โรงเรยนสตรนนทบร
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291)
ชนมธยมศกษาปท 6
ภาคเรยนท 1 ปการศกษา ………………
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต
(Infinite Sequence & Infinite Series)
ชอ ............................................... ชน .............. เลขท ..........
ครผสอน นายพบลย ชมสมบต
www.satrinon.ac.th/piboon
โรงเรยนสตรนนทบร 120 ถนนพบลสงคราม ต าบลสวนใหญ อ าเภอเมอง จงหวดนนทบร
ส านกงานเขตพนทการศกษามธยมศกษา เขต 3
สารบญ
หนา
ล าดบอนนต 1
แบบฝกหด 1 3
ลมตของล าดบ 7
แบบฝกหด 2 19
แบบฝกหดเสรม 20
อนกรมอนนต 24
สญลกษณแทนการบวก 25
แบบฝกหด 3 29
ล าดบผลบวกยอยของอนกรมอนนต 35
แบบฝกหด 4 40
ผลบวกของอนกรมอนนตทเปนอนกรมเลขคณตและเรขาคณต 41
แบบฝกหด 5 45
อนกรมผสม (Arithmetic – Geometric Series : A.G.S) 47
แบบฝกหด 6 49
อนกรมเทเลสโคป (telescoping series) 50
การหาผลบวกของอนกรมทไมใชอนกรมเลขคณตและเรขาคณต 53
การเขยนทศนยมซ าใหอยในรปของเศษสวน 55
แบบฝกหด 7 58
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 1
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
1. ล าดบอนนต (Infinite sequence) 1.1.1 ความหมายของล าดบ ล าดบคอ สมาชกของเรนจของฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจ านวนเตมบวก ซงเขยนเรยงตามล าดบ ถาโดเมนเปนเซตจ ากดเรยกวาล าดบจ ากด (finite sequence) ถาโดเมนเปนเซตอนนตเรยกวา ล าดบอนนต (infinite sequence) เชน จากตวอยางตอไปนก าหนดรปทวไปของล าดบจงเขยนล าดบโดยแจกแจงสมาชก 1.1.2 รปแบบการก าหนดล าดบ สามารถเขยนแสดงล าดบไดหลายรปแบบ ดงตอไปน ก าหนดล าดบโดยเขยนแจงพจนทงหมดของล าดบ ถาล าดบทพจารณาไมมากนก ตวอยางเชน
1) 0, 5, 10, 15, 20, 25 2) 1, 3, 9, 27
ก าหนดล าดบโดยเขยนพจนเรมตนจ านวนหนงพรอมกบพจนทวไปของล าดบ วธนใชกบล าดบจ ากดทมพจนจ านวนมาก และล าดบอนนต ตวอยางเชน
1) -4, -1, 2, …, 3n – 7, … 2) 1, 3, 9, …, 3n-1, …
ก าหนดพจนเรมตนจ านวนหนงพรอมกบสตรการหาพจนถดไปจากพจนกอนหนา เรยกอกอยางหนงวาความสมพนธเวยนเกด (recurrence relation)
1) ก าหนดล าดบ an ซง a1 = 2 และ an = an-1 + 3 เมอ n ≥ 2 จงหาหาพจนแรกของล าดบน จาก an = an-1 + 3 และ a1 = 2
จะได a2 = a1 + 3 = 2 + 3 = 5 a3 = a2 + 3 = 5 + 3 = 8 a4 = a3 + 3 = 8 + 3 = 11 2) ก าหนดล าดบ bn ซง b1 = 1 และ bn = nbn-1 เมอ n ≥ 2 จงหาหกพจนแรกของล าดบน
b1 = 1 b2 = 2b1 = 2(1) = 2
b3 = 3b2 = 3(2) = 6 b4 ………………………..……………………………
b5 …………………………..………………………… ก าหนดล าดบโดยการบอกเงอนไขหรอสมบตของพจนของล าดบ ถาไมทราบสตรพจนทวไปของล าดบ และไมทราบความสมพนธเวยนเกดของล าดบ การก าหนดล าดบจ าเปนตองใชวธการบอกเงอนไขหรอสมบตของพจนของล าดบ ตวอยางเชน
1) 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, … คอล าดบ an เมอ an เปนจ านวนเฉพาะตวท n 2) 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5, … คอล าดบ bk เมอ bk เปนทศนยมต าแหนงท k ของ ซง
เทากบ 3.1415926535
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 2
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
1.1.3 ล าดบเลขคณต บทนยาม ล าดบเลขคณต (arithmetic sequence) คอ ล าดบซงมผลตางทไดจากการน าพจนท n + 1 ลบดวยพจนท n เปนคาคงตวทเทากน ส าหรบทกจ านวนเตมบวก n และเรยกคาคงตวทเปนผลตางนวา ผลตางรวม (common difference) ตวอยางท 1 ก าหนดล าดบเลขคณต 9, 13, 17, 21, … จงหาพจนท n และพจนท 20 ของล าดบ 1.1.4 ล าดบเรขาคณต บทนยาม ล าดบเรขาคณต (geometric sequence) คอ ล าดบซงมอตราสวนของพจนท n + 1 ตอพจนท n เปนคาคงตวทเทากน ส าหรบทกจ านวนเตมบวก n และเรยกคาคงตวทเปนอตราสวนนวา อตราสวนรวม (common ratio)
ตวอยางท 2 ก าหนดล าดบเรขาคณต ...,9
4,
3
2,1 จงหาพจนท n และ พจนท 6 ของล าดบ
สตร an =
สตร an =
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 3
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
แบบฝกหดท 1 1. จงหาหาพจนแรกของล าดบ an ทก าหนดใหโดยใชความสมพนธเวยนเกดตอไปน (1) a1 = 0 และ an = an–1 + n – 1 เมอ n 2 (2) a1 = 2, a2 = 0 และ an = an–1 + an–2 เมอ n 3 2. จงบอกวาล าดบทก าหนดใหตอไปน ล าดบใดเปนล าดบเลขคณต ล าดบใดเปนล าดบเรขาคณต พรอมทงบอกผลตางรวม หรออตราสวนรวมของล าดบนน ๆ ดวย (1) 7, 9, 11, 13, …, (2n + 5)
……………………………………………………………………………………….
(2) 6, –6, 6, –6, …, 6(–1)n–1 …………………………………………………………….………………………….
(3) 4, 2, 0, –2, …, (6 – 2n) ……………………………………….…………………….………………………….
(4) 3, 1, 31 ,
91 , …, n)
319(
………………………………………………………….………………………….
(5) 3n
n..., ,74,
21 ,
52,
41
……………………………………………………………………………….
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 4
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
3. จงหาพจนทวไปของล าดบเลขคณตตอไปน (1) –2, 4, 10, … (2) x, x + 2, x + 4 (3) 3a + 2b, 2a + 4b, a + 6b, … 4. ถา p, 5p, 6p + 9 เปนสามพจนเรยงกนในล าดบเลขคณต จงหาคาของ p และเขยนล าดบนตอไปอกสพจน 5. ถาผลบวกของสามพจนแรกของล าดบเลขคณตคอ 12 ผลบวกของก าลงสามของแตละพจนนนคอ 408 จงหาล าดบน
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 5
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
6. จงหาพจนท n ของล าดบเรขาคณตตอไปน
(1) –3, –6, –12, … (2) ... ,425 ,
45,
41
(3) ... ,321 ,
121,
92
(4) ab3, a2b2, a3b, …
7. ถาจ านวนสองจ านวนทก าหนดใหคอ -15 และ -1,215 เปนพจนสองพจนในล าดบเรขาคณต จงหาอกสามพจนซงเรยงอยระหวางพจนทงสองน 8. เมอน าจ านวนจ านวนหนงไปบวกกบ 3, 20 และ 105 ตามล าดบ ผลบวกทไดของแตละจ านวนจะเปนพจนสามพจนทเรยงกนในล าดบเรขาคณต จงหาจ านวนทน าไปบวกนน
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 6
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
2. ลมตของล าดบ (limit of sequence ) ในหวขอนจะกลาวถงสมบตประการหนงของล าดบ โดยจะพจารณาพจนท n ของล าดบ เมอ n มคามากขนโดยไมมทสนสด
(1) พจารณากราฟของล าดบ an = n2
1
n 1 2 3 4 5 6 7 8 … an 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 0.015625 0.0078125 0.00390625 …
จากกราฟในรป จะเหนวา ถา n มคามากขนโดยไมมทสนสด แลว an มคาลดลงและเขาใกล 0 แตจะไมเทากบ 0 (2) พจารณากราฟของล าดบ an = 2 ในรป
จากกราฟในรป จะเหนวา an มคาเปน 2 เสมอส าหรบทกคาของ n
เมอ n มคามากขนโดยไมมทสนสด และพจนท n มคาเขาใกลหรอเทากบจ านวนจรง L เพยงจ านวนเดยวเทานนแลว เรยก L วา ลมตของล าดบ (limit of a sequence) และกลาววาล าดบนนมลมตเทากบ L
ดงนน ในตวอยางขางตนจะเหนวา ล าดบ an = n21 มลมตเทากบ 0 และล าดบ an= 2 มลมตเทากบ 2
เรยกล าดบอนนตทมลมตวา ล าดบลเขา (convergent sequence)
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 7
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
(3) พจารณากราฟของล าดบ an = n1)(1
n
n 1 2 3 4 5 6 7 8 … an 0 1.5 0.667 1.25 0.8 1.1667 0.8571 1.125 …
จากกราฟในรป จะเหนวา แนวของจดในกราฟจะเขาใกลเสนทบทปรากฏ ซงหมายความวา เมอ n มคามากขนโดยไมมทสนสด พจนท n มคาเขาใกล 1 แตจะไมเทากบ 1
ดงนน ล าดบ an = n1)(1
n เปนล าดบลเขาและมลมตเทากบ 1
(4) พจารณากราฟของล าดบ an = 2n – 1
จากกราฟในรป จะเหนวา เมอ n มคามากขนโดยไมมทสนสด พจนท n ของล าดบจะมคามากขน
และไมเขาใกลจ านวนใดจ านวนหนง จงกลาวไดวาล าดบ an = 2n – 1 ไมมลมต
ล าดบนจงไมใชล าดบลเขา เรยกล าดบอนนตทไมใชล าดบลเขาวา ล าดบลออก (divergent sequence)
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 8
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
(5) พจารณากราฟของล าดบ an = (–1)n+1
จากกราฟในรป เมอ n เปนจ านวนค พจนท n เปน 1 และเมอ n เปนจ านวนค พจนท n เปน -1 ดงนน เมอ n มคามากขนโดยไมมทสนสด พจนท n ของล าดบน จงไมเขาใกลจ านวนใดจ านวนหนง ล าดบ an = (–1)n+1 จงไมมลมต ดงนน ล าดบนจงเปนล าดบลออก และจากลกษณะของกราฟทขนและลงสลบกนโดยไมเขาใกลจ านวนใดจ านวนหนงเชนน จะเรยกล าดบลออกนวา ล าดบแกวงกวด (oscillating sequence)
จากทกลาวมาขางตน จงอาจกลาวถงลมตของล าดบไดดงน
1. ล าดบทจะน ามาพจารณาลมตนนตองเปนล าดบอนนต
2. ถากลาววา L เปนลมตของล าดบทมพจนท n เปน an หมายถง เมอ n มคามากขน โดยไมมทสนสด พจนท n ของล าดบจะมคาเขาใกลหรอเทากบจ านวนจรง L จ านวนเดยวเทานน กลาวไดวา L เปนลมตของล าดบทมพจนท n เปน an และเขยนแทนดวยสญลกษณ Lalimn
n (อานวา ลมตของล าดบ an เมอ n มคามากขนโดยไมมทสนสด เทากบ L)
3. ล าดบอนนตทมลมตเรยกวา ล าดบลเขา สวนล าดบอนนตทไมมลมตเรยกวา ล าดบลออก
4. การพจารณาวาล าดบใดจะมลมตหรอไมนน อาจท าไดโดยการพจารณากราฟของล าดบ เมอ n มคามากขนโดยไมมทสนสด
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 9
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
ตวอยางท จงหาลมตของล าดบตอไปน
(1) an = n
21
ล าดบนคอ
21
, 41
, 81
, … , n
21
, …
จะไดวา 21limn
n
= …………...
2) an = n
45
ล าดบนคอ ………………………………………………………………
จะไดวา 45limn
n
= ………………………..
3) an = 2n ล าดบนคอ …………………………………………………………………….
จะไดวา n2limn = …………………………….
ตวอยาง ............ n
21
limn
............... nlimn
3
...............
n
23
limn
............... nlimn
2
ทฤษฎบท ให r เปนจ ำนวนจรงบวกใด ๆ จะไดวำ
และ หำคำไมได
ทฤษฎบท ให r เปนจ านวนจรง ถา 1 แลว
ถา 1 แลว หาคาไมได
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 10
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
ทฤษฎบทเกยวกบลมตของล าดบทกลาวมาแลวและทจะกลาวถงตอไป จะน าไปใชโดยไมมการพสจน
ตวอยางท 1 จงหาลมตของล าดบ an = 5 วธท า เนองจาก 5 เปนคาคงตว ดงนน 5limn
= 5
ตวอยางท 2 จงหาลมตของล าดบ an = n5
วธท า n5limn
= n1limn
5
= 5(0) = 0 ดงนน n5limn
= 0
ตวอยางท 3 จงหาลมตของล าดบ an = 2
2
n3n 1
วธท า n3n 1limn 2
2
=
n 3n
n 1
limn 2
2
2
= 3n
1limn 2
= 3limnn 1limn 2
= 0 + 3 ดงนน n3n 1limn 2
2
= 3
ทฤษฎบท ให an, bn, tn เปนล าดบของจ านวนจรง A, B เปนจ านวนจรง และ C เปนคาคงตวใด ๆ
โดยท an = A และ bn = B จะไดวา
(1) ถา tn = c แลว tn = c = c
(2) can = c an = cA
(3) (an + bn) = an + bn = A + B
(4) (an – bn) = an – bn = A – B
(5) (an bn) = an bn = A B
(6) ถา bn ≠ 0 ทกจ านวนเตมบวก n และ B ≠ 0
แลว = =
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 11
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
ตวอยางท 4 จงหาลมตของล าดบ an = 22n
1) -(n )2( n (ตอบ 2
1 )
ตวอยางท 5 จงหาลมตของล าดบ an = 5 3n2n
n3n 4 23
2
(ตอบ 0)
ตวอยางท 6 จงหาลมตของล าดบ an = 3n
n1n
n2
32
วธท า เราไมสามารถใชทฤษฎบทเกยวกบลมตของล าดบโดยตรง เพราะ 1n
nlimn2
และ 3n
nlimn 2
3
หาคาไมได จงตองจดรปแบบของ an กอนหาลมต
เนองจาก 3n
n1n
n2
32
=
3)1)(n(n1nn3nn
2
32(2
)()
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 12
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
ตวอยางท 7 จงหาลมตของล าดบ an = 1n14n
วธท า ล าดบนคอ 23 ,
37 ,
411 ,
515 , … ,
1n14n
, … (ตอบ 2)
เราสามารถประยกตใชทฤษฎบทเกยวกบลมตทกลาวมาแลว ในการพจารณาวาล าดบทก าหนดให เปนล าดบลเขาหรอไม ดงตวอยางตอไปน
ตวอยางท 8 จงพจารณาวาล าดบตอไปนเปนล าดบลเขาหรอล าดบลออก
1) จากล าดบ an = n 2n 3 (ตอบ 2) 2) จากล าดบ bn =
17nnn
3
3
5
3 (ตอบ 5
3 )
3) จากล าดบ Cn = 532 3n n
4nn2
2
(ตอบ 2
1 )
ทฤษฎบท ให an เปนล าดบของจ านวนจรงทมากกวาหรอเทากบ 0 และให m เปนจ านวนเตมทมากกวาหรอเทากบ 2 ถา = L
แลว = =
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 13
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
ทฤษฎลมต ถา c เปนคาคงตวและ Aalim n
n
และ Bblim n
n
แลว
1. cclimn
เชน…………………………………………………
2. cAalimccalim n
nn
n
เชน……………………………………………………
3. BAblimalimbalim n
nn
nnn
n
เชน…………………………………………………
4. BAblimalimbalim n
nn
nnn
n
เชน………………………………………………….
5. 0B,BA
blim
alim
ba
limn
n
nn
n
n
n
เชน…………………………………………………..
6. 0b,baเมอ0ba
limn
n
เชน………………………………………………….
0b,baเมอ,ไมมลมตba
limn
n
เชน…………………………………………………
7.
Ik,alimalim
k
nn
kn
n เชน………………………………..……………….
8. 1,limlim
Ikaa kn
n
kn
n เชน……………………………………………….
Note : …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 14
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
ตวอยางท 1 จงหาลมตของล าดบ n1n
a n
วธท า
1
01n1
lim1lim
n1
1lim
nn
n
ตวอยางท 2 ก าหนด 7n51n4n3
a 2
2
n
จงหาลมตของ na (ตอบ
5
3 )
วธท า
ตวอยางท 3 ก าหนด 8n31n4n2
a2
n
จงหาลมตของ na
วธท า
8n31n4n2
a2
n
จดรปจะได
2
2
n
22
22
n
n8
n3
n1
n4
2a
n8
n3
n
n1
n4
2na
ไมมลมต02
00002
n1
lim8n3
lim
n1
limn4
lim2limalim
2nn
2nnn
nn
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 15
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
ตวอยางท 4 ก าหนด 2nsina n
จงหาลมตของ na
ไมมลมต0
sin
n2limsin
2nlimsin
2nsinlim
n
n
n
ตวอยางท 5 ก าหนด 2nsin
n1
a n
จงหาลมตของ na
ตวอยางท 6 ก าหนด
7n21n2
loga n จงหาลมตของ na
ตวอยางท 7 ก าหนด
3nn2
n 5a จงหาลมตของ na
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 16
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
การหาลมตของล าดบนอกจากจะเขยนกราฟและใชทฤษฎลมตแลวเพอใหหาลมตไดสะดวกและรวดเรวยงขนมขอสงเกตดงน 1. ถาก าลงสงสดของเศษและก าลงสงสดของสวนมคาเทากนแลว n
nalim
จะมคาเทากบสมประสทธ
ของเศษและสวนของพจนทมก าลงสงสด เชน4n31n2
a n
จะได
32
alim nn
4n724n9n16n6
a 3
23
n
จะได
76
alim nn
n33n31nn
a3
3
n
จะได
331
alim nn
2. ถาก าลงสงสดของเศษนอยกวาก าลงสงสดของสวนจะได 0alim nn
เชน
4n79n16n6
a 3
2
n
จะได 0alim n
n
3. ถาก าลงสงสดของเศษมากกวาก าลงสงสดของสวนจะไดวาล าดบนนไมมลมต เชน
4n79n16n6
a2
n
จะได
n
nalim หรอ ไมมลมต
4. ถาพจนทวไปอยในรปของ จะตองจดรปโดยใชสงยคคณทงเศษและสวนแลวจงหาลมต เชน nn4a n จดรปโดยใชสงยคจะได
nn4nn16
nn4nn4
nn4
2
n
nalim (ไมมลมต)
nn3na 2n จดรปโดยใชสงยคจะได
nnn
n
nnn
nnn
nnn
nnnnnn
3
3
3
3
3
33
2
2
22
2
22
23
alim nn
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 17
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
5. nn
nn
alimalim
เชน na 2
2
n2nn1
2121
n2nn1
lim
n2nn1
lim
2
2
n
2
2
n
Note :
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 18
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
หลกในการค านวณคาประมาณเกยวกบ ∞ มดงน ถาแทน n ดวย ∞ แลวไดผลเปน “ไมร” ตองจดรปเพมกอน แลวคอยแทนใหม
∞ + ∞ → ∞ ∞ - ∞ → ....... ∞ + k → .......
∞ - k → ....... k - ∞ → ....... ∞ x ∞ → ……..
kx
0k
k 0
k ...........
0
1k
การหาลมตในรปเศษสวน (สตรลด)
หวขอนจะพดถงวธหา n
limna แบบงายๆ
วธคอ เราจะพยายามเขยน na ใหอยในรปเศษสวน แลวดวา ระหวางเศษกบสวน ใครชนะ โดยเราจะน า “ตวแรงสดของเศษ” มาเทยบกบ “ตวแรงสดของสวน” โดยใชหลกดงน
พหนามดกรมาก ชนะ พหนามดกรนอย (ดกร = ก าลงสงสดของ n ในพหนาม) เอกซโพเนนเชยลฐานมาก ชนะ เอกซโพเนนเชยลฐานนอย เอกซโพเนนเชยล ฐาน > 1 ชนะ พหนาม เอกซโพเนนเชยล ฐาน < 1 แพ พหนาม
เมอตดสนไดแลววาใครชนะ ใหตอบ n
limna ดงน
ถา เศษชนะ → ตอบ ............................ ถา สวนชนะ → ตอบ ………………………
ถา เสมอกน → ตอบ .......................... (สมประสทธ = ตวเลขทมาคณ) ในกรณท na ไมไดอยในรปเศษสวน จะมวธท าใหเปนเศษสวน โดยการคณดวยคอนตเกต ทงเศษและสวน โดยการคณดวยคอนจเกต จะท าใหเข าสตร (น + ล)( น − ล) = น 2 − ล 2 ได หมายเหต : คอนจเกต คอ ตวทเหมอนกน ยกเวนเครองหมายตรงกลาง เปลยนเปนตรงขาม
เมอ k เปนบวก
เมอ k เปน........ ไมร เมอ k ประมาณ 0บวก
เมอ k เปนบวก
เมอ k เปน........ ไมร เมอ k ประมาณ 0
เมอ k เปนบวก เมอ k เปนลบ
เมอ k > 1 เมอ k = …….. เมอ 0 < k < 1
ไมร เมอ k ประมาณ 0
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 19
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
แบบฝกหด 2
nlim
53
322
nn
nn
= .................... n
limnn
nn
523
32
= ……………
n
limnn
nn
73
52
= …………… n
lim 510
3
738
52
nn
nn
= ……………
n
lim534
325
n
nn
= …………… n
lim25
122
nn
n = ……………….
nlim
1
132
2
n
n = …………… n
lim347
1520432
23
nnn
nnn = ……………
nlim
5
13
22
n
n = …………… n
lim
52
16
23
n
n = ……………
nlim
1000
22
n
nn = …………… n
lim
55
314
422
n
nn = ……………
nlim
3
352
32
n
nnn = ………… n
lim5243
45223
2
nnn
nn = ……………
nlim
4
2
12
1313
n
nnnn = …………… n
lim
37
213
22
n
nn = ……………
nlim
12 n
n = …………… n
lim3 1
1
n
n =……………
nlim
52
23
n
n = …………… n
lim541
5
22
nn
n = ……………
nlim
n
2
3 = n
limn
n
2
3 = …………… n
lim52
23
n
n = ……………
nlim
n
2
1 = n
lim
n
n
2
1 = ………... n
lim 1n - n = …………………
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 20
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
แบบฝกหดเสรม 1 1. จงเขยนกราฟเพอตรวจสอบดวาล าดบใดเปนล าดบลเขา หรอลออก
(1) an = 2
nsin π (2) an = 2
nsinn1 π
(3) an = 1n
5
(4) an = n2n
(5) an = n(1 + (–1)n) (6) an = n214
(7) an = 4(0.5)n–1 (8) an = n1
32
(9) an = n
34
(10) an =
22n
n
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 21
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
2. จงใชทฤษฎบทเกยวกบลมตของล าดบเพอตรวจสอบวาล าดบในแตละขอเปนล าดบลเขาหรอลออก
(1) an = 3n
8 (2) an = n
n
78
(3) an = (–1)n (4) an =
n
213
(5) an = n
14 (6) an = 6n
4 6n
(7) an = 6
5 3n (8) an = 1 n
n
(9) an = 2n
5n 4 (10) an = 1 3n
12n
(11) an = 17n
5n 3n2
(12) an = 35n
7n2
2
(13) an = 2
2
n32n4n (14) an = 2
2
5n10n13n
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 22
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
(15) an = 1n
1n1
(16) an = 2n
1n
53
(17) an = 2n
1n
332
(18) an = 1n1n
(19) an = 4n
1n2 (20) an = 3 3
2
2n2n
14n
(21) an = n1)( n (22) an =
2n325n8n2
4. ประโยคตอไปนเปนจรงหรอไม จงใหเหตผล (1) ถา an และ bn เปนล าดบลออกแลว (an + bn) เปนล าดบลออก (2) ถา an เปนล าดบลเขา และ bn เปนล าดบลออก แลว (an + bn) เปนล าดบลออก
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 23
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
5. ก าหนดล าดบ an = n)12rP(1 โดยท
an คอ เงนทบตนเมอเวลาผานไป n เดอน P คอ เงนตน r คอ อตราดอกเบยตอป (1) จงหาวา ล าดบ an เปนล าดบลเขาหรอไม (2) จงหา 10 พจนแรกของล าดบ ถาเงนตนเปน 9,000 บาท และอตราดอกเบยเปน 1.5% ตอป 6. บรษทแหงหนงมงบรายจายปกตของปแรกอยท 2.5 พนลานบาท แตเนองจากราคาน ามนทสงขน บรษทจงวางแผนทจะประหยดงบประมาณ โดยตดรายจายลดลง 20% ในแตละป (1) จงเขยนงบรายจายเมอเวลาผานไป n ป (2) ค านวณงบรายจายของสปแรกหลงจากถกตดงบ (3) ล าดบของงบรายจายนเปนล าดบลเขาหรอไม
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 24
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
1.3 อนกรมอนนต ถา a1, a2, a3, …, ak เปนล าดบจ ากดทม k พจน แลว a1+a2+a3+…+ak เปนอนกรมจ ากด (finite series) ถา a1, a2, a3, …, an, … เปนล าดบอนนต แลว a1+a2+a3+…+an+… เปนอนกรมอนนต (infinite series) 1.2.1 ผลบวกของอนกรมอนนต อนกรมเลขคณต เปนอนกรมทเกดจากการน าพจนแตละพจนของล าดบเลขคณตมาเขยนใหอยในรปผลบวกซงมทงอนกรมจ ากดและอนกรมอนนตซงอนกรมเลขคณตมพจนทวไปคอ
d1naa 1n ซง ,วไปคอพจนทa n 1คอพจนทa1 , d คอผลตางรวม , n คอ จ านวนพจน
และผลบวก n พจนแรกคอ n1n1n aa2n
หรอSd1na22n
S
อนกรมเรขาคณต เปนอนกรมทเกดจากการน าพจนแตละพจนของล าดบเรขาคณตมาเขยนใหอยในรปผลบวกซงมทงอนกรมจ ากดและอนกรมอนนตซงอนกรมเรขาคณตมพจนทวไปคอ
1n1n raa ซง ,วไปคอพจนทa n 1คอพจนทa1 ,r คออตราสวนรวม , n คอ จ านวนพจน
และผลบวก n พจนแรกคอ
1r,r1raa
หรอS1r,r1r1a
S n1n
n1
n
ยงมอนกรมอนอกซงอยในรปทงเลขคณตและเรขาคณตหรออนกรมซงไมอยในรปใดเลย การจะหาพจนทวไปและผลบวก n พจนแรกจะตองจดรปเพอทจะเขาสตรใดสตรหนง ทบทวนสตรของผลบวก
เชน 1. 1+2+3+4+……….+10 =
5521110
211010
i10
1i
2. 1+4+9+16+25+36+49 =
14061587
6172177
i7
1i
2
3. 1+8+27+64+125+216 =
441212166
i 226
1i
3
1. 2. 3.
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 25
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
1.4 สญลกษณแทนการบวก
สญลกษณแทนการบวกจะใชอกษรกรก (เรยกวา ซกมา) เปนสญลกษณแทนการบวก
โดยท a1 + a2 + a3 + . . . + an =
n
1 i
ia
และ a1 + a2 + a3 + . . . =
1 i
ia
ซง
n
1 i
ia อานวา การบวก aI เมอ i = 1 ถง i = n
1 i
ia อานวา การบวก aI เมอ i มคาตงแต 1 ขนไป
เชน
6
1 i
i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6
1 i
2i = 12 + 22 + 32 + . . .
ตวแปร i ทปรากฏในสญลกษณ
n
1 i
ia หรอ
1 i
ia เรยกวา ดชน ซงจะก าหนดพจนแรกและพจนสดทาย
ของอนกรม ตวอยางเชน
5
1
2
i
i แทน 12 + 22 + 32 + 42 + 52
4
1
)12(k
k แทน (2x1-1) + (2x2-1) + (2x3-1) + (2x4-1)
1 2
1
nn
แทน ...2
1...
16
1
8
1
4
1
2
1
n
1
)3(i
i แทน (1+3) + (2+3) + (3+3) +…+ (n+3 )+ …
สตร การใช ∑ หาผลบวก
ในการเขยนแทนอนกรมใดอนกรมหนง โดยใชสญลกษณ ตวอกษรทใชแทนตวแปรอาจใชตวอกษรใดก
ได เชน
1
3
i
i อาจเขยนเปน
1
3
k
k หรอ
1
3
n
n ซงตางกแทนอนกรมเดยวกน นอกจากน การใชสญลกษณ
แทนการบวกอาจเขยนไดหลายรปแบบ เชน
4
1
)1(i
ii และ
3
0
)1(i
ii ตางกแทน 0 + 2 + 6 + 12
เชนเดยวกน จะเหนวา ดชนไมจ าเปนตองเรมจาก 1 เสมอไป
1. 2. 3.
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 26
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
ตวอยางท 1 จงแสดงวา
10
1
3i
= 30
วธท า
10
1
3i
= 3 + 3 + 3 + 3 +3 + 3 + 3 + 3 + 3 +3 = 30
ตวอยางท 2 จงหาคาของ
4
1
2 )1(i
ii
วธท า
4
1
2 )1(i
ii = (12 – 1 + 1) + (22 – 2 + 1) + (32 – 3 + 1) + (42 – 4 + 1)
= 1 + 3 + 7 + 13 = 24
ตวอยางท 3 จงเขยน 2x + 4x2 + 6x3 + 8x4 + 10x5 โดยใชสญลกษณ วธท า 2x + 4x2 + 6x3 + 8x4 + 10x5 = 2·1x + 2·2x2 + 2·3x3 + 2·4x4 + 2·5x5
=
5
1
2i
iix
ตวอยางท 4 จงแสดงวา
10
1
2 )(2i
i =
10
1
2 )(2i
i
สมบตของ ทควรทราบ มดงน
1. nc c
n
1 i
เมอ c เปนคาคงตว
2.
n
1 i
ii
n
1 i
a c a c เมอ c เปนคาคงตว
3.
n
1 i
i
n
1 i
i
n
1 i
ii b a )b (a
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 27
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
ตวอยางท 5 จงหาคาของ
5
1 i
6
ตวอยางท 6 จงหาคาของ
5
1 i
2 7) 3i - (2i
วธท า
5
1 i
2 7) 3i - (2i =
5
1 i
5
1 i
5
1 i
2 7 3i - 2i
ตวอยางท 7 ถา f(n) = 4n + 7 จงหาคาของ
3
1 i
3 )f(i
วธท า จาก f(n) = 4n + 7 f(i3) = 4i3 + 7
ดงนน
3
1 i
3 )f(i =
3
1 i
3 )7 (4i
ตวอยางท 8 จงหาคาของ
10
1 i
4i
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 28
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
ตวอยางท 9 จงหาคาของ
4
1 k
2k-
ตวอยางท 10 จงหาคาของ
10
1 i
3 5) - (4i
ตวอยางท 11 จงหาผลบวกของ 20 พจนแรกของอนกรม
n
i ii1 )14)(34(
4
วธท า ให Sn =
n
i ii1 )14)(34(
4
เนองจาก 14
1
34
1
)14)(34(
4
kkkk
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 29
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
แบบฝกหด 3 1. จงเขยนแทนสญลกษณตอไปนใหอยในรปการบวก
(1)
4
1i2i (2)
52
1i2)(i
(3)
4
1k2k)(10 (4)
20
1i2 4)(i
2. จงหาคาของ
(1)
5
1j3j (2)
50
1k8
(3)
4
1i2 3)(ii (4)
6
2k
1k4k
(5)
5
1k2 3)(k (6)
10
1i32)(i
(7)
20
10i1)(2i (8)
15
1k5)5)(k(k
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 30
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
3. จงเขยนอนกรมตอไปนรปสญลกษณแทนการบวก
(1) 13 + 24 + 35 + ... + n(n + 2) + ...
(2) n1...
61
51
41
(3) arp + arp+1 + arp+2 + ... + arp+q + ... (4) 2 + 4 + 6 + ... + 2n
(5) ...)3(2
1...121
61
31
1- n
(6) ...1nn
1...34
123
112
1
4. จงแสดงวา
(1)
n
1i6i =3n(n + 1) (2)
k
1i1)(2i = k2 + 2k
(3)
m
1ii43 = 4m+1 – 4 (4)
n
1i2 i)(i =
3nn3
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 31
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
5. จงหาผลบวก 10 พจนแรกของอนกรมตอไปน
(1) 12 + 23 + 34 + 45 + ...+ n(n +1) + ...
(1) 147 + 258 + 369 + ...+ n(n + 3)(n + 6) + ...
(2) 1(2 + 3) + 4(4 + 3) + 9(6 + 3) +16(8 + 3) + ... + n2(2n + 3) + ... (4) 12+ 32+ 52+ 72+...+ (2n −1)2+...
(5) ...n11n...
4114
3113
2112
1111
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 32
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
6. จงหาคาของ
(1) 123 + 234 + 345 + ...+ n(n +1)(n + 2) + ...+101112
(2) 12 + 23 + 34 + ...+ n(n +1) + ...+ 99100 (3) ผลบวกของจ านวนเตมบวกทงหมดระหวาง 1 ถง 100 ทหารดวย 4 แลวเหลอเศษ 3 7. จงหาผลบวก n พจน และผลบวก 20 พจนแรกของอนกรมตอไปน
(1)
n
1i 1)(ii1 (2)
n
1i 1)1)(2i(2i1
(3)2)1)(ii(i
1n
1i
(4) 2)i(i
1n
1i
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 33
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
8. จงหาผลบวก 10 พจนแรกของอนกรมตอไปน
(1) 1 + 22 + 322 + 423 + ... + n2n–1 + …
(2) ...5n...
1253
252
51
n
9. จงหาผลบวก n พจนแรกของอนกรมตอไปน
(1) ...1)nn12n...
1697
945
413
22
(2) ...1nnn1n...
2332
3223
2112
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 34
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
10. จงพจารณาวาอนกรมตอไปนเปนอนกรมลเขาหรอลออก ถาเปนอนกรมลเขา จงหาผลบวกของอนกรมนน
(1)
1n
1)(ne (2) 1)(n
1n
1)(n 21)(
(3) n1n 100
9
(4) 1) n(n
51n
(5)
1n 22 1)nn12n (6)
1n
1n1
1n
(7)
1nn
1n
54 (8)
1n 2 1 4n1
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 35
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
1.5 ล าดบผลบวกยอยของอนกรมอนนต
ผลบวกของอนกรมอนนตคอ ลมตของล าดบของผลบวกยอยของอนกรมอนนตนนเมอล าดบนน มลมต พจารณา หาผลบวก 10 พจนแรกของอนกรม 2+4+6+8+... วธท า จากโจทยเปนอนกรมเลขคณต
จากสตร d1na22n
S 1n แทนคาในสตรจะได
1101845211022210
S10 จะเหนวาถาหาผลบวกถงพจนทเทาใดกหาได
แตถาหาผลบวกไปเรอยๆโดยไมมทสนสดคอ n มคามากขนเรอยๆซงกจะเปนการหาผลบวกของ อนกรมอนนตซงจะตองใชลมตเขาชวย พจารณา อนกรม ...............a..........aaa n321 ให nS เปนผลบวก n พจนแรกของอนกรมจะได
11 aS
212 aaS
3213 aaaS . . .
n321n a...............aaaS เรยก n,4321 S.....,..........S,S,S,S แตละจ านวนวา ผลบวกยอย และถาน าผลบวกยอยแตละจ านวนมาเขยนใหอยในรปของล าดบเรยกล าดบทไดวา ล าดบของผลบวกยอยของอนกรม (a sequence of partial sums)
ตวอยาง หาผลบวกของอนกรม ...10
1...
1000
1
100
1
10
1
n
วธท า หาผลบวกยอยของอนกรมซงเปนอนกรมเรขาคณตและเปนอนกรมอนนต
101
S1 , 10011
1001
101
S2 , 1000111
10001
1001
101
S3
n
n
n
nn 109110
101
1
101
1101
101
................10001
1001
101
S
ล าดบผลบวกยอยของอนกรมคอ n
n
109110
........,,.........1000111,
10011,
101
แสดงวาหาผลบวก n พจนได n
n
n 109110
S
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 36
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
ถา n มคามากขนเรอยๆคาของ nS จะมคาเทาใดเราจะตองหาคาลมตของ nS เมอ n ซงเปนการหาผลบวกของอนกรมอนนตนนเอง ถาเราทดลองหาจะได
91
109110
limSlim n
n
nn
n
หมายความวาถา n มคามากขนเรอยๆผลบวกของอนกรม
.................101
..............10001
1001
101
n จะมคาเทากบ 91
ตวอยางท 1 ก าหนด 4 + 7 + 10 + … + (3n + 1) + … จงหาล าดบของผลบวกยอยของอนกรม วธท า ให S1 = 4 S2 = 4 + 7 = 11 S3 = 4 + 7 + 10 = 21 Sn = 4 + 7 + 10 + … + (3n + 1)
= 3)1()4(22
nn ใชสตร dna
nSn )1(2
21
= 532
nn
ดงนน ล าดบผลบวกยอยของอนกรมคอ 4, 11, 21, …, 532
nn
ตวอยางท 2 ก าหนด ...2
1...
8
1
4
1
2
1
n จงหาล าดบของผลบวกยอยของอนกรม
ดงนน ล าดบผลบวกยอยของอนกรม คอ ,...2
11,...,
8
7,
4
3,
2
1n
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 37
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
นยาม ผลบวกของอนกรมอนนต คอ ลมตของล าดบของผลบวกยอยของอนกรมนน เมอล าดบนนมลมต อนกรมอนนตทมผลบวกเรยกวา อนกรมคอนเวอรเจนต (convergent series) อนกรมอนนตทไมสามารถหาผลบวกไดคอ nS ไมมลมตเรยกวา อนกรมไดเวอรเจนต (divergent series) จากตวอยางท 1 ก าหนด 4 + 7 + 10 + … + (3n + 1) + …
ล าดบ 4, 11, 21, …, 532
nn , … เปนล าดบลออก
ดงนน 4 + 7 + 10 + …+ (3n + 1) + … เปนอนกรมลออก
จากตวอยางท 2 ก าหนด ...2
1...
8
1
4
1
2
1
n จงหาล าดบของผลบวกยอยของอนกรม
ล าดบ ,...2
11,...,
8
7,
4
3,
2
1n
, … เปนล าดบลเขา
12
11limlim
n
nn
n
S
ดงนน ...2
1...
8
1
4
1
2
1
n เปนอนกรมลเขา
หลกการหาผลบวกของอนกรมอนนต 1. หาผลบวก n พจนแรกของอนกรมคอหา nS 2. น า nS ไปหาลมต 3. ถา n
nSlim
หาคาไดคาดงกลาวคอผลบวกของอนกรมอนนต
ซงเปนอนกรมคอนเวอรเจนต 4. ถา n
nSlim
หาคาไมไดแสดงวาอนกรมอนนตไมสามารถหาผลบวกถงอนนตได
ซงเปนอนกรมไดเวอรเจนต
ขอสงเกต อนกรมเรขาคณตท -1 < r < 1 เปนอนกรมลเขา อนกรมเรขาคณตท r ≤ 1 หรอ r ≥ 1 เปนอนกรมลออก
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 38
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
ตวอยางท 1 จงพจารณาวาอนกรมใดตอไปนเปนอนกรมคอนเวอรเจนตหรอไดเวอรเจนต ถาเปนอนกรมคอนเวอรเจนตจงหาผลบวกถงอนนต
1. ....3
1
2
1...
18
1
6
1
2
11
n
เปนอนกรมเรขาคณตม31
r,21
a1
จาก
1r,r1r1a
Sn
1n
31
1
31
121 n
n
n
n
n
34
333
3
2
3
13
2
1
43
34333
limSlim n
n
nn
n
แสดงวาเปนอนกรมคอนเวอรเจนตมผลบวกอนนตเทากบ
43
2. ...2...901 23 nn อนกรมนไมเปนเลขคณตและเรขาคณต
(การหาผลบวกถงพจนท n จะใช
n
1nna แทนได)
6
1212
2
1
2
2
2
1 1
23
1
23
1
nnnnn
nn
nn
a
n
n
n
n
n
n
n
n
n
6
1n21nnlim2
21nn
limSlimn
2
nn
n
จากลกษณะการหาลมตจะเหนวาก าลงของเศษมากกวาก าลงของสวนแสดงวาไมมลมต เพราะฉะนนอนกรมนเปนอนกรมไดเวอรเจนตไมมผลบวกอนนต
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 39
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
3. ...35...412 n อนกรมนเปนอนกรมเลขคณต
อาจหา
n
1inn aโดยใชS แทนกได
21nn
3n5
n35
n35
a
n
1n
n
1n
n
1n
n
1nn
2
1nnlim3nlim5Slimnn
nn
จากลกษณะการหาลมตจะเหนวาก าลงของเศษมากกวาก าลงของสวนแสดงวาไมมลมต เพราะฉะนนอนกรมนเปนอนกรมไดเวอรเจนตไมมผลบวกอนนต ตวอยางท 2 จงหาล าดบของผลยอยของอนกรม และบอกวาอนกรมใดบางเปนอนกรมลเขาและมผลบวกเทาใด
1. ...3
1
2
3
6
1
2
1
2
31
n
2. 4 + 8 + 12 + … + 4n + …
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 40
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
แบบฝกหด 4 จงหาล าดบของผลบวกยอย และ หาผลรวมของอนกรมตอไปน
1.
1 )2(
1
n nn 2.
1 )12)(12(
1
n nn
3.
1 )2)(1(
1
n nnn 4.
1 )14)(34(
1
n nn
5.
1 5
2
n
n
6.
1 1
11
n nn
7.
1
)1(n
nn (ตอบ 11 n ; div)
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 41
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
1.6.1 ผลบวกของอนกรมอนนตทเปนอนกรมเลขคณต - ถา 0d,0a1 อนกรมคอ 0 + 0 + 0 + 0 + .. .จะได Sn = 0 และ n
nSlim
= 0
จะเปนอนกรมคอนเวอรเจนตมผลบวกอนนตเทากบ 0 - ถา 0d,0a1 เชน 0 + 2 + 4 + 6 +... จะเหนวาเมอ n มคามากขนเรอยๆไมมทสนสด ไมสามารถหาผลบวกอนกรมอนนตได เปนอนกรมไดเวอรเจนต - ถา 0d,0a1 เชน 2 + 2 + 2 + 2 +... จะเหนวาเมอ n มคามากขนเรอยๆไมมทสนสด ไมสามารถหาผลบวกอนกรมอนนตได เปนอนกรมไดเวอรเจนต
- ถา 0d,0a1 จาก n1n1n aa2n
หรอSd1na22n
S จะเหนวา
ก าลงของเศษมากกวาก าลงของสวน หาลมตไมไดแสดงวาเปนอนกรมไดเวอรเจนต
สรป อนกรมอนนตทเปนอนกรมเลขคณตจะหาผลบวกอนนตไดเพยงกรณแรกเทานน คอ a1 = 0 และ d = 0
1.6.2 ผลบวกอนกรมอนนตทเปนอนกรมเรขาคณต พจารณา อนกรมเรขาคณต 1
1
2
111 ... nrararaa - ถา r = 1 อนกรม คอ a1 + a1 + a1 + ... ล าดบผลบวกยอยคอ 1111 ....,,3,2, naaaa
nnSlim
จะหาคาไมได คอไมมลมต เชน 3 + 3 + 3 +… เปนอนกรมไดเวอรเจนต
- ถา r = -1 อนกรมคอ a1 - a1 + a1 - a1 +… ล าดบผลบวกยอยคอ 1
111 1...,,0,,0,
n
aaa จะเหนวาล าดบของผลบวกยอยจะเขาใกล 2 คาคอ 0 กบ 1a แสดงวาไมมลมต เชน 1 + (-1) + 1 + (-1) +… เปนอนกรมไดเวอรเจนต - ถา 1r พจารณา จาก
rlim1lim
rlimaalimr1r1a
nn
n
n11
n
n1
จะเหนวา n
n
rlim
หาคาไมได เพราะฉะนน nn
Slim
หาคาไมได เปนอนกรมไดเวอรเจนต
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 42
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
ถา 1r จาก
r1ar10a
rlim1lim
rlimaalimr1r1a
1
1
nn
n
n11
n
n1
จะหาผลบวกของอนกรมอนนตไดซงมคาเทากบ ซงเปนอนกรมคอนเวอรเจนต สรป 1. ถา 1r จะหาผลบวกของอนกรมอนนตไมไดเปนอนกรมไดเวอรเจนต 2. ถา 1r จะหาผลบวกของอนกรมอนนตไดซงมคาเทากบ ซงเปนอนกรมคอนเวอรเจนต ตวอยางท 1 จงหาผลบวกของอนกรมอนนต ...32...541862
1
n
วธท า จากอนกรมอนนตเปนอนกรมเรขาคณตม r = 3 ซง 1r เปนอนกรมไดเวอรเจนตหาผลบวกอนนตไมได
1313132r1r1a
n
n
n1
หาคา ไมไดเนองจากก าลงของเศษมากกวาก าลงของสวน
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 43
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
ตวอยางท 2 จงหาผลบวกของอนกรมอนนต ...2
1...
16
1
8
1
4
1
2
1
n
วธท า เปนอนกรมเรขาคณตม r = 21
ซง 1r เปนอนกรมคอนเวอรเจนต
มผลบวกอนนตเทากบr1a1
1
21
1
21
n
n
n1
21
1
21
1
21
121
r1r1a
1
0121
lim1limn
nn
เปนอนกรมคอนเวอรเจนตมผลบวกอนนตเทากบ 1
ตวอยางท 3 ถา 1n31n9n2
S 2
2
n
จงหาผลบวกอนกรมอนนต
วธท า จาก1n31n9n2
S 2
2
n
จะเหนวา nnSlim
32
เพราะฉะนนผลบวกอนกรมอนนตเทากบ32
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 44
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
ตวอยางท 4 จงหาผลบวกของอนกรมอนนต ...1...830 2 n วธท า
n
61n21nn
1n
1n
a
n
1n
n
1n
2
n
1n
2
n
1nn
จะเหนวา มก าลงของเศษมากกวาก าลงของสวนเพราะฉะนน nnSlim
ไมมลมต
เปนอนกรมไดเวอรเจนตไมมผลบวกอนนต
Note :
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 45
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
แบบฝกหด 5 1. จงพจารณาวาอนกรมตอไปน อนกรมใดบางเปนอนกรมคอนเวอรเจนตและมผลบวกเทาใด
1. ...3
1
2
1...
54
1
18
1
6
1
2
11
n
2. ...3
23...
9
8
3
423
1
n
3. ...52
1...
2
125
2
25
2
5
2
1 1
n
4. 5 + 5 + 5 + 5 + ….
5. 0 + 3 + 8 + … + (n2 - 1) + …
6. ...81
1
27
1
9
1
3
1
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 46
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
7. 100 + 10 + 1 + 0.1 + …
8. -0.1 + 0.01 – 0.001 + 0.0001 – 0.00001 + …
9. 2 + (-1) + (-4) + … + (5 – 3n) + …
10. 16 + 12 + 9 + … + 1
4
316
n
+ …
2. จงหาคาของ x ถา 1 + x + x2 + x3 + … = 3
2
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 47
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
1.7 อนกรมผสม (Arithmetic–Geometric Series : A.G.S) คอ อนกรมผสมระหวางอนกรมเลขคณตและอนกรมเรขาคณต เปนอนกรมทเกดจากผลคณพจนตอพจน ระหวางอนกรมเลขคณตและเรขาคณต ดงน ก าหนดให a1 + a2 + a3 + … + an + … เปนอนกรมเลขคณต และ
b1 + b2 + b3 + … + bn + … เปนอนกรมเรขาคณต แลว อนกรมผสมระหวางอนกรมเลขคณตและเรขาคณต คอ a1b1 + a2b2 + a3b3 + … + anbn + … จะไดอนกรมคอนเวอรเจนต โดยมผลบวกเทากบ
2
111
)1(1 r
drb
r
baS
เมอ -1 < r < 1
ตวอยางท 1 จงหาผลบวกของอนกรมอนนต ...16
7
8
5
4
3
2
1
วธท า (แกระบบสมการ) ให S แทนผลบวกของอนกรมอนนตคอ
..............................81
41
21
21
S21,21
2........................327
165
83
41
S21,1
21
1........................167
85
43
21
S
SlimS nn
23
121
21
1
21
21
r1a
21
...................81
41
21
21
1
312
23
S ผลบวกของอนกรมอนนตเทากบ 3
วธท า (ใชสตร)
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 48
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
ตวอยางท 2 จงหาผลบวกของอนกรมอนนต ...8
7
4
5
2
31
ตวอยางท 3 จงหาผลบวกของอนกรมอนนต ...16log32
18log
16
14log
8
12log
4
1
วธท า จดรปใหมเปน ...2log32
42log
16
32log
8
22log
4
1
ตวอยางท 4 ให c เปนคาคงทและ
.......21
...............41
21
11n
c5n3cn5lim 1n3
23
n
จงหาคาของ c
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 49
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
แบบฝกหด 6 จงหาผลบวกของอนกรมอนนตตอไปน
1. ...7
2...
7
8
7
6
7
4
7
2432
n
n
2. ...625
15
125
10
25
6
5
31
3. ...5
3log)1(...
125
81log
25
27log
5
9log3log
1
1
n
nn
4. ถา 1x แลวจงหาผลบวกของอนกรมอนนต 1 + 3x + 5x2 + 7x3 + 9x4 + …
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 50
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
1.8 อนกรมเทเลสโคป (telescoping series) คอ การจดรปแตละพจนในอนกรม ใหเปน “ผลลบ” โดยเมอแยกเปนผลลบไดแลวพจนคทอยตดกน
จะมบางตวตดกนได วธจดรปพจนใหเปนผลลบ จะมอย 2 วธ คอ การใชคอนจเกต กบ การแตกเศษสวน
คออนกรม a1 + a2 + a3 +… + an + … สามารถเขยนในรป a1 + a2 + a3 +… + an + … = (b1 - b2) + (b2 – b3) +(b3 – b4) +…+ (bn - bn+1) +…
เมอ a1 = b1 – b2, a2 = b2 – b3, …, an = bn – bn+1 ดงนน a1 + a2 + a3 +… + an = b1 – bn+1
ตวอยางท 1 จงหาผลบวกของอนกรมอนนตตอไปน
1. ...43
1
32
1
21
1
วธท า จะเหนวาอนกรมนไมเปนทงเลขคณตและเรขาคณตแลวจะหา ไมได
เนองจากสมบตของ ไมมทอยในรปผลคณและผลหาร จะตองใชวธจดรปของอนกรมใหมจะเหนวา
สวนเปนลกษณะของล าดบเลขคณตคณกน 2 ชดหาพจนท n ไดเปน 1nn1
ออกทงหมดเปดวงเลบ1n1
1
1n1
n1
......................43
131
21
21
1
1nn1
............................431
321
211
1
011n1
lim1limnn
2.
...1212
1...
75
1
53
1
31
1
nn
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 51
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
3. ..................1n2.................531 2222 วธท า ให
nnnnnn
S
nn
nn
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
214
61214
144
144
12
limlim
1 1 1
2
1
2
1
2
จะเหนวาก าลงของเศษมากกวาสวนแสดงวาไมมลมต เปนอนกรมไดเวอรเจนต
ตวอยางท 2 จงหาผลบวกของอนกรม
1 )14)(34(
1
n nn
ตวอยางท 3 จงหาผลบวกของอนกรม
1
1
)1(
12)1(
n
n
nn
n
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 52
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
ตวอยางท 4 จงหาผลบวกของอนกรมในแตละขอตอไปน
...
21
1...
543
1
432
1
321
1
nnn
ตวอยางท 5 ก าหนดให a € R+ - {1} และ 970,2log...logloglog 2222
3 aaaa n aaaa
จงหาคาของ n
n
2...642
)12(...531
ตวอยางท 6 จงหาคาของ
99
1 1
1
i ii
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 53
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
1.9 การหาผลบวกของอนกรมทไมใชอนกรมเลขคณตและเรขาคณต
1. หาผลบวกโดยการ take Sigma ก าหนดให an แทนพจนท n ของอนกรม และ Sn แทนผลบวก n พจนแรกของอนกรม แลว
nn aS
ตวอยางท 1 ...4
4321
3
321
2
211
ตวอยางท 2 ถาก าหนดให an = n2 + 2n จงหาผลบวก n พจนแรกของอนกรมน
ตวอยางท 3 จงหาผลบวก n พจนแรกของอนกรม ...)2
1
2
1
2
11()
2
1
2
11()
2
11(1
322
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 54
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
2. อนกรมทมรปแบบ A + AA + AAA + … เมอ IA และ 1 ≤ A ≤ 9
ตวอยางท 1 จงหาผลบวก n พจนแรกของอนกรม ตอไปน 1. 9 + 99 + 999 + … + (10n – 1) + …
วธท า ให Sn = 9 + 99 + 999 + … + (10n – 1) = (10 - 1) + (102 - 1) + (103 - 1) + … + (10n - 1) = [10 + 102 + 103 + … + 10n] – [1+1+1+ … + 1]
= nn
110
)110(10
= nn )110(9
10
2. 1 + 11 + 111 + 1111 + …
3. 5 + 55 + 555 + 555 + ….
4. 7 + 77 + 777 + 7777 + …
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 55
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
1.10 การเขยนทศนยมซ าใหอยในรปของเศษสวน การเขยนทศนยมซ าใหอยในรปของเศษสวนกระท าไดหลายวธและวธหนงกคอ การน าความรเกยวกบอนกรมอนนตมาใชแตเวลาทนกเรยนท าขอสอบเลอกวธทงายทสด
ตวอยางท 1 จงเขยน 12.0 ใหอยในรปเศษสวน
วธท 1 วธนนกเรยนเคยเรยนมาแลว
ให x = 0.2121212121……………….(1) 100 x (1) จะได 100x = 21.21212121…………………(2) (2) - (1)จะได
99x = 21
337
9921
x
วธท 2 ใชผลบวกอนกรมอนนต
...100000000
21
1000000
21
10000
21
100
21
...00000021.0000021.00021.021.0
...21212121.0
ซงเปนอนกรมเรขาคณตม1001
และr10021
a1
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 56
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
ตวอยางท 2 จงเขยน 783.4 ใหอยในรปเศษสวน
วธท 1
.....................3878787.4783.4
ให x = 4.3878787………………………(1) 10 (1),10x=43.878787……………………….(2) 100(2),1000x = 4387.8787…………………..(3) (3) – (2),990x = 4344
1657249904344
วธท 2
=
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 57
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
ตวอยางท 3 ถาลากสวนของเสนตรงเชอมจดกงกลางดานของรปสเหลยมจตรส จะไดรปสเหลยมจตรสดงรป 1. ถารปสเหลยมจตรสรปแรกมเสนรอบรปยาว 20 หนวย รปสเหลยมจตรสรปทสองมเสนรอบรปยาวเทาใด 2. ถากระบวนการเกดรปใหมของรปสเหลยมจตรสเกดขนอยางตอเนองไมสนสด ผลบวกของความยาวของเสนรอบรปของรปสเหลยมจตรสทงหมดเปนเทาใด (ตอบ 68.28)
วธท า 1. รปสเหลยมจตรส ABCD ยาวดานละ 5 หนวย มเสนรอบรปเทากบ 20 หนวย รปสเหลยมรปทสอง EFGH มความยาวดานละ
หนวย 2
254
50450
425
425
222
EH
AHAEEH
เสนรอบรปของสเหลยมจตรสรปทสองยาวเทากบ
หนวย 2102
254
I J
KL
E
F
G
H
CD
BA2. รปสเหลยม IJKL ยาวดานละ วธท า
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 58
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
แบบฝกหด 7 1. จงหาล าดบของผลบวกยอยของอนกรมตอไปนพรอมทงบอกวาอนกรมใดบางทเปนอนกรมลเขาและมผลบวกเปนเทาใด
(1) ...31
21...
181
61
21 1n
(2)
...323...
3423
1n
(3) ...(5)21
225
25
21 1n ... (4) ...
2
1)(...
81
41
21
n
1n
(5) 2 + (–1) + (–4) + ... + (5 – 3n) + … (6)
...43
6427
169
43 n
...
(7) 0 + 3 + + 8 + ... + (n2 – 1) + … (8) –1 + 0 + 9 + ... + (n3 – 2n2)
(9)
......
n
101
10001
1001
101 (10) 1–2+3–4+5–6+ …+ (–1)n–1n+…
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 59
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
3. จงหาผลบวกของอนกรมตอไปน
(1) ...3
12...81
11627
189
141n
1n
(2) ...23
83
43
233 1-n ...
(3)
...)x(2
1...)x(2
1)x(2
1x2
1n232222
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 60
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
4. จงเขยนทศนยมซ าตอไปนใหอยในรปเศษสวน (1) 120. (4) 784.3
(2) 40160. (5) 0.07373… (3) 657.2 (6) 2.999…
5. จงหาคาของ x ทท าให 1 + x + x2 + x3 + ... + xn–1 + ... = 32
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 61
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
6. จงหาคาของ a1และ r เมอ a1 + a1r + a1r2 + a1r
3 + ... + a1rn–1 =
23 และ
a1 – a1r + a1r2 – a1r
3 + ... + (–1) n–1a1rn–1=
43
7. ถาลากสวนของเสนตรงเชอมจดกงกลางดานของรปสเหลยมจตรส จะไดรปสเหลยมจตรสใหม ดงรป (1) ถารปสเหลยมจตรสรปแรกมเสนรอบรปยาว 20 หนวย รปสเหลยมจตรสรปทสองมเสนรอบรปยาวเทาใด (2) ถากระบวนการเกดรปใหมของรปสเหลยมจตรสเกดขน อยางตอเนองไมสนสด ผลบวกของความยาวของ เสนรอบรปของรปสเหลยมจตรสทงหมดเปนเทาใด
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 62
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
8. รปสามเหลยมดานเทารปหนงมดานยาวดานละ 10 นว รปสามเหลยมดานเทารปทสองเกดจากการลากสวนของเสนตรงเชอมจดกงกลางดนทงสามของรปสามเหลยมดานเทารปแรกและรปสามเหลยมดานเทารปทสามเกดจากการลากสวนของเสนตรงเชอมจดกงกลางดานทงสามของรปสามเหลยมดานเทารปทสองและสรางรปสามเหลยมเชนน เรอย ๆ ไป จงหาผลบวกของความยาวของเสนรอบรปของรปสามเหลยมทงหมด ถากระบวนการนเกดอยางตอเนองไมสนสด 9. เรอไวกงเปนเครองเลนชนดหนงในสวนสนก จากจดซายสดถงจดขวาสดตามสวนโคงขณะแกวงยาว 75 เมตร
ถาการแกวงครงใหมจะสนลง โดยมระยะเปน 53 ของระยะเดม
อยากทราบวาหากไมมการหยดกะทนหน เรอไวกงจะแกวงไปมาตงแตเรมจากจดสงสดเปนระยะทางเทาใด
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 63
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
10. ถงบรรจสารพษซงเกบไวใตดนเพอใหยอยสลายตวเองเกดรอยราว จงท าใหสารพษแพรกระจายซมผานเนอดนออกไป ในเวลาหนงป สารพษดงกลาวแพรกระจายไปไดไกลเปนระยะทาง 1500 เมตร เมอสนปทสอง สารพษแพรตอไปไดอก 900 เมตร และเมอสนปทสาม สารพษแพรตอไปไดอก 540 เมตร (1) ถาอตราการแพรกระจายของสารพษดงกลาวเปนเชนนไปเรอย ๆ อยากทราบวา เมอสนปทสบ สารพษดงกลาวจะแพรไปไดไกลเทาใด (2) สารพาดงกลาวจะแพรกระจายไปไกลถงโรงเรยนซงตงอยหางจากจดฝงถงบรรจสารพษออกไป 4 กโลเมตร หรอไม จงอธบาย 11. นกเรยนคดวาวธการหาผลบวกของอนกรมอนนตแตละขอตอไปน ถกตองหรอไม จงอธบาย
(1) ให x = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + … จะได 2x = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + … = (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + …) – 1 = x – 1 ดงนน x = –1 นนคอ ผลบวกของอนกรม 1 + 2 + 4 + 8 + … + 2n–1 + … เทากบ –1 (2) ให S = 1 – 2 + 4 – 8 + 16 – 32 + 64 – ---------- (1) จะได 2S = 2 – 4 + 8 – 16 + 32 – 64 + … ---------- (2)
(1) + (2) จะได 3S = 1 นนคอ S =
ดงนน ผลบวกของอนกรม 1 – 2 + 4 – 8 + … + (–2)n–1 + … เทากบ
วชาคณตศาสตร (ค30205/ ค33291) ภาคเรยนท 1 ระดบชนมธยมศกษาปท 6
เรอง ล าดบอนนตและอนกรมอนนต (Infinite Sequence & Infinite Series) ห น า | 64
สอนโดย ครพบลย ชมสมบต กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร โรงเรยนสตรนนทบร
12. ก าหนดใหอนกรมเรขาคณตอนกรมหนงมพจนแรกเปน 160 และมอตราสวนรวมเปน 23 ถาผลบวกของ n
พจนแรกของอนกรมนเทากบ 2110 แลว จงหาวา n เทากบเทาใด 13. ผลบวกของพจนแรกและพจนทสองของอนกรมเรขาคณตเทากบ –3 และผลบวกของพจนท 5 กบพจนท 6
คอ 161
จงหาผลบวกของ 8 พจนแรกของอนกรมน