Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis
Nullstellen reeller Polynome
Christiane Sutter
Proseminar fur Lehramt
27.11.2006
Christiane Sutter Nullstellen reeller Polynome
Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis
Uberblick
Beschreibung von Losungswegen fur das Losen reellerPolynome bis zum Grad 4
Kurze Erlauterung der Problematik der Nullstellenbestimmungbei Polynomen mit Grad > 4 =⇒ Satz von Abel-Ruffini; Ideevon Galois
Einige Hinweise, wie die Lage von Nullstellen abgeschatztwerden kann und naherungsweise Bestimmung von Nullstellenin der Praxis
Christiane Sutter Nullstellen reeller Polynome
Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis
Uberblick
Beschreibung von Losungswegen fur das Losen reellerPolynome bis zum Grad 4
Kurze Erlauterung der Problematik der Nullstellenbestimmungbei Polynomen mit Grad > 4 =⇒ Satz von Abel-Ruffini; Ideevon Galois
Einige Hinweise, wie die Lage von Nullstellen abgeschatztwerden kann und naherungsweise Bestimmung von Nullstellenin der Praxis
Christiane Sutter Nullstellen reeller Polynome
Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis
Uberblick
Beschreibung von Losungswegen fur das Losen reellerPolynome bis zum Grad 4
Kurze Erlauterung der Problematik der Nullstellenbestimmungbei Polynomen mit Grad > 4 =⇒ Satz von Abel-Ruffini; Ideevon Galois
Einige Hinweise, wie die Lage von Nullstellen abgeschatztwerden kann und naherungsweise Bestimmung von Nullstellenin der Praxis
Christiane Sutter Nullstellen reeller Polynome
Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis
1 Einleitung
2 GrundbegriffeDefinition PolynomeFundamentalsatz der AlgebraDefinition NullstelleExistenz von Nullstellen
3 Polynome mit n ≤ 4Lineare PolynomeQuadratische PolynomeKubische PolynomePolynome mit n = 4
4 NS bei bel. Grad nSatz von Abel-RuffiniIdee von Galois
5 Nullstellen in der PraxisBisektionNewton-VerfahrenSekantenverfahrenHorner-Schema
Christiane Sutter Nullstellen reeller Polynome
Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis
Was sind reelle Polynome?
In der linearen Algebra definiert man Polynome als finite Folgen (d.h.alle bis auf endlich viele ai sind gleich Null).
Fur unsere folgenden Betrachtungen genugt jedoch:
Definition
p : C → C heißt Polynom vom Grad n ∈ N0 falls∀a0, . . . , an ∈ C : an 6= 0 ∧ ∀x ∈ C :
f(x) =n∑
i=0
ai · xi = anxn + an−1xn−1 + . . . + a2x
2 + a1x + a0
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Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis
Was sind reelle Polynome?
In der linearen Algebra definiert man Polynome als finite Folgen (d.h.alle bis auf endlich viele ai sind gleich Null).
Fur unsere folgenden Betrachtungen genugt jedoch:
Definition
p : C → C heißt Polynom vom Grad n ∈ N0 falls∀a0, . . . , an ∈ C : an 6= 0 ∧ ∀x ∈ C :
f(x) =n∑
i=0
ai · xi = anxn + an−1xn−1 + . . . + a2x
2 + a1x + a0
Christiane Sutter Nullstellen reeller Polynome
Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis
Was sind reelle Polynome?
f(x) =
n∑
i=0
ai · xi = anxn + an−1xn−1 + . . . + a2x
2 + a1x + a0
Dabei- bestimmt der hochste Exponent n den Polynomgrad von p.- bezeichnet man die Zahlen a0, ..., an als die Koeffizienten von p.- nennen wir p normiert, falls der Leitkoeffizient an = 1 ist.Polynome sind ”reell”, wenn die Koeffizienten a0, . . . , an ∈ R sind.Achtung! Polynome mit reellen Koeffizienten konnen auch komplexeNullstellen haben.
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Was sind reelle Polynome?
f(x) =
n∑
i=0
ai · xi = anxn + an−1xn−1 + . . . + a2x
2 + a1x + a0
Dabei- bestimmt der hochste Exponent n den Polynomgrad von p.- bezeichnet man die Zahlen a0, ..., an als die Koeffizienten von p.- nennen wir p normiert, falls der Leitkoeffizient an = 1 ist.Polynome sind ”reell”, wenn die Koeffizienten a0, . . . , an ∈ R sind.Achtung! Polynome mit reellen Koeffizienten konnen auch komplexeNullstellen haben.
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Was sind reelle Polynome?
f(x) =
n∑
i=0
ai · xi = anxn + an−1xn−1 + . . . + a2x
2 + a1x + a0
Dabei- bestimmt der hochste Exponent n den Polynomgrad von p.- bezeichnet man die Zahlen a0, ..., an als die Koeffizienten von p.- nennen wir p normiert, falls der Leitkoeffizient an = 1 ist.Polynome sind ”reell”, wenn die Koeffizienten a0, . . . , an ∈ R sind.Achtung! Polynome mit reellen Koeffizienten konnen auch komplexeNullstellen haben.
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Was sind reelle Polynome?
f(x) =
n∑
i=0
ai · xi = anxn + an−1xn−1 + . . . + a2x
2 + a1x + a0
Dabei- bestimmt der hochste Exponent n den Polynomgrad von p.- bezeichnet man die Zahlen a0, ..., an als die Koeffizienten von p.- nennen wir p normiert, falls der Leitkoeffizient an = 1 ist.Polynome sind ”reell”, wenn die Koeffizienten a0, . . . , an ∈ R sind.Achtung! Polynome mit reellen Koeffizienten konnen auch komplexeNullstellen haben.
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Was sind reelle Polynome?
f(x) =
n∑
i=0
ai · xi = anxn + an−1xn−1 + . . . + a2x
2 + a1x + a0
Dabei- bestimmt der hochste Exponent n den Polynomgrad von p.- bezeichnet man die Zahlen a0, ..., an als die Koeffizienten von p.- nennen wir p normiert, falls der Leitkoeffizient an = 1 ist.Polynome sind ”reell”, wenn die Koeffizienten a0, . . . , an ∈ R sind.Achtung! Polynome mit reellen Koeffizienten konnen auch komplexeNullstellen haben.
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Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis
Fundamentalsatz der Algebra
Hauptsatz der Algebra:
Sei p : C → C: Istp(x) =
∑n
k=0 ak · xk = anxn + an−1xn−1 + . . . + a2x
2 + a1x + a0 einkomplexes Polynom vom Grad n, so gibt es eindeutig bestimmte Zahlenx1, . . . , xn (die Nullstellen des Polynoms), so dassp(x) = an(x − xn)(x − xn−1) . . . (x − x2)(x − x1) gilt.
Die Anzahl der Nullstellen, wenn sie mit der richtigen Vielfachheitgezahlt werden, ist also insgesamt gleich dem Grad des Polynoms.
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Fundamentalsatz der Algebra
Hauptsatz der Algebra:
Sei p : C → C: Istp(x) =
∑n
k=0 ak · xk = anxn + an−1xn−1 + . . . + a2x
2 + a1x + a0 einkomplexes Polynom vom Grad n, so gibt es eindeutig bestimmte Zahlenx1, . . . , xn (die Nullstellen des Polynoms), so dassp(x) = an(x − xn)(x − xn−1) . . . (x − x2)(x − x1) gilt.
Die Anzahl der Nullstellen, wenn sie mit der richtigen Vielfachheitgezahlt werden, ist also insgesamt gleich dem Grad des Polynoms.
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Was ist eine Nullstelle?
Definition
Ein Element x0 ∈ C eines Polynoms p : C → C heißt Nullstelle von p,wenn p(x0) = 0 gilt.
Nach dem Hauptsatz der Algebra sind die Zahlen x1,. . .,xn dieNullstellen eines Polynoms.Von einfacher Nullstelle spricht man, wenn xi nur einmal in denLinearfaktoren (x − xi) auftritt. Eine mehrfache (k-fache) Nullstelle inxi ∈ C liegt vor, wenn der Linearfaktor (x − xi) k-mal auftritt.
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Was ist eine Nullstelle?
Definition
Ein Element x0 ∈ C eines Polynoms p : C → C heißt Nullstelle von p,wenn p(x0) = 0 gilt.
Nach dem Hauptsatz der Algebra sind die Zahlen x1,. . .,xn dieNullstellen eines Polynoms.Von einfacher Nullstelle spricht man, wenn xi nur einmal in denLinearfaktoren (x − xi) auftritt. Eine mehrfache (k-fache) Nullstelle inxi ∈ C liegt vor, wenn der Linearfaktor (x − xi) k-mal auftritt.
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Was ist eine Nullstelle?
Bei Polynomen mit reellen Koeffizienten treten echt komplexe Nullstellenstets als Paare komplex konjugierter Zahlen auf. Das heißt, ist λ = x + iyeine Nullstelle, so auch λ = x − iy.
Polynome geraden bzw. ungeraden Grades haben also stets geradebzw. ungerade viele reelle Nullstellen, wenn man jede Nullstelleentsprechend ihrer Vielfachheit zahlt.
Polynome ungeraden Grades uber den reellen Zahlen haben stetsmindestens eine reelle Nullstelle.
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Was ist eine Nullstelle?
Bei Polynomen mit reellen Koeffizienten treten echt komplexe Nullstellenstets als Paare komplex konjugierter Zahlen auf. Das heißt, ist λ = x + iyeine Nullstelle, so auch λ = x − iy.
Polynome geraden bzw. ungeraden Grades haben also stets geradebzw. ungerade viele reelle Nullstellen, wenn man jede Nullstelleentsprechend ihrer Vielfachheit zahlt.
Polynome ungeraden Grades uber den reellen Zahlen haben stetsmindestens eine reelle Nullstelle.
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Was ist eine Nullstelle?
Bei Polynomen mit reellen Koeffizienten treten echt komplexe Nullstellenstets als Paare komplex konjugierter Zahlen auf. Das heißt, ist λ = x + iyeine Nullstelle, so auch λ = x − iy.
Polynome geraden bzw. ungeraden Grades haben also stets geradebzw. ungerade viele reelle Nullstellen, wenn man jede Nullstelleentsprechend ihrer Vielfachheit zahlt.
Polynome ungeraden Grades uber den reellen Zahlen haben stetsmindestens eine reelle Nullstelle.
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Existenz von Nullstellen
Mit dem Zwischenwertsatz kann abgeschatzt werden, ob sich zwischenzwei Stellen a und b einer stetigen Funktion eine Nullstelle existiert:
Zwischenwertsatz von Bolzano:
Sei p : R ⊃ [a, b] → R stetig und γ ∈ R mitmin {f(x) : a ≤ x ≤ b} ≤ γ ≤ max {f(x) : a ≤ x ≤ b} . Dann gibt es(mindestens) ein x ∈ [a, b] mit f(x) = γ.
Haben f(a) und f(b) verschiedene Vorzeichen, so garantiert derZwischenwertsatz die Existenz einer Nullstelle von f im offenen Intervall(a,b).
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Polynome mit Grad n ≤ 4
Die Nullstellen von Polynomen ersten, zweiten, dritten und viertenGrades lassen sich mit Formeln explizit berechnen.Dagegen lassen sich Polynome hoheren Grades nur in Spezialfallen exaktfaktorisieren.
Hier soll nun also zunachst auf die ’einfachen’ Falle eingegangen werden.
Christiane Sutter Nullstellen reeller Polynome
Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis
Losung linearer Polynome
Lineare Polynome sind Polynome der Form p(x) = ax + b. Es sollp(x) = 0 sein. Daraus ergibt sich fur x die Losung:
L :=
{
x ∈ R|x = − b
a
}
, a, b ∈ R
Geometrische Beschreibung linearer Polynome bei p : R → R: Gerade, diedie x-Achse in EINEM Punkt schneidet.
–8
–6
–4
–2
2
4
6
–1 1 2 3 4x
Abbildung: 3x - 6
Christiane Sutter Nullstellen reeller Polynome
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Losung linearer Polynome
Lineare Polynome sind Polynome der Form p(x) = ax + b. Es sollp(x) = 0 sein. Daraus ergibt sich fur x die Losung:
L :=
{
x ∈ R|x = − b
a
}
, a, b ∈ R
Geometrische Beschreibung linearer Polynome bei p : R → R: Gerade, diedie x-Achse in EINEM Punkt schneidet.
–8
–6
–4
–2
2
4
6
–1 1 2 3 4x
Abbildung: 3x - 6
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Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis
Quadratische Polynome
Zur Losung einer quadratischen Gleichung (p(x) = ax2 + bx + c = 0)kann man folgende Losungsformel (”Mitternachtsformel”) benutzen:
x1,2 =−b ±
√b2 − 4ac
2a
Fur den Spezialfall eines normierten quadratischen Polynoms (d.h.a = 1 → p(x) = x2 + px + q) ergibt sich die sog. ”p-q-Formel”:
x1,2 = −p
2±√
(p
2
)2
− q = −p
2±√
p2
4− q
Jede quadratische Gleichung kann durch geeigneteAquivalenzumformungen in die Normalform gebracht werden → p = b
a,
q = ca
Christiane Sutter Nullstellen reeller Polynome
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Quadratische Polynome
Zur Losung einer quadratischen Gleichung (p(x) = ax2 + bx + c = 0)kann man folgende Losungsformel (”Mitternachtsformel”) benutzen:
x1,2 =−b ±
√b2 − 4ac
2a
Fur den Spezialfall eines normierten quadratischen Polynoms (d.h.a = 1 → p(x) = x2 + px + q) ergibt sich die sog. ”p-q-Formel”:
x1,2 = −p
2±√
(p
2
)2
− q = −p
2±√
p2
4− q
Jede quadratische Gleichung kann durch geeigneteAquivalenzumformungen in die Normalform gebracht werden → p = b
a,
q = ca
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Quadratische Polynome
Zur Losung einer quadratischen Gleichung (p(x) = ax2 + bx + c = 0)kann man folgende Losungsformel (”Mitternachtsformel”) benutzen:
x1,2 =−b ±
√b2 − 4ac
2a
Fur den Spezialfall eines normierten quadratischen Polynoms (d.h.a = 1 → p(x) = x2 + px + q) ergibt sich die sog. ”p-q-Formel”:
x1,2 = −p
2±√
(p
2
)2
− q = −p
2±√
p2
4− q
Jede quadratische Gleichung kann durch geeigneteAquivalenzumformungen in die Normalform gebracht werden → p = b
a,
q = ca
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Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis
Anzahl der Losungen quadratischer Gleichungen
Der Ausdruck unter der Wurzel (die Diskriminante D = b2 − 4ac)bestimmt fur eine Gleichung mit reellen Koeffizienten, wie vielereellwertige Losungen die Gleichung hat. Man unterscheidet drei Falle:
1 D > 0: Die Parabel (A) hat zwei Schnittpunkte mit der x-Achse, esgibt also zwei verschiedene reelle Nullstellen x1 und x2,
2 D = 0: Die Parabel (B) hat einen Beruhrpunkt mit der x-Achse, esist x1 = x2 (doppelte Nullstelle). Der Beruhrpunkt ist gleichzeitigauch ein Maximum (a < 0) bzw. Minimum (a > 0)
3 D < 0, Die Parabel (C) hat keinen Schnittpunkt mit der x-Achse, esgibt keine reelle Losung der quadratischen Gleichung, wohl aberkomplexe.
ABC
Legend
–3–2–10
12345
y
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4x
Christiane Sutter Nullstellen reeller Polynome
Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis
Anzahl der Losungen quadratischer Gleichungen
Der Ausdruck unter der Wurzel (die Diskriminante D = b2 − 4ac)bestimmt fur eine Gleichung mit reellen Koeffizienten, wie vielereellwertige Losungen die Gleichung hat. Man unterscheidet drei Falle:
1 D > 0: Die Parabel (A) hat zwei Schnittpunkte mit der x-Achse, esgibt also zwei verschiedene reelle Nullstellen x1 und x2,
2 D = 0: Die Parabel (B) hat einen Beruhrpunkt mit der x-Achse, esist x1 = x2 (doppelte Nullstelle). Der Beruhrpunkt ist gleichzeitigauch ein Maximum (a < 0) bzw. Minimum (a > 0)
3 D < 0, Die Parabel (C) hat keinen Schnittpunkt mit der x-Achse, esgibt keine reelle Losung der quadratischen Gleichung, wohl aberkomplexe.
ABC
Legend
–3–2–10
12345
y
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4x
Christiane Sutter Nullstellen reeller Polynome
Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis
Anzahl der Losungen quadratischer Gleichungen
Der Ausdruck unter der Wurzel (die Diskriminante D = b2 − 4ac)bestimmt fur eine Gleichung mit reellen Koeffizienten, wie vielereellwertige Losungen die Gleichung hat. Man unterscheidet drei Falle:
1 D > 0: Die Parabel (A) hat zwei Schnittpunkte mit der x-Achse, esgibt also zwei verschiedene reelle Nullstellen x1 und x2,
2 D = 0: Die Parabel (B) hat einen Beruhrpunkt mit der x-Achse, esist x1 = x2 (doppelte Nullstelle). Der Beruhrpunkt ist gleichzeitigauch ein Maximum (a < 0) bzw. Minimum (a > 0)
3 D < 0, Die Parabel (C) hat keinen Schnittpunkt mit der x-Achse, esgibt keine reelle Losung der quadratischen Gleichung, wohl aberkomplexe.
ABC
Legend
–3–2–10
12345
y
–4 –3 –2 –1 1 2 3 4x
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Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis
Herleitung der Formeln
Zur Herleitung der Losungsformeln benutzt man die Quadratische Erganzung:
x2 + p · x + q = 0 −q
x2 + p · x = −q +`
p
2
´2Quadrat der Halfte des lin. Gliedes add.
x2 + p · +`
p
2
´2=
`
p
2
´2 − q () Mit binom. Formel zusammenfassen`
x + p
2
´2=
`
p
2
´2 − q√
Wurzel ziehen
x + p
2= ±
q
`
p
2
´2 − q
Auf die Mitternachtsformel kommt man von hier, indem man p = b
aund q = c
a
verwendet:
x1,2 = − p
2±
q
p2
4− q p, q ersetzen durch s.o.
= − 12
b
a±
q
14
b2
a2 − c
a12a
ausklammern
= 12a
· (−b) ±q
14a2 (b2 − 4ac) auf einen Bruchstrich schreiben
=−b±
√b2−4ac
2a
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Herleitung der Formeln
Zur Herleitung der Losungsformeln benutzt man die Quadratische Erganzung:
x2 + p · x + q = 0 −q
x2 + p · x = −q +`
p
2
´2Quadrat der Halfte des lin. Gliedes add.
x2 + p · +`
p
2
´2=
`
p
2
´2 − q () Mit binom. Formel zusammenfassen`
x + p
2
´2=
`
p
2
´2 − q√
Wurzel ziehen
x + p
2= ±
q
`
p
2
´2 − q
Auf die Mitternachtsformel kommt man von hier, indem man p = b
aund q = c
a
verwendet:
x1,2 = − p
2±
q
p2
4− q p, q ersetzen durch s.o.
= − 12
b
a±
q
14
b2
a2 − c
a12a
ausklammern
= 12a
· (−b) ±q
14a2 (b2 − 4ac) auf einen Bruchstrich schreiben
=−b±
√b2−4ac
2a
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Herleitung der Formeln
Zur Herleitung der Losungsformeln benutzt man die Quadratische Erganzung:
x2 + p · x + q = 0 −q
x2 + p · x = −q +`
p
2
´2Quadrat der Halfte des lin. Gliedes add.
x2 + p · +`
p
2
´2=
`
p
2
´2 − q () Mit binom. Formel zusammenfassen`
x + p
2
´2=
`
p
2
´2 − q√
Wurzel ziehen
x + p
2= ±
q
`
p
2
´2 − q
Auf die Mitternachtsformel kommt man von hier, indem man p = b
aund q = c
a
verwendet:
x1,2 = − p
2±
q
p2
4− q p, q ersetzen durch s.o.
= − 12
b
a±
q
14
b2
a2 − c
a12a
ausklammern
= 12a
· (−b) ±q
14a2 (b2 − 4ac) auf einen Bruchstrich schreiben
=−b±
√b2−4ac
2a
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Herleitung der Formeln
Zur Herleitung der Losungsformeln benutzt man die Quadratische Erganzung:
x2 + p · x + q = 0 −q
x2 + p · x = −q +`
p
2
´2Quadrat der Halfte des lin. Gliedes add.
x2 + p · +`
p
2
´2=
`
p
2
´2 − q () Mit binom. Formel zusammenfassen`
x + p
2
´2=
`
p
2
´2 − q√
Wurzel ziehen
x + p
2= ±
q
`
p
2
´2 − q
Auf die Mitternachtsformel kommt man von hier, indem man p = b
aund q = c
a
verwendet:
x1,2 = − p
2±
q
p2
4− q p, q ersetzen durch s.o.
= − 12
b
a±
q
14
b2
a2 − c
a12a
ausklammern
= 12a
· (−b) ±q
14a2 (b2 − 4ac) auf einen Bruchstrich schreiben
=−b±
√b2−4ac
2a
Christiane Sutter Nullstellen reeller Polynome
Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis
Geometrische Losung mit Satz von Vieta
Quadratische Gleichungen besitzen eine wichtige Eigenschaft:
x1 + x2 = −p und x1x2 = q
Man bezeichnet dies als die Satzgruppe von Vieta nach der latinisiertenForm von Francois Viete, einem franz. Mathematiker (1540 - 1603).
Diese Eigenschaft kann man nutzen, um die Losung quadratischerGleichungen geometrisch zu bestimmmen. Fur den Fall 0 ≤ q ≤
(
p2
)
giltnamlich mit Hilfe des Hohensatzes:
Abbildung: Losungen nach Satz von VietaChristiane Sutter Nullstellen reeller Polynome
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Geometrische Losung mit Satz von Vieta
Quadratische Gleichungen besitzen eine wichtige Eigenschaft:
x1 + x2 = −p und x1x2 = q
Man bezeichnet dies als die Satzgruppe von Vieta nach der latinisiertenForm von Francois Viete, einem franz. Mathematiker (1540 - 1603).
Diese Eigenschaft kann man nutzen, um die Losung quadratischerGleichungen geometrisch zu bestimmmen. Fur den Fall 0 ≤ q ≤
(
p2
)
giltnamlich mit Hilfe des Hohensatzes:
Abbildung: Losungen nach Satz von VietaChristiane Sutter Nullstellen reeller Polynome
Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis
Geometrische Losung mit Satz von Vieta
Quadratische Gleichungen besitzen eine wichtige Eigenschaft:
x1 + x2 = −p und x1x2 = q
Man bezeichnet dies als die Satzgruppe von Vieta nach der latinisiertenForm von Francois Viete, einem franz. Mathematiker (1540 - 1603).
Diese Eigenschaft kann man nutzen, um die Losung quadratischerGleichungen geometrisch zu bestimmmen. Fur den Fall 0 ≤ q ≤
(
p2
)
giltnamlich mit Hilfe des Hohensatzes:
Abbildung: Losungen nach Satz von VietaChristiane Sutter Nullstellen reeller Polynome
Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis
Kubische Polynome
Kubische Polynome sind Polynome dritten Grades.
Geometrisch beschreibt die reelle Variante der kubischen Gleichung einekubische Parabel in der x-y-Ebene, die immer von −∞ . . . + ∞ (a > 0)bzw. von +∞ . . . −∞ (a < 0) lauft.Deshalb muss es stets mindestens einen Schnittpunkt mit der x-Achsegeben, d.h. mindestens eine reelle Nullstelle.
Losungsformeln zu kubischen Polynomen wurden erstmals 1545 vonGirolamo Cardano (1501-1576) in seinem Buch Ars magna
veroffentlicht.
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Kubische Polynome
Kubische Polynome sind Polynome dritten Grades.
Geometrisch beschreibt die reelle Variante der kubischen Gleichung einekubische Parabel in der x-y-Ebene, die immer von −∞ . . . + ∞ (a > 0)bzw. von +∞ . . . −∞ (a < 0) lauft.Deshalb muss es stets mindestens einen Schnittpunkt mit der x-Achsegeben, d.h. mindestens eine reelle Nullstelle.
Losungsformeln zu kubischen Polynomen wurden erstmals 1545 vonGirolamo Cardano (1501-1576) in seinem Buch Ars magna
veroffentlicht.
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Kubische Polynome
Kubische Polynome sind Polynome dritten Grades.
Geometrisch beschreibt die reelle Variante der kubischen Gleichung einekubische Parabel in der x-y-Ebene, die immer von −∞ . . . + ∞ (a > 0)bzw. von +∞ . . . −∞ (a < 0) lauft.Deshalb muss es stets mindestens einen Schnittpunkt mit der x-Achsegeben, d.h. mindestens eine reelle Nullstelle.
Losungsformeln zu kubischen Polynomen wurden erstmals 1545 vonGirolamo Cardano (1501-1576) in seinem Buch Ars magna
veroffentlicht.
Christiane Sutter Nullstellen reeller Polynome
Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis
Losung reduzierter kubischer Polynome
Die Losung der kubischen Gleichung stutzt sich auf die kubischeBinomialformel
(u + v)3 = 3uv(u + v) + (u3 + v3),
die Cardano mit geometrischen Mitteln herleiten konnte.
Die Gleichung kann interpretiert werden als kubische Gleichungx3 + px + q = 0, wenn die folgenden Bedingungen erfullt sind:
u + v = x
3uv = −p
u3 + v3 = −q
Christiane Sutter Nullstellen reeller Polynome
Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis
Losung reduzierter kubischer Polynome
Damit die genannte Gleichung gelost werden kann, sind also geeigneteGroßen u und v zu finden.Da wir sowohl das Produkt als auch die Summe der beiden Großen u3
und v3 kennen, konnen wir sie mithilfe des Satzes von Vieta als diebeiden Losungen der quadratischen Gleichung
w2 + qw −(p
3
)3
= 0
berechnen.
Zur Verdeutlichung:
x1 + x2 = -p u3 + v3 = -q
x1x2 = q u3v3 = (-p/3)3
x2 + p x + q = 0 0 = w2 + q w - (p/3)3
Christiane Sutter Nullstellen reeller Polynome
Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis
Losung reduzierter kubischer Polynome
Damit die genannte Gleichung gelost werden kann, sind also geeigneteGroßen u und v zu finden.Da wir sowohl das Produkt als auch die Summe der beiden Großen u3
und v3 kennen, konnen wir sie mithilfe des Satzes von Vieta als diebeiden Losungen der quadratischen Gleichung
w2 + qw −(p
3
)3
= 0
berechnen.
Zur Verdeutlichung:
x1 + x2 = -p u3 + v3 = -q
x1x2 = q u3v3 = (-p/3)3
x2 + p x + q = 0 0 = w2 + q w - (p/3)3
Christiane Sutter Nullstellen reeller Polynome
Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis
Losung reduzierter kubischer Polynome
Damit die genannte Gleichung gelost werden kann, sind also geeigneteGroßen u und v zu finden.Da wir sowohl das Produkt als auch die Summe der beiden Großen u3
und v3 kennen, konnen wir sie mithilfe des Satzes von Vieta als diebeiden Losungen der quadratischen Gleichung
w2 + qw −(p
3
)3
= 0
berechnen.
Zur Verdeutlichung:
x1 + x2 = -p u3 + v3 = -q
x1x2 = q u3v3 = (-p/3)3
x2 + p x + q = 0 0 = w2 + q w - (p/3)3
Christiane Sutter Nullstellen reeller Polynome
Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis
Losung reduzierter kubischer Polynome
Dies fuhrt mit der p-q-Formel zu den beiden Werten:
u =3
√
−q
2+
√
(q
2
)2
+(p
3
)3
und v =3
√
−q
2−√
(q
2
)2
+(p
3
)3
Fur die gesuchte Losung x = u + v der kubischen Gleichung
x3 + px + q = 0 erhalt man die so genannte Cardanosche Formel
x =3
√
−q
2+
√
(q
2
)2
+(p
3
)3
+3
√
−q
2−√
(q
2
)2
+(p
3
)3
Christiane Sutter Nullstellen reeller Polynome
Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis
Losung reduzierter kubischer Polynome
Dies fuhrt mit der p-q-Formel zu den beiden Werten:
u =3
√
−q
2+
√
(q
2
)2
+(p
3
)3
und v =3
√
−q
2−√
(q
2
)2
+(p
3
)3
Fur die gesuchte Losung x = u + v der kubischen Gleichung
x3 + px + q = 0 erhalt man die so genannte Cardanosche Formel
x =3
√
−q
2+
√
(q
2
)2
+(p
3
)3
+3
√
−q
2−√
(q
2
)2
+(p
3
)3
Christiane Sutter Nullstellen reeller Polynome
Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis
Cardanos Losungsweg fur den allgemeinen kubischen Fall
Wie aber lost man nun den allgemeinen Fall x3 + ax2 + bx + c = 0?
Cardano loste das Problem, indem er ein allgemein anwendbaresVerfahren benutzte, um das quadratische Glied zu eliminieren.
Zunachst wird zur gesuchten Losung x der Summand a/3 addiert:
x3 + ax2 = x3 + ax2 +a2
3+
a3
27− a2
3x− a3
27=(
x +a
3
)3
− a2
3x− 1
27a3
=(
x +a
3
)3
− a2
3
(
x +a
3
)
+2
27a3
Anschließend Substitution der Unbekannten x innerhalb der gesamtenGleichung durch x = y − a
3
Christiane Sutter Nullstellen reeller Polynome
Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis
Cardanos Losungsweg fur den allgemeinen kubischen Fall
Wie aber lost man nun den allgemeinen Fall x3 + ax2 + bx + c = 0?
Cardano loste das Problem, indem er ein allgemein anwendbaresVerfahren benutzte, um das quadratische Glied zu eliminieren.
Zunachst wird zur gesuchten Losung x der Summand a/3 addiert:
x3 + ax2 = x3 + ax2 +a2
3+
a3
27− a2
3x− a3
27=(
x +a
3
)3
− a2
3x− 1
27a3
=(
x +a
3
)3
− a2
3
(
x +a
3
)
+2
27a3
Anschließend Substitution der Unbekannten x innerhalb der gesamtenGleichung durch x = y − a
3
Christiane Sutter Nullstellen reeller Polynome
Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis
Cardanos Losungsweg fur den allgemeinen kubischen Fall
Wie aber lost man nun den allgemeinen Fall x3 + ax2 + bx + c = 0?
Cardano loste das Problem, indem er ein allgemein anwendbaresVerfahren benutzte, um das quadratische Glied zu eliminieren.
Zunachst wird zur gesuchten Losung x der Summand a/3 addiert:
x3 + ax2 = x3 + ax2 +a2
3+
a3
27− a2
3x− a3
27=(
x +a
3
)3
− a2
3x− 1
27a3
=(
x +a
3
)3
− a2
3
(
x +a
3
)
+2
27a3
Anschließend Substitution der Unbekannten x innerhalb der gesamtenGleichung durch x = y − a
3
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Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis
Cardanos Losungsweg fur den allgemeinen kubischen Fall
Wie aber lost man nun den allgemeinen Fall x3 + ax2 + bx + c = 0?
Cardano loste das Problem, indem er ein allgemein anwendbaresVerfahren benutzte, um das quadratische Glied zu eliminieren.
Zunachst wird zur gesuchten Losung x der Summand a/3 addiert:
x3 + ax2 = x3 + ax2 +a2
3+
a3
27− a2
3x− a3
27=(
x +a
3
)3
− a2
3x− 1
27a3
=(
x +a
3
)3
− a2
3
(
x +a
3
)
+2
27a3
Anschließend Substitution der Unbekannten x innerhalb der gesamtenGleichung durch x = y − a
3
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Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis
Cardanos Losungsweg fur den allgemeinen kubischen Fall
Nachdem man die Terme nach Potenzen von y sortiert hat, erhalt mandie Identitat
x3 + ax2 + bx + c = y3 + py + q
mit p = − 13a2 + b und q = 2
27a3 − 13ab + c
Die Losung fur y erhalt man mittels der Cardanoschen Formel. Dieurspungliche Gleichung kann dann mit der Transformation x = y - a/3gelost werden.Im allgemeinen Fall ergibt sich also:
x =3
√
√
√
√
√−227a3 − 1
3ab + c
2+
√
√
√
√
(
227a3 − 1
3ab + c
2
)2
+
(
− 13a2 + b
3
)3
+3
√
√
√
√
√−227a3 − 1
3ab + c
2−
√
√
√
√
(
227a3 − 1
3ab + c
2
)2
+
(
− 13a2 + b
3
)3
− a
3
Christiane Sutter Nullstellen reeller Polynome
Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis
Cardanos Losungsweg fur den allgemeinen kubischen Fall
Nachdem man die Terme nach Potenzen von y sortiert hat, erhalt mandie Identitat
x3 + ax2 + bx + c = y3 + py + q
mit p = − 13a2 + b und q = 2
27a3 − 13ab + c
Die Losung fur y erhalt man mittels der Cardanoschen Formel. Dieurspungliche Gleichung kann dann mit der Transformation x = y - a/3gelost werden.Im allgemeinen Fall ergibt sich also:
x =3
√
√
√
√
√−227a3 − 1
3ab + c
2+
√
√
√
√
(
227a3 − 1
3ab + c
2
)2
+
(
− 13a2 + b
3
)3
+3
√
√
√
√
√−227a3 − 1
3ab + c
2−
√
√
√
√
(
227a3 − 1
3ab + c
2
)2
+
(
− 13a2 + b
3
)3
− a
3
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Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis
Cardanos Losungsweg fur den allgemeinen kubischen Fall
Nachdem man die Terme nach Potenzen von y sortiert hat, erhalt mandie Identitat
x3 + ax2 + bx + c = y3 + py + q
mit p = − 13a2 + b und q = 2
27a3 − 13ab + c
Die Losung fur y erhalt man mittels der Cardanoschen Formel. Dieurspungliche Gleichung kann dann mit der Transformation x = y - a/3gelost werden.Im allgemeinen Fall ergibt sich also:
x =3
√
√
√
√
√−227a3 − 1
3ab + c
2+
√
√
√
√
(
227a3 − 1
3ab + c
2
)2
+
(
− 13a2 + b
3
)3
+3
√
√
√
√
√−227a3 − 1
3ab + c
2−
√
√
√
√
(
227a3 − 1
3ab + c
2
)2
+
(
− 13a2 + b
3
)3
− a
3
Christiane Sutter Nullstellen reeller Polynome
Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis
Art der Losungen kubischer Gleichungen
In Abhangigkeit vom Vorzeichen der Diskriminante D = 4p3 + 27q2 hatdas kubische Polynom x3 + px + q fur
D > 0 eine reelle und zwei komplexe Nullstellen (A)
D < 0 drei reelle Nullstellen (B).
D = 0 eine dreifache reelle Nullstelle falls p = q = 0 (C) einezweifache und eine einfache reelle Nullstelle falls 4p3 = −27p2 6= 0(D)
Christiane Sutter Nullstellen reeller Polynome
Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis
Art der Losungen kubischer Gleichungen
In Abhangigkeit vom Vorzeichen der Diskriminante D = 4p3 + 27q2 hatdas kubische Polynom x3 + px + q fur
D > 0 eine reelle und zwei komplexe Nullstellen (A)
D < 0 drei reelle Nullstellen (B).
D = 0 eine dreifache reelle Nullstelle falls p = q = 0 (C) einezweifache und eine einfache reelle Nullstelle falls 4p3 = −27p2 6= 0(D)
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Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis
Art der Losungen kubischer Gleichungen
In Abhangigkeit vom Vorzeichen der Diskriminante D = 4p3 + 27q2 hatdas kubische Polynom x3 + px + q fur
D > 0 eine reelle und zwei komplexe Nullstellen (A)
D < 0 drei reelle Nullstellen (B).
D = 0 eine dreifache reelle Nullstelle falls p = q = 0 (C) einezweifache und eine einfache reelle Nullstelle falls 4p3 = −27p2 6= 0(D)
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Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis
Art der Losungen kubischer Gleichungen
(A) D > 0 eine reelle und 2 kompl. NS; (B) D < 0 drei reelle NS; (C)D = 0 eine 3-fache reelle NS falls p = q = 0 oder (D) eine 2-fache undeine 1-fache reelle NS falls 4p3 = −27q2 6= 0,
Christiane Sutter Nullstellen reeller Polynome
Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis
Casus irreducibilis
Ein besonderer Fall ist D < 0: Bei der Bestimmung der drei reellenLosungen mit der obigen Formel muss mit ”negativen Wurzeln”gerechnetwerden. Deshalb wird dieser Fall casus irreducibilis genannt. Als Cardanodiese Rechnung ausfuhrte, war das sozusagen die Geburtsstunde derkomplexen Zahlen.
Christiane Sutter Nullstellen reeller Polynome
Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis
Quartische u. biquadratische Gleichungen
Quartische Gleichungen:Eine polynomiale Gleichung 4. Grades (auch quartische Gleichunggenannt) hat die Form:
Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E = 0.
Biquadratische Gleichungen:Ist B = 0 und D = 0, dann lasst sich die Gleichung durch Substitutionauf eine quadratische Gleichung zuruckfuhren. Diese Spezialform wirdmanchmal in Lehrbuchern als biquadratische Gleichung bezeichnet.
Aber: Man findet diese Bezeichnung oft auch fur die allgemeine Form derGleichung 4. Grades! Dies ist darauf zuruckzufuhren, dass sich mit Hilfedes Fundamentalsatzes der Algebra alle quartischen Gleichungen alsProdukt zweier quadratischer Terme schreiben lassen.
Christiane Sutter Nullstellen reeller Polynome
Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis
Quartische u. biquadratische Gleichungen
Quartische Gleichungen:Eine polynomiale Gleichung 4. Grades (auch quartische Gleichunggenannt) hat die Form:
Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E = 0.
Biquadratische Gleichungen:Ist B = 0 und D = 0, dann lasst sich die Gleichung durch Substitutionauf eine quadratische Gleichung zuruckfuhren. Diese Spezialform wirdmanchmal in Lehrbuchern als biquadratische Gleichung bezeichnet.
Aber: Man findet diese Bezeichnung oft auch fur die allgemeine Form derGleichung 4. Grades! Dies ist darauf zuruckzufuhren, dass sich mit Hilfedes Fundamentalsatzes der Algebra alle quartischen Gleichungen alsProdukt zweier quadratischer Terme schreiben lassen.
Christiane Sutter Nullstellen reeller Polynome
Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis
Quartische u. biquadratische Gleichungen
Quartische Gleichungen:Eine polynomiale Gleichung 4. Grades (auch quartische Gleichunggenannt) hat die Form:
Ax4 + Bx3 + Cx2 + Dx + E = 0.
Biquadratische Gleichungen:Ist B = 0 und D = 0, dann lasst sich die Gleichung durch Substitutionauf eine quadratische Gleichung zuruckfuhren. Diese Spezialform wirdmanchmal in Lehrbuchern als biquadratische Gleichung bezeichnet.
Aber: Man findet diese Bezeichnung oft auch fur die allgemeine Form derGleichung 4. Grades! Dies ist darauf zuruckzufuhren, dass sich mit Hilfedes Fundamentalsatzes der Algebra alle quartischen Gleichungen alsProdukt zweier quadratischer Terme schreiben lassen.
Christiane Sutter Nullstellen reeller Polynome
Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis
Losung der reduzierten Form quart. Gleichungen
Außer fur Gleichungen dritten Grades veroffentlichte Cardano in seinerArs magna auch eine allgemeine Losungsformel fur Gleichungen viertenGrades. Er hat sich dabei des Wissens seines Schulers Ludovico Ferrari(1522-1569) bedient.Quartische Gleichungen der Form
x4 + px2 + qx + r = 0
lassen sich so umformen, dass auf beiden Seiten ein Quadrat entsteht.Man addiert dazu unter Verwendung eines noch geeignet auszuwahlendenWertes z auf beiden Seiten der Gleichung 2zx2 + z2 und erhalt dadurch
x4 + 2zx2 + z2 = (2z − p)x2 − qx + (z2 − r).
Auf der linken Seite haben wir bereits: (x2 + z)2. Wie muss p auf derrechts gewahlt werden?
2√
2z − p√
z2 − r = −q
Christiane Sutter Nullstellen reeller Polynome
Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis
Losung der reduzierten Form quart. Gleichungen
Außer fur Gleichungen dritten Grades veroffentlichte Cardano in seinerArs magna auch eine allgemeine Losungsformel fur Gleichungen viertenGrades. Er hat sich dabei des Wissens seines Schulers Ludovico Ferrari(1522-1569) bedient.Quartische Gleichungen der Form
x4 + px2 + qx + r = 0
lassen sich so umformen, dass auf beiden Seiten ein Quadrat entsteht.Man addiert dazu unter Verwendung eines noch geeignet auszuwahlendenWertes z auf beiden Seiten der Gleichung 2zx2 + z2 und erhalt dadurch
x4 + 2zx2 + z2 = (2z − p)x2 − qx + (z2 − r).
Auf der linken Seite haben wir bereits: (x2 + z)2. Wie muss p auf derrechts gewahlt werden?
2√
2z − p√
z2 − r = −q
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Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis
Losung der reduzierten Form quart. Gleichungen
Außer fur Gleichungen dritten Grades veroffentlichte Cardano in seinerArs magna auch eine allgemeine Losungsformel fur Gleichungen viertenGrades. Er hat sich dabei des Wissens seines Schulers Ludovico Ferrari(1522-1569) bedient.Quartische Gleichungen der Form
x4 + px2 + qx + r = 0
lassen sich so umformen, dass auf beiden Seiten ein Quadrat entsteht.Man addiert dazu unter Verwendung eines noch geeignet auszuwahlendenWertes z auf beiden Seiten der Gleichung 2zx2 + z2 und erhalt dadurch
x4 + 2zx2 + z2 = (2z − p)x2 − qx + (z2 − r).
Auf der linken Seite haben wir bereits: (x2 + z)2. Wie muss p auf derrechts gewahlt werden?
2√
2z − p√
z2 − r = −q
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Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis
Losung der reduzierten Form quart. Gleichungen
Außer fur Gleichungen dritten Grades veroffentlichte Cardano in seinerArs magna auch eine allgemeine Losungsformel fur Gleichungen viertenGrades. Er hat sich dabei des Wissens seines Schulers Ludovico Ferrari(1522-1569) bedient.Quartische Gleichungen der Form
x4 + px2 + qx + r = 0
lassen sich so umformen, dass auf beiden Seiten ein Quadrat entsteht.Man addiert dazu unter Verwendung eines noch geeignet auszuwahlendenWertes z auf beiden Seiten der Gleichung 2zx2 + z2 und erhalt dadurch
x4 + 2zx2 + z2 = (2z − p)x2 − qx + (z2 − r).
Auf der linken Seite haben wir bereits: (x2 + z)2. Wie muss p auf derrechts gewahlt werden?
2√
2z − p√
z2 − r = −q
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Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis
Losung der reduzierten Form quart. Gleichungen
Außer fur Gleichungen dritten Grades veroffentlichte Cardano in seinerArs magna auch eine allgemeine Losungsformel fur Gleichungen viertenGrades. Er hat sich dabei des Wissens seines Schulers Ludovico Ferrari(1522-1569) bedient.Quartische Gleichungen der Form
x4 + px2 + qx + r = 0
lassen sich so umformen, dass auf beiden Seiten ein Quadrat entsteht.Man addiert dazu unter Verwendung eines noch geeignet auszuwahlendenWertes z auf beiden Seiten der Gleichung 2zx2 + z2 und erhalt dadurch
x4 + 2zx2 + z2 = (2z − p)x2 − qx + (z2 − r).
Auf der linken Seite haben wir bereits: (x2 + z)2. Wie muss p auf derrechts gewahlt werden?
2√
2z − p√
z2 − r = −q
Christiane Sutter Nullstellen reeller Polynome
Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis
Losung der reduzierten Form quart. Gleichungen
Durch beidseitiges Quadrieren, Ausmultiplizieren und Umformen dieserBedingung erhalt man schließlich eine kubische Gleichung der Form
z3 − p
2z2 − rz +
pr
2− q2
8= 0,
mit der durch die Cardanosche Formel bestimmbare Losung z.z =3
q
1216
p3−
16pr + 1
16q2 + 1
144
p
−48p4r + 12p3q2 + 384p2r2− 432prq2 + 81q4
− 768r3+
3q
1216
p3−
16pr + 1
16q2
−
1144
p
−48p4r + 12p3q2 + 384p2r2− 432prq2 + 81q4
− 768r3+16p
Losungen fur x erhalt man, wenn man die zu beidseitigen Quadratenumgeformte Gleichung verwendet:
(x2 + z)2 = (2z − p)x2 + (z2 − r)
Beidseitiges Wurzelziehen und Umformen fuhrt zu der quadratischen Gleichung
x2 ±
“
p
2z − px +p
z2 − r”
+ z = 0
Christiane Sutter Nullstellen reeller Polynome
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Losung der reduzierten Form quart. Gleichungen
Durch beidseitiges Quadrieren, Ausmultiplizieren und Umformen dieserBedingung erhalt man schließlich eine kubische Gleichung der Form
z3 − p
2z2 − rz +
pr
2− q2
8= 0,
mit der durch die Cardanosche Formel bestimmbare Losung z.z =3
q
1216
p3−
16pr + 1
16q2 + 1
144
p
−48p4r + 12p3q2 + 384p2r2− 432prq2 + 81q4
− 768r3+
3q
1216
p3−
16pr + 1
16q2
−
1144
p
−48p4r + 12p3q2 + 384p2r2− 432prq2 + 81q4
− 768r3+16p
Losungen fur x erhalt man, wenn man die zu beidseitigen Quadratenumgeformte Gleichung verwendet:
(x2 + z)2 = (2z − p)x2 + (z2 − r)
Beidseitiges Wurzelziehen und Umformen fuhrt zu der quadratischen Gleichung
x2 ±
“
p
2z − px +p
z2 − r”
+ z = 0
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Losung der reduzierten Form quart. Gleichungen
Durch beidseitiges Quadrieren, Ausmultiplizieren und Umformen dieserBedingung erhalt man schließlich eine kubische Gleichung der Form
z3 − p
2z2 − rz +
pr
2− q2
8= 0,
mit der durch die Cardanosche Formel bestimmbare Losung z.z =3
q
1216
p3−
16pr + 1
16q2 + 1
144
p
−48p4r + 12p3q2 + 384p2r2− 432prq2 + 81q4
− 768r3+
3q
1216
p3−
16pr + 1
16q2
−
1144
p
−48p4r + 12p3q2 + 384p2r2− 432prq2 + 81q4
− 768r3+16p
Losungen fur x erhalt man, wenn man die zu beidseitigen Quadratenumgeformte Gleichung verwendet:
(x2 + z)2 = (2z − p)x2 + (z2 − r)
Beidseitiges Wurzelziehen und Umformen fuhrt zu der quadratischen Gleichung
x2 ±
“
p
2z − px +p
z2 − r”
+ z = 0
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Losung der reduzierten Form quart. Gleichungen
Durch beidseitiges Quadrieren, Ausmultiplizieren und Umformen dieserBedingung erhalt man schließlich eine kubische Gleichung der Form
z3 − p
2z2 − rz +
pr
2− q2
8= 0,
mit der durch die Cardanosche Formel bestimmbare Losung z.z =3
q
1216
p3−
16pr + 1
16q2 + 1
144
p
−48p4r + 12p3q2 + 384p2r2− 432prq2 + 81q4
− 768r3+
3q
1216
p3−
16pr + 1
16q2
−
1144
p
−48p4r + 12p3q2 + 384p2r2− 432prq2 + 81q4
− 768r3+16p
Losungen fur x erhalt man, wenn man die zu beidseitigen Quadratenumgeformte Gleichung verwendet:
(x2 + z)2 = (2z − p)x2 + (z2 − r)
Beidseitiges Wurzelziehen und Umformen fuhrt zu der quadratischen Gleichung
x2 ±
“
p
2z − px +p
z2 − r”
+ z = 0
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Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis
Losung der reduzierten Form quart. Gleichungen
Wegen den Vorzeichenvarianten erhalt man mithilfe der p-q-Formel vierLosungen:
x1,2 =1
2
√
2z − p ±√
−1
2z − 1
4p +
√
z2 − r
x3,4 = −1
2
√
2z − p ±√
−1
2z − 1
4p −
√
z2 − r
Darstellung der Losung nur in Abhangigkeit von p, q, r siehe Maplex1x2x3x4allgemein.mws
Christiane Sutter Nullstellen reeller Polynome
Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis
Quartischer Fall (Allgemein)
Bisher haben wir keine quartischen Gleichungen behandelt, bei denen dieUnbekannte x in der dritten Potenz auftaucht.
Wie kann also eine allgemeine Gleichung der Formx4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0 in eine Gleichung der reduzierten Formy4 + py2 + qy + r = 0 transformiert werden?
Man substituiert die Unbekannte x durch
x = y − a
4,
wobei sich die entstehenden Terme zur Potenz y3 gegenseitig aufheben:
x4 + ax3 + bx2 + cx + d = y4 + py2 + qy + r
Dabei sind die Koeffizienten der reduzierten Gleichung mittelspolynomialer Ausdrucke berechenbar.
Christiane Sutter Nullstellen reeller Polynome
Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis
Quartischer Fall (Allgemein)
Bisher haben wir keine quartischen Gleichungen behandelt, bei denen dieUnbekannte x in der dritten Potenz auftaucht.
Wie kann also eine allgemeine Gleichung der Formx4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0 in eine Gleichung der reduzierten Formy4 + py2 + qy + r = 0 transformiert werden?
Man substituiert die Unbekannte x durch
x = y − a
4,
wobei sich die entstehenden Terme zur Potenz y3 gegenseitig aufheben:
x4 + ax3 + bx2 + cx + d = y4 + py2 + qy + r
Dabei sind die Koeffizienten der reduzierten Gleichung mittelspolynomialer Ausdrucke berechenbar.
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Quartischer Fall (Allgemein)
Bisher haben wir keine quartischen Gleichungen behandelt, bei denen dieUnbekannte x in der dritten Potenz auftaucht.
Wie kann also eine allgemeine Gleichung der Formx4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0 in eine Gleichung der reduzierten Formy4 + py2 + qy + r = 0 transformiert werden?
Man substituiert die Unbekannte x durch
x = y − a
4,
wobei sich die entstehenden Terme zur Potenz y3 gegenseitig aufheben:
x4 + ax3 + bx2 + cx + d = y4 + py2 + qy + r
Dabei sind die Koeffizienten der reduzierten Gleichung mittelspolynomialer Ausdrucke berechenbar.
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Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis
Art der Losungen quartischer Gleichungen
Sind alle Koeffizienten reell, lassen sich drei Fallunterscheidungen fur diemoglichen Losungen angeben, da sich sich jedes Polynom mit reellenKoeffizienten unabhangig von seinem Grad in lineare und quadratischeFaktoren mit reellen Koeffizienten zerlegen lasst. (Fundamentalsatz derAlgebra)
Die Gleichung hat vier reelle Losungen. Sie zerfallt in vierLinearfaktoren mit reellen Koeffizienten. (A)
Die Gleichung hat zwei reelle und zwei konjugiert komplexeLosungen. Sie zerfallt in zwei Linearfaktoren und einenquadratischen Faktor mit reellen Koeffizienten. (B)
Die Gleichung hat zwei Paare konjugiert komplexer Losungen. Siezerfallt in zwei quadratische Faktoren mit reellen Koeffizienten. (C)
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Art der Losungen quartischer Gleichungen
Sind alle Koeffizienten reell, lassen sich drei Fallunterscheidungen fur diemoglichen Losungen angeben, da sich sich jedes Polynom mit reellenKoeffizienten unabhangig von seinem Grad in lineare und quadratischeFaktoren mit reellen Koeffizienten zerlegen lasst. (Fundamentalsatz derAlgebra)
Die Gleichung hat vier reelle Losungen. Sie zerfallt in vierLinearfaktoren mit reellen Koeffizienten. (A)
Die Gleichung hat zwei reelle und zwei konjugiert komplexeLosungen. Sie zerfallt in zwei Linearfaktoren und einenquadratischen Faktor mit reellen Koeffizienten. (B)
Die Gleichung hat zwei Paare konjugiert komplexer Losungen. Siezerfallt in zwei quadratische Faktoren mit reellen Koeffizienten. (C)
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Art der Losungen quartischer Gleichungen
Sind alle Koeffizienten reell, lassen sich drei Fallunterscheidungen fur diemoglichen Losungen angeben, da sich sich jedes Polynom mit reellenKoeffizienten unabhangig von seinem Grad in lineare und quadratischeFaktoren mit reellen Koeffizienten zerlegen lasst. (Fundamentalsatz derAlgebra)
Die Gleichung hat vier reelle Losungen. Sie zerfallt in vierLinearfaktoren mit reellen Koeffizienten. (A)
Die Gleichung hat zwei reelle und zwei konjugiert komplexeLosungen. Sie zerfallt in zwei Linearfaktoren und einenquadratischen Faktor mit reellen Koeffizienten. (B)
Die Gleichung hat zwei Paare konjugiert komplexer Losungen. Siezerfallt in zwei quadratische Faktoren mit reellen Koeffizienten. (C)
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Art der Losungen quartischer Gleichungen
Sind alle Koeffizienten reell, lassen sich drei Fallunterscheidungen fur diemoglichen Losungen angeben, da sich sich jedes Polynom mit reellenKoeffizienten unabhangig von seinem Grad in lineare und quadratischeFaktoren mit reellen Koeffizienten zerlegen lasst. (Fundamentalsatz derAlgebra)
Die Gleichung hat vier reelle Losungen. Sie zerfallt in vierLinearfaktoren mit reellen Koeffizienten. (A)
Die Gleichung hat zwei reelle und zwei konjugiert komplexeLosungen. Sie zerfallt in zwei Linearfaktoren und einenquadratischen Faktor mit reellen Koeffizienten. (B)
Die Gleichung hat zwei Paare konjugiert komplexer Losungen. Siezerfallt in zwei quadratische Faktoren mit reellen Koeffizienten. (C)
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Art der Losungen quartischer Gleichungen
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Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis
Satz von Abel-Ruffini
Satz von Abel-Ruffini
Allgemeine Polynome funften oder hoheren Grades sind nicht durchRadikale, d.h. mathematische Ausdrucke, die nur Wurzeln undarithmetische Grundoperationen verwenden, auflosbar.
Der erste Beweis dieses Satzes wurde von Paolo Ruffini (1765-1822) imJahr 1799 veroffentlicht. Dieser Beweis war jedoch luckenhaft und wurdezudem weitgehend ignoriert. Ein vollstandiger Beweis gelang 1824 NielsHenrik Abel (1802-1829). Abel war neben Galois, der AbelsUntersuchungen zur Unlosbarkeit von Gleichungen auf spezielleGleichungen verallgemeinerte (sog. Galoistheorie), ein wichtigerMitbegrunder der Gruppentheorie.
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Satz von Abel-Ruffini
Satz von Abel-Ruffini
Allgemeine Polynome funften oder hoheren Grades sind nicht durchRadikale, d.h. mathematische Ausdrucke, die nur Wurzeln undarithmetische Grundoperationen verwenden, auflosbar.
Der erste Beweis dieses Satzes wurde von Paolo Ruffini (1765-1822) imJahr 1799 veroffentlicht. Dieser Beweis war jedoch luckenhaft und wurdezudem weitgehend ignoriert. Ein vollstandiger Beweis gelang 1824 NielsHenrik Abel (1802-1829). Abel war neben Galois, der AbelsUntersuchungen zur Unlosbarkeit von Gleichungen auf spezielleGleichungen verallgemeinerte (sog. Galoistheorie), ein wichtigerMitbegrunder der Gruppentheorie.
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Satz von Abel-Ruffini
Satz von Abel-Ruffini
Allgemeine Polynome funften oder hoheren Grades sind nicht durchRadikale, d.h. mathematische Ausdrucke, die nur Wurzeln undarithmetische Grundoperationen verwenden, auflosbar.
Der erste Beweis dieses Satzes wurde von Paolo Ruffini (1765-1822) imJahr 1799 veroffentlicht. Dieser Beweis war jedoch luckenhaft und wurdezudem weitgehend ignoriert. Ein vollstandiger Beweis gelang 1824 NielsHenrik Abel (1802-1829). Abel war neben Galois, der AbelsUntersuchungen zur Unlosbarkeit von Gleichungen auf spezielleGleichungen verallgemeinerte (sog. Galoistheorie), ein wichtigerMitbegrunder der Gruppentheorie.
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Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis
Idee von Galois
Eine Verallgemeinerung von Abels Ansatzen, die auch fur spezielleGleichungen anwendbar ist, fand wenige Jahre spater der damals erstzwanzigjahrige Evariste Galois (1811-1832). Am Vorabend eines furihn todlich verlaufenden Duells, fasste er seine Ergebnisse in einem Briefzusammen. Darin enthalten sind Kriterien, die es erlauben, jede einzelneGleichung darauf zu untersuchen, ob ihre Losungen mit Hilfe vonWurzelausdrucken dargestellt werden konnen oder nicht.So konnen beispielsweise die Losungen der Gleichung funften Grades
x5 − x − 1 = 0
nicht durch geschachtelte Wurzelausdrucke dargestellt werden, hingegenist bei der Gleichung x5 + 15x − 44 = 0 zum Beispiel
x1 =5
√
−1 +√
2 +5
√
3 + 2√
2 +5
√
3 − 2√
2 +5
√
−1 −√
2
eine Losung.
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Idee von Galois
Eine Verallgemeinerung von Abels Ansatzen, die auch fur spezielleGleichungen anwendbar ist, fand wenige Jahre spater der damals erstzwanzigjahrige Evariste Galois (1811-1832). Am Vorabend eines furihn todlich verlaufenden Duells, fasste er seine Ergebnisse in einem Briefzusammen. Darin enthalten sind Kriterien, die es erlauben, jede einzelneGleichung darauf zu untersuchen, ob ihre Losungen mit Hilfe vonWurzelausdrucken dargestellt werden konnen oder nicht.So konnen beispielsweise die Losungen der Gleichung funften Grades
x5 − x − 1 = 0
nicht durch geschachtelte Wurzelausdrucke dargestellt werden, hingegenist bei der Gleichung x5 + 15x − 44 = 0 zum Beispiel
x1 =5
√
−1 +√
2 +5
√
3 + 2√
2 +5
√
3 − 2√
2 +5
√
−1 −√
2
eine Losung.
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Idee von Galois
Eine Verallgemeinerung von Abels Ansatzen, die auch fur spezielleGleichungen anwendbar ist, fand wenige Jahre spater der damals erstzwanzigjahrige Evariste Galois (1811-1832). Am Vorabend eines furihn todlich verlaufenden Duells, fasste er seine Ergebnisse in einem Briefzusammen. Darin enthalten sind Kriterien, die es erlauben, jede einzelneGleichung darauf zu untersuchen, ob ihre Losungen mit Hilfe vonWurzelausdrucken dargestellt werden konnen oder nicht.So konnen beispielsweise die Losungen der Gleichung funften Grades
x5 − x − 1 = 0
nicht durch geschachtelte Wurzelausdrucke dargestellt werden, hingegenist bei der Gleichung x5 + 15x − 44 = 0 zum Beispiel
x1 =5
√
−1 +√
2 +5
√
3 + 2√
2 +5
√
3 − 2√
2 +5
√
−1 −√
2
eine Losung.
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Idee von Galois
Eine Verallgemeinerung von Abels Ansatzen, die auch fur spezielleGleichungen anwendbar ist, fand wenige Jahre spater der damals erstzwanzigjahrige Evariste Galois (1811-1832). Am Vorabend eines furihn todlich verlaufenden Duells, fasste er seine Ergebnisse in einem Briefzusammen. Darin enthalten sind Kriterien, die es erlauben, jede einzelneGleichung darauf zu untersuchen, ob ihre Losungen mit Hilfe vonWurzelausdrucken dargestellt werden konnen oder nicht.So konnen beispielsweise die Losungen der Gleichung funften Grades
x5 − x − 1 = 0
nicht durch geschachtelte Wurzelausdrucke dargestellt werden, hingegenist bei der Gleichung x5 + 15x − 44 = 0 zum Beispiel
x1 =5
√
−1 +√
2 +5
√
3 + 2√
2 +5
√
3 − 2√
2 +5
√
−1 −√
2
eine Losung.
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Idee von Galois
Unter Verwendung der allgemeineren Resultate der Galoistheorie mussenzum Beweis des Satzes von Abel-Ruffini nur zwei Punkte gezeigt werden:
Die allgemeine Gleichung funften Grades (d.h. die Gleichung mitVariablen als Koeffizienten) besitzt als Galoisgruppe diesymmetrische Gruppe S5
Die symmetrische Gruppe S5 ist nicht auflosbar.
Hauptsatz der Galoistheorie:
Jede Gleichungsauflosung entspricht ineinander verschachteltenZahlenbereichen (die durch die Koeffizienten und die Losungen x1, x2, . . .gebildet werden) und diese lassen sich allesamt durch eine Analyse derGalois-Gruppe auffinden. Daher beantwortet bereits eine solche Analyseder Galois-Gruppe die Frage danach, ob Losungen in Formverschachtelter Wurzelausdrucke dargestellt werden konnen.
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Idee von Galois
Unter Verwendung der allgemeineren Resultate der Galoistheorie mussenzum Beweis des Satzes von Abel-Ruffini nur zwei Punkte gezeigt werden:
Die allgemeine Gleichung funften Grades (d.h. die Gleichung mitVariablen als Koeffizienten) besitzt als Galoisgruppe diesymmetrische Gruppe S5
Die symmetrische Gruppe S5 ist nicht auflosbar.
Hauptsatz der Galoistheorie:
Jede Gleichungsauflosung entspricht ineinander verschachteltenZahlenbereichen (die durch die Koeffizienten und die Losungen x1, x2, . . .gebildet werden) und diese lassen sich allesamt durch eine Analyse derGalois-Gruppe auffinden. Daher beantwortet bereits eine solche Analyseder Galois-Gruppe die Frage danach, ob Losungen in Formverschachtelter Wurzelausdrucke dargestellt werden konnen.
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Idee von Galois
Unter Verwendung der allgemeineren Resultate der Galoistheorie mussenzum Beweis des Satzes von Abel-Ruffini nur zwei Punkte gezeigt werden:
Die allgemeine Gleichung funften Grades (d.h. die Gleichung mitVariablen als Koeffizienten) besitzt als Galoisgruppe diesymmetrische Gruppe S5
Die symmetrische Gruppe S5 ist nicht auflosbar.
Hauptsatz der Galoistheorie:
Jede Gleichungsauflosung entspricht ineinander verschachteltenZahlenbereichen (die durch die Koeffizienten und die Losungen x1, x2, . . .gebildet werden) und diese lassen sich allesamt durch eine Analyse derGalois-Gruppe auffinden. Daher beantwortet bereits eine solche Analyseder Galois-Gruppe die Frage danach, ob Losungen in Formverschachtelter Wurzelausdrucke dargestellt werden konnen.
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Idee von Galois
Unter Verwendung der allgemeineren Resultate der Galoistheorie mussenzum Beweis des Satzes von Abel-Ruffini nur zwei Punkte gezeigt werden:
Die allgemeine Gleichung funften Grades (d.h. die Gleichung mitVariablen als Koeffizienten) besitzt als Galoisgruppe diesymmetrische Gruppe S5
Die symmetrische Gruppe S5 ist nicht auflosbar.
Hauptsatz der Galoistheorie:
Jede Gleichungsauflosung entspricht ineinander verschachteltenZahlenbereichen (die durch die Koeffizienten und die Losungen x1, x2, . . .gebildet werden) und diese lassen sich allesamt durch eine Analyse derGalois-Gruppe auffinden. Daher beantwortet bereits eine solche Analyseder Galois-Gruppe die Frage danach, ob Losungen in Formverschachtelter Wurzelausdrucke dargestellt werden konnen.
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Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis
Idee von Galois
Symmetrische Gruppe
Die symmetrische Gruppe Sn ist eine Gruppe, die aus allenPermutationen einer Menge mit n Elementen besteht. Gruppenoperationist die Verkettung der Permutationen. Das neutrale Element ist dieIdentitat id.
Definition
Eine Gruppe heißt auflosbar, wenn es eine absteigende FolgeG = G0 ⊲ G1 ⊲ . . . ⊲ Gn = 1 von Normalteilern gibt, deren QuotientenGk/Gk+1 (Faktorgruppen) abelsch sind.
Als Normalteiler(oder normale Untergruppe) bezeichnet man in derGruppentheorie eine Untergruppe N einer Gruppe G, wenn fur alle a ∈ Gund b ∈ N gilt: aba−1 ∈ N . Notation: N ⊳ G. D.h. fur jedes Elementa ∈ G ist die linke Nebenklasse von N gleich der rechten, also aN = Na.
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Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis
Idee von Galois
Symmetrische Gruppe
Die symmetrische Gruppe Sn ist eine Gruppe, die aus allenPermutationen einer Menge mit n Elementen besteht. Gruppenoperationist die Verkettung der Permutationen. Das neutrale Element ist dieIdentitat id.
Definition
Eine Gruppe heißt auflosbar, wenn es eine absteigende FolgeG = G0 ⊲ G1 ⊲ . . . ⊲ Gn = 1 von Normalteilern gibt, deren QuotientenGk/Gk+1 (Faktorgruppen) abelsch sind.
Als Normalteiler(oder normale Untergruppe) bezeichnet man in derGruppentheorie eine Untergruppe N einer Gruppe G, wenn fur alle a ∈ Gund b ∈ N gilt: aba−1 ∈ N . Notation: N ⊳ G. D.h. fur jedes Elementa ∈ G ist die linke Nebenklasse von N gleich der rechten, also aN = Na.
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Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis
Idee von Galois
Symmetrische Gruppe
Die symmetrische Gruppe Sn ist eine Gruppe, die aus allenPermutationen einer Menge mit n Elementen besteht. Gruppenoperationist die Verkettung der Permutationen. Das neutrale Element ist dieIdentitat id.
Definition
Eine Gruppe heißt auflosbar, wenn es eine absteigende FolgeG = G0 ⊲ G1 ⊲ . . . ⊲ Gn = 1 von Normalteilern gibt, deren QuotientenGk/Gk+1 (Faktorgruppen) abelsch sind.
Als Normalteiler(oder normale Untergruppe) bezeichnet man in derGruppentheorie eine Untergruppe N einer Gruppe G, wenn fur alle a ∈ Gund b ∈ N gilt: aba−1 ∈ N . Notation: N ⊳ G. D.h. fur jedes Elementa ∈ G ist die linke Nebenklasse von N gleich der rechten, also aN = Na.
Christiane Sutter Nullstellen reeller Polynome
Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis
Numerik
In der numerischen Praxis besitzen heute die Formeln Cardanos kaumnoch Bedeutung. In einem Zeitalter, in dem die Rechenleistung vonComputern de facto unbegrenzt zur Verfugung steht, ist eine expliziteFormel (und die ”Wurzelturme”, wie sie etwa bei den quartischenGleichungen auftauchen) bei praktischen Anwendungen namlichentbehrlich, da es bei solchen vollig reicht, die Losungen durchnumerische Verfahren naherungsweise zu bestimmen.Im Folgenden sollen die Wichtigsten dieser Verfahren kurz erlautertwerden.
Christiane Sutter Nullstellen reeller Polynome
Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis
Bisektion
Gesucht ist die Nullstelle einer streng monoton steigenden Funktion f imIntervall [a, b]. Diese soll mit einer Genauigkeit ε angegeben werden.(Teilintervall von [a, b], das die Nullstelle enthalt hat hochstens die Langeε.)Idee: Abschatzung der Lage einer Nullstelle mit ZW-Satz. AnschließendHalbierung des Intervalls und Modifizierung der Intervallgrenzen(Funktionswerte der Intervallgrenzen mussen unterschiedliche VZ haben).
Dies fuhrt zu folgendem Algorithmus:1. Setze l = a und r = b.2. Teste, ob [l, r] eine Nullstelle enthalt. Wenn nicht: Abbruch.3. Teste, ob r − l < ε ist. Wenn ja, haben wir unser Intervall gefunden!4. Sonst teile [l, r] in der Mitte und setze das Verfahren mit beidenTeilintervallen rekursiv bei 2. fort.
Christiane Sutter Nullstellen reeller Polynome
Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis
Bisektion
Gesucht ist die Nullstelle einer streng monoton steigenden Funktion f imIntervall [a, b]. Diese soll mit einer Genauigkeit ε angegeben werden.(Teilintervall von [a, b], das die Nullstelle enthalt hat hochstens die Langeε.)Idee: Abschatzung der Lage einer Nullstelle mit ZW-Satz. AnschließendHalbierung des Intervalls und Modifizierung der Intervallgrenzen(Funktionswerte der Intervallgrenzen mussen unterschiedliche VZ haben).
Dies fuhrt zu folgendem Algorithmus:1. Setze l = a und r = b.2. Teste, ob [l, r] eine Nullstelle enthalt. Wenn nicht: Abbruch.3. Teste, ob r − l < ε ist. Wenn ja, haben wir unser Intervall gefunden!4. Sonst teile [l, r] in der Mitte und setze das Verfahren mit beidenTeilintervallen rekursiv bei 2. fort.
Christiane Sutter Nullstellen reeller Polynome
Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis
Bisektion
Gesucht ist die Nullstelle einer streng monoton steigenden Funktion f imIntervall [a, b]. Diese soll mit einer Genauigkeit ε angegeben werden.(Teilintervall von [a, b], das die Nullstelle enthalt hat hochstens die Langeε.)Idee: Abschatzung der Lage einer Nullstelle mit ZW-Satz. AnschließendHalbierung des Intervalls und Modifizierung der Intervallgrenzen(Funktionswerte der Intervallgrenzen mussen unterschiedliche VZ haben).
Dies fuhrt zu folgendem Algorithmus:1. Setze l = a und r = b.2. Teste, ob [l, r] eine Nullstelle enthalt. Wenn nicht: Abbruch.3. Teste, ob r − l < ε ist. Wenn ja, haben wir unser Intervall gefunden!4. Sonst teile [l, r] in der Mitte und setze das Verfahren mit beidenTeilintervallen rekursiv bei 2. fort.
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Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis
Newton-Verfahren
Idee: Tangente an den Graphen im Startwert x0 anlegen; Schnittpunktder Tangente mit der x-Achse ist neuer Startwert, der bei geeigneterStartwert-Wahl immer naher an der Nullstelle liegt.
Newton Verfahren
Es sei f eine differenzierbare Funktion und x0 ein beliebiger Startwert.Man definiere eine Folge von Naherungen (xn) durch
xn+1 = xn − f(xn)f ′(xn) , falls f ′(xn) 6= 0.
Christiane Sutter Nullstellen reeller Polynome
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Newton-Verfahren
Idee: Tangente an den Graphen im Startwert x0 anlegen; Schnittpunktder Tangente mit der x-Achse ist neuer Startwert, der bei geeigneterStartwert-Wahl immer naher an der Nullstelle liegt.
Newton Verfahren
Es sei f eine differenzierbare Funktion und x0 ein beliebiger Startwert.Man definiere eine Folge von Naherungen (xn) durch
xn+1 = xn − f(xn)f ′(xn) , falls f ′(xn) 6= 0.
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Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis
Sekantenverfahren
Zwischen zwei Punkten der Funktion wird eine Sekante gelegt. DerenSchnittpunkt mit der x-Achse wird als verbesserter Startwert fur dieIteration verwendet. Mit dem neuen Wert und einem der beiden letztenalten Werte (derjenige, dessen Funktionswert ein anderes Vorzeichen alsder des neuen x-Wertes hat) wird dieser Schritt wiederholt.
Christiane Sutter Nullstellen reeller Polynome
Einleitung Grundbegriffe Polynome mit n ≤ 4 NS bei bel. Grad n Nullstellen in der Praxis
Horner-Schema
Das Horner-Schema ist eine Rechenvorschrift zum Auswerten vonPolynomen an einer Stelle x0.
p(x) = anxn+· . . . ·a1x+a0 = (((anx+an−1)x+an−2)x+. . .+a1)x+a0
Vorteile:
Beschleunigung der Berechnung indem uberflussige Berechnungenbei den Potenzen vermieden werden.
Minimierung des Rechenfehlers bei Auswertung durchGleitkommaoperationen.
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Horner-Schema
Das Horner-Schema ist eine Rechenvorschrift zum Auswerten vonPolynomen an einer Stelle x0.
p(x) = anxn+· . . . ·a1x+a0 = (((anx+an−1)x+an−2)x+. . .+a1)x+a0
Vorteile:
Beschleunigung der Berechnung indem uberflussige Berechnungenbei den Potenzen vermieden werden.
Minimierung des Rechenfehlers bei Auswertung durchGleitkommaoperationen.
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Horner-Schema
Das Horner-Schema ist eine Rechenvorschrift zum Auswerten vonPolynomen an einer Stelle x0.
p(x) = anxn+· . . . ·a1x+a0 = (((anx+an−1)x+an−2)x+. . .+a1)x+a0
Vorteile:
Beschleunigung der Berechnung indem uberflussige Berechnungenbei den Potenzen vermieden werden.
Minimierung des Rechenfehlers bei Auswertung durchGleitkommaoperationen.
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