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Intervallschachtelung
Hier als Näherungsverfahren zur Bestimmung der Quadratwurzel
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Hinter dem Verfahren steckt die Idee, durch „gezieltes Probieren“ die Quadratwurzel zu finden.
Beispiel: Bestimmung der Wurzel aus 10Zunächst überlegt man sich nur ungefähr, wie groß die Wurzel sein muss.
Ich weiß, dass 3² gleich 9 ist.
Die 3 ist zu klein!
Hmm, 4²=16, die
4 ist zu groß.
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Solche Überlegungen am besten gleich aufschreiben!Die Wurzel aus 10 muss zwischen 3 und 4 liegen:
3²=9 < 10 < 4²= 16 3 < < 410
Nächster Versuch:3,33,3²=10,89
Ganz gut, aber immer noch zu groß!
Die Wurzel muss also zwischen 3 und 3,3 liegen!
also
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3²=9 < 10 < 3,3²= 10,89 3 < < 3,3
10
Anstatt „zwischen 3 und 3,3“ sagt man auch:„im Intervall [3; 3,3]“ d.h. bei einem Intervall gibt man
die Grenzen an!Zurück zur Wurzel aus 10!Neuer
Versuch?
3,15²=9,9225 zu klein!
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Die Wurzel aus 10 muss zwischen 3,15 und 3,3 liegen:
„Das heißt, die Wurzel liegt im Intervall [3,15 ; 3,3 ]“
3,15²=9,9225 < 10 < 3,3²= 10,89 3,15 < <
3,310
So! Bisher sind wir durch Probieren der Wurzel schon ganz schön nahe gekommen.
Problem: Wie könnte das ein Computer oder Taschenrechner für uns machen?
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Wir müssen für unser Probierverfahren, eine Art Kochrezept finden – eine immer gleiche Prozedur!Dazu machen wir noch ein zweites Beispiel:
Bestimmung der Wurzel aus 2
Vorschlag: Bevor du weiterklickst, versuche doch mal die Wurzel durch das beschriebene Verfahren bis auf 2
Stellen zu bestimmen!
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Wir beginnen mit dem Intervall [1;2] und schauen uns das ganze auf dem Zahlenstrahl an:
Anstatt nun irgendeine Zahl zwischen 1 und 2 zu probieren, nehmen wir die Intervallmitte.
1,5 = (1+2):2
1,5²= 2,25d.h. 1,5 ist zu
groß!
Dazwischen muss die Wurzel aus 2 liegen!
Also muss Wurzel aus 2 zwischen 1 und 1,5 liegen.
1 2
Kannst du erklären warum?
Falls nein, geh noch mal zurück!
bzw. im Intervall [1;1,5]
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Nun nehmen wir uns das Intervall [1; 1,5] vor:
Wir nehmen die Intervallmitte: (1+1,5) : 2=1,25und überprüfen durch Quadrieren: 1,25²=1,5625
Zu klein!
Also liegt die Wurzel aus 2 zwischen 1,25 und 1,5
bzw. im Intervall [1,25 ; 1,5]
1,25 1 21,5
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Und nochmal: Intervall [1,25 ; 1,5 ]
Intervallmitte: (1,25+1,5):2 = 1,375
Quadrieren: 1,375²=1,890625
zu klein!
Also liegt zwischen 1,375 und 1,5. 2
1 21,25 1,51,375
im Intervall [1,375 ; 1,5]
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Rückblick:
1. Intervall: [1 ; 2]
2. Intervall: [1 ; 1,5]3. Intervall: [ 1,25 ; 1,5 ]
1,25
1 21,5
1,375
1 1,5
1,25 1,54. Intervall [1,375 ; 1,5]
1. Schritt: Intervallmitte bestimmen: (untere Grenze+obere Grenze) : 2
2. Schritt: Intervallmitte quadrieren und prüfen (zu klein, oder zu groß)
(1+2):2=1,5 1,5²=2,25 zu groß!(1+1,5):2=1,25
1,25²=1,5625
zu klein!(1,25+1,5):2=1,375 1,375²=1,890625 zu klein!
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Zur Übersicht wäre doch eine Tabelle gut:
untere Grenze
obere Grenze
Intervallmitte Quadrat IM Prüf-ergebnis
1 2 1,5 2,25 Zu groß
1 1,5 1,25 1,5625 Zu klein
1,25 1,5 1,375 1,890625 Zu klein
1,375 1,5
Bevor du weiterklickst, versuche selbst eine geeignete Tabelle zu
erstellen!
Ehrlich schon selbst probiert??