Hilfsmittel: Taschenrechner und Formelsammlung€¦ · R. Brinkmann Seite 1 28.11.2013 Erstellt von R. Brinkmann sg14_24d_05_06_ka_03_e 26.03.2006 18:50 1 von 14 Klassenarbeit Mathematik

R. Brinkmann Seite 1 28.11.2013

Erstellt von R. Brinkmann sg14_24d_05_06_ka_03_e 26.03.2006 18:50 1 von 14

Klassenarbeit Mathematik Bearbeitungszeit 90 min. Di 28.03.06 SG14/24D Gruppe A NAME: Hilfsmittel: Taschenrechner und Formelsammlung

( ) ( ) 4 x1. Gegeben ist die Funktion f x x 1 e −= − ⋅ a) Übertragen Sie die Wertetabelle in Ihr Heft, berechnen Sie die fehlenden Werte

und zeichnen Sie den Graphen in ein geeignetes Koordinatensystem.

( )

( )

x 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,5 3f x 6,45 6,09 7,12

x 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7f x 3 1,47 0,68

−

b) Beschreiben Sie den Verlauf des Graphen und bestimmen Sie die Nullstelle. c) Berechnen Sie den Hochpunkt.

( )EVereinfachung : Die Bedingung f'' x < 0 ist aus Zeitgründen nicht zu überprüfen. Zu 1a)

( )

( )

x 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2 2,5 3f x 6,45 0 3,91 6,09 7,12 7,39 6,72 5,44

x 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7f x 4,12 3 2,12 1,47 1,00 0,68 0,45 0,3

−

Zu 1b)

2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

321

123456788

3−

f x( )

92− x



Verlauf des Graphen: Monoton wachsend bis zum Hochpunkt, dann monoton fallend. Der Funktionsgraph strebt für große x – Werte gegen Null.

( ) ( ) 4 xNNullstelle: f x 0 x 1 e 0 x 1

Folgt auch aus der Wertetabelle.

−= ⇔ − = ⇔ =

Zu 1c)

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

4 x

4 x 4 x

4 x 4 x 4 x

4 xE

2E

Hochpunkt von: f x x 1 e

f ' x u ' v uv ' mit u x 1 u' 1

und mit v e v ' e

f ' x 1 e x 1 e 2 x e

f ' x 0 2 x e 0 x 2 (Extremstelle)

f x f 2 e 7,39 (Extre

−

− −

− − −

−

= −

= + = − ⇒ =

= ⇒ = −

= ⋅ + − ⋅ − = − ⋅

= ⇔ − ⋅ = ⇒ =

= = ≈

( ) ( )2max max

mwert)

Hochpunkt: P 2 | e bzw. als Näherung: P 2 | 7,39

( ) x 22. Gegeben ist die Funktion f x 2e 2e− −= −

a) Berechnen Sie die Nullstelle von f(x)

b) Bestimmen Sie die gekennzeichnete Fläche

Zu 2a) ( )

( )

x 2

x 2 x 2

x 2

x 2

f x 2e 2e

Nullstelle: f x 0 2e 2e 0| 2e

2e 2e |: 2

e e |ln() 1 x 2 x 3

− −

− − − −

− −

− −

= −

= ⇔ − = +

⇔ =

⇔ =⇔ = − − ⇔ = −

Zu 2b)

f x( )

x



( )

( )

[ ] ( )

( )

( ) ( ) ( )

x 2

0 0 0x 2

3 3 3I II

00

330

x 2

3

2 1u u u

1 2

f x 2e 2e

Fläche f x dx 2e dx 2 e dx 2e I 2 II

I dx x 0 3 3

duII e dx Substitution: u x x 2 1 dx dudx

ug: u 3 3 2 1 og: u 0 0 2 2

II e du e du e

− −

− −

− − −

−−

− −

−

−

−

= −

= = − = ⋅ − ⋅

= = = − − =

= = − − ⇒ = − ⇒ = −

− = − − − = = − − = −

⎡ ⎤= − = = ⎣

∫ ∫ ∫

∫

∫

∫ ∫

( )

1 1 22

1 2 2 2

e e

Fläche 2e I 2 II 2e 3 2 e e 6e 2e 2e 4e 2e 11,14

Der Inhalt der gekennzeichneten Fläche beträgt 11,14 Flächeneinheiten

−

−

− − −

= −⎦

= ⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ − = − + = + ≈

3. Die Medikamentenkonzentration im Blut (in mg/Liter) nimmt nach der Einnahme einer bestimmten Menge zu, erreicht ein Maximum und nimmt danach exponentiell ab. Dieser Prozess wird mit der Funkt ( ) a x b xion f x e e modelliert. Dabei ist x die Zeit nach der Einnahme in Stunden.

Einem Patienten werden nacheinander (im Abstand von mehreren Tagen) zwei ähnlich wirkende Medeikamente verabr

− ⋅ − ⋅= −

( )( )

0,45x 0,75x

0,35x 0,55x

eicht.

Medikament I: f x e e Medikament II: g x e e

− −

− −

= −= −

Die folgende Grafik beschreibt den Verlauf der Medikamentenkonzentration im Blut beider Medikamente in Abhängigkeit von der Zeit.

a) Nach welcher Zeit ist die Blutkonzentration von Medikament I

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0.05

0.1

0.15

0.2

f x( )

g x( )

x

g(x)

f(x)



beschrieben durch f(x) am höchsten? Welchen Wert nimmt sie an? ( )EVereinfachung : Die Bedingung f'' x < 0 ist aus Zeitgründen nicht zu überprüfen.

b) Nach welcher Zeit nimmt die Blutkonzentration von Medikament II beschrieben durch g(x) am stärksten ab?

( ) ≠WVereinfachung : Die Bedingung f''' x 0 ist aus Zeitgründen nicht zu überprüfen. c) Die Wirkung W des Medikamentes wird beschrieben durch die Fläche zwischen

dem Graphen und der x – Achse. Berechnen Sie die Wirkung beider Medikamente im Zeitraum von 12 Stunden.

d) Vergleichen Sie die Wirkungen miteinander und kommentieren Sie das Ergebnis Anhand des Kurvenverlaufs.

Zu 3a) ( )

( )( )

( )

0,45x 0,75x

0,45x 0,75x

0,45x 0,75x 0,45x

0,75x 0,45x

0,75x 0,45x

f x e eDen Hochpunkt suchen:

f ' x 0,45e 0,75e

f ' x 0 0,45e 0,75e 0| 0,45e

0,75e 0,45e |: 0,75

e 0,6e |ln

− −

− −

− − −

− −

− −

= −

= − +

= ⇔ − + = +

⇔ =

⇔ =

( )( ) ( )

( ) ( )

( )( ) ( )

E E

E

3 5ln 0,6 ln 0,60,45x 0,75x 1,5 2,52 2E

0,75x ln 0,6 0,45x| 0,45x

0,3x ln 0,6 |: 0,3

ln 0,6 10 x ln 0,6 1,7 ist Extremstelle0,3 3

f x e e e e 0,6 0,6 0,186

Die Blutkonzentration von M

⋅ ⋅− −

⇔ − = − +

⇔ − = −

⇔ = = − ≈−

= − = − = − ≈

edikament I ist nach ca. 1,7 Stunden am höchsten,sie beträgt dann 0,186 mg/Liter. Zu 3b)



( )

( )( )( )

0,35x 0,55x

0,35x 0,55x

2 0,35x 2 0,55x

2 0,35x 2 0,55x 2 0,55x

2 0,35x 2 0,55x 2

0,

g x e eWendestelle :

g' x 0,35e 0,55e

g'' x 0,35 e 0,55 e

g'' x 0 0,35 e 0,55 e 0| 0,55 e

0,35 e 0,55 e |: 0,35

e

− −

− −

− −

− − −

− −

−

= −

= − +

= −

= ⇔ − = +

⇔ =

⇔ ( )2

35x 0,55x

2

2

2

W

0,55 e |ln0,35

0,55 0,35x ln 0,55x| 0,55x0,35

0,55 0,2x ln | :0,20,35

0,55ln0,35 0,55 x 5 ln0,2 0,35

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤⎛ ⎞⇔ − = − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞⇔ = ⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎛ ⎞⎣ ⎦⇔ = = ⋅ ⎜

⎝ ⎠

2

W

0,5510 ln 4,520,35

x ist Wendestelle.Nach ca. 4,52 Stunden nimmt die Blutkonzentration von Medikament II am stärksten ab.

⎡ ⎤ ⎛ ⎞= ⋅ ≈⎢ ⎥⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

Zu 3c)



( )

( )

( )

12 12 120,45x 0,75x

I0 0 0

I II12 12 12

0,35x 0,55xII

0 0 0

III IV12

0,45x

0

Medikament I: W f x dx e dx e dx I II

Medikament II: W g x dx e dx e dx III IV

duI e dx Substitution: u x 0,45x 0,4dx

− −

− −

−

= = − = −

= = − = −

= = − ⇒ = −

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫( ) ( )

( )

( )

5,4 0 0u u u 5,45,4

0 5,4

120,75x

0

9 205 dx du20 9

untere Grenze: u 0 0 obere Grenze: u 12 0,45 12 5,4

20 20 20 20I e du e du e 1 e9 9 9 9

du 3 4II e dx Substitution: u x 0,75x 0,75 dx dudx 4 3

untere Gren

−−

−−

−

= − ⇒ = −

= = − ⋅ = −

⎡ ⎤= − = = = −⎣ ⎦

= = − ⇒ = − = − ⇒ = −

∫ ∫

∫( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

9 0 0u u u 99

0 9

5,4 9 9 5,4I

120,35x

0

ze: u 0 0 obere Grenze: u 12 0,75 12 9

4 4 4 4II e du e du e 1 e3 3 3 3

20 4 4W I II 1 e 1 e 2 3e 5e 0,8799 3 9

du 7 20III e dx Substitution: u x 0,35x 0,35 dx dudx 20 7

−−

−−

− − − −

−

= = − ⋅ = −

⎡ ⎤= − = = = −⎣ ⎦

= − = − − − = + − ≈

= = − ⇒ = − = − ⇒ = −

∫ ∫

∫( ) ( )

( )

( )

( )

4,2 0 0u u u 4,24,2

0 4,2

120,55x

0


20 20 20 20III e du e du e 1 e7 7 7 7

du 11 20IV e dx Substitution: u x 0,55x 0,55 dx dudx 20 11

untere Grenze: u 0 0

−−

−−

−

= = − ⋅ = −

⎡ ⎤= − = = = −⎣ ⎦

= = − ⇒ = − = − ⇒ = −

=

∫ ∫

∫( )

( )

( ) ( ) ( )

6,6 0 0u u u 6,66,6

0 6,6

4,2 6,6 6,6 4,2II

obere Grenze: u 12 0,55 12 6,6

20 20 20 20IV e du e du e 1 e11 11 11 11

20 20 20W III IV 1 e 1 e 4 7e 11e 0,9997 11 77

−−

−−

− − − −

= − ⋅ = −

⎡ ⎤= − = = = −⎣ ⎦

= − = − − − = + − ≈

∫ ∫

Zu 3d)



Die Wirkung von Medikament II ist geringfügig höher als die von Medikament I. Medikament I: Die Konzentration steigt schneller an, erreicht einen höheren Wert, klingt aber schneller wieder ab. Medikament II: Die Konzentration steigt langsamer an, erreicht einen etwas geringeren Wert, klingt aber langsam ab, hält also länger an. Viel Erfolg! Klassenarbeit Mathematik Bearbeitungszeit 90 min. Di 28.03.06



SG14/24D Gruppe B NAME: Hilfsmittel: Taschenrechner und Formelsammlung

( ) ( ) x 11. Gegeben ist die Funktion f x 4 x e −= − ⋅ a) Übertragen Sie die Wertetabelle in Ihr Heft, berechnen Sie die fehlenden Werte

und zeichnen Sie den Graphen in ein geeignetes Koordinatensystem.

( )

( )

x 2 1,5 1 0,5 0 0,5 1 1,5f x 0,45 1 2,12

x 2 2,5 3 3,25 3,5 3,75 4 4,25f x 5,44 7,39 3,91

− − − −

b) Beschreiben Sie den Verlauf des Graphen und bestimmen Sie die Nullstelle. c) Berechnen Sie den Hochpunkt.

( )EVereinfachung : Die Bedingung f'' x < 0 ist aus Zeitgründen nicht zu überprüfen. Zu 1a)

( )

( )

x 2 1,5 1 0,5 0 0,5 1 1,5f x 0,3 0,45 0,68 1 1,47 2,12 3 4,12

x 2 2,5 3 3,25 3,5 3,75 4 4,25f x 5,44 6,72 7,39 7,12 6,09 3,91 0 6,45

− − − −

−

Zu 1b)

3 2 1 0 1 2 3 4 5

3

2

1

1

2

3

4

5

6

7

88

3−

f x( )

53− x



Verlauf des Graphen: Monoton wachsend bis zum Hochpunkt, dann monoton fallend. Der Funktionsgraph strebt für große x – Werte gegen Null.

( ) ( ) x 1NNullstelle: f x 0 4 x e 0 x 4

Folgt auch aus der Wertetabelle.

−= ⇔ − = ⇔ =

Zu 1c)

( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

x 1

x 1 x 1

x 1 x 1 x 1

x 1E

2E

Hochpunkt von: f x 4 x e

f ' x u ' v uv ' mit u 4 x u' 1

und mit v e v ' e

f ' x 1 e 4 x e 3 x e

f ' x 0 3 x e 0 x 3 (Extremstelle)

f x f 3 e 7,39 (Extrem

−

− −

− − −

−

= −

= + = − ⇒ = −

= ⇒ =

= − ⋅ + − ⋅ = − ⋅

= ⇔ − ⋅ = ⇒ =

= = ≈

( ) ( )2max max

wert)

Hochpunkt: P 3 | e bzw. als Näherung: P 3 | 7,39

( ) x 32. Gegeben ist die Funktion f x 2e 2e− −= −

a) Berechnen Sie die Nullstelle von f(x)

b) Bestimmen Sie die gekennzeichnete Fläche

Zu 2a) ( )

( )

x 3

x 3

x 3

x 3

f x 2e 2e

Nullstelle: f x 0 2e 2e 0| 2e

2e 2e|: 2

e e|ln() x 3 1 x 4

− −

− −

− −

− −

= −

= ⇔ − = +

⇔ =

⇔ =⇔ − − = ⇔ = −

Zu 2b)

f x( )

x



( )

( )

[ ] ( )

( )

( ) ( )

x 3

0 0 0x 3

4 4 4III

00

44

0x 3

4

3 1 1u u u 13

1 3

f x 2e 2e

Fläche f x dx 2 e dx 2e dx 2 I 2e II

II dx x 0 4 4

duI e dx Substitution: u x x 3 1 dx dudx

ug: u 4 4 3 1 og: u 0 3

I e du e du e e

− −

− −

− − −

−−

− −

−

−

−−

= −

= = − = ⋅ − ⋅

= = = − − =

= = − − ⇒ = − ⇒ = −

− = − = = −

⎡ ⎤= − = = =⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

∫

∫

∫ ∫

( )

3

1 3 3 3

e

Fläche 2 I 2e II 2 e e 2e 4 2e 2e 8e 6e 2e 16,41

Der Inhalt der gekennzeichneten Fläche beträgt 16,41 Flächeneinheiten.

−

− − −

−

= ⋅ − ⋅ = ⋅ − − ⋅ = − − = − − ≈ −

3. Die Medikamentenkonzentration im Blut (in mg/Liter) nimmt nach der Einnahme einer bestimmten Menge zu, erreicht ein Maximum und nimmt danach exponentiell ab. Dieser Prozess wird mit der Funkt ( ) a x b xion f x e e modelliert. Dabei ist x die Zeit nach der Einnahme in Stunden.

Einem Patienten werden nacheinander (im Abstand von mehreren Tagen) zwei ähnlich wirkende Medeikamente verabr

− ⋅ − ⋅= −

( )( )

0,45x 0,75x

0,35x 0,55x

eicht.

Medikament I: f x e e Medikament II: g x e e

− −

− −

= −= −

Die folgende Grafik beschreibt den Verlauf der Medikamentenkonzentration im Blut beider Medikamente in Abhängigkeit von der Zeit.

a) Nach welcher Zeit ist die Blutkonzentration von Medikament II

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0.05

0.1

0.15

0.2

f x( )

g x( )

x

g(x)

f(x)



beschrieben durch g(x) am höchsten? Welchen Wert nimmt sie an? ( )EVereinfachung : Die Bedingung f'' x < 0 ist aus Zeitgründen nicht zu überprüfen.

b) Nach welcher Zeit nimmt die Blutkonzentration von Medikament I beschrieben durch f(x) am stärksten ab?

( ) ≠WVereinfachung : Die Bedingung f''' x 0 ist aus Zeitgründen nicht zu überprüfen. c) Die Wirkung W des Medikamentes wird beschrieben durch die Fläche zwischen

dem Graphen und der x – Achse. Berechnen Sie die Wirkung beider Medikamente im Zeitraum von 12 Stunden.

d) Vergleichen Sie die Wirkungen miteinander und kommentieren Sie das Ergebnis Anhand des Kurvenverlaufs.

Zu 3a) ( )

( )( )

( )

0,35x 0,55x

0,35x 0,55x

0,35x 0,55x 0,35x

0,55x 0,35x

0,55x 0,35x

g x e eDen Hochpunkt suchen:

g' x 0,35e 0,55e

g' x 0 0,35e 0,55e 0| 0,35e

0,55e 0,35e |: 0,557 e e |ln11

− −

− −

− − −

− −

− −

= −

= − +

= ⇔ − + = +

⇔ =

⇔ =

( )

( ) E E

E

7 71,75 ln 2,75 ln0,35x 0,55x 11 11

E

70,55x ln 0,35x| 0,35x11

7 0,2x ln |: 0,211

7ln711 x 5ln 2,26 ist Extremstelle

0,2 11

7f x e e e e11

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⇔ − = − +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⇔ − = −⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠⇔ = = − ≈⎜ ⎟− ⎝ ⎠

⎛ ⎞= − = − = ⎜⎝

1,75 2,757 0,16511

Die Blutkonzentration von Medikament I ist nach ca. 2,26 Stunden am höchsten,sie beträgt dann 0,165 mg/Liter.

⎛ ⎞− ≈⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎝ ⎠

Zu 3b)



( )

( )( )( )

0,45x 0,75x

0,45x 0,75x

2 0,45x 2 0,75x

2 0,45x 2 0,75x 2 0,75x

2 0,45x 2 0,75x 2

0,

f x e eWendestelle :

f ' x 0,45e 0,75e

f '' x 0,45 e 0,75 e

f '' x 0 0,45 e 0,75 e 0| 0,75 e

0,45 e 0,75 e |: 0,45

e

− −

− −

− −

− − −

− −

−

= −

= − +

= −

= ⇔ − = +

⇔ =

⇔ ( )2

45x 0,75x

2

2

2

W

0,75 e |ln0,45

0,75 0,45x ln 0,75x| 0,75x0,45

0,75 0,3x ln | :0,30,45

0,75ln0,45 10 0,75 x ln0,3 3 0,45

−⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

⎡ ⎤⎛ ⎞⇔ − = − +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞⇔ = ⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎛⎣ ⎦⇔ = = ⋅ ⎜

⎝

2

W

20 0,75ln 3,413 0,45

x ist Wendestelle.Nach ca. 3,41 Stunden nimmt die Blutkonzentration von Medikament I am stärksten ab.

⎡ ⎤⎞ ⎛ ⎞= ⋅ ≈⎢ ⎥⎟ ⎜ ⎟⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

Zu 3c)



( )

( )

( )

12 12 120,45x 0,75x

I0 0 0

I II12 12 12

0,35x 0,55xII

0 0 0

III IV12

0,45x

0

Medikament I: W f x dx e dx e dx I II

Medikament II: W g x dx e dx e dx III IV

duI e dx Substitution: u x 0,45x 0,4dx

− −

− −

−

= = − = −

= = − = −

= = − ⇒ = −

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫( ) ( )

( )

( )

5,4 0 0u u u 5,45,4

0 5,4

120,75x

0

9 205 dx du20 9


20 20 20 20I e du e du e 1 e9 9 9 9

du 3 4II e dx Substitution: u x 0,75x 0,75 dx dudx 4 3

untere Gren

−−

−−

−

= − ⇒ = −

= = − ⋅ = −

⎡ ⎤= − = = = −⎣ ⎦

= = − ⇒ = − = − ⇒ = −

∫ ∫

∫( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

9 0 0u u u 99

0 9

5,4 9 9 5,4I

120,35x

0

ze: u 0 0 obere Grenze: u 12 0,75 12 9

4 4 4 4II e du e du e 1 e3 3 3 3

20 4 4W I II 1 e 1 e 2 3e 5e 0,8799 3 9

du 7 20III e dx Substitution: u x 0,35x 0,35 dx dudx 20 7

−−

−−

− − − −

−

= = − ⋅ = −

⎡ ⎤= − = = = −⎣ ⎦

= − = − − − = + − ≈

= = − ⇒ = − = − ⇒ = −

∫ ∫

∫( ) ( )

( )

( )

( )

4,2 0 0u u u 4,24,2

0 4,2

120,55x

0


20 20 20 20III e du e du e 1 e7 7 7 7

du 11 20IV e dx Substitution: u x 0,55x 0,55 dx dudx 20 11

untere Grenze: u 0 0

−−

−−

−

= = − ⋅ = −

⎡ ⎤= − = = = −⎣ ⎦

= = − ⇒ = − = − ⇒ = −

=

∫ ∫

∫( )

( )

( ) ( ) ( )

6,6 0 0u u u 6,66,6

0 6,6

4,2 6,6 6,6 4,2II

obere Grenze: u 12 0,55 12 6,6

20 20 20 20IV e du e du e 1 e11 11 11 11

20 20 20W III IV 1 e 1 e 4 7e 11e 0,9997 11 77

−−

−−

− − − −

= − ⋅ = −

⎡ ⎤= − = = = −⎣ ⎦

= − = − − − = + − ≈

∫ ∫

Zu 3d)



Die Wirkung von Medikament II ist geringfügig höher als die von Medikament I. Medikament I: Die Konzentration steigt schneller an, erreicht einen höheren Wert, klingt aber schneller wieder ab. Medikament II: Die Konzentration steigt langsamer an, erreicht einen etwas geringeren Wert, klingt aber langsam ab, hält also länger an. Viel Erfolg!

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Hilfsmittel: Taschenrechner und Formelsammlung€¦ · R. Brinkmann Seite 1 28.11.2013 Erstellt von R. Brinkmann sg14_24d_05_06_ka_03_e 26.03.2006 18:50 1 von 14 Klassenarbeit Mathematik