Otradefinicion
Introduccion
Mas sobreparticiones
Mas sobresumasinferiores ysuperiores
Otradefinicion deintegral
Recopilacionde las tresdefiniciones
Criterios deintegrabilidad
Otra definicion de la integral de Riemann (Estoforma parte del Tema 1)
Departmento de Analise Matematica
Facultade de Matematicas
Universidade de Santiago de Compostela
Santiago, 2011
Otradefinicion
Introduccion
Mas sobreparticiones
Mas sobresumasinferiores ysuperiores
Otradefinicion deintegral
Recopilacionde las tresdefiniciones
Criterios deintegrabilidad
Esquema
Objetivo del tema:
1) Presentar una tercera (y ultima) definicion de la integral deRiemann.
Necesitaremos estudiar un poco mas sobre particiones y sumasinferiores y superiores.
Otradefinicion
Introduccion
Mas sobreparticiones
Mas sobresumasinferiores ysuperiores
Otradefinicion deintegral
Recopilacionde las tresdefiniciones
Criterios deintegrabilidad
Esquema
Objetivo del tema:1) Presentar una tercera (y ultima) definicion de la integral deRiemann.
Necesitaremos estudiar un poco mas sobre particiones y sumasinferiores y superiores.
Otradefinicion
Introduccion
Mas sobreparticiones
Mas sobresumasinferiores ysuperiores
Otradefinicion deintegral
Recopilacionde las tresdefiniciones
Criterios deintegrabilidad
Esquema
Objetivo del tema:1) Presentar una tercera (y ultima) definicion de la integral deRiemann.
Necesitaremos estudiar un poco mas sobre particiones y sumasinferiores y superiores.
Otradefinicion
Introduccion
Mas sobreparticiones
Mas sobresumasinferiores ysuperiores
Otradefinicion deintegral
Recopilacionde las tresdefiniciones
Criterios deintegrabilidad
Mas sobre particiones
Definicion. Sean P y Q dos particiones del mismo intervalocompacto [a, b].Diremos que Q es mas fina que P cuando P ⊂ Q.
Ejemplo. P = {0, 1/2, 1} y Q = {0, 1/2, 2/3, 1} sonparticiones de [0, 1] y
Q es mas fina que P.
Proposicion. Para cualquier par de particiones P y Q de unintervalo [a, b] existe una particion R que es, a la vez, mas finaque P y que Q.
Otradefinicion
Introduccion
Mas sobreparticiones
Mas sobresumasinferiores ysuperiores
Otradefinicion deintegral
Recopilacionde las tresdefiniciones
Criterios deintegrabilidad
Mas sobre particiones
Definicion. Sean P y Q dos particiones del mismo intervalocompacto [a, b].Diremos que Q es mas fina que P cuando P ⊂ Q.
Ejemplo. P = {0, 1/2, 1} y Q = {0, 1/2, 2/3, 1} sonparticiones de [0, 1] y
Q es mas fina que P.
Proposicion. Para cualquier par de particiones P y Q de unintervalo [a, b] existe una particion R que es, a la vez, mas finaque P y que Q.
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Introduccion
Mas sobreparticiones
Mas sobresumasinferiores ysuperiores
Otradefinicion deintegral
Recopilacionde las tresdefiniciones
Criterios deintegrabilidad
Mas sobre particiones
Definicion. Sean P y Q dos particiones del mismo intervalocompacto [a, b].Diremos que Q es mas fina que P cuando P ⊂ Q.
Ejemplo. P = {0, 1/2, 1} y Q = {0, 1/2, 2/3, 1} sonparticiones de [0, 1] y
Q es mas fina que P.
Proposicion. Para cualquier par de particiones P y Q de unintervalo [a, b] existe una particion R que es, a la vez, mas finaque P y que Q.
Otradefinicion
Introduccion
Mas sobreparticiones
Mas sobresumasinferiores ysuperiores
Otradefinicion deintegral
Recopilacionde las tresdefiniciones
Criterios deintegrabilidad
Mas sobre sumas inferiores y superiores¿Que sucede con las sumas inferiores si se afinan las particiones?
Problema. Sean f : [a, b] −→ R una funcion acotada yP = {x0, x1, . . . , xn} una particion de [a, b].Dado un punto x∗ ∈ (a, b) que no pertenece a P consideremosla particion de [a, b] definida como
Q = P ∪ {x∗}.
¿Que relacion hay entre L(f ; P) y L(f ; Q)? (Notemos que Q esmas fina que P.)
Recordemos que
L(f ; P) =n∑
k=1
mk(xk − xk−1),
donde mk = inf{f (x) : x ∈ [xk−1, xk ]}, k = 1, . . . , n.Cada subintervalo [xk−1, xk ] nos da un sumando para L(f ; P).¿Que nos da cada intervalo [xk−1, xk ] para la suma L(f ; Q)?
Otradefinicion
Introduccion
Mas sobreparticiones
Mas sobresumasinferiores ysuperiores
Otradefinicion deintegral
Recopilacionde las tresdefiniciones
Criterios deintegrabilidad
Mas sobre sumas inferiores y superiores¿Que sucede con las sumas inferiores si se afinan las particiones?
Problema. Sean f : [a, b] −→ R una funcion acotada yP = {x0, x1, . . . , xn} una particion de [a, b].Dado un punto x∗ ∈ (a, b) que no pertenece a P consideremosla particion de [a, b] definida como
Q = P ∪ {x∗}.
¿Que relacion hay entre L(f ; P) y L(f ; Q)? (Notemos que Q esmas fina que P.)Recordemos que
L(f ; P) =n∑
k=1
mk(xk − xk−1),
donde mk = inf{f (x) : x ∈ [xk−1, xk ]}, k = 1, . . . , n.
Cada subintervalo [xk−1, xk ] nos da un sumando para L(f ; P).¿Que nos da cada intervalo [xk−1, xk ] para la suma L(f ; Q)?
Otradefinicion
Introduccion
Mas sobreparticiones
Mas sobresumasinferiores ysuperiores
Otradefinicion deintegral
Recopilacionde las tresdefiniciones
Criterios deintegrabilidad
Mas sobre sumas inferiores y superiores¿Que sucede con las sumas inferiores si se afinan las particiones?
Problema. Sean f : [a, b] −→ R una funcion acotada yP = {x0, x1, . . . , xn} una particion de [a, b].Dado un punto x∗ ∈ (a, b) que no pertenece a P consideremosla particion de [a, b] definida como
Q = P ∪ {x∗}.
¿Que relacion hay entre L(f ; P) y L(f ; Q)? (Notemos que Q esmas fina que P.)Recordemos que
L(f ; P) =n∑
k=1
mk(xk − xk−1),
donde mk = inf{f (x) : x ∈ [xk−1, xk ]}, k = 1, . . . , n.Cada subintervalo [xk−1, xk ] nos da un sumando para L(f ; P).
¿Que nos da cada intervalo [xk−1, xk ] para la suma L(f ; Q)?
Otradefinicion
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Mas sobreparticiones
Mas sobresumasinferiores ysuperiores
Otradefinicion deintegral
Recopilacionde las tresdefiniciones
Criterios deintegrabilidad
Mas sobre sumas inferiores y superiores¿Que sucede con las sumas inferiores si se afinan las particiones?
Problema. Sean f : [a, b] −→ R una funcion acotada yP = {x0, x1, . . . , xn} una particion de [a, b].Dado un punto x∗ ∈ (a, b) que no pertenece a P consideremosla particion de [a, b] definida como
Q = P ∪ {x∗}.
¿Que relacion hay entre L(f ; P) y L(f ; Q)? (Notemos que Q esmas fina que P.)Recordemos que
L(f ; P) =n∑
k=1
mk(xk − xk−1),
donde mk = inf{f (x) : x ∈ [xk−1, xk ]}, k = 1, . . . , n.Cada subintervalo [xk−1, xk ] nos da un sumando para L(f ; P).¿Que nos da cada intervalo [xk−1, xk ] para la suma L(f ; Q)?
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Mas sobreparticiones
Mas sobresumasinferiores ysuperiores
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Recopilacionde las tresdefiniciones
Criterios deintegrabilidad
Mas sobre sumas inferiores y superiores¿Que sucede con las sumas inferiores si se afinan las particiones?
Denotemos por P(I ) el conjunto de todas las particiones delintervalo I = [a, b].
Proposicion. Sean I = [a, b] y f : I → R acotada.
(i) Para cualquier P ∈ P(I ) y cualquier suma de RiemannS(f ; P) se tiene
L(f ; P) ≤ S(f ; P) ≤ U(f ; P).
(ii) Si P,Q ∈ P(I ) son tales que P ⊂ Q entonces
L(f ; P) ≤ L(f ; Q) y U(f ; P) ≥ U(f ; Q).
(iii) Para cualquier par P,Q ∈ P(I ) se tiene
L(f ; P) ≤ U(f ; Q).
Otradefinicion
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Mas sobreparticiones
Mas sobresumasinferiores ysuperiores
Otradefinicion deintegral
Recopilacionde las tresdefiniciones
Criterios deintegrabilidad
Mas sobre sumas inferiores y superiores¿Que sucede con las sumas inferiores si se afinan las particiones?
Denotemos por P(I ) el conjunto de todas las particiones delintervalo I = [a, b].Proposicion. Sean I = [a, b] y f : I → R acotada.
(i) Para cualquier P ∈ P(I ) y cualquier suma de RiemannS(f ; P) se tiene
L(f ; P) ≤ S(f ; P) ≤ U(f ; P).
(ii) Si P,Q ∈ P(I ) son tales que P ⊂ Q entonces
L(f ; P) ≤ L(f ; Q) y U(f ; P) ≥ U(f ; Q).
(iii) Para cualquier par P,Q ∈ P(I ) se tiene
L(f ; P) ≤ U(f ; Q).
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Mas sobreparticiones
Mas sobresumasinferiores ysuperiores
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Recopilacionde las tresdefiniciones
Criterios deintegrabilidad
Mas sobre sumas inferiores y superiores¿Que sucede con las sumas inferiores si se afinan las particiones?
Visualizacion: Las flechas indican hacia donde se “mueven”las sumas inferiores y las sumas superiores sobre la recta real amedida que se afinan las particiones.
Sumas inferiores︷ ︸︸ ︷ Sumas superiores︷ ︸︸ ︷→ ←−
R
Ejercicio. Si m = inf{f (x) : x ∈ I} y M = sup{f (x) : x ∈ I}entonces
m(b − a) ≤ L(f ; P) ≤ U(f ; Q) ≤ M(b − a)
para cualquier par P,Q ∈ P(I ).
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Mas sobresumasinferiores ysuperiores
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Criterios deintegrabilidad
Mas sobre sumas inferiores y superiores¿Que sucede con las sumas inferiores si se afinan las particiones?
Visualizacion: Las flechas indican hacia donde se “mueven”las sumas inferiores y las sumas superiores sobre la recta real amedida que se afinan las particiones.
Sumas inferiores︷ ︸︸ ︷ Sumas superiores︷ ︸︸ ︷→ ←−
R
Ejercicio. Si m = inf{f (x) : x ∈ I} y M = sup{f (x) : x ∈ I}entonces
m(b − a) ≤ L(f ; P) ≤ U(f ; Q) ≤ M(b − a)
para cualquier par P,Q ∈ P(I ).
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Mas sobresumasinferiores ysuperiores
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Recopilacionde las tresdefiniciones
Criterios deintegrabilidad
Integrales inferiores y superiores¡Existen para cualquier funcion acotada en un intervalo compacto!
Definicion. Sean I = [a, b] y f : I → R acotada.La integral inferior de f en I es el numero∫ b
af = sup{L(f ; P) : P ∈ P(I )},
y se define la integral superior de f en I como∫ b
af = inf{U(f ; P) : P ∈ P(I )}.
Ejercicio. Si m = inf{f (x) : x ∈ I} y M = sup{f (x) : x ∈ I}entonces
m(b − a) ≤∫ b
af ≤
∫ b
af ≤ M(b − a).
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Mas sobresumasinferiores ysuperiores
Otradefinicion deintegral
Recopilacionde las tresdefiniciones
Criterios deintegrabilidad
Integrales inferiores y superiores¡Existen para cualquier funcion acotada en un intervalo compacto!
Definicion. Sean I = [a, b] y f : I → R acotada.La integral inferior de f en I es el numero∫ b
af = sup{L(f ; P) : P ∈ P(I )},
y se define la integral superior de f en I como∫ b
af = inf{U(f ; P) : P ∈ P(I )}.
Ejercicio. Si m = inf{f (x) : x ∈ I} y M = sup{f (x) : x ∈ I}entonces
m(b − a) ≤∫ b
af ≤
∫ b
af ≤ M(b − a).
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Mas sobreparticiones
Mas sobresumasinferiores ysuperiores
Otradefinicion deintegral
Recopilacionde las tresdefiniciones
Criterios deintegrabilidad
Definicion de integral de RiemannTercera (y ultima) definicion de integral de Riemann
Definicion. Sean I = [a, b] y f : I → R acotada. Diremos quef es integrable en I en el sentido de Riemann (o f esRiemann–integrable en I ) cuando∫ b
af =
∫ b
af ,
y, en tal caso, dicho valor es la integral de f en I , quedenotaremos por ∫ b
af o por
∫ b
af (x) dx .
Notacion. Cuando tenga sentido, tambien se definen∫ a
bf = −
∫ b
af y
∫ a
af = 0.
Otradefinicion
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Mas sobreparticiones
Mas sobresumasinferiores ysuperiores
Otradefinicion deintegral
Recopilacionde las tresdefiniciones
Criterios deintegrabilidad
Definiciones de integral de Riemann
En resumen, para f : I = [a, b] −→ R acotada diremos que f esintegrable en I y que su integral en I vale A ∈ R si se cumplealguna de las tres siguientes condiciones:
1 El numero A es el unico que satisface la condicion de que
L(f ; P) ≤ A ≤ U(f ; P) para cualquier P ∈ P(I ).
2 Para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que si P ∈ P(I ) cumple‖P‖ < δ entonces |S(f ; P)− A| < ε para cualquiereleccion de puntos intermedios.
3 ∫ b
af =
∫ b
af = A.
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Mas sobresumasinferiores ysuperiores
Otradefinicion deintegral
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Criterios deintegrabilidad
Definiciones de integral de Riemann
En resumen, para f : I = [a, b] −→ R acotada diremos que f esintegrable en I y que su integral en I vale A ∈ R si se cumplealguna de las tres siguientes condiciones:
1 El numero A es el unico que satisface la condicion de que
L(f ; P) ≤ A ≤ U(f ; P) para cualquier P ∈ P(I ).
2 Para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que si P ∈ P(I ) cumple‖P‖ < δ entonces |S(f ; P)− A| < ε para cualquiereleccion de puntos intermedios.
3 ∫ b
af =
∫ b
af = A.
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Criterios deintegrabilidad
Definiciones de integral de Riemann
En resumen, para f : I = [a, b] −→ R acotada diremos que f esintegrable en I y que su integral en I vale A ∈ R si se cumplealguna de las tres siguientes condiciones:
1 El numero A es el unico que satisface la condicion de que
L(f ; P) ≤ A ≤ U(f ; P) para cualquier P ∈ P(I ).
2 Para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que si P ∈ P(I ) cumple‖P‖ < δ entonces |S(f ; P)− A| < ε para cualquiereleccion de puntos intermedios.
3 ∫ b
af =
∫ b
af = A.
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Criterios deintegrabilidad
Criterio de integrabilidad de Riemann
Recordemos que una funcion acotada f : I = [a, b] −→ R es
integrable en I si∫ ba f =
∫ ba f ,
es decir, si
sup{L(f ; P) : P ∈ P(I )} = inf{U(f ; P) : P ∈ P(I )}.
Graficamente, si f es integrable tenemos
Sumas inferiores︷ ︸︸ ︷| Sumas superiores︷ ︸︸ ︷R
... y si f no es integrable entonces
Sumas inferiores︷ ︸︸ ︷ d
| |Sumas superiores︷ ︸︸ ︷
R
con d =∫ ba f −
∫ ba f > 0.
Otradefinicion
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Otradefinicion deintegral
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Criterios deintegrabilidad
Criterio de integrabilidad de Riemann
Recordemos que una funcion acotada f : I = [a, b] −→ R es
integrable en I si∫ ba f =
∫ ba f , es decir, si
sup{L(f ; P) : P ∈ P(I )} = inf{U(f ; P) : P ∈ P(I )}.
Graficamente, si f es integrable tenemos
Sumas inferiores︷ ︸︸ ︷| Sumas superiores︷ ︸︸ ︷R
... y si f no es integrable entonces
Sumas inferiores︷ ︸︸ ︷ d
| |Sumas superiores︷ ︸︸ ︷
R
con d =∫ ba f −
∫ ba f > 0.
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Criterios deintegrabilidad
Criterio de integrabilidad de Riemann
Recordemos que una funcion acotada f : I = [a, b] −→ R es
integrable en I si∫ ba f =
∫ ba f , es decir, si
sup{L(f ; P) : P ∈ P(I )} = inf{U(f ; P) : P ∈ P(I )}.
Graficamente, si f es integrable tenemos
Sumas inferiores︷ ︸︸ ︷| Sumas superiores︷ ︸︸ ︷R
... y si f no es integrable entonces
Sumas inferiores︷ ︸︸ ︷ d
| |Sumas superiores︷ ︸︸ ︷
R
con d =∫ ba f −
∫ ba f > 0.
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Criterios deintegrabilidad
Criterio de integrabilidad de Riemann
Recordemos que una funcion acotada f : I = [a, b] −→ R es
integrable en I si∫ ba f =
∫ ba f , es decir, si
sup{L(f ; P) : P ∈ P(I )} = inf{U(f ; P) : P ∈ P(I )}.
Graficamente, si f es integrable tenemos
Sumas inferiores︷ ︸︸ ︷| Sumas superiores︷ ︸︸ ︷R
... y si f no es integrable entonces
Sumas inferiores︷ ︸︸ ︷ d
| |Sumas superiores︷ ︸︸ ︷
R
con d =∫ ba f −
∫ ba f > 0.
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Criterios deintegrabilidad
Criterio de integrabilidad de Riemann
Por lo tanto, para que una funcion acotada f : I = [a, b] −→ Rsea integrable en I es necesario y suficiente queexistan sumas superiores e inferiores tan cerca una de otracomo queramos,
es decir, que
(∗)
para cada ε > 0 existan P,Q ∈ P(I ) tales que
U(f ; Q)− L(f ; P) < ε.
Teorema (Criterio de integrabilidad de Riemann). Parauna funcion acotada f : I = [a, b] −→ R las dos siguientescondiciones son equivalentes:
1 La funcion f es integrable en I ;2 Para cada ε > 0 existe alguna particion Pε ∈ P(I ) tal que
U(f ; Pε)− L(f ; Pε) < ε.
Otradefinicion
Introduccion
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Otradefinicion deintegral
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Criterios deintegrabilidad
Criterio de integrabilidad de Riemann
Por lo tanto, para que una funcion acotada f : I = [a, b] −→ Rsea integrable en I es necesario y suficiente queexistan sumas superiores e inferiores tan cerca una de otracomo queramos, es decir, que
(∗)
para cada ε > 0 existan P,Q ∈ P(I ) tales que
U(f ; Q)− L(f ; P) < ε.
Teorema (Criterio de integrabilidad de Riemann). Parauna funcion acotada f : I = [a, b] −→ R las dos siguientescondiciones son equivalentes:
1 La funcion f es integrable en I ;2 Para cada ε > 0 existe alguna particion Pε ∈ P(I ) tal que
U(f ; Pε)− L(f ; Pε) < ε.
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Criterios deintegrabilidad
Criterio de integrabilidad de Riemann
Por lo tanto, para que una funcion acotada f : I = [a, b] −→ Rsea integrable en I es necesario y suficiente queexistan sumas superiores e inferiores tan cerca una de otracomo queramos, es decir, que
(∗)
para cada ε > 0 existan P,Q ∈ P(I ) tales que
U(f ; Q)− L(f ; P) < ε.
Teorema (Criterio de integrabilidad de Riemann). Parauna funcion acotada f : I = [a, b] −→ R las dos siguientescondiciones son equivalentes:
1 La funcion f es integrable en I ;2 Para cada ε > 0 existe alguna particion Pε ∈ P(I ) tal que
U(f ; Pε)− L(f ; Pε) < ε.
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Criterios deintegrabilidad
Dos criterios importantes de integrabilidadSe demuestran usando el criterio de Riemann
Teorema (Integrabilidad de las monotonas).Si f : I = [a, b] −→ R es monotona en I entonces f esintegrable en I .
Teorema (Integrabilidad de las continuas).Si f : I = [a, b] −→ R es continua en I entonces f es integrableen I .
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Criterios deintegrabilidad
Dos criterios importantes de integrabilidadSe demuestran usando el criterio de Riemann
Teorema (Integrabilidad de las monotonas).Si f : I = [a, b] −→ R es monotona en I entonces f esintegrable en I .
Teorema (Integrabilidad de las continuas).Si f : I = [a, b] −→ R es continua en I entonces f es integrableen I .