1
Wasserwirtschaftliche Planungsmethoden -Übungen
Lehrveranstaltungsleiter: Ao.Univ.-Prof. Dipl.Ing. Dr. Hubert Holzmann
Institut für Wasserwirtschaft, Hydrologieund Konstruktiven Wasserbau
Universität für Bodenkultur Wien
3. Übungseinheit
Zeitreihenanalyse
Behandlung von Zeitreihen
Meteorologie:Niederschlag, Lufttemperatur, Luftdruck, Luftfeuchtigkeit, Windrichtung u. -geschwindigkeit, Strahlung, Sonnenscheindauer, ...
Hydrologie:Abfluss u. Abflusshöhe, Grundwasserstand; Schneeakkumulation, Infiltration, ...
Wasserwirtschaft:Güteparameter (Sauerstoff, BSB, CSB, Ionenkonzentration); Entnahmemengen; Bedarf (Trinkwasser, Energie), ...
Weitere:Verkehrsströme und -frequenzen, wirtschaftliche Nachfrage- und Bedarfsreihen, ökonomische Wertkriterien (BIP, Aktienkurse), Umweltparameter (Ozon, Stickoxyde, Pollen), Demographie (Bevölkerungsentwicklung, Einkommen, Gesundheit), ...
2
Anwendungsmöglichkeiten der Zeitreihenanalyse
Prognose:Abschätzung zukünftiger kurz- und langfristiger Entwicklungen (Trendanalyse).
Simulation:Erzeugung synthetischer Zeitreihen zur Schließung von Messlücken oder Verlängerung kurzer Zeitreihen zur Festlegung von Bemessungskriterien.
Systemanalyse:Extremwert- und Varianzanalyse geben Aufschluss über Häufigkeit und Größe von Extremereignissen.
Arten der Zeitreihen
09/26/1992 10/02/1992 10/08/1992 10/14/1992 10/20/1992 10/26/1992
4060
8010
012
014
0
Abfluss Isel (Osttirol)
Abflu
ss (m
3/s)
09/26/1992 10/02/1992 10/08/1992 10/14/1992 10/20/1992 10/26/1992
010
2030
40
Niederschlag (Osttirol)
Nie
ders
chla
g (m
m)
Diskrete Zeitreihen- Abflüsse- Wasserstände (automatisch)- Temperatur
Nichtdiskrete Zeitreihen- Niederschlagsereignisse- Wasserstand (manuell)- Sample (Schwebstoff, Qualität)- Punktprozesse
Bei der Analyse ist auf Homogenität der Zeitreihe Bedacht zu nehmen !!!
Beispiel Pegelschlüssel.Q (m3/s)
H (m ü.Sh.)PS 2 (Durch Auflandung oder Pegelnullpunktverschiebung)
PS 1
Kontinuierliche Zeitreihen
3
Allgemeines zur Zeitreihenanalyse
Definition:Eine Zeitreihe ist ein Satz von Beobachtungen einer variablen Größe (z.B. Abfluß, Temperatur oder Niederschlag) zu verschiedenen Zeitpunkten. Es wird der Zusammenhang zwischen der unabhängigen Variablen Zeit t und der abhängigen, hydrologischen Variablen X(t) dargestellt. Enthält X eine zufallsbedingte Komponente, so beschreibt die Zeitreihe einen stochastischen Prozeß.
Analyse:Bei der Analyse einer Zeitreihe geht man zumeist von der Annahme aus, daß alle Komponenten des hydrologischen Prozesses additiv zusammenwirken:
X(t) = XT(t) + Xp(t) + XR(t) (3.1a)
Dabei bedeutet XT(t) ... Trendanteil, Xp(t) ... periodischer Anteil und XR(t) ... Zufallsanteil (Random).
01/01/1992 12/31/1992 12/31/1993 12/31/1994 12/31/1995 12/30/1996
-10
010
20
Lufttemperatur
Time in days
LT (o
C)
01/01/1992 12/31/1992 12/31/1993 12/31/1994 12/31/1995 12/30/1996
010
2030
4050
Niederschlag
Time in days
N (m
m)
01/01/1992 12/31/1992 12/31/1993 12/31/1994 12/31/1995 12/30/1996
5010
015
020
0
Abfluss
Time in days
Q (m
3/s)
4
01/01/1951 10/20/1959 08/07/1968 05/26/1977 03/14/1986 12/31/1994
010
020
030
040
0Enns 1951 - 1994 Tageswerte
Abflu
ss (m
3/s)
Jan 51 Oct 59 Jul 68 Apr 77 Jan 86 Oct 94
010
020
030
040
0
Enns 1951 - 1994 Monatswerte
Abflu
ss (m
3/s)
01/01/1951 08/08/1951 03/14/1952 10/19/1952 05/26/1953 12/31/1953
5010
015
020
025
030
0
Enns 1951-1954 Tageswerte
Abf
luss
(m3/
s)
Tageswerte
Monatswerte
Tageswerte geglättet (30d)
5
01/01/1982 12/31/1984 12/31/1987 12/30/1990 12/29/1993 12/28/1996
318
320
322
324
Grundwasserstand (m ue. Sh.)
Time in days
01/01/1982 12/31/1984 12/31/1987 12/30/1990 12/29/1993 12/28/1996
302
304
306
308
Grundwasserstand (m ue. Sh.)
Time in days
01/01/1982 12/31/1984 12/31/1987 12/30/1990 12/29/1993 12/28/1996
286
288
290
292
Grundwasserstand (m ue. Sh.)
Time in days
01/01/1979 08/08/1982 03/15/1986 10/20/1989 05/27/1993 01/01/1997
010
2030
4050
Abfluss (m3/s)
Time in days
01/01/1979 08/08/1982 03/15/1986 10/20/1989 05/27/1993 01/01/1997
286
288
290
292
Grundwasserstand (m ue. Sh.)
Time in days
6
Regression und Korrelation
Die Regression beschreibt den (linearen) Zusammenhang zwischen zwei Variablen.
ε+⋅+= XbaY
Wobei X ... Unabhängige Variable und Y ... Abhängige Variable
Die Koeffizienten berechnen sich wie folgt:
∑∑
−−⋅−
=
⋅−=
2)()]()[(
XXYYXX
b
XbYa
Für |r| gilt: 0 ... kein Zusammenhang0.5 ... Schwacher Zusammenhang
0.75 ... deutlicher Zusammenhang0.95 ... straffer Zusammenhang1.00 ... gesetzmäßiger Zusammenhang
Die Korrelation r beschreibt den Grad des statistischen Zusammenhangs und berechnet sich wie folgt:
( ) ( )[ ]( ) ( )∑∑∑
−⋅−
−⋅−=
22YYXX
YYXXr
01/01/1990 05/27/1991 10/19/1992 03/14/1994 08/07/1995 12/30/1996
100
200
300
400
500
600
Abfluss Lech (Augsburg)
Time in days
Abf
luss
(m3/
s)
01/01/1990 05/27/1991 10/19/1992 03/14/1994 08/07/1995 12/30/1996
010
0020
0030
0040
0050
00
Abfluss Donau (Jochenstein)
Time in days
Abf
luss
(m3/
s)
100 200 300 400 500 600
1000
2000
3000
4000
5000
Regressionsanalyse
Q Lech
Q D
onau
QDonau = 299.9 + 9.52·QLech
Regressionsanalyse
Verwendung:
•Schliessen von Datenlücken
•Prognose
7
01/01/1990 07/19/1990 02/03/1991 08/21/1991 03/07/1992 09/22/1992
1000
2000
3000
4000
5000
Abfluss Donau (Jochenstein)
Time in days
Abf
luss
(m3/
s)
Abfluss beobachtetAbfluss berechnet
1975 1980 1985 1990
330
335
340
345
350
355
Zeit
co2
Linear ansteigender Trend
8
TrendanalyseHydrologische Variable können langfristige zeitliche Änderungen erfahren, die mit Hilfe der Trendanalyse identifiziert werden.
Beispiele dafür sind:- Abflussänderung durch geänderte meteorologische Randbedingungen.- Abflussänderung durch geänderte Landnutzung im Einzugsgebiet- Wasserstandsänderung durch Sohlerosion oder Sedimentablagerung.- Änderung der Jahresniederschlagssumme durch Klimaänderung
Zeitliche Änderungen zeigen sich wie folgt:- Stationärer Trend.- Ansteigender Trend- Absteigender Trend.- Sprunghafter Trend
Neben dem linearen Trend existieren auch nichtlineare Trends
Bei der Analyse kurzer Zeitreihen kann die Sequenz aus einer Periode als Trend fehlinterpretiert werden!!!
Trendermittlung
Der Trend wird in Form einer Trendgeraden dargestellt:XT(t) = a + b . t (3.1b)
dabei wird b als Trend- oder Regressionskoeffizient und aals Achsenabschnitt bezeichnet.
Methode der kleinsten Quadrate:
(3.2.)
(3.3.)
( )a
t X t t t X t
n t t=
⋅ − ⋅ ⋅
⋅ −
∑∑∑∑∑∑
2
2 2
( ) ( )
( )b
n t X t t X t
n t t=
⋅ ⋅ − ⋅
⋅ −
∑∑∑∑∑
( ) ( )2 2
...t
n
=∑∑
1
Hilfsformeln:
(3.4)
(3.5)
3.2.1.1 Bestimmung des mittleren Anstiegs
Einschränkung: Nur anwendbar bei bekannter Periodenlänge !
(3.6)
( )t n nt
n
=∑ =
⋅ +
1
12
( ) ( )t n n n
t nt
n2
1 61 2 1
1 3=∑ = ⋅ + ⋅ +
= ,2, , ...
an
X t b nt
n
= ⋅ − ⋅ +⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
=∑1
21
1
( )
bn P
X t P X tPt
n P
=−
⋅+ −
=
−
∑11
( ) ( )
9
Trendtest
Trendtest
Spricht nichts gegen eine Linearität der Regressionsbeziehung zwischen Meßwert und Zeit, so wird der errechnete Regressionskoeffizient (Steigzahl der Trendgerade) auf Signifikanz geprüft. Dazu müssen folgende Größen bestimmt werden:
a.) Varianz der Meßwerte:
Sn
X tn
x tX tt
n
t
n
( ) ( ) ( )2
1 1
21
11
=−
−⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟
= =∑ ∑ (3.8)
b.) Varianz der Zeitwerte:
( )Sn
tn
t n nt
t
n
t
n2
1 1
21
11 1
12=
−−
⎛⎝⎜
⎞⎠⎟
⎛
⎝⎜⎜
⎞
⎠⎟⎟ =
+
= =∑ ∑ (3.9)
c.) Quadratsumme aller Abweichungen von der Trendgerade:
( )A X t a b tt
n
= − − ⋅=∑ ( )
1
2
(3.10)
oder( )A n S b SX t t= − ⋅ − ⋅( ) ( )1 2 2 2 (3.11)
d.) Die Testgröße to
( ) ( ) bnnA
St t ⋅−⋅−= 21
2
0 (3.12)
Falls to < tn-2,α,zweiseitig, so kann auf dem gewähltenSignifikanzniveau angenommen werden, daß der errechneteTrend zufälliger Natur ist. Ist jedoch to > tn-2,α,zweiseitig, sounterscheidet sich der gefundene Trend signifikant von Null. Indiesem Fall muß für eine weitere Analyse der Zeitreihe der Trendanteil eliminiert (subtrahiert) werden.
Periodizität einer Zeitreihe
Hydrologische Zeitreihen unterliegen oft saisonalen Schwankungen, die durch den jahresperiodischen Zyklus der meteorologischen Randbedingungen geprägt sind. Zur Identifizierung der Periodizität dienen
• die Autokorrelationsrechnung,
• die Spektralanalyse.
Die Prüfung einer Zeitreihe auf Periodizität erfolgt mit der trendfreien Zeitreihe X‘(t), d.h. ein eventueller Trendanteil ist zuvor abzuziehen:
X‘(t)=X(t) – XT(t)
10
0 20 40 60 80
2040
6080
100
120
140
Zeitverschiebung: 0
Index
xx
20 40 60 80 100 120 140
2040
6080
100
120
140
xx[1:1:(xl - lag)]
xx[(1
+ la
g):x
l]
Korrelation: r = 1
0 20 40 60 80
2040
6080
100
120
140
Zeitverschiebung: 3
Index
xx
20 40 60 80 100 120 140
2040
6080
100
120
140
xx[1:1:(xl - lag)]
xx[(1
+ la
g):x
l]
Korrelation: r = -0.09
11
0 20 40 60 80
2040
6080
100
120
140
Zeitverschiebung: 6
Index
xx
20 40 60 80 100 120 140
2040
6080
100
120
140
xx[1:1:(xl - lag)]
xx[(1
+ la
g):x
l]
Korrelation: r = -0.71
0 20 40 60 80
2040
6080
100
120
140
Zeitverschiebung: 9
Index
xx
20 40 60 80 100 120 140
2040
6080
100
120
140
xx[1:1:(xl - lag)]
xx[(1
+ la
g):x
l]
Korrelation: r = -0.12
12
0 20 40 60 80
2040
6080
100
120
140
Zeitverschiebung: 12
Index
xx
20 40 60 80 100 120 140
2040
6080
100
120
140
xx[1:1:(xl - lag)]
xx[(1
+ la
g):x
l]
Korrelation: r = 0.83
0 20 40 60 80
2040
6080
100
120
140
Zeitverschiebung: 15
Index
xx
20 40 60 80 100 120 140
2040
6080
100
120
140
xx[1:1:(xl - lag)]
xx[(1
+ la
g):x
l]
Korrelation: r = -0.06
13
0 20 40 60 80
2040
6080
100
120
140
Zeitverschiebung: 18
Index
xx
20 40 60 80 100 120
2040
6080
100
120
140
xx[1:1:(xl - lag)]
xx[(1
+ la
g):x
l]
Korrelation: r = -0.71
0 20 40 60 80
2040
6080
100
120
140
Zeitverschiebung: 21
Index
xx
20 40 60 80 100 120
2040
6080
100
120
140
xx[1:1:(xl - lag)]
xx[(1
+ la
g):x
l]
Korrelation: r = -0.07
14
0 20 40 60 80
2040
6080
100
120
140
Zeitverschiebung: 24
Index
xx
20 40 60 80 100 120
2040
6080
100
120
140
xx[1:1:(xl - lag)]
xx[(1
+ la
g):x
l]
Korrelation: r = 0.82
1.00
-0.09
0 5 10 15 20 25
-0.5
0.0
0.5
1.0
Zeitverschiebung (Lag)
Kor
rela
tion
r
-0.71
-0.12
0.83
Autokorrelogramm
15
0 20 40 60 80 100
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
Zeitverschiebung: 0 * Pi
Index
xx
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
xx[1:1:(xl - lag)]xx
[(1 +
lag)
:xl]
Korrelation: r = 1
0 20 40 60 80 100
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
Zeitverschiebung: 0.25 * Pi
Index
xx
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
xx[1:1:(xl - lag)]
xx[(1
+ la
g):x
l]
Korrelation: r = 0.7
0 20 40 60 80 100
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
Zeitverschiebung: 0.5 * Pi
Index
xx
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
xx[1:1:(xl - lag)]
xx[(1
+ la
g):x
l]
Korrelation: r = -0.04
0 20 40 60 80 100
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
Zeitverschiebung: 0.75 * Pi
Index
xx
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
xx[1:1:(xl - lag)]
xx[(1
+ la
g):x
l]
Korrelation: r = -0.73
0 20 40 60 80 100
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
Zeitverschiebung: 1 * Pi
Indexxx
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
xx[1:1:(xl - lag)]
xx[(1
+ la
g):x
l]
Korrelation: r = -1
0 20 40 60 80 100
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
Zeitverschiebung: 1.25 * Pi
Index
xx
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
xx[1:1:(xl - lag)]
xx[(1
+ la
g):x
l]
Korrelation: r = -0.7
0 20 40 60 80 100
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
Zeitverschiebung: 1.5 * Pi
Index
xx
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
xx[1:1:(xl - lag)]
xx[(1
+ la
g):x
l]
Korrelation: r = 0.04
0 20 40 60 80 100 120
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
Zeitverschiebung: 1.75 * Pi
Index
xx
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
xx[1:1:(xl - lag)]
xx[(1
+ la
g):x
l]
Korrelation: r = 0.73
0 20 40 60 80 100 120
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
Zeitverschiebung: 2 * Pi
Index
xx
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
xx[1:1:(xl - lag)]
xx[(1
+ la
g):x
l]
Korrelation: r = 1
0 5 10 15
-0.5
0.0
0.5
1.0
Lag
ACF
Series : xx
Periodizität einer Zeitreihe
Arbeitsschritte:
• Berechnung des Korrelogramms mit der trendbereinigten Zeitreihe
• Prüfen des Autokorrelationswertes der Periode auf Signifikanz
• Bestimmung der Periodenlänge Lp (Differenz zwischen Maxima)
• Gliederung der Zeitreihe in Teilreihen der Länge Lp
• Mittelung der Komponenten aller Teilreihen: Daraus ergibt sich der mittlere Periodenverlauf.
16
Bestimmung des Zufallsanteils
XR(t) = X(t) - XT(t) - Xp(t) (3.19)
Der Zufallsanteil kann in eine korrelative Komponente (r1 . XR(t-1)) und das reine Zufallsglied R(t)
zerlegt werden:
(3.20)
(3.21)
Dabei bedeutet:
Z(t) die standardisierte Zufallsvariable (zumeist normalverteilt)
s Standardabweichung der Reihe XR(t)
r1 erster Autokorrelationskoeffizient der Reihe XR(t)
)()1()( 1 tRtXrtX RR +−⋅=
211)()( rstZtR −⋅⋅=
Bestimmung des Zufallsanteils
XR(t) = X(t) - XT(t) - Xp(t)
21
21
22
2221
21
1
1
1
)1(
)()1()(...
)1()()1()()1()(
rss
rss
ssrsnRnXrnX
tRtXrtXtRtXrtX
R
R
R
RR
RR
RR
−=
−=
+⋅=
+−⋅=
++⋅=++−⋅=
211)()( rstZtR −⋅⋅=
Der Zufallsanteil XR(t) ist charakterisiert durch:
Mittelwert = 0
Varianz = s2
Wobei ( )∑=
−−
=n
iRiR XX
ns
1
2,1
1
17
-10 0 10 20
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
MW=5,STAW=2re
l. H
aeuf
igke
it
-10 0 10 20
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
MW=10,STAW=1
rel.
Hae
ufig
keit
-10 0 10 20
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
MW=10,STAW=5
rel.
Hae
ufig
keit
-3 -2 -1 0 1 2 3
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Quantile
rel.
Hae
ufig
keit
Dichteverteilung
Häufigkeitsverteilung(Summenhäufigkeit)
Standardisierte NormalverteilungStandardisierung:
σXXY i
i−
=
Wobei: Yi ... Standardisierte VariableXi ... Normalverteilte VariableX ... Mittelwert von Xσ ... Standardabweichung
-3 -2 -1 0 1 2 3
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Quantile
rel.
Hae
ufig
keit
-2 -1 0 1 2
05
1015
20
rn
-0.35
0.36
0.92
1.44
0.09
-1.31
Nach 30 Stichproben
Nach 100 Stichproben
18
Stochastischer Anteil der Zeitreihe XR(t): XR(t)= r1·XR(t-1) + R(t) R(t) = NV (0,s2) XR(t+1)= r1·XR(t) + R(t+1) ... XR(n)= r1·XR(n-1) + R(n) Mittelwerte 0 0 0 s2 = r12·s2 + sR
2 sR
2 = s2(1 - r12) Standardisierte, normalverteilte Zufallszahl:
211)()()(
)()(
rstZstZtR
sRtRtZ
R
R
−⋅⋅=⋅=
−=
211)()1(1)( rstZtXrtX RR −⋅⋅+−⋅=
1950 1960 1970 1980 1990
-50
050
100
150
Stochastischer Anteil
tt
Abf
luss
(m
3/s)
1992 1993 1994 1995 1996
-50
050
100
150
200
250
Prognose
prog[, 1]
prog
[, 2]
19
Originaldaten
tt
Mon
atsa
bflu
esse
(m
3/s)
1975 1980 1985 1990
330
335
340
345
350
355
T rendgleichung: Y = -2710.04 + 1.54 * time
Trendfreie Reihe
tt
Abf
lues
se (
m3/
s)
1975 1980 1985 1990
-4-2
02
Lag0.0 0.5 1.0 1.5
-0.5
0.0
0.5
1.0
Series : xxi
Mittlere Monatsabf luesse
1:12
Abf
luss
(m
3/s)
2 4 6 8 10 12
-3-2
-10
12
3
Autokorrelogramm
20
Trendfreie ZR und Periodenanteil (rot)
tt
Mon
atsa
bflu
esse
(m
3/s)
1975 1980 1985 1990
-4-2
02
Stochastischer Anteil / Autokorrelativer Anteil
tt
Abf
luss
(m
3/s)
1975 1980 1985 1990
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
Lag0.0 0.5 1.0 1.5
0.0
0.4
0.8
Series : xxiiAutokorrelation des Stochastischen Anteils
-0.5 0.0 0.5
010
2030
4050
xxiizz
Verteilung des Zufallsanteils
Autokorrelation des stochastischen Anteils XR
Mittelwert = 0
Varianz = s2
21
Prognose
prog[, 1]
prog
[, 2]
1987 1988 1989 1990 1991
345
350
355
360
( ) ( ) ( ) ( ) 211 11 rstZtXrtXtbatX RP −⋅⋅+−⋅++⋅+=
Trend Periode Zufallsanteil
Literatur zur Nutzen Kosten Analyse• The Analysis of Time Series: An Introduction von C. Chatfield, Chapman and Hall London, 1996 • Time Series, A Biostatistical Introduction von P. Diggle, Clarendon Press Oxford, 1990 • Time Series Techniques for Economists von Terence Mills, Paperback Reprint edition (June 1991), Cambridge Univ Press. • Zeitreihenanalyse von R. Schlittgen und B. Streitberg, 9. Auflage, R. Oldenbourg Verlag München Wien, 2001.• Time Series forecasting and control von G. Box und G. Jenkins, 1994 • Time Series: Theory and Methods von P.J. Brockwell und R.A. Davis (Brockwell/Davis I), Springer Verlag New York, 1996 • Introduction to Time Series and Forecasting von P.J. Brockwell and R.A. Davis (Brockwell/Davis II), Springer Verlag, 1997 • Spectral Analysis and Time Series, Vol. 1 and 2 von M. Priestley, Academic Press London, 1994 • Time Series Analysis von James D. Hamilton, Princeton University Press, 1994 • Non-Linear Time Series, A dynamical System Approach von H. Tong, Claerndon Press Oxford, 1990 • Modelling Financial Time Series von Stephen J. Taylor, John Wiley, Chichester, 1986 •Box, G. E.P., Jenkins, G. M. (1970): Time Series Analysis: Forecasting and Control. San Francisco - Düsseldorf: Holden-Day.•Danninger, H. (1973): Anwendung der Zeitreihenanalyse in der Niederschlagsstatistik. Wien : Diplomarbeit Universität für Bodenkultur.•Holzmann, H. (1993): Anwendung der Zeitreihenanalyse in der Wasserwirtschaft unter Bezugnahme auf die Abflußverhältnisse der Donau in Wien. Österr. Wasserwirtschaft, Jg. 45, Heft 1/2, Springer Wien.•Nachtnebel, P. (1975): Zeitreihenanalyse. In: Wiener Mitteilungen: Wasser-Abwasser-Gewässer / Hydrologie-Fortbildungskurs 1975, S.F1-F25, ,Wien.•Naff, R. L., Gutjahr, A. L. (1983): Estimation of Groundwater Recharge Parameters by Time Series Analysis. In: Water ResourcesResearch, S.1531-1546, Washington: American Geophysical Union.•Priestly, M.B. (1988): Non-Linear and Non-Stationary Time Series Analysis. London: Academic Press - Harcourt Brace JovanovichPublishers.•R., D. V., Schaake Jr., J. C. (19972): A disaggregation model for time series analysis and synthesis. Cambridge: School of Engineering.•Sayrs, L. W. (1989): Pooled time series analysis. Quantitative Applications in the Social Sciences Nr.70.•Turner, J. V., Mac Pherson, D. K. (1990): Mechanisms Affecting Streamflow and Stream Water Quality: An Approach via StableIsotope, Hydrogechemical, and Time Series Analysis. Water Resources Research , Jahrg.26, Heft 12, S.3005-3019 (14).•Brockwell, Peter J. : Introduction to time series and forecasting / Peter J. Brockwell ; Richard A. Davis . - [4. print.] . - New•York, NY [u.a.] : Springer , 2000•Developments in time series analysis : in honour of Maurice B. Priestley / ed. by T. Subba Rao . - 1. ed. . - London•[u.a.] : Chapman & Hall , 1993
22
Internet-Adressen zur Nutzen Kosten Analyse•Empfehlung Literatur zur Statistik: http://www.luchsinger-mathematics.ch/sta/litsta.html
•Zeitreihenanalyse:http://www.agnld.uni-potsdam.de/~shw/TSA/tsa.html
•Univariate Zeitreihenanalyse:http://www-vwi.unibe.ch/econometrics/zeitreihen/files/SkriptumWS0102.pdf
•Literaturhinweise zur Vorlesung Zeitreihenanalyse:http://www.statoek.wiso.uni-goettingen.de/veranstaltungen/zeitreihen/literatur.html
•Ausgewählte statistische Verfahren zur Zeitreihenanalyse:http://www.kliwa.de/de/weg/media/Verfahren.pdf
•Prof. Dr. J. Kopf: Einführung in die Zeitreihenanalyse (WS 2000/01):http://www.wifak.uni-wuerzburg.de/wilan/wifak/vwl/ewf/lehre/ws00/zra.htm
•Zeitreihenanalyse:http://www.stratcon.de/methode/zeitreihenanalyse.htm
•Applied time series analysis:http://www.ltrr.arizona.edu/~dmeko/geos595e.html#cLesson12
3. Programmbeispiel
AngabeDie gegebene Meßreihe gibt die Abflußverhältnisse eines alpinen Flusses an.
Angegeben sind die Monatsmittelwerte von 1951 bis 1990 in m3/s. Die erste Spalte zeigt
das Monat (als Dezimalzahl des laufenden Jahres), die zweite den Monatsabfluss. Die
gesamte Zeitreihe kann aus dem Internet geladen werden. (Siehe Lehrveranstaltungs-
homepage)
Wählen Sie das Unterverzeichnis /daten/zeitreihenanalyse. Hier finden Sie in der ZIP-
Datei Angaben von 1 bis 65. Daraus ist Ihre entsprechende Angabe auszuwählen und
abzuspeichern. Diese Datei kann dann z.B. ins Excel geladen und bearbeitet werden.
Aufgabenstellung1. Die gegebene Zeitreihe ist in Trend, Periode und Zufallsanteil zu zerlegen und die
Ganglinien und Zeitreihenkomponenten sind graphisch darzustellen.
2. Nach Abtrennung des Trendanteiles ist das Autokorrellogramm der Zeitreihe
(graphisch) darzustellen.
23
3. Programmbeispiel
Aufgabenstellung Fortsetzung
3. Der periodische Anteil XP(t) ist zu berechnen und (graphisch) darzustellen.
4. Die Zufallsanteile sind in die korrelative und in die stochastische Komponente zu
zerlegen.
5. Es ist eine Prognose für ein weiteres Jahr (12 Monate) zu berechnen. Dabei sind
Trend, Periodenanteil, Persistenz und Zufallsprozeß zu berücksichtigen. Als
standardisierte, normalverteilte Zufallszahlen sind die Werte zu wählen.
0.0086 -0.0382 -1.0168 -0.1324 -0.3603 -0.0337
-1.8831 0.3368 -0.0003 1.2066 -0.0204 -1.0119
3. Programmbeispiel
Aufgabenstellung Fortsetzung
Jahr Q-Wert (m3/s)
1951.08 125.56 Jänner 1951
1951.17 123.68 Februar 1951
1951.25 135.76 März 1951
1951.33 156.8 April 1951
...
...