Mathematikvorkurs
Wintersemester 2017/2018
Elizaveta Buch
Fachbereich I
Management, Controlling, Health Care
Themenüberblick
11.09.2017 Mathematikvorkurs - Elizaveta Buch
Montag • Grundrechenarten und -regeln
• Bruchrechnen
• Prozentrechnung
Dienstag • Binomische Formeln
• Potenzen, Wurzeln und Logarithmus
• Summen- und Produktzeichen
• Folgen und Reihen
Mittwoch • Lineare Gleichungen
• Funktionsbegriff
• Darstellung von Funktionen
• Definitions- und Wertemenge
• Lineare Funktionen
Donnerstag • Quadratische Gleichungen lösen
Freitag • Quadratischen Funktionen/ Scheitelpunktsform
• Umkehrfunktion
• Grenzwert
Zahlenmengen
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ℕ Natürliche Zahlen
ℤ Ganze Zahlen
ℚ Rationale Zahlen
ℝ Reelle Zahlen
ℂ Komplexe Zahlen
Grundrechenarten
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1) Addition
Summand + Summand = Summe
2) Subtraktion
Minuend – Subtrahend = Differenz
3) Multiplikation
Faktor • Faktor = Produkt
4) Division
Dividend : Divisor = Quotient
Beispiel:
6 + 2 = 8
6 – 2 = 4
6 ∙ 2 = 12
6 : 2 = 3
Rechenregeln
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1) Punkt- vor Strichrechnung
2) Klammern zuerst berechnen
Bei geschachtelten Klammern von innen nach außen rechnen:
Beispiel:
Beispiel:
= 23 + 7
23 + 14 ∶ 2
= 30
= 5 ∗ 35 ∗ 4 − 1
= 15
Beispiel:
= 4 ∗ 5 + 2 − 10
4 ∗ 2 + 3 + 2 − 10
= 20 + 2 − 25
= −3
3) Ein Produkt ist genau dann null, wenn mindestens ein Faktor null ist.
4) Die Division durch 𝟎 ist in keinem Fall erlaubt!
Rechenregeln
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(𝑥 − 4) ∗ 𝑥 + 2 = 0
(𝑥 − 4) = 0 (𝑥 + 2) = 0und
𝑥 = 4 𝑥 = −2
Beispiel:
Grundregeln der Multiplikation
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1) Kommutativgesetz
Beispiel:
2) Assoziativgesetz
Beispiel:
3) Distributivgesetz (ausmultiplizieren/ausklammern)
𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎 2 ∗ 4 = 4 ∗2
𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑐 = 𝑎 ∗ (𝑏 ∗ c) 2 ∗ 3 ∗ 4 = 2 ∗ (3 ∗ 4)(6) ∗ 4 = 2 ∗ 12
24 = 24
𝑎 + 𝑏 ∗ 𝑐 + 𝑑 = 𝑎 ∗ 𝑐 + 𝑎 ∗ 𝑑 + 𝑏 ∗ 𝑐 + 𝑏 ∗ 𝑑𝑎 ∗ 𝑏 + c = 𝑎 ∗ 𝑏 + 𝑎 ∗ 𝑐
2 ∗ 3 + 4 = 2 ∗ 3 + 2 ∗ 42 ∗ 7 = 6 + 8
14 = 14
2 + 5 ∗ 3 + 1 = 2 ∗ 3 + 2 ∗ 1 + 5 ∗ 3 + 5 ∗ 17 ∗ 4 = 6 + 2 + 15 + 5
28 = 28
Beispiel:
Beispiel:
Eine Summe durch Ausklammern zu einem Produkt umformen.
Faktorisieren
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Beispiel: 𝑥2 + 3𝑥 = 0
𝑥 ∗ (𝑥 + 3) = 0
𝑥 = 0 (𝑥 + 3) = 0und
𝑥 = 0 𝑥 = −3
Bruchrechnung
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1) Kehrbruch: Zu jedem Bruch gibt es einen Kehrbruch
Dabei gilt:
2) Erweitern: Zähler und Nenner werden mit der gleichen Zahl 𝑐 ≠ 0 multipliziert.
Beispiel:
3) Kürzen: Zähler und Nenner werden durch dieselbe Zahl 𝑐 ≠ 0 dividiert.
Beispiel:
𝑎
𝑏∗𝑏
𝑎= 1
𝑎
𝑏∗𝑎 ∗ 𝑐
𝑏 ∗ 𝑐
2
3=2 ∗ 4
3 ∗ 4=
8
12
𝑎 ∗ 𝑐
𝑏 ∗ 𝑐=𝑎
𝑏
8
12=2 ∗ 4
3 ∗ 4=2
3
Zähler
Nenner
Bruchrechnung
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4) Strichrechnung:
• Brüche mit gleichem Nenner
Beispiel:
• Brüche mit unterschiedlichen Nennern
• Multiplikation: „Nenner mal Nenner, Zähler mal Zähler“
• Division: Mit dem Kehrbruch multiplizieren.
𝑎
𝑐±𝑏
𝑐=𝑎 ± 𝑏
𝑐
3
5+1
5=4
5
𝑎
𝑏±𝑐
𝑑=𝑎 ∗ 𝑑
𝑏 ∗ 𝑑±𝑐 ∗ 𝑏
𝑑 ∗ 𝑏=𝑎 ∗ 𝑐 ± 𝑐 ∗ 𝑏
𝑏 ∗ 𝑑
5) Punktrechnung:
Beispiel:3
4+1
6=3 ∗ 3 + 1 ∗ 2
12=11
12
𝑎
𝑏∗𝑐
𝑑=𝑎 ∗ 𝑐
𝑏 ∗ 𝑑 𝑎 ∗𝑏
𝑐=𝑎 ∗ 𝑏
𝑐
𝑎
𝑏:𝑐
𝑑=𝑎
𝑏∗𝑑
𝑐=𝑎 ∗ 𝑑
𝑏 ∗ 𝑐
Bruchrechnung
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6) Doppelbrüche: Können mit einem Kehrbruch aufgelöst werden.
Beispiel:
8) Gemischte Brüche
7) Kein Kürzen in Differenzen und Summen
𝑎𝑏𝑐𝑑
=𝑎
𝑏:𝑐
𝑑=𝑎 ∗ 𝑑
𝑏 ∗ 𝑐
2943
=2
9:4
3=2 ∗ 3
9 ∗ 4=
6
36=1
6
4𝑥 − 2𝑥2
2𝑥2=2𝑥 ∗ (2 − 𝑥)
2𝑥 ∗ 𝑥=2 − 𝑥
𝑥
Schreibweise irreführend, daher umformen
in unechten Bruch!
Beispiel: 31
6=18
6+1
6=19
6
Gegeben: Grundwert = 1350,00 €
Prozentsatz = 3%
Gesucht: Prozentwert
Rechnung:
𝟏
𝟏𝟎𝟎= ein Hundertstel = eins „vom Hundert“ = Prozent = %
Grundwert: der Wert, der 100% entspricht
Prozentwert: der Wert, der x% entspricht
Prozentsatz: der Wert, der vor dem %-Zeichen steht
Bruchrechnung:
Sonderfall Hundertstel
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= 1350,00€ ∗ 3 ∗1
100
1350,00€ ∗ 3%
Beispiel:
Ein Auto kostet 1350,00 €. Wie hoch ist die
Ersparnis, wenn der Rabatt 3% beträgt?
= 1350,00€ ∗ 0,03
= 40,50€
Binomische Formeln
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(a + b)(a – b) = a² – b²
1. Binomische Formel:
2. Binomische Formel: (a – b)² = a² – 2ab + b²
(a + b)² = a² + 2ab + b²
3. Binomische Formel:
(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎 + 𝑏 ∗ 𝑎 + 𝑏= 𝑎 ∗ 𝑎 + 𝑎 ∗ 𝑏 + 𝑏 ∗ 𝑎 + 𝑏 ∗ 𝑏= 𝑎2 + 2 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏 + 𝑏2
(𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎 − 𝑏 ∗ 𝑎 − 𝑏= 𝑎 ∗ 𝑎 − 𝑎 ∗ 𝑏 − 𝑏 ∗ 𝑎 + 𝑏 ∗ 𝑏= 𝑎2 − 2 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏 + 𝑏2
𝑎 + 𝑏 ∗ 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 ∗ 𝑎 − 𝑎 ∗ 𝑏 + 𝑏 ∗ 𝑎 − 𝑏 ∗ 𝑏= 𝑎2 − 𝑏2
1) Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert bzw. dividiert, indem man die
Exponenten addiert bzw. subtrahiert und die Basis beibehält:
2) Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert bzw. dividiert, indem man das
Produkt bzw. den Quotient der Basen mit dem gemeinsamen Exponenten potenziert
Potenzgesetze
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𝑎𝑛 ∗ 𝑎𝑚 = 𝑎𝑛+𝑚𝑎𝑛
𝑎𝑚= 𝑎𝑛−𝑚
𝑎𝑛 ∗ 𝑏𝑛 = (𝑎 ∗ 𝑏)𝑛𝑎𝑛
𝑏𝑛=
𝑎
𝑏
𝑛
Potenzgesetze
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3) Eine Potenz wird potenziert, indem man die Exponenten multipliziert und die
Basis beibehält
4) Sinnvolle Festlegungen bei 𝑎 ≠ 0 :
5) Negative Exponenten
6) Die 𝑛 -te Potenz einer negativen Zahl ist bei geradem Exponenten 𝑛 positiv, bei
ungeradem Exponenten 𝑛 negativ:
(𝑎𝑛)𝑚= 𝑎𝑛∗𝑚
−1 𝑛 = 1, 𝑛 gerade
−1, 𝑛 ungerade
𝑎0 = 1
𝑎−𝑛 =1
𝑎𝑛𝑎−2 =
1
𝑎2Beispiel:
Zusammenfassung Potenzgesetze
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Gibt es bei einem Term keine Übereinstimmung von Basis oder Exponent, lässt sich der
Term nicht vereinfachen!
Potenzen können nur addiert werden, wenn Basis und Exponent übereinstimmen!
Wurzeln
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Suche nach der Basis einer Potenz:
Die Wurzel ist die nicht-negative Lösung der Gleichung 𝑥𝑛 = 𝑎.
Beispiel:
→ zweideutiger Rechenausdruck
𝑥𝑛 = 𝑎 𝑛 𝑎 = 𝑥
𝑥2 = 16 ±216 = ±4
Wurzeln
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Für das Rechnen mit Wurzeln gilt:
𝑛 𝑎 = 𝑎1𝑛
𝑎 = 2 𝑎 = 𝑎12𝑛 𝑎 𝑛 = 𝑎
1𝑛∗𝑛 = 𝑎
𝑛𝑥𝑚 = 𝑎
𝑚𝑛
𝑛𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑛 𝑎 ∗
𝑛𝑏
𝑛 𝑎
𝑏=
𝑛 𝑎𝑛𝑏
𝑎2𝑏 = 𝑎 𝑏
𝑎 ∗ 𝑎 = 𝑎 2 = 𝑎
𝑛 𝑚 𝑎 = 𝑛∗𝑚 𝑎
𝑛 𝑎 𝑚 =𝑛𝑎𝑚
Logarithmus
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Suche nach dem Exponenten einer Potenz:
Der Logarithmus einer Zahl 𝑛 zur Basis 𝑎 ist die Zahl 𝑥, mit der man a
potenzieren muss, um 𝑛 zu erhalten.
Dabei gilt: Das Argument des Logarithmus muss immer positiv sein!
Für jedes 𝑎 gilt log𝑎 1 = 0 ,da 𝑎0 = 1 .
𝑎𝑥 = 𝑛 log𝑎 𝑛 = 𝑥
log𝑎 𝑥𝑦 = log𝑎 𝑥 + log𝑎 𝑦
log𝑎𝑥
𝑦= log𝑎 𝑥 − log𝑎 𝑦
log𝑎 𝑥𝑘 = 𝑘 ∗ log𝑎 𝑥
𝑎log𝑎 𝑥 = 𝑥
log𝑎(𝑎𝑥) = 𝑥
Natürlicher Logarithmus und
Zehnerlogarithmus
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Die eulersche Zahl 𝑒 ≈ 2,718281828
Der Logarithmus zur Basis 𝑒 heißt natürlicher Logarithmus
𝒆𝒏 = 𝒙 𝐧 = 𝐥𝐨𝐠𝒆 𝒙 = 𝐥𝐧𝒙
Der Logarithmus zur Basis 10 heißt Zehnerlogarithmus
𝟏𝟎𝒏 = 𝒙 𝐧 = 𝐥𝐨𝐠𝟏𝟎 𝒙 = 𝐥𝐠 𝒙
log𝑏 𝑥 =log𝑎 𝑥
log𝑎 𝑏Wichtige Umformung:
Überblick:
Potenz, Wurzel, Logarithmus
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𝑎𝑥 = 𝑛 log𝑎 𝑛 = 𝑥
𝑥𝑛 = 𝑎 𝑛 𝑎 = 𝑥
𝑥𝑛 = 𝑎Potenzgleichung:
Basis gesucht:
Exponenten gesucht:
Summenzeichen
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„Summiere alle Ausdrücke qi auf, wobei der Parameter i alle natürlichen
Zahlen von 0 bis n durchläuft.“
Dabei gilt:
𝑖=0
𝑛
𝑞𝑖 = 𝑞0 + 𝑞1 + 𝑞2 + 𝑞3 +⋯+ 𝑞𝑛−1 + 𝑞𝑛
𝑖=0
𝑛
(𝑎𝑖 ± 𝑏𝑖) =
𝑖=0
𝑛
𝑎𝑖 ±
𝑖=0
𝑛
𝑏𝑖
𝑖=0
𝑛
𝑐 ∗ 𝑎𝑖 = 𝑐 ∗
𝑖=0
𝑛
𝑎𝑖
Produktzeichen
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Analog bietet das Produktzeichen die Möglichkeit, ein Produkt
vereinfacht darzustellen:
„Multipliziere alle Ausdrücke 𝑎𝑖 , wobei der Parameter 𝑖 alle natürlichen
Zahlen von 1 bis 𝑛 durchläuft.“
𝑖=1
𝑛
𝑎𝑖 = 𝑎1 ∗ 𝑎2 ∗ 𝑎3 ∗ ⋯∗ 𝑎𝑛
Folgen
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Eine Folge (genauer: Zahlenfolge) ist eine Auflistung von Zahlen, deren Reihenfolge
festgelegt ist. Die einzelnen Zahlen der Folge nennt man Glieder. Das erste Glied (d.h.
die erste Zahl) der Folge heißt 𝑎1 ,das zweite 𝑎2 ,... , das 𝑛-te Glied heißt 𝑎𝑛.
Beispiel:
(1, 7, 4, 21, 16, …), wobei 𝑎1 = 1; 𝑎2 = 7; 𝑎3 = 4; …
Für einige Folgen kann man die Vorschrift angeben, nach der die einzelnen
Glieder berechnet werden. Für andere Folgen ist das nur schwer möglich oder
unmöglich.
Beispiel: (1, 2, 4, 8, 16, …)
Das zugehörige Bildungsgesetz lautet: 𝑎𝑛 = 2𝑛−1 für 𝑛 ≥ 1
Folgen und Reihen
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Gegeben sei eine Zahlenfolge (𝑎𝑛)𝑛∈ℕ. Die Summe der ersten 𝑛 Folgenglieder
wird mit bezeichnet: 𝑠𝑛 = 𝑖=0𝑛 𝑎𝑖.
Die Zahlenfolge (𝑠𝑛)𝑛∈ℕheißt nun die (endliche) Reihe zu 𝑎𝑛. Die einzelnen
Folgenglieder der Zahlenfolge (𝑠𝑛)𝑛∈ℕbestehen also aus Summen über
Folgenglieder der Zahlenfolge (𝑎𝑛)𝑛∈ℕ.
n 0 1 2 3 4 5 6 …
an 1 2 4 8 16 32 64 …
sn 1 3 7 15 31 63 127 …
Beispiel:
Geometrische Folge / Reihe
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Eine geometrische Folge ist durch ein Bildungsgesetz der folgenden Form
charakterisiert:
Beispiel: Für 𝑎𝑜 = 2 und 𝑞 = 3 ergibt sich:
𝑎1 = 2 ∗ 31 = 2 ∗ 3 = 6 𝑎2 = 2 ∗ 32 = 2 ∗ 9 = 18 𝑎3 = 2 ∗ 33 = 2 ∗ 27 = 54
Für die Summe der ersten 𝑛 Folgenglieder einer geometrischen Folge ergibt sich:
Die Folge der sn nennt man geometrische Reihe.
Für 𝑎0 = 1 ergibt sich:
𝑎𝑛 = 𝑎𝑜 ∗ 𝑞𝑛
𝑠𝑛 = 𝑎0 ∗𝑞𝑛+1 − 1
𝑞 − 1
𝑖=0
𝑛
𝑞𝑖 =𝑞𝑛+1 − 1
𝑞 − 1
Geometrische Reihe
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Herleitung der Formel für 𝑛 = 3:
𝑆3 =
𝑖=0
3
𝑞𝑖
𝑆 = 1 + 𝑞1 + 𝑞2 + 𝑞3
𝑆 ∗ 𝑞 = 𝑞 + 𝑞2 + 𝑞3 + 𝑞4
∗ 𝑞
𝑆 ∗ 𝑞 − 𝑆 = 𝑞 + 𝑞2 + 𝑞3 + 𝑞4 − 𝑆 mit 𝑆 =1 + 𝑞1 + 𝑞2 + 𝑞3
𝑆 ∗ 𝑞 − 𝑆 = 𝑞 + 𝑞2 + 𝑞3 + 𝑞4 − (1 + 𝑞1 + 𝑞2 + 𝑞3) Auflösen der Klammer
𝑆 ∗ 𝑞 − 𝑆 = 𝑞 + 𝑞2 + 𝑞3 + 𝑞4 − 1 − 𝑞1 − 𝑞2 − 𝑞3
𝑆 𝑞 − 1 = 𝑞4 − 1 : (𝑞 − 1)
𝑆3 =𝑞4 − 1
𝑞 − 1
𝑖=0
3
𝑞𝑖 =𝑞3+1 − 1
𝑞 − 1
−𝑆
Lineare Gleichungen
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1) Auf beiden Seiten Klammern & Brüche
auflösen
2) Gleichartige Glieder zusammenfassen
3) Addiere/Subtrahiere so, dass alle
Variablen auf der linken und alle
absoluten Werte auf der rechten Seite
stehen und weiter zusammengefasst
werden können
4) Multipliziere/Dividiere so, dass die
Variable isoliert wird
10𝑥 − 2 9𝑥 + 7 = −2 ∗ (2 − 𝑥)
10𝑥 − 18𝑥 − 14 = −4 + 2x
−8𝑥 − 14 = −4 + 2x
−8𝑥 − 14 = −4 + 2𝑥 +8𝑥
−10 = 10𝑥 : 10
+4−14 = −4 + 10𝑥
−1 = 𝑥
Beispiel:
Lineare Gleichungen
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3 mögliche Fälle:
1. Unendlich viele Lösungen, falls eine „Nullzeile“ 0 = 0 das Ergebnis ist
(d.h. Gleichung gilt für alle 𝑥 ∈ ℝ)
2. Nicht lösbar bei Widerspruch, z.B. 1 = 2
3. Eindeutige Lösung mit 𝑥 = 𝑎.
Jede auf eine Gleichung angewendete Operation muss auf beide Seiten
der Gleichung angewendet werden.
Überblick:
Lineare Gleichungen lösen
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Schritte zur Lösung einer linearen Gleichung:
1) Auf beiden Seiten Klammern und Brüche auflösen.
2) Gleichartige Glieder zusammenfassen.
3) Addiere/Subtrahiere so, dass alle Variablen auf der linken und alle
absoluten Werte auf der rechten Seite stehen und weiter zusammenge-
fasst werden können.
4) Multipliziere/Dividiere so, dass die Variable isoliert wird.
Funktionsbegriff
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Eine Funktion 𝑓 𝑥 ist eine eindeutige Zuordnung der Elemente zweier Mengen.
Dabei wird jedem Element 𝑥 aus einer Definitionsmenge 𝔻 genau ein Element 𝑦
aus der Wertemenge 𝕎 zugeordnet.
Mögliche Darstellungen von Funktionen:
1) Funktionsgleichung 𝑓 𝑥
2) Graph im Koordinatensystem
3) Wertetabelle
4) Pfeildiagramm
Darstellung von Funktionen
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Weitere Darstellungen für endliche Definitionsbereiche:
Besitzt der Definitionsbereich einer Funktion nur endlich viele Elemente,
kann die Funktion durch eine Wertetabelle festgelegt werden.
Beispiel: 𝔻 = {1,2,3,4}
Definitions- und Wertebereich
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Die Definitionsmenge 𝔻 enthält alle Zahlen, die für 𝑥 eingesetzt werden
dürfen.
Die Wertemenge 𝕎 beinhaltet alle Zahlen, die 𝑦 annehmen kann.
Überlegungen zur Definitionsmenge:
1) Nenner ≠ 02) Argument der Wurzel ≥ 03) Argument des Logarithmus > 0
Lineare Funktionen
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Dies ist eine Zuordnung, bei der jedem 𝒙 das dazugehörige 𝒚zugeordnet wird.
Das heißt: Zu jedem beliebigen 𝑥 -Wert lässt sich der 𝑦 -Wert ermitteln und man
bekommt einen Punkt 𝑃(𝑥 𝑦) des Graphen der Funktion.
Lineare Funktionen
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Lineare Funktionen sind eindeutig festgelegt durch:
1)
2)
3) Steigung 𝒂 und einen Punkt 𝑷 𝒙𝟏 𝒚𝟏 :
𝑎𝑥1 + 𝑏 = 𝑦1 Gleichung nach b auflösen
Gleichung:
2 Punkte:
2 Gleichungen mit 2 Unbekannten legen 𝑎 und 𝑏 eindeutig fest
Schnittpunkte mit den Achsen:• Schnittpunkte mit der 𝑦 -Achse: 𝒙 = 𝟎• Schnittpunkte mit der 𝑥-Achse: 𝒚 = 𝟎• Schnittpunkte zweier Geraden: Geraden gleichsetzen und nach 𝑥 auflösen. Für
Schnittpunkt: 𝑥-Wert in eine Geradengleichung einsetzen und 𝑦 -Wert berechnen
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏
𝑃1 𝑥1 𝑦1 und 𝑃2(𝑥2 𝑦2)
𝑎𝑥1 + 𝑏 = 𝑦1𝑎𝑥2 + 𝑏 = 𝑦2
Quadratische Gleichungen können unterschiedliche Formen
annehmen:
Quadratische Gleichungen
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𝒂𝒙𝟐 = 𝟎
𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝟎
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎
Reinquadratische Gleichungen
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Die reinquadratische Gleichung geht durch äquivalente Umformungen über in:
Beispiel: 𝑥2 − 81 = 0
𝑥2 = −𝑐
𝑎
𝑐
𝑎> 0
𝑐
𝑎= 0
𝑐
𝑎< 0
keine Lösung, da 𝑥2 nicht negativ werden kann
genau eine Lösung 𝑥 = 0
zwei Lösungen 𝑥 = ± −𝑐
𝑎
𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎
𝑥2 = 81
𝑥1 = 9 𝑥2 = −9
Die Lösungsmenge ist also 𝕃= −9; 9
Spezielle quadratische
Gleichungen
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Die spezielle quadratische Gleichung geht durch Ausklammern von x über in:
Beispiel:
Ein Produkt ist null, wenn mindestens ein Faktor null ist!
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝟎
𝑥 ∗ (𝑎𝑥 + 𝑏) = 0
𝑥1 = 0 ; 𝑥2 = −𝑏
𝑎
𝑥 ∗ (5𝑥 + 3) = 0
𝑥1 = 0 𝑥2 = −3
5
5𝑥2 + 3𝑥 = 0
Allgemeine quadratische
Gleichungen
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𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎
Die allgemeine quadratische Gleichung wird durch quadratische Ergänzung gelöst:
Binomische Formel
𝑥1/2 = ± −𝑐
𝑎+
𝑏
2𝑎
2
−𝑏
2𝑎
𝑥2 +𝑏
𝑎𝑥 +
𝑐
𝑎= 0
𝑥2 +𝑏
𝑎𝑥 = −
𝑐
𝑎
Quadratische
Ergänzung𝑥2 +
𝑏
𝑎𝑥 +
𝑏
2𝑎
2
= −𝑐
𝑎+
𝑏
2𝑎
2
𝑥 +𝑏
2𝑎
2
= −𝑐
𝑎+
𝑏
2𝑎
2
Mitternachtsformel
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Hieraus ergibt sich die Mitternachtsformel/ abc-Formel,
mit der allgemeine quadratische Gleichungen gelöst werden können:
𝑥1/2 = ± −𝑐
𝑎+
𝑏
2𝑎
2
−𝑏
2𝑎
𝑥1/2 = −𝑏
2𝑎± −
𝑐
𝑎+
𝑏2
4𝑎2
𝑥1/2 = −𝑏
2𝑎±
−𝑐 ∗ 4𝑎 + 𝑏2
4𝑎2
𝑥1/2 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
Übersicht:
Quadratische Gleichungen lösen
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𝑥1/2 =−𝑏 ± 𝑏2 − 4𝑎𝑐
2𝑎
𝑎𝑥2 + 𝑐 = 0
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 0
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
𝑥1 = 0 𝑥2 = −𝑏
𝑎
𝑥1/2 = ± −𝑐
𝑎Wurzel ziehen
Faktorisieren
Mitternachtsformel
𝑏 = 0 :Für
𝑐 = 0 :Für
Allgemein :
pq-Formel
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Zur Lösung von
kann, falls 𝑎 = 1 ist oder durch die Umformung
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎
alternativ zur abc-Formel die pq-Formel angewendet werden:
𝑥1/2 = −𝑝
2±
𝑝
2
2
− 𝑞
Quadratische Funktionen
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𝑎 < 1 𝑎 > 1
nach oben geöffnet nach unten geöffnet
„breiter“ (gestaucht) „schmaler“ (gestreckt)
Scheitelpunktsform
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𝑦 = 𝑎 ∗ 𝑥2 +𝑏
𝑎𝑥 +
𝑐
𝑎
𝑦 = 𝑎 ∗ 𝑥 +𝑏
2𝑎
2
−𝑏2
4𝑎+ 𝑐
𝑦 = 𝑎 ∗ 𝑥2 +𝑏
𝑎𝑥 +
𝑏
2𝑎
2
−𝑏
2𝑎
2
+𝑐
𝑎
𝑦 = 𝑎 ∗ 𝑥 +𝑏
2𝑎
2
−𝑏2
4𝑎2+𝑐
𝑎
𝑥𝑠 = −𝑏
2𝑎𝑦𝑠 = −
𝑏2
4𝑎+ 𝑐
Scheitelpunktsform mithilfe der quadratischen Ergänzung:
𝑓 𝑥 = (𝑥 + 𝑥𝑠)2+𝑦𝑠
Scheitelpunkt 𝑆 (−𝑥𝑠 𝑦𝑠)
Quadratische Funktionen
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Umkehrfunktion
11.09.2017 Mathematikvorkurs - Elizaveta Buch
Eine Funktion ist umkehrbar, wenn jedem 𝑦 -Wert genau ein 𝑥 -Wert
zugeordnet ist.
Die Umkehrfunktion wird mit 𝑓−1 𝑥 bezeichnet.
Die Gleichung der Umkehrfunktion von 𝑓 gewinnt man, indem man die
Gleichung 𝑦 = 𝑓 𝑥 nach 𝑥 auflöst und die Bezeichnungen 𝑦 und 𝑥 vertauscht.
Die Graphen der Funktion 𝑦 = 𝑓 𝑥 und ihrer Umkehrfunktion
𝑦 = 𝑓−1 𝑥 liegen spiegelbildlich zur Geraden 𝑦 = 𝑥.
Abschnittsweise definierte
Funktionen
11.09.2017 Mathematikvorkurs - Elizaveta Buch
Bisher waren die behandelten Funktionen (abgesehen von Definitionslücken) in ganz ℝ
definiert.
Funktionen können auch nur für ein bestimmtes Intervall definiert sein oder stück- bzw.
abschnittsweise aus verschiedenen Teilfunktionen zusammengesetzt sein:
𝑓 𝑥 = 𝑥 + 2, 𝑥 < −12, −1 ≤ 𝑥 < 33𝑥 − 7, 𝑥 ≥ 3
Grenzwert
11.09.2017 Mathematikvorkurs - Elizaveta Buch
Der Grenzwert einer Funktion an einer bestimmten Stelle bezeichnet denjenigen Wert,
dem sich die Funktion in der Umgebung der betrachteten Stelle annähert.
Interessante Stellen sind:
Verhalten Richtung ∞
Verhalten Richtung –∞
Verhalten an Definitionslücken
Wertetabelle spiegelt Kurvenverlauf wider.
Betrachtung durch Einsetzen naheliegender Werte für 𝑥.
Betrag und
Betragsfunktion
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Der absolute Betrag einer reellen Zahl x ist definiert durch:
Den absoluten Betrag einer reellen Zahl erhält man vereinfacht durch Weglassen des
Vorzeichens. Auf der Zahlengerade bedeutet der Betrag den Abstand der gegebenen
Zahl von Null.
𝑓 𝑥 = 𝑥, 𝑥 ≥ 0
−𝑥, 𝑥 < 0
Verlauf der Betragsfunktion y = 𝑥 in ℝ:
Fragen
11.09.2017 Mathematikvorkurs - Elizaveta Buch