STATISTISCHE MECHANIK
13.12.2018David Kiy
1. Mechanik2. Statistische Mechanik3. Entropie und Gleichgewicht4. Ising-Modell5. Markov-Chain-Monte-Carlo-Verfahren6. Renormierung
Inhalt
Mechanik
Mechanikโข System aus ๐๐ Partikeln mit Ortskoordinaten ๐๐ โ โ๐๐
โข Genaue Lokalisierung benรถtigt ๐๐ = ๐๐๐๐ Zahlenโข Um Bewegungsgleichungen aufzustellen benutzt man eine
Lagrange-Funktion ๐ฟ๐ฟ = ๐ฟ๐ฟ(๐๐, ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐, ๐ก๐ก)โข Partikel gehorchen dem Hamiltonschen Prinzip:
Die Bewegung von q0 = ๐๐ ๐ก๐ก0 nach q1 = ๐๐ ๐ก๐ก1erfolgt so, dass die Aktion
๐ด๐ด ๐๐ = โซ๐ก๐ก0๐ก๐ก1 ๐ฟ๐ฟ ๐๐, ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐, ๐ก๐ก ๐๐๐ก๐ก
minimiert wirdโข Sei ๐๐ ein solches Extremum mit fixierten Endpunkten ๐๐0,๐๐1โข Betrachte eine kleine Stรถrung ๐๐ ๐ก๐ก + ๐ฟ๐ฟ๐๐(๐ก๐ก), mit ๐ฟ๐ฟ๐๐ ๐ก๐ก0 = ๐ฟ๐ฟ๐๐ ๐ก๐ก1 = 0
Mechanik
โข ๐ฟ๐ฟ๐ด๐ด โ ๐ด๐ด ๐๐ + ๐ฟ๐ฟ๐๐ โ ๐ด๐ด ๐๐
= โซ๐ก๐ก0๐ก๐ก1 ๐ฟ๐ฟ ๐๐ + ๐ฟ๐ฟ๐๐, ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ + ๐ฟ๐ฟ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐, ๐ก๐ก โ ๐ฟ๐ฟ ๐๐, ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐, ๐ก๐ก ๐๐๐ก๐ก
โข Es muss ๐ฟ๐ฟ๐ด๐ด = ๐ช๐ช ๐ฟ๐ฟ๐๐2,๐ฟ๐ฟ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐2 gelten, da ๐๐ Extremum ist
๐ฟ๐ฟ ๐๐ + ๐ฟ๐ฟ๐๐, ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ + ๐ฟ๐ฟ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐, ๐ก๐ก = ๐ฟ๐ฟ ๐๐, ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐, ๐ก๐ก + โ๐๐ ๐ฟ๐ฟ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
+ โ๐๐ ๐ฟ๐ฟ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐๐๐
+ ๐ช๐ช ๐ฟ๐ฟ๐๐2,๐ฟ๐ฟ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐2
โข Partielle Integration liefert
๐ฟ๐ฟ๐ด๐ด = โซ๐ก๐ก0๐ก๐ก1 โ๐๐ ๐ฟ๐ฟ๐๐๐๐
๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
+ โ๐๐ ๐ฟ๐ฟ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐๐๐
+ ๐ช๐ช ๐ฟ๐ฟ๐๐2,๐ฟ๐ฟ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐2 ๐๐๐ก๐ก
= โซ๐ก๐ก0๐ก๐ก1 โ๐๐ ๐ฟ๐ฟ๐๐๐๐
๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
โ ๐๐๐๐๐ก๐ก
๐๐๐๐๐๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐๐๐
+ ๐ช๐ช ๐ฟ๐ฟ๐๐2,๐ฟ๐ฟ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐2 ๐๐๐ก๐ก
Mechanik
โข Dies fรผhrt auf die Lagrange-Gleichung๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
โ ๐๐๐๐๐ก๐ก
๐๐๐๐๐๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐๐๐
= 0, ๐๐ = 1,2, โฆ ,๐๐
Mechanik
Beispiel (1D):โข Auf einen Partikel der Masse ๐๐ im Punkt ๐ฅ๐ฅ wirke eine Kraft
๐น๐น = โ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐, mit ๐๐ = ๐๐ ๐ฅ๐ฅ Potentialโข Setze als Lagrange-Funktion
๐ฟ๐ฟ = 12๐๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ฅ2 โ ๐๐ ๐ฅ๐ฅ
โข Die Bewegungsgleichung lautet๐๐๐๐๐๐๐๐
= ๐๐๐๐๐ก๐ก
๐๐๐๐๐๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐
also
โ๐๐๐๐๐๐๐๐
= ๐๐๐๐๐ก๐ก
๐๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ฅ
โข Entspricht dem 2. Newtonschen Gesetz entspricht ๐น๐น = ๐๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ฅ
Mechanik
โข Eine alternative Beschreibung der Bewegungsgleichungen liefert die Hamilton-Funktion
โข Impuls ๐๐๐๐ = ๐๐๐๐๐๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐๐๐
โข Die Hamilton-Funktion ist definiert als๐ป๐ป ๐๐,๐๐, ๐ก๐ก = โ๐๐ ๐๐๐๐๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐๐๐ โ ๐ฟ๐ฟ(๐๐๐๐ , ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐๐๐ , ๐ก๐ก)
und ist keine Funktion der ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐๐๐โข Die Bewegungsgleichungen lassen sich schreiben als
๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐๐๐ = ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
, ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐๐๐ = โ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
,
was รคquivalent zur Lagrange-Gleichung ist
Statistische Mechanik
Statistische Mechanik
โข Hamilton-System ๐ป๐ป(๐๐,๐๐), was nicht mehr explizit von ๐ก๐กabhรคngt, mit ๐๐ Freiheitsgraden ๐๐1,๐๐1 , โฆ , (๐๐๐๐,๐๐๐๐)
โข Ein Mikrozustand des Systems ist eine Menge von Werten der Variablen ๐๐1, โฆ , ๐๐๐๐,๐๐1, โฆ ,๐๐๐๐
โข Der 2๐๐-dimensionale Raum in dem sich das System entwickelt heiรt Phasenraum ฮ und die Punkte die es in seiner Entwicklung besucht nennt man Trajektorie
โข Im Allgemeinen ist eine exakte Beschreibung der Entwicklung nicht mรถglich (Avogadro Konstante ~ 6x1023 Teilchen/mol)
โข Einen Ausweg bietet der folgende Ansatz:
Statistische Mechanik
โข Annahme: ๐๐0,๐๐0 werden aus einer Wahrscheinlichkeitsdichte ๐๐ gezogen
โข Anstatt einzelne Trajektorien zu verfolgen, betrachte die Trajektorien des Systems (Ensemble) als Ganzes, die anfรคnglich abhรคngig von W verteilt sind
โข Sei ๐๐ ๐ก๐ก die Dichte der Mikrozustรคnde zur Zeit ๐ก๐กโข ๐๐ ๐ก๐ก beschreibt das Ensemble zur Zeit ๐ก๐ก und ist der
Makrozustand des Ensembles
Mikrozustand โ Vektor in ฮMakrozustand โ Wahrscheinlichkeitsdichte in ฮ
Statistische Mechanik
Bewegungsgleichung fรผr ๐พ๐พ(๐๐,๐๐, ๐๐)โข Sei ๐ข๐ข = (๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐1, . . , ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐๐๐)โข Unter Verwendung der Hamiltonschen Bewegungsgleichungen
gilt ๐๐๐๐๐๐ ๐ข๐ข = โ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐๐๐ + โ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
(๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐๐๐)
= โ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
+ โ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
(โ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
)
= 0โข Ein solches Vektorfeld nennt man inkompressibel
Statistische Mechanik
โข Sei ๐๐ ein Volumen im Phasenraum ฮโข Falls Mikrozustรคnde weder auftauchen noch verschwinden, so
ist eine รnderung ihrer Anzahl in ๐๐
โซ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐nur durch ihren Fluss in oder aus ๐๐๐๐ mรถglich
โข Es ergibt sich๐๐๐๐๐ก๐ก โซ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ = โโซ๐๐๐๐๐๐๐ข๐ข ๏ฟฝ ๐๐ ๐๐๐๐ = โโซ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐ข๐ข ๐๐๐๐
Statistische Mechanik
โข Fรผr glattes ๐๐ gilt damit๐๐๐๐๐๐๐ก๐ก
+ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐ข๐ข = 0
โข Und da ๐ข๐ข inkompressibel ist erhรคlt man die Liouville-Gleichung ๐๐๐๐๐๐๐ก๐ก
+ u ๏ฟฝ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ = 0
โข Eine WDF ๐๐ ist zeitinvariant falls sie eine stationรคre Lรถsung von
๐๐๐๐๐๐๐ก๐ก
+ ๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐ข๐ข = 0
ist
Statistische Mechanik
โข Fรผr gegebenes ๐๐(๐ก๐ก) kรถnnen physikalische Observablen definiert werden, etwa die Energie
๐ธ๐ธ ๐ก๐ก = ๐ธ๐ธ ๐ป๐ป ๐ก๐ก = โซฮ ๐ป๐ป ๐๐,๐๐ ๐๐ ๐๐,๐๐, ๐ก๐ก ๐๐๐๐,sowie fรผr eine Eigenschaft ๐๐(๐๐,๐๐) eines Mikrozustandes
๏ฟฝ๐๐ = ๐ธ๐ธ ๐๐ = โซฮ ๐๐ ๐๐,๐๐ ๐๐ ๐๐,๐๐, ๐ก๐ก ๐๐๐๐
Statistische Mechanikโข System eingeschlossen innerhalb einer Region ๐๐โข Zu Beginn sei ๐๐ konstant in ๐๐ und auรerhalb gelte ๐๐ = 0
๐๐ ist invariantโข Fรผhrt auf Konstruktion der mikrokanonische Dichte:โข Gegeben seien zwei Oberflรคchen ๐ป๐ป = ๐ธ๐ธ0 und ๐ป๐ป = ๐ธ๐ธ0 + โ๐ธ๐ธ0โข Das zwischen diesen Oberflรคchen eingeschlossene Volumen heiรt
Energieschaleโข Betrachte die Dichte
๐๐ = ๏ฟฝ๐๐๐๐๐๐โ1 ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ , (๐๐,๐๐) โ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
0, ๐ ๐ ๐๐๐๐๐ ๐ ๐ก๐กโข Die mikrokanonische Dichte erhรคlt man fรผr โ๐ธ๐ธ0 โ 0โข Die daraus resultierende Oberflรคchendichte auf ๐ป๐ป = ๐ธ๐ธ0 ist nicht
konstant
Statistische Mechanik
โข Betrachte ๐๐ ๐ป๐ป mit
โซฮ ๐๐(๐ป๐ป) ๐๐๐๐๐๐๐๐ = 1, ฯ(๐ป๐ป) โฅ 0โข Fรผr ๐๐ ๐๐,๐๐ = ๐๐ ๐ป๐ป gilt
๐ข๐ข ๏ฟฝ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ = 0, und damit ๐๐๐๐๐๐๐ก๐ก
= 0
โข W ist also zeitinvariant
โข Kanonische Dichte (zeitinvariant):๐๐ ๐๐,๐๐ = ๐๐โ1 exp โ๐ฝ๐ฝ๐ป๐ป ๐๐,๐๐ , ๐ฝ๐ฝ > 0 konstant und
๐๐ = โซฮ exp โ๐ฝ๐ฝ๐ป๐ป ๐๐,๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐
Entropie und Gleichgewicht
Entropie und Gleichgewichtโข Sei ฮฉ ein Wahrscheinlichkeitsraum bestehend aus einer
endlichen Anzahl von Punkten ๐๐1, โฆ ,๐๐๐๐ und Wahrscheinlichkeiten ๐๐1, โฆ ,๐๐๐๐
โข Entropie ๐๐ = ๐๐(๐๐1, โฆ ,๐๐๐๐) Maร fรผr die Unsicherheit innerhalb der Wahrscheinlichkeitsdichte
โข ๐๐ soll die folgenden Axiome erfรผllen1. โ๐๐ ist ๐๐ eine stetige Funktion der ๐๐๐๐2. Gilt ๐๐๐๐ = ๐๐๐๐ โ๐๐, ๐๐ so ist ๐๐๐๐ = ๐๐ 1
๐๐, โฆ , 1
๐๐eine monoton
wachsende Funktion in Abhรคngigkeit von ๐๐3. Sei 1 โค ๐๐1 < ๐๐2 < โฏ < ๐๐๐๐ = ๐๐ mit ๐๐๐๐ โ โ eine Unterteilung
von 1,๐๐ und sei ๐๐๐๐ = ๐๐๐๐๐๐โ1+1 + โฏ+ ๐๐๐๐๐๐ , so gilt
๐๐ ๐๐1, โฆ ,๐๐๐๐ = ๐๐ ๐๐1, โฆ ,๐๐๐๐ + โ๐๐=1๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐โ1+1
๐๐๐๐, โฆ ,
๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
Entropie und Gleichgewicht
โข Dadurch wird ๐๐ bis auf eine multiplikative Konstante eindeutig bestimmt durch
๐๐ = โโ๐๐ ๐๐๐๐ log๐๐๐๐Entropie hinsichtlich des Wahrscheinlichkeitsraums
โข Analog gilt fรผr die Entropie einer WDF ๐๐๐๐ = โโซ๐๐ ๐ฅ๐ฅ log ๐๐ ๐ฅ๐ฅ ๐๐๐ฅ๐ฅ
Entropie und Gleichgewicht
โข Eine WDF ๐๐ heiรt zulรคssig, wenn sie
๐๐๐๐ = โซ๐๐๐๐ ๐๐,๐๐ ๐๐ ๐๐,๐๐ ๐๐๐๐
fรผr gegebene Erwartungswerte ๐๐1, โฆ ,๐๐๐๐ hinsichtlich einer WDF ๏ฟฝ๐๐ und mikroskopischer Grรถรen ๐๐1, โฆ ,๐๐๐๐ erfรผllt
Satz: Existiert ein Vektor ๐ฝ๐ฝ = (๐ฝ๐ฝ1, โฆ ,๐ฝ๐ฝ๐๐) und eine Zahl ๐๐ > 0, so dass ๐๐๐ฝ๐ฝ = ๐๐โ1 exp โโ๐๐ ๐ฝ๐ฝ๐๐๐๐๐๐ ๐๐,๐๐ eine zulรคssige WDF ist, so ist ๐๐๐ฝ๐ฝdie zulรคssige Dichte mit maximaler Entropie
Entropie und Gleichgewicht
โข Beweis:โข Es gilt ๐ฅ๐ฅ log ๐ฅ๐ฅ โ ๐ฅ๐ฅ + 1 โฅ 0, fรผr ๐ฅ๐ฅ โฅ 0
โข Setze ๐ฅ๐ฅ = ๐๐๐๐๐ฝ๐ฝ
fรผr eine beliebige zulรคssige WDF ๐๐, dann gilt
nach Integration รผber ฮ:
โโซฮ ๐๐ log๐๐๐๐๐๐ โค โโซฮ ๐๐ log๐๐๐ฝ๐ฝ ๐๐๐๐โข Mit der Definition von ๐๐๐ฝ๐ฝ folgt
โโซฮ ๐๐ log๐๐๐ฝ๐ฝ ๐๐๐๐ = log๐๐ + โ๐๐ ๐ฝ๐ฝ๐๐ ๏ฟฝ๐๐๐๐ = โโซฮ ๐๐๐ฝ๐ฝ log๐๐๐ฝ๐ฝ ๐๐๐๐und damit ๐๐ ๐๐ โค ๐๐ ๐๐๐ฝ๐ฝ , Gleichheit nur fรผr ๐๐ = ๐๐๐ฝ๐ฝ
Entropie und Gleichgewicht
โข Beispiel:โข Es liege nur die Messung der Energie des Ensembles ๐ธ๐ธ =๐ธ๐ธ ๐ป๐ป vor
โข Man erhรคlt
๐๐๐ฝ๐ฝ = ๐๐โ1 ๐๐โ๐ฝ๐ฝ๐๐ , ๐๐ = โซฮ ๐๐โ๐ฝ๐ฝ๐๐๐๐๐๐und die Identitรคt
๐ธ๐ธ = ๐ธ๐ธ ๐ป๐ป = โซฮ ๐๐โ1๐ป๐ป๐๐โ๐ฝ๐ฝ๐๐๐๐๐๐ = โ ๐๐๐๐๐ฝ๐ฝ
log๐๐
โข Die Entropie ist gegeben durch ๐๐ = ๐ฝ๐ฝ๐ธ๐ธ + log๐๐
Entropie und Gleichgewicht
โข Physik: In einem abgeschlossenen System kann die Entropie im Laufe der Zeit nur zunehmenJede Dichte entwickelt sich im Laufe der Zeit zu einer Dichte, die die Entropie maximiert
โข Die kanonische Dichte ist zeitinvariant und eignet sich damit gut als asymptotische invariante Dichte, โthermisches Gleichgewichtโ
โข Ein System ist im thermischen Gleichgewicht wenn es durch wenige Zustandsgrรถรen beschreibbar ist: Temperatur, Druck, Teilchenzahl,โฆ
Entropie und Gleichgewicht
โข Temperatur eines Systems ๐๐โ1 โ ๐๐๐๐๐๐๐๐
โข Fรผr die kanonische Dichte gilt also ๐๐ = 1๐ฝ๐ฝ
und man erhรคlt die
Darstellung ๐๐ = ๐๐โ1๐๐โ๐ป๐ป๐๐
โข Verรคndert sich ๐๐, so im Speziellen auch die Normierung ๐๐, die als Zustandssumme bezeichnet wird
Entropie und Gleichgewichtโข รquivalenz der Ensemble
โข Periodisches System von ๐๐ nicht miteinander interagierender Partikel innerhalb eines Wรผrfels der Kantenlรคnge ๐ฟ๐ฟ
โข Hamilton Funktion gegeben durch ๐ป๐ป = 12๐๐
โ๐๐=13๐๐ ๐๐๐๐2
โข Fรผr Z erhรคlt man
๐๐ = โซโฆโซ ๐๐โ๐ฝ๐ฝ๐๐๐๐๐ฅ๐ฅ1 โฆ๐๐๐ฅ๐ฅ3๐๐๐๐๐๐1 โฆ๐๐๐๐3๐๐ = ๐๐๐๐ 2๐๐๐๐๐ฝ๐ฝ
3๐๐2
โข Fรผr ๐ธ๐ธ gilt
๐ธ๐ธ = โ ๐๐๐๐๐ฝ๐ฝ
log ๐๐ = 3๐๐2๐๐
โข Die WDF ๐๐๐๐ von ๐ป๐ป ist gegeben durch
๐๐๐๐ = ๐ถ๐ถ ๐๐,๐ฝ๐ฝ ๐๐โ๐ฝ๐ฝ๐ป๐ป๐๐3๐๐2 โ1๐๐๐๐
๐๐, ๐ถ๐ถ ๐๐,๐ฝ๐ฝ Konstante
Entropie und Gleichgewicht
โข รquivalenz der Ensembleโข Die Graphen von ๐๐๐๐/๐ธ๐ธ[๐ป๐ป] als Funktion von ๐ป๐ป fรผr verschiedene
Werte von ๐๐ sind zunehmend um ๐ป๐ป = ๐ธ๐ธ konzentriertโข Fรผr sehr groรe ๐๐ sind damit die mikrokanonische und die
kanonische Dichte nicht mehr zu unterscheiden
Iising-Modell
Ising-Modellโข ๐๐x๐๐ Gitter mit Gitterweite 1โข Auf jeden Gitterpunkt (๐๐, ๐๐) setze eine Variable ๐ ๐ ๐๐,๐๐ = ยฑ1 (Spin)โข Periodisches Gitter: ๐ ๐ ๐๐+๐๐,๐๐ = ๐ ๐ ๐๐,๐๐ und ๐ ๐ ๐๐,๐๐+๐๐ = ๐ ๐ ๐๐,๐๐โข Zuordnung einer Hamilton Funktion (zeitunabhรคngig und
impulsfrei)
๐ป๐ป = โ12โ๐๐,๐๐ ๐ ๐ ๐๐,๐๐(๐ ๐ ๐๐+1,๐๐ + ๐ ๐ ๐๐โ1,๐๐ + ๐ ๐ ๐๐,๐๐+1 + ๐ ๐ ๐๐,๐๐โ1)
โข Mikrozustรคnde des Systems entsprechen den 2๐๐2Mรถglichkeiten die up und down Spins anzuordnen
โข Ordne jedem Mikrozustand die Wahrscheinlichkeit ๐๐โ1๐๐โ๐ป๐ป๐๐ zu,
mitT der Temperatur Z als Normalisierungsfaktor
Ising-Modell
โข Die Magnetisierung ist definiert als
๐๐ = 1๐๐2โ๐๐,๐๐ ๐ ๐ ๐๐,๐๐
โข Sind alle Spins ausgerichtet, so gilt offensichtlich ๐๐ = ยฑ1โข Mit obigen Voraussetzungen gilt ๐ธ๐ธ ๐๐ = 0, da fรผr einen
gegebenen Mikrozustand ๐๐๐๐ der gespiegelte Mikrozustand ฬ ๐๐๐๐gleich wahrscheinlich ist
โข Die Kovarianzfunktion ist
๐ถ๐ถ ๐๐โฒ, ๐๐โฒ = ๐ธ๐ธ (๐ ๐ ๐๐,๐๐โ๐ธ๐ธ ๐๐ ๐ ๐ ๐๐+๐๐โฒ,๐๐+๐๐โฒ โ ๐ธ๐ธ ๐๐ ]
โข Die Korrelationslรคnge ist eine Zahl ๐๐ โฅ 0, so dass fรผr ๐๐โฒ2 + ๐๐โฒ2 > ฮถ2
die Kovarianz nicht signifikant ist
Ising-Modell
https://www.youtube.com/watch?v=kjwKgpQ-l1s
MCMC-Verfahren
MCMC-Verfahren
โข Ziel:Berechnung des Erwartungswerts einer skalaren Funktion ๐๐(๐๐,๐๐) hinsichtlich der kanonischen Dichte:
๐ธ๐ธ ๐๐ = โซฮ ๐๐(๐๐,๐๐) ๐๐โ๐ป๐ป ๐๐,๐๐
๐๐
๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
โข Probleme:Groรe Variablenanzahl๐๐โ๐ฝ๐ฝ๐๐(๐๐,๐๐) ist รผblicherweise sehr klein ausgenommen auf einem geringen Teil von ฮ, was durch Zufallsziehen kaum getroffen wird
Diese Problematik wird schon im 1d Ising Modell gut deutlich:
MCMC-Verfahrenโข Spins in 1d Gitter und die Hamilton-Funktion wird zu
๐ป๐ป = โโ๐๐=1๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐+1โข Fรผr ๐๐ = 4 gibt es 24 = 16 mรถgliche Mikrozustรคnde:
2 mit ๐ป๐ป = โ4, 12 mit ๐ป๐ป = 0, 2 mit ๐ป๐ป = 4โข Die zugeordnete Wahrscheinlichkeiten fรผr einen Mikrozustand ๐๐๐๐
ist
๐๐๐๐ = ๐๐ ๐๐๐๐ =๐๐โ๐ป๐ป๐๐/๐๐
๐๐, mit
๐๐ = โ๐๐=1๐๐ ๐๐โ๐๐๐๐/๐๐
โข ๐ป๐ป = โ4 ๐๐ = 0,45 zusammen ๐๐ = 0,9โข ๐ป๐ป = 0 ๐๐ = 0,008 zusammen ๐๐ = 0,096โข ๐ป๐ป = 4 ๐๐ = 0,00015 zusammen ๐๐ = 0,0003
MCMC-Verfahren
โข Im Allgemeinen liegt eine groรe Anzahl von Mikrozustรคnden vor die verschwindende Wahrscheinlichkeit haben
Konstruiere eine Kette, die die Orte abhรคngig von den Wahrscheinlichkeiten ๐๐๐๐ โ
1๐๐๐๐โ๐๐๐๐/๐๐ besucht
โข Das im Folgenden vorgestellte MCMC-Verfahren beruht auf dieser Idee
MCMC-Verfahren
DefinitionSei ฮ ein Raum der die Mikrozustรคnde ๐๐1, โฆ , ๐๐๐๐ enthรคlt. Eine Zufallskette auf ฮ ist ein zeitdiskreter stochastischer Prozess, so dass zu jedem Zeitpunkt ๐ก๐ก,๐๐๐ก๐ก = ๐๐๐๐ fรผr 1 โค ๐๐ โค ๐๐ gilt.
DefinitionDie Wahrscheinlichkeit ๐๐(๐๐๐ก๐ก = ๐๐๐๐|๐๐๐ก๐กโ1 = ๐๐๐๐1 ,๐๐๐ก๐กโ2 = ๐๐๐๐2, โฆ )
heiรt รbergangswahrscheinlichkeit der Kette. Die Kette ist eine Markov-Kette falls ๐๐ ๐๐๐ก๐ก = ๐๐๐๐ ๐๐๐ก๐กโ1 = ๐๐๐๐1 ,๐๐๐ก๐กโ2 = ๐๐๐๐2, โฆ = ๐๐ ๐๐๐ก๐ก = ๐๐๐๐ ๐๐๐ก๐กโ1 = ๐๐๐๐
gilt.
MCMC-Verfahren
โข Im Falle einer Markov-Kette schreiben wir๐๐ ๐๐๐ก๐ก = ๐๐๐๐ ๐๐๐ก๐กโ1 = ๐๐๐๐ = ๐๐๐๐๐๐ = ๐๐ ๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐ , โ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ = 1 und ๐๐๐๐๐๐ โฅ 0
โข Die Matrix ๐๐ mit Eintrรคgen ๐๐๐๐๐๐ heiรt รbergangsmatrixโข Ist ๐๐ ๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐ = ๐๐๐๐๐๐ bekannt, so folgt
๐๐ ๐๐๐ก๐ก = ๐๐๐๐ ๐๐๐ก๐กโ2 = ๐๐๐๐ = โ๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐ โ ๐๐๐๐= โ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
โข Dies entspricht den Eintrรคgen von ๐๐2 = ๐๐(2); Matrix mit Wahrscheinlichkeiten in 2 Schritten von ๐๐๐๐ nach ๐๐๐๐ zu gelangen
MCMC-Verfahren
DefinitionEine Markov-Kette heiรt ergodisch in ฮ falls fรผr zwei beliebige Mikrozustรคnde ๐๐๐๐ und ๐๐๐๐ die Wahrscheinlichkeit in ๐๐ Schrittenvon ๐๐๐๐ nach zu ๐๐๐๐ gelangen ungleich Null ist fรผr ein beliebiges ๐๐
SatzFรผr eine ergodische Markov-Kette existieren die Grenzwerte
lim๐๐โโ
๐๐๐๐๐๐(๐๐) =:๐๐๐๐ und sind unabhรคngig vom Anfangszustand.
Weiterhin sind die ๐๐๐๐ eindeutig bestimmt durch๐๐๐๐ > 0, โ๐๐ ๐๐๐๐ = 1, ๐๐๐๐ = โ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐
MCMC-Verfahren
โข Zu Beginn gelte ๐๐ ๐๐0 = ๐๐๐๐ = ๐๐๐๐ fรผr alle ๐๐โข Fรผr einen weiteren Schritt gilt
๐๐ ๐๐1 = ๐๐๐๐ = โ๐๐=1โ ๐๐ ๐๐1 = ๐๐๐๐ ๐๐0 = ๐๐๐๐ ๐๐(๐๐0 = ๐๐๐๐)= โ๐๐=1โ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ = ๐๐๐๐
โข Rekursiv folgt ๐๐ ๐๐๐๐ = ๐๐๐๐ = ๐๐๐๐
Nun lรคsst sich auch eine Beziehung fรผr ๐ธ๐ธ[๐๐] herleiten:
MCMC-Verfahrenโข Definiere
๐๐๐๐(๐๐) โ 1
๐๐โ๐๐=1๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐=๐๐๐๐
als den Bruchteil der Zeit den die ergodische Markov-Kette im Zustand ๐๐๐๐ in der Zeit ๐๐ verbracht hat
โข Fรผr den Erwartungswert gilt
๐ธ๐ธ ๐๐๐๐๐๐ = 1
๐๐โ๐๐=1๐๐ ๐ธ๐ธ ๐๐ ๐๐๐๐=๐๐๐๐ = 1
๐๐โ๐๐=1๐๐ ๐๐(๐๐๐๐ = ๐๐๐๐)
โข Im Grenzwert gilt damit
lim๐๐โโ
๐ธ๐ธ ๐๐๐๐๐๐ = ๐๐๐๐
โข Fรผr eine ergodische Markov-Kette gilt diese Aussage auch ohne Erwartungswert:
lim๐๐โโ
๐๐๐๐(๐๐) = ๐๐๐๐ , f.s.
MCMC-Verfahren
โข Betrachte nun die zu Beginn des Kapitels erwรคhnte Funktion ๐๐1๐๐โ๐๐=1๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐ = 1
๐๐โ๐๐=1๐๐ โ๐๐=1โ ๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐=๐๐๐๐
= โ๐๐=1โ ๐๐ ๐๐๐๐1๐๐โ๐๐=1๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐=๐๐๐๐
= โ๐๐=1โ ๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐(๐๐)
โข Als Grenzwert ergibt sich damit1๐๐โ๐๐=1๐๐ ๐๐(๐๐๐๐)
๐๐โโ๐ธ๐ธ ๐๐ ๐๐ = โ๐๐=1โ ๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐
MCMC-Verfahren
โข Es verbleibt nun nur noch die รbergangswahrscheinlichkeiten zu bestimmen, so dass die ๐๐๐๐ mit den Pi รผbereinstimmen
โข Schritt 1โข Starte mit einem beliebigen Zustand ๐๐๐๐โข Konstruiere eine beliebige symmetrische ergodische Markov-
Kette
MCMC-Verfahrenโข Schritt 2
โข In jedem Zeitschritt wรคhle einen zufรคlligen Spin ๐ ๐ ๐๐ aus und drehe ihn: ๐ ๐ ๐๐ โ โ๐ ๐ ๐๐
โข Dies geschehe mit den modifizierten Wahrscheinlichkeiten ๐๐๐๐๐๐โ
falls ๐๐ โ ๐๐:
๐๐๐๐๐๐โ โ ๏ฟฝ๐๐๐๐๐๐
๐๐๐๐๐๐๐๐
, ๐๐๐๐๐๐๐๐
< 1
๐๐๐๐๐๐ , ๐๐๐๐๐๐๐๐โฅ 1
falls ๐๐ = ๐๐:๐๐๐๐๐๐โ โ ๐๐๐๐๐๐ + โ๐๐๐๐๐๐(1 โ ๐๐๐๐
๐๐๐๐), wobei die Summe รผber
alle ๐๐ mit ๐๐๐๐๐๐๐๐
< 1 lรคuft
โข Im Durchschnitt besucht der Prozess den Zustand ๐๐๐๐ in 100๐๐๐๐Prozent der Zeit
MCMC-Verfahren
โข Zu beachten ist, dass bei der Berechnung von๐๐๐๐๐๐๐๐
= exp โ๐๐ ๐๐๐๐๐๐
+ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐
= exp(โฮ๐๐๐๐
)
der Wert von ๐๐ nie bestimmt werden muss
Renormierung
Renormierung
DefinitionSei {๐๐1, โฆ , ๐๐๐๐} eine Menge von Zufallsvariablen mit WDF๐๐(๐ฅ๐ฅ1, โฆ , ๐ฅ๐ฅ๐๐). Fรผr eine Teilmenge ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ = {๐๐1, โฆ , ๐๐๐๐} mit ๐๐ < ๐๐ist die WDF โซ๐๐ ๐๐๐ฅ๐ฅ๐๐+1 โฆ๐๐๐ฅ๐ฅ๐๐Die WDF einer Teilmenge nennt man Randdichte von f. Im Falle diskreter Variablen wird das Integral zu einer Summe
โข Im Folgenden sollen Randdichten fรผr das 1d Ising-Modell berechnet werden
Renormierung
โข Die Anzahl der Spins sei ๐๐ = 2๐๐ und es liegen periodische Randbedingungen vor: ๐ ๐ ๐๐+๐๐ = ๐ ๐ ๐๐
โข Sei ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ die Teilmenge mit ungeraden Indizes ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ = {๐ ๐ 1, ๐ ๐ 3, โฆ , ๐ ๐ ๐๐โ1}und ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ die mit geraden Indizes
โข Die Berechnung der Randdichte fรผr ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ benรถtigt im Allgemeinen eine extrem groรe Summation
โข Abhilfe schafft folgende Konstruktion
Renormierung
โข Definiere ๐๐ โ โ๐ฝ๐ฝ๐ป๐ปโข Das Addieren einer Konstanten zu ๐๐ รคndert nichts an der
Wahrscheinlichkeit ๐๐(๐๐๐๐), da auch ๐๐ diese Konstante erhรคltโข Addiere also die Konstante ๐๐๐ด๐ด0 zu ๐๐ und definiere ๐พ๐พ0: = ๐ฝ๐ฝ
๐๐ = ๐๐(0) = ๐๐๐ด๐ด0 + ๐พ๐พ0 โ๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐+1โข Die Randdichte von ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ schreibe als ๐๐๐๐ 1
โข Man nennt ๐๐(1) eine Renormierung von ๐๐(0)
Renormierung
โข Annahme:Auch ๐๐(1) besteht aus Summen nรคchster Nachbarn (im Originalsystem zwei Spins entfernt), so dass man als Wahrscheinlichkeit
exp ๐๐2๐ด๐ด1+๐พ๐พ1 โ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐+2
๐๐1erhรคlt
โข Die Annahme ist korrekt, falls fรผr die neuen Konstanten ๐ด๐ด1,๐พ๐พ1folgende Gleichung gilt: (๐๐1= ๐๐ muss aus physikalischer Sicht gelten)
exp ๐๐2๐ด๐ด1 + ๐พ๐พ1 โ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐+2 = โ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ exp ๐๐๐ด๐ด0 + ๐พ๐พ0 โ๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐+1
Renormierungโข Durch Umformung erhรคlt man fรผr die linke Seite
exp(๐๐2๐ด๐ด1 + ๐พ๐พ1 โ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐+2) = โ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ exp(๐ด๐ด1 + ๐พ๐พ1๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐+2)
โข Und fรผr die rechte Seite
โ๏ฟฝฬ๏ฟฝ๐ exp ๐๐๐ด๐ด0 + ๐พ๐พ0 โ๐๐ ๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐+1 = โ๐๐ ๐๐๐๐๐๐ ๏ฟฝexp 2๐ด๐ด0 + ๐พ๐พ0 ๐ ๐ ๐๐ + ๐ ๐ ๐๐+2+ ๏ฟฝexp 2๐ด๐ด0 โ ๐พ๐พ0 ๐ ๐ ๐๐ + ๐ ๐ ๐๐+2
โข Annahme ist bestรคtigt, wenn fรผr alle ๐๐ und alle Werte von ๐ ๐ ๐๐ , ๐ ๐ ๐๐+2gilt
๐๐๐ด๐ด1+๐พ๐พ1๐ ๐ ๐๐๐ ๐ ๐๐+2 = ๐๐2๐ด๐ด0(๐๐๐พ๐พ0 ๐ ๐ ๐๐+๐ ๐ ๐๐+2 + ๐๐โ๐พ๐พ0(๐ ๐ ๐๐+๐ ๐ ๐๐+2))โข Eine Fallunterscheidung liefert
๐พ๐พ1 = 12
log cosh 2๐พ๐พ0 , ๐ด๐ด1 = 2๐ด๐ด0 + log 2 + ๐พ๐พ1
Renormierung
โข Zu beachten ist, dass die zu Anfang mit 0 gewรคhlte Konstante sich verรคndert, jedoch nur harmlose Werte annimmt
โข Die Parameter ๐ด๐ด๐๐,๐พ๐พ๐๐ des Prozesses sind nur von ๐ด๐ด๐๐โ1,๐พ๐พ๐๐โ1abhรคngig
โข Es entsteht eine Sequenz immer kleiner werdender Untersysteme, deren Konfigurationswahrscheinlichkeiten stets gleich ihrer Randdichten im Originalsystem sind
โข ๐พ๐พ๐๐ wird in jedem Schritt kleiner da log cosh ๐ฅ๐ฅ < ๐ฅ๐ฅ, fรผr ๐ฅ๐ฅ > 0, was dazu fรผhrt, dass die Variablen in den Untersystemen unabhรคngiger werden
Renormierung
โข Die Korrelationslรคnge ๐๐ wird im 1d Modell zum Abstand๐๐ โ ๐๐ > ๐๐
bei dem die Kovarianz vernachlรคssigbar istโข In jedem Renormierungsschritt nimmt die Korrelationslรคnge um
den Faktor 2 abIn jedem Schritt lassen sich die Orte der Spins umsortieren๐ ๐ 3 โ ๐ ๐ 2๐ ๐ 5 โ ๐ ๐ 3 โฆ
โข Fรผr ๐๐ โ 0 erhรคlt man ein System unabhรคngiger Spins
Renormierungโข Diese Konstruktion ermรถglicht es Markov-Ketten zu umgehen:
โข Reduziere das System wie beschrieben auf zwei Spins pro Periode
โข Das Ergebnis sind vier Zustรคnde mit Wahrscheinlichkeiten ๐๐1,๐๐2,๐๐3,๐๐4
โข Erstelle ein Stichprobensystem, das jedes dieser Systeme mit einer Frequenz gleich ihrer Wahrscheinlichkeit zieht
โข Gehe รผber in das System mit vier Spins:Zwei unbekannte Spins mit bekannten Nachbarn und nur zwei mรถglichen Zustรคnden
โข Ziehe auch hier eine Stichprobe gleich der Frequenz ihrer Wahrscheinlichkeiten
โข ...