Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann
Design For Six Sigma
Mess-System-Analyse 2/2
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Mess-System-Analyse
• Voruntersuchungen zur Mess-System-Analyse
werden im Labor mit Referenzteilen durchgeführt
• Nach erfolgreichem Abschluss der
Voruntersuchungen wird das Messsystem
– mit realen Teilen
– in realer Umgebung
– für Personen, von denen es bedient wird
durchgeführt
• Problem bei der Bewertung ist die Überlagerung
von Messfehlern und Fertigungsstreuungen
Streuverhalten eines Messsystems
Prüfstand
© Robert Bosch GmbH, Eisenach
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Mess-System-Analyse
• Wiederholpräzision
Güte, mit der die Einrichtung ein
Spezifikationsmerkmal messen kann, wenn der
gleiche Prüfer dasselbe Merkmal wiederholt misst
• Vergleichspräzision
Einfluss unterschiedlicher Prüfer oder
Prüfeinrichtungen auf das Messergebnis
• Teilestreuung
Fertigungsbedingte Streuung der zu
messenden Teile
• Wechselwirkung
Einfluss der Wechselwirkung zwischen den Teilen
und dem Prüfer auf das Messergebnis
• Einflüsse werden mit der Varianzanalyse
ausgewertet, ANOVA-Verfahren
Motivation
Streuverhalten
Wiederholpräzision
Equipment Variation
EV
Vergleichspräzision
Appraiser Variation
AV
Wechselwirkung
Teil - Prüfer
Interaction IA
Teilestreuung
Part Variation
PV
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Mess-System-Analyse
• Gage Repeatability and Reproducibility (GRR) ist
der Schätzwert für die kombinierte Streuung der
Wiederhol- und Vergleichspräzision
• Gegebenenfalls ist eine Wechselwirkung (Inter
Action IA) zwischen den Prüfern und den Teilen zu
berücksichtigen
• GRR-Wert wird in der Praxis als relativer Wert
angegeben und auf die Toleranzbreite bezogen
Kenngrößen für die Analyse des Streuverhaltens –Repeatability and Reproducibility
%GRR Klassifizierung
%GRR 5 % Messprozess ist sehr gut
%GRR 10 % Messprozess ist fähig
10 % < %GRR 30 %
Messprozess ist bedingt fähig,
Korrekturmaßnahmen hängen von
Wichtigkeit und Kosten der Messung
ab
30 % < %GRRMessprozess ist nicht fähig,
Korrekturmaßnahmen erforderlich
2 2GRR EV AV= +
2 2 2GRR EV AV IA= + +
6 GRR%GRR
T
=
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Mess-System-Analyse
• Ziel der Prozesskontrolle ist es, Streuungen im
Fertigungsprozess zu erkennen und gegebenen-
falls zu korrigieren
• Zugrundeliegende Messprozess in der Lage sein,
die Spezifikationsmerkmale sicher erkennen und
auflösen zu können
• Number of Distinct Categories gibt an, wie viele
97%-Vertrauensbereiche der Messung innerhalb
des Vertrauensbereiches der gesamten ermittelten
Prozessstreuung unter-schieden werden können
• Nur wenn der %GRR- und der ndc-Kennwert die
erforderlichen Kriterien erfüllen, kann das System
als messfähig eingestuft werden.
Kenngrößen für die Analyse des Streuverhaltens – Number of Distinct Categories
Spezifikationsmerkmal
Wa
hrs
ch
ein
lich
ke
itsve
rte
ilun
g
Messung
Prozess
PVndc 1.41 5
GRR=
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Mess-System-Analyse
• Verfahren wird durchgeführt, wenn ein Prüfer oder unterschiedliche Prüfeinrichtungen das Ergebnis
beeinflussen können
• Prüfung nach Verfahren 2 erfolgt typischerweise mit
– der entsprechenden Anzahl J Prüfern und
– K = 10 wiederholt messbaren Objekten aus der Fertigung
– Es werden jeweils N = 2 werden getrennte Messreihen durchgeführt
• Modellansatz für die einzelnen Stichprobenwerte lautet
• Varianz eines einzelnen Stichprobenwertes ergibt sich zu
• Dabei steht die Varianz 2 für die Vergleichspräzision von Prüfer zu Prüfer, die Varianz
2 für die
Teilestreuung, die Varianz 2 für die Wechselwirkung von Prüfer und Teil und die Varianz
2 für die
Wiederholpräzision
Streuverhaltens mit Einfluss des Prüfers (Verfahren 2)
jkn j k jk jkny = + + + +
2 2 2 2 2
y = + + +
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Mess-System-Analyse
• Nomenklatur für die Stichprobe
Streuverhaltens mit Einfluss des Prüfers
Einflussgröße
Teil 1 … Teil k … Teil K
Ein
flu
ssg
röß
e
Prüfer 1 y111 … y11n … y11N y1K1 … y1Kn … y1KN
:
Prüfer j yjk1 … yjkn … yjkN
:
Prüfer J YJ11 … yJ1n … yJ1N YJK1 … yJKn … yJKN
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Mess-System-Analyse
• Grafische Darstellung für einen ersten Überblick über die Messwerte und eventuelle Ausreißer,
für jeden Prüfer wird ein Diagramm mit den Messabweichungen als Funktion der Teilenummer erstellt
Streuverhaltens mit Einfluss des Prüfers – Grafische Bewertung der Stichprobe
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.075
-0.05
-0.025
0
0.025
0.05
0.075Prüfer A
Teilenummer
Te
mp
era
tura
bw
eic
hu
ng
/ °
C
Messung 1
Messung 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.075
-0.05
-0.025
0
0.025
0.05
0.075Prüfer B
Teilenummer
Te
mp
era
tura
bw
eic
hu
ng
/ °
C
Messung 1
Messung 2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.075
-0.05
-0.025
0
0.025
0.05
0.075Prüfer C
Teilenummer
Te
mp
era
tura
bw
eic
hu
ng
/ °
C
Messung 1
Messung 2
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Mess-System-Analyse
• Bei allen Prüfern haben Messung 1 und Messung
2 nur geringen Abweichungen voneinander, die
Streuung von Teil zu Teil ist im Vergleich dazu
erheblich höher
• Um die Prüfer untereinander zu vergleichen,
werden die Mittelwerte der Messungen von jedem
Teil als Funktion der Teilenummer dargestellt
• In diesem Beispiel sind die Abweichungen von
Prüfer zu Prüfer größer als die Abweichungen von
Messung 1 zu Messung 2
• Dieser Eindruck wird im Folgenden numerisch
bestimmt und bewertet
Streuverhaltens mit Einfluss des Prüfers – Grafische Bewertung der Stichprobe
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.075
-0.05
-0.025
0
0.025
0.05
0.075
Teilenummer
Te
mp
era
tura
bw
eic
hu
ng
/ °
C
Prüfer A
Prüfer B
Prüfer C
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Mess-System-Analyse
• Wie bei der Varianzanalyse kann die gesamte
Streuung der Messwerte in normierte
Quadratsummen aufgeteilt werden
• Mit Hilfe der Varianzanalyse kann die Signifikanz
der einzelnen Beiträge bewertet werden
• Dabei sind insbesondere der Einfluss der Prüfer
und die Wechselwirkung von Interesse
– Ist der Einfluss des Prüfers nicht signifikant,
kann Verfahren 3 angewendet werden
– Ist die Wechselwirkung nicht signifikant,
werden Wechselwirkung und Reststreuung
zusammengeführt.
• Diese Varianten wird unten erneut aufgegriffen
Streuverhaltens mit Einfluss des Prüfers – Normierte Quadratsummen
( )J
2
j
j 1
K N y yq
MJ 1
=
−
= = −
( )K
2
k
k 1
J N y yq
MK 1
=
−
= = −
( )
( ) ( )
J K2
jk j k
j 1 k 1
N y y y yq
MJ 1 K 1
= =
− − +
= = − −
( )
( )
J K N2
jkn
j 1 k 1 n 1
y yq
MJ K N 1
= = =
−
= = −
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Mess-System-Analyse
• Auf Basis der normierten Quadratsummen der Stichprobe sollen die Toleranzen der einzelnen Einflüsse
geschätzt werden, dazu müssen die Erwartungswerte der normierten Quadratsummen bekannt sein
• Verfahren wird beispielhaft für die auf den Prüfer zurückzuführende Streuung hergeleitet
• Erwartungswertoperator ist ein linearer Operator, so dass der Erwartungswert der standardisierten Quadrat-
summe auf den Erwartungswert des Ausdruckes in dem Summenzeichen zurückgeführt werden kann
Streuverhaltens mit Einfluss des Prüfers – Erwartungswerte der Quadratsummen
( )J
2
j
j 1
K N y yq
MJ 1
=
−
= = −
( )K N K N K K K N
j jkn j k jk jkn j k jk jkn
k 1 n 1 k 1 n 1 k 1 k 1 k 1 n 1
1 1 1 1 1y y
K N K N K K K N= = = = = = = =
= = + + + + = + + + +
( )J K N J K N
jkn j k jk jkn
j 1 k 1 n 1 j 1 k 1 n 1
J K J K J K N
j k jk jkn
j 1 k 1 j 1 k 1 j 1 k 1 n 1
1 1y y
J K N J K N
1 1 1 1
J K J K J K N
= = = = = =
= = = = = = =
= = + + + +
= + + + +
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Mess-System-Analyse
• Damit kann die Differenz berechnet werden zu
• Wegen der Unabhängigkeit der einzelnen Toleranzen untereinander gilt
Streuverhaltens mit Einfluss des Prüfers – Erwartungswerte der Quadratsummen
K K N J J K J K N
j j jk jkn j jk jkn
k 1 k 1 n 1 j 1 j 1 k 1 j 1 k 1 n 1
J K J K K N J K N
j j jk jk jkn jkn
j 1 k 1 j 1 k 1 k 1 n 1 j 1 k 1 n 1
1 1 1 1 1y y
K K N J J K J K N
1 1 1 1 1
J K J K K N J K N
= = = = = = = = =
= = = = = = = = =
− = + + − − −
= − + − + −
( )( )2 2
J K J K2
j j j jk jk
j 1 k 1 j 1 k 1
2K N J K N
jkn jkn
k 1 n 1 j 1 k 1 n 1
1 1 1E y y E E
J K J K
1 1E
K N J K N
= = = =
= = = = =
− = − + −
+ −
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Mess-System-Analyse
• Jeder der drei Summanden kann mit der binomischen Formel aufgelöst werden. Von den sich ergebenden
Summanden wird jeweils der Erwartungswert berechnet
• Nach diesem Schema werden die drei Erwartungswerte berechnet zu
Streuverhaltens mit Einfluss des Prüfers – Erwartungswerte der Quadratsummen
( )2 2
J J J2 2 2 2 2 2
j j j j j j
j 1 j 1 j 1
1 1 1 2 1 1 J 1E E 2 E E 1
J J J J J J J
= = =
− − = − + = − + = − =
2K J K
2
jk jk
k 1 j 1 k 1
1 1 J 1E
K J K J K
= = =
− − =
2K N J K N
2
jkn jkn
k 1 n 1 j 1 k 1 n 1
1 1 J 1E
K N J K N J K N
= = = = =
− − =
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Mess-System-Analyse
• Damit ergibt sich der Erwartungswert der normierten Quadratsumme zu
• Äquivalent folgt für den Teileeinfluss, den Wechselwirkungsterm und den Teil der zufälligen Streuungen
• Statt der Erwartungswerte für die Quadratsummen wird der Wert der Stichprobe verwendet, damit liegt ein
Gleichungssystem mit 4 Gleichungen für 4 unbekannte Varianzen vor
Streuverhaltens mit Einfluss des Prüfers – Erwartungswerte der Quadratsummen
( ) ( )( )22 2 2 2 2 2
j
K N J K N J J 1 J 1 J 1E M E y y K N N
J 1 J 1 J J K J N K
− − − = − = + + = + +
− −
( ) 2 2 2E M J N N = + +
( ) 2 2E M N
= +
( ) 2E M =
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Mess-System-Analyse
• Lösung des Gleichungssystems führt zu den in
der Tabelle aufgeführten Standardabweichungen
• Mit den Standardabweichungen werden die
Kenngrößen für die numerische Bewertung des
Streuungsverhaltens berechnet
• Gage Repeatability and Reproducibility
• Number of distinct Categories
Streuverhaltens mit Einfluss des Prüfers – Numerische Bewertung
Quelle Standardabweichung σ
Wiederholbarkeit
Prüfer
Teile
Wechselwirkung Prüfer - Teile
Repeatability & Reproducibility
M
=
M M
K N
− =
M M
J N
− =
M M
N
− =
2 2 2
GRR = + +
GRR6%GRR
T
=
GRR GRR
6ndc 1.41 1.41
6
= =
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Mess-System-Analyse
• Ist der Wechselwirkungsterm nicht signifikant, werden die Wechselwirkung und die Wiederholpräzision
zusammengefasst
• An Stelle von Mε wird die standardisierte Quadratsumme MADD verwendet
• Erwartungswerte der Quadratsummen führen zu einem lineare Gleichungssystem, mit dem die Varianz 2
für die Vergleichspräzision von Prüfer zu Prüfer, die Varianz 2 für die Teilestreuung und die Varianz
ADD2 für die Wiederholpräzision bestimmt werden können
Streuverhaltens mit Einfluss des Prüfers – Nicht signifikanter Wechselwirkungsterm
( ) ( )
( ) ( ) ( )
J K J K N2 2
jk j k jkn
j 1 k 1 j 1 k 1 n 1ADDADD
ADD
N y y y y y yq qq
MJ 1 K 1 J K N 1
= = = = =
− − + + −+
= = = + − − + −
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Mess-System-Analyse
• Lösung des Gleichungssystems führt zu den in
der Tabelle aufgeführten Standardabweichungen
• Mit den Standardabweichungen werden die
Kenngrößen für die numerische Bewertung des
Streuungsverhaltens berechnet
• Gage Repeatability and Reproducibility
• Number of distinct Categories
Streuverhaltens mit Einfluss des Prüfers – Nicht signifikanter Wechselwirkungsterm
Quelle Standardabweichung σ
Wiederholbarkeit
Prüfer
Teile
Repeatability & Reproducibility
ADDM M
K N
− =
ADDM M
J N
− =
2 2
GRR = +
GRR6%GRR
T
=
GRR GRR
6ndc 1.41 1.41
6
= =
ADDM
=
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Mess-System-Analyse
• Verfahren wird durchgeführt, wenn Prüfer oder unterschiedliche Prüfeinrichtungen das Ergebnis nicht
signifikant beeinflussen
• Prüfung nach Verfahren 3 erfolgt typischerweise mit
– K = 25 wiederholt messbaren Objekten aus der Fertigung
– Es werden jeweils N = 2 werden getrennte Messreihen durchgeführt
• Modellansatz für die einzelnen Stichprobenwerte lautet
• Varianz eines einzelnen Stichprobenwertes ergibt sich zu
• Dabei steht die Varianz 2 für die Teilestreuung und die Varianz
2 für die Wiederholpräzision
Streuverhaltens ohne Einfluss des Prüfers (Verfahren 3)
kn k kny = + +
2 2 2
y = +
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Mess-System-Analyse
• Nomenklatur für die Stichprobe
• Auch in diesem Fall werden die Varianzen über die normierten Quadratsummen der Varianzanalyse
bestimmt, sie können der ANOVA-Tabelle entnommen werden
• Erwartungswerte der Quadratsummen führen zu einem lineare Gleichungssystem, mit dem die Varianz 2
für die Teilestreuung und die Varianz 2 für die Wiederholpräzision bestimmt werden können
Streuverhaltens ohne Einfluss des Prüfers
Teil
Einflussgröße
Teil 1 … Teil k … Teil K
Messergebnisse y11… y1n
… y1N … yj1… ykn
… ykN … XK1… yKn
… yKN
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Mess-System-Analyse
• Mit den Varianzen beziehungsweise den
Standardabweichungen werden die Kenngrößen
für die numerische Bewertung des
Streuungsverhaltens berechnet
• Gage Repeatability and Reproducibility
• Number of distinct Categories
Streuverhaltens ohne Einfluss des Prüfers – Numerische Bewertung
Quelle Standardabweichung σ
Wiederholbarkeit
Teile
Repeatability & Reproducibility
GRR6%GRR
T
=
GRR GRR
6ndc 1.41 1.41
6
= =
M
=
M M
N
− =
GRR =
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Mess-System-Analyse
• Veränderungen in der laufenden Fertigung müssen möglichst schnell erkannt werden, um bei Bedarf
rechtzeitig Verbesserungsmaßnahmen einleiten zu können, dazu ist ein zuverlässiger und langzeitstabiler
Messprozess erforderlich
• Messsystem kann sich im Laufe der Zeit verändern und muss daher stetig überwacht werden
• Zur Beobachtung des Messprozesses werden Shewhart-Qualitätsregelkarten eingesetzt, mit denen
sowohl der Mittelwert als auch die Standardabweichung kontrolliert werden
• Bei Verfahren 5 der Messsystemanalyse wird in regelmäßigen Abständen eine definierte Anzahl N
Messungen an einem Normal oder Referenzteil mit bekanntem Mittelwert μ durchgeführt
• Anzahl der Messungen sollte nicht kleiner als 3 sein, empfohlen werden im Referenzhandbuch zur
Messsystemanalyse N = 3 … 5 Messungen
• An jedem Teil wird das Qualitätsmerkmal gemessen, das beobachtet werden soll, für die Stichprobe
werden Mittelwert und Standardabweichung berechnet
• Standardabweichung der Grundgesamtheit gilt als bekannt und wird in der Praxis meist zu 2.5 % der
maximalen Toleranz geschätzt
Langzeitstabilität eines Messsystems (Verfahren 5)
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Mess-System-Analyse
• Zur Bewertung der Langzeitstabilität wird
beobachtet, wie sich die aus den Messwerten
abgeleiteten Größen Mittelwert und
Standardabweichung entwickeln und ob sie
vorgegebene Grenzen überschreiten
• In den Regel-karten nach Shewhart wird hierbei
üblicherweise der 99%-Konfidenzbereich gewählt,
liegen die Werte innerhalb des Konfidenzbereichs,
wird von einer unveränderten Messfähigkeit
ausgegangen
• Zusätzlich werden noch die 95%-Konfidenz-
bereiche in die Regelkarten als Warngrenze
eingetragen werden
• Bei einer möglichen Verletzung der Warngrenzen
kann frühzeitig einer möglichen Fehlentwicklung
entgegengewirkt werden
Langzeitstabilität eines Messsystems – Shewart Regelkarte
2 4 6 8 10 125.997
5.998
5.999
6
6.001
6.002
6.003
6.004
Stichprobe
Zylin
de
rdu
rch
me
sse
r / m
m
Stichprobe EG WG
2 4 6 8 10 120
0.001
0.002
0.003
0.004
Stichprobe
Sta
nd
ard
ab
we
ich
un
g / m
m
Stichprobe EG WG
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Mess-System-Analyse
• Regelkarte des Mittelwertes basiert auf dem Hypothesentest, dass der Mittelwert der Stichprobe dem
bekannten Mittelwert der Grundgesamtheit µ entspricht, dieser Mittelwert der Grundgesamtheit µ ist der
Referenzwert der Messgröße
• Bei bekannter Varianz σ2 der Grundgesamtheit ist auch die Varianz des Mittelwertes σ2/N bekannt, bei
normalverteilter Messgröße y ist die Zufallsvariable z standardnormalverteilt
• Ist die Nullhypothese korrekt, liegt die Stichprobe in dem Intervall
• Grenzen c1 und c2 ergeben sich aus der inversen Standardnormalverteilung
Langzeitstabilität eines Messsystems – Regelkarte des Mittelwertes
y
y yz
/ N
− − = =
1 2 1 21 2
c c c cyP c c P y P y
/ N N N N N
− = = − = + +
1
1,2
1c F
2
− =
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Mess-System-Analyse
• Bei der Einführung von Testvariablen wird gezeigt, dass das Verhältnis der Varianzen einer Stichprobe s2
und einer Grundgesamtheit 2 mit Hilfe der Chi-Quadrat-Verteilung beschrieben werden kann
• Regelkarte des Mittelwertes basiert auf dem Hypothesentest, dass die Varianz der Stichprobe s2 der
bekannten Varianz Grundgesamtheit 2 entspricht
• Ist die Nullhypothese korrekt, liegt die Stichprobenvarianz in dem Intervall
• Bei Annahme eines symmetrischen Konfidenzbereiches ergeben sich die Konstanten c1 und c2 aus der
inversen Chi2-Verteilung zu
Langzeitstabilität eines Messsystems – Regelkarte der Standardabweichung
( )2
2
sN 1 = −
( )2 22
21 21 22
c csP c N 1 c P s
N 1 N 1
= − =
− −
1
1,2
1c F
2
− =
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Mess-System-Analyse
• Verfahren wird mit Messungen eines
Zylinderdurchmessers verdeutlicht, zu 12
verschiedenen Zeitpunkten wurden jeweils drei
Messungen durchgeführt
• Messwerte werden in Form einer Mittelwert- und
Standardabweichungskarte grafisch dargestellt,
dabei ist der Sollwert µ = 6 mm und die Standard-
abweichung wurde als = 0.0015 mm bestimmt
• Eingriffsgrenzen (EG) für den Mittelwert
entsprechen dem Prognosebereich bei
N = 3 gemittelten Messwerten und = 99 %
• Warngrenzen (WG) für den Mittelwert entsprechen
dem Prognosebereich bei N = 3 gemittelten
Messwerten und = 95 %
• Warngrenze liegt enger um den Sollwert
Beispiel: Langzeitstabilität eines Messsystems – Shewart Regelkarte
2 4 6 8 10 125.997
5.998
5.999
6
6.001
6.002
6.003
6.004
Stichprobe
Zylin
de
rdu
rch
me
sse
r / m
m
Stichprobe EG WG
2 4 6 8 10 120
0.001
0.002
0.003
0.004
Stichprobe
Sta
nd
ard
ab
we
ich
un
g / m
m
Stichprobe EG WG
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Mess-System-Analyse
• Mittelwerte der Stichprobe liegen zwischen den
eingetragenen Grenzen
• Auch ein hier nicht dargestellter t-Test zeigt, dass
keine signifikante systematische Abweichung
vorliegt
• Alle Verfahren belegen damit, dass die Streuung
des Mittelwertes nicht signifikant ist
• Messprozess wird damit als stabil eingestuft
• Allerdings wird bei Stichprobe 6 die Warngrenze
überschritten, die entsprechende Fertigung-
Charge sollte auf signifikante Abweichungen
geprüft und Gegenmaßnahmen eingeführt werden
Beispiel: Langzeitstabilität eines Messsystems – Shewart Regelkarte
2 4 6 8 10 125.997
5.998
5.999
6
6.001
6.002
6.003
6.004
Stichprobe
Zylin
de
rdu
rch
me
sse
r / m
m
Stichprobe EG WG
2 4 6 8 10 120
0.001
0.002
0.003
0.004
Stichprobe
Sta
nd
ard
ab
we
ich
un
g / m
m
Stichprobe EG WG