Otra definición de la integral de Riemann (Esto forma parte del Tema 1…webspersoais.usc.es/.../persoais/rodrigo.lopez/IFUVR3.pdf · 2020-02-13 · Otra de nici on Introducci on

Otradefinicion

Introduccion

Mas sobreparticiones

Mas sobresumasinferiores ysuperiores

Otradefinicion deintegral

Recopilacionde las tresdefiniciones

Criterios deintegrabilidad

Otra definicion de la integral de Riemann (Estoforma parte del Tema 1)

Departmento de Analise Matematica

Facultade de Matematicas

Universidade de Santiago de Compostela

Santiago, 2011

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Esquema

Objetivo del tema:

1) Presentar una tercera (y ultima) definicion de la integral deRiemann.

Necesitaremos estudiar un poco mas sobre particiones y sumasinferiores y superiores.

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Esquema

Objetivo del tema:1) Presentar una tercera (y ultima) definicion de la integral deRiemann.


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Objetivo del tema:1) Presentar una tercera (y ultima) definicion de la integral deRiemann.


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Mas sobre particiones

Definicion. Sean P y Q dos particiones del mismo intervalocompacto [a, b].Diremos que Q es mas fina que P cuando P ⊂ Q.

Ejemplo. P = {0, 1/2, 1} y Q = {0, 1/2, 2/3, 1} sonparticiones de [0, 1] y

Q es mas fina que P.

Proposicion. Para cualquier par de particiones P y Q de unintervalo [a, b] existe una particion R que es, a la vez, mas finaque P y que Q.

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Mas sobre sumas inferiores y superiores¿Que sucede con las sumas inferiores si se afinan las particiones?

Problema. Sean f : [a, b] −→ R una funcion acotada yP = {x0, x1, . . . , xn} una particion de [a, b].Dado un punto x∗ ∈ (a, b) que no pertenece a P consideremosla particion de [a, b] definida como

Q = P ∪ {x∗}.

¿Que relacion hay entre L(f ; P) y L(f ; Q)? (Notemos que Q esmas fina que P.)

Recordemos que

L(f ; P) =n∑

k=1

mk(xk − xk−1),

donde mk = inf{f (x) : x ∈ [xk−1, xk ]}, k = 1, . . . , n.Cada subintervalo [xk−1, xk ] nos da un sumando para L(f ; P).¿Que nos da cada intervalo [xk−1, xk ] para la suma L(f ; Q)?

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Q = P ∪ {x∗}.

¿Que relacion hay entre L(f ; P) y L(f ; Q)? (Notemos que Q esmas fina que P.)Recordemos que

L(f ; P) =n∑

k=1

mk(xk − xk−1),

donde mk = inf{f (x) : x ∈ [xk−1, xk ]}, k = 1, . . . , n.

Cada subintervalo [xk−1, xk ] nos da un sumando para L(f ; P).¿Que nos da cada intervalo [xk−1, xk ] para la suma L(f ; Q)?

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Q = P ∪ {x∗}.


L(f ; P) =n∑

k=1

mk(xk − xk−1),

donde mk = inf{f (x) : x ∈ [xk−1, xk ]}, k = 1, . . . , n.Cada subintervalo [xk−1, xk ] nos da un sumando para L(f ; P).

¿Que nos da cada intervalo [xk−1, xk ] para la suma L(f ; Q)?

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Q = P ∪ {x∗}.


L(f ; P) =n∑

k=1

mk(xk − xk−1),

donde mk = inf{f (x) : x ∈ [xk−1, xk ]}, k = 1, . . . , n.Cada subintervalo [xk−1, xk ] nos da un sumando para L(f ; P).¿Que nos da cada intervalo [xk−1, xk ] para la suma L(f ; Q)?

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Denotemos por P(I ) el conjunto de todas las particiones delintervalo I = [a, b].

Proposicion. Sean I = [a, b] y f : I → R acotada.

(i) Para cualquier P ∈ P(I ) y cualquier suma de RiemannS(f ; P) se tiene

L(f ; P) ≤ S(f ; P) ≤ U(f ; P).

(ii) Si P,Q ∈ P(I ) son tales que P ⊂ Q entonces

L(f ; P) ≤ L(f ; Q) y U(f ; P) ≥ U(f ; Q).

(iii) Para cualquier par P,Q ∈ P(I ) se tiene

L(f ; P) ≤ U(f ; Q).

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Denotemos por P(I ) el conjunto de todas las particiones delintervalo I = [a, b].Proposicion. Sean I = [a, b] y f : I → R acotada.

(i) Para cualquier P ∈ P(I ) y cualquier suma de RiemannS(f ; P) se tiene

L(f ; P) ≤ S(f ; P) ≤ U(f ; P).

(ii) Si P,Q ∈ P(I ) son tales que P ⊂ Q entonces

L(f ; P) ≤ L(f ; Q) y U(f ; P) ≥ U(f ; Q).

(iii) Para cualquier par P,Q ∈ P(I ) se tiene

L(f ; P) ≤ U(f ; Q).

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Visualizacion: Las flechas indican hacia donde se “mueven”las sumas inferiores y las sumas superiores sobre la recta real amedida que se afinan las particiones.

Sumas inferiores︷︸︸︷ Sumas superiores︷︸︸︷→ ←−

R

Ejercicio. Si m = inf{f (x) : x ∈ I} y M = sup{f (x) : x ∈ I}entonces

m(b − a) ≤ L(f ; P) ≤ U(f ; Q) ≤ M(b − a)

para cualquier par P,Q ∈ P(I ).

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Visualizacion: Las flechas indican hacia donde se “mueven”las sumas inferiores y las sumas superiores sobre la recta real amedida que se afinan las particiones.

Sumas inferiores︷︸︸︷ Sumas superiores︷︸︸︷→ ←−

R


m(b − a) ≤ L(f ; P) ≤ U(f ; Q) ≤ M(b − a)

para cualquier par P,Q ∈ P(I ).

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Integrales inferiores y superiores¡Existen para cualquier funcion acotada en un intervalo compacto!

Definicion. Sean I = [a, b] y f : I → R acotada.La integral inferior de f en I es el numero∫ b

af = sup{L(f ; P) : P ∈ P(I )},

y se define la integral superior de f en I como∫ b

af = inf{U(f ; P) : P ∈ P(I )}.


m(b − a) ≤∫ b

af ≤

∫ b

af ≤ M(b − a).

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Integrales inferiores y superiores¡Existen para cualquier funcion acotada en un intervalo compacto!

Definicion. Sean I = [a, b] y f : I → R acotada.La integral inferior de f en I es el numero∫ b

af = sup{L(f ; P) : P ∈ P(I )},

y se define la integral superior de f en I como∫ b

af = inf{U(f ; P) : P ∈ P(I )}.


m(b − a) ≤∫ b

af ≤

∫ b

af ≤ M(b − a).

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Definicion de integral de RiemannTercera (y ultima) definicion de integral de Riemann

Definicion. Sean I = [a, b] y f : I → R acotada. Diremos quef es integrable en I en el sentido de Riemann (o f esRiemann–integrable en I ) cuando∫ b

af =

∫ b

af ,

y, en tal caso, dicho valor es la integral de f en I , quedenotaremos por ∫ b

af o por

∫ b

af (x) dx .

Notacion. Cuando tenga sentido, tambien se definen∫ a

bf = −

∫ b

af y

∫ a

af = 0.

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Definiciones de integral de Riemann

En resumen, para f : I = [a, b] −→ R acotada diremos que f esintegrable en I y que su integral en I vale A ∈ R si se cumplealguna de las tres siguientes condiciones:

1 El numero A es el unico que satisface la condicion de que

L(f ; P) ≤ A ≤ U(f ; P) para cualquier P ∈ P(I ).

2 Para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que si P ∈ P(I ) cumple‖P‖ < δ entonces |S(f ; P)− A| < ε para cualquiereleccion de puntos intermedios.

3 ∫ b

af =

∫ b

af = A.

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3 ∫ b

af =

∫ b

af = A.

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3 ∫ b

af =

∫ b

af = A.

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Criterio de integrabilidad de Riemann

Recordemos que una funcion acotada f : I = [a, b] −→ R es

integrable en I si∫ ba f =

∫ ba f ,

es decir, si

sup{L(f ; P) : P ∈ P(I )} = inf{U(f ; P) : P ∈ P(I )}.

Graficamente, si f es integrable tenemos

Sumas inferiores︷︸︸︷| Sumas superiores︷︸︸︷R

... y si f no es integrable entonces

Sumas inferiores︷︸︸︷ d

| |Sumas superiores︷︸︸︷

R

con d =∫ ba f −

∫ ba f > 0.

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∫ ba f , es decir, si







R

con d =∫ ba f −

∫ ba f > 0.

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R

con d =∫ ba f −

∫ ba f > 0.

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R

con d =∫ ba f −

∫ ba f > 0.

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Por lo tanto, para que una funcion acotada f : I = [a, b] −→ Rsea integrable en I es necesario y suficiente queexistan sumas superiores e inferiores tan cerca una de otracomo queramos,

es decir, que

(∗)

para cada ε > 0 existan P,Q ∈ P(I ) tales que

U(f ; Q)− L(f ; P) < ε.

Teorema (Criterio de integrabilidad de Riemann). Parauna funcion acotada f : I = [a, b] −→ R las dos siguientescondiciones son equivalentes:

1 La funcion f es integrable en I ;2 Para cada ε > 0 existe alguna particion Pε ∈ P(I ) tal que

U(f ; Pε)− L(f ; Pε) < ε.

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Por lo tanto, para que una funcion acotada f : I = [a, b] −→ Rsea integrable en I es necesario y suficiente queexistan sumas superiores e inferiores tan cerca una de otracomo queramos, es decir, que

(∗)


U(f ; Q)− L(f ; P) < ε.



U(f ; Pε)− L(f ; Pε) < ε.

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Por lo tanto, para que una funcion acotada f : I = [a, b] −→ Rsea integrable en I es necesario y suficiente queexistan sumas superiores e inferiores tan cerca una de otracomo queramos, es decir, que

(∗)


U(f ; Q)− L(f ; P) < ε.



U(f ; Pε)− L(f ; Pε) < ε.

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Dos criterios importantes de integrabilidadSe demuestran usando el criterio de Riemann

Teorema (Integrabilidad de las monotonas).Si f : I = [a, b] −→ R es monotona en I entonces f esintegrable en I .

Teorema (Integrabilidad de las continuas).Si f : I = [a, b] −→ R es continua en I entonces f es integrableen I .

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Dos criterios importantes de integrabilidadSe demuestran usando el criterio de Riemann

Teorema (Integrabilidad de las monotonas).Si f : I = [a, b] −→ R es monotona en I entonces f esintegrable en I .

Teorema (Integrabilidad de las continuas).Si f : I = [a, b] −→ R es continua en I entonces f es integrableen I .

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