 1.02 x e−0.02 x

3­3b

oder von einer Wurzelfunktion:

Ma 1 –  Lubov  Vassilevskaya

Aber man kann trotzdem das Glas näherungsweise durch Rotation derquadratischen Funktion oder der Wurzelfunktion beschreiben.

cRotationskörper  der  Aufgabe:  Rotationskörper  der  Aufgabe:  Beispiel  3Beispiel  3

cSchwerpunkt  eines  Rotationsparaboloids:  Schwerpunkt  eines  Rotationsparaboloids:  Beispiel  3Beispiel  3

Abb.  7­3c:   Kurvenstück  mit  der  Gleichung   f (x) = a √x,   0  ≤  x  ≤ h,  a  >  0

y = a x , V x = ⋅∫0

h

y2 dx = a2⋅∫0

h

x dx =2a2 h2 VE

xS =

V x∫0

h

x y2 dx = a2

V x∫0

h

x2 dx =2 h3

LE , yS = z S = 0

3­3c Ma 1 –  Lubov  Vassilevskaya

3­3d

Abb.  7­3d:   Durch  Rotation  der  Kurven  y = f (x)  und  y = g (x)  um  die  x­Achse  werden  zwei  Paraboloide                     erzeugt,  die  den  selben  Schwerpunkt  S = (2/3h, 0)  haben

f x = x , g x = 3 x

Ma 1 –  Lubov  Vassilevskaya

cSchwerpunkt  eines  Rotationsparaboloids:  Schwerpunkt  eines  Rotationsparaboloids:  Beispiel  3Beispiel  3

3­3e Ma 1 –  Lubov  Vassilevskaya

Abb. 7­3e:   Durch  Rotation  der  Funktion  f (x) = 3/4 √x  (0  ≤  x  ≤ h)  um  die                    x­Achse  erzeugtes  Rotationsparaboloid  (Rotationswinkel 2 π)

cSchwerpunkt  eines  Rotationsparaboloids:  Schwerpunkt  eines  Rotationsparaboloids:  Beispiel  3Beispiel  3

cSchwerpunkt  eines  Rotationsparaboloids:  Schwerpunkt  eines  Rotationsparaboloids:  Beispiel  3Beispiel  3

Abb. 7­3f:  Ein  Sektglas  als  Rotationskörper

3­3f

cSchwerpunkt  einer  Halbkugel:  Schwerpunkt  einer  Halbkugel:  Beispiel  4Beispiel  4

3­4a Ma 1 –  Lubov  Vassilevskaya

Abb.  7­4a:    Kurvenstück  mit  der  Gleichung   f (x) = (h² ­ x²)½,   0  ≤  x  ≤ h

V Halbkugel =12V Kugel =

2 h3

3

xS =

V x∫0

h

x h2 − x2 2dx =

3 h8, yS = zS = 0

Abb. 7­4b:  Durch  Rotation  des  Kurvenstücks  y = (h² ­ x²)½  (0  ≤  x  ≤ h)  um                   die  x­Achse  erzeugte Halbkugel

c

3­4b Ma 1 –  Lubov  Vassilevskaya

Schwerpunkt  einer  Halbkugel:  Schwerpunkt  einer  Halbkugel:  Beispiel  4Beispiel  4

cEine  HalbkugelEine  Halbkugel

3­4c Ma 1 –  Lubov  Vassilevskaya

http://katrika.com/onefloorup.com/uploaded_images/November07/1101­petpeek.jpg

c

3­4d Ma 1 –  Lubov  Vassilevskaya

Abb.  7­4c:    Schnittflächen  der  x,y­Ebene  mit  den  Rotationskörpern:  Kegel (1),  Paraboloid (2)  und                      Halbkugel (3)  und  entsprechende  Schwerpunkte

1 : xS , Kegel =h4, 2 : xS , Paraboloid =

h3, 3 : xS , Halbkugel =

3 h8

Schwerpunkte:  Schwerpunkte:  ZusammenfassungZusammenfassung