Design For Six Sigma · Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 6 Mess-System-Analyse • Verfahren wird durchgeführt, wenn ein Prüfer oder unterschiedliche

Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann

Design For Six Sigma

Mess-System-Analyse 2/2

Fakultät für Elektro- und Informationstechnik, Manfred Strohrmann 2

Mess-System-Analyse

• Voruntersuchungen zur Mess-System-Analyse

werden im Labor mit Referenzteilen durchgeführt

• Nach erfolgreichem Abschluss der

Voruntersuchungen wird das Messsystem

– mit realen Teilen

– in realer Umgebung

– für Personen, von denen es bedient wird

durchgeführt

• Problem bei der Bewertung ist die Überlagerung

von Messfehlern und Fertigungsstreuungen

Streuverhalten eines Messsystems

Prüfstand

© Robert Bosch GmbH, Eisenach


Mess-System-Analyse

• Wiederholpräzision

Güte, mit der die Einrichtung ein

Spezifikationsmerkmal messen kann, wenn der

gleiche Prüfer dasselbe Merkmal wiederholt misst

• Vergleichspräzision

Einfluss unterschiedlicher Prüfer oder

Prüfeinrichtungen auf das Messergebnis

• Teilestreuung

Fertigungsbedingte Streuung der zu

messenden Teile

• Wechselwirkung

Einfluss der Wechselwirkung zwischen den Teilen

und dem Prüfer auf das Messergebnis

• Einflüsse werden mit der Varianzanalyse

ausgewertet, ANOVA-Verfahren

Motivation

Streuverhalten

Wiederholpräzision

Equipment Variation

EV

Vergleichspräzision

Appraiser Variation

AV

Wechselwirkung

Teil - Prüfer

Interaction IA

Teilestreuung

Part Variation

PV


Mess-System-Analyse

• Gage Repeatability and Reproducibility (GRR) ist

der Schätzwert für die kombinierte Streuung der

Wiederhol- und Vergleichspräzision

• Gegebenenfalls ist eine Wechselwirkung (Inter

Action IA) zwischen den Prüfern und den Teilen zu

berücksichtigen

• GRR-Wert wird in der Praxis als relativer Wert

angegeben und auf die Toleranzbreite bezogen

Kenngrößen für die Analyse des Streuverhaltens –Repeatability and Reproducibility

%GRR Klassifizierung

%GRR 5 % Messprozess ist sehr gut

%GRR 10 % Messprozess ist fähig

10 % < %GRR 30 %

Messprozess ist bedingt fähig,

Korrekturmaßnahmen hängen von

Wichtigkeit und Kosten der Messung

ab

30 % < %GRRMessprozess ist nicht fähig,

Korrekturmaßnahmen erforderlich

2 2GRR EV AV= +

2 2 2GRR EV AV IA= + +

6 GRR%GRR

T

=


Mess-System-Analyse

• Ziel der Prozesskontrolle ist es, Streuungen im

Fertigungsprozess zu erkennen und gegebenen-

falls zu korrigieren

• Zugrundeliegende Messprozess in der Lage sein,

die Spezifikationsmerkmale sicher erkennen und

auflösen zu können

• Number of Distinct Categories gibt an, wie viele

97%-Vertrauensbereiche der Messung innerhalb

des Vertrauensbereiches der gesamten ermittelten

Prozessstreuung unter-schieden werden können

• Nur wenn der %GRR- und der ndc-Kennwert die

erforderlichen Kriterien erfüllen, kann das System

als messfähig eingestuft werden.

Kenngrößen für die Analyse des Streuverhaltens – Number of Distinct Categories

Spezifikationsmerkmal

Wa

hrs

ch

ein

lich

ke

itsve

rte

ilun

g

Messung

Prozess

PVndc 1.41 5

GRR=


Mess-System-Analyse

• Verfahren wird durchgeführt, wenn ein Prüfer oder unterschiedliche Prüfeinrichtungen das Ergebnis

beeinflussen können

• Prüfung nach Verfahren 2 erfolgt typischerweise mit

– der entsprechenden Anzahl J Prüfern und

– K = 10 wiederholt messbaren Objekten aus der Fertigung

– Es werden jeweils N = 2 werden getrennte Messreihen durchgeführt

• Modellansatz für die einzelnen Stichprobenwerte lautet

• Varianz eines einzelnen Stichprobenwertes ergibt sich zu

• Dabei steht die Varianz 2 für die Vergleichspräzision von Prüfer zu Prüfer, die Varianz

2 für die

Teilestreuung, die Varianz 2 für die Wechselwirkung von Prüfer und Teil und die Varianz

2 für die

Wiederholpräzision

Streuverhaltens mit Einfluss des Prüfers (Verfahren 2)

jkn j k jk jkny = + + + +

2 2 2 2 2

y = + + +


Mess-System-Analyse

• Nomenklatur für die Stichprobe

Streuverhaltens mit Einfluss des Prüfers

Einflussgröße

Teil 1 … Teil k … Teil K

Ein

flu

ssg

röß

e

Prüfer 1 y111 … y11n … y11N y1K1 … y1Kn … y1KN

:

Prüfer j yjk1 … yjkn … yjkN

:

Prüfer J YJ11 … yJ1n … yJ1N YJK1 … yJKn … yJKN


Mess-System-Analyse

• Grafische Darstellung für einen ersten Überblick über die Messwerte und eventuelle Ausreißer,

für jeden Prüfer wird ein Diagramm mit den Messabweichungen als Funktion der Teilenummer erstellt

Streuverhaltens mit Einfluss des Prüfers – Grafische Bewertung der Stichprobe

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.075

-0.05

-0.025

0

0.025

0.05

0.075Prüfer A

Teilenummer

Te

mp

era

tura

bw

eic

hu

ng

/ °

C

Messung 1

Messung 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.075

-0.05

-0.025

0

0.025

0.05

0.075Prüfer B

Teilenummer

Te

mp

era

tura

bw

eic

hu

ng

/ °

C

Messung 1

Messung 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.075

-0.05

-0.025

0

0.025

0.05

0.075Prüfer C

Teilenummer

Te

mp

era

tura

bw

eic

hu

ng

/ °

C

Messung 1

Messung 2


Mess-System-Analyse

• Bei allen Prüfern haben Messung 1 und Messung

2 nur geringen Abweichungen voneinander, die

Streuung von Teil zu Teil ist im Vergleich dazu

erheblich höher

• Um die Prüfer untereinander zu vergleichen,

werden die Mittelwerte der Messungen von jedem

Teil als Funktion der Teilenummer dargestellt

• In diesem Beispiel sind die Abweichungen von

Prüfer zu Prüfer größer als die Abweichungen von

Messung 1 zu Messung 2

• Dieser Eindruck wird im Folgenden numerisch

bestimmt und bewertet

Streuverhaltens mit Einfluss des Prüfers – Grafische Bewertung der Stichprobe

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.075

-0.05

-0.025

0

0.025

0.05

0.075

Teilenummer

Te

mp

era

tura

bw

eic

hu

ng

/ °

C

Prüfer A

Prüfer B

Prüfer C


Mess-System-Analyse

• Wie bei der Varianzanalyse kann die gesamte

Streuung der Messwerte in normierte

Quadratsummen aufgeteilt werden

• Mit Hilfe der Varianzanalyse kann die Signifikanz

der einzelnen Beiträge bewertet werden

• Dabei sind insbesondere der Einfluss der Prüfer

und die Wechselwirkung von Interesse

– Ist der Einfluss des Prüfers nicht signifikant,

kann Verfahren 3 angewendet werden

– Ist die Wechselwirkung nicht signifikant,

werden Wechselwirkung und Reststreuung

zusammengeführt.

• Diese Varianten wird unten erneut aufgegriffen

Streuverhaltens mit Einfluss des Prüfers – Normierte Quadratsummen

( )J

2

j

j 1

K N y yq

MJ 1

=

−

= = −

( )K

2

k

k 1

J N y yq

MK 1

=

−

= = −

( )

( ) ( )

J K2

jk j k

j 1 k 1

N y y y yq

MJ 1 K 1

= =

− − +

= = − −

( )

( )

J K N2

jkn

j 1 k 1 n 1

y yq

MJ K N 1

= = =

−

= = −


Mess-System-Analyse

• Auf Basis der normierten Quadratsummen der Stichprobe sollen die Toleranzen der einzelnen Einflüsse

geschätzt werden, dazu müssen die Erwartungswerte der normierten Quadratsummen bekannt sein

• Verfahren wird beispielhaft für die auf den Prüfer zurückzuführende Streuung hergeleitet

• Erwartungswertoperator ist ein linearer Operator, so dass der Erwartungswert der standardisierten Quadrat-

summe auf den Erwartungswert des Ausdruckes in dem Summenzeichen zurückgeführt werden kann

Streuverhaltens mit Einfluss des Prüfers – Erwartungswerte der Quadratsummen

( )J

2

j

j 1

K N y yq

MJ 1

=

−

= = −

( )K N K N K K K N

j jkn j k jk jkn j k jk jkn

k 1 n 1 k 1 n 1 k 1 k 1 k 1 n 1

1 1 1 1 1y y

K N K N K K K N= = = = = = = =

= = + + + + = + + + +

( )J K N J K N

jkn j k jk jkn

j 1 k 1 n 1 j 1 k 1 n 1

J K J K J K N

j k jk jkn

j 1 k 1 j 1 k 1 j 1 k 1 n 1

1 1y y

J K N J K N

1 1 1 1

J K J K J K N

= = = = = =

= = = = = = =

= = + + + +

= + + + +


Mess-System-Analyse

• Damit kann die Differenz berechnet werden zu

• Wegen der Unabhängigkeit der einzelnen Toleranzen untereinander gilt


K K N J J K J K N

j j jk jkn j jk jkn

k 1 k 1 n 1 j 1 j 1 k 1 j 1 k 1 n 1

J K J K K N J K N

j j jk jk jkn jkn

j 1 k 1 j 1 k 1 k 1 n 1 j 1 k 1 n 1

1 1 1 1 1y y

K K N J J K J K N

1 1 1 1 1

J K J K K N J K N

= = = = = = = = =

= = = = = = = = =

− = + + − − −

= − + − + −

( )( )2 2

J K J K2

j j j jk jk

j 1 k 1 j 1 k 1

2K N J K N

jkn jkn

k 1 n 1 j 1 k 1 n 1

1 1 1E y y E E

J K J K

1 1E

K N J K N

= = = =

= = = = =

− = − + −

+ −


Mess-System-Analyse

• Jeder der drei Summanden kann mit der binomischen Formel aufgelöst werden. Von den sich ergebenden

Summanden wird jeweils der Erwartungswert berechnet

• Nach diesem Schema werden die drei Erwartungswerte berechnet zu


( )2 2

J J J2 2 2 2 2 2

j j j j j j

j 1 j 1 j 1

1 1 1 2 1 1 J 1E E 2 E E 1

J J J J J J J

= = =

− − = − + = − + = − =

2K J K

2

jk jk

k 1 j 1 k 1

1 1 J 1E

K J K J K

= = =

− − =

2K N J K N

2

jkn jkn

k 1 n 1 j 1 k 1 n 1

1 1 J 1E

K N J K N J K N

= = = = =

− − =


Mess-System-Analyse

• Damit ergibt sich der Erwartungswert der normierten Quadratsumme zu

• Äquivalent folgt für den Teileeinfluss, den Wechselwirkungsterm und den Teil der zufälligen Streuungen

• Statt der Erwartungswerte für die Quadratsummen wird der Wert der Stichprobe verwendet, damit liegt ein

Gleichungssystem mit 4 Gleichungen für 4 unbekannte Varianzen vor


( ) ( )( )22 2 2 2 2 2

j

K N J K N J J 1 J 1 J 1E M E y y K N N

J 1 J 1 J J K J N K

− − − = − = + + = + +

− −

( ) 2 2 2E M J N N = + +

( ) 2 2E M N

= +

( ) 2E M =


Mess-System-Analyse

• Lösung des Gleichungssystems führt zu den in

der Tabelle aufgeführten Standardabweichungen

• Mit den Standardabweichungen werden die

Kenngrößen für die numerische Bewertung des

Streuungsverhaltens berechnet

• Gage Repeatability and Reproducibility

• Number of distinct Categories

Streuverhaltens mit Einfluss des Prüfers – Numerische Bewertung

Quelle Standardabweichung σ

Wiederholbarkeit

Prüfer

Teile

Wechselwirkung Prüfer - Teile

Repeatability & Reproducibility

M

=

M M

K N

− =

M M

J N

− =

M M

N

− =

2 2 2

GRR = + +

GRR6%GRR

T

=

GRR GRR

6ndc 1.41 1.41

6

= =


Mess-System-Analyse

• Ist der Wechselwirkungsterm nicht signifikant, werden die Wechselwirkung und die Wiederholpräzision

zusammengefasst

• An Stelle von Mε wird die standardisierte Quadratsumme MADD verwendet

• Erwartungswerte der Quadratsummen führen zu einem lineare Gleichungssystem, mit dem die Varianz 2

für die Vergleichspräzision von Prüfer zu Prüfer, die Varianz 2 für die Teilestreuung und die Varianz

ADD2 für die Wiederholpräzision bestimmt werden können

Streuverhaltens mit Einfluss des Prüfers – Nicht signifikanter Wechselwirkungsterm

( ) ( )

( ) ( ) ( )

J K J K N2 2

jk j k jkn

j 1 k 1 j 1 k 1 n 1ADDADD

ADD

N y y y y y yq qq

MJ 1 K 1 J K N 1

= = = = =

− − + + −+

= = = + − − + −


Mess-System-Analyse

• Lösung des Gleichungssystems führt zu den in

der Tabelle aufgeführten Standardabweichungen

• Mit den Standardabweichungen werden die

Kenngrößen für die numerische Bewertung des




Streuverhaltens mit Einfluss des Prüfers – Nicht signifikanter Wechselwirkungsterm


Wiederholbarkeit

Prüfer

Teile


ADDM M

K N

− =

ADDM M

J N

− =

2 2

GRR = +

GRR6%GRR

T

=

GRR GRR

6ndc 1.41 1.41

6

= =

ADDM

=


Mess-System-Analyse

• Verfahren wird durchgeführt, wenn Prüfer oder unterschiedliche Prüfeinrichtungen das Ergebnis nicht

signifikant beeinflussen

• Prüfung nach Verfahren 3 erfolgt typischerweise mit

– K = 25 wiederholt messbaren Objekten aus der Fertigung

– Es werden jeweils N = 2 werden getrennte Messreihen durchgeführt

• Modellansatz für die einzelnen Stichprobenwerte lautet

• Varianz eines einzelnen Stichprobenwertes ergibt sich zu

• Dabei steht die Varianz 2 für die Teilestreuung und die Varianz

2 für die Wiederholpräzision

Streuverhaltens ohne Einfluss des Prüfers (Verfahren 3)

kn k kny = + +

2 2 2

y = +


Mess-System-Analyse

• Nomenklatur für die Stichprobe

• Auch in diesem Fall werden die Varianzen über die normierten Quadratsummen der Varianzanalyse

bestimmt, sie können der ANOVA-Tabelle entnommen werden

• Erwartungswerte der Quadratsummen führen zu einem lineare Gleichungssystem, mit dem die Varianz 2

für die Teilestreuung und die Varianz 2 für die Wiederholpräzision bestimmt werden können

Streuverhaltens ohne Einfluss des Prüfers

Teil

Einflussgröße

Teil 1 … Teil k … Teil K

Messergebnisse y11… y1n

… y1N … yj1… ykn

… ykN … XK1… yKn

… yKN


Mess-System-Analyse

• Mit den Varianzen beziehungsweise den

Standardabweichungen werden die Kenngrößen

für die numerische Bewertung des




Streuverhaltens ohne Einfluss des Prüfers – Numerische Bewertung


Wiederholbarkeit

Teile


GRR6%GRR

T

=

GRR GRR

6ndc 1.41 1.41

6

= =

M

=

M M

N

− =

GRR =


Mess-System-Analyse

• Veränderungen in der laufenden Fertigung müssen möglichst schnell erkannt werden, um bei Bedarf

rechtzeitig Verbesserungsmaßnahmen einleiten zu können, dazu ist ein zuverlässiger und langzeitstabiler

Messprozess erforderlich

• Messsystem kann sich im Laufe der Zeit verändern und muss daher stetig überwacht werden

• Zur Beobachtung des Messprozesses werden Shewhart-Qualitätsregelkarten eingesetzt, mit denen

sowohl der Mittelwert als auch die Standardabweichung kontrolliert werden

• Bei Verfahren 5 der Messsystemanalyse wird in regelmäßigen Abständen eine definierte Anzahl N

Messungen an einem Normal oder Referenzteil mit bekanntem Mittelwert μ durchgeführt

• Anzahl der Messungen sollte nicht kleiner als 3 sein, empfohlen werden im Referenzhandbuch zur

Messsystemanalyse N = 3 … 5 Messungen

• An jedem Teil wird das Qualitätsmerkmal gemessen, das beobachtet werden soll, für die Stichprobe

werden Mittelwert und Standardabweichung berechnet

• Standardabweichung der Grundgesamtheit gilt als bekannt und wird in der Praxis meist zu 2.5 % der

maximalen Toleranz geschätzt

Langzeitstabilität eines Messsystems (Verfahren 5)


Mess-System-Analyse

• Zur Bewertung der Langzeitstabilität wird

beobachtet, wie sich die aus den Messwerten

abgeleiteten Größen Mittelwert und

Standardabweichung entwickeln und ob sie

vorgegebene Grenzen überschreiten

• In den Regel-karten nach Shewhart wird hierbei

üblicherweise der 99%-Konfidenzbereich gewählt,

liegen die Werte innerhalb des Konfidenzbereichs,

wird von einer unveränderten Messfähigkeit

ausgegangen

• Zusätzlich werden noch die 95%-Konfidenz-

bereiche in die Regelkarten als Warngrenze

eingetragen werden

• Bei einer möglichen Verletzung der Warngrenzen

kann frühzeitig einer möglichen Fehlentwicklung

entgegengewirkt werden

Langzeitstabilität eines Messsystems – Shewart Regelkarte

2 4 6 8 10 125.997

5.998

5.999

6

6.001

6.002

6.003

6.004

Stichprobe

Zylin

de

rdu

rch

me

sse

r / m

m

Stichprobe EG WG

2 4 6 8 10 120

0.001

0.002

0.003

0.004

Stichprobe

Sta

nd

ard

ab

we

ich

un

g / m

m

Stichprobe EG WG


Mess-System-Analyse

• Regelkarte des Mittelwertes basiert auf dem Hypothesentest, dass der Mittelwert der Stichprobe dem

bekannten Mittelwert der Grundgesamtheit µ entspricht, dieser Mittelwert der Grundgesamtheit µ ist der

Referenzwert der Messgröße

• Bei bekannter Varianz σ2 der Grundgesamtheit ist auch die Varianz des Mittelwertes σ2/N bekannt, bei

normalverteilter Messgröße y ist die Zufallsvariable z standardnormalverteilt

• Ist die Nullhypothese korrekt, liegt die Stichprobe in dem Intervall

• Grenzen c1 und c2 ergeben sich aus der inversen Standardnormalverteilung

Langzeitstabilität eines Messsystems – Regelkarte des Mittelwertes

y

y yz

/ N

− − = =

1 2 1 21 2

c c c cyP c c P y P y

/ N N N N N

− = = − = + +

1

1,2

1c F

2

− =


Mess-System-Analyse

• Bei der Einführung von Testvariablen wird gezeigt, dass das Verhältnis der Varianzen einer Stichprobe s2

und einer Grundgesamtheit 2 mit Hilfe der Chi-Quadrat-Verteilung beschrieben werden kann

• Regelkarte des Mittelwertes basiert auf dem Hypothesentest, dass die Varianz der Stichprobe s2 der

bekannten Varianz Grundgesamtheit 2 entspricht

• Ist die Nullhypothese korrekt, liegt die Stichprobenvarianz in dem Intervall

• Bei Annahme eines symmetrischen Konfidenzbereiches ergeben sich die Konstanten c1 und c2 aus der

inversen Chi2-Verteilung zu

Langzeitstabilität eines Messsystems – Regelkarte der Standardabweichung

( )2

2

sN 1 = −

( )2 22

21 21 22

c csP c N 1 c P s

N 1 N 1

= − =

− −

1

1,2

1c F

2

− =


Mess-System-Analyse

• Verfahren wird mit Messungen eines

Zylinderdurchmessers verdeutlicht, zu 12

verschiedenen Zeitpunkten wurden jeweils drei

Messungen durchgeführt

• Messwerte werden in Form einer Mittelwert- und

Standardabweichungskarte grafisch dargestellt,

dabei ist der Sollwert µ = 6 mm und die Standard-

abweichung wurde als = 0.0015 mm bestimmt

• Eingriffsgrenzen (EG) für den Mittelwert

entsprechen dem Prognosebereich bei

N = 3 gemittelten Messwerten und = 99 %

• Warngrenzen (WG) für den Mittelwert entsprechen

dem Prognosebereich bei N = 3 gemittelten

Messwerten und = 95 %

• Warngrenze liegt enger um den Sollwert

Beispiel: Langzeitstabilität eines Messsystems – Shewart Regelkarte

2 4 6 8 10 125.997

5.998

5.999

6

6.001

6.002

6.003

6.004

Stichprobe

Zylin

de

rdu

rch

me

sse

r / m

m

Stichprobe EG WG

2 4 6 8 10 120

0.001

0.002

0.003

0.004

Stichprobe

Sta

nd

ard

ab

we

ich

un

g / m

m

Stichprobe EG WG


Mess-System-Analyse

• Mittelwerte der Stichprobe liegen zwischen den

eingetragenen Grenzen

• Auch ein hier nicht dargestellter t-Test zeigt, dass

keine signifikante systematische Abweichung

vorliegt

• Alle Verfahren belegen damit, dass die Streuung

des Mittelwertes nicht signifikant ist

• Messprozess wird damit als stabil eingestuft

• Allerdings wird bei Stichprobe 6 die Warngrenze

überschritten, die entsprechende Fertigung-

Charge sollte auf signifikante Abweichungen

geprüft und Gegenmaßnahmen eingeführt werden

Beispiel: Langzeitstabilität eines Messsystems – Shewart Regelkarte

2 4 6 8 10 125.997

5.998

5.999

6

6.001

6.002

6.003

6.004

Stichprobe

Zylin

de

rdu

rch

me

sse

r / m

m

Stichprobe EG WG

2 4 6 8 10 120

0.001

0.002

0.003

0.004

Stichprobe

Sta

nd

ard

ab

we

ich

un

g / m

m

Stichprobe EG WG

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