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Intervallschachtelung

Hier als Näherungsverfahren zur Bestimmung der Quadratwurzel

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Hinter dem Verfahren steckt die Idee, durch „gezieltes Probieren“ die Quadratwurzel zu finden.

Beispiel: Bestimmung der Wurzel aus 10Zunächst überlegt man sich nur ungefähr, wie groß die Wurzel sein muss.

Ich weiß, dass 3² gleich 9 ist.

Die 3 ist zu klein!

Hmm, 4²=16, die

4 ist zu groß.

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Solche Überlegungen am besten gleich aufschreiben!Die Wurzel aus 10 muss zwischen 3 und 4 liegen:

3²=9 < 10 < 4²= 16 3 < < 410

Nächster Versuch:3,33,3²=10,89

Ganz gut, aber immer noch zu groß!

Die Wurzel muss also zwischen 3 und 3,3 liegen!

also

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3²=9 < 10 < 3,3²= 10,89 3 < < 3,3

10

Anstatt „zwischen 3 und 3,3“ sagt man auch:„im Intervall [3; 3,3]“ d.h. bei einem Intervall gibt man

die Grenzen an!Zurück zur Wurzel aus 10!Neuer

Versuch?

3,15²=9,9225 zu klein!

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Die Wurzel aus 10 muss zwischen 3,15 und 3,3 liegen:

„Das heißt, die Wurzel liegt im Intervall [3,15 ; 3,3 ]“

3,15²=9,9225 < 10 < 3,3²= 10,89 3,15 < <

3,310

So! Bisher sind wir durch Probieren der Wurzel schon ganz schön nahe gekommen.

Problem: Wie könnte das ein Computer oder Taschenrechner für uns machen?

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Wir müssen für unser Probierverfahren, eine Art Kochrezept finden – eine immer gleiche Prozedur!Dazu machen wir noch ein zweites Beispiel:

Bestimmung der Wurzel aus 2

Vorschlag: Bevor du weiterklickst, versuche doch mal die Wurzel durch das beschriebene Verfahren bis auf 2

Stellen zu bestimmen!

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Wir beginnen mit dem Intervall [1;2] und schauen uns das ganze auf dem Zahlenstrahl an:

Anstatt nun irgendeine Zahl zwischen 1 und 2 zu probieren, nehmen wir die Intervallmitte.

1,5 = (1+2):2

1,5²= 2,25d.h. 1,5 ist zu

groß!

Dazwischen muss die Wurzel aus 2 liegen!

Also muss Wurzel aus 2 zwischen 1 und 1,5 liegen.

1 2

Kannst du erklären warum?

Falls nein, geh noch mal zurück!

bzw. im Intervall [1;1,5]

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Nun nehmen wir uns das Intervall [1; 1,5] vor:

Wir nehmen die Intervallmitte: (1+1,5) : 2=1,25und überprüfen durch Quadrieren: 1,25²=1,5625

Zu klein!

Also liegt die Wurzel aus 2 zwischen 1,25 und 1,5

bzw. im Intervall [1,25 ; 1,5]

1,25 1 21,5

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Und nochmal: Intervall [1,25 ; 1,5 ]

Intervallmitte: (1,25+1,5):2 = 1,375

Quadrieren: 1,375²=1,890625

zu klein!

Also liegt zwischen 1,375 und 1,5. 2

1 21,25 1,51,375

im Intervall [1,375 ; 1,5]

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Rückblick:

1. Intervall: [1 ; 2]

2. Intervall: [1 ; 1,5]3. Intervall: [ 1,25 ; 1,5 ]

1,25

1 21,5

1,375

1 1,5

1,25 1,54. Intervall [1,375 ; 1,5]

1. Schritt: Intervallmitte bestimmen: (untere Grenze+obere Grenze) : 2

2. Schritt: Intervallmitte quadrieren und prüfen (zu klein, oder zu groß)

(1+2):2=1,5 1,5²=2,25 zu groß!(1+1,5):2=1,25

1,25²=1,5625

zu klein!(1,25+1,5):2=1,375 1,375²=1,890625 zu klein!

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Zur Übersicht wäre doch eine Tabelle gut:

untere Grenze

obere Grenze

Intervallmitte Quadrat IM Prüf-ergebnis

1 2 1,5 2,25 Zu groß

1 1,5 1,25 1,5625 Zu klein

1,25 1,5 1,375 1,890625 Zu klein

1,375 1,5

Bevor du weiterklickst, versuche selbst eine geeignete Tabelle zu

erstellen!

Ehrlich schon selbst probiert??