R. Brinkmann Seite 1 28.11.2013
Erstellt von R. Brinkmann sg14_24d_05_06_ka_03_e 26.03.2006 18:50 1 von 14
Klassenarbeit Mathematik Bearbeitungszeit 90 min. Di 28.03.06 SG14/24D Gruppe A NAME: Hilfsmittel: Taschenrechner und Formelsammlung
( ) ( ) 4 x1. Gegeben ist die Funktion f x x 1 e −= − ⋅ a) Übertragen Sie die Wertetabelle in Ihr Heft, berechnen Sie die fehlenden Werte
und zeichnen Sie den Graphen in ein geeignetes Koordinatensystem.
( )
( )
x 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,5 3f x 6,45 6,09 7,12
x 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7f x 3 1,47 0,68
−
b) Beschreiben Sie den Verlauf des Graphen und bestimmen Sie die Nullstelle. c) Berechnen Sie den Hochpunkt.
( )EVereinfachung : Die Bedingung f'' x < 0 ist aus Zeitgründen nicht zu überprüfen. Zu 1a)
( )
( )
x 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,5 3f x 6,45 0 3,91 6,09 7,12 7,39 6,72 5,44
x 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7f x 4,12 3 2,12 1,47 1,00 0,68 0,45 0,3
−
Zu 1b)
2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
321
123456788
3−
f x( )
92− x
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Erstellt von R. Brinkmann sg14_24d_05_06_ka_03_e 26.03.2006 18:50 2 von 14
Verlauf des Graphen: Monoton wachsend bis zum Hochpunkt, dann monoton fallend. Der Funktionsgraph strebt für große x – Werte gegen Null.
( ) ( ) 4 xNNullstelle: f x 0 x 1 e 0 x 1
Folgt auch aus der Wertetabelle.
−= ⇔ − = ⇔ =
Zu 1c)
( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
4 x
4 x 4 x
4 x 4 x 4 x
4 xE
2E
Hochpunkt von: f x x 1 e
f ' x u ' v uv ' mit u x 1 u' 1
und mit v e v ' e
f ' x 1 e x 1 e 2 x e
f ' x 0 2 x e 0 x 2 (Extremstelle)
f x f 2 e 7,39 (Extre
−
− −
− − −
−
= −
= + = − ⇒ =
= ⇒ = −
= ⋅ + − ⋅ − = − ⋅
= ⇔ − ⋅ = ⇒ =
= = ≈
( ) ( )2max max
mwert)
Hochpunkt: P 2 | e bzw. als Näherung: P 2 | 7,39
( ) x 22. Gegeben ist die Funktion f x 2e 2e− −= −
a) Berechnen Sie die Nullstelle von f(x)
b) Bestimmen Sie die gekennzeichnete Fläche
Zu 2a) ( )
( )
x 2
x 2 x 2
x 2
x 2
f x 2e 2e
Nullstelle: f x 0 2e 2e 0| 2e
2e 2e |: 2
e e |ln() 1 x 2 x 3
− −
− − − −
− −
− −
= −
= ⇔ − = +
⇔ =
⇔ =⇔ = − − ⇔ = −
Zu 2b)
f x( )
x
R. Brinkmann Seite 3 28.11.2013
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( )
( )
[ ] ( )
( )
( ) ( ) ( )
x 2
0 0 0x 2
3 3 3I II
00
330
x 2
3
2 1u u u
1 2
f x 2e 2e
Fläche f x dx 2e dx 2 e dx 2e I 2 II
I dx x 0 3 3
duII e dx Substitution: u x x 2 1 dx dudx
ug: u 3 3 2 1 og: u 0 0 2 2
II e du e du e
− −
− −
− − −
−−
− −
−
−
−
= −
= = − = ⋅ − ⋅
= = = − − =
= = − − ⇒ = − ⇒ = −
− = − − − = = − − = −
⎡ ⎤= − = = ⎣
∫ ∫ ∫
∫
∫
∫ ∫
( )
1 1 22
1 2 2 2
e e
Fläche 2e I 2 II 2e 3 2 e e 6e 2e 2e 4e 2e 11,14
Der Inhalt der gekennzeichneten Fläche beträgt 11,14 Flächeneinheiten
−
−
− − −
= −⎦
= ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ − = − + = + ≈
3. Die Medikamentenkonzentration im Blut (in mg/Liter) nimmt nach der Einnahme einer bestimmten Menge zu, erreicht ein Maximum und nimmt danach exponentiell ab. Dieser Prozess wird mit der Funkt ( ) a x b xion f x e e modelliert. Dabei ist x die Zeit nach der Einnahme in Stunden.
Einem Patienten werden nacheinander (im Abstand von mehreren Tagen) zwei ähnlich wirkende Medeikamente verabr
− ⋅ − ⋅= −
( )( )
0,45x 0,75x
0,35x 0,55x
eicht.
Medikament I: f x e e Medikament II: g x e e
− −
− −
= −= −
Die folgende Grafik beschreibt den Verlauf der Medikamentenkonzentration im Blut beider Medikamente in Abhängigkeit von der Zeit.
a) Nach welcher Zeit ist die Blutkonzentration von Medikament I
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0.05
0.1
0.15
0.2
f x( )
g x( )
x
g(x)
f(x)
R. Brinkmann Seite 4 28.11.2013
Erstellt von R. Brinkmann sg14_24d_05_06_ka_03_e 26.03.2006 18:50 4 von 14
beschrieben durch f(x) am höchsten? Welchen Wert nimmt sie an? ( )EVereinfachung : Die Bedingung f'' x < 0 ist aus Zeitgründen nicht zu überprüfen.
b) Nach welcher Zeit nimmt die Blutkonzentration von Medikament II beschrieben durch g(x) am stärksten ab?
( ) ≠WVereinfachung : Die Bedingung f''' x 0 ist aus Zeitgründen nicht zu überprüfen. c) Die Wirkung W des Medikamentes wird beschrieben durch die Fläche zwischen
dem Graphen und der x – Achse. Berechnen Sie die Wirkung beider Medikamente im Zeitraum von 12 Stunden.
d) Vergleichen Sie die Wirkungen miteinander und kommentieren Sie das Ergebnis Anhand des Kurvenverlaufs.
Zu 3a) ( )
( )( )
( )
0,45x 0,75x
0,45x 0,75x
0,45x 0,75x 0,45x
0,75x 0,45x
0,75x 0,45x
f x e eDen Hochpunkt suchen:
f ' x 0,45e 0,75e
f ' x 0 0,45e 0,75e 0| 0,45e
0,75e 0,45e |: 0,75
e 0,6e |ln
− −
− −
− − −
− −
− −
= −
= − +
= ⇔ − + = +
⇔ =
⇔ =
( )( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( )
E E
E
3 5ln 0,6 ln 0,60,45x 0,75x 1,5 2,52 2E
0,75x ln 0,6 0,45x| 0,45x
0,3x ln 0,6 |: 0,3
ln 0,6 10 x ln 0,6 1,7 ist Extremstelle0,3 3
f x e e e e 0,6 0,6 0,186
Die Blutkonzentration von M
⋅ ⋅− −
⇔ − = − +
⇔ − = −
⇔ = = − ≈−
= − = − = − ≈
edikament I ist nach ca. 1,7 Stunden am höchsten,sie beträgt dann 0,186 mg/Liter. Zu 3b)
R. Brinkmann Seite 5 28.11.2013
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( )
( )( )( )
0,35x 0,55x
0,35x 0,55x
2 0,35x 2 0,55x
2 0,35x 2 0,55x 2 0,55x
2 0,35x 2 0,55x 2
0,
g x e eWendestelle :
g' x 0,35e 0,55e
g'' x 0,35 e 0,55 e
g'' x 0 0,35 e 0,55 e 0| 0,55 e
0,35 e 0,55 e |: 0,35
e
− −
− −
− −
− − −
− −
−
= −
= − +
= −
= ⇔ − = +
⇔ =
⇔ ( )2
35x 0,55x
2
2
2
W
0,55 e |ln0,35
0,55 0,35x ln 0,55x| 0,55x0,35
0,55 0,2x ln | :0,20,35
0,55ln0,35 0,55 x 5 ln0,2 0,35
−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
⎡ ⎤⎛ ⎞⇔ − = − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞⇔ = ⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎛ ⎞⎣ ⎦⇔ = = ⋅ ⎜
⎝ ⎠
2
W
0,5510 ln 4,520,35
x ist Wendestelle.Nach ca. 4,52 Stunden nimmt die Blutkonzentration von Medikament II am stärksten ab.
⎡ ⎤ ⎛ ⎞= ⋅ ≈⎢ ⎥⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
Zu 3c)
R. Brinkmann Seite 6 28.11.2013
Erstellt von R. Brinkmann sg14_24d_05_06_ka_03_e 26.03.2006 18:50 6 von 14
( )
( )
( )
12 12 120,45x 0,75x
I0 0 0
I II12 12 12
0,35x 0,55xII
0 0 0
III IV12
0,45x
0
Medikament I: W f x dx e dx e dx I II
Medikament II: W g x dx e dx e dx III IV
duI e dx Substitution: u x 0,45x 0,4dx
− −
− −
−
= = − = −
= = − = −
= = − ⇒ = −
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫( ) ( )
( )
( )
5,4 0 0u u u 5,45,4
0 5,4
120,75x
0
9 205 dx du20 9
untere Grenze: u 0 0 obere Grenze: u 12 0,45 12 5,4
20 20 20 20I e du e du e 1 e9 9 9 9
du 3 4II e dx Substitution: u x 0,75x 0,75 dx dudx 4 3
untere Gren
−−
−−
−
= − ⇒ = −
= = − ⋅ = −
⎡ ⎤= − = = = −⎣ ⎦
= = − ⇒ = − = − ⇒ = −
∫ ∫
∫( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
9 0 0u u u 99
0 9
5,4 9 9 5,4I
120,35x
0
ze: u 0 0 obere Grenze: u 12 0,75 12 9
4 4 4 4II e du e du e 1 e3 3 3 3
20 4 4W I II 1 e 1 e 2 3e 5e 0,8799 3 9
du 7 20III e dx Substitution: u x 0,35x 0,35 dx dudx 20 7
−−
−−
− − − −
−
= = − ⋅ = −
⎡ ⎤= − = = = −⎣ ⎦
= − = − − − = + − ≈
= = − ⇒ = − = − ⇒ = −
∫ ∫
∫( ) ( )
( )
( )
( )
4,2 0 0u u u 4,24,2
0 4,2
120,55x
0
untere Grenze: u 0 0 obere Grenze: u 12 0,35 12 4,2
20 20 20 20III e du e du e 1 e7 7 7 7
du 11 20IV e dx Substitution: u x 0,55x 0,55 dx dudx 20 11
untere Grenze: u 0 0
−−
−−
−
= = − ⋅ = −
⎡ ⎤= − = = = −⎣ ⎦
= = − ⇒ = − = − ⇒ = −
=
∫ ∫
∫( )
( )
( ) ( ) ( )
6,6 0 0u u u 6,66,6
0 6,6
4,2 6,6 6,6 4,2II
obere Grenze: u 12 0,55 12 6,6
20 20 20 20IV e du e du e 1 e11 11 11 11
20 20 20W III IV 1 e 1 e 4 7e 11e 0,9997 11 77
−−
−−
− − − −
= − ⋅ = −
⎡ ⎤= − = = = −⎣ ⎦
= − = − − − = + − ≈
∫ ∫
Zu 3d)
R. Brinkmann Seite 7 28.11.2013
Erstellt von R. Brinkmann sg14_24d_05_06_ka_03_e 26.03.2006 18:50 7 von 14
Die Wirkung von Medikament II ist geringfügig höher als die von Medikament I. Medikament I: Die Konzentration steigt schneller an, erreicht einen höheren Wert, klingt aber schneller wieder ab. Medikament II: Die Konzentration steigt langsamer an, erreicht einen etwas geringeren Wert, klingt aber langsam ab, hält also länger an. Viel Erfolg! Klassenarbeit Mathematik Bearbeitungszeit 90 min. Di 28.03.06
R. Brinkmann Seite 8 28.11.2013
Erstellt von R. Brinkmann sg14_24d_05_06_ka_03_e 26.03.2006 18:50 8 von 14
SG14/24D Gruppe B NAME: Hilfsmittel: Taschenrechner und Formelsammlung
( ) ( ) x 11. Gegeben ist die Funktion f x 4 x e −= − ⋅ a) Übertragen Sie die Wertetabelle in Ihr Heft, berechnen Sie die fehlenden Werte
und zeichnen Sie den Graphen in ein geeignetes Koordinatensystem.
( )
( )
x 2 1,5 1 0,5 0 0,5 1 1,5f x 0,45 1 2,12
x 2 2,5 3 3,25 3,5 3,75 4 4,25f x 5,44 7,39 3,91
− − − −
b) Beschreiben Sie den Verlauf des Graphen und bestimmen Sie die Nullstelle. c) Berechnen Sie den Hochpunkt.
( )EVereinfachung : Die Bedingung f'' x < 0 ist aus Zeitgründen nicht zu überprüfen. Zu 1a)
( )
( )
x 2 1,5 1 0,5 0 0,5 1 1,5f x 0,3 0,45 0,68 1 1,47 2,12 3 4,12
x 2 2,5 3 3,25 3,5 3,75 4 4,25f x 5,44 6,72 7,39 7,12 6,09 3,91 0 6,45
− − − −
−
Zu 1b)
3 2 1 0 1 2 3 4 5
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
88
3−
f x( )
53− x
R. Brinkmann Seite 9 28.11.2013
Erstellt von R. Brinkmann sg14_24d_05_06_ka_03_e 26.03.2006 18:50 9 von 14
Verlauf des Graphen: Monoton wachsend bis zum Hochpunkt, dann monoton fallend. Der Funktionsgraph strebt für große x – Werte gegen Null.
( ) ( ) x 1NNullstelle: f x 0 4 x e 0 x 4
Folgt auch aus der Wertetabelle.
−= ⇔ − = ⇔ =
Zu 1c)
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
x 1
x 1 x 1
x 1 x 1 x 1
x 1E
2E
Hochpunkt von: f x 4 x e
f ' x u ' v uv ' mit u 4 x u' 1
und mit v e v ' e
f ' x 1 e 4 x e 3 x e
f ' x 0 3 x e 0 x 3 (Extremstelle)
f x f 3 e 7,39 (Extrem
−
− −
− − −
−
= −
= + = − ⇒ = −
= ⇒ =
= − ⋅ + − ⋅ = − ⋅
= ⇔ − ⋅ = ⇒ =
= = ≈
( ) ( )2max max
wert)
Hochpunkt: P 3 | e bzw. als Näherung: P 3 | 7,39
( ) x 32. Gegeben ist die Funktion f x 2e 2e− −= −
a) Berechnen Sie die Nullstelle von f(x)
b) Bestimmen Sie die gekennzeichnete Fläche
Zu 2a) ( )
( )
x 3
x 3
x 3
x 3
f x 2e 2e
Nullstelle: f x 0 2e 2e 0| 2e
2e 2e|: 2
e e|ln() x 3 1 x 4
− −
− −
− −
− −
= −
= ⇔ − = +
⇔ =
⇔ =⇔ − − = ⇔ = −
Zu 2b)
f x( )
x
R. Brinkmann Seite 10 28.11.2013
Erstellt von R. Brinkmann sg14_24d_05_06_ka_03_e 26.03.2006 18:50 10 von 14
( )
( )
[ ] ( )
( )
( ) ( )
x 3
0 0 0x 3
4 4 4III
00
44
0x 3
4
3 1 1u u u 13
1 3
f x 2e 2e
Fläche f x dx 2 e dx 2e dx 2 I 2e II
II dx x 0 4 4
duI e dx Substitution: u x x 3 1 dx dudx
ug: u 4 4 3 1 og: u 0 3
I e du e du e e
− −
− −
− − −
−−
− −
−
−
−−
= −
= = − = ⋅ − ⋅
= = = − − =
= = − − ⇒ = − ⇒ = −
− = − = = −
⎡ ⎤= − = = =⎣ ⎦
∫ ∫ ∫
∫
∫
∫ ∫
( )
3
1 3 3 3
e
Fläche 2 I 2e II 2 e e 2e 4 2e 2e 8e 6e 2e 16,41
Der Inhalt der gekennzeichneten Fläche beträgt 16,41 Flächeneinheiten.
−
− − −
−
= ⋅ − ⋅ = ⋅ − − ⋅ = − − = − − ≈ −
3. Die Medikamentenkonzentration im Blut (in mg/Liter) nimmt nach der Einnahme einer bestimmten Menge zu, erreicht ein Maximum und nimmt danach exponentiell ab. Dieser Prozess wird mit der Funkt ( ) a x b xion f x e e modelliert. Dabei ist x die Zeit nach der Einnahme in Stunden.
Einem Patienten werden nacheinander (im Abstand von mehreren Tagen) zwei ähnlich wirkende Medeikamente verabr
− ⋅ − ⋅= −
( )( )
0,45x 0,75x
0,35x 0,55x
eicht.
Medikament I: f x e e Medikament II: g x e e
− −
− −
= −= −
Die folgende Grafik beschreibt den Verlauf der Medikamentenkonzentration im Blut beider Medikamente in Abhängigkeit von der Zeit.
a) Nach welcher Zeit ist die Blutkonzentration von Medikament II
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
0.05
0.1
0.15
0.2
f x( )
g x( )
x
g(x)
f(x)
R. Brinkmann Seite 11 28.11.2013
Erstellt von R. Brinkmann sg14_24d_05_06_ka_03_e 26.03.2006 18:50 11 von 14
beschrieben durch g(x) am höchsten? Welchen Wert nimmt sie an? ( )EVereinfachung : Die Bedingung f'' x < 0 ist aus Zeitgründen nicht zu überprüfen.
b) Nach welcher Zeit nimmt die Blutkonzentration von Medikament I beschrieben durch f(x) am stärksten ab?
( ) ≠WVereinfachung : Die Bedingung f''' x 0 ist aus Zeitgründen nicht zu überprüfen. c) Die Wirkung W des Medikamentes wird beschrieben durch die Fläche zwischen
dem Graphen und der x – Achse. Berechnen Sie die Wirkung beider Medikamente im Zeitraum von 12 Stunden.
d) Vergleichen Sie die Wirkungen miteinander und kommentieren Sie das Ergebnis Anhand des Kurvenverlaufs.
Zu 3a) ( )
( )( )
( )
0,35x 0,55x
0,35x 0,55x
0,35x 0,55x 0,35x
0,55x 0,35x
0,55x 0,35x
g x e eDen Hochpunkt suchen:
g' x 0,35e 0,55e
g' x 0 0,35e 0,55e 0| 0,35e
0,55e 0,35e |: 0,557 e e |ln11
− −
− −
− − −
− −
− −
= −
= − +
= ⇔ − + = +
⇔ =
⇔ =
( )
( ) E E
E
7 71,75 ln 2,75 ln0,35x 0,55x 11 11
E
70,55x ln 0,35x| 0,35x11
7 0,2x ln |: 0,211
7ln711 x 5ln 2,26 ist Extremstelle
0,2 11
7f x e e e e11
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞⇔ − = − +⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞⇔ − = −⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠⇔ = = − ≈⎜ ⎟− ⎝ ⎠
⎛ ⎞= − = − = ⎜⎝
1,75 2,757 0,16511
Die Blutkonzentration von Medikament I ist nach ca. 2,26 Stunden am höchsten,sie beträgt dann 0,165 mg/Liter.
⎛ ⎞− ≈⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎝ ⎠
Zu 3b)
R. Brinkmann Seite 12 28.11.2013
Erstellt von R. Brinkmann sg14_24d_05_06_ka_03_e 26.03.2006 18:50 12 von 14
( )
( )( )( )
0,45x 0,75x
0,45x 0,75x
2 0,45x 2 0,75x
2 0,45x 2 0,75x 2 0,75x
2 0,45x 2 0,75x 2
0,
f x e eWendestelle :
f ' x 0,45e 0,75e
f '' x 0,45 e 0,75 e
f '' x 0 0,45 e 0,75 e 0| 0,75 e
0,45 e 0,75 e |: 0,45
e
− −
− −
− −
− − −
− −
−
= −
= − +
= −
= ⇔ − = +
⇔ =
⇔ ( )2
45x 0,75x
2
2
2
W
0,75 e |ln0,45
0,75 0,45x ln 0,75x| 0,75x0,45
0,75 0,3x ln | :0,30,45
0,75ln0,45 10 0,75 x ln0,3 3 0,45
−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
⎡ ⎤⎛ ⎞⇔ − = − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞⇔ = ⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎛⎣ ⎦⇔ = = ⋅ ⎜
⎝
2
W
20 0,75ln 3,413 0,45
x ist Wendestelle.Nach ca. 3,41 Stunden nimmt die Blutkonzentration von Medikament I am stärksten ab.
⎡ ⎤⎞ ⎛ ⎞= ⋅ ≈⎢ ⎥⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
Zu 3c)
R. Brinkmann Seite 13 28.11.2013
Erstellt von R. Brinkmann sg14_24d_05_06_ka_03_e 26.03.2006 18:50 13 von 14
( )
( )
( )
12 12 120,45x 0,75x
I0 0 0
I II12 12 12
0,35x 0,55xII
0 0 0
III IV12
0,45x
0
Medikament I: W f x dx e dx e dx I II
Medikament II: W g x dx e dx e dx III IV
duI e dx Substitution: u x 0,45x 0,4dx
− −
− −
−
= = − = −
= = − = −
= = − ⇒ = −
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫( ) ( )
( )
( )
5,4 0 0u u u 5,45,4
0 5,4
120,75x
0
9 205 dx du20 9
untere Grenze: u 0 0 obere Grenze: u 12 0,45 12 5,4
20 20 20 20I e du e du e 1 e9 9 9 9
du 3 4II e dx Substitution: u x 0,75x 0,75 dx dudx 4 3
untere Gren
−−
−−
−
= − ⇒ = −
= = − ⋅ = −
⎡ ⎤= − = = = −⎣ ⎦
= = − ⇒ = − = − ⇒ = −
∫ ∫
∫( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
9 0 0u u u 99
0 9
5,4 9 9 5,4I
120,35x
0
ze: u 0 0 obere Grenze: u 12 0,75 12 9
4 4 4 4II e du e du e 1 e3 3 3 3
20 4 4W I II 1 e 1 e 2 3e 5e 0,8799 3 9
du 7 20III e dx Substitution: u x 0,35x 0,35 dx dudx 20 7
−−
−−
− − − −
−
= = − ⋅ = −
⎡ ⎤= − = = = −⎣ ⎦
= − = − − − = + − ≈
= = − ⇒ = − = − ⇒ = −
∫ ∫
∫( ) ( )
( )
( )
( )
4,2 0 0u u u 4,24,2
0 4,2
120,55x
0
untere Grenze: u 0 0 obere Grenze: u 12 0,35 12 4,2
20 20 20 20III e du e du e 1 e7 7 7 7
du 11 20IV e dx Substitution: u x 0,55x 0,55 dx dudx 20 11
untere Grenze: u 0 0
−−
−−
−
= = − ⋅ = −
⎡ ⎤= − = = = −⎣ ⎦
= = − ⇒ = − = − ⇒ = −
=
∫ ∫
∫( )
( )
( ) ( ) ( )
6,6 0 0u u u 6,66,6
0 6,6
4,2 6,6 6,6 4,2II
obere Grenze: u 12 0,55 12 6,6
20 20 20 20IV e du e du e 1 e11 11 11 11
20 20 20W III IV 1 e 1 e 4 7e 11e 0,9997 11 77
−−
−−
− − − −
= − ⋅ = −
⎡ ⎤= − = = = −⎣ ⎦
= − = − − − = + − ≈
∫ ∫
Zu 3d)
R. Brinkmann Seite 14 28.11.2013
Erstellt von R. Brinkmann sg14_24d_05_06_ka_03_e 26.03.2006 18:50 14 von 14
Die Wirkung von Medikament II ist geringfügig höher als die von Medikament I. Medikament I: Die Konzentration steigt schneller an, erreicht einen höheren Wert, klingt aber schneller wieder ab. Medikament II: Die Konzentration steigt langsamer an, erreicht einen etwas geringeren Wert, klingt aber langsam ab, hält also länger an. Viel Erfolg!