Modellierung Zustandsruckfuhrung Polvorgabe LQR Fuhrungsverhalten I-Anteil
Zustandsruckfuhrung in linearenMehrgroßenregelkreisen – Zustandsreglerentwurf
fur ein Dreitanksystem
Praktikum – Mehrgroßenregelsysteme, WS 2008/2009
Stephanie Geist
Fachgebiet RegelungssystemeTechnische Universitat Berlin
GERMANY
Stephanie Geist Zustandsruckfuhrung in linearen Mehrgroßenregelkreisen 1
Modellierung Zustandsruckfuhrung Polvorgabe LQR Fuhrungsverhalten I-Anteil
Inhalt
1 Modellierung
2 Zustandsruckfuhrung
3 Polvorgabe
4 LQR
5 Zustandsruckfuhrung: Berucksichtigung des Fuhrungsverhaltens
6 Zustandsregler mit integrierenden Anteil
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Modellierung Zustandsruckfuhrung Polvorgabe LQR Fuhrungsverhalten I-Anteil
Anwendungsbeispiel: Dreitanksystem
nichtlineares Mehrgroßensystem
Fullstandsregelung in allen 3 Tanks
Fullstande werden uberDrucksensoren gemessen
2 Stellgroßen: Pumpenraten
Ansteuerung: via Scilab
System kann als quasikontinuierlichbetrachtet werden
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Modellierung Zustandsruckfuhrung Polvorgabe LQR Fuhrungsverhalten I-Anteil
Modellierung
Q1 Q2
Q12 Q23 Q30
ATank
A12 A12 A30
h1
h2
h3
hmax
Volumenbilanz fur Tank 1:
dV1
dt= ATank
dh1
dt= Q1 − Q12
Flussrate:
Q12 = A12ν12
Zu-/Ausflussgeschwindigkeit(Gesetz von Toricelli):
ν12 = sgn(h1 − h2)√
2g |h1 − h2|
⇒ ATankdh1
dt= Q1 − sgn(h1 − h2)
√2g |h1 − h2|
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Modellierung Zustandsruckfuhrung Polvorgabe LQR Fuhrungsverhalten I-Anteil
Implementierung eines nichtlinearen Simulationsmodells inScicos
mehrere Moglichkeiten:
1 Verwendung von Blocken aus der Non linear library
2 Verwendung des Blocks GENERIC und Implementierung derSimulationsgleichungen als Scilab-Funktion
Beispiel:
x(t) = sin x(t) + u2(t) (1)
y = x (2)
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Modellierung Zustandsruckfuhrung Polvorgabe LQR Fuhrungsverhalten I-Anteil
Implementierung eines nichtlinearen Simulationsmodells inScicos
mehrere Moglichkeiten:
1 Verwendung von Blocken aus der Non linear library
1/s
generatorsinusoid
sin Trig. Function
MScopeu x yu^a
2 Verwendung des Blocks GENERIC und Implementierung derSimulationsgleichungen als Scilab-Funktion
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Modellierung Zustandsruckfuhrung Polvorgabe LQR Fuhrungsverhalten I-Anteil
Implementierung eines nichtlinearen Simulationsmodells inScicos
mehrere Moglichkeiten:
1 Verwendung von Blocken aus der Non linear library
2 Verwendung des Blocks GENERIC und Implementierung derSimulationsgleichungen als Scilab-Funktion
generator
sinusoid MScopeGENERIC
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Modellierung Zustandsruckfuhrung Polvorgabe LQR Fuhrungsverhalten I-Anteil
Implementierung eines nichtlinearen Simulationsmodells inScicos
mehrere Moglichkeiten:
1 Verwendung von Blocken aus der Non linear library
2 Verwendung des Blocks GENERIC und Implementierung derSimulationsgleichungen als Scilab-Funktion
generator
sinusoid MScopeGENERIC
f u n c t i o n b l o c k=e x a m p l e n o n l i n e a r ( b lock , f l a g )i f f l a g==0
x=b l o c k . x ;u=b l o c k . i n p t r ;b l o c k . xd (1)= s i n ( x (1))+ u ( 1 ) ˆ 2
e l s e i f f l a g==1b l o c k . o u t p t r (1)(1)= b l o c k . x ( 1 )
ende n d f u n c t i o n
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Modellierung Zustandsruckfuhrung Polvorgabe LQR Fuhrungsverhalten I-Anteil
Inhalt
1 Modellierung
2 Zustandsruckfuhrung
3 Polvorgabe
4 LQR
5 Zustandsruckfuhrung: Berucksichtigung des Fuhrungsverhaltens
6 Zustandsregler mit integrierenden Anteil
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Modellierung Zustandsruckfuhrung Polvorgabe LQR Fuhrungsverhalten I-Anteil
Zustandsreglerentwurf
1 Entwurf einer vollstandigen Zustandsruckfuhrung,wobei angenommen wird, dass alle Zustande messbar sind undzuruckgefuhrt werden konnen
2 Entwurf eines Zustandsbeobachters/Zustandsschatzers, wobeinicht direkt messbare Zustande geschatzt werden.
3 Reglerreduktion,wobei der aus den ersten beiden Schritten gewonnene Regler durcheinen einfacheren Regler approximiert wird
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Modellierung Zustandsruckfuhrung Polvorgabe LQR Fuhrungsverhalten I-Anteil
Zustandsreglerentwurf
1 Entwurf einer vollstandigen Zustandsruckfuhrung,wobei angenommen wird, dass alle Zustande messbar sind undzuruckgefuhrt werden konnen
2 Entwurf eines Zustandsbeobachters/Zustandsschatzers, wobeinicht direkt messbare Zustande geschatzt werden.
3 Reglerreduktion,wobei der aus den ersten beiden Schritten gewonnene Regler durcheinen einfacheren Regler approximiert wird
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Modellierung Zustandsruckfuhrung Polvorgabe LQR Fuhrungsverhalten I-Anteil
Zustandsruckfuhrung
Regelstrecke:
x(t) = Ax(t) + Bu(t), x ∈ Rn, u ∈ Rq (3)
konstante Zustandsruckfuhrung
u(t) = −Kx(t)
(4)
K . . . konstante reelleq × n - Matrix
B
A
−K
u x∫
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Modellierung Zustandsruckfuhrung Polvorgabe LQR Fuhrungsverhalten I-Anteil
Inhalt
1 Modellierung
2 Zustandsruckfuhrung
3 Polvorgabe
4 LQR
5 Zustandsruckfuhrung: Berucksichtigung des Fuhrungsverhaltens
6 Zustandsregler mit integrierenden Anteil
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Modellierung Zustandsruckfuhrung Polvorgabe LQR Fuhrungsverhalten I-Anteil
Polvorgabe
x(t) = (A− BK )x(t)
B
A
−K
u x∫
Satz
Ist (A,B) steuerbar, so konnen durch Wahl einer geeigneten reellwertigenMatrix K die Eigenwerte von (A− BK ) beliebig (reell oder konjugiertkomplex) vorgegeben werden.
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Modellierung Zustandsruckfuhrung Polvorgabe LQR Fuhrungsverhalten I-Anteil
Inhalt
1 Modellierung
2 Zustandsruckfuhrung
3 Polvorgabe
4 LQR
5 Zustandsruckfuhrung: Berucksichtigung des Fuhrungsverhaltens
6 Zustandsregler mit integrierenden Anteil
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Modellierung Zustandsruckfuhrung Polvorgabe LQR Fuhrungsverhalten I-Anteil
LQR
Regelstrecke: x(t) = Ax(t) + Bu(t)
quadratisches Kostenfunktional:
J(x0) =
∞∫0
(xT (t)Qx(t) + uT (t)Ru(t))dt (5)
Q symmetrisch, reell, positiv semidefinitR symmetrisch, reell, positiv definit
optimales Regelgesetz (lineare konstante Zustandsruckfuhrung):
u∗(t) = −R−1BT P︸ ︷︷ ︸K
x(t)
(6)
B
A
−K
u x∫
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Modellierung Zustandsruckfuhrung Polvorgabe LQR Fuhrungsverhalten I-Anteil
LQR
optimales Regelgesetz
u∗(t) = −R−1BT Px(t), (7)
wobei P die algebraische Riccati-Gleichung
PA + AT P − PBR−1BT P + Q = 0 (8)
erfullt
Voraussetzungen:
(A,B) stabilisierbar
Q = ETE muss so gewahlt werden, dass (ET ,A) entdeckbar
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Modellierung Zustandsruckfuhrung Polvorgabe LQR Fuhrungsverhalten I-Anteil
LQR
Entwurfsschritte
1 Prufen der Strecke auf Stabilisierbarkeit
2 Wahl der Bewichtungsmatrizen Q und R
3 Berechnen von P durch Losen der algebraischen Riccati-Gleichung
4 Berechnen der optimalen Zustandsruckfuhrung K
5 Analyse des Regelsystems:
Berechnung der Dynamikmatrix des Regelsystems:Ag = A− BR−1BT PBerechnung der Eigenwerte von Ag
Simulation der Zustandsgroßen und der Stellgroßenetc.
6 Spezifikationen sind erfullt?
ja → Endenein → zuruck zum Schritt 2 und Anpassen von Q und R
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Modellierung Zustandsruckfuhrung Polvorgabe LQR Fuhrungsverhalten I-Anteil
Inhalt
1 Modellierung
2 Zustandsruckfuhrung
3 Polvorgabe
4 LQR
5 Zustandsruckfuhrung: Berucksichtigung des Fuhrungsverhaltens
6 Zustandsregler mit integrierenden Anteil
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Modellierung Zustandsruckfuhrung Polvorgabe LQR Fuhrungsverhalten I-Anteil
Berucksichtigung des Fuhrungsverhaltens
bisher:
Regelstrecke: x(t) = Ax(t) + Bu(t)
Regelungsziel: x → 0
Frage
Entspricht der Dreitankversuch diesem Standardproblem?
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Modellierung Zustandsruckfuhrung Polvorgabe LQR Fuhrungsverhalten I-Anteil
Berucksichtigung des Fuhrungsverhaltens
bisher:
Regelstrecke: x(t) = Ax(t) + Bu(t)
Regelungsziel: x → 0
Frage
Entspricht der Dreitankversuch diesem Standardproblem?
Antwort
JA, denn
C = I , d.h. x = y
Linearisierung um den Arbeitspunkt, Ziel: Abweichung vomArbeitspunkt verschwindet, d.h. x → 0
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Modellierung Zustandsruckfuhrung Polvorgabe LQR Fuhrungsverhalten I-Anteil
Berucksichtigung des Fuhrungsverhaltens
bisher:
Regelstrecke: x(t) = Ax(t) + Bu(t)
Regelungsziel: x → 0
nun:Erzielen eines bestimmen Sollwertes oder einer Trajektorie des Ausgangs-signals
Regelstrecke:
x(t) = Ax(t) + Bu(t), (9)
y(t) = Cx(t) + Du(t) (10)
Im Folgenden: D=0
Regelungsziel: y = r
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Modellierung Zustandsruckfuhrung Polvorgabe LQR Fuhrungsverhalten I-Anteil
Berucksichtigung des Fuhrungsverhaltens
Zustandsruckfuhrung mit Vorsteuerung:
rV B C
A
−K
y
x
u ∫
Anmerkung: Regelfehler e(t) = r(t)− y(t) tritt nicht explizit auf
Entwurf
1 Festlegung der dynamischen Eigenschaften durch die Wahl von K
2 Festlegung des Fuhrungsverhaltens (z.B. der stationaren Genauigkeitbei Sollwertvorgabe) durch Wahl von V
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Modellierung Zustandsruckfuhrung Polvorgabe LQR Fuhrungsverhalten I-Anteil
Beispiel: Entwurf der Vorsteuerung fur Sollwertfolge
x(t) = (A− BK )x(t) + BVr(t) (11)
y(t) = Cx(t) (12)
Wir fordern fur konstante Fuhrungsgroßen r , dass sich nach demAbklingen der Einschwingvorgange (x = 0) eine stationare Regelgroßevon
limt→∞
y(t) = limt→∞
Cx(t) = r (13)
einstellt.Im stationaren Zustand gilt:
0 = (A− BK )x + BVr , (14)
limt→∞
y(t) = C (BK − A)−1BVr = r . (15)
Die Forderung wird erfullt fur
V = (C (BK − A)−1B)−1. (16)
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Modellierung Zustandsruckfuhrung Polvorgabe LQR Fuhrungsverhalten I-Anteil
Inhalt
1 Modellierung
2 Zustandsruckfuhrung
3 Polvorgabe
4 LQR
5 Zustandsruckfuhrung: Berucksichtigung des Fuhrungsverhaltens
6 Zustandsregler mit integrierenden Anteil
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Modellierung Zustandsruckfuhrung Polvorgabe LQR Fuhrungsverhalten I-Anteil
Zustandsregler mit integrierenden Anteil
B C
Ax
y
−K
u ∫
Die Einfuhrung eines integrierenden Anteils ist in vielen Fallen sinnvoll:
konstante Storungen
Parameteranderungen
Arbeitspunktregelungen
Ziel:
Verbesserung des (niederfrequenten) Storverhaltens
verbesserte Robustheitseigenschaften
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Modellierung Zustandsruckfuhrung Polvorgabe LQR Fuhrungsverhalten I-Anteil
Zustandsregler mit integrierenden Anteil
Erweiterung der Reglerstruktur:
B C
Ax
yr
−K
u∫KI
∫
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Modellierung Zustandsruckfuhrung Polvorgabe LQR Fuhrungsverhalten I-Anteil
Zustandsregler mit integrierenden Anteil: Entwurf
Einfuhrung neuer Zustandsgroßen y modifiziertes Entwurfsproblem:
B C
Ax
yr
−K
uz∫KI
∫
[x(t)z(t)
]=
[A 0−C 0
] [x(t)z(t)
]+
[B0
]u(t) +
[0I
]r(t)
y(t) =[C 0
] [x(t)z(t)
]Stephanie Geist Zustandsruckfuhrung in linearen Mehrgroßenregelkreisen 28
Modellierung Zustandsruckfuhrung Polvorgabe LQR Fuhrungsverhalten I-Anteil
Zustandsregler mit integrierenden Anteil: Entwurf
Einfuhrung neuer Zustandsgroßen y modifiziertes Entwurfsproblem:
B C
Ax
yr
−K
uz∫KI
∫
u(t) =[−K KI
] [x(t)z(t)
]
Stephanie Geist Zustandsruckfuhrung in linearen Mehrgroßenregelkreisen 29
Modellierung Zustandsruckfuhrung Polvorgabe LQR Fuhrungsverhalten I-Anteil
Zustandsregler mit integrierenden Anteil: Entwurf
Einfuhrung neuer Zustandsgroßen y modifiziertes Entwurfsproblem:
B C
Ax
yr
−K
uz∫KI
∫
Zustandsreglerentwurf fur modifiziertes Entwurfsproblem:
Polvorgabe
LQR
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Modellierung Zustandsruckfuhrung Polvorgabe LQR Fuhrungsverhalten I-Anteil
Zustandsregler mit integrierenden Anteil: Entwurf
[x(t)z(t)
]=
[A 0−C 0
]︸ ︷︷ ︸
A
[x(t)z(t)
]+
[B0
]︸︷︷︸
B
u(t)
y(t) =[C 0
] [x(t)z(t)
]u(t) =
[−K KI
] [x(t)z(t)
]Voraussetzung: (A, B) steuerbar (Polvorgabe)/ stabilisierbar (LQR)
Hinweis: Es ist nicht immer notwendig alle Regelfehler uber einenIntegrator zuruckzufuhren, auch eine teilweise Ruckfuhrung ist moglich!
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Modellierung Zustandsruckfuhrung Polvorgabe LQR Fuhrungsverhalten I-Anteil
Integrator-Windup
Beispiel (SISO):
Strecke
kP
kI
∫r u y
0 5 10 15−0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
time
u
0 5 10 150.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
time
r (−
−),
y (
−)
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Modellierung Zustandsruckfuhrung Polvorgabe LQR Fuhrungsverhalten I-Anteil
Integrator-Windup
Beispiel (SISO):
Strecke
kP
kI
∫r u yu∗
0 5 10 15−0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
time
u* (
−−
), u
(−
)
0 5 10 150.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
time
r (−
−),
y (
−)
Stephanie Geist Zustandsruckfuhrung in linearen Mehrgroßenregelkreisen 33
Modellierung Zustandsruckfuhrung Polvorgabe LQR Fuhrungsverhalten I-Anteil
Anti windup (SISO)
Wir beschranken uns auf den Eingroßenfall.
Anti-Windup-Schaltungen:
1 Ruckfuhrung der Differenz zwischen Eingang und Ausgang desStellgliedes auf den Eingang des Integrators
kI
kP
u
1TS
∫
2 Logikschaltung, die den Eingang des Integrator auf Null setzt, wenndas Stellglied sich in der Sattigung befindet
3 etc.
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Modellierung Zustandsruckfuhrung Polvorgabe LQR Fuhrungsverhalten I-Anteil
Anti-windup (SISO)
Beispiel (SISO):
0 5 10 150.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
time
u* (
−−
), u
(−)
0 5 10 150.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
time
r (−
−),
y (
−)
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