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Geschichte der Mathematik

Zahlen und Rechentechnik der Ägypter

Christiane Beller

Agenda

Ägyptische Zahlzeichen Rechentechnik

Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung

Hieroglyphen und hieratische Schrift

Ägyptische Zahlzeichen Ägyptische

Zahlzeichen Rechentechnik



1 1 Merkstrich oder Zählfinger

10 2 Henkel, Bügel

100 3 Spirale

1000 4 „Lotosblume“

10 000 5 großer Finger, eine „große Eins“

100 000 6 „Kaulquappe“

1000 000 7 Genius

Ägyptische Zahlzeichen

Ziffernsystem beruht auf additivem Prinzip: Zur Darstellung einer bestimmten Zahl

mussten Ziffern wiederholt werden Identische Zeichen werden gruppiert


Rechentechnik Addition Subtraktion Multiplikation Division Bruchrechnung


Rechentechnik

Additiver Charakter der ägyptischen Mathematik an verwendeten Fachwörtern und Methoden zu sehen

Bei Notation wird mit größten Zehnerpotenz begonnen




Rechentechnik – Addition

Fachwort für addieren: „vereinigen“ oder „hinzulegen“

Erhält Ergebnis durch Hinschreiben der zu addierenden Zahlen und anschließendem Anpassen der Symbole für Zehnerpotenzen




Rechentechnik – Addition

„Berechnung“

Anpassung der Zehnerpotenzen

Beispiel: 1 202 416 + 352 745 Ägyptische

Zahlzeichen Rechentechnik



111111

23333

44

66

7111111

23333

44

66

7 +44

11111

22 22

3333 333

55555

666

44

11111

22 22

3333 333

55555

666

4444

11111111111

22222

3333333333

3

55555

66666

74444

11111111111

22222

3333333333

3

55555

66666

7=

=

1 555 161

55555

1222222

344444

66666

7

1 555 161

55555

1222222

344444

66666

7

Rechentechnik – Subtraktion

Fachwort für subtrahieren: „abbrechen“ oder „ergänzen“ (als Addition umschrieben)

Erhält Ergebnis durch Wegstreichen




Rechentechnik – Subtraktion

Entbündelung von 1 202 416:

Beispiel: 1 202 416 - 352 745

Ausrechnen der Differenz durch Wegstreichen:




111111

23333

44

66

7111111

23333

44

66

744

11111

22 22

3333 333

55555

666

44

11111

22 22

3333 333

55555

666

-

555555555

111111

2222222222

2

3333333333333

44444444444

6666666666

6

555555555

111111

2222222222

2

3333333333333

44444444444

6666666666

6

849 671

5555

12222222

333333

444444444

66666666

849 671

5555

12222222

333333

444444444

66666666

Rechentechnik – Multiplikation

Entstehung aus Addition deutlich Fachwort für multiplizieren: „Hinzulegen“

Ist das gleiche wie bei Addition





Multiplikation mit 10 im Kopf Bedeutet Veränderung des

Individualzeichens

Einmaleins fehlt ihnen Verdopplung ist als eigene

Rechenoperation bekannt Berechnung einer schwierigeren

Aufgabe mittels Additionsschemas





Beispiel: 15 · 13 Anlegen einer „Tabelle“ mit 2 Spalten

In rechte Spalte Multiplikator 15 eintragen In linken Spalte Multiplikand 1 eintragen

1 15





1 15

2 30

4 60

8 120

In nachfolgenden Zeilen jeweils das doppelte der vorhergehenden eintragen, bis der errechnete Multiplikand nicht größer ist als 13





Markieren der Zeilen, die bei Addition der linken Spalte 13 ergeben

1 + 4 + 8 = 13




1208/

604/

302

151/

1208/

604/

302

151/

1208

604

302

151

1208

604

302

151


Durch Addition der rechten Spalte der markierten Zeilen erhält man das gesuchte Ergebnis

/ 1 15

2 30

/ 4 60

/ 8 120




Also erhält man 15 · 13 durch: 15 + 60 + 120 = 195

Rechentechnik – Division

Ist umgekehrte Multiplikation und sieht gleich aus

Wird mit zwei „Fragen“ formuliert: „Rechne mit x bis (zum) Finden (von) y“

oder „Rufe y hervor aus x“





Beispiel: „Rechne mit 15 bis (zum) Finden (von) 195“ [195 : 15]

Anlegen einer „Tabelle“ mit 2 Spalten In rechte Spalte Divisor 15 eintragen In linken Spalte 1 eintragen In nachfolgenden Zeilen jeweils das

doppelte der vorhergehenden eintragen, bis der errechnete Divisor nicht größer ist als 195





Markieren der Zeilen, die bei Addition der rechten Spalte 195 ergeben

/ 1 15

2 30

/ 4 60

/ 8 120

15 + 60 + 120 = 195




1 15

2 30

4 60

8 120


Durch Addition der linken Spalte der markierten Zeilen erhält man das gesuchte Ergebnis




/ 1 15

2 30

/ 4 60

/ 8 120

Also erhält man 195 : 15 durch: 1 + 4 + 8 = 13


Wenn Dividend kleiner als Divisor, muss mit Halbieren gerechnet werden Hierzu sind Brüche erforderlich

Beispiel: 2 : 8




1 8

½ 4

/ ¼ 2

Also erhält man für 2 : 8 = ¼

Rechentechnik – Bruchrechnung

Brüche werden wie ganze Zahlen geschrieben, aber mit Hieroglyphe „Mund“ darüber

Rechneten fast nur mit Stammbrüchen Für ½, ⅔ und ¾ eigene Zeichen:




½ ⅔ ¾


Darstellung von Brüchen durch Summe von Teilbrüchen

Keine Wiederholung des selben Bruchs erlaubt 3/5 = 1/5 + 1/5 + 1/5 keine zulässige

Aufteilung des Bruches





Bei der Übertragung schreibt man für 1/n

Z.B. wird ⅔ in dieser Schreibweise notiert




n

3


Addition von Stammbrüchen: Aufgabe aus Papyrus Rhind 37

Unter letzten 5 Stammbrüchen sind rote Hilfszahlen notiert Hilfszahlen geben den Faktor an, mit dem

die Brüche erweitert werden müssen

usw.




2 4 8 16 32 64 72 5

36 18

76

9 8 1

1 36=

16 576


Durch Addition der Hilfszahlen erhält man 72

Somit hat man errechnet, was sich

zu kürzen lässt

Zusammen mit den ersten drei Brüchen kann man leicht das Gesamtergebnis 1 berechnen

2 4 8 16 32 64 72 5

36 18

76

9 8 1



Hieroglyphen und hieratische Schrift 72

5761

8


Subtraktion von Stammbrüchen Aufgabe aus Papyrus Rhind 21

Man errechnet das Ergebnis leicht, indem man 15 - 11 = 4 bestimmt

Somit ergibt

Dies können die Ägypter jedoch erst nach der Division von 4 : 15 notieren




1- 3 15

10 1

1- 3 154

15


„Rechne mit 15 bis du 4 findest“

Zuerst wird 1 ½ als von 15 bestimmt




1 15

1 ½ 10

1

10


Anschließend ist dann 3 von 15

Nun fehlt noch 1 bis zum gewünschten

Ergebnis, also

1

5

1

15

1 15

1 ½

3

1

10

5

15




1 15

1 ½

3

10

5


Somit muss die dritte und die vierte Zeile ergänzt werden, denn 3 + 1 = 4

Die gesuchte Notation von ist also:

1 15

1 ½

/ 3

/ 1

10

5

15




4

151 1

+5 15


Hieratische Schrift ist Vereinfachung der Hieroglyphen Durch Schematisierung und

Reduzierung auf das Wesentliche entstanden

Charakteristische Merkmale hinzugefügt, um Verwechselungen zu vermeiden












Fragen

…???

Christiane Beller

Quellen

Vogel, Kurt: Vorgriechische Mathematik, Teil 1. Hannover: Hermann Schoedel Verlag, Paderborn: Verlag Ferdinand Schöningh, 1958

Ifrah, Georges: Universalgeschichte der Zahlen. Frankfurt/Main, New York: Campus Verlag, 2. Auflage der Sonderausgabe 1991

Gericke, Helmut: Mathematik im Orient. Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo: Springer Verlag, 1984

http://www.meritneith.de/mathematik.htm http://home.fonline.de/fo0126//geschichte

/ges1.htm

Ende

Vielen Dank für eure Aufmerksamkeit

Christiane Beller